Финансовая математика (лекции)
реклама
ВОЛГО-ВЯТСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ С.А. Сьянов ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Учебное пособие Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом академии НИЖНИЙ НОВГОРОД 2006 УДК ББК С 96 Р е ц е н з е н т ы: Н.В. Глебова, канд. техн. наук, доц. Волго-Вятской академии государственной службы; Н.И. Яшина, д-р экон. наук, доц. Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Сьянов С. А. Финансовая математика: Учебное пособие/ С.А. Сьянов. – Нижний Новгород: Изд-во Волго-Вятской академии государственной службы, 2006. – с. ISBN 5-85152-544-4 Представлены основы различных финансовых расчетов в виде курса лекций. Для студентов вузов. УДК ББК ISBN 5-85152-544-4 2 © Волго-Вятская академия государственной службы, 2006 ПРЕДИСЛОВИЕ Цель курса – познакомить с основами, с тем фундаментом, на котором построен небоскреб финансовых расчетов. Как и в любом другом вопросе, внутри финансовой математики заложена определенная внутренняя логика, управляющая движениями финансовых потоков. Чтобы ее освоить, прежде всего, требуется сформулировать что является предметом изучения, научиться «узнавать» это в потоках экономической информации, понимать какие факторы характеризуют и как они влияют. Освоив эту логику и научившись ДУМАТЬ и РАЗГОВАРИВАТЬ на языке этой логики, даже в компании высоко профессиональных финансистов вы будете выглядеть достойно. А теперь рассмотрим примитивную ситуацию. Остров, на нем Робинзон. Голыми руками он ловит 2 рыбы в день, столько же хватает, что бы прожить день. Иными словами сколько ловит, столько и съедает – все заработанное проедается, т.е. производство равно потреблению. Это круг «бедности». Как его разорвать? Необходимы нововведения. Рыбацкая сеть позволяет ловить 5 рыб в день. Для изготовления сети необходим месяц. Этот месяц надо жить, не отвлекаясь на ловлю рыбы, и без внешнего заимствования не обойтись. Сколько рыб надо позаимствовать? На сколько дней? Сколько может стоить такой проект? Месяц (30 дней) надо делать сеть и жить – для этого необходимо 60 рыб. 20 дней надо ловить рыбу сетью, что бы отдать долг в 60 рыб и жить. Займ не бескорыстный, вернуть придется больше чем 60 рыб. То есть N дней надо ловить рыбу сетью, что бы отдать оплату за долг. Итого – общий срок заимствования 30 + 20 + N дней. Очевидно, что цена за предоставленный займ не может быть большей чем 3 рыбины в день. Таким образом, максимальное число рыб, которое потребуется 3 (60 + 20 + N) рыб. Знакомству с основами такого рода расчетов, только в современной жизни с современными ценностями, и призван предлагаемый курс лекций. 3 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ПОСОБИИ I – процентные деньги, проценты; S – сумма наращенных средств или будущий платеж; P – исходная сумма; A – современная стоимость будущего платежа; i, i% – величина процентной ставки, ставка наращения; k – множитель (коэффициент) наращения; T – период начисления, период на котором определена ставка; t – время проведения финансовой операции; – дробная часть периода T; Rj – величина депозита; pj – вложения; qj – списания; – процентное число; – процентный делитель; L – коэффициент дисконтирования; D – величина дисконта; d – годовая учетная ставка, ставка дисконтирования, норма дисконта; j – эффективная ставка; g – норма годового дохода по облигации; it – ставка текущей доходности облигации; i – ставка помещения; P – рыночная цена облигации; N – номинал облигации; K – курс облигации. 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ПОСОБИИ Финансы – экономическая категория, отражающая экономические отношения в процессе создания и использования фондов денежных средств. [БЭС/ Под ред. А.Н. Азрилияна. Изд. 3. М.: Институт новой экономики, 1998]. Математика – (от греч. – mathema – наука) наука, в которой изучаются «пространственные формы и количественные отношения действительного мира» (Ф. Энгельс). [СЭС/ Гл. ред. А.М. Прохоров. Изд. 4. М.: Советская энциклопедия, 1989]. ФМ (финансовая математика) – методы финансовых расчетов, применяемых в финансовых операциях. [Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб./ Академия народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации. М.: Дело, 2002]. ФМ (финансовая математика) – система практически необходимых расчетов доходности финансовых, инвестиционных и торговых операций во времени с учетом инфляции, валютных курсов, процента и прочих юридических и фактических условий выполнения договоров. [Мицкевич А. Финансовая математика. М.: ОЛМА-ПРЕСС Инвест: Институт экономических стратегий, 2003]. Деньги – знаки (их металлические, бумажные или электронные носители), являющиеся мерой стоимости при купле-продажи и выполняющие роль всеобщего эквивалента, т.е. знаки, выражающие стоимость всех других товаров и обмениваемые на любой из товаров. Капитал – ресурсы, изъятые из текущего употребления и отведенные под будущие результаты; ценность, которая в будущем принесет доход, поток доходов. Проблема измерения потока доходов – основная задача финансовой математики и инвестиционного анализа. Производительность капитала – процент, который он может давать. Процент – мера цены капитала. 5 ЛЕКЦИЯ 1 НАРАЩЕНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ. ПОГАШЕНИЕ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ЧАСТЯМИ Бизнес (по-русски – дело) требует умения правильно оценивать финансовые последствия при совершении сделок. Общее, универсальное правило в бизнесе состоит в том, что цена сбыта выше цены приобретения (независимо от того реальна или нет добавочная стоимость в содержании товара или услуги). Деньги, денежные средства, как универсальный эквивалент материального обращения, в отличие от других универсальных человеческих ценностей, таких как красота, талант, здоровье, знания, квалификация, общение могут быть заимствованы(!) Заимствование – простейший вид финансовой сделки (операции) заключающийся в предоставлении некоторой суммы в долг, с условием возврата через какое-то время и, как правило, в большем объеме. Возврат денег в большем объеме, наращение суммы исходного долга к моменту возврата, обусловлено фактором неравноценности денег относительно различных моментов времени. Временная ценность денег (от слова время, а не временно) является объективно существующей характеристикой денежных ресурсов в условиях рынка(!) «Время – деньги». Неравноценность денег во времени проявляется тогда, когда есть возможность их превращения в капитал, т.е. должна существовать возможность инвестиций. Иными словами – возможность изъять денежные средства из потребления и пустить их в оборот «деньги-товар-деньги», который через некоторое время вернет вложенные деньги с прибылью. Важно то, что временная ценность денег актуальна только при наличии возможности их вложения, приносящего их рост. Таким образом, в силу различной ценности денег во времени при рассмотрении финансовых вопросов ВСЕГДА следует рассматривать величину денежных средств в привязке к моменту времени в который данная сумма средств возникает. Часто употребляют термин датированная сумма. Процесс увеличения с течением времени значения какой-либо величины, например, задолженности или величины вклада, в финансовой математике обозначают термином «наращение». Так в случае коммерческого заимствования денег, взятая в долг сумма P как правило должна быть возвращена в большем объёме S, то есть исходная 6 сумма долга вырастет к моменту возврата долга. Разница между взятой в долг суммой P и возвращенной в большем объеме суммой S называется процентными деньгами, процентом I. ПРОЦЕНТНЫЕ ДЕНЬГИ Процентные деньги, или проценты I – абсолютная величина дохода от предоставления денежных средств в долг. I = S(t) – P, (1.1) где S(t) – сумма возвращенных средств; P – сумма, предоставленная в долг; t – время на которое предоставлены деньги в долг; I – сумма процентных денег или проценты. О п р е д е л е н и е: процентные и деньги (проценты) равны разнице между наращенной исходной суммами. Вот примеры некоторых финансовых операций, при которых, как правило, уплачиваются процентные деньги: ссуда – передача денег по договору займа на условиях возврата; коммерческий кредит – предоставление товара покупателю с отсрочкой его оплаты; помещение денег на депозит- вклад денег в банки и сберегательные кассы; учет векселя – досрочная выплата суммы, меньше обозначенной в векселе; погашение сберегательного сертификата – выплата депонируемых средств с процентами. Финансовые операции подразумевают наличие как минимум двух сторон сделки, которые друг перед другом несут определенные финансовые обязательства. При этом должен соблюдался принцип финансовой эквивалентности, т.е. стороны должны нести эквивалентные финансовые обязательства. Например, покупатель оплачивает рыночную цену облигации, а эмитент обязуется периодически выплачивать покупателю купонный доход и вернуть в конце срока сумму, равную номиналу облигации. При этом финансовые обязательства сторон эквивалентны и принцип финансовой эквивалентности соблюден. Другой пример: страхователь оплачивает страховую премию, а страховщик обязуется выплатить страховую сумму, при наступлении страхового события. В отличие от первого примера, где платежи обеих сторон безусловны, платеж страховщика имеет вероятностный характер. Следовательно, финансовой эквивалентности обязательств каждой из сторон друг перед другом в данном случае нет. 7 Примечание [s1]: В семье банкира сынишка приходит к отцу и спрашивает «Папа, а как я появился?». Тот не задумываясь отвечает «Понимаешь сынок – мама как банк, я – вкладчик, срок вклада девять месяцев, а ты – это проценты» Из принципа финансовой эквивалентности следует, что при обоюдном согласии сторон возможно изменение условий сделки (перенос сроков, изменение величины выплат, процентных ставок) без нарушения при этом взаимной ответственности. Соблюдение принципа финансовой эквивалентности требует определения ключевых характеристик финансовых операций и навыка разбираться во влиянии различных параметров на результат финансовой операции. ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА Оценка привлекательности различных финансовых операций (займа, вклада и т.п.), сравнение их между собой сталкивается с необходимостью сравнивать различные по описанию операции с различными сроками проведения, различными по величине суммами. Эту трудность можно преодолеть, определив некоторые универсальные показатели, которые смогут охарактеризовать каждую (любую) финансовую операцию. Сами показатели должны иметь количественное выражение для их сравнения для разных случаев и обладать универсальностью, независимостью от частных условий. Рассмотрим операцию займа. Пусть сумма займа P, а S сумма, которая должна быть уплачена через время t в погашение займа, больше P на величину процентных денег I. Рассматривая такого рода операции, предусматривающие наращение исходной суммы (наращенная сумма S = начальной сумме P плюс процентные деньги I), для удобства сравнения привлекательности операций используют понятие «нормы наращения» (нормы). Под нормой (наращения) для произвольного периода времени понимают отношение процентных денег к исходной сумме. Однако, чаще пользуются термином процентная ставка наращения i. Ее определяют как относительную величину, не зависящую от значений абсолютных величин фигурирующих при этом средств P и S, а именно – как отношение процентных денег к первоначально вложенным, при этом обязательно оговаривают тот период времени, на котором определяется ставка: i = (S(t) – P)/P = I/P, (1.2) где i – величина процентной ставки; I – процентные деньги, полученные в результате проведения операции. Из (1.2) легко видеть, что величину процентных денег I можно определить как произведение ставки наращения i на исходную сумму задолженности P, которую при этом называют «базой» начисления процентов: I = i P. О п р е д е л е н и е: Ставка наращения равна отношению процентных денег к исходной сумме. Ставка наращения i – мера, характеризующая величину процентных де- 8 нег. Чем больше значение i, тем большие процентные деньги даст исходная сумма при прочих равных условиях. В этом смысле ставка наращения i является ценой возможного размещения средств, размещения приносящего процентные деньги I. В практике финансовых расчетов встречается такие термины как «цена денег», или «стоимость средств» (равная i), что подразумевает доходы/расходы от размещения/обслуживания указанных денежных средств по указанной ставке i. Часто пользуются еще одним показателем – коэффициентом наращения k, определяя его как отношение наращенной суммы S к первоначальной P: k = S/P. (1.3) То есть коэффициент наращения показывает, во сколько раз возросла первоначальная сумма. О п р е д е л е н и е: Коэффициент (множитель) наращения равен отношению наращенной и исходной сумм. Чтобы и дальше иметь корректное сравнение финансовых операций по величине процентных ставок i для разных по длительности операций необходимо, чтобы ставки были определены (или пересчитаны) на одинаковом периоде времени T. В качестве такого периода, как правило (если отдельно не оговорено иное), берут год, и ставки называют годовыми. Таким образом, период T (год, квартал, месяц), на котором определена ставка начисления – является временной базой начисления процентов для ставки i. О п р е д е л е н и е: Временная база начисления ставки – период времени на котором определена ставка. Длина временной базы различна в германском, французском и английском вариантах расчета процентов. Количество дней Единичный период германск. французск. английск. месяц 30 точное точное год 360 360 точное 9 ПРАВИЛА ИСЧИСЛЕНИЯ ДНЕЙ В ГОДУ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ ФИНАНСОВОЙ ОПЕРАЦИИ Принято считать, что T – временная база начисления процентов равна году, при этом существует два подхода к определению количества дней в году: 1) обыкновенный, коммерческий подход, при котором T = 360 дней; 2) точный, действительный подход, при котором T = 365 дней. Число дней рассматриваемой операции также можно считать двумя способами: 1) приближенно – 12 месяцев по 30 дней, 2) точно – от даты начала операции до даты окончания с точностью до дня. Из вышеприведенного вытекают т р и в а р и а н т а исчисления дней в году и длительности финансовой операции: 1. Банковский (точный) 365/365 – считается, что число дней в году равно 365, и срок проведения финансовой операции считается с точностью до дня. 2. Обыкновенный 365/360 – число дней в году считается равным 360 = 12 30, а срок проведения финансовой операции определяется с точностью до дня. 3. Коммерческий 360/360 – полагают, что дней в году 360, и в месяце считается 30 дней. Результаты вычислений указанными способами не всегда совпадают. Например, при ставке i и сроке ссуды с 01.02 по 01.03 коэффициент наращения несколько различный: 1) k365/365 = 1 + i t/T = 1 + i 28/365 = 1 + i 0,07671; 2) k365/360 = 1 + i t/T = 1 + i 28/360 = 1 + i 0,07777; 3) k360/360 = 1 + i t/T = 1 + i 30/360 = 1 + i 0,08333. Разница в значении коэффициента наращения проявляется во втором знаке после запятой, во втором порядке. Следует отметить, что во всех случаях в расчетах должны оговариваться правила округления вычисляемых результатов. Например, результат вычислений округляем с точностью до рубля, прибавляя единицу, если дробная часть превосходит 0,5. Разницу, получаемую при вычислениях в каждом из трех подходов, можно не учитывать, если величина погрешности в принятых правилах округления конечного результата превосходит различие в результатах при использовании каждого из подходов. ВИДЫ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК Процентные ставки характеризуются рядом признаков, таких как база на- 10 числения, принцип начисления, период начисления, а также свойствами их величины. Поэтому их различают на: – простые и сложные процентные ставки; – декурсивные и антисипативные ставки; – фиксируемые и плавающие ставки; – годовые, квартальные и др. ставки. Существуют универсальные, базовые ставки: – ставка рефинансирования ЦБ; – номинальная ставка; – эффективная ставка. Ставка – количественная величина, с помощью которой принято сравнивать (измерять) финансовые операции. Рассмотрим пример сравнения двух разных финансовых операций с использованием ставок наращения i. ПРИМЕР. Первая операция P1 = 220, S1 = 275, t1 = 1 год. Вторая операция P2 = 190, S2 = 280, t2 = 1,5 года. Пользуясь выражением (1.2), определим годовые ставки по обоим операциям. В первом случае i1 = (S1 – P1)/P1 = 0,25 за год, во втором случае i = (S2 – P2)/P2 = 0,47 за полтора года, годовая же ставка i2 = 0,31. Таким образом, сравнивая полученные значения годовых ставок по величине, получаем, что первая операция менее выгодна, чем вторая. НАРАЩЕНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита) S понимают первоначальную сумму P с процентами I, начисленными к концу срока ссуды. В случае, когда срок ссуды t больше периода начисления T (для простоты будем считать, что t = T n, где n – целое число) в конце первого периода начисления наращенная сумма увеличится на величину процентов, начисленных за первый период, и будет равна: S1 = P + I1, где I1 = i P – проценты, начисленные за первый период T, i – процентная ставка. Множитель (коэффициент) наращения будет равен k = S1/P = (P + I1)/P = 1 + i. (1.4) Если начисление процентов I в каждом из периодов T осуществляется на исходную сумму P, то величина процентов, начисленных за каждый период T, всегда будет равна i P. Иными словами, база начисления в этом случае всегда равна первоначальной сумме, а величина процентов I одинакова в каждом из последующих периодов начисления T, на котором определена ставка начисления 11 процентов i. Такой способ начисления процентов представляет собой правило начисления простых процентов (прил. 1). О п р е д е л е н и е: При начислении простых процентов база начисления всегда равна первоначальной сумме, а величина процентов I одинакова в каждом из последующих периодов начисления T, на котором определена ставка начисления процентов i. Таким образом, согласно этому правилу, за n периодов результирующее наращение равно сумме всех процентов, начисленных за прошедшие n периодов начисления Iобщ = I1 + I2 + I3 + ... + In = n P i. (1.5) Наращенная сумма S определится по формуле S = P + Iобщ = P + n P I = P (1 + n i), (1.6) а множитель наращения будет равен k = S/P = (P + n P i)/P = 1 + n i. (1.7) В формулах (1.5) – (1.7) n = t/T - целое число периодов начисления, T – период начисления, t – время размещения ссуды (для простоты считается кратным T.) ПРИМЕР: Найти величину процентов и значение множителя наращения для случая начисления простых процентов за 3, 7 и 18 лет по годовой ставке 0,25 на депозит в размере 240 090 руб. Таблица 1.1 Показатель Проценты I Множитель наращения k 3 года 180 067,50 руб. 1,75 7 лет 420 157,50 руб. 2,75 18 лет 1 080 405,00 руб. 5,5 Следует отметить, что ставка начисления i здесь представляет собой десятичную дробь, которую часто выражают в процентах. Связь дробного значения i и процентного представления ставки i% определяется выражением i= i%/100%. (1.8) Воспользуемся выражением (1.6) откуда следует, что Iобщ =n P i, а так же выражением (1.7) полученные результаты приведены в табл. 1.1. Упражнения 1. Выразить следующие проценты в виде соответствующих натуральных и десятичных дробей с точностью до четвертого десятичного знака: a) 4%, b) 2 1/4%, c) 3,2%, d) 3 1/3%, e) 0,8%, f) 1/6%. Ответ: a) 0,0445, b) 2 1/400, c) 0,0329, d) 3 1/300, e) 0,0081 % , f) 1/600. 2. Представить каждую из следующих дробей в виде процентов с точностью до сотой доли процента; a) 0,035, b) 3/40, c) 0,04, d) 5/16, e) 8,40/280, f) 40/1250. Ответ: ; a) 12 3,5% , b) 7,5%, c) 4% , d) 31,25%, e) 3%, f) 3,2%. 3. Найти значения коэффициента наращения и выразить результат в виде десятичных дробей: a) i = 6%, n = 2; b) i = 1/4%, n = 5; c) i = 5%, t = 4; d) i = 3,2, n = 12; e) i = 3,2%, n = 8. Ответ: a) k = 1,12; b) k = 3,25; c) k = 1,2; d) k = 1,384; e) k = 1,256. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЗА ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ПЕРИОД ВРЕМЕНИ В общем случае, срок ссуды t не обязательно равен целому числу n периодов начисления T: t = n T + , (1.9) где < T. Величина начисленных процентов в этом случае будет складываться из процентов I(n T), начисленных за целое число периодов, и процентов I(), начисленных за оставшийся срок : I = I(n T) + I(). Величина процентов за целое число периодов I(n T) определяется (1.6): I(n T) = P n i, проценты, начисленные за оставшееся время , будут меньше чем проценты за полный период T. Очевидно, что величина процентов за период меньший периода начисления T будет пропорциональна отношению /T I()=P (/T) i. Таким образом, формула начисления процентов I за произвольный период времени t имеет вид: I =P n I + P (/T) I = P (n + /T) I = P i (t/T), (1.10) а множитель наращения k равен: k = S/P = (P + I)/P = 1 + (t/T) I = 1 + (n + /T) i. (1.11) Окончательно формула начисления простых процентов за произвольный период времени принимает вид S = P (1 + (t/T) i). (1.12) Если период времени начисления процентов меньше, чем период T на котором определена ставка i, выражение (1.12) принимает вид S = P + I() = P (1 + (/T) i). (1.13) ПРИМЕР: Рассчитать величину процентов, начисляемых на депозит P = 645 120 руб. по ставке i = 23,8% с периодом начисления 360 дней за сроки, приведенные в табл. 1.2. 13 Таблица 1.2 Показатель Начисленные проценты I Множитель наращения k 25 дней 10 662,40р. 1,0165 65 дней 27 722,24р. 1,0430 121 день 51 606,01р. 1,0800 438 дней 187 008,48р. 1,2896 ПРИМЕР 1. Найти удержанные проценты за ссуду 3 000 руб., начисленные за 5 месяцев по простой ставке 7% годовых. Решение: Мы имеем исходную сумму долга по ссуде P = 3 000, ставку наращения по ссуде i = 0,07 и t/T = 5/12. Таким образом, проценты, начисленные к концу срока ссуды, будут равны I = P I t/T = 3 000 0,07 (5/12) = 87,5 руб. ПРИМЕР 2. Найти проценты и итоговую сумму, если 5 000 руб. даны взаймы на 100 дней при простой ставке 4% годовых. Решение: Исходная сумма P = 5 000 руб., годовая ставка простых процентов i = 0,04 и отношение срока операции к периоду, где определена ставка t/T = 100/365. Тогда процентные деньги в конце займа I = 5 000 0,04 (100/365) = 54,8 руб. Общая сумма долга по займу соответственно будет равна S = 5 000 + 54,8 = 5 054,8 руб. ПРИМЕР 3. Человеку, который инвестировал 100 000 руб., возмещены 101 000 руб. девяносто днями позже. С какой нормой (ставкой) зарабатывались эти деньги при обыкновенном простом проценте? Решение: Исходная сумма инвестиций P = 100 000 руб., сумма средств, вырученная от инвестиций S = 101 000 руб. и t = 90/360 = 1/4. Теперь, так как S = P + I, найдем процентные деньги I = S – P = 101 000 – 10 000 = 1 000. Но из (1.10) I = P i t/T, поэтому i = I/(P t/T) = 1000/(100000 (1/4)) = 0,04, или 4%. ПРИМЕР 4. Через 60 дней после займа клиент выплатил ровно 10 000 руб. Сколько было занято, если 10 000 руб. включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12% годовых? Решение: Общая сумма долга в конце займа S = 10 000, ставка по долгу i = 0,12 и t/T = 60/360 = 1/6. Подставляя эти значения в выражение для наращенной суммы S = P (1 + i t), получим 10 000 = P (1,02), откуда P = 10 000/1,02 = 9 804 руб. Упражнения 1. Вычислить (1 + 0,07(7/12))5 000 руб. с точностью до 1 руб. Ответ: 5204 руб. 2. Найти величину простых процентов для займа в 7 000 руб. за 5 месяцев при норме 3%. Ответ: 875 руб. 3. Вычислить 6 000 руб./(1 + 0,05(1/4)) с точностью до 1 руб. Ответ: 6000 руб. 4. Найти проценты и наращенную сумму, если 17 000 руб. инвестируются на 4 месяца при годовой ставке 3,5%. Ответ: 198,33 руб., 17198,33 руб. 5. Найти обыкновенный (365/360) и точный (365/365) простой процент для депозита 4 600 руб. за период с 1 февраля по 30 апреля при ставке 7% годовых. Ответ: 78,71 руб., 77,63 руб. 6. Найти обыкновенный (365/360) простой процент и итоговую сумму для 150 000 руб. при ставе 4% за 90 дней. Ответ: 1500 руб., 151500 руб. 7. Банк начисляет 3,5 руб. обыкновенного простого (365/360) процента за использование 300 руб. в течение 60 дней. Какова норма простого процента сделки? Ответ: 7%. 14 8. При приобретении товаров покупатель может заплатить или 500 руб. сразу или 520 руб. через 4 недели. Если он займет деньги, чтобы заплатить наличными, какая норма простого (365/360) процента может быть допустима для возмещения займа? Ответ: < 51,42% . 9. Найти сумму долга, если при окончательном расчете заемщик уплатил через три месяца 4800 руб. при простой ставке 7% годовых. Ответ: 4717,44 руб. 10. Найти наращенную сумму по вкладу в 7 000 руб., при простой годовой ставке 8% и t/T = 1/6. Ответ: 7093,33 руб. 11. Какая исходная сумма приведет к итогу 7 800 руб. за 5 месяцев, если норма процента равна 8%? Ответ: 7548,38 руб. 12. Определить величину начального депозита, который приведет к итогу 13 900 руб. через 90 дней при ставке 18% обыкновенного простого (360/360) процента? Ответ: 13309,28 руб. 13. Сколько дней понадобится, чтобы 6 000 руб. «заработали» 100 руб., если они инвестируются при 9% обыкновенного простого процента? Ответ: 67 дней. Найти точный и обыкновенный простые проценты: 14. P = 28 000, I = 7%, t = 189 дней. Ответ: 998,79 руб., 1012,67 руб 15. P = 96 800, I = 6%, t = 227 дней. Ответ: 3612,09 руб., 3662,26 руб. 16. P = 69 500, I = 4,5%, t = 95 дней. Ответ: 556,95 руб.,564,69 руб. 17. P = 18 700, I = 12%, t = 128 дней. Ответ: 686,93 рубю, 797,86 руб. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ m РАЗ ЗА ПЕРИОД В случае, когда на периоде T, где определена ставка наращения i, начисление процентов происходит m раз (рис. 1.1) рассматривают временной отрезок t1 = T/m. В конце периода t1 согласно (1.10) начисляются проценты величиной I1 = (t1/T) i. 0 t1 t2 t3 m раз tm-1 tm = T Рис.1.1 Соответственно наращенная к концу этого (первого) периода сумма S1 будет равна S1 = P (1 + (t1/T) i) = P (1 + i/m), за два таких периода t2 = 2 T/m соответственно S2 = P (1 + (t2/T) i) = P (1 + 2 i/m), за m периодов tm = m T/m Sm = P (1 + i), 15 а за произвольный отрезок времени t S = P (1 + (t/t0) (i/m)), (1.14), где t0 = T/m – период начисления процентов. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СТАВКАХ НАРАЩЕНИЯ Величина ставки начисления процентов может изменяться в различные периоды времени. Пусть ставка начисления i, с периодом начисления T, изменяется в течение времени согласно табл. 1.3. Таблица 1.3 № п/п Величина ставки, % 1 2 3 4 12,5 14 15 15,8 Дата начала действия окончания действия 01.01 04.03 05.03 01.06 02.06 02.09 03.09 31.12 Количество дней 63 88 92 119 Исходная сумма долга P за весь период t = t1 + t2 + t3 + t4 возрастет на величину начисленных за весь период процентов Iобщ. Величина начисленных за весь период процентов Iобщ представляет собой сумму процентов Ij, начисленных в каждом периоде по ставке ij, действующей в этот период времени tj: Iобщ = I1 + I2 + I3 + I4. Согласно выражению (1.10), начисленные в каждом периоде проценты определяются выражением Ij = P ij tj/T, где ij – значение ставки начисления в соответствующий ей период начисления tj. Следовательно, формула наращения исходной суммы P за счет начисления процентов Ij по различным в разные периоды времени tj ставкам начисления ij принимает вид: S = P + P (ij tj)/T = P (1 + (ij tj)/T), (1.15) где ij – величина ставки начисления за период tj; j = 1, 2, 3, 4 – число периодов с различными ставками начисления. ПРИМЕР: Ссуда в размере P = 100 000 руб. выдана заемщику сроком на год (365/365) ставка по ссуде при этом в течение года менялась согласно табл. 1.3. Требуется 16 определить величину начисленных процентов для каждого из значений ставки и сумму процентов, начисленных за год. № п/п 1 2 3 4 Величина Дата ставки, % начала дейокончания ствия ставки действия ставки 12,50 01.01 04.04 14 04.03 01.06 15 01.06 02.09 15,80 02.09 31.12 Количество дней действия ставки Проценты, начисленные по действующей ставке Текущая сумма с учетом начисленных процентов 63 89 93 120 2 157,53 р. 3 413,70 р. 3 821,92 р. 5 194,52 р. 102 157,53 р. 105 571,23 р. 109 393,15 р. 114 587,67 р. Следует отметить, что в общем случае для различных периодов tj различными может оказаться не только ставка начисления ij, но и период начисления Tj по данной ставке, что тоже необходимо учитывать: S = P + P (ij tj)/Tj = P (1 + (ij tj)/Tj). (1.16) НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ВЕЛИЧИНЫ ДЕПОЗИТА В некоторых случаях по условиям контракта сумма депозита P может изменяться по величине, т.