Аксиоматическая теория множеств

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы: Шехтман В.Б. д.ф.-м.н., shehtman@netscape.net
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра,
направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика»
подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.
2
Цели освоения дисциплины




3
Целями освоения дисциплины Аксиоматическая теория множеств являются
получение представления об основных задачах аксиоматической теории множеств;
получение знания об основных понятиях и методах теории моделей;
получение представления о современных методах доказательства результатов о
непротиворечивости в теории множеств;
развитие теоретико-множественной интуиции.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать формулировки различных аксиоматических систем теории множеств и
соотношения между ними
 Знать основные свойства порядковых типов и мощностей
 Уметь проводить доказательства и построения по трансфинитной индукции
 Иметь навыки построения моделей методом форсинга
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин
по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Логика и алгоритмы
 Алгебра
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 Математический анализ
 Теория вероятностей
 Топология
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Тематический план учебной дисциплины
5
1 курс магистратуры
№
Название раздела
Всего
часов
Аксиомы Цермело - Френкеля
Ординалы и трансфинитная индукция
Кардиналы
Вещественные числа
Кардинальная арифметика
Аксиома регулярности
Модели теории множеств
Булевы алгебры и ультрафильтры
Булевозначные модели и форсинг
Независимость континуум-гипотезы
Независимость аксиомы выбора
Итого:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
6
7
8
7
9
9
9
9
9
9
8
90
3
3
4
3
4
4
4
4
4
4
3
40
3
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
50
2 курс магистратуры
№
Название раздела
1 Аксиомы Цермело - Френкеля
2 Ординалы и трансфинитная индукция
3
4
5
6
7
8
9
10
Кардиналы
Вещественные числа
Кардинальная арифметика
Аксиома регулярности
Модели теории множеств
Булевы алгебры и ультрафильтры
Булевозначные модели и форсинг
Независимость континуум-гипотезы
11 Независимость аксиомы выбора
Итого:
Всего
часов
Аудиторные часы
Практ
ическ
ие
Семина заняти
Лекции
ры
я
Самостоятельная
работа
13
13
3
3
10
10
14
13
16
16
16
16
16
16
4
3
4
4
4
4
4
4
10
10
12
12
12
12
12
12
13
162
3
40
10
122
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма
контроля
Контрольная
работа
Зачет
Текущий
(неделя)
Итоговый
1
*
1 год
2 3
Параметры **
4
8
письменная работа,
60 мин.
V 2 часа
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Вспомогательная форма контроля - сдача задач из текущих листочков (5-10 задач по
каждой теме).
Контрольная работа: студент должен продемонстрировать умение пользоваться
основными техническими приемами доказательств. Предлагается 3 задачи на 60 минут.
Зачет: письменная работа, состоящая из 6 заданий на 2 часа: теория и задачи.
7
Содержание дисциплины
7.1
Раздел 1. Аксиомы Цермело - Френкеля
Самостоятельная работа
Содержание темы
Множества и классы.
Выделение. Бесконечность.
Объединение и степень.
Подстановка
7.2
Лекции
Литература
Письменное
домашнее
задание
Подготовка к
лекциям
1
Базовая
Дополни
тельная
[1], 9.1
[2], гл. 2, 3
[1], 9.2
[2], гл. 2, 3
3
1
1
Раздел 2. Ординалы и трансфинитная индукция
Ординалы и их свойства
2
1
1
[1],п .9.3
[1], гл.2
Индукция и рекурсия
1
1
1
[1],п .9.3
[1], гл.2
1
[1],п .9.4
[1], гл.3
1
[1],п .9.4
[1], гл.3
1
[1],п .9.4
[1], гл.3
1
[2], п.5
[1], гл.4
7.3
Раздел 3. Кардиналы
Алефы
2
Квадраты алефов
Конфинальность
7.4
2
1
Раздел 4. Вещественные числа
Дедекиндовы сечения
3
4
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Топология вещественной
прямой. Борелевские
множества
7.5
1
1
[1], п .9.4
[1], гл.5
1
2
[1],п .9.4
[1], гл.5
4
4
2
[1], гл. 6
3
[2], п.8
Раздел 7. Модели теории множеств
Теоремы Гёделя.
Ультрапроизведения.
Абсолютность.
7.8
[1], гл.4
Раздел 6. Аксиома регулярности
Кумулятивная иерархия
множеств. Фундированные
отношения. Теорема
Мостовского о коллапсе.
7.7
[2], п.5
Раздел 5. Кардинальная арифметика
Аксиома выбора и ее
эквиваленты
Бесконечные суммы и
произведения. Возведение в
степень.
7.6
2
1
2
2
1
1
1
[1], пп. 4.2,
[1], гл.12
8.2
2
[1], п. 9.5,
[2], пп. 12, [1], гл. 12
15
Раздел 8. Булевы алгебры и ультрафильтры
Фильтры и ультрафильтры
на булевых алгебрах
2
1
1
[2], п. 15
[1], гл. 7
Полные булевы алгебры.
Пополнение.
2
1
2
[2], п. 15
[1], гл. 7
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
7.9 Раздел 9. Булевозначные модели и форсинг
Вынуждающие условия и
2
1
генерические множества
Булевозначные модели.
2
2
Теорема о форсинге.
1
[1], п. 9.8 [2], гл. 14
1
[1], п. 9.8 [2], гл. 14
2
1
[1], п. 9.9 [1], гл. 14
1
1
[1], п. 9.9 [1], гл. 14
1
[2], п. 17 [1], гл. 14
2
[1], п. 9.9 [1], гл. 14
7.10 Раздел 10. Независимость континуум-гипотезы
Теорема о генерической
модели
Нехависимость континуумг ипотезы
4
7.11 Раздел 11. Независимость аксиомы выбора
Теория множеств с
атомами
3
Независимость аксиомы
выбора
8
2
Образовательные технологии
На лекции даются необходимые определения и доказываются ключевые теоремы курса,
разбираются поучительные примеры. После этого студентам выдается листок с задачами для
самостоятельного решения, содержащий как упражнения для усвоения стандартных фактов и
приемов, так и нестандартные задачи, позволяющие проверить уровень понимания теории.
Многие задачи предваряют (продолжают) тематику лекций. Студент сдает письменные
решения задач преподавателю во время лекций.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Образец листочка с задачами
Образец контрольной работы
Образец варианта зачета
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Спецкурс «Аксиоматическая теория множеств» для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1. Докажите, что всякий собственный транзитивный класс ординалов совпадает с
классом всех ординалов.
2. Генерические модели.
3. Докажите, что любой класс ординалов экстенсионален.
4. Докажите, что всякое линейно упорядоченное множество содержит конфинальное
вполне упорядоченное подмножество.
5. Найдите мощность множества всех биекций кардинала k на себя.
6. Понятие ранга.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной
результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и
оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Базовые учебники
1. Дж. Шенфилд. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
2. Т. Йех. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир , 1973.
Дополнительная литература
1. Jech, Thomas (2003). Set theory. Springer, 3rd ed.
2. К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств.М.: Мир , 1970.
8