е. в течение срока депозита t осуществляются вложения pj и при этом база начисления процентов увеличивается или осуществляются списания qj и база начисления процентов уменьшается. Начисление процентов в этом случае осуществляется по каждому периоду tj в течение, которого величина депозита Rj (база начисления) не изменяется. Rj = P +pj – qj, где pj и qj – результирующие вложения и списания к началу периода, в течение которого сумма депозита не меняется. Величина процентов на каждом периоде определяется выражением Ij = R j i t1/T. (1.17) Говорить о результирующем наращении S за весь период операции в данном случае нет смысла, поскольку на каждом из периодов tj база начисления изменяется и определяется выражением S = Sj = P + (Rj ij tj/T). (1.18) Величину же начисленных процентов Ij для каждого периода tj можно представить в виде Ij = Rj i% tj/T 100%, (1.19) где i% – ставка начисления, выраженная в процентах. 17 Введём величину j = Rj tj/100%. (1.20) называемую процентное число и величину = T/i%, (1.21) называемую процентный делитель, получим следующее выражение для получения процентов, начисленных для каждого значения суммы депозита Ij = j/. (1.22) Такое представление (1.22) удобно для расчётов начисляемых процентов. ПРИМЕР: Пусть величина депозита P, размещенного на срок t = 561 день под процентную ставку i = 14,7% с периодом начисления T = 365 дней, изменяется во времени согласно табл. 1.4. Требуется определить величину начисленных процентов за весь срок t, процентные числа j и процентный делитель . Таблица 1.4 Даты поступ- Число дней постоления/ списа- янного значения ния депозита 02.01 24.03 15.08 17.09 29.11 03.01 06.04 16.07 82 144 33 73 35 93 101 Сумма поступления/ списания, руб. 25 000 42 000 -2 000 1 420 -13 403 4 004 -6 877 4 238 База начис- Процентное ления, руб. число j 25 000 67 000 65 000 66 420 53 017 57 021 50 144 2 050 000 9 648 000 2 145 000 4 848 660 1 855 595 5 302 953 5 064 544 Проценты Ij, руб. 825,62 3 885,63 863,88 1 952,75 747,32 2 135,71 2 039,69 = 2482,993197. ПОГАШЕНИЕ ЗАДОЛЖЕННОСТИ ПО ЧАСТЯМ Пусть ссуда в размере P, выданная на срок t, со ставкой начисления i с периодом начисления T, в течение срока ссуды t предусматривает два промежуточных платежа q1 и q2 в погашение задолженности. При этом возникают вопросы: Как определять при этом базу начисления процентов? Как определять остаток задолженности в конце срока? Существуют два подхода к решению данных вопросов: 1. Актуарный метод. 2. Правило торговца. Первый из них – актуарный метод – применяется при сроках больше года. Число дней в календарном году и сроки операции определяются по схеме 18 365/365. При поступлении платежей q1 в погашение долга S = P + I1, в первую очередь гасятся проценты I1 = P i t1/T, начисленные за период от начала срока ссуды до момента осуществления платежа t1, а затем, если средств достаточно на погашение всех начисленных за этот период процентов (q1 – I1) > 0, погашается «тело» основной задолженности по ссуде R1 = P – (q1 – I1). Фактическая задолженность R1 служит в качестве базы для начисления процентов в следующем периоде (t2 – t1) до очередного платежа q2 в погашение ссуды. Контур операции по ссуде с двумя промежуточными платежами имеет вид: I1 P q1 I2 R1 q2 I3 R2 Q t1 t2 t Рис. 1.2 На рис. 1.2 по осям откладывается соответственно величина задолженности по ссуде (вертикальная ось) и время (горизонтальная ось). В том случае, когда платеж q1 не превосходит сумму процентов I1, начисленных к моменту t1 поступления платежа q1, т.е. (q1 – I1) < 0, сумма поступившего платежа q1 не идет в погашение начисленных процентов I1 и не идет в погашение «тела» основной задолженности P, она учитывается при поступлении следующего платежа q2, увеличивая его на величину q1. Базой начисления процентов по ссуде до срока поступления платежа q2 по-прежнему (до момента очередного платежа q2) является исходная задолженность (в данном случае P). 19 Контур операции по ссуде с двумя промежуточными платежами q1 и q2 для случая, когда первый платеж q1 не превышает величины процентов I1, начисленных к дате t1имеет вид рис. 1.3): Q1 I1 q2 Рис. 1.3 Q Окончательный платеж Q, осуществляемый в конце срока ссуды, должен погасить задолженность, т.е. «замкнуть» график контура операции (см. рис. t2 t t1 1.2, 1.3). ПРИМЕР: Ссуда в размере 300 руб., выдана 10.02.2005 г. до конца года по ставке 18%. Задолженность по ссуде в течение срока ссуды погашалась четырьмя платежами 15.02.05 г. – 26 руб., 11.06.05 г. – 45 руб. , 01.09.06 г. – 60 руб. Определить сумму последнего платежа по ссуде: Исходные данные Ссуда 300 руб. 365/360 Ставка 0,18 Дата Число Сумма дней поступления, руб. База наНачислен- Задолженность Задолженность числения, ные процен- до поступле- после поступлеруб. ты, руб. ния, руб. ния, руб. 10.02.00 15.02.00 11.06.00 01.09.00 31.12.00 5 117 82 121 26 45 60 300,00 274,75 245,82 195,90 0,75 16,07 10,08 11,85 300,75 290,82. 255,90 207,75 274,75 245,82 195,90 207,75 Правило торговца обычно применяется на сроки задолженности меньше года. Начисления процентов по правилу торговца состоит в том, что база начисления процентов P (первоначальная сумма долга) остается неизменной в течение всего срока задолженности и проценты на нее начисляются за весь срок t по простой ставке i. Частичные платежи q в погашение ссуды учитываются в конце срока ссуды, причем учитываются с учетом начисления на суммы частичных платежей простых процентов по ставке ссуды i. Правило начисления простых процентов на частичные платежи q1, q2, q3 в погашение ссуды такое же, как и начисление простых процентов на изменяющийся по величине депозит (см. (1.9)). I(р) P 20 Q I(q) q t1 t Рис. 1.4 На рис. 1.4 приведен контур операции по ссуде P с одним промежуточным платежом q. Окончательный платеж Q, осуществляемый в конце срока ссуды («замыкающий» график контура операции на рис. 1.4) определяется выражением Q = (P + I(p)) – (q + I(q)). ПРИМЕР: Ссуда в размере 500 руб., выдана на год (360/360) по ставке 15% с двумя промежуточными платежами в погашение 125 и 80 руб. в конце 4-го и 9-го месяцев. Определить сумму последнего платежа по ссуде. Данные Ставка – 0,15 1-й платеж – 125 руб. 2-й платеж – 80 руб. Ссуда – 500 руб. Месяцы погашения Срок в днях Сумма процента, руб. 4 9 150 90 7,81 2,67 Сумма в Проценты по Задолженность в погашессуде, руб. конце срока ссуды, ние, руб. руб. 75 575 132,81 215,48 359,52 ПРИМЕР 1. Определить коэффициент наращения по депозиту, размещенному по простой ставке 12% годовых на срок пять лет. Решение: Коэффициент наращения – отношение наращенной суммы к исходной, т.е. депозиту. Наращенная сумма равна сумме депозита и начисленных процентов, начисленные проценты находятся как произведение депозита на значение ставки наращения, умноженные на отношение срока операции к периоду, на котором определена ставка наращения, т.е. k = (P + I)/P = (P + P i (t/T))/P = (1 + i t/T) = 1 + 0,12*5 = 1,6. ПРИМЕР 2. Коэффициент наращения по операции составил за два с половиной года 1,7. Какова ставка простых процентов по данной операции? Решение: Коэффициент наращения равен k = (1 + i t/T) откуда i = (k – 1) T/t = 0,7/2,5 = 0,28, или 28%. ПРИМЕР 3. Сколько времени потребуется для наращения 3 120 руб. до 4 630 руб. по простой ставке 5,6% годовых, схема (365/365). Решение: Процентные деньги по данной операции равны S – P = 4 630 – 3 120 = 1 510 руб., с другой стороны I = i P t/T, откуда t = I T/i P = 1 510 365/0,056 3 120 = 3154 дня. ПРИМЕР 4. Определить сумму долга, выданного под простую ставку 6,7% годовых, если в конце 4-го года кредитор получил 6 450 руб. Решение: Сумма S, полученная кредитором, возросла по сравнению с займом на величину процентных денег S = P + I. Процентные деньги по данному займу составляют I = P i n. Таким образом, из выражения S = P + P i n можно найти исходную сумму займа P = S/(1 + i n) = 6450/(1 + 0,067 4) = 1 752,71 руб. 21 Упражнения 1. Клиент разместил на депозите 1 450 руб. на срок 3 года с начислением процентов по простой ставке 15% годовых. Определить расходы банка по привлечению депозита. Ответ: 652,5 руб. 2. Определить величину ссуды, выданной под ставку 12,5% простых процентов, если по прошествии 2,5 лет заемщик уплатил 3 750 руб. Ответ: 2857,14 руб. 3. За какой период времени исходная величина долга возрастет в два раза при простой ставке обыкновенного процента 23% годовых. Ответ: 1565 дней. 4. Определить величину простой процентной ставки, если за 27 месяцев коэффициент наращения по операции равен 1,36. Ответ: 16%. 5. Чему равен коэффициент наращения по ссуде величиной 3750 руб., выданной на 6 лет, если ставка по ссуде 14,5% в конце 2-го года увеличилась на 2,5 процентных пункта. Ответ: 1,97. 6.Определить доходы банка по депозитной операции сроком 8 лет и простой ставке 13%, если в середине срока величина депозита в 2 560 руб. возросла в полтора раза. Ответ: 3328 руб. 7. Сравните выгодность для заёмщика двух финансовых операции: займ сроком 4,5 года при простой ставке в 17% годовых и ссуда с простой ставкой в 432 дня с общим коэффициентом наращения по операции 1,35. Ответ: цена средств по займу меньше на 12,57 процентных пунктов. 8. Чему равен окончательный платеж в погашение задолженности размером 9 405 руб., выданной на срок 49 месяцев под простую ставку 13,5% годовых, если через полтора года был осуществлен промежуточный платеж в размере 220 руб. Ответ 14490,17 руб. 9. На какую величину снизится завершающий платеж по годовой задолженности в 7 805 руб. выданный под простую ставку 23,5%, если в начале третьего квартала заемщик выплатил кредитору 500 руб. Ответ: 29,37 руб. 10. На сколько окончательный платеж рассчитанный по правилу торговца больше окончательного платежа, рассчитанного по актуарному методу для задолженности размером 6 500 руб. со сроком 6 месяцев с промежуточным платежом 1 700 руб. в конце первого месяца и простой ставкой по задолженности 16% годовых. Ответ: 59,37 руб. ВОПРОСЫ: 1. Наращение, процентные деньги, процентная ставка, коэффициент наращения. 2. Временная база процентной ставки. Различия в определении годовой базы. Правила исчисления дней в году и времени операции. 3. Наращение по правилу простых процентов. База начисления простых процентов. Коэффициент наращения при наращении по правилу начисления простых процентов. 4. Начисление простых процентов за произвольный период времени. 5. Начисление простых процентов m раз на периоде временного основания простой ставки наращения. 6. Начисление простых процентов при изменяющейся ставке. Коэффициент наращения. 7. Начисление простых процентов при изменении базы начисления, процентное число, процентный делитель. 8. Погашение задолженности по частям. Методы погашения задолженности с промежуточными платежами. 9. Актуарный метод погашения задолженности с промежуточными платежами. 10. Правило торговца при погашении задолженности. 11. Отличие актуарного способа погашения задолженности частями от правила торговца. 22 23 ЛЕКЦИЯ 2 ДИСКОНТИРОВАНИЕ И УЧЕТ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ. НАРАЩЕНИЕ ПО УЧЕТНОЙ СТАВКЕ Дисконт – разница между ценой финансового обязательства в настоящий момент и стоимостью финансового обязательства при погашении. Дисконтирование– процесс оценки текущей стоимости суммы, которая будет получена в будущем. Дисконтирование – процесс обратный наращению. При наращении находится наращенная стоимость S сегодняшних средств P. При дисконтировании же определяется современная (сегодняшняя, текущая) стоимость P будущего платежа S. Таблица 2.1 Исходная сумма P Современная стоимость P наращение дисконтирование Наращенная сумма S Будущий платеж S Продемонстрировать дисконтирование возможно при использовании ставки наращения i, выразив из (1.12) P через S, где для простоты положим = 0: S = P (1 + i n) или P = P /(1 + i n), (2.1) где множитель L = 1/(1 + i n) (2.2) называют коэффициентом дисконтирования. Он показывает во сколько раз современная стоимость P меньше будущего платежа S. БАНКОВСКИЙ УЧЕТ (УЧЕТ ВЕКСЕЛЕЙ) Классическая операция банковского учета заключается в том, что финансовое учреждение (банк) приобретает платежное обязательство до срока t < tn его исполнения по цене P меньшей, чем это предусмотрено финансовым обязательством S в момент его исполнения tn. То есть будущий платеж S приобрета24 ется досрочно по некоторой современной стоимости P(t): P(t) = S – D(t), (2.3) где D(t) – величина дисконта в момент времени t. Данный подход к определению современной стоимости будущего платежа отражает различную ценность денег в различные моменты времени. Очевидно, что по мере приближения к дате исполнения обязательства современная стоимость P(t) должна приближаться к величине будущего платежа S и в момент исполнения обязательства tn современная стоимость P(tn) равна величине обязательства S. С другой стороны, чем раньше (за более долгий срок до исполнения) обязательство предъявляется к исполнению, тем меньше его стоимость. Это обусловлено тем, что раньше полученные денежные средства могут быть направлены в рост. По аналогии со ставкой наращения i можно ввести учётную ставку дисконтирования d определенную на отрезке времени tn – t, как отношение величины дисконта D(t) к сумме исполнения финансового обязательства S d=D(t)/S (2.4) и преобразовать выражение (2.3) к виду P(t)=S (1– d). (2.5) При этом величина дисконта за период времени tn – t равна D(t)=S*d, где t – дата учёта финансового обязательства, tn дата исполнения обязательства S. Если в качестве периода времени tn – t выбран год T, ставку d называют годовой дисконтной (учётной) ставкой d. В том случае, если каждый год дисконт одинаковый D= S*d, то современная стоимость P(k) за k лет до исполнения обязательства S очевидно будет равна P(k)=S (1–d k) (2.6) где d годовая ставка дисконтирования (рис.2.1). S D D P(t) T T T Рис. 2.1 25 Данное правило дисконтирования называют простым дисконтированием, а учётную ставку d простой учётной (дисконтной) ставкой. ДИСКОНТИРОВАНИЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ. В общем случае время t от даты учёта финансового обязательства до даты исполнения финансового обязательства произвольно и по аналогии со ставкой наращения современная стоимость будущего платежа будет иметь вид P(t) = S (1–d t/T) (2.7) где d является годовой учётной ставкой, T период времени (год), на котором определена . учётная ставка С другой стороны, t можно представить как сумму целого числа лет n и периода времени , меньшего чем год n T + , где n =1,2,3,.. целое число лет, - нецелая часть года. Тогда выражение, определяющее современную стоимость финансового обязательства за срок n T + до погашения, будет иметь вид: P(t) = S (1 – d (n + /T)) где d является годовой учётной ставкой (2.8) . Если период времени от момента учёта финансового обязательства до момента погашения финансового обязательства является целым числом лет n, т.е. = 0 выражение (2.8) будет иметь вид P(n) = S (1 – d n). (2.9) Величина дисконта к моменту учёта финансового обязательства соответственно определится как D = S - P() = S d n (2.10) и равна произведению номинала обязательства S на учётную ставку d умноженные на целое число лет n срока дисконтирования. При сроках от момента учёта финансового обязательства до момента погашения финансового обязательства меньше года выражение (2.8) принимает вид. P() = S (1 – d /T) (2.11) Величина дисконта к моменту учёта финансового обязательства соответственно определится как 26 D = S-P() = S d /T (2.12) произведение номинала на учётную ставку, умноженные на отношение срока до погашения к периоду, на котором определёна учётная ставка. Для процесса дисконтирования, с использованием годовой учётной ставки d можно ввести выражение для определения коэффициента дисконтирования L, показывающего во сколько раз современная стоимость меньше будущего платежа. По аналогии с (2.2) из выражения современной стоимости (2.8) получаем выражение L = P/S = 1/(1 – d (n + /T)) (2.13) для коэффициента дисконтирования. Очевидно, что коэффициент дисконтирования L всегда меньше единицы, поскольку современная стоимость P всегда меньше значения будущего платежа S. ПРИМЕР 1. Клиент банка приобрел вексель с дисконтом 2500 руб. за 45 дней до погашения. Каков номинал векселя, если при покупке простая учетная ставка составляла 3% годовых (365/365). Решение: Номинал векселя можно определить из выражения для определения дисконта, откуда следует, что его величина есть отношение произведения дисконта на период, где определена ставка к произведению величины учетной ставки на период до погашения векселя S = D T/d (t0 – t) = 2500 365/0,03 45 = 675 925,92. ПРИМЕР 2. Определить коэффициент дисконтирования для векселя, учтенного банком за 90 дней до погашения по простой ставке 2,5% годовых (365/360). Решение: Коэффициент дисконтирования, равный отношению учетной стоимости векселя к его номиналу, определяется выражением 1 – d (t – t0) = 1 – 0,025 90/360 = 0,25. ПРИМЕР 3. Определить время покупки векселя при простой учетной ставке 5% годовых с соблюдением требования приобрести вексель за три четверти номинала (365/365). Решение6 Коэффициент дисконтирования по данной операции равен 3/4, с другой стороны коэффициент дисконтирования равен разности единицы и произведения учетной ставки на значение срока до погашения, отнесенное к периоду T = 365 дней, на котором определена учетная ставка, т.е. 3/4 = 1 – d (t – t0)/T = 1 – 0,05 (t – t0)/365. Откуда срок до погашения в днях будет равен (t – to)/T = (1 – 3/4)/0,05 = 5 365 = 1 825 дней. Упражнения 1. Определить доход банка при погашении векселя номиналом 8 400 руб. при его учете по простой ставке 4,5% за 135 дней до погашения. Ответ:239,80 руб. 2. Годовой вексель номиналом 3 600 руб. был учтен банком в середине срока по цене 2 800 руб. Определить значение простой учетной ставки, по которой банк учел вексель. Ответ: 22,22% 3. Найти величину дисконта векселя номиналом 67 500 руб. учтенного по простой учетной ставке 6% за два с половиной года до погашения. Ответ:10 125 руб. 4. Чему равен номинал векселя, если его учли по простой ставке 4% годовых за 69 27 дней до погашения по цене 5 750 руб. Ответ:5 793,81 руб. 5. Сколько процентов от номинала потеряет вексель в 27 500 руб. при его учете за два года до погашения по простой ставке 7,5% годовых. Ответ: 15%. 6. За какой период времени дисконт векселя номиналом 61 500 руб. достигнет величины 3 050 руб. при простой учетной ставке 11,5% годовых (365/365). Ответ: 157 дней. 7. Современная стоимость векселя при простой ставке 3,8% годовых равна 3 600 руб. и t/T = 5. Какова его современная стоимость, если учетная ставка будет равна 3% . Ответ: 3 777,77 руб. 8. Сравните доходы банка при учете векселя номиналом 15 600 руб. за 402 дня до погашения при простой годовой учетной ставке 7,5% и учете векселя в 20 000 руб. за полтора года до погашения при простой годовой ставке 8,2%. Ответ: доходы во втором случае больше в 1,9 раза. 9. Чему равен номинал векселя, если дисконт за два года до погашения составил 350 руб.при простой годовой ставке 4,6%. Ответ: 3 804,34 руб. 10. По какой простой годовой учетной ставке нужно погасить вексель номиналом 6 450 руб., чтобы за три с половиной года его современная стоимость составила 2 705 руб. Ответ: 16,59%. ДИСКОНТИРОВАНИЕ m РАЗ НА ПЕРИОДЕ Если учет обязательства, согласно оговоренным условиям, осуществляется m раз в течение года (T) по годовой учетной ставке d, то рассуждая по аналогии со случаем начисления процентов m раз за период T (см. лекцию 1 (1.14), выражение (2.4) можно представить в виде P = S (1 – d k/m), (2.14) где m – число периодов дисконтирования за год T; d – годовая учетная ставка; k – число лет. ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ Для универсальности использования и удобства запоминания выражения, определяющего современную стоимость будущего финансового обязательства, выражение (2.8) используют в виде P = S (1 – d t/T), (2.15) где T – временная база учетной ставки d; t –период времени от момента, в который определяется современная стоимость P, до момента исполнения финансового обязательства S. Следует отметить, что по смыслу величина современной стоимости финансового обязательства P(t) не может быть отрицательной, т.е. финансовое обязательство S, приведенное к настоящему моменту, должно иметь ненуле28 вую цену P 0. Этот факт накладывает ограничения, например, на значения величины учетной ставки d, т.е. (1 – d (k + /T)) > 0 или d < T/t, d < 1/k, (2.16) иными словами при нарушении условий (2.16) теряется содержательный смысл выражений (2.7–2.9). Условия (2.16) определяют область допустимых значений при дисконтировании, т.е. ограничений на значение ставки d, периода T, где она определена, и величину срока t от учета до исполнения обязательства. ПРИМЕР 1. Владелец векселя номиналом 100 000 руб. учел его за 90 (360/360) дней до погашения при ставке дисконтирования 20%. Сколько получил владелец векселя? Решение: Номинал векселя 1 000 000 руб., t/T = 90/360 = 1/4 и d = 0,2. По формуле S = P (1 – d t/Т) получаем P = 1 000 000 (1 – (0,2 1/4)) = 950 000 руб. ПРИМЕР 2. Вексель номиналом 10 175 руб., погашаемый через 60 дней, продан банку, который установил 7%-ную норму дисконта. Какой будет выручка? Решение: Здесь номинал векселя S = 10 175 руб., t/T = 60/365 и простая учетная ставка d = 0,07. По формуле, определяющей современную стоимость векселя P = S (1 – d t) получаем P = 10 175 (1 – (0,07 60/365) = 10 057,92 р. ПРИМЕР 3. Клиент намеревается получить ссуду в сберегательном банке на 120 дней. Если банк начисляет проценты по ссуде по учетной ставке 6,5%, каковы расходы клиента, если он получил на руки 100 000 руб.? Решение: Нам нужно определить общую сумму долга по ссуде S в конце срока, имея следующие данные: исходная задолженность P = 100 000 руб., срок t = 120, ставка определена на периоде T =360, t/T = 1/3 и простая учетная ставка d = 0,07. Из формулы, определяющей современную стоимость общей задолженности при использовании учетной ставки d, имеем P = S (1 – d t/T), что дает выражение для определения искомой величины S = P/(1 – d t/T) = 100 000/(1 – (0,07/3)) = 97 666,67 руб. Замечание: Простой дисконт d так же как простой процент i обычно используется только для краткосрочных периодов, как правило, не превышающих года. При дисконтировании часто используют термин «норма дисконта» d (учетная ставка, процент банковского дисконта), хотя большое расхождение терминологии в различных текстах и финансовых учреждениях затрудняет временами понять, какая же норма упоминается – норма процента i или норма дисконта d. Нередко в финансовой литературе фигурирует и термин: «процент авансом», который означает банковский дисконт d, и его не следует путать с процентом (нормой процента, ставкой наращения) i, который фигурирует при операциях наращения. Упражнения 1. S = 170 000 руб., d = 5%, период – два месяца. Найти D и P. Ответ: 1416,66 руб., 16 858,33 руб. 2. S = 250 000 руб., d = 7%, период от 15 мая до 26 июля. Найти D и P. Ответ: 3 29 452,05 руб., 246 547,94 руб. 3. P = 50 000 руб., d = 6%, период от 25 мая до 2 июля. Найти L.. Ответ: 0,993 4. Вексель с суммой погашения 100 000 руб. продан при норме дисконта 3,5% за 75 дней до даты погашения. Найти дисконт и выручку. Ответ: 719,17 руб., 99 280,83 руб. 5. Найти выручку в условиях предыдущей задачи, если вместо нормы дисконта дана норма простого процента 3,5%. Ответ: 99 285,95 руб., 6. Вексель с суммой погашения 60 000 руб. 15 августа продан за 59 000 руб. 16 июня. Какая норма дисконта была использована? Какую норму процента реализовал покупатель в результате сделки? Ответ: d = 10,13%, i = 10,31%. 7. При получении товара торговец подписал вексель, обязуясь заплатить 240 млн руб. через 60 дней. Найти выручку, если поставщик продает вексель банку, который использует 6,5%-ную норму дисконта. Какую прибыль получит поставщик, если товар стоит 190 млн руб.? Ответ: 47 435 616,44 руб. 8. Инвестор ссудил 34 млн руб. и получил вексель с обязательством заплатить эту сумму плюс 7% простых процентов через 90 дней. Вексель был немедленно продан банку, который начисляет 6% банковского дисконта. Сколько заплатил банк за вексель? Какова прибыль инвестора? Какую норму процента реализует банк при погашении векселя? Ответ: 34 074 963,95 руб.,74 963,95 руб., 9,13%. 9. Банк заплатил 44 000 руб. за вексель с суммой погашения 45 000 руб. через 4 месяца. Какова норма дисконта? Ответ: 6,66%. 10. В векселе содержится обязательство выплатить 600 000 руб. и обыкновенный простой процент при норме 5,5% через 60 дней. Он был учтён при 6% банковского дисконта за 20 дней до погашения. Найти сумму погашения векселя и выручку от учёта . Ответ: 605 434,65 руб., 603 444,17 руб. 11. 1 апреля 1994 г. Через 150 дней после указанной даты я обязуюсь заплатить Иванову 275 000 руб. и обыкновенный простой процент при 6% годовых. Подпись Петров. а) найти сумму погашения и дату погашения; в) найти выручку, если расписка продана 31 мая 1994 г. при 5% банковского дисконта. Ответ: а)281 780,82 руб., 29.08.1994, в) 78 306,8 руб. 12. 1 июня 1994 г. Я, Сидоров, обязуюсь выплатить Петрову ровно 10 000 р. через 60 дней после указанной выше даты. Когда Сидоров подписал вексель, он получил 9 500 руб. Какую процентную ставку обыкновенного простого процента установил Петров? Ответ:32,01% 13. Просьба ссудить 50 000 руб. на 4 месяца поступила в банк, который использует в расчетах финансовых операций 8% учетную ставку. Определить дисконт. Чему равна выручка по ссуде. Ответ: 136,86 руб. 14. Для того, чтобы получить выручку 80 000 руб., сколько нужно попросить в банке для 8-месячной ссуды, если банк начисляет 7%-ный банковский дисконт? Ответ: 83916,08 руб. НАРАЩЕНИЕ ПО УЧЕТНОЙ СТАВКЕ Следует отметить, что с использованием учетной ставки дисконтирования d может быть решена обратная задача дисконтирования – наращение. Так из (2.9) выразим S: S = P/(1 – d /T), 30 (2.17) где соответствующий коэффициент наращения k имеет вид k = 1/(1 – d /T). (2.18) ПРИМЕР. Определить коэффициент наращения за полтора года, при величине учетной ставки 0,12. Решение: Воспользуемся (2.13) при /T = 1,5/1 = 1,5, d = 0,12, после вычислений получаем k = 1,219. Таким образом, согласно (2.17) S = P 1,219. Следует отметить, что ограничений на величину P нет. Иными словами, при данных условиях за полтора года любая сумма P вырастет в 1,219 раза. Таким образом, процессы наращения и дисконтирования можно осуществлять как с использованием ставки наращения i так и с использованием учетной ставки дисконтирования d, т.е. в каждом случае (наращения или учета) решать прямую или обратную задачи. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Под прямой задачей (наращения или дисконтирования) будем понимать процесс (наращения или дисконтирования) с использованием естественной для этого процесса ставки (наращения или дисконтирования). Под обратной задачей будем понимать процесс (наращения или дисконтирования) с использованием ставки обратного (противоположного) процесса (наращения или дисконтирования). Таблица 2.2 Исходная сумма P Современная стоимость P Прямая задача наращение по процентной ставке i S(t) = P (1 + (t/T) i) Обратная задача наращение по учетной ставке d S(t) = P/(1 – d /T) Прямая задача дисконтирование по учетной ставке d P(t) = S (1 – d /T) Обратная задача дисконтирование по процентной ставке i P(t) = S/(1 + (t/T) i) Наращенная сумма S Будущий платеж S Имея возможность реализовывать наращение или дисконтирование двумя способами, с использованием ставки наращения i или учетной ставки d, возникает естественный вопрос о сравнении темпов наращения или дисконтирования при использовании той или иной ставки. Будем считать, что результаты наращения, полученные каждым из спосо- 31 бов за период времени t, равны между собой, т.е. P (1 + (t/T) i) = P/(1 – (t/T) d), (2.19) откуда после преобразований получим соотношение между ставкой наращения и учетной ставкой (при условии d < T/t) i=d/(1–d); d=i/(1+i). (2.20) Из (2.20) следует, что при наращении для достижения одинакового финансового результата величина ставки наращения i должна быть больше, чем величина учетной ставки d, приводящей к такому же результату. Иными словами, при равенстве ставок i = d наращение по учетной ставке d происходит интенсивней, чем по ставке наращения i. ПРИМЕР 1. Определить отношение наращенных за год сумм, полученных для ставок i = d = 0,45. Решение: Для решения задачи необходимо найти соотношение коэффициентов наращения по ставкам, т.е. (1 + i) (1 – d) = (1 + 0,45) (1 – 0,45) = 0,7975. ПРИМЕР 2. Найти значение ставки дисконтирования, которая за четыре года даст увеличение исходной суммы в полтора раза. Решение: По условиям задачи коэффициент наращения по искомой ставке ранен 1,5, т.е. 1,5 = 1/(1 – d 4), откуда d = (1 – 1/1,5)/4 = 0,083. Ставка дисконтирования, дающая наращение в полтора раза за четыре года равна d = 8,3%. ВОПРОСЫ 1. Дисконт, дисконтирование. Учетная ставка. Ограничения на значение учетной ставки. 2. Дисконтирование m раз на периоде, где определена учетная ставка. 3. Дисконтирование с использованием ставки наращения, наращение с использованием учетной ставки. 4. Прямая и обратная задачи наращения и дисконтирования. Сравнение наращения и дисконтирования по простым ставкам наращения и дисконтирования. 5. Наращение по учетной ставке. 6. Дисконтирование по ставке наращения. 32 ЛЕКЦИЯ 3 НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО СЛОЖНЫМ СТАВКАМ. ОПЕРАЦИИ СО СЛОЖНОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКОЙ В отличие от случаев начисления простых процентов, где за базу начисления всегда берется исходная сумма P, в базу начисления сложных процентов в каждом последующем периоде начисления T включается сумма процентов I, начисленных в предыдущем периоде. То есть, база начисления сложных процентов, начиная со второго периода начисления, в каждом последующем периоде начисления T возрастает на величину процентов I, начисленных за прошедший период. Так, за первый период T база начисления процентов равна начальной сумме P, и начисленные на нее в первом периоде T проценты равны I1 = P ic и наращенная сумма равна S1 = P + I1 = P (1 + ic). За второй период T в качестве базы начисления сложных процентов уже выступает вся сумма S1, наращенная за первый период. Сумма S2, наращенная за второй период T будет определяется выражением S2 = S1 (1 + ic) = (P + I1) (1 + ic) = P (1 + ic)2; за третий период T, соответственно S3 = S2 (1 + ic) = P (1 + ic)3, и тогда за n периодов T Sn = Sn – 1 (1 + ic) = P (1 + ic)n, (3.1) где n – число периодов начисления; ic – ставка начисления за период T. В этом случае говорят о капитализации процентов, т.е. начисленные в предыдущем периоде процентные деньги участвуют в процессе наращения в последующем периоде в качестве одной из составляющих базы начисления процентов. 33 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: При начислении сложных процентов база начисления увеличивается на величину процентов I, начисленных в предыдущих периодах начисления T, на котором определена ставка начисления процентов ic. Величина начисленных за n периодов процентов определяется как разница наращенной Sn и исходной P сумм: I = P (1 + ic)n – P = P ((1 + ic)n – 1). (3.2) Очевидно, что величина начисленных процентов (3.2) состоит из двух составляющих: Ip – процентов, начисленных только на исходную сумму P, и «процентов, начисленных на проценты», I%: I = Ip + I%, где Ip = P ic n. Тогда само выражение I% для величины «процентов, начисленных на проценты», можно определить как разницу между величиной всех начисленных процентов I и величиной процентов, начисленных на основную сумму Ip: I% = I – Ip = P ((1 + ic)n – (1 + ic n)). (3.3) Следует отметить, что ставка начисления процентов на основную сумму ic может быть не равна ставке начисления «процентов на проценты» i%. Коэффициент наращения при начислении сложных процентов будет иметь вид k = (1 + ic)n. (3.4) НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ ЗА ПЕРИОД Рассмотрим случай, когда начисление сложных процентов осуществляется m раз в течение периода T, на котором определена ставка наращения ic сложных процентов (рис. 3.1). 0 t 1 t 2 t3 m раз tm-1 T t Рис. 3.1 На временном отрезке t1 = T/m в конце начисляются проценты I1 = (t1/T) ic. Соответственно, наращенная к концу этого периода t1 сумма равна S1 = P (1 + (t1/T) i) = P (1 + ic/m); 34 за два таких периода t2, соответственно, по правилам начисления сложных процентов S2 = S1 (1 + ic/m) = P (1 + ic/m)2, за m периодов tm = T/m Sm = P (1 + ic/m)m, а за произвольное число n периодов T S = P (1 + ic/m)m n, (3.5) где n – число периодов T с начислением сложных процентов m раз в течение периода T. Ставку наращения ic при этом называют номинальной ставкой. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ ЗА ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ОТРЕЗОК ВРЕМЕНИ В случае, когда период времени начисления сложных процентов не является целым числом периодов T, на котором определена ставка начисления ic, т.е. в (3.1) n не является целым, начисление процентов возможно двумя способами: – математический подход; – смешанный способ. В первом случае, при математическом подходе степенной показатель в коэффициенте наращения полагают дробным k = (1 + ic)y, (3.7) где y = n + /T; n – целое 1, 2, 3…, ……..., /T < 1, и вычисления проходят согласно правилам возведения в дробную степень. Следует отметить, что это формальный подход. Так, выражение (3.7) всегда можно представить как k = (1 + ic)n (1 + ic)/T, где второй сомножитель имеет степень меньше единицы /T < 1. Для этого периода начисления сложных процентов срок начисления меньше, чем период начисления T, на котором определена ставка ic. Содержательный смысл начисления сложных процентов при < T вырождается, поскольку суть начисления сложных процентов состоит в капитализации процентов, которые начисляются только по прошествии периода T. То есть выражение (3.7) для коэффициента наращения сложных процентов k имеет исключительно математический смысл. 35 Во втором случае применяют смешанный способ начисления процентов, а именно – для периода времени равного целому числу периодов начисления T, проценты начисляются согласно выражению (3.1), а для отрезка времени < T применяют формулу начисления простых процентов (1.13), т.е. S = P (1 + ic)n (1 + (/T) i), (3.8) где i – простая процентная ставка. ЭФФЕКТИВНАЯ СТАВКА НАРАЩЕНИЯ В случае когда требуется оценить интегральный эффект какой-либо операции по наращению со сложной внутренней структурой (изменение значения ставок, периодов начисления процентов и прочее) удобно использовать понятие эффективной ставки. Принято, что эффективная ставка j является сложной. Так, например, определим эффективную ставку для операции представляющей собой случай неоднократного начисления процентов за период, на котором определена ставка начисления (3.5). Приравняв выражения для получения результатов наращения для рассматриваемой операции (3.5) и выражение для наращенной суммы для сложных процентов (3.1), полагая фигурирующую в (3.1) ставку эффективной j, S = P (1 + j)n = P (1 + ic/m)m n, т.е. приводящей к такому же результату наращения. Ее величина определяется для данного примера выражением j = (1 + ic/m)m n – 1. Следует отметить, что данное выражение для значения эффективной ставки наращения сложных процентов справедливо только для рассмотренного случая (m раз начисления сложных процентов на периоде), а в каждом ином случае, при определении эффективной ставки для другой финансовой операции выражение для ее определения будет другим. В общем случае, для произвольной финансовой операции выражение для определения эффективной ставки начисления сложных процентов имеет вид j = (S/P)1/n – 1, (3.9) где P – исходная сумма рассматриваемой операции наращения; S – результирующая сумма рассматриваемой операции наращения, величина n T определяет срок рассматриваемой операции наращения; n – количество периодов T рассматриваемой операции наращения; T – период на котором определена эффективная ставка j. Выражением (3.9) удобно пользоваться для общей оценки эффективности 36 различного рода финансовых операций, для которых подробности и детали их проведения остаются недоступны, то есть оценка в режиме «черного ящика». Формула (3.9) требует только входных данных (P) и результирующих данных (S) при этом определяется основной параметр оценки финансовых операций – эффективная ставка, характеризующая доходность данной операции. ПРИМЕР 1. Определить эффективную ставку работы предприятия вложившего в бизнес 150 000 руб. и получившее отдачу от вложения в размере 250 000 руб. через два года. Решение: Исходная сумма средств Р = 150 000 руб., наращенная сумма S = 250 000 руб. срок n = 2 года. Воспользуемся выражением (3.9) j = (250 000/150 000)1/2 – 1 = 1,29 – 1 = 0,29 (j = 29%). ПРИМЕР 2. Определить эффективную ставку для пятилетнего депозита, на втором году которого простая ставка 10% увеличивается в два раза. Решение: Первоначальную сумму обозначим как P. Наращенная сумма за пять лет S = P + I1 + I2 = P(1 + 0,1 2 + 0,2 3). Тогда j = (P(1 + 0,1 2 + 0,2 3)/P)1/5 – 1 = 1,0985 – 1 = 0,0985 (j = 8,95%). ПРИМЕР 3. Определить эффективную ставку операции покупки векселя за четыре года до погашения, с простой учетной ставкой 10%. Решение: Цена покупки в данном случае является исходной сумме P = S(1 – 0,1 4), S – номинал векселя – наращенная сумма. Тогда, согласно (3.9), эффективная ставка будет равна j = (S/S (1 – 0,1 4))1/4 – 1 = 0,1362 (j = 13,62%). Упражнения 1. Найти величину депозита в 14 000 руб. при ставке сложных процентов ic = 10% за 6 лет? Овет:24 801,85 руб. 2. При какой ставке сложных процентов ic деньги удваиваются через 12 лет? Овет: 5,94%. 3. Чему равно значение сложной процентной ставки, если 10 млн руб. возросли до 25 млн руб. за 7 лет ? Овет: 25,84%. 4. При заданной ставке сложных процентов 10 млн руб. прирастают до 15 млн руб. за 10 лет. Какой будет наращенная сумма в конце 6 года? Овет:12754245,01 руб. 5. Облигация стоит 1 875 руб. и по ней выплачивается 2 500 руб. через 8 лет. Какая ставка сложных процентов обеспечит этот рост? Овет: 3,66%. 6. Найти годовую эффективную процентную ставку (норму), соответствующую ставке1,5%, при ежемесячной капитализации процентов. Овет:1,51%. 7. Сумма денег инвестируется при ставке ic = 10% на один год с квартальной капитализацией. Какая ставка простых процентов накопила бы такую же сумму в конце первого года? Овет: 10,38%. 8. 10 млн руб. инвестируются на 5 лет при норме ic = 5% с ежегодным увеличением процентной ставки на 0,5%. Какая эффективная ставка j накопит равную сумму за то же самое время? Овет:5,99%. 9. Клиент поместил на депозитный счет 1 000 000 руб. на 3 года при ставке сложных процентов 1,7% годовых. Определить доход от капитализации процентов к концу срока. Овет:870 руб. 10. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 3 000 000 руб. на срок с 5.01.2003 г. до 20.03.2005 г. при ставке сложных процентов 15% годовых. Сме37 шанным способом рассчитать проценты за пользование кредитом, используя схему 365/365. Ответ: 1059965,55 руб. 11. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 6 700 000 руб. на срок с 15.06.2004 г. до 23.09.2005 г. при ставке сложных процентов 5% годовых с ежеквартальным начислением. Рассчитать проценты, начисленные за предоставление кредита, используя схему 365/360. Ответ: 444076 руб. 12. Выдан кредит на сумму 30 000 руб. сроком с 15.01.2005 г. до 20.03.2007 г. при ставке сложных процентов 12% годовых. Рассчитать коэффициент наращения, используя схему 360/360. Ответ: 1,27. 13. Банк выдал кредит 50 000 руб. В договоре в первые полгода указана сложная ставка 20% годовых, каждые полгода ставка увеличивается на 3%, срок договора 2 года. Определить наращенную сумму за весь срок кредита. Ответ: 77444,98 руб. 14. В кредитном договоре указана сложная ставка 20% годовых, каждые два года ставка увеличивается на 1,5%, срок договора 10 лет. Определить коэффициент наращения по операции. Ответ: 4,98. 15. По окончании договора, через 90 дней после его подписания должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит был выдан под простую ставку 30% годовых. Какова величина кредита? Ответ: 931121,45 руб. 16. Что больше – доход от капитализации процентов или величина депозита при сложной ставке 19% за 8 лет? Ответ: больше доход от капитализации процентов. ВОПРОСЫ 1. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег. 2. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения. 3. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения. 4. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения. 5. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени. 6. Понятие эффективной ставки наращения. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде. ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО СТАВКЕ НАРАЩЕНИЯ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ С использованием ставки наращения сложных процентов можно решать задачу дисконтирования, т.е. задачу нахождения современной стоимости P будущего платежа S. Выражая из (3.1) значение современной стоимости будущего платежа P = S L = S/(1 + ic)n за n периодов T до заявленной выплаты S, где L = 1/(1 + ic)n – 38 (3.10) коэффициент дисконтирования. ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО СЛОЖНОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКЕ Дисконтирование по сложной учетной ставке определяется по аналогии, как и начисление сложных процентов. Пусть в конце временного отрезка T n, где T период дисконтирования, n – число периодов дисконтирования, держателю финансового обязательства выплачивается сумма S, а дисконтирование в каждом периоде T осуществляется по ставке d, определенной на этом периоде T. Тогда, за отрезок времени T до предъявления обязательства к оплате, его стоимость определяется выражением P1 = S – D1 = S (1 – dc), (3.11) где D1 = S dc – дисконт за период T. Определяя стоимость финансового обязательства S за отрезок времени, равный двум периодам T, до погашения обязательства, в качестве базы дисконтирования на втором отрезке T возьмем стоимость обязательства с учетом его дисконта за первый период T, т.е. P1. P2 = S – D2 = P1 (1 – dc) = S (1 – dc)2. Соответственно за n периодов Pn = S – Dn = S (1 – dc)n. (3.12) Выражение (3.12) определяет современную стоимость обязательства, дисконтированную по сложной ставке dc за n периодов. В случае, когда учет финансового обязательства осуществляется m раз за период T выражение для определения современной стоимости финансового обязательства за отрезок времени, составляющий n периодов T до погашения финансового обязательства, принимает вид P = S (1 – dc/m)n m. (3.13) Учетную ставку d при этом называют номинальной учетной ставкой. Коэффициент дисконтирования при этом имеет вид L = (1 – dc/m)n m. ЭФФЕКТИВНАЯ УЧЕТНАЯ СТАВКА Аналогично эффективной ставке наращения, для оценки интегрального эффекта дисконтирования, используют эффективную учетную ставку. В общем случае, выражение для определения эффективной учетной став39 ки имеет вид j = 1 – (P/S)1/n, (3.14) где P – современная стоимость финансового обязательства; S – будущий платеж по финансовому обязательству; величина n T – определяет срок до погашения обязательства; n – количество периодов T до погашения обязательства; T – период, на котором определена эффективная учетная ставка j. ПРИМЕР 1. По условию выпуска шестилетнего векселя номиналом 1 000 руб. в середине срока его простая учетная ставка величиной 4% уменьшается на три четверти. Определить эффективную учетную ставку за весь срок. Решение: Определим современную стоимость векселя. Дисконт с 3-го по 6-й год срока составит 1 000 (0,04 3/4) 3 = 90 руб., дисконт со 2-го по 3-й год составит 1 000 0,04 3 = 120 руб. Следовательно, современная стоимость 1 000 – 90 – 120 = 790 руб. Согласно (3.14) j =1 – (790/1000)1/6 = 0,324, т.е. эффективная учетная ставка для векселя с такими условиями равна j = 32,4%. ПРИМЕР 2. В условиях выпуска семилетнего векселя номиналом S = 15 400 руб. указано, что начиная с 5-го года выпуска его сложная учетная ставка величиной dc1 = 2% возрастает на 200% от первоначальной. Определить коэффициент дисконтирования эффективной учетной ставки за весь срок. Решение: Из условий задачи следует, что ставка учета векселя за два года до погашения будет равна dc2 = dc1 + dc1 2 = 0,02 + 0,02 2 = 0,06. За это время дисконт будет равен D(2) = S – S (1 – dc1)2 = 15 400 – 15 400 (1 – 0,02)2 = 609,84 руб. дисконт за оставшиеся пять лет дисконт будет равен D(5) = S – S (1 – dc2)5 = 15 400 – 15 400 (1 – 0,06)5 = 4 097,87 руб. Следовательно, современная стоимость векселя P = 15 400 – 609,84 – 4 097,87 = 10 692,29 руб. Согласно (3.14), j = 1– (10 692,29/15 400)1/7 = 0,3056, т.е. эффективная учетная ставка для векселя с такими условиями равна j = 30,56%. Упражнения 1. Определить эффективность j , операции учета векселя номиналом 10 000 руб. по простой ставке 1,5% за шесть лет до погашения. Ответ: j = 1,559% . 2. Оценить эффективность предоставленного по сделке дисконта в размере 20% при общем сроке сделки два года. Ответ: 10,55%. 3. Найти эффективную учетную ставку, если по трехлетнему векселю номиналом 150 000 руб. предусмотрен дисконт в размере 35 000 руб. Ответ: 8,47%. ВОПРОСЫ 1. Сложная учетная ставка. Процесс дисконтирования по сложной учетной ставке. 2. Эффективная и номинальная учетные ставки. 40 ЛЕКЦИЯ 4 СРАВНЕНИЕ ПРОЦЕССОВ НАРАЩЕНИЯ И ДИСКОНТИРОВАНИЯ ПО РАЗНЫМ ВИДАМ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК Рассмотренные выше два взаимопротивоположных процесса наращения и дисконтирования могут быть реализованы несколькими способами: с использованием ставок наращения или с использованием учетных ставок. Охарактеризовать все рассмотренные выше случаи наращения и дисконтирования удобно при помощи коэффициентов наращения k и дисконтирования L, которые для удобства сведем в табл. 4.1. Коэффициенты наращения, определяемые как отношение наращенной суммы S к исходной сумме P, будем обозначать К1.1, К2.1, К3.1, К4.1, а коэффициенты дисконтирования, определяемые как отношение современной стоимости обязательства P к сумме будущего платежа S, будем обозначать как L1.2, L2.2, L3.2, L4.2 в соответствии с номерами в табл. 4.1. Таблица 4.1 Способ Коэффициент наращения k с использованием простой ставки наращения i 1.1 с использованием простой учетной ставки d 2.1 с использованием сложной ставки наращения ic 3.1 с использованием сложной учетной ставки dc 4.1 Коэффициент дисконтирования L 1.2 (1+n i) 1/(1+n i) 2.2 1/(1–d n) (1–d n) 3.2 (1+i)n 1/(1+ic)n 4.2 1/(1 – dc)n (1-dc)n Следует отметить, что значения коэффициентов наращения и дисконтирования корректно сравнивать на одинаковых временных интервалах с одинаковыми величинами ставок (i = d) и только для тех значений ставок i и d, где сохраняется содержательный смысл наращиваемых или дисконтируемых величин. 41 АНАЛИЗ ЗНАЧЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ НАРАЩЕНИЯ Проведем анализ значений К1.1, К2.1, К3.1, К4.1 для трех случаев: – для случая, когда срок t проведения операции по наращению первоначальной суммы P до величины S меньше чем период T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d); – для случая, когда срок t проведения операции по наращению первоначальной суммы P до величины S равен периоду T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d); – для случая, когда срок t проведения операции по наращению первоначальной суммы P до величины S больше, чем один период T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d). В первом случае справедливо соотношение К1.1 < К2.1, (4.1) иными словами максимальное наращение (при равенстве значения ставок i = d) обеспечивает коэффициент наращения по учетной ставке d. Коэффициенты наращения К3.1, К4.1 при этом, строго говоря, не определены, поскольку срок наращения меньше периода, на котором определена сложная ставка (наращения i или дисконтирования d), по которой происходит наращение, что требует дополнительных оговорок к правилам наращения при сроках, меньших периода, на котором определена сложная ставка (см. лекцию 3). Применим формальный (математический) подход, считая в выражения для определения коэффициентов К3.1, К4.1 (см. табл. 3.1) значение n меньше единицы. С учетом этой оговорки, для n < 1 можно продолжить сравнение коэффициентов наращения по величине, при этом справедливо следующее соотношение: К2.1 < К1.1 < К3.1 < К4.1. (4.2) Для второго случая (n = 1), когда время наращения равно периоду T, на котором определены ставки i и d, коэффициенты наращения попарно равны и удовлетворяют соотношению К1.1 = К1.3 < К2.1 = К4.1. (4.3) Для случаев, когда срок t проведения операции по наращению первоначальной суммы P до величины S превосходит период T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d), по которой происходит наращение, справедливо следующее соотношение: К1.1 < К3.1 < К4.1 < К2.1, (4.4) т.е. наращение по простой учетной ставке за период времени, больший, чем период, на котором определены ставки, дает максимальный коэффициент наращения. При этом следует учитывать и ограничения, накладываемые на соот- 42 ношение характеристик наращения (1 – d n) > 0 (см. 2.11). АНАЛИЗ ЗНАЧЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИСКОНТИРОВАНИЯ Проведем такой же анализ для значений коэффициентов дисконтирования L1.2, L2.2, L3.2, L4.2. – для случая, когда срок t дисконтирования (от даты учета обязательства до даты его погашения) меньше, чем период T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d); – для случая, когда срок t дисконтирования равен периоду T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d); – для случая, когда срок t дисконтирования больше, чем один период T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d). Для случая, когда срок t от даты учета до погашения финансового обязательства меньше чем период T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d), по которой происходит дисконтирование для величин коэффициентов дисконтирования, справедливо следующее соотношение: L2.2 < L1.2, (4.5) иными словами, максимальное наращение (при равенстве значения ставок i = d) обеспечивает коэффициент дисконтирования по простой ставке наращения i. Коэффициенты дисконтирования L2.3, L2.4 и в этом случае можно определить формально, математически. Тогда все коэффициенты дисконтирования удовлетворяют соотношению: L3.2 < L2.2 < L4.2 < L3.2. (4.6) Для второго случая (n = 1), когда время наращения равно периоду T на котором определены ставки i и d коэффициенты дисконтирования попарно равны и удовлетворяют соотношению L2.2 = L4.2 < L1.2 = L3.2. (4.7) Для случаев, когда период дисконтирования превосходит период T, на котором определена ставка (наращения i или дисконтирования d), справедливо следующее соотношение L1.2 < L3.2 < L4.2 < L2.2. (4.8) ПРИМЕР 1. Найти коэффициенты наращения для следующих значений данных: Простая ставка наращения i Простая учетная ставка d Временная база ставки T 0,1 0,1 360 Сложная ставка наращения iс Сложная учетная ставка dс Число лет n 0,1 0,1 0,3 Таблица 4.2 43 Способ расчета с использованием простой ставки наращения i с использованием простой учетной ставки d с использованием сложной ставки наращения iс с использованием сложной учетной ставки dс Коэффициент наращения k 1.1 K1.1 = 1,063 (1 + n) i) 1.2 K2.1 = 1,068 1/(1 – d n) 1.3 K3.1 = 1,029 (1 +i)n 1.4 K4.1 = 1,032 1/(1 – d)n Коэффициент дисконтирования L L1.2 = 0,940 1/(1 + n) i) 2.2 L2.2 = 0,937 (1 – d n) 2.3 L3.2 = 0,972 1/(1 + i)n 2.4 L4.2 = 0,969 (1 – d)n 2.1 ПРИМЕР 2. Найти коэффициенты наращения для значений: Простая ставка наращения i Простая учетная ставка d Временная база ставки T 0,1 0,1 360 Сложная ставка наращения iс Сложная учетная ставка dс Число лет n 0,1 0,1 1 Таблица 4.3 Способ расчета с использованием простой ставки наращения i с использованием простой учетной ставки d с использованием сложной ставки наращения iс с использованием сложной учетной ставки dс Коэффициент наращения k 1.1 K1.1 = 1,1 (1 + n) i) 1.2 K2.1 = 1,1 1/(1 – d (n + /Т)) 1.3 K3.1 = 1,1 (1 + i)n 1.4 K4.1 = 1,1 1/(1 – d)n Коэффициент дисконтирования L 2.1 L1.2 = 0,90 1/(1 + n i) 2.2 L2.2 = 0,9 (1 – d n) 2.3 L3.2 = 0,972 1/(1 + i)n 2.4 L4.2 = 0,9 (1 – d)n ПРИМЕР 3. Найти коэффициенты наращения для значений: Простая ставка наращения i Простая учетная ставка d Временная база ставки T 0,1 0,1 360 Сложная ставка наращения iс Сложная учетная ставка dс Число лет n 0,1 0,1 4,3 Таблица 4.3 Способ расчета с использованием простой ставки наращения i с использованием простой учетной ставки d с использованием сложной ставки наращения iс с использованием сложной учетной ставки dс 44 Коэффициент наращения k 1.1 K1.1 = 1,433 (1 + n i) 1.2 K2.1 = 1,765 1/(1 – d n) 1.3 K3.1 = 1,1 (1 + i)n 1.4 K4.1 = 1,524 1/(1 – dс)n Коэффициент дисконтирования L 2.1 L1.2 = 0,698 1/(1 + n i) 2.2 L2.2 = 0,567 (1 – d n) 2.3 L3.2 = 0,683 1/(1 + iс)n 2.4 L4.2 = 0,656 (1 – dс)n ЛЕКЦИЯ 5 НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ. НЕПРЕРЫВНОЕ НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ССУДЫ И РАЗМЕРА ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ИНФЛЯЦИЯ Во всех рассмотренных случаях наращения и дисконтирования всегда присутствует срок проведения самой операции и период, на котором определена ставка (наращения или дисконтирования). Отметим, что требование увеличения количества начислений (для определенности будем рассматривать наращение) за срок операции, приводит к изменениям как периода начисления, так и величины ставки начисления на этом периоде (см. лекцию 3 (3.5)). S = P (1 + ic/m)m n, (5.1) где n – число периодов T, на котором определена ставка наращения сложных процентов ic; m – число начислений за период T; T/m – период начисления (см. рис. 5.1). T T/m 2T 3T Рис. 5.1 Неограниченно увеличивая число начислений m, перейдем к пределу m n m n lim P 1 i c m 1 ic m P mlim . m Находя предел, получим выражение, определяющее формулу начисления непрерывных процентов 45 S = P exp(ί n), (5.2) где коэффициент ί – характеризует скорость наращения. Коэффициент наращения, соответственно, k = exp(ί n). (5.3) Дисконтирование с использованием коэффициента скорости наращения ί определяется следующим выражением: P = S/exp(ί n). (5.4) Следует отметить, что финансовые расчеты с использованием непрерывного наращения и дисконтирования не имеет широких приложений в повседневной финансовой практике. Сфера их приложения лежит по большей части в рамках теоретических разработок и оценок глобального характера. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ССУДЫ, ВЕЛИЧИН СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТНЫХ И УЧЕТНЫХ СТАВОК До сих пор основное внимание было уделено нахождению стоимостных параметров финансовых операций: наращенных сумм S, современной стоимости P, величины процентов I или дисконта D. Однако в практике часто возникают задачи определения других характеристик, а именно сроков проведения финансовых операций t или величин применяемых ставок i, d, ic, dc. Пользуясь выражениями для наращенной суммы и современной стоимости (3.1, 3.5, 3.12, 3.13 см. лекцию 3): S = P (1 + ic)n; S = P (1 + ic/m)m n; P = S (1 – dc)n; P = S (1 – dc/m)n m, (5.5) (5.6) (5.7) (5.8) где m – число начислений за год; ic – годовая учетная ставка; dc – годовая учетная ставка; n – число лет, можно, при необходимости, получить выражения для искомых величин t, i, d, ic, dc. Например, для определения срока операции t (для простоты будем считать, что t равно целому числу лет n), воспользуемся известным определением логарифма: логарифм числа B это степень C, в которую нужно возвести основание A, что бы получить число B: ℓogAB = C или B = AC. 46 (5.9) Из выражений (5.5)–(5.8) после несложных преобразований получаем следующие выражения для определения искомых величин n для каждого из приведенных случаев: n = ℓog(S/P)/ℓog(1 + ic), n = ℓog(S/P)/m ℓog(1 + ic/m), (5.10) (5.11) n = ℓog(P/S)/ℓog(1 – dc), (5.12) n = ℓog(P/S)/m ℓog(1 – dc/m). (5.13) ПРИМЕР 1. Сколько времени потребуется для наращения исходной суммы P = 100 руб. до величины S = 250 руб. при годовой ставке сложных процентов 1) ic = 10%? 2) ic = 10% с ежеквартальным начислением процентов m = 4? Решение: Подставляя значения P, S, ic в выражения (5.10), (5.11), получаем искомые значения 1) n = 9,7; 2) n = 9,27. Полученные значения n оказались дробными, следовательно, за целое число лет указанные операции не могут быть осуществлены. Необходима интерпретация, комментарий полученных результатов, что может быть достаточно субъективно. Например, один из вариантов представления результатов может лежать на пути округления результатов. Для первого примера результат округления очевиден – n = 10, так как в этом случае фигурирует годовая ставка с периодом начисления процентов год и полученная по правилам округления величина 10 лет лежит в рамках изначально предложенных стандартных правил начисления сложных процентов. Во втором случае, следуя тем же правилам округления, результат, казалось бы, должен быть n = 9, т.е. округление произошло до ближайшей целого значения. Однако период начисления процентов в данном примере равен кварталу, т.е. 0,25 года и правильнее округлить до результата n = 9,25, т.е. девять лет и один квартал. Следует отметить, что некоторые параметры, например, количество раз начисления процентов в год (значение m из выражений (5.6), (5.8)) найти не просто, поскольку требуется решение трансцендентных уравнений относительно искомой величины m и, как правило, для нахождения применяются приближенные итерационные методы, реализация которых удобна на ЭВМ, например в рамках пользовательской программы Еxcel (см. финансовые функции). Величины же процентных ic и учетных ставок dc из выражений (5.5)–(5.8) могут быть легко определены: ic = (S/P)1/n – 1, (5.14) ic = m ((S/P)1/n m – 1), (5.15) dc = 1 – (P/S)1/n, dc = m (1 – (P/S)1/n m). (5.16) (5.17) ПРИМЕР 2. Определить величину сложной учетной ставки dc для векселя номиналом S = 200 тыс. руб. с полугодовым учетным периодом за пять лет до его погашения, если его современная стоимость составляет P = 50 тыс. руб. Решение: Для определения искомой учетной ставки dc воспользуемся выражением (5.17), где значения m = 1/2. Ответ: dc = 46,88%. Упражнения 47 1. Определить срок, за который исходный депозит в размере 15 000 руб. вырастет в два раза по величине при ставке ic = 13%. Ответ: 5,65 лет. 2. Сколько времени потребуется для достижения величины 26 500 руб. начального депозита 10 000 руб. при ставке ic = 13% с квартальным начислением процентов. Ответ: 7,97 лет. 3. Верно ли, что за 5 лет до погашения при ставке дисконтирования dc = 5% вексель номиналом 200 000 руб. будет стоить 15 000 руб.? За сколько лет до погашения данный вексель будет столько стоить? Ответ: 50,49 лет. 4. За какой срок до погашения при ежеквартальном дисконтировании по ставке dc = 15% вексель номиналом 30 500 руб. будет стоить 15 000 руб. Ответ: 1,09 лет. 5. При какой ставке сложных процентов за четыре с половиной года исходный депозит в 25 600 руб. вырастет в два раза. Ответ: 16,65%. 6. Верно ли, что удвоение исходного долга по ссуде в размере 14 700 руб. за три года осуществится при ставке ic = 15% годовых? При каком значении ставки это произойдет? Ответ: 450%. 7. Определить учетную ставку по векселю номиналом 100 000 руб. со сроком погашения 3 года, если его цена при выпуске была равна 85000 руб. Ответ: 5% 8. Современная стоимость векселя номиналом 12 000 руб. за 24 месяца до погашения составила 8 500 руб. Определить величину сложной годовой учетной ставки с условием полугодового периода учета. Ответ: 14,58%. ВОПРОСЫ 1. Сравнение коэффициентов наращения и дисконтирования при одинаковых значениях сложных и простых ставок наращения и дисконтирования. 2. Определение параметров при дисконтировании по сложным учетным ставкам: современной стоимости, срока дисконтирования, учетной ставки. 3. Определение параметров при наращении по сложной ставке: наращенной суммы, срока наращения, ставки наращения. ИНФЛЯЦИЯ Из повседневной практики видно, что одна и та же сумма денежных средств со временем имеет различную покупательную способность, т.е. на одну и ту же сумму денежных средств в различные моменты времени можно приобрести различное количество одних и тех же товаров или услуг. Это обусловлено колебаниями цен на товары и услуги. Причины колебаний цен могут иметь различную природу, например, сезонные скидки, рост цен при дефиците и падение при перепроизводстве, спекулятивные усилия игроков на рынках биржевых товаров, массовые ажиотажные ожидания, природные и климатические аномалии, перемены финансовой конъюнктуры. В том случае, когда происходит рост цен, говорят о таком явлении как инфляция. Инфляция – обесценивание бумажных денег и как следствие рост цен в денежном выражении. Иными словами, неадекватность общей товарной массы общей номинальной сумме денежных средств, причем в большую сто- 48 рону в пользу денег. Такое превышение массы денежных средств над товарной массой бывает в двух типичных случаях: при объективном уменьшении товарной массы из-за отсутствия предложения и при искусственном избыточном предложении денежных средств, что легко достигается «включением печатного станка денег». Чтобы охарактеризовать и оценить инфляционный процесс вводят количественный показатель – индекс потребительских цен (ИПЦ). Для определения индекса потребительских цен выбирается группа товаров и услуг. Величина ИПЦ определяется в соответствии с формулой Ласпейреса: Inf1/0=Σ(P0j*Q0j * P1j / P0j)/Σ(P0j*Q0j) (5.18) где: Inf1/0- сводный индекс потребительских цен в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом; P1j - цена товара (услуги) в отчетном периоде; P0j - цена товара (услуги) в базисном периоде; P0j Q0j - расходы на приобретение товара (услуги) в общих потребительских расходах населения базисного периода. Расчет ИПЦ производится с месячной периодичностью. Ежемесячно исчисляются индексы цен к предыдущему месяцу, к соответствующему месяцу предыдущего года, к декабрю предыдущего года. Ежеквартально определяются индексы цен на конец квартала к концу предыдущего квартала, к соответствующему кварталу предыдущего года, к соответствующему кварталу базисного года, к базисному году. За ряд лет расчет производится путем перемножения соответственно месячных, квартальных или годовых индексов потребительских цен. Так например по Информации Нижегородского областного комитета государственной статистики об уровне потребительских цен в Нижегородской области 2005 год индексы потребительских цен составили Месяцы 2005 г Индексы потребительских цен% (к предыдущему периоду) 102,5 101,6 105,1 101,9 100,2 100,7 100,4 99,2 Месяцы 2004 г Индексы потребительских цен % (к предыдущему месяцу) 101,92 102,34 Январь Февраль I квартал Апрель Май Июнь Июль Август 2004 год Январь Февраль 49 Март 100,77 I квартал 105,1 Апрель 100,89 Май 100,58 Июнь 101,02 I полугодие 107,8 Июль 101,44 Август 99,87 Сентябрь 99,9 Октябрь 101,6 Ноябрь 101,5 За весь 2004 г 114,3 http://www.nizstst.sinn.ru сайт нижегородского статуправления (с) Что же характеризует индекс потребительских цен? Во-первых он рассчитывается согласно перечню товаров и услуг определенному, статуправлением, который может не совпадать с товарами потребления отдельно взятого человека. Во-вторых ИПЦ вычисляется с учетом веса расходов на приобретение товара (услуги) в общих потребительских расходах населения, что так же не всегда совпадает с индивидуальными пропорциями потребления тех или иных товаров (услуг). Согласно формуле Ласпейреса индекс потребительских цен по своей сути представляет собой коэффициент увеличения (снижения) уровня потребительских цен за выбранный период времени t=t1-t0, который может быть представлен с использованием годовой ставка инфляции iинф как Inf1/0= 1+ iинф*(t1- t0)/T (5.19) где iинф- ставка инфляции, определенная на периоде T равном году. Выражение (5.19) позволяет замеряя индексы потребительских цен на периоде времени t=t1-t0 получать универсальный показатель iинф- годовую ставку инфляции удобную для количественного сравнения. iинф=(Inf1/0- 1)* T/(t1-t0) (5.20) где iинф- ставка инфляции, определенная на периоде T равном году. Например, индекс потребительских цен в январе 2004 года составил 101,92%, а в январе 2005 года составил 102,5% что соответствует годовым ставкам (годовому темпу) инфляции соответственно 23% и 30% iинф 01.2004=(1,0192- 1)* 12/1=0,23 iинф 01.2005=(1,025- 1)* 12/1=0,3 Заметим, что измерение годового темпа инфляции за один месяц (январь) это прогноз по показателям одного месяца на весь год. Что бы определить индекса потребительских цен за первый квартал 2004 год согласно принятым правилам вычисления индекса потребительских цен (см. выше) соответствующие помесячные индексы Inf1/0,Inf2/1,Inf3/2 перемножаются (!). Inf1/0, Inf2/1,Inf3/2=1,0192*1,0234*1,0077=1,051 что соответствует темпу инфляции iинф 01-03.2004=20,4% 50 iинф 01-03.2004=(1,051- 1)* 12/3=0,204 За весь 2004 год индекс цен Inf2004=114,3 ,а темп инфляции составит соответственно iинф2004=14,3%. За несколько лет t=T*n согласно принятым правилам вычисления индекса потребительских цен (см. выше) соответствующие индексы Inf2004, Inf2005 перемножаются (!) например Inf2005-4= Inf2004* Inf2005 Inf2004-5=Inf2004*Inf2005=(1+iинф2004)*(1+iинф2005) (5.21) где iинф2004- ставка инфляции, определенная в первый год, iинф2005- ставка инфляции, определенная во второй год. Очевидно, что чем выше индекс цен Inf, тем ниже покупательная способность денежных средств. Исходя из этого, вводят индекс покупательной способности денег Ip, который обратно пропорционален индексу цен Ip=1/Inf (5.22). где Inf – индекс цен за рассматриваемый период времени, Ip - индекс покупательной способности денег Информация о методике определения индекса цен приведена в Приложении №2. . УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ В РАСЧЕТАХ Очевидно, что инфляционный рост цен необходимо учитывать при анализе финансовых операций, как независимо существующий объективный фактор, поскольку он снижает покупательную способность денежных средств. Учет инфляции в финансовых операциях сводится к оценке покупательной способности средств на момент окончания финансовой операции и пересчету параметров финансовой операции. Например, годовой депозит P=100 руб. с простой ставкой i=10% годовых даёт расчётный результат S=110 руб. При индексе цен Inf=108,5% за тот же период времени фактический результат такой финансовой операции Sf=S/Inf=110/1,085=101,38 руб. Следовательно, фактическая ставка по данной операции составила if=(101,38-100)/100=1,38%. НАЛОГИ Налогообложение, как и инфляция, еще один обязательный фактор, который необходимо учитывать в финансовых расчетах. К основным характеристикам налогов относится: база исчисления налога, налоговая ставка iнал, дата уплаты налога. Поверхностный обзор налогов показывает, что при финансовых расчетах основными налоговыми платежами являются два типа налогов: налог с прибыли и налог с оборота, различающиеся друг от друга базой исчисления 51 налога. Порядок применения данных налогов со всеми подробностями не входит в рассмотрение данного курса, поэтому ограничимся рассмотрением только основных случаев. НАЛОГ С ПРИБЫЛИ Под налогом с прибыли в данной случае будем понимать удержание с сумм полученной прибыли (база исчисления налога) некоторой ее части, величина которой определяется процентной ставкой налога iнал. В операциях наращения начисленные за период размещения процентные деньги являются по своему содержанию прибылью и в силу этого подлежат налогообложению. Для случая начисления простых процентов (для простоты рассмотрим год) величина подлежащих уплате налогов определится следующим выражением: P i (1 – iнал), где P – исходная сумма депозита; iнал – ставка налога; i – годовая ставка наращения. Таким образом, величина наращенной за год суммы с учетом налогообложения примет вид S = P (1 + i (1 – iнал)), (5.23) где P – исходная сумма депозита; iнал – ставка налога; i – годовая ставка наращения. Если период t начисления процентов на депозит по годовой ставке i произвольный и налогообложение осуществляется по ставке iнал, наращенная сумма будет выглядеть S = P (1 + i (1 – iнал) t/T), (5.24) где P – исходная сумма депозита; iнал – ставка налога; i – ставка наращения; t – период начисления; T – период времени (год), на котором определена ставка i. Для случая наращения по сложной ставке ic величина начисленных за n лет процентных денег (база исчисления налога) определяется выражением In = P (1 + i)n – P, 52 (5.25) где P – сумма депозита; ic – ставка наращения; n – число лет начисления процентов. С учетом удержанных налогов величина процентов запишется следующим образом In = P [(1 + i)n – 1] (1 – iнал), (5.26) где P – сумма депозита; ic – ставка наращения; n – число лет начисления процентов; iнал–ставка налога. Следовательно, наращенная сумма будет иметь вид Sn = P [[(1 + i)n – 1] (1 – iнал) + 1], (5.27) где P – сумма депозита; ic – ставка наращения; n – число лет начисления процентов; iнал – ставка налога. Заметим, что в данном случае рассмотрена ситуация, когда налог уплачивается после возникновения прибыли, т.е. в конце n-го года, в момент получения прибыли. Однако далеко не всегда налоговое ведомство удовлетворено таким положением, оно хочет и частенько требует уплату налога не в момент получения финансового результата, а по мере его отражения в бухгалтерской отчетности, т.е. на бумаге. Рассматривая операции учета векселя, следует отметить, что прибылью в данной операции будет величина разницы между ценой приобретения векселя P1 и его учета P2. Если номинал векселя равен S, а величина учетной ставки d, то его учетная стоимость за период t до погашения будет равна P2 = S (1 – d t/T). Следовательно, величина налога будет равна [P1 – S (1 – d t/T)] iнал tнал/Tнал. НАЛОГ С ОБОРОТА Если базой начисления налога является величина оборотных средств Q за период t, как это может иметь место при упрощенном бухгалтерском учете для индивидуальных предпринимателей, то исчисление сумм налога, подлежащего уплате, по ставке iнал будет определяться выражением Rn = Q iна t/T, (5.28) где Rn – сумма налога; 53 Q – величина оборота; iнал – годовая ставка налога; t – налоговый период; T – период времени (год) на котором определена налоговая ставка. 54 ЛЕКЦИЯ 6 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРОЦЕНТНЫХ, УЧЕТНЫХ СТАВОК Поскольку процессы наращения и дисконтирования могут осуществляться с использованием простых и сложных процентных, а так же и учетных ставок возникает естественный вопрос о возможности или невозможности замены одной, например, простой ставки, на другую, скажем, сложную ставку. Если удалось найти такие значения ставок, которые допускают замену одной ставки на другую, говорят об эквивалентности ставок. То есть если ставки эквивалентны, то замена одной на другую не изменяет результата наращения или дисконтирования. Равенство результатов наращения или дисконтирования в финансовых операциях подразумевает равенство коэффициентов наращения или дисконтирования. О п р е д е л е н и е. Значения ставок наращения/дисконтирования являются эквивалентными, если их коэффициенты наращения (при наращении) или дисконтирования (при дисконтировании) равны. Таким образом, из условия равенства коэффициентов наращения или дисконтирования легко получить выражения для определения значений различных видов эквивалентных ставок (простых, сложных, дисконтирования, наращения). ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАВОК НА ОДИНАКОВЫХ ПЕРИОДАХ ВРЕМЕНИ Рассмотрим случай равенства временного периода, на котором ищутся значения эквивалентных ставок. То есть период времени, на котором ищутся значения различных по виду эквивалентных ставок один и тот же. Для нахождения эквивалентных ставок на одинаковых периодах времени воспользуемся формулами для коэффициентов наращения и дисконтирования, приведенными в табл. 6.1, которая получена аналогично табл. 4.1 (лекция 4). Таблица 6.1 55 Способ расчета с использованием простой ставки наращения i с использованием простой учетной ставки d с использованием сложной ставки наращения ic с использованием сложной учетной ставки dc Коэффициент наращения k 1.1 (1 + (n + /T) i) 2.1 1/(1 – d (n + /T)) 3.1 (1 + ic)(n + /T) 4.1 1/(1 – dc)(n + /T) Коэффициент дисконтирования L 1.2 1/(1 + (n + /T) i) 2.2 (1 – d (n + /T)) 3.2 1/(1 + ic)(n + /T) 4.2 (1 – dc)(n + /T) Полагая для простоты, что дробная часть отсутствует = 0 и, полагая число лет n произвольным, но фиксированным, разберем для примера процедуру нахождения значений эквивалентных ставок при начислении простых i и сложных ic процентов. Приравнивая коэффициенты наращения для простой i и сложной ic ставок, взятые из табл. 6.1 с учетом того, что = 0 получаем выражение, 1 + n i = (1 + ic)n, (6.1) из которого следует, что при заданном значении ставки наращения сложных процентов ic значение эквивалентной ей ставки наращения простых процентов i определяется выражением ic = (1 + n i)1/n – 1, (6.2) а значение эквивалентной ставки наращения простых процентов i через значение ставки наращения сложных процентов ic определяется выражением i = ((1 + ic)n – 1)/n. (6.3) Продолжая подобные рассуждения применительно к оставшимся коэффициентам наращения и дисконтирования, Приведенным в табл. 6.1, полученные результаты также сведем в табл. 6.2 для наращения и в табл. 6.3 для дисконтирования. Следует отметить, что в выражениях для каждого из коэффициентов наращения и дисконтирования по той или иной ставке интервалы времени (n + /T) считаются одинаковым, но произвольными, n – произвольное целое число лет, – дробная часть года. Ограничения на значения n и могут возникнуть лишь из требований выполнения условий о допустимости значений при дисконтировании (см. лекция 2). Таблица 6.2 СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ СТАВОК ДЛЯ НАРАЩЕНИЯ i= 56 1/(1 – d (n + /T)) (n + /T) ((1 + ic)(n + /T) – 1)/(n + /T) (1/(1 – dc)(n + /T) – 1)/(n + /T) d= ic = i/(1 +(n + /T) i) ((1+ic)(n+/T) –1)/(n+/T) (1 + ic)(n + /T) n T 1 n T i 1 n T 1 1 d n T 1 dc = 1 n T 1 1 n T i ((1 – dc)(n + /T) –1)/ (n + /T) (1 – dc)(n + /T) dc/(1 – dc) 1 n T 1 d n T 1 – 1/(1 + ic) Таблица 6.3 СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ СТАВОК ДЛЯ ДИСКОНТИРОВАНИЯ i= d/(1 – d (n + /T)) d= i/(1 + i*(n + ф/T)) ic = ((1 + ic)(n + /T) – 1)/ (n + /T) (1 – 1/(1 + ic)(n+/T)/ (n + /T) n T 1 i n T 1 1 n T 1 d n T 1 dc = 1 1 n T 1 I n T 1 n T 1 d n T (1/(1 – dc)(n + /T) – 1)/ (n + /T) (1– (1 – dc)(n + /T)/ (n + /T) dc/(1 – dc) ic/(1 + ic) Заметим, что приведенными табл. 6.2 и 6.3 не исчерпываются все возможные выражения для нахождения эквивалентных друг другу ставок, поскольку вне рассмотрения остались, например, случаи неоднократного начисления процентов за период T и другие ранее рассмотренные случаи наращения и дисконтирования (см. лекции 2, 3 наращение и дисконтирование m раз на периоде). ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАВОК НА РАЗНЫХ ПЕРИОДАХ Интерес так же представляют случаи, когда ставится вопрос о нахождении значений эквивалентных ставок (то есть ставок, приводящих к одинаковым результатам наращения или дисконтирования) для различных по длительности периодов времени на которых действует каждая из ставок. Примером может служить следующая задача: для операции наращения по годовой ставке простых процентов i на временном отрезке ni найти эквивалентную годовую ставку сложных процентов ic на временном отрезке nic, где ni, nic для простоты будем считать целыми числами полных лет. По аналогии с рассмотренным выше, воспользуемся определением эквивалентности ставок и приравняем для каждого периода времени ni, nic коэффициенты наращения по каждой из ставок простой i и сложной ic. Тогда согласно соотношению (6.1) получим выражение 1 ni i 1 i c in , c (6.4) 57 из которого легко можно найти значение искомой эквивалентной ставки ic i c 1 ni i 1i n 1. (6.5) c Распространяя подобные рассуждения на остальные случаи определения соотношений, выражающих эквивалентность ставок, при различных по длительности сроках ti = ni + i/T, tic = nic + ic/T, td = nd + d/T, tdc = ndc + dc/T (здесь и далее индексами ic, ic, d, dc будем обозначать временные отрезки n и , на которых действует соответствующая ставка) полученные результаты также сведем в табл. 6.4 для процессов наращения и табл. 6.5 для процессов дисконтирования. 1 i 1 t t c ic i= i (1 – (1 + ti i))/td d= ic = tic 1 ti i 1 1 1 d t 1 t 1 1 i t d t c ic tic 1 tic 1 1 t i i dc = Таблица 6.4 i d 1 1 d t d 1 1 tic 1 d t d 1 1 d t 1 1 1 d t t c dc i t c dc t ic 1 1 d t dc 1 tic 1 d 1 1 i c ti c . i= 1 1 d td 1 ti d= (1 – 1/(1 + ti i))/td ic = 1 dc = tic 1 1 t i i 1 1 tic 1 1 t i i 1 i 1 t 1 1 1 i t t c ic t c ic 1 tic 1 Таблица 6.5 d 1 d td 1 tic 1 1 ic t ic 1 1 d 1 t 1 1 d t t c dc i t c dc 1 t ic 1 dc td c i d 1 1 tic 1 d t d С использованием полученных данных из табл. 6.4, 6.5 теперь можно легко определять значения эквивалентных ставок для произвольных и различных по величине сроков t, на которых действуют рассматриваемые ставки. Рассмотрим пример: пусть свободные денежные средства, могут быть размещены на срок 3,5 года под простую ставку i = 12%. Требуется определить значение сложной ставки ic, которая за 2 года даст ту же наращенную сумму. Для решения этой задачи достаточно воспользоваться выражением (6.5) из которого, после подстановки данных и вычислений получим ic = 16,61%. Следует отметить, что в задачах о нахождении эквивалентных значений ставок с одинаковыми временными сроками операций наращения или дисконтирования можно говорить о том, что эквивалентные ставки приводят к одинаковым финансовым результатам. В то время как в задачах о нахождении эк58 вивалентных значения ставок при различных временных периодах использовать термин «одинаковый финансовый результат» некорректно. Так в рассмотренном выше примере тот же объем финансовых средств был получен раньше на полтора года при смене условий размещения исходных средств с простой ставки наращения на эквивалентную сложную ставку. Получаемый один и тот же объем денежных средств это совсем не один и тот же финансовый результат, поскольку равные по величине суммы средств были получены в разное время. Это только арифметически (бухгалтерски) одинаковый результат. В рассмотренном примере по условиям задачи он достигнут с разницей в полтора года и с точки зрения финансовой логики это более «ценный» результат, поскольку он получен раньше. Действительно, средства, полученные раньше на полтора года можно использовать снова и за полтора оставшихся года их можно приумножить. ПРИМЕР 1. Найти значение ставки простого дисконтирования эквивалентное ставке простых процентов i = 15% за 4,5 года. Решение: Коэффициент наращения по ставке наращения простых процентов i = 0,15 за 4,5 года равен (1 + 0,15 4,5) = 1,675. Коэффициент наращения за 4,5 года по простой ставке дисконтирования d определяется выражением 1/(1 – d 4,5). Из условия эквивалентности они должны быть равны, следовательно, из соотношения 1/(1 – d 4,5) = 1,675 найдем искомое значение ставки дисконтирования d = (1 – 1/1,675)/4,5 = 0,089. То есть значение эквивалентной ставки дисконтирования равно d = 8,9%. ПРИМЕР 2. Для сложной ставки дисконтирования dc = 2% действующей на периоде времени 2 года найти эквивалентную ставку простых процентов i. Решение: Коэффициент дисконтирования за два года при сложной ставке дисконтирования dc = 0,02 равен (1 – 0,02)2 = 0,9604. Коэффициент дисконтирования по простой ставке i за два года определяется соотношением 1/(1 – 2 i). Приравнивая их друг другу получаем выражение 1/(1 – 2 i) = 0,9604 из которого определяется значение искомой ставки i = 1 – 1/0,9604 = 0,0412 или i = 4,12%. ПРИМЕР 3. Сколько времени потребуется для достижения результата наращения 2,5 летнего депозита со сложной ставкой ic = 6% при использовании эквивалентной ставки дисконтирования величиной dc = 0,5%. t t Решение: Приравняем коэффициенты наращения 1 i c i 1 1 dc d c c или после t t подстановки значений (1 + 0,06)2,5 = 1/ 1 0,5dc откуда выразим 1 0,5dc = 1/(1 + 0,06)2,5 или 0,5td = 0,8444 откуда tdc = ℓog0,8444/ℓog0,5 = 0,236 лет. То есть примерно 86 c дней. Упражнения 1. Какая ставка наращения сложных процентов эквивалентна за четыре года ставке, дающей за это же срок коэффициент наращения равный 2,75.Ответ: 28,77% 2. Найти значение простой учетной ставки, эквивалентной сложной ставке наращения для трехлетней операции дисконтирования с коэффициентом дисконтирования 0,87. Ответ: 4,98% 59 3. Какой коэффициент дисконтирования даст простая ставка наращения эквивалентная сложной ставке дисконтирования в размере 2,55% на временном периоде в семь лет. Ответ: 0,83 4. Для сложной ставке наращения в 5%, действующей в течение 4 лет найти значение эквивалентное значение сложной учетной ставки для отрезке времени 3,5 года. Ответ: 5,4% 5. Каково значение простой ставки наращения эквивалентное сложной ставки дисконтирования 3% за семь лет. Ответ: 3,39% 6. За какой срок будет достигнут результат 4 летнего депозита со сложной ставкой 4% , если использовать сложную учетную ставку в вдвое меньше . Ответ: 0,72 года. 7. Определить величину простой учетной ставки с января 2003 г. по февраль 2005 г., которая эквивалентна сложной учетной ставке в 4,5% за семь с половиной месяцев. Ответ: 3,26% 8. Сколько полных лет потребуется, если использовать простую ставку наращения в 7%, что бы достичь результатов наращения по сложной учетной ставке в 11% за два года. Ответ: 3 года ВОПРОСЫ 1. Эквивалентность ставок. Случай равенства временных периодов при определении значений эквивалентных ставок. 2. Эквивалентность ставок. Случай различных временных периодов при нахождении значений эквивалентных ставок. 3. Уравнения для определения эквивалентных значений простых и сложных ставок. 4. Уравнения эквивалентности ставок для процессов наращения и дисконтирования. 5. Условие получения уравнений для нахождения эквивалентных значений ставок при наращении. 6. Условие получения уравнений для нахождения эквивалентных значений ставок при дисконтировании. 60 ЛЕКЦИЯ 7 ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ И КОНВЕРСИЯ ПЛАТЕЖЕЙ В предыдущей лекции 6 рассматривались вопросы эквивалентности друг другу различных видов (простых, сложных) ставок, используемых в финансовых операциях одного типа: наращения или дисконтирования. Естественным образом возникает вопрос «могут ли различного типа финансовые операции быть эквивалентны друг другу?» Критерием эквивалентности для финансовых операций является равенство финансовых результатов рассматриваемых операций. Понимая под финансовым результатом совокупность объема средств и момента времени их получения: «Время – деньги». Рассмотрим пример. Известен финансовый результат – получение в настоящий момент суммы в 1 000 руб. Его можно обеспечить несколькими способами, например: 1. С использованием операции наращения – предварительным размещением на год депозита в 800 руб. под ставку 25%. 2. С использованием операции дисконтирования – учетом векселя номиналом 1 250 руб. за год до его погашения по той же ставке наращения 25%. Из приведенного примера следует, что величина 1 000 руб. является сегодняшней ценой или современной стоимостью этих различных по типу операций (дисконтирования и наращения), при этом обе операции на сегодня имеют одинаковый финансовый результат, то есть эквивалентны. Поскольку каждая из финансовых операций, изначально представляет собой определенное финансовое обязательство (для рассмотренного примера – годовой депозит на 800 руб. и вексель на 1 250 руб. с погашением через год при ставке наращения 25%) появляется основание говорить об эквивалентности обязательств и сформулировать условия их эквивалентности: О п р е д е л е н и е: Два финансовых обязательства эквивалентны друг другу в данный (выбранный) момент, если в этот момент времени они имеют одинаковую современную (современную выбранному моменту времени) стоимость. Следует обратить внимание, что определение эквивалентности обязательств подразумевает знание (или задание) ставки (дисконтирование или наращения), используя которую определяется современная (или текущая) стоимость различных финансовых обязательств. Эта ставка представляет собой 61 «цену», «стоимость» тех денежных средств, которые участвуют в рассматриваемых финансовых обязательствах (см. лекцию 1). Наличие такой ставки позволяет сравнивать между собой различного рода обязательства путем сравнения их современной стоимости или сравнением их стоимости в некоторый, вообще говоря, произвольный момент времени. Поскольку любое финансовое обязательство, выражается в платеже (получении или выплате денежных средств) или ряде платежей речь фактически идет о конверсии (лат. conversio – изменение) одних платежей (согласно исходному финансовому обязательству) в другой платеж (платежи) с условием соблюдения финансовой эквивалентности. Говоря о финансовой эквивалентности всегда должно фигурировать в рассмотрении три фактора: объем средств, фактор времени и учетная/процентная ставка. Без двух последних факторов (время и ставка) понятие финансовой эквивалентности вырождается в тривиальное арифметическое равенство объемов средств. Для того, что бы прокомментировать понятие финансовой эквивалентности рассмотрим процедуру конверсии платежей, то есть процесс замены одного ряда платежей другим. Пусть задан ряд платежей Qj в моменты времени tj (значения в табл. 7.1, рис. 7.1) и годовая ставка сложных процентов iс = 0,25. Таблица 7.1 Q/t Qi (тыс. руб.) t (год) t1 100 1 t2 200 3 t3 250 4 t4 150 6 Требуется найти платеж Q0 в момент времени t0, эквивалентный заданному ряду платежей. 0 Q1 Q0 t1 t0 Q2 Q3 Q4 t2 t3 t4 t Рис. 7.1 Для этого, используя ставку iс, приведем платежи к моменту времени t0, т.е. найдем их современные стоимости для момента t0. Просуммировав современные стоимости платежей Qj получим величину эквивалентного платежа Q0. Первый из платежей Q1 по дате более ранний t1 < t0 и его стоимость к моменту t0 возрастет, поскольку эти средства могут быть размещены и принести доход 62 P1(t0) = Q1 (1 + iс)(t0 – t1)/T, (7.1) где T – период, где определена ставка iс. Следующие платежи Qj по дате более поздние t0 < tj, j =2, 3, 4, следовательно их современная моменту t0 стоимость ниже их значений. Согласно правилам дисконтирования их современная моменту t0 стоимость определяется выражением Pj(t0) = Qj/(1 + iс)(t0 – tj)/T. (7.2) Современная стоимость всех платежей в момент t0 будет равна сумме платежей (7.1 ,7.2) P = Q1 (1 + iс)(t0 – t1)/T + ∑Qj/(1 + iс)(t0 – tj)/T (7.3) и будет представлять собой эквивалентный платеж Q0 = P в момент времени t0. Поскольку момент времени t0 был выбран произвольно, рассматриваемый ряд платежей можно привести, а, следовательно, и заменить эквивалентным платежом для произвольного момента времени, например, для моментов времени t1, t2, t3, t4 (см. табл. 7.2). Таблица 7.2 P/t P1 P2 P3 P4 Q0 (tj) t1 100 128,04 128,008 49,6 405,648 t2 156,2 200 200 76,8 633 t3 195,3 250 250 96,03 791,33 t4 305,1 390,6 390,5 150 1236,2 Из таблицы видно, величина эквивалентного платежа Q0(tj) в разные моменты времени t1, t2, t3, t4 различна и, как не трудно проверить, с точностью до округления при вычислениях, возрастает согласно наращению по сложной процентной ставке iс. Следует так же отметить, что выше рассмотренный метод приведения серии платежей к одному, эквивалентному, легко позволяет привести одну серию платежей к другой серии платежей. В самом простом случае для этого достаточно исходную серию платежей объединить в группы по числу необходимых платежей и каждую группу уже известным способом отдельно приводить к эквивалентному платежу. Например, для замены четырех платежей Q1, Q2, Q3, Q4 двумя эквивалентными платежами Q5(t5) и Q6(t6), можно объединить платежи попарно, то есть для платежей Q1, Q2 найти эквивалентный платеж Q(t5), а для платежей Q3, Q4 найти эквивалентный платеж Q(t6). Заметим, что моменты времени t5 и t6 при этом могут быть выбраны по собственному усмотрению, что скажется и на величинах Q(t5), Q(t6). При эквивалентной замене нескольких платежей одним говорят о консолидации (объединении) платежей, а соответствующее уравнение (например 63 (7.3)) называют уравнением эквивалентности. В общем виде, для произвольного момента времени t, уравнение эквивалентности для сложной процентной ставки iс будет иметь вид: Q0 (1 + iс)(t – t0)/T = ∑Qj (1 + iс)(t – tj)/T, (7.4) где j – число платежей; T – период, где определена ставка iс. Поскольку момент времени t в данном случае считается произвольным, разность между (t – t0) или (t – tj) может быть как положительна, так и отрицательна. Этот знак указывает, предшествует или последует по времени соответствующий платеж моменту t, а, следовательно знак будет указывать на процесс дисконтирования или наращения, который потребуется при определении современной стоимости платежа в момент времени t. Пусть для определенности t = 0 тогда (7.4) принимает вид Q0/(1 + iс)t0/T = ∑Qj/(1 + iс)tj/T (7.5) или в случае сроков t0, tj кратных периоду T, n0 = t0/T, nj = tj/T, Q0/(1 + iс)n0 = ∑Qj/(1 + iс)nj, (7.6) где n0, nj уже целые числа. Заметим, что при нахождении эквивалентных друг другу платежей можно использовать любую из известных ставок: простую ставку наращения i, учетную ставку d, сложную ставку наращения ic, сложную учетную ставку dc. Рассмотрим пример нахождения консолидированного платежа P0(t0 = 0) для серии из трех платежей Qi (табл. 7.3) с использованием простой учетной ставки d = 10%. Таблица 7.3 Qi (тыс.руб.) t (год) 150 1 100 3 450 5 Поскольку t0 = 0 предшествует всем платежам Qi, то соответственно их современная стоимость Pi в момент времени t0 = 0 определяется согласно правилам дисконтирования (см. (2.8) лекцию 2) Pi(0) = Qi (1 – d ki), (7.7) где ki =1, 3, 5 число лет от момента платежа до момента t0 = 0; i = 1, 2, 3 номер платежа, а искомый консолидированный платеж P0(0) будет равен сумме современных стоимостей платежей Pi, т.е. уравнение эквивалентности будет иметь вид P0(0) = ∑Pi(0) = ∑Qi (1 – d ki). (7.8) Определяя соответствующие величины получаем, что консолидирован- 64 ный платеж P0 равен 430 000 руб. (см. табл. 7.4). Таблица 7.4 Q (тыс. руб.) Q1 Q2 Q3 P0 450 225 430 t (год) t1 = 1 t2 = 3 t3 = 5 t0 = 0 150 100 135 70 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА КОНСОЛИДИРОВАННОГО ПЛАТЕЖА Ели при объединении (консолидации) платежей Qi величина консолидированного платежа Q0 заранее известна, то возникает вопрос о нахождении срока t0 осуществления этого платежа. Срок осуществления консолидированного платежа можно определить из уравнения эквивалентности поскольку это единственная неизвестная в этом уравнении величина. Рассмотрим случай определения срока консолидированного платежа с использованием простой ставки наращения i. Для этого найдем сумму современных стоимостей платежей Pi и приравняем стоимости консолидированного платежа P0 для начального момента времени. Начальный момент времени заведомо предшествует всем платежам и современная начальному моменту времени стоимость любого платежа определится дисконтированием по ставке наращения. То есть, уравнение эквивалентности будет иметь вид P0/(1 + i t0/T) = ∑Pj/(1 + i tj/T), (7.9) где tj – известные, а t0 – искомый сроки платежей Pj и P0 соответственно; i – ставка наращения, определенная на периоде T. Из (7.9) следует, что срок t0 консолидированного платежа P0 равен t0 = ((P0/∑Pj/(1 + i tj/T)) – 1) (T/i), (7.10) а в случае в случае значений t0, tj, кратных величине T, n0 = t0/T, nj = tj/T выражение (7.10) принимает вид n0 = ((P0/∑Pj/(1 + i nj)) – 1) (1/i), (7.11) где nj, n0 целые числа. В заключении следует отметить, что использование сложной учетной ставки при конверсии и консолидировании платежей принципиально не отличается от вышерассмотренных случаев. 65 ПРИМЕР 1. Петров имеет два векселя, подписанные Ивановым, один с датой погашения через 3 года на 100 тыс. руб. и второй на 200 тыс. руб. – через 8 лет. Петров с Ивановым договорились, что деньги стоят iс = 6% . Если Петров получит 50 тыс. руб. сейчас, сколько должен заплатить Иванов через 5 лет, погашая весь долг? Решение: Обозначим сумму, погашаемую через 5 лет через X. Задача состоит в определении X таким образом, чтобы серия «50 тыс. рублей сейчас и X через 5 лет» была бы эквивалентна «100 тыс. руб. через 3 года и 200 тыс. руб. через 8 лет» при норме процента iс = 6% поскольку значением именно этой ставки размещения определили цену участвующих в данной финансовой операции средств. Расположим данные на временной диаграмме: 50 тыс. руб. 0 100 тыс. руб. 3 года Х 200 тыс. руб. 5 лет 8 лет t Рис. 7.2 Теперь нужно выбрать дату приведения. Может быть использована любая дата. Обычно выбирается самая поздняя. В нашем примере это 8 лет. Уравнение эквивалентности получается путем приведения всех сумм к дате сравнения с последующим приравниванием приведенных стоимостей серий рассматриваемых платежей. Это дает 50 000 (1 + 0,06)8 + X (1 + 0,06)3 = 100 000 (1 + 0,06)5 + 200 000 50 000 1,59384807 + X 1,191016 = 100 000 1,3382255 + 200 000 79 692,4035 + X 1,191016 = 133 822,55 + 200 000 79 692,4035 + X 1,191016 = 133 822,55 + 200 000 X 1,191016 = 254 130,1465 X=213 372,57 руб. В данном примере более удобной датой сравнения была бы дата выплаты платежа X, то есть 5 лет. Действительно, в этом случае уравнение эквивалентности приобретает вид X + 50 000 (1 + 0,06)5 = 100 000 (1 + 0,06)2 + 200 000/(1 + 0,06)3 X + 50 000 1,3382255 = 100 000 1,1236 + 200 000/1,191016 X + 66 912,75 = 112 360 + 168 044,6326 X = 213 491,88 руб. Что с точностью до погрешностей вычислений совпадает с предыдущим результатом. ПРИМЕР 2. При стоимости денег iс =6% для серии платежей P1 = 100 000 руб. через 66 три года и P2 = 200 000 руб. с через 4 года определить значение эквивалентных и равных друг другу платежей R через 1 год и 2 года при стоимости платежей R по сложной ставке 5%. Решение: Приведем все платежи на диаграмме 0 100 тыс. руб. R R 1 год 2 года 3 года 200 тыс. руб. 4 года t Рис. 7.3 Выберем конец четвертого года в качестве даты сравнения, хотя любая другая дата была бы также возможна. Все рассматриваемые суммы должны быть приведены к дате сравнения и приведенные суммы (современные стоимости) соответствующих серий платежей из условий эквивалентности должны быть равны, образуя уравнение эквивалентности. Поскольку платежи R предшествуют дате приведения, их стоимость будет возрастать согласно ставке, характеризующей их стоимость, то есть возрастать по сложной ставке 5%. R (1 + 0,05)3+R (1 + 0,05)2. Цена возможного размещения (стоимость) платежей 100 000 и 200 000 другая и равна iс = 6% годовых. Даты осуществления платежей 100 000 и 200 000 также предшествуют (а для 200 000 даты совпадают, равны) дате сравнения, следовательно, для определения их современной стоимости также необходимо воспользоваться наращением. При этом будем использовать уже другую, чем для платежей R ставку, а именно ставку, определяющую цену размещения платежей 100 000 и 200 000, т.е. iс = 6%. 100 000 (1 + 0,06) + 200 000 Таким образом, уравнение эквивалентности для выбранной даты приведения запишется следующим образом R (1 + 0,05)3 + R (1 + 0,05)2 = 100 000 (1 + 0,06) + 200 000 Откуда легко определить R R ((1 + 0,05)3 + (1 + 0,05)2) = 100 000 (1 + 0,06) + 200 000 R ((1 + 0,05)3 + (1 + 0,05)2) = 306 000 R 2,260125 = 306 000, т.е. после вычисления получаем R = 135 390,74 руб. Использование уравнений эквивалентности показывает, что они связывают величины трех типов: суммы погашения, даты погашения и нормы процентов (стоимости денег, выраженные ставкой их возможного размещения). До сих пор мы использовали уравнения эквивалентности только для определения неизвестных значений сумм погашения. Вместе с тем на практике уравнения эквива67 лентности используются также для определения и других составляющих: даты погашения или нормы процента. Хотя техника использования уравнений в этих случаях остается прежней, имеются некоторые особенности в деталях. Рассмотрим это на примерах. ПРИМЕР 3. Векселя номиналом в 100 тыс. руб. погашается через 5 лет и 200 тыс. руб. погашается через 10 лет. Если данные платежи стоят iс = 4%, то через сколько лет оба платежа эквивалентно заменит выплата a) 250 тыс. руб.; b) 300 тыс. руб.? Решение: a) Пусть n обозначает искомый временной интервал для консолидированного платежа 190 тыс. руб. Построим временную диаграмму всех платежей 190 тыс. руб. 0 n лет 100 тыс. руб. 200 тыс. руб. 5 лет 10 лет t Рис. 7.4 Причем предположим, что искомая дата n консолидированного платежа 190 тыс. руб. предшествует выплатам 100 и 200 тыс. руб., следовательно современные стоимости платежей 100 и 200 тыс. руб. к моменту времени n должны быть дисконтированы по ставке представляющей стоимость их размещения ic, которая является в данном случае сложной ставкой наращения. Приводя все суммы к настоящему времени n, уравнение эквивалентности для случая а) будет иметь вид 190 000 = 100000/(1 + 0,04)n + 5 + 200 000/(1 + 0,04)n + 10 190 000 (1 + 0,04)n = 100 000/(1 + 0,04)5 + 200 000/(1 + 0,04)10 190 000 (1 + 0,04)n = 100 000/1,2166 + 200 000/1,4802 190 000 (1 + 0,04)n = 82 192,71 + 135 112,83 = 217 305,54 1,04n = 1,14371 n = ℓog1,14371/ℓog1,04 n =0 ,05831/0,017033 = 3,423. Разрешая теперь это равенство относительно n, находим, что n = 3,423 лет, т.е. с учетом того, что в году 365 дней, а в месяце 30 дней после округления получаем 4 года 6 месяцев и 4 дня. b) Процедура вычислений в этом случае точно такая же, как и в случае a). Заметим, что когда серия обязательств по выплате средств заменяется единственным эквивалентным платежом, момент времени выполнения этого платежа часто называют датой эквивалентности. ПРИМЕР 4. Какая ставка простых процентов обеспечивает эквивалентность платежей в 30 000 руб., выплачиваемого через 4 года и 10 000 руб. – через 2 года, если их заменить платежом в 15 000 руб. осуществляемым через 5лет? 68 Решение: Представим исходные данные на временной диаграмме 10 тыс. руб. 2 года 30 тыс. руб. 15 тыс. руб. 4 года 5 лет t Рис. 7.5 Выберем в качестве даты сравнения конец пятого года и составим уравнение эквивалентности 30 000 (1 + i) + 10 000 (1 + 3 i) = 45 000. Для решения этого уравнения относительно i сократим обе части уравнения на 1 000, перенесем все слагаемые, зависящие от i, в левую часть и обозначим ее через f(i), тогда получим f(i) = 30 (1 + i) + 10 (1 + 3i) – 45 = 0 линейное алгебраическое уравнение, решение которого легко находится. 30i + 30i = 45 – 10 – 30 60i = 5 i = 5/60 i = 0,0833 или 8,3% Упражнения 1. Предположим, что деньги стоят i = 3%. Найти сумму средств на конец двенадцатого года, эквивалентную 20 млн. руб. в конце 4 лет. Ответ: 25,33 млн.руб. 2. Какая сумма денег на конец 4 лет эквивалентна 25 млн. руб. по окончании 9 лет, если деньги стоят i = 4,5%? Ответ: 20,06 млн.руб. 3. Найти суммы в конце 3 лет и в конце 10 лет, эквивалентные 10 млн руб. на конец 5 лет, если деньги стоят 4%. Проверить, что эти суммы эквивалентны между собой. Ответ:9,24 млн.руб., 12,66 млн.руб. 4. Найти суммы средств в конце 2 лет и в конце 8 лет, эквивалентные 20 млн руб. на конец 4 лет, если деньги стоят i = 3,5%. Проверить, что эти суммы эквивалентны между собой. Ответ: 18,67 млн.руб., 22,95 млн.руб. 5. Найти сумму средств на конец 3 лет при сложной ставке 6%, эквивалентную 10 млн. руб. с процентами за 10 лет при простой ставке i = 5%. Ответ: 9,97 млн.руб. 6. Найти сумму средств на конец 2 лет при i = 5%, эквивалентную 5 млн руб. с процентами за 8 лет при i = 4%. Ответ: 5,07 млн.руб. 7. Даны две суммы: 15 млн. руб. в конце 3 лет и 16 млн. руб. в конце 6 лет. Деньги стоят i = 4,5%. Сравнить эти суммы в настоящее время и в конце трех лет.. Ответ:15 млн. руб, 14,02 млн руб.; 13,14 млн.руб, 12,28 млн.руб. 8. Рассматриваются суммы 10 млн. руб. в конце 4 лет и 15 млн. руб. в конце 10 лет. Деньги стоят i =5 %. Сравнить эти суммы в настоящее время и в конце четырех лет.. Ответ: 8,227 млн.руб, 9,208 млн.руб.; 10 млн.руб., 11,193 руб. 9. Деньги стоят i=3%. Найти эквивалентную сумму средств в конце 5 лет для серии платежей: 10 млн. руб. через 6 лет и 20 млн. руб. через 10 лет. Ответ: 26,96 млн.руб. 10. Деньги стоят i = 5%. Найти сумму средств в конце 3 лет для серии платежей: 5 69 млн руб. через 5 лет и 8 млн руб. через 8 лет. Ответ: 10,79 млн.руб. 11. Деньги стоят i = 4%. Найти сумму средств в конце 6 лет для серии платежей: 10 млн руб. через 3 года и 15 млн. руб. через 8 лет. Ответ: 15,29 млн.руб. 12. Деньги стоят i = 6%. Найти сумму в конце 7 лет для серии платежей: 6 млн. руб. через 2 года и 9 млн. руб. через 10 лет. Ответ: 15,57 млн.руб. 13. Найти стоимость на настоящее время для следующего набора активов: 4 облигации по 1 млн руб. с датами погашения через 3, 6, 9 и 12 месяцев, если деньги стоят i = 4%. Ответ: 3,004 млн.руб. 14. Найти датированную стоимость активов на конец года для набора облигаций предыдущей задачи. Ответ: 3,12 млн.руб. 15. Найти эффективную ставку, при которой 10 млн. руб. сегодня эквивалентны 20 млн. руб. через 14 лет. Ответ: 2,43%. 16. Найти ставку i, при которой 5 млн. руб. на конец 5 лет эквивалентны 15 млн. руб. в конце 25 лет. Ответ: 5,64%. 17. Долг 10 млн. руб. нужно вернуть через 3 года. Если сегодня выплачивается 2 млн. руб. в счет долга, какая одноразовая выплата через два года ликвидирует обязательство при стоимости денег i = 6%? Ответ: 7,186 млн.руб. 18. Некто занял 50 млн. руб. сегодня при i = 5,5%. Он обещает возместить 10 млн. руб. через год, 20 млн. руб. через два года и остальное в конце третьего года. Каким будет это последнее возмещение? Ответ: 26,48 млн. руб. 19. Фермер покупает товары стоимостью 10 млн. руб. Он заплатил 2 млн. руб. сразу и заплатит на 5 млн. руб. больше через 3 месяца. Если процент начисляется на сумму неоплаченной задолженности по простой ставке i = 6%, какой должна быть заключительная выплата в конце 6 месяцев? Ответ: 6,557 млн.руб. 20. Иванов имел 10 млн. руб. на счету в сберегательном банке 10 лет назад. Сберегательный банк начисляет проценты согласно ставке i = 3%. Иванов взял со счета 2 млн. руб. пять лет назад и 3 млн. руб. два года назад. Какая сумма сегодня лежит на счету Иванова? Ответ: 6,11 млн.руб. 21. Петров делал следующие вклады в сберегательный банк, который начисляет проценты в соответствии со ставкой i = 2,25%: 10 млн. руб. пять лет назад и 5 млн. руб. три года назад. Он брал со счета 2 млн. руб. год назад и планирует взять остальную сумму через год. Какую сумму он получит? Ответ: 14,34 млн.руб. 22. Сидоров имеет 100 млн. руб. в Сберегательном банке, который начисляет проценты со ставкой i = 3% . Какие одинаковые взносы в конце каждого квартала нужно делать Сидорову, чтобы на его счету в банке через год было 300 млн. руб.? Ответ: 49,185 млн. руб. 23. Контракт предполагает платежи по 1 млн. руб. в конце каждого квартала в течение следующего года и дополнительный заключительный платеж 5 млн. руб. в его конце. Какова стоимость этого контракта наличными, если деньги стоят i = 5%? Ответ: 8,6419 млн. руб. 24. Вексель Иванова на 5 млн. руб., выданный под учетную ставку 5,5% нужно погасить через пять лет, а второй вексель на 10 млн. руб. при таких же условиях – через 10 лет. Эмитент векселей желает заплатить 2 млн. руб. сегодня и рассчитаться полностью двумя одинаковыми платежами в конце 5 лет и 10 лет при стоимости денег i = 4%. Какими будут эти платежи? Ответ: 5,919 млн.руб. 70 ЛЕКЦИЯ 8 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ Поток – экономическая величина, обладающая размерностью, характеризующаяся поочередным следованием его элементов во времени. Потоком платежей/выплат называется последовательность финансовых средств во времени. Примерами потока платежей/выплат могут служить: – погашение задолженности в рассрочку, – периодические доходы от инвестиций, – выплаты пенсий, стипендий и других социальных платежей, – любого рода, следующие друг за другом платежи или выплаты. Далее, вместо терминов платеж/выплата будем употреблять термин платеж. Общие характеристики потока платежей: – отдельный элемент потока платежей называют членом потока; – платежи следуют друг за другом и их можно пронумеровать; – время, разделяющее члены потока платежей, называют интервалом следования; – общее время осуществления платежей называется срок потока; – каждый член потока характеризуется величиной; – сумма величин всех членов потока составляет объем потока; – отдельный член потока положительный, если он увеличивает объем потока и отрицательный, если он уменьшает общий объем потока. Потоки платежей, исходя из их свойств, можно проклассифицировать на регулярные платежи, осуществляющиеся через равные интервалы и нерегулярные платежи, осуществляющиеся через произвольные промежутки времени. Постоянные по величине, положительные регулярные платежи называют финансовой рентой. Финансовая рента с интервалом в год называется аннуитетом. К основным параметрам ренты относятся размер отдельного платежа, срок ренты время от первого до последнего платежа, «цена» платежей ренты (ставка). Ренты различаются: – По частоте выплат ренты: годовые (аннуитет) выплаты осуществляются один раз в год; Р-срочные – выплаты осуществляются Р раз в году. – По величине выплат: с неизменной величиной выплат; с переменной ве- 71 личиной выплат. – По вероятности выплат: верные – с безусловной выплатой; условные – в зависимости от выполнения некоторых условий. Например, наступление страхового случая, достижение пенсионного возраста. – По количеству выплат: ограниченные ренты – конечные по сроку или числу выплат; вечные ренты – неограниченные по времени или числу выплат. Например, выплаты по бессрочным облигационным займам. – По срокам начала ренты: немедленные – реализующиеся сразу после оформления обязательств; отложенные – реализующиеся по прошествии оговоренного количества времени (погашение долга с отсрочкой). – По моменту выплаты в периоде: выплаты в конце каждого периода – постнумерандо или обыкновенные; выплаты в начале каждого периода – пренумерандо. Следует отметить, что потоки платежей, прежде всего, являются разнесенными во времени суммами денежных средств. Стоимость отдельно взятого платежа денежных средств во времени различна. Что бы учитывать в рассуждениях этот неизбежно присутствующий фактор времени и адекватно характеризовать поток денежных средств с точки зрения финансовой логики необходимо определиться (задать) со ставкой (чаще наращения, реже дисконтирования). По финансовому смыслу эта ставка характеризует величину дохода от размещения рассматриваемых денежных средств и представляет собой стоимость (цену размещения) рассматриваемых денежных средств как капитала. С учетом вышесказанного, ренты, характеризующиеся ставкой, могут подразделяться в зависимости от способов начисления процентов по вышеуказанной ставке. Поскольку рента представляет собой долгосрочный (многолетний) поток платежей ставка, как правило, является сложной (с капитализацией процентных денег). В финансовой литературе начисление процентов на члены ренты подразделяют по частоте начисления процентов, а именно ренты с ежегодным начислением процентов и ренты с начисление процентов m раз в году. Очевидно, что в общем случае, момент осуществления выплат и момент начисления процентов могут не совпадать, как, например, Р-срочная рента с ежегодным начислением процентов или аннуитет с начисление процентов m раз в году. ОБОБЩАЮЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОТОКОВ ПЛАТЕЖЕЙ В практических случаях анализ потоков платежей сводится к нахождению одной из двух обобщающих характеристик: – наращенной суммы – суммы всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами; – современной стоимости потока платежей – суммы всех членов потока платежей дисконтированных к началу срока. 72 Пусть имеется k платежей Rj(tj), выплачиваемых спустя время t1 после некоторого начального момента времени t0, окончание же операции tz рис. 8.1. t0 R1 R2 R3 t1 t2 t3 Rk tk tz t Рис. 8.1 Общий срок потока (tk – t1), где t1 и tk – время осуществления первого и последнего платежа соответственно. Определим на конец срока всей операции tz наращенную сумму S и современную моменту времени t0 стоимость потока платежей A, если проценты начисляются по сложной годовой ставке iс один раз в год T. По определению наращенная к моменту времени tz сумма S будет определяться выражением (см. (3.1) лекцию 3) S R j t j 1 i c nj , (8.1) где nj = (tz – tj)/T для простоты будем считать их целыми числами; j = 1, 2, 3,… ..., k – порядковые номера платежей. Современная моменту времени t0 стоимость потока платежей A будет определяться как (см. (2.1) лекцию 2) A R j t j 1 ic j , n (8.2) где nj = (tj – t0)/T, j = 1, 2, 3, ...…, k. Выражения (8.1, 8.2) представляют прямой способ определения наращенной (к моменту времени tz) суммы S и современной (моменту времени t0) стоимости A потока платежей Rj(tj), который применим для произвольного потока платежей. Не трудно видеть, что наращенная сумма S и современная стоимость A потока платежей также связаны между собой соотношениями S = P (1 + ic)n, A = S/(1 + ic)n, (8.3) (8.4) где n = (tz – t0)/T. Наращенная к моменту времени tz сумма потока платежей S является на73 ращением к моменту времени tz современной стоимости потока платежей A (8.3) и, соответственно, современная моменту времени t0 стоимость потока платежей A есть диcконтированная к моменту времени t0 наращенная к моменту времени tz сумма потока платежей S (8.4). Чтобы убедиться в этом, достаточно выражение (8.1), (8.2) умножить на (1 + ic)n/(1 + ic)n, перегруппировать сомножители и преобразовать показатели степени, например для (8.1) : S R j t j 1 ic j 1 ic n n S 1 i c n R j t j 1 i c 1 ic n , n j n , n j n t z t j T t z t 0 T t 0 t j T , t S 1 i c n R j t j 1 i c 0 t j S 1 ic R j t j 1 ic t0 t j T n T , A 1 ic . n Обобщающие характеристики потока платежей наращенная сумма S и современная стоимость A являются ключевыми параметрами потока платежей широко применимыми в финансовых расчетах. Так нахождение величин наращенной суммы S или современной стоимости A требуется для измерения эффективности инвестиционного проекта, сравнения условий контрактов, составления графика погашения задолженности и многих других практических задач некоторые из которых будут рассмотрены дальше. В качестве очевидного примера можно привести вариант экспресс-оценки инвестиционной емкости проектов. Если для каждого из проектов определить величины современной стоимости планируемых затрат, то путем простого количественного сравнения полученных величин легко определить наименьший, а следовательно и выбрать наименее затратный проект. ПОСТОЯННЫЕ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО Рассмотрим пример. В течение n лет, в конце каждого года осуществляются равновеликие взносы R (см. рис. 8.2). «Цена» на которые по сложной ставке ic ежегодно начисляются проценты, то есть имеется рента постнумерандо с величиной выплаты равной R, со сроком ренты n лет. 0 74 R R R 1 2 3 R 4 R n Рис. 8.2 С учетом процентов, начисленных к концу последнего года n, будем иметь следующий ряд Rn денежных средств R1 (1 + ic)n-1, R2 (1 + ic)n-2, R3 (1 + ic)n-3,…… ..., Rn, (8.5) переписав его в обратном порядке и вынося общий сомножитель R, получим в скобках геометрическую прогрессию R [1, q, q2,q3,… ..., qn-1], (8.6) где q = (1 + ic) – знаменатель прогрессии. Сумма последовательности (8.5) по определению представляет собой наращенную сумму S рассматриваемой ренты S = ∑Rn (1 + ic)n = R ∑(1 + ic)n или с учетом обозначений из (8.6) S = R ∑qj, (8.7) где j = 0, 1, 2, ...…, n-1. Следовательно, для ее нахождения достаточно найти сумму геометрической прогрессии. Докажем методом индукции, что для любого значения n справедливо следующее равенство (при условии q отличным от 1) 1 + q + q2 + q3 + …... + qn-1 = (qn – 1)/(q – 1). (8.7) Доказательство методом математической индукции сводится к проверке справедливости выражения (8.7) для первых двух значений n = 1, 2, предположения, что (8.7) справедливо для произвольного n = k и доказательству справедливости (8.7) и для n = k + 1, рис. 8.3. n=1 (8.7) справедливо пусть k = n и (8.7) справедливо если показать, что при k = n + 1 (8.7) справедливо да, доказано нет, не доказано Рис. 8.3 Так при n = 1 подстановкой в (8.7) получаем, что 1 = 1 – первое условие доказательства выполняется. При n = k согласно (8.7) получаем равенство (8.8), 75 которое далее будем считать справедливым 1 + q = (q2 – 1)/(q – 1) = (q + 1)*(q – 1)/(q – 1) = (q + 1). При n = k согласно (8.7) получаем равенство, которое далее будем считать справедливым 1 + q + q2 + q3 + …... + qk-1 = (qk – 1)/(q – 1). (8.8) При n = k + 1 из (8.6) следует выражение, справедливость которого собственно и необходимо показать 1 + q + q2 + q3 + ... + qk-1 + qk = (qk+1 – 1)/(q – 1). Согласно (8.8) его можно переписать как (qk – 1)/(q – 1) + qk = (qk+1 – 1)/(q – 1), (8.9) а после приведения к общему знаменателю (8.9) получим соотношение (qk – 1) + (q – 1) qk = (qk+1 – 1), из которого после раскрытия скобок, получаем равенство (qk +1 – 1) = (qk+1 – 1), что и требовалось показать. Таким образом, справедливость (8.7) доказана. С учетом доказанного выше выражение (8.6), определяющее наращенную сумму S рассматриваемой ренты, принимает вид S = R (qn – 1)/(q – 1), (8.10) где q = (1 + ic) – знаменатель геометрической прогрессии рассматриваемой ренты. Современная стоимость A рассматриваемой ренты согласно (8.4) и (8.10) будет определяться выражением A = S/qn = R (qn – 1)/(q – 1) qn. (8.11) Таким образом, зная величину R какой либо постоянной ренты постнумерандо, ее срок (n лет) и знаменатель ее геометрической прогрессии q с помощью выражений (8.10), (8.11) можно найти обобщающие характеристики ренты – наращенную сумму S и современную стоимость A для нужд дальнейшего анализа. РЕНТА ПОСТНУМЕРАНДО С НАЧИСЛЕНИЕМ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕСКОЛЬКО РАЗ ЗА ПЕРИОД Рассмотрим ежегодную ренту постнумерандо исходной величиной Q с начислением процентов m раз в год по сложной годовой ставке ic (рис. 8.4). 76 Требуется определить обобщающие характеристики – ее современную стоимость A и наращенную сумму S за n лет. Q 0 t1 ……… m раз …… … ... t2 tm-1 Q T tm+1 …… … ... t2m-1 Q 2T t2m+1 …… … ... tkm-1 nT t Рис. 8.4 Число членов ренты равно n, на величину Q каждого из них m раз в год постнумерандо, начисляются проценты по сложной годовой ставке ic, то есть каждый из членов ренты, согласно правилам начисления процентов m раз в год по сложной годовой ставке ic (см. (3.5) лекция 3) равен сумме исходной величины Q и начисленных m раз в год процентов Rj = Q (1 + ic/m)m, где j = 1, 2, 3, …..., n. (8.12) То есть рента представляет собой ряд денежных средств (рис.8.5) величиной (8.12). R1 0 Rn R2 T 2T … … ... nT t Рис. 8.5 Ряд денежных средств Rn, представляющий исходную ренту Q с учетом m раз в году начисленных процентов, будет иметь вид: R1 (1+ic/m)n-1, R2 (1+ic/m)n-2, ..., Rn-1 (1+ic/m)m, Rn (8.13) с учетом (8.12) Q (1 + ic/m)m (1 + ic/m)n-1, ..., Q (1 + ic/m)m (1 + ic/m)m, Q (1 + ic/m)m (8.14) или переписав в обратном порядке приходим к виду, аналогичному (8.6) Q (1+ic/m)m [1, q, q2, q3, … ,qn-1], (8.15) где q = (1 + ic/m) – знаменатель прогрессии. Теперь остается воспользоваться формулами (8.10), (8.11) для нахождения искомых величин наращенной суммы S и современной стоимости A ренты. 77 S = Q (1 + ic/m)m (qn – 1)/(q – 1), (8.16) A = S/qn = Q (1 +ic/m)m (qn – 1)/(q – 1) qn, (8.17) где q = (1 + ic/m). РЕНТА «P-СРОЧНАЯ» Рента, платежи по которой осуществляются несколько раз в году, называется p-срочной рентой (рис. 8.6). Единичная величина выплаты такой ренты равна Q/p, где Q соответственно величина выплат за год. Проценты по годовой ставке сложных процентов ic могут начисляться как раз в год в конце года (период начисления T), так и m раз в год в конце каждого из периодов T/m. Рассмотрим случай когда период начисления процентов T/m совпадает с периодом осуществления платежей T/p, то есть m = p. Q/p p раз 0 …… … начисление m раз ... T …… … ... 2T …… … ... nT t Рис. 8.6 Общее число членов ренты равно p n, где n количество лет, определяющее срок ренты, p – число платежей в год. На величину каждого платежа Q/p на каждом отрезке времени T/p начисляются проценты, проценты при этом начисляются по годовой сложной ставке ic. Требуется определить обобщающие характеристики – современную стоимость A и наращенную сумму S ренты за n лет. Для того, что бы воспользоваться предыдущими результатами для нахождения величин наращенной суммы и современной стоимости, искомую величину S необходимо представить сумму всех выплат с учетом начисленных по ставке ic сложных процентов в виде геометрической последовательности (подобно 8.6 или 8.15). При этом возникает вопрос о порядке начисления процентов по сложной ставке ic за некратные величине T периоды времени T/p. Так, для первого платежа полный период начисления процентов составляет величину n T–T/p, то есть проценты на первый платеж будут начисляться (n T– T/p)/( T/p )= n p–1 раз. Для второго платежа полный период начисления процентов составляет n T–2T/p, следовательно число начислений процентов будет равно n p–2 раз, для третьего - n T–3T/p, число начислений процентов n p–3 раз и так далее , наконец, для предпоследнего платежа период начисления процентов T/p и проценты начисляются один раз (см. рис. 8.5). 78 Начисление процентов по сложной ставке за периоды некратные периоду на котором определена ставка предполагает (см. лекцию 3 раздел Начисление сложных процентов за произвольный отрезок времени) выбор способа начисления (математический подход, смешанный способ), а следовательно и обоснования выбора того или иного способа. Избежать проблем выбора и последующих неизбежных рассуждений в обоснование применительно к данной задаче (нахождения величин A и S) возможно проделав следующие предварительные рассуждения. Введем в рассмотрение ставку сложных процентов iР, определенную на временном отрезке T/p = T/m (поскольку m = p). Из условия эквивалентности результатов наращения по ставкам iР и ic за период T справедливо соотношение, которое связывает значение ставки iР со ставкой ic. (1 + iР)p = (1 + ic) или (1 + iР) = (1 + ic)1/Р. (8.18) В дальнейшем мы будем использовать выражение (8.18) при нахождении величин S и P. Используя введенную ставку iР найдем наращенную по этой ставке iР сумму рассматриваемой ренты (рис.8.5) (Q/p) (1 + iР)n P-1+(Q/p) (1+iР)n P-2 + ... + (Q/p) (1 + iР) + Q/p, а с учетом ранее полученного соотношения между ставками iР и ic (8.18) получаем (Q/p) [(1 + iс)(n P–1)/P + (1 + iс)(n P–2)/P + …... + (1 + iс)1/P + 1], перегруппируем полученное выражение к виду (Q/p) [1 + (1 + iс)1/P + ... …+ (1 + iс)(n P–2)/P + (1+iс)(n Pm–1)/P], (8.19) выражение (8.19) можно представить в виде подобном (8.6) или (8.15) (Q/p) [1, q, q2, q3,… …..., q(n*P–1)], (8.20) где q = (1 + iс)1/P – знаменатель геометрической прогрессии стоящей в квадратных скобках; m n – число членов геометрической последовательности. Теперь для нахождения искомых величин S и P воспользуемся соотношениями (8.10), (8.11) S = (Q/p) (qn P – 1)/(q – 1), A = S/qn P = [(Q/p) (qn P – 1)/(q – 1)]/qn P, (8.21) (8.22) где q = (1 + iс)1/P – знаменатель геометрической прогрессии (8.20); p – число выплат ренты на периоде T, которое по условиям нашей задачи равно m. С учетом сказанного после преобразований (8.21) (8.22) будет иметь вид S = (Q/p) ((1 + iс)n – 1)/((1 + iс)1/P – 1)), (8.23) A = [(Q/p) ((1 + iс)n – 1)/((1 + iс)1/P – 1)]/(1 + iс)n . (8.24) 79 Приведенным выше алгоритмом, определяя знаменатель соответствующей геометрической прогрессии, задачу нахождения наращенной суммы S и современной стоимости A ренты можно применять к различного рода рентам простнумерандо с различно рода способами начисления сложных процентов. Q/p p раз 0 …… … ... T …… … ... Рис. 8.7 2T …… … ... nT t ВОПРОСЫ 1. Наращение, процентные деньги, процентная ставка, коэффициент наращения. 2. Временная база процентной ставки. Различия в определении годовой базы. Правила исчисления дней в году и времени операции. 3. Наращение по правилу простых процентов. База начисления простых процентов. Коэффициент наращения при наращении по правилу начисления простых процентов. 4. Начисление простых процентов за произвольный период времени. 5. Начисление простых процентов m раз на периоде временного основания простой ставки наращения. 6. Начисление простых процентов при изменяющейся ставке. Коэффициент наращения. 7. Начисление простых процентов при изменении базы начисления, процентное число, процентный делитель. 8. Погашение задолженности по частям. Методы погашения задолженности с промежуточными платежами. 9. Актуарный метод погашения задолженности с промежуточными платежами. 10. Правило торговца при погашении задолженности. 11. Отличие актуарного способа погашения задолженности частями от правила торговца. 12. Дисконт, дисконтирование. Учетная ставка. Ограничения на значение учетной ставки. 13. Дисконтирование m раз на периоде, где определена учетная ставка. 14. Дисконтирование с использованием ставки наращения, наращение с использованием учетной ставки. 15. Прямая и обратная задачи наращение и дисконтирования. Сравнение наращение и дисконтирования по простым ставкам наращения и дисконтирования. 16. Наращение по учетной ставке. 17. Дисконтирование по ставке наращения. 18. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег. 19. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения. 20. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения. 80 21. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения. 22. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени. 23. Понятие эффективной ставки. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде. 24. Сложная учетная ставка. Процесс дисконтирования по сложной учетной ставке. 25. Эффективная и номинальная учетные ставки 26. Эквивалентность ставок простых и сложных, наращения и дисконтирования. Уравнения для определения значений эквивалентных ставок. 27. Сравнение коэффициентов наращения и дисконтирования при одинаковых значениях сложных и простых ставок наращения и дисконтирования. 28. Определение параметров при дисконтировании по сложным учетным ставкам: современной стоимости, срока дисконтирования, учетной ставки. 29. Определение параметров при наращении по сложной ставке: наращенной суммы, срока наращения, ставки наращения. 81 ЛЕКЦИЯ 9 ПОГАШЕНИЕ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ Задолженность – подлежащие уплате, но еще не уплаченные суммы денежных средств. При рассмотрении задолженности в количественном ее анализе преследуются три цели: 1. Создание плана погашения займа, адекватного условиям его предоставления заемщику. 2. Оценка стоимости долга с учетом всех источников его погашения, а также состояния рынка кредитов. 3. Анализ эффективности (доходности) финансовой операции займа для кредитора. Достижение первой из целей заключается в составлении плана погашения задолженности, то есть разработки графика платежей заемщика по погашению долга. График погашения долга представляет собой расходы на обслуживание долга, которые несет заемщик. Эти расходы распределены во времени в течение срока погашения задолженности. Расходы по обслуживанию долга имеют структуру, а именно состоят из: – платежей в погашение текущих процентов, уплата которых предусмотрена условиями предоставления займа; – платежей в погашение суммы предоставленных в заем средств или «тела» займа. Например. Банком выдан кредит на один год в размере 100 тыс. руб. под 10% годовых простых процентов. Таким образом, общая задолженность составит 110 тыс. руб. Если условия погашения предусматривают выплату задолженности одним платежом в конце тогда 100 тыс. руб. – это платеж в погашение «тела» долга, а 10 тыс. руб., оставшейся задолженности – платеж в погашение процентов за предоставленный кредит. В рассмотренном примере погашение общей задолженность в размере 110 тыс. руб. условиями предоставления кредита осуществляется единым платежом, состоящим из двух компонент. Такой способ погашения не всегда удобен как заемщику, так и кредитору. Заемщику может быть трудно осуществить такой масштабный единый платеж да и кредитору спокойней когда погашение выданного кредита осуществляется не дожидаясь финальной даты. Таким образом, как со стороны заемщика, так и кредитора возникает объективная необ82 ходимость в срочных уплатах, т.е. выплатах в погашение задолженности в течение всего срока займа. Не трудно догадаться, что на определение величин и сроков выплат срочных уплат могут влиять различные условия. Например, такие как: – общий срок займа; – уровень и вид процентной ставки по задолженности; – порядок уплаты процентов и сумм в погашение основного долга; – наличие и величина «льготного» периода. «Льготный» период – это период когда основной долг не погашается, и расходы по обслуживанию долга в этот период состоят или из уплаты текущих процентов или вовсе отсутствуют, что бывает реже. Заметим, что в долгосрочных займах проценты обычно выплачиваются в течение всего срока займа, а основной долг может выплачиваться одним платежом, но, как правило, условиями предусмотрена выплата основного долга в рассрочку. Введем обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем: D – сумма основного долга/займа; Y – срочная уплата, расходы по обслуживанию долга; I – проценты по займу, процентные деньги; Q – расходы на погашение основного («тела») долга; g – процентная ставка по займу; n – общий срок займа; L – продолжительность льготного периода. Как следует из вышесказанного, расходы по обслуживанию долга Y равны сумме средств процентных денег по займу I и расходов Q в погашение основного («тела») долга. Y = I + Q. (9.1) В том случае, когда рассматривается «льготный» период в расходах по обслуживанию долга Y будет отсутствовать компонента R- суммы в погашение «тела» основного долга Y = I. (9.2) ПОГАСИТЕЛЬНЫЙ ФОНД Если по условиям займа должник обязан вернуть сумму долга в виде разового платежа в конце срока, то должник для обеспечения этих условий должен предпринять соответствующие меры, т.е. накопить необходимую сумму или создать погасительный фонд. Погасительный фонд создается из последовательных взносов, которые, вообще говоря, могут быть инвестированы на сроки, не превышающие дату осуществления разового платежа в погашение задолженности по займу. Например, для создания погасительного фонда открывается депозитный счет, по которому на сумму депозита начисляются не83 которые проценты. Существуют несколько способов создания накопительного фонда. 1. Постоянные взносы в погасительный фонд. Рассмотрим пример. Пусть есть долг D, подлежащий возврату с процентами по простой ставке g через n лет единым платежом рис. 9.1. D (1+n g) n 0 Рис. 9.1 Должником на создание погасительного фонда предусмотрены ежегодные платежи R ,на которые начисляются проценты по сложной ставке наращения ic рис. 9.2. R R R R R R R n 0 Рис. 9.2 Сумма всех платежей R с учетом процентов, начисленных по ставке ic к концу срока займа n, составит погасительный фонд, который должен быть равен задолженности D с учетом процентов, начисляемых на задолженность D по ставке g за весь срок займа. D (1 + n g) = R (1 + ic)n-1 + R (1 + ic)n-2 + R (1 + ic)n-3+ ... …+R. (9.3) Правая часть выражения (9.3) представляет собой геометрическую прогрессию, следовательно (см. лекцию 8 (8.10)) выражение (9.3) можно представить в виде D (1 + n g) = R (qn – 1)/(q – 1), (9.4) где q = (1 + ic) – знаменатель геометрической прогрессии. Из выражения (9.4) при заданной величине платежей R можно определить, например, значение ставки наращения ic, которая позволяет создать необходимый погасительный фонд и по ее значению подобрать нужную финансовую операцию. Причем следует отметить, что нахождение значения ставки наращения ic в этом случае не является простой задачей и потребует больших математических знаний. А если ставка финансовой операции ic заранее известна, что бывает чаще, 84 из (9.4) можно определить величину ежегодных взносов R, которые к концу срока задолженности обеспечат необходимую величину погасительного фонда. R = D (1 + n g) ic/((1 + ic)n – 1). В том случае, когда взносы R не являются одинаковыми по величине, то для нахождения, например ставки наращения ic следует воспользоваться выражением (9.3). ПОГАШЕНИЕ ДОЛГА В РАССРОЧКУ Погашение долга частями (в рассрочку) называется амортизация долга. Амортизация долга это оплата займов (или облигаций) посредством регулярных платежей, как правило, по долгосрочным кредитам. Существуют как минимум два способа амортизации долга: 1) основной долг погашается равными платежами; 2) вся задолженность погашается равными платежами. 1. Погашение основного долга равными долями Пусть есть задолженность размером D, выданная на n лет под ставку простых процентов g. По условиям контракта погашение основного долга D должно осуществляться ежегодно равными долями D/n (рис. 9.3), а ежегодно начисляемые на текущую задолженность проценты I уплачиваются единым платежом в конце срока. График задолженности заемщика по основному долгу будет иметь ступенчатый вид (рис. 9.4) и представлять собой последовательность со значениями: D, (D – D/n), (D – 2D/n),… ..., D (1 – (k – 1)/n),… ..., D (1 – (n – 2)/n), D (1 – (n – 1)/n). (9.5) D/n D/n D/n D/n n 0 Рис. 9.3 D D/n D/n D/n D/n n 85 Рис. 9.4 Величина «простых» процентов I, начисленных за весь срок ссуды будет равна сумме процентов, начисленных на периодах времени, где база начисления процентов не изменяется (см. Лекцию 1), т.е. будет определяться следующим выражением: I = g D + (D – D/n) + ... …+ D (1 – (n – 2)/n) + D (1 – (n – 1)/n). (9.6) Таким образом, теперь известны все значения, по которым можно составить график погашения задолженности, отвечающий условиям предоставления ссуды (табл. 9.1). Таблица 9.1 Выплаты по: – основному долгу – процентам Итоговые платежи 1 год D/n 2 год D/n 3 год D/n D/n D/n D/n n = 4 год D/n I I + D/n Изменим условие выплаты процентов по задолженности. Будем считать, что проценты должны выплачиваться ежегодно. Таблица выплат, определяющая график платежей будет иметь вид (табл. 9.2): Таблица 9.2 Выплаты по – основному долгу – процентам – итоговым платежам 1 год D/n 2 год D/n 3 год D/n n = 4 год D/n gD D/n + g D g (D – D/n) D/n + g (D – D/n) g (D – 2D/n) D/n + g (D – 2D/n) G D (1 – (n– 1)/n) D/n + g D (1 – (n – 1)/n) Пусть в исходной задаче условием предоставления ссуды предусмотрен льготный период k = 2 года, когда платежи по погашению основного долга отсутствуют, а проценты выплачиваются ежегодно. График задолженности по основному долгу изменится (первые два года первоначальная задолженность неизменна) соответственно неизменна и база начисления процентов в льготном периоде, а после его прошествия база начисления процентов изменяется согласно произведенным выплатам в погашение основного долга. С учетом этих изменений платежи по погашению задолженности будут определяться данными из табл. 9.3. Таблица 9.3 86 Выплаты по – основному долгу – процентам – итоговым платежам 1 год k = 2 год gD gD gD gD 3 год D/(n – k) g (D – D/(n – k)) D/(n – k)+ +g (D – D/(n – k)) n = 4 год D/(n – k) g D (1 – (n – k – 1)/(n – k)) D/(n – k) + g D (1 – (n – k–1)/(n – k)) Рассмотрим случай, когда в условиях исходной задачи (задолженность размером D, выдана на n лет под ставку g, погашение основного долга D – осуществляется ежегодно равными долями D/n, а ежегодно начисляемые на текущую задолженность проценты I уплачиваются единым платежом в конце срока) ставка g, по которой начисляются проценты за предоставление ссуды, является сложной. График задолженности по основному долгу останется прежним рис. 9.4. Однако величина процентов, уплачиваемых в конце срока, будет определяться по правилу начисления по сложной ставке, то есть с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды. Рассмотрим последовательно начисление процентов по сложной ставке для каждого года. Величина процентов, начисленных за первый год по сложной ставке g, будет равна I1 = g D. Во втором год величина «тела» основного долга уменьшится за счет первой выплаты D/n и будет равна D-D/n. При этом, согласно правилам начисления сложных процентов база начисления процентов по сложной ставке g должна увеличится на величину процентов I1 = g D, начисленных в первый год. То есть ее величина будет равна D – (D/n) + I1. Следовательно, проценты, начисленные за второй год, будут равны I2 = g D – (D/n) + I1. В произвольный k-й год база начисления сложных процентов будет состоять из k-го значения задолженности по «телу» долга, т.е. D – (k – 1) (D/n) и процентов Ik-1, начисленных за все предыдущие (k – 1) лет Ik-1 = g D – (k – 2) (D/n) + I1 + I2 + I3+… ... + Ik-2. Завершая рассмотрение первого способа амортизации долга заметим, что основным свойством является требование одинаковости платежей в погашение основного долга, а способы начисления и время выплаты процентов по задолженности при этом могут быть различными и отличаться большим разнообразием. 2. Амортизация долга равными платежами Рассмотрим вопрос о погашении всей задолженности, состоящей из основного тела долга D и начисленных по долгу процентов I, регулярными и равными по величине платежами Qn. Вопрос о величине выплаты Qn в погашении долга не так очевиден, как это может показаться. Будет совершенно неправильным определить задолженность на конец срока (ссуда плюс начисленные проценты) и разделить на число платежей, которыми должна быть погашена задолженность. Действительно, каждый платеж должен содержать в себе два компонента: 87 часть в погашение основного долга и вторая часть в погашение начисленных процентов. При этом по мере погашения основного долга величина начисляемых процентов каждый раз различна, она уменьшается, следовательно, для обеспечения равных по величине платежей доля в погашение основного долга должна увеличиваться, то есть идет непрерывный процесс уменьшения базы начисления процентов за отчетный период, зависящий от величины начисленных процентов. Такое, прямое рассмотрение вопроса о величине равных платежей потребует достаточно тонких и тщательных рассуждений. Однако посмотрим на эту проблему с другой стороны. Кредитор выдал ссуду D под ставку сложных процентов g и прогнозирует получить в конце срока n возврат долга с начисленными процентами в размере D + I при этом погашение долга должно происходить равными платежами Qn. Одинаковые периодические (будем считать ежегодные) платежи представляют собой ренту. Рента, как известно, (см. лекцию 8) может быть охарактеризована величиной современной стоимости P, которая представляет собой сумму всех платежей, приведенных к началу с использованием некоторой ставки ic, а также наращенной суммой S, которая представляет собой сумму всех платежей с начисленными на них процентами по той же ставке. Если в качестве таковой взять ставку наращения g, под которую предоставлена ссуда, а величина ссуды D при этом будет по величине равна современной стоимости ренты A, то легко видеть что это как раз и есть условия, которые сформулировал кредитор. То есть рентные платежи Rn фактически будут представлять собой равные платежи Qn в погашение задолженности D и их величину не представляет труда найти, пользуясь выражениями, полученными при рассмотрении рент (лекция 8 (8.10, 8.11)). То есть D = Q (qn – 1)/(q – 1) qn, (9.7) где согласно принятым обозначениям q = (1 + g), n число ежегодных платежей, откуда Q = D (q – 1) qn/(qn – 1). (9.8) Следует заметить, что задача может быть легко переформулирована для нахождения количества лет, которые требуются для погашения задолженности D известными по величине ежегодными платежами Q при заданной ставке сложных процентов g по задолженности. Для проверки использования обобщенных характеристик рент при определении величин равных платежей в погашение задолженности рассмотрим элементарный пример, который не составит большого труда рассмотреть прямыми рассуждениями и сравним полученный результат, с результатом, полученным с привлечением знаний о рентах. Пусть ссуда величиной D, выданная на два года n = 2, под ставку g погашается двумя равными платежами Q. См. рис. 9.5, где приведен контур данной операции. D Q 88 Q 1 n=2 Рис. 9.5 Задолженность с учетом начисленных процентов к концу первого года составит D (1+g), после первого платежа Q она составит D (1 + g) – Q. К концу второго года сумма задолженности с учетом начисленных процентов будет равна (D(1 + g) – Q) (1 + g), а после второго платежа Q, она должна полностью погасится, т.е. ((D (1 + g) – Q)) (1 + g) – Q = 0. (9.9) Из (9.9) определим значение платежа Q Q = D (1 + g)2/(2 + g). (9.10) Теперь воспользуемся другим подходом с привлечением знаний о рентах. Из выражения (9.8) после подстановки q = (1 + g),и n = 2 получаем значение величины рентного платежа, Q = D (q – 1) qn/(qn – 1) = D g (1 + g)2/((1 + g)2 – 1) = D (1 + g)2/(2 + g), (9.11) который, как не трудно видеть, равен величине выплат (9.10), которые согласно предыдущим «прямым» рассуждениям погашают задолженность, то есть оба подхода приводят к одинаковому результат, что и требовалось показать. Из приведенного примера следует, что оба подхода приводят к одинаковому результату и в каждом конкретном случае необходимо воспользоваться ровно тем подходом, который наиболее прост и понятен в использовании. ПРИМЕР 1. Какие ежегодные взносы R должны делаться в банк, выплачивающий проценты по годовой ставке i = 16%, для того, чтобы накопить 1,5 млн руб. за 5 лет? Решение: Предположим, что платежи R одинаковые по величине. Начисление банком процентов осуществляется ежегодно по ставке i = 16%. Для скорейшего накопления имеет смысл капитализировать начисленные проценты. Таким образом, необходимый поток платежей R представляет собой аннуитет, т.е. ежегодную ренту. Воспользуемся выражением (9.4) для наращенной суммы такой ренты 1 500 000 = R ((1 + 0,16)5 – 1)/((1 + 0,16) – 1), откуда легко находится значение ежегодных взносов. R = 1 500 000 0,16/(1 + 0,16)5 – 1) = 21 811,40 руб. ПРИМЕР 2. Определить величину ежегодных платежей по погашению кредита в размере 10 000 руб., выданному на 7 лет под а) простую ставку i = 12% годовых, б) сложную ставку iс = 12%. Решение: а) Определим общую задолженность по кредиту с учетом начисленных к концу 89 срока процентов D + I = 10 000 (1 + 7 0,12) = 18 400 руб. Эту сумму необходимо погасить равными ежегодными платежами. Ежегодные платежи это рента, хорошо бы подобрать семилетнюю ренту R, наращенная сумма которой будет равна D + I = R (qn – 1)/(q – 1), где q = (1 + ic), а ставка ic – сложная ставка, используемая при подсчете наращенной суммы ренты. Величина ставки ic пока нам неизвестна. Ее величину можно определить из условий эквивалентности ставок на рассматриваемом сроке кредита, то есть из соотношения D (1 + i n) = D (ic + 1)n, где n = 7 лет откуда найдем, что ic = (1 + i n)1/n – 1 = 8,15% годовых. После того как величина ставки указанной ренты определена, из выражения для наращенной суммы ренты можно определить величину искомого платежа R = (D + I) (q – 1)/(qn –1) = 18 400 0,0815/0,7355 = 20 388,85 руб. б) Общая задолженность с учетом начисленных процентов по сложной годовой ставке 12% составит 22 106,81 руб. Для определения величины ежегодных, равных платежей в погашение этой задолженности воспользуемся выражением для наращенной суммы ренты, величина которой равна самой задолженности 22 106,81 руб., а ставка, используемая при этом, будет совпадать со ставкой по кредиту, т.е. 12%. Следовательно, остается воспользоваться формулой (9.4) 22 106,81 = R ((1 + 0,12)7 – 1)/((1 + 0,12) – 1) откуда R = 2 191,18 руб. ПРИМЕР 3. Какой величины должны быть равные платежи, осуществляемые в конце каждого квартала в течение 20 лет для приобретения дома стоимостью 10 млн руб. наличными, если процентная ставка iс = 5%? Решение: Стоимость дома наличными 10 млн руб. – означает его современную стоимость т.е. «плати сегодня 10 млн руб. и получай дом». Ежеквартальные платежи в течение n = 20 лет можно рассматривать как р-срочную ренту (см. лекцию 8) с выплатами p = 4 раза в год. Если современная стоимость P (см. (8.26) лекция 8) такой р-срочной ренты будет равна стоимости дома, тогда платежи R = Q/p, составляющие р-срочную ренту, будут являться искомыми платежами. Таким образом, 10 000 000 = P = R ((iс + 1)n –1)/((iс + 1)1/p – 1) или после подстановки значений 10 000 000 = R (1,0520 – 1)/(1,051/4 – 1), откуда R = 444 193,02 руб. ПРИМЕР 4. Автомобиль стоит 0,35 млн руб. наличными, но может быть куплен за 0,16 млн руб. наличными с выплатой остатка в виде ежемесячных платежей в течение 3 лет. Каков должен быть ежемесячный платеж для приобретения автомобиля на таких условиях при ставке iс = 4% годовых. Решение: Определим сначала остаток задолженности, который должен быть выплачен в течение 3-х лет 0,35 – 0,16 = 0,19 млн руб. это современная стоимость тех ежемесячных платежей, которые должны быть уплачены в погашение остатка задолженности. Представляя указанные платежи в виде р-срочной ренты, где р = 12, со ставкой iс = 4% годовых оказываемся в условиях рассмотренной выше задачи. ПРИМЕР 5. Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный трем полугодовым выплатам по 50 млн руб. при годовой процентной ставке iс = 4%. Решение: В данной задаче фигурируют два потока платежей №1 – ежемесячный аннуитет и №2 – полугодовые выплаты. Два потока платежей эквивалентны друг другу, если их современные стоимости в данный момент равны друг другу. Следует, отметить, что момент («данный момент») в который потоки должны быть эквивалентны друг другу в условиях задачи не определен. Для простоты определения современной стоимости потоков будем рассматривать их как р-срочные ренты №1 и №2. Величина отдельного платежа ренты №2 равна 50 млн руб., всего таких платежей три, т.е. срок рассматриваемых рентных платежей №1 и №2 n = 3,5 года. 90 ЗАДАЧИ 1. Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный аннуитету 2 млн. руб. в квартал. Процентная ставка iс = 5%. Ответ: 650000 руб. 2. Найти ежемесячный аннуитет, эквивалентный полугодовым выплатам 50 млн руб. при процентной ставке iс =4%. Ответ: 7,91921561 млн.руб. 3. Аннуитет по 1,5 млн. руб. в квартал заменяется ежегодным платежом. Во сколько раз он будет большим при процентной ставке iс =6% за год ? Ответ: 4,08 раза. 4. Преобразовать аннуитет с полугодовыми платежами по 10 млн. руб. в простой аннуитет если деньги стоят iс =6%,. Ответ: 20,29 млн. руб. 5. Преобразовать общий аннуитет с ежеквартальными платежами по 5 млн руб. в простой аннуитет а) если деньги стоят iс = 5%. Ответ: 20,37 млн.руб. : 6. Иванов вносит 25 тыс. руб. в конце каждого месяца в фонд, возмещающий с процентной ставкой iс = 3%. Какая сумма будет на счету у Иванова через 5 лет? Ответ: 132 728 руб. 7. Дом может быть куплен за 20 млн. руб. наличными и по 0,7 млн. руб. ежемесячно в течение 20 лет. Какой является стоимость дома наличными, если процентная ставка равна iс = 5% в год? Ответ: 28,72353606 млн.руб. 8. Иванов имеет 10 млн. руб. в сберегательном банке, который выплачивает проценты по ставке iс = 3%. Если он продолжит вкладывать по 1 млн. руб. в конце каждого квартала, какую сумму он будет иметь на счете через 5 лет? Ответ: 33,06673904 млн. руб. 9. По контракту будут делаться платежи по 250 тыс. руб. в конце каждых 6 месяцев в течение 10 лет и еще один платеж 10 млн. руб. в конце срока. Какова настоящая стоимость контракта, если деньги стоят iс = 4% в год? Ответ: 10,7679726 млн. руб. 10. Заменить аннуитет по 10 млн. руб. в год на эквивалентный общий аннуитет, выплачиваемый поквартально, если процентная ставка равна iс = 6% годовых. Ответ: 40,889077523 11. Цена автомобиля равна 27,5 млн. руб. наличными. Покупателю дается кредит на эту покупку за 9,5 млн. руб. Расчет должен быть произведен за 30 месяцев равными ежемесячными взносами. Какими будут эти платежи, если процентная ставка равна iс = 5% годовых ? Ответ: 0,29834056 млн.руб. 12. Сумма 500 млн. руб. инвестируется сегодня для того, чтобы обеспечить человеку ежегодные поступления в течение 20 лет, первый платеж должен быть получен через 15 лет, начиная от сегодняшнего дня. Найти величину годовых поступлений, если процентная ставка равна iс = 3%. Ответ: 52325,28 руб. 13. Долг 100 млн. руб. выплачивается посредством 48 равных ежемесячных взносов, первый делается через 25 месяцев от сегодняшнего дня. Какими будут платежи, если процентная ставка равна iс = 5%. Ответ: 2,543840168 млн. руб. 14. Найти величину аннуитета, если наращенная сумма равна 25 млн руб., срок равен 10 лет и процентная ставка iс = 5% годовых. Ответ: 1,987614374 млн. руб. 15. Некто будет выплачивать долг 60 млн. руб. с процентной ставкой iс = 6% равными ежеквартальными платежами в течение 8 лет. Какими будут эти платежи? Ответ:23,511 млн. руб. 16. Известно, что оборудование нужно заменять через 15 лет после установки, стоимость замены 150 млн. руб. Какую сумму нужно инвестировать компании в конце каждого года для того, чтобы заменить оборудование, если инвестиции приносят проценты iс = 4% годовых? Ответ: 7,491165056 млн. руб. 17. Цветной телевизор стоит 7,5 млн. руб. и покупается за 1,5 млн. руб. наличными 91 и одинаковые ежемесячные взносы в течение 2,5 лет. Если процентная ставка равна iс = 5%, какими будут платежи? Ответ: 0,157027016 млн. руб. 18. По страховому договору выплачивается пособие 100 млн руб. наличными или ежеквартальный аннуитет сроком 10 лет, эквивалентный этой сумме при iс = 4%. Найти ежеквартальные платежи аннуитета. Ответ: 2,990907254 млн. руб. 92 ЛЕКЦИЯ 10 ИПОТЕЧНЫЕ ССУДЫ Ипотечные ссуды – ссуды под залог недвижимости. Залог – один из основных способов обеспечения исполнения обязательств по займу. Залог – представляет собой комплекс правомочий кредитора в отношении части имущества должника. К ипотечным залогам, как правило, относят: 1) залог земли, недвижимости; 2) залог ценных бумаг (США). Сравнивая между собой перечисленные типы залогов видно, что в первом случае в залог предлагаются фундаментальные ресурсы, которые невозможно спрятать, переместить и поэтому они имеют высокую степень надежности в обеспечении взятых должником обязательств по возврату займа. С этой точки зрения залог, представляющий ценные бумаги, для некоторых из них, например акций, имущественных паев или долей, так же имеют некоторые признаки фундаментальности, поскольку за ними (акции) в том числе могут стоять комплексы имущества и может быть даже недвижимого. Однако не менее важным свойством такого рода залога в виде ценных бумаг является высокая ликвидность, то есть возможность быстрой реализации залога. При этом, как и у любой ценной бумаги, существенную роль играют такие рыночные качества ценных бумаг как надежность, ликвидность. ИПОТЕКА Под ипотекой понимают: 1. Залог недвижимого имущества без передачи во владение залоговому кредитору. 2. Закладная – долговое обязательство о залоге. Ссудные схемы с использованием ипотеки могут предусматривать различные варианты, например: – ссуда с ростом платежей – предусматривает рост расходов по обслуживанию долга; – ссуда с льготным периодом – в котором выплачиваются только проценты; – ссуда с периодически изменяющейся процентной ставкой – каждые пять лет ставка пересматривается; 93 – ссуды с переменной процентной ставкой – процентная ставка привязывается к какому-либо финансовому показателю, например к ставке ЦБ, биржевому индексу и прочее. Основные задачи при анализе ипотек – создание плана погашения долга и определение текущей задолженности на любой момент времени. Расчетные схемы по ипотечным ссудам. Ипотечные ссуды с равными ежемесячными взносами пост или пренумерандо Схематично взаимодействие контрагентов по ипотеке можно представить следующим образом рисунок 10.1 Продавец имущества имущество ссуда + взнос Кредитная организация ссуда Заемщик/покупатель погашение долга Рис. 10.1 Покупатель/заемщик, а это потребитель, у которого нет средств в необходимом объеме для немедленной покупки недвижимости, обращается, как правило, в кредитную организацию за ссудой, в обеспечении возврата которой (залогом) служит приобретаемое им недвижимое имущество. Особенностью такой схемы является тот факт, что в залог кредитной организации потребителем предлагается имущество, которое ему еще юридически не принадлежит. Интересы участников при заключении соответствующих договоров по ипотеке распределены следующим образом: продавец доволен, так как реализовал имущество и получил за него оплату; покупатель доволен, так как ему в пользование передано имущество только за часть его стоимости; кредитор так же доволен, так как по выданной ссуде существует залог, гарантирующий от убытков по не возврату ссуды. В случае расторжения договоров по ипотеке: – продавец ничего не потерял, так как имущество было оплачено; – кредитор, реализовав залог, не понесет убытков; – покупатель/заемщик лишается имущества, теряет свой взнос в оплату имущества, а расчеты с кредитором по ссуде существенно зависят от объема средств, вырученных продажи имущества. 94 То есть роль покупателя/кредитора в этой схеме наиболее не защищенная в случае «плохого» поворота событий и этот риск должен компенсироваться точным расчетом и благами, которые несет успешная реализация всего проекта. ИПОТЕЧНАЯ СХЕМА ВТОРИЧНОГО РЫНКА НЕДВИЖИМОСТИ Рассмотрим ситуацию приобретения жилья вторичного рынка, отличающуюся тем, что приобретаемая недвижимость готова к использованию с самого начала заключения ипотечных договоров. Ипотечная схема рис. 10.2 предусматривает приобретение недвижимости стоимостью M = 180 тыс. условных единиц, из которых D = 150 тыс. представляет собой ссуду, выданную кредитным учреждением на n = 5 лет под годовую ставку простых процентов g = 18%, с условием ежегодного погашения основного долга равными долями Qn и ежегодной выплатой процентов величиной In. Продавец недвижимости 150 + 30 Кредитная организация ссуда 150 Заемщик/покупатель погашение долга 30 5 + % Рис. 10.2 Ежегодные выплаты в погашение основного долга равны Qk = D/n = 150/5 = 30 тыс. величина задолженности по основному телу долга будет определяться выражением Dk = D (1 – (k – 1)/n), а проценты, начисляемые на задолженность, определяются как Ik = Dk g. Таблица D1 D2 D3 D4 D5 Сумма задолженности тыс. 150 120 90 60 30 Сумма процентов, тыс. 27 21,6 16,2 10,8 5,4 Таким образом, ежегодные платежи по обслуживанию долга будут опре95 деляться выражением Yk = D/n + D (1 – (k – 1)/n) g, k = 1, 2,… ..., 5. Таблица n 1 2 3 4 5 Обслуживание задолженности тыс. 177 141,6 106,2 70,8 35,4 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y1 0 Y2 1 Y3 23 Y4 3 Y5 4 5 Рис.10.3 В том случае, если в течение сроков ипотеки возникли обстоятельства, приведшие к расторжению отношений, встает вопрос об определении задолженности заемщика и путей ее погашения. Пусть такое произошло через три с половиной года. На этот период m = 3, 5 года, основной долг был погашен заемщиком в размере Q1-3 = 3 D/n = 90 тыс. и выплачены проценты в размере I1-3 = (D + D (1 – 1/n) + D (1 – 2/n)) g = 64,8 тыс. Фактическая задолженность заемщика за пользование заемными средствами на момент m = 3, 5 года составляет по основному телу долга D (1 – 3/n) = 60 тысяч, и по процентам за период прошедший с окончания третьего года до момента m = 3, 5 разрыва отношений Im = D (1 – 3/n) g/2 = 5,4 тыс. Однако, кредитным соглашением по которому была выдана ссуда может быть предусмотрена возможность в случае разрыва отношений или досрочного погашения задолженности уплату заемщиком ВСЕХ формально начисленных процентов, в том числе и за те периоды, когда задолженность по основному телу отсутствует, то есть за последние полтора года. Не смотря на экономическую несправедливость такого требования, данная практика имеет место быть, вплоть до требований, уплаты всех процентов сразу, при выдаче ссуды. Если заемщик способен погасить указанные суммы, т.е. D (1 – 3/n) + D (1 – 3/n) g/2 = 65,4 тыс., то переданная ему продавцом в пользование недвижимость остается у него и может быть оформлена в собственность. Если суммы в погашение задолженности не находится кредитор/ссудодатель вправе реализовать недвижимость в погашение выданной заемщику ссуды. При условии того, что средств от продажи хватает на погашение задолженности по ссуде, претензий к заемщику не возникает. Если средств от продажи не хватает, то за заемщиком остается задолженность, которую он 96 должен погасить из других источников. В том случае, если средств от продажи недвижимости хватает с избытком, то избыточная часть средств, полученных кредитором от реализации недвижимости, может быть возвращена заемщику или остаться в качестве доходов банка в зависимости от прав на залог и порядка распределения сумм от реализации залога, оговоренных в кредитном соглашении. Очевидно, что в описанной ситуации остается много вопросов, требующих четко оговоренных заранее ответов, например: – на каких финансовых условиях может быть расторгнут ссудный договор (штрафы, пени, упущенная прибыль ссудодателя и др.); – на каких условиях (величина ставки, срок, порядок погашения) возникает задолженность, если средств от продажи недвижимости не хватило на погашение ссуды; – по каким ценам (рыночным, учетным, номинальным) будет реализовываться недвижимость и т.д. и т.п. ИПОТЕЧНАЯ СХЕМА ПЕРВИЧНОГО РЫНКА НЕДВИЖИМОСТИ Приведенный выше пример ипотеки имеет одно весьма важное условие. Объект недвижимости на момент оформления ипотечной ссуды подразумевался готовым к эксплуатации. В современных условиях очень часто ипотечное кредитование применяется к еще строящимся объектам. При этом, очевидно, что у кредитора возрастают риски по возврату ссуды, поскольку залог не имеет полной потребительской ценности. Значительную роль в этом случае приобретают риски кредитора, обусловленные в первую очередь вероятной неплатежеспособностью ссудо-заемщиков и, как следствие, возникновением проблем по возврату ссуды, ведущих при негативных обстоятельствах к расторжению отношений по кредитованию. Ипотечный залог в период незавершенного строительства представляет собой часть (долю незавершенного строительства) несданного в эксплуатацию объекта недвижимости и поэтому не обладает высокой стоимостью и ликвидностью что усугубляет риски кредитора. С другой стороны, такие ипотечные схемы могут оказаться привлекательными, поскольку позволяют кредитным организациям осуществлять кредитование производственного, а не спекулятивного сектора. Наибольшие плюсы от такого рода ипотечных схем, вероятно, пожинают строители, поскольку такие схемы позволяют им осуществлять основную деятельность – вести строительство достаточно крупных объектов. Нельзя не упомянуть и очевидную пользу от расширения поля потребителей недвижимости за счет участия клиентов не имеющих достаточных средств для одномоментного приобретения недвижимости и залога для оформления кредита. Рассмотрим пример схемы ипотечного кредитования с условием того, что ссуда долгосрочная, то есть срок ссуды заканчивается позже срока сдачи недвижимости в эксплуатацию. В этом случае для снижения рисков по возврату 97 ссуды для кредитора, до сдачи недвижимости в эксплуатацию бремя обеспечения гарантий по возврату ссуды может быть возложено на организацию, осуществляющую строительство недвижимости (рис. 10.4а). При этом логично напрямую предоставлять средства от кредитора строителям, относя бремя по возврату затрат кредитора по строительству на будущего владельца недвижимости/участника ипотечной схемы. в период строительства Строитель недвижимости гарантии по ссуде финансирование обязательства по ссуде Кредитная организация Заемщик/покупатель погашение долга Рис. 10.4а После завершения строительства и сдачи недвижимости в эксплуатацию из этой схемы естественным образом исключается участник, осуществивший строительство. Схема взаимодействия кредитной организации с потребителями (рис. 10.4б) сводится к схеме классического кредитования БАНК-КЛИЕНТ с залогом недвижимости в качестве обеспечения возврата кредитной организации вложенных в проект средств. залог по ссуде финансирование обязательства по ссуде Кредитная организация Заемщик/покупатель погашение долга Рис. 10.4б Рассмотрим простейшую схему платежей ипотечного кредитования. График финансовых потоков такой схемы будет выглядеть следующим образом (рис. 10.5). Z1 98 0 Zm 1 Zn m ….. . n0 поток 1 R1 0 1 R2 2 R3 3 Rm m Rn ….. . ….. . n поток 2 Рис.10.5 Поток платежей 1 Zm представляет собой график финансирования строительства, который для простоты будем полагать ежегодным в течении n0 лет. Поток платежей 2 Rm является суммарными платежами будущих потребителей недвижимости по погашению расходов Банка по финансирования строительства так же для простоты будем считать ежегодным в течении n лет. Пусть нашелся Банк, который согласен обеспечить финансирование строительства в относительно короткие сроки (n0 лет), и принимать взносы от будущих владельцев недвижимости в течении более долгого срока (n лет). С точки зрения Банка для участия в таком проекте необходимо соблюсти свои финансовые интересы. Действительно, принимая управленческое решение о выделении средств на финансирование ипотечного проекта Банку нет экономического смысла закладывать ставку доходности меньшую, чем средняя ставка доходности по Банку. Как правило, в качестве такой ставки выбирают среднюю ставку доходности ресурсов по Банку iбанка, если на то нет веских конъюктурных причин. Таким образом, прогнозируя свое участие в проекте, Банк должен убедиться в отсутствии упущенной выгоды за весь период участия в проекте. То есть оценить по средней ставке доходности банка iбанка доходы, которые мог бы принести поток средств 1 к Zm концу проекта (через n лет) и сравнить их с доходами, которые принесет поток платежей 2 Rm за тот же период времени. Очевидно, что они должны быть равны или же доходы от потока 2 могут быть больше. Охарактеризовать доход от обоих потоков можно наращенной суммой S1 и S2 этих потоков к концу срока проекта n лет. В предположении того, что Банк вместо финансирования строительства пустил средства потока 1 в оборот по средней ставке доходности банка iбанка найдем наращенную сумма S1 концу срока ипотечного проекта (n лет). Это та сумма средств, которая может ока99 заться в распоряжении Банка, если средства выделенные на финансирование строительства (поток 1 к Zm) использовать в других банковских операциях со ставкой доходности iбанка. Ее величину S1 можно определить в два этапа: 1. Платежи Zm можно рассматривать как ренту сроком n0 лет, которую можно охарактеризовать одной из ее обобщенных характеристик, а именно наращенной суммой (лекция 8, (8.10)). Величина наращенной суммы потока равных по величине платежей Z = Zm, где m = 1, 2, 3, ..., n0 на дату окончания финансирования строительства n0 будет равна S = Z (qn – 1)/(q – 1), (10.1) где q = (1 + iбанка). То есть выражение (10.1) представляет собой ту сумму средств, которую имел бы в своем распоряжении Банк на дату n0, размещая платежи Zm по ставке iбанка. 2) Далее Банк эту наращенную сумму S так же может разместить на срок до конца ипотечного проекта на n – n0 лет под ту же среднюю ставку доходности iбанка, то есть искомая сумма S1 потока платежей 1 Zm будет равна S1 Z q n0 1 q 1 1 i áàíêà n n , 0 (10.2) где q = (1+ iбанка). Сумма S1 это объем средств, которые мог бы получить Банк от альтернативного ипотечному проекту размещения средств Zm по ставке iбанка. Иначе говоря возможная выгода Банка от вложения средств Zm. То есть величина S1 – является основной характеристикой, которая в дальнейшем определяет требования Банка по получению своей выгоды при уплате будущими клиентами взносов за недвижимость. Именно на ее величину должен ориентироваться Банк, поскольку получив в свое распоряжение меньшую сумму Банк окажется в состоянии упущенной выгоды. Поток платежей 2 должен возместить Банку затраченные на строительство средства. Этот поток 2 так же можно рассматривать как ренту, наращенная сумма которой к концу срока n должна быть равна (или больше) величине S1. Значение величины самих платежей R, которые собственно являются потоком 2, так же можно определить из соотношения (10.2) записанного применительно к потоку 2 S2 = R (qn – 1)/(q – 1), (10.3) где q = (1 + i) и S2 = S1, которое определяет величину наращенной суммы потока платежей 2 в течении n лет (см. лекцию 8, (8.10)), а величина платежей R будет равна R = S1 (q – 1)/(qn – 1). Следует отметить, что при найденном из (10.2) значении S1 ограничений на значение ставки i, числа лет n, величину взносов R в выражении (10.3) нет. Одна- 100 ко это не означает, что сами значения i, n, R, удовлетворяющие соотношению (10.3) могут быть произвольными. Каждый из параметров i, n, R, имеет область допустимых значений, отражающих экономический смысл в ипотечном проекте. Прокомментируем роль каждого из параметров i, n, R с точки зрения влияния на ипотечный проект. Так величина n – число лет в течение которого клиенты будут возмещать Банку его затраты на строительство, не может и не должна превышать платежеспособный срок жизни клиента. Для разных возрастных категорий экономически активного населения он колеблется от 5 до 25 лет. Ставка i в выражении (10.3) это ставка доходности по которой Банк планирует размещать поступающие от клиентов взносы R для того, чтобы к окончанию ипотечного проекта компенсировать свои затраты на финансирование строительства с учетом сохранения средней доходности по Банку (по ставке iбанка). Следует отметить, что формально значение ставки i может быть как больше, так и меньше значения iбанка. Главный вопрос для Банка как можно точнее спрогнозировать на достаточно большой срок n лет возможность размещения средств R под выбранную ставку доходности i. При этом очевидно, что чем выше значение ставки i, тем «легче» (быстрее и дешевле для клиента, а следовательно надежней) для Банка компенсировать свои затраты по строительству. На величину ежегодных взносов клиентов R так же нет формальных ограничений, за исключением требований потребительской привлекательности, поскольку очевидно, что высокие платежи R отпугнут клиентов от участия в таком проекте. Параметры i, n, R, связаны между собой, то есть два любых могут быть заданы, а третий определен из (10.3). ПРИМЕР. Пусть срок строительства n0 = 3 года, средняя ставка доходности ресурсов Банка iбанка = 11%, необходимый для поддержания строительства ежегодный взнос Z = 10 000 000 руб., а общий срок ипотечного проекта n = 10 лет. Тогда, согласно (10.2) S1 = 69 387 348,47 руб. Для простоты значение ставки i сохраним такой же, как средняя доходность ресурсов банка i = iбанка = 11%. Из (10.3) определим величину необходимого ежегодного взноса R = 4 149 462,46 руб. После приведенных расчетов Банк может предложить некоторое бизнеспредложение: «Профинансируем строительство Проекта общей стоимостью 30 млн. руб. ежегодными, равными платежами в течение 3-х лет, на условиях ипотеки, с погашением затрат в течение 10 лет ежегодными, равными платежами в 4 149 462,46 руб.». Не трудно убедиться, что с параметрами приведенного предложения нелегко согласиться обывателю, который арифметически подсчитает, что «за Проект стоимость 30 млн придется заплатить почти 41,5 млн, т.е. переплатить около 38%». Это бытовая логика и с ней приходится считаться. Отметив для себя это обстоятельство все таки детализируем бизнес предложение банка. Согласно современным ценам 30 000 руб. за 1 м 2. Проект может представлять собой дом площадью 1 000 м2, на которых можно разместить 10 квартир по 100 м2. Следовательно, для каждого из 10 клиентов доля в ежегодном платеже составит Pг = 414 964,5 руб. Напрямую накопить такую сумму за год в «чулке» от первого до последнего взноса можно ежемесячными взносам Pм величиной 34 587,37 руб. Сумма огромная и охотников участвовать в таком проекте найдется не много. Традиционный способ «борьбы за привлечение клиента» лежит на пути снижения очевидных для восприятия клиента параметров финансовых отношений. Например, удлинить срок выплаты задолженности n, а также в одностороннем порядке Банку умерить 101 свои аппетиты по собственным доходам, то есть снизить величину процентной ставки планируемой доходности iбанка поскольку широко бытует представление (и не без оснований), что такие меры облегчают бремя финансовых обязательств клиента. Рассмотрим пример такого облегчения текущего финансового бремени клиента. Пусть срок ипотечного проекта остался неизменным n = 10 лет, а ставка планируемой Банком доходности снизилась до iбанка = 5%, тогда из (10.2) S1 = 44 358 840,82 руб., ежегодный взнос в погашение затрат на строительство согласно (10.3) будет равен Pг = 3 526 730,79 руб., вместо 4 149 462,46 руб., т.е. уменьшился на 15% и, следовательно, ежемесячный «чулочный» взнос отдельного клиента так же снизится на 15% и составит Pм = 29 389,42 руб. То есть при снижении ставки iбанка более чем на 50% платежи клиентов уменьшились лишь на 15%. Жертва в ставке на 50% со стороны Банка не кажется адекватной 15%-му снижению клиентского платежа. Изменим другой параметр – общий срок ипотечного проекта. В случае увеличения в два раза срока ипотечного проекта n = 20 лет при той же ставке доходов Банка iбанка = 5% величина S1 = 72 255 877,47 руб., а ежегодное возмещения затрат строительства составит Pг =2 185 204,67 руб., т.е. понизится по сравнению с предыдущим случаем (n = 10, iбанка = 5%) еще на 38%, а ежемесячный «чулочный» взнос одного клиента составит Pм = 18 210,04 руб. Общее «смягчение» условий по ипотечному проекту в виде снижения ежегодного взноса на возмещение затрат строительства составил порядка 47%. То есть увеличение в два раза срока выплат по ипотеке и снижение ставки своей доходности со стороны Банка более чем в два раза привело к уменьшению ежемесячного «чулочного» платежа отдельного клиента на 47% и составило 18 210,04 руб., что по силам уже более широкому кругу клиентов. Пострадавшей стороной при таких изменениях параметров ипотечного проекта оказался Банк (вследствие снижения ставки доходности до 5%), однако при этом обеспечена стабильность денежного потока на 20 лет и на 4% увеличился общий объем участвующих в проекте денежных средств с S1 = 69 387 348,47 руб. (при n = 10, iбанка = 11%) до S1 = 72 255 877,47 руб. (при n = 20, iбанка = 5%). Следует отметить, что выше для простоты был предложен «чулочный» способ накопления требуемого ежегодного платежа в размере Pг = 2 185 204,67 руб. Если ежемесячные накопительные взносы Pм не копить в «чулке», а разместить под некоторую ежемесячную ставку im до момента выплаты ежегодного ипотечного платежа Pг, тогда итоговая сумма накопительных взносов Pм возрастет за счет начисляемых по ставке im процентов. Следовательно саму величину ежемесячных взносов Pм для обеспечения суммы Pг = 2 185 204,67 руб. при таком (не «чулочном») способе накопления можно понизить. Для нахождения этого нового ежемесячного платежа Pклиента так же воспользуемся выражением для наращенной суммы ренты (10.3), понимая под ставкой ежемесячную ставку im, с ежемесячным начислением сложных процентов, а под общим сроком этой промежуточной ренты будем понимать сок до уплаты ежегодного платежа то есть m = 12 месяцев. Тогда величина ежемесячного платежа Pклиента найдется из выражения Pклиента = Pг (q – 1)/(qm – 1), (10.4) где q = (1 + im). Остается определиться со значением месячной ставки im сложных процентов, оценить какой величины она может быть? Это можно сделать, основываясь на предложении некоторых банков о размещении депозита под годовую ставку i с возможностью увеличивать сумму депозита в течение срока депозита. Величина такой ставки на сегодня вряд ли превышает 10% годовых. Пользуясь формулами условий эквивалентности ставок (см. лекцию 6) простой годовой ставки i и сложной месячной ставки im получаем соотношение 102 (1 + i) = (1 + im)m, (10.5) где m = 12, i = 0,1, из которого легко найти im=0,79%. Таким образом из (10.4) находим новое значение ежемесячного платежа отдельно взятого клиента Pклиента = 17 263,11 руб., т.е. размещение ежемесячных взносов отдельного клиента на накопительный депозит с простой годовой ставкой i = 10% привело к снижению величины ежемесячного платежа этого клиента на 5,2%. Для полноты картины приведем еще один исключительный, но вполне вероятный вариант. Банк при прогнозе возможного размещения средств Z заложил ставку iбанка = 5%, а в дальнейшем по факту размещения уплачиваемых клиентами средств R стало возможным осуществлять размещение средств под увеличенную ставку i = 10% годовых. Такая ситуация вероятна при изменении в лучшую сторону конъюктуры размещения средств или при сознательном отказе Банка от получения доходов по уровню максимально возможной доходности. То есть при зафиксированном плане по доходности сами возможности доходности возросли и принято решение использовать этот «неожиданный» фактор во благо клиентов. Ответ на вопрос «насколько реален такой сценарий?» остается за пределами компетенции автора. В рамках сделанных выше оговорок рассмотрим ипотечный проект, предусматривающий финансирование строительства ежегодными платежами Z = 10 000 000 руб. в течении n0 = 3 лет при принятой Банком ставке доходности iбанка = 5%. Общий срок ипотечного проекта n = 20 лет, ставка размещения ежегодных взносов клиентов i = 10%. В этом случае величина S1 согласно подсчетам (см. (10.2)) будет составлять S1 = 72 255 877,47 руб., при этом величина ежегодных взносов клиентов (см. (10.2)) составит R = 1 261 560,51 руб. Таким образом ежемесячный «чулочный» взнос одного клиента будет равен Pм = 10 513 руб., который можно снизить на 5% используя накопительный депозит с годовой ставкой i = 10%, то есть до величины Pклиента = 9 987,35 руб., что является вполне приемлемой цифрой для семейного бюджета в 20– 25 тыс. руб. в месяц. Возвращаясь к «бытовой логике, с которой приходится считаться» арифметическая сумма затрат при ипотечной покупке объекта стоимостью 30 млн составит 23 969 640 руб., т.е. на 20% дешевле. Не смотря на то, что безнравственно смешивать финансовые расчеты и бытовую логику сплошь и рядом для рекламных целей встречаются «коктейли» из умело переплетенных данных бытовой логики и точных финансовых расчетов. Вынужденно встав на эту точку зрения в рекламных целях, аналитикам, рассчитывающим точные финансовые схемы ипотеки, есть смыл подобрать такие параметры (i, n, R и др.) которые приемлемо выглядят и в свете бытовой логики. Например такие, которые формально уравнивают стоимость объекта с суммой затрат, подсчитанную бытовой логикой. Резон сделать это состоит еще и в том, что бы максимально приблизится грани соблюдения реальных финансовых интересов Банка, поскольку облегчение финансового бремени клиента так или иначе происходит за счет недополученной выгоды остальных участников, как в приведенных выше примерах. Банк, вообще говоря, мог бы и не участвовать в ипотечном проекте на столь невыгодных условиях. Следует отметить, что, рассматривая интересы участников через призму приведенных выше финансовых параметров ипотечного проекта, ключевым участником является Банк. Основной параметр, который интересует Банк это ставка доходности, уровень которой Банк определяет для себя сам. В какой–то мере Банк заинтересован в объемах и сроках фигурирующих в ипотечном проекте средств, но только в качестве «второго эшелона», производной от оборота в виде не основных для банковской деятельности, дополнительных операционных доходов. Основная «головная боль» другого участника – Строительной организации – это стабильность (регулярность и полнота) финансирования строительных работ, что опре- 103 деляется, прежде всего, устойчивостью Банка в не очень продолжительный период строительства. С учетом сказанного основное внимание при анализе будущих параметров ипотеки, в первую очередь, должно быть направлено на интересы будущего владельца недвижимости, то есть клиента, поскольку его интересы наиболее легко уязвимое звено. Клиент не может непосредственно влиять в своих интересах на формирование условий по ипотеке и этим обусловлена его категоричность в выборе «участвовать или не участвовать» в ипотечном проекте. Причем, необходимо учитывать что, в восприятии клиента оценка «тяжести» условий или привлекательности участия в ипотечном проекте происходит отнюдь не по логике строгих финансовых рассуждений, а в меру накопленной опытным путем культуры денежных расчетов. Современные условия таковы, что в рекламно-информационных предложениях часто указывают только привлекательную часть условий, не уделив должного внимания на обременяющие подробности, тем самым оставляя реалии предлагаемого бизнес-предложения далеко непрозрачными. Наиболее вменяемая позиция тем не менее заключается в стремлении найти решение без ущемления по существу, интересов участников, не делая никого при этом «крайним». То есть сформировать оптимальную комбинацию параметров ипотечной схемы, находящуюся в согласии с ожиданиями всех участников, вот, пожалуй, единственно достойный выход, оставляющий внутренний мир авторов ипотечного проекта недеформированным. 104 ЛЕКЦИЯ 11 ИЗМЕРЕНИЕ ДОХОДНОСТИ Доход – это денежные или иные ценности, получаемые в результате какой либо деятельности. Доходность – способность приносить доход. Перечислим виды возможных доходов при использовании финансовых инструментов: 1. Процентные деньги, взимаемые за предоставление ссуды. 2. Комиссионные, взимаемые за предоставление услуг. 3. Доходы от облигаций по купонам. 4. Доходы от курсовой разницы в стоимости ценных бумаг. Степень финансовой эффективности (доходности) от различных по природе операций измеряется в виде ставки наращения чаще сложных, реже простых процентов. Основная проблема при определении доходности финансовых и других операций заключается в разработке методик расчета условной годовой ставки наращения с учетом особенностей рассматриваемой финансовой операции. Таким образом, такая условная ставка, как инструмент измерения доходности должна быть универсальной, то есть иметь одно общепринятое название, иметь общепринятые «единицы измерения». Однако, в финансовой литературе встречаются различные названия в зависимости от существующего на практике профиля финансовых операций. Так при рассмотрении простых депозитноссудных операциях эту роль играет эффективная ставка. В расчетах по оценке ценных бумаг, например облигаций, – полная доходность. При анализе инвестиций – внутренняя норма доходности. Что бы не путаться в терминах в качестве названия условной годовой ставки измерения доходности будем в дальнейшем рассмотрении будем употреблять термин «полная доходность». Полная доходность – расчетная годовая ставка сложных процентов, при которой капитализация всех видов доходов от операции равна сумме инвестиций. Иными словами начисление процентов по ставке полной доходности на вложения за рассматриваемый период времени обеспечивает выплату всех предусмотренных платежей. Соответственно, чем выше (больше значение) ставка доходности тем больше эффективность операции. Значение ставки полной доходности определяется из уравнений эквивалентности финансового результата, от всех вложений полученного с использо- 105 ванием ставки полной доходности, финансовому результату финансовой операции для которой определяется ставка полной доходности. ДОХОДНОСТЬ ССУДНЫХ И УЧЕТНЫХ ОПЕРАЦИЙ С УДЕРЖАНИЕМ ПРОЦЕНТОВ Доходность ссудных операций без учета комиссионных измеряется нахождением величины эквивалентной (эффективной) ставки сложных процентов. При наличии комиссионных сборов, таких как плата за открытие и ведение ссудного счета, за годовое обслуживание (по счетам пластиковых карт), оплата сопутствующих юридических или оценочных услуг, оплата бланков, услуг копирования и др. Полная доходность ссуды с простым процентом и комиссионными Ссуда величиной D = 100 выдана на n = 2 года под простую ставку i = 0,1, при этом удержаны комиссионные величиной G = 15. Ставка полной доходности ссудной операции, в данном случае, интересна, прежде всего, ссудодателю, которому необходимо контролировать свои реальные доходы. Для ее определения составим уравнение эквивалентности. То есть приравняем величину средств, которые возвратит заемщик D (1 + n i) величине реальных средств, которые ссудодатель использовал в данной операции выдачи ссуды (D – G), наращенных на том же временном периоде с использованием искомой ставки полной (в данном случае эффективной) доходности icэф. D (1 + n i) = (D – G) (1 + icэф)n. (11.1) Из выражения (10.1) легко получить значение icэф icэф = (D (1 + n i)/(D – G))1/n – 1. (11.2) Находя значение из (11.2.) получаем значение ставки полной доходности рассматриваемой ссудной операции icэф = 0,188. Следует отметить, что оно достаточно отличается от значения ставки i = 0,1, под которую выдана сама ссуда. Очевидно, что дополнительная комиссия ведет к увеличению эффективности доходности ссудной операции, причем, за счет заемщика, о чем ссудодатель порой умалчивает в переговорах или рекламной информации. Полная доходность ссуды со сложным процентом и комиссионными В том случае, когда ставка по ссуде является сложной ic = 0,1 уравнение эквивалентности (11.1) изменится с учетом правил начисления сложных процентов по ссуде D (1 + ic)n = (D – G) (1 + icэф)n. 106 (11.3) Соответственно значение ставки полной доходности будет определяться следующим выражением icэф = (1 + ic) (D/(D – G))1/n – 1. (11.4) В условиях предыдущего примера значение ставки полной доходности будет еще выше icэф = 0,193. Аналогичным образом можно рассматривать и учетные операции. Полная доходность для простой учетной ставки с учетом комиссионных Пусть вексель номиналом выдан на n лет с простой учетной ставкой d, причем при покупке векселя до срока (через k лет) удерживается комиссия Gk = S (n – k) g, где g комиссионный процент, который также может зависеть от срока покупки векселя. P 0 1 2 S 3 ... k n Рис.11.1 Стоимость векселя P к моменту его покупки через k лет после выпуска с учетом комиссии Gk будет равна P = S (1 – (n – k) d) – Gk. (11.5) Составим уравнение эквивалентности аналогично (11.1), то есть приравняем стоимость погашения векселя S, которую получит векселедержатель при погашении, стоимости покупки векселя P, наращенной по ставке полной доходности icэф за срок от покупки до погашения векселя (n – k) лет (S (1 – (n – k) d) – Gk) (1 + icэф)n = S. (11.6) Из (11,6) легко найдется выражение для определения ставки полной доходности icэф icэф = ((S (1 – (n – k) d) – S)/Gk)1/n – 1. (11.7) В случае, если ставка учета векселя сложная dc выражение для определения ставки полной доходности icэф получается аналогичными рассуждениями. Стоимость покупки векселя будет равна P = S (1 – dc)(n–k) – Gk. (11.8) Уравнение эквивалентности принимает вид (S (1 – dc)(n–k) – Gk) (1 + icэф)n = S. (11.9) 107 Значение ставки полной доходности определяется выражением icэф = (S/(S (1 – dc)(n–k) – Gk))1/n – 1. (11.10) ДОХОДНОСТЬ КУПЛИ–ПРОДАЖИ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ Преследуя цели получения максимальных доходов или сохранения максимальной надежности вложений непрерывно приходится «перекладывать» и диверсифицировать инвестиции, то есть избавляться от мало доходных и ненадежных финансовых инструментов и приобретать другие, удовлетворяющие требованиям принятых решений относительно текущей рыночной коньюктуры. Рассмотрим некоторые краткосрочные финансовые инструменты, существующие в деловом обороте для решения вышеупомянутых задач: вексель – долговое денежное обязательство, тратта – приказ одного лица уплатить по предъявлению тратты указанную сумму в указанные сроки, процентная тратта – тратта, которая предусматривает уплату процентных денег в зависимости от срока ее предъявления, депозитный сертификат – денежный документ, выпущенный под депонированные денежные средства (депонирование – сдача денежных средств на хранение). Вексель Рассмотрим вопрос полной доходности при покупке и последующей продажи векселя номиналом S. Его стоимость при покупке в момент t1 равна P1 = S (1 – d1 (t0 – t1)/T0), (11.11) где d1 – простая учетная ставка при покупке; T0 – срок на который выпущен вексель; t0 – дата погашения векселя. При продаже в момент времени t2 > t1 соответственно, стоимость векселя будет равна величине P2 = S (1 – d2 (t0 – t2)/T0), (11.12) где d2 – значение той же учетной ставки, но уже при продаже. Для нахождения величины простой ставки полной доходности iд запишем выражение, отражающее рост/уменьшение величины стоимости векселя от покупки P1 до стоимости продажи P2. P2 = P1 (1 + iд (t2 – t1)/T), 108 (11.13) где T – срок, на котором определена ставка полной доходности iд. Из (11.13) получаем выражение для определения величины iд iд = (P2/P1 – 1) T/(t2 – t1). (11.14) Очевидно, что при продаже возможно получение убытков (если курс учетной ставки d векселя снизился), что отразится на «знаке» ставки полной доходности, она станет отрицательной iд < 0. В том случае, если требуется определить сложную ставку полной доходности icд выражение (11.13) будет иметь следующий вид P P 1 i t2 t1 T , (11.15) 2 1 ä тогда выражение для определения сложной ставки полной доходности iсд будет выглядеть i P P T t2 t1 1. (11.16). ñä 2 1 Облигации Когда юридическому лицу необходимо занять очень большую сумму денег как правило невозможно найти какую-то одну финансовую компанию или даже небольшую группу финансовых компаний, которые смогли бы ссудить целиком необходимую сумму денег. Поэтому деньги должны быть получены от большого числа инвесторов как крупных, так и мелких. Для удобства обращения с большим числом инвесторов корпорация печатает заранее большое количество контрактов (ценных бумаг), в каждом из которых указана сумма займа, дата возмещения займа, норма процента, по которой будет возмещаться заем, и даты, когда эти процентные платежи будут делаться. В каждом контракте также устанавливается, где платежи могут быть собраны, и какие гарантии компания предлагает, чтобы заем был возмещен. Такой контракт называется облигацией. Слово облигатный обозначает обязательный, непременный. Облигация – вид ценной бумаги (долгового обязательства) по которой ее эмитент обязуется выплатить ее держателю фиксированную сумму денежных средств в определенный момент времени в будущем или выплатить доход, размер которого заранее установлен в форме определенного процента к номинальной стоимости облигации. Облигации выпускаются для займа денег и, при этом, как правило, используются многочисленные средства для привлечения инвесторов. Для удобства обращения большинство облигаций выпускаются на предъявителя и могут передаваться от одного владельца другому по желанию. То есть облигация может быть продана владельцем в любой момент времени, когда он пожелает. Для гарантии выполнения обязательств по облигации, облигации могут быть именными, то есть по условиям обращения могут быть переданы только при 109 соответствующем подтверждении и согласии выпустившей облигацию корпорации. Таким образом, владелец является защищенным от потерь или обмана. Для удобства получения процентов к большинству облигаций прилагаются купоны, которые можно обменять на наличные деньги в любом банке в указанную на купоне дату или позже. Основные параметры облигации: – номинальная цена – стоимость, указанная на бланке облигации; – выкупная цена – цена, по которой эмитент готов/обязуется купить облигацию; – купонная ставка или норма доходности облигации – процент от номинала выплачиваемый до срока погашения облигации; – дата погашения облигации – дата, после которой эмитент обязуется выплатить предъявителю номинальную стоимость облигации; – график дат выплат процентов по облигации – даты выплаты по купонам. Поскольку львиная доля облигаций принадлежит не российскому рынку ценных бумаг, приведем некоторые характеристики из зарубежного опыта. Облигации могут подразделяться: 1) по методу обеспечения: – государственные и муниципальные облигации имеют, как правило, государственную гарантию; – облигации частных корпораций гарантированные активами предприятия; – облигации частных корпораций без специального обеспечения; 2) по срокам погашения: – облигации с фиксированной датой погашения; – бессрочные облигации, без указания даты погашения; 3) по способу погашения номинала: – погашение разовым платежом всего номинала; – распределенное по времени погашение в долях от номинала; – последовательное погашение – погашение некоторой части облигаций от общего числа облигаций; 4) по методу выплат дохода: – выплата только процентов (купонов) по облигации (бессрочные облигации); – облигации с нулевым купоном, т.е. без выплаты процентов по облигации; – выплата купонов и номинала по окончанию срока облигации. – периодические купонные выплаты и уплата номинала облигации в конце срока. Рыночная цена облигаций при выпуске может быть равна, ниже (с дисконтом) или выше (с премией) номинала. Существуют два вида рыночных цен: – полная («грязная») цена, складывающаяся из цены облигации и процентов (купонных выплат) за период после последней выплаты процентов; – чистая цена облигации – равная полной цене за вычетом сумм процен110 тов (купонных выплат). Расчет курса облигации определяется как отношение ее рыночной цены отнесенной к цене номинала и умноженной на сто: Курс облигации = (рыночная цена/номинал) 100. Доходы облигаций это выплаты процентов по купонным выплатам, а также доход от разности между номиналом и ценой приобретения. Количественный анализ облигаций состоит в определении следующих основных параметров: – доходности облигаций; – расчетов цены на произвольный момент времени; – изменение динамики дисконта/премии по облигации. Измерение доходности облигаций Доходность облигаций подразделяется на: – купонную (проценты), которая определяется при выпуске облигаций, – текущую – как отношение выплат по купонам к цене приобретения облигации (не предусматривая получение номинала облигации), – полную доходность, измеряемую ставкой помещения, которая определяется как сумма погашения облигации (номинал) с суммой выплат по купонам отнесенную к цене приобретения облигации, то есть отношение всех доходов к расходам. Обозначения: g – объявленная норма годового дохода по облигации, it – ставка текущей доходности, i – ставка помещения, P – рыночная цена, N – номинал облигации, g N – выплаты по купонам, проценты по облигации K – курс облигации, определяемый как отношение рыночной цены к номиналу, умноженное на сто. Облигации без обязательного погашения по номиналу В этом случае купонный доход g N является единственным источником доходов. Следовательно, ставка полной доходности/помещения i, определяется из уравнения эквивалентности цены приобретения (рыночной цены) облигации P стоимости потока всех будущих купонных выплат (g N)k, приведенных к моменту покупки облигации P = (g N) k /(1+ i ) Δt/T . (11.17) где суммирование осуществляется по k – номерам купонных выплат, 111 Δt=tk-t покупки отрезок времени от момента выплаты соответствующего купона tk до момента покупки облигации t покупки, tk – момент выплаты k-ого купона, T – временное основание ставки полной доходности/помещения i. Пример: Найти ставку полной доходности/помещения i для облигации без обязательного погашения номиналом N=100 руб. с ежегодными купонными выплатами в размере g=35% от номинала, приобретенной за два года до погашения по цене P=50 руб. Согласно уравнения эквивалентности (11.17) получаем 50=(0,35100)/(1+i) + (0,35100)/(1 + i)2 откуда необходимо найти неизвестное значение i ставки полной доходности/помещения. Преобразуем полученное выражение 10=7/(1 + i)+ 7/(1 + i)2 10/7=((1 + i) +1)/(1 + i)2 1,428(1 + i)2=i + 2 к виду i2 + i 1,856 - 0,5714 = 0 и найдем его корни, один из которых (наименьший положительный) даёт значение ставки помещения i =0,2689, т.е. 26,89%. Следует отметить, что если купонные выплаты ежегодные и одинаковые по величине, то их можно представить как ренту и для нахождения уравнения эквивалентности (11.17) воспользоваться готовой формулой, определяющей современную стоимость ренты. Текущая доходность облигаций без погашения по номиналу определяется выражением it =(gN)k / P (11.18). где суммирование осуществляется по k – номерам купонных выплат. Для выше рассмотренного примера значение ставки текущей доходности it=[(0,35100)+(0,35100)]/50=1,4 или 140%. Облигации без выплаты процентов Доход по облигациям без выплат процентов (купонам) будет определяться разностью между номиналом N, обязательным к выплате при погашении, и ценой приобретения P. Понятие текущей доходности по облигациям с таким условием вырождено, поскольку в условиях выпуска облигации отсутствуют промежуточные купонные (процентные) выплаты. Ставка полной доходности/помещения i (за n лет) будет определяться из уравнения эквивалентности, которое представляет собой равенство цены покупки облигации P, наращенной по ставке доходности/помещения i за n лет до погашения, самому номиналу N, т.е. P (1 + i)n = N или (1 + i)n = N/P = 100/K, (11.19) откуда легко определить ставку помещения/полной доходности i = (100/K)1/n – 1. 112 (11.20). Отметим для себя, что цена покупки P фактически является современной стоимостью AN платежа N ,который должен осуществиться через n лет. Пример: Найти ставку полной доходности/помещения i для безкупонной облигации номиналом N=100 руб., приобретенную за два года до погашения по цене P=50руб. Из выражения (11.20) следует i = (100/50)1/2–1=0,4142 или 41,42%. Облигации с ежегодной выплатой процентов и погашением номинала в конце Этот случай предусматривает выполнение обоих условий:1)погашение по номиналу, 2) купонных выплат. Поскольку купонные выплаты g N выплачиваются ежегодно, эти выплаты можно рассматривать как ренту с величиной ежегодной выплаты N g. Ее современная стоимость A% = R (qn – 1)/(q – 1) qn, где q = 1 + i c; n – число выплат купонов, равное числу лет до погашения облигации; ic – некоторая эффективная ставка. Современная стоимость AN номинала облигации N, приведенная к моменту покупки облигации будет равна AN = N/(1 + ic)n. Таким образом, цена приобретения P будет складываться из современной стоимости номинала AN и современной стоимости выплат по купонам (процентам) A%, т.е. P = A% + AN, причем ставка ic – фигурирующая при этом и будет являться ставкой доходности/помещения. Значение ставки полной доходности/помещения ic находися из уравнения эквивалентности P = A% + AN, которое в данном случае (ежегоные купоны) будет иметь вид P = R (qn – 1)/(q – 1) qn + N/qn, (11.21) где q = 1 + i c; n – число выплат купонов, равное числу лет до погашения облигации. Разрешая (11.21) относительно ic находится значение ставки доходности/помещения. В том случае, если выплаты по купонам g N осуществляются p раз в год, современная стоимость купонных выплат будет равна A%p = [g N (qn – 1)/(q1/p – 1)]/qn, (11.22) 113 где q = (1 + iс). и представляет собой выражение современной стоимости для р-срочной ренты величиной g N. То есть уравнение эквивалентности (11.21) принимает вид P = R (qn – 1)/(q1/p – 1) qn + N/qn, (11.22) Текущая доходность облигаций it определяется выражением it =(gN)k / P (11.23) где суммирование осуществляется по k – номерам купонных выплат . Рассмотрим пример, используя условия ранее рассмотренных случаев, т.е. найдем ставку полной i и текущей it доходности для облигации номиналом N=100 руб. с ежегодными купонными выплатами в размере g=35% приобретенную по цене P=50 руб. за два года до её погашения. Уравнение эквивалентности (11.22) будет иметь вид 50=(0,35100) [(1+i)2-1]/[(1+i)-1] (1+i)2+100/(1+i)2 или после преобразований 10=7[(1+i)2-1]/i(1+i)2+20/(1+i)2 10i (1+i)2=7[(1+i)2-1]+20i 10i+20i2+10i3=7[(1+2i+i2-1]+20i 10+20i+10i2=7[(2+i]+20 10i2+13i-28=0 Определяя корни этого уравнения, находим i=1,145 или 114,5%. Ставка текущей доходности согласно выражению (11.23 ) будет равна it = [(0,35100)+(0,35*100)]/50=1,4 или 140%. Облигации с погашением номинала и выплатой процентов в конце Проценты при этих условиях начисляются на весь срок и выплачиваются в конце при погашении облигации. Величина процентов I, начисленных за весь срок n, определяется из выражения I = N (1 + g)n – N. Ставка полной доходности i определится из уравнения эквивалентности, выражающей равенство наращенной цены приобретения P сумме процентов I и номинала N, выплачиваемые в конце срока: P (1 + i)n = I + N или после подстановки значений процентов P (1 + i)n = N (1 + g)n или преобразуя ((1 + i)/(1 + g))n = N/P = 100/K, откуда можно определить ставку помещения 114 i = ((1 + g)/(K/100)1/n) – 1. (11.24). Пример: Найти ставку полной i доходности для облигации приобретенной по цене P=50 руб за два года до её погашения номиналом N=100 руб. с ежегодно начисляемыми по ставке g=35% процентами, выплачиваемыми при погашении. i=(1+0,35)/(100/50)1/2–1=0,9545 или 95,45%. Следует отметить, что нахождение значений ставки полной доходности так или иначе приводит к необходимости нахождения одного из корней полинома n степени (для приведенных примеров n для простоты вычислений равнялось 2), что представляет собой отдельную математическую задачу. Данная проблема в экономических расчетах в силу математических трудностей решается либо с использованием пакета Exel либо приближенными методами. 115 Приложение 1 ПОСТАНОВЛЕНИЕ ГОСКОМСТАТА РФ от 17 января 2003 г. №6 «ОБ УТВЕРЖДЕНИИ "МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ ПО РАСЧЕТУ БАЗОВОГО ИНДЕКСА ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН (БАЗОВОЙ ИНФЛЯЦИИ)»» Государственный комитет Российской Федерации по статистике постановляет: Утвердить прилагаемые «Методологические рекомендации по расчету базового индекса потребительских цен (базовой инфляции)». Председатель Госкомстата России В.Л. Соколин Методологические рекомендации по расчету базового индекса потребительских цен (базовой инфляции) (утв. постановлением Госкомстата РФ от 17 января 2003 г. №6) Целью настоящих Методологических рекомендаций является определение порядка расчета показателя базового индекса потребительских цен (базовой инфляции). Базовый индекс потребительских цен (БИПЦ), являясь одним из составляющих индекса потребительских цен (ИПЦ), исключает краткосрочные неравномерные изменения цен под влиянием отдельных факторов, которые носят административный, событийный, а также сезонный характер, и может быть использован для проведения определенных расчетов в аналитических целях. В соответствии с Законом Российской Федерации «Об индексации денежных доходов и сбережений граждан в РСФСР» от 24 октября 1991 г. №1799-1 наблюдение за изменением потребительских цен возложено на органы государственной статистики. В рамках реализации вышеназванного закона Госкомстат России осуществляет ежемесячный расчет системы индексов потребительских цен: – все товары и платные услуги населению; – все товары без алкогольных напитков; – продовольственные товары без алкогольных напитков; – продовольственные товары (включая алкогольные напитки); – непродовольственные товары; – платные услуги; – все товары и услуги необязательного пользования; – все товары необязательного пользования; – продовольственные товары необязательного пользования; – непродовольственные товары необязательного пользования; – платные услуги необязательного пользования; – все товары и платные услуги (без учета товаров и услуг необязательного пользования); – продовольственные товары (без учета товаров необязательного пользования); – непродовольственные товары (без учета товаров необязательного пользования); – платные услуги (без учета услуг необязательного пользования); – все товары и платные услуги (без овощей, картофеля и фруктов); – продовольственные товары (без овощей, картофеля и фруктов). Наряду с вышеназванными видами групповых индексов цен в соответствии с на- 116 стоящими Методологическими рекомендациями предусматривается исчисление базового индекса потребительских цен (БИПЦ) или базовой инфляции. Кроме того, осуществляется расчет индекса потребительских цен на товары и платные услуги населению, не вошедшие в перечень товаров и услуг, используемого при расчете базовой инфляции. Целью расчета показателя базового индекса потребительских цен (БИПЦ) является выявление наиболее устойчивой динамики цен, не подверженной воздействиям шоков предложения и спроса, сезонного фактора, а также административному воздействию федеральных и региональных органов власти на процессы ценообразования. Основным подходом к исчислению базового индекса потребительских цен (базовой инфляции) является исключение из расчета индекса потребительских цен изменения цен на отдельные его составляющие виды товаров и услуг, подверженные существенным колебаниям цен, не связанных с общим фоновым уровнем инфляции. При этом основным принципиальным условием расчета базового индекса потребительских цен (БИПЦ) является разработка постоянного перечня товаров и услуг, влияние изменения цен на которые ежемесячно исключаются из официального индекса потребительских цен (ИПЦ). Базовый индекс потребительских цен (БИПЦ) рассчитывается на основании набора потребительских товаров и услуг, используемого для расчета сводного индекса потребительских цен за исключением отдельных товарных групп и видов товаров и услуг, цены на которые в основной массе регулируются на федеральном и региональном уровнях, а также в значительной степени подвержены воздействию сезонного фактора. Исходя из вышеперечисленных критериев, из общего перечня продовольственных товаров исключается плодоовощная продукция, так как колебания цен на нее имеют ярко выраженный сезонный характер и течение всего года существенно влияют на индекс потребительских цен (ИПЦ) как в сторону его понижения, так и повышения. Из группы непродовольственных товаров в расчет базового индекса потребительских цен не включается изменение цен на топливо (включая бензин), так как динамика цен на отдельные виды топлива, помимо сезонного фактора, подвержена административному воздействию федеральных и региональных органов власти. Из группы платных услуг населению исключаются те их виды, формирование цен на которые осуществляется, как правило, на федеральном или региональном уровне по решению соответствующих органов власти (отдельные услуги пассажирского транспорта, услуги связи, практически все виды жилищно-коммунальных услуг, отдельные виды услуг правового характера и банков) (Приложения 1 и 2). Доля потребительских товаров и услуг, исключаемых из расчета базового индекса потребительских цен в 2003 г., составляет 17%. Расчет показателя базового индекса потребительских цен (БИПЦ) осуществляется в рамках федерального государственного статистического наблюдения за уровнем и динамикой потребительских цен с применением методологии и инструментария, которые разрабатываются и утверждаются Госкомстатом России по согласованию с другими заинтересованными ведомствами. Исчисление базового индекса потребительских цен, как и расчет всей системы индексов потребительских цен, осуществляется как в разрезе субъектов Российской Федерации, так по России в целом в соответствии с «Основными методологическими положениями о порядке наблюдения за потребительскими ценами и тарифами на товары и услуги, оказанными населению, и определения индекса потребительских цен», утвержденными постановлением Госкомстата России от 25.03.2002 г. №23 по согласованию с Минфином России, Минэкономразвития России, Минтруда России. При этом для каждого из индексов используется свой единый для всех субъектов Российской Федерации набор потребительских товаров и услуг. 117 В качестве весов для построения базового индекса потребительских цен используется структура потребительских расходов населения, разработанная на основе обследования бюджетов домашних хозяйств за предыдущий год с исключением весов тех компонентов набора товаров и услуг, которые не участвуют в указанном расчете. При этом нормализация взвешивания осуществляется таким образом, чтобы сумма компонентов при включении в показатель базового индекса потребительских цен составляла также 1 (или 100%). В результате такой процедуры каждому наименованию товаров (услуг), изменение цен на которые участвуют в расчетах базового индекса потребительских цен, придается дополнительный вес. По мере совершенствования информационной базы, используемой для расчетов индексов потребительских цен, в настоящие «Методологические рекомендации» могут быть внесены соответствующие изменения. Приложение 2 (выписка) Перечень товаров (услуг)–представителей цены на которые не участвуют в расчете базового индекса потребительских цен Плодоовощная продукция, включая картофель Овощи Фрукты и цитрусовые Непродовольственные товары Бензин Топливо Платные услуги Услуги пассажирского транспорта Городской электрический транспорт дка Воздушный транспорт С Железнодорожный транспорт МПС России Услуги связи Почтовая связь 118 Междугородная телефонная связь Телеграфная связь Проводное вещание Беспроводная радиосвязь Жилищно-коммунальные услуги Жилищные услуги Коммунальные услуги Газоснабжение Услуги по снабжению электроэнергией Услуги правового характера Услуги банков 119 Приложение 2 ПОСТАНОВЛЕНИЕ ГОСКОМСТАТА РФ от 25 марта 2002 г. №23 «ОБ УТВЕРЖДЕНИИ «ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ О ПОРЯДКЕ НАБЛЮДЕНИЯ ЗА ПОТРЕБИТЕЛЬСКИМИ ЦЕНАМИ И ТАРИФАМИ НА ТОВАРЫ И ПЛАТНЫЕ УСЛУГИ, ОКАЗАННЫЕ НАСЕЛЕНИЮ, И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНДЕКСА ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН» Государственный комитет Российской Федерации по статистике постановляет: Утвердить прилагаемые «Основные положения о порядке наблюдения за потребительскими ценами и тарифами на товары и платные услуги, оказанные населению, и определения индекса потребительских цен». Председатель Госкомстата России В.Л. Соколин Основные положения о порядке наблюдения за потребительскими ценами и тарифами на товары и платные услуги, оказанные населению, и определения индекса потребительских цен (утв. постановлением Госкомстата РФ от 25 марта 2002 г. №23) Целью настоящих Основных положений является определение важнейших методологических принципов организации статистического наблюдения за потребительскими ценами и тарифами на товары и платные услуги населению и расчета индексов потребительских цен. В соответствии с законом Российской Федерации «Об индексации денежных доходов и сбережений граждан в РСФСР» от 24 октября 1991 г. №1799-1 наблюдение за изменением потребительских цен возложено на органы государственной статистики. Федеральное государственное статистическое наблюдение за уровнем и динамикой потребительских цен осуществляется с применением методологии и инструментария, которые разрабатываются и утверждаются Госкомстатом России по согласованию с другими заинтересованными ведомствами. Наблюдение за ценами и расчет индексов потребительских цен осуществляется в рамках Федеральной программы статистических работ, ежегодно утверждаемой Госкомстатом России после ее согласования на заседании Правительства Российской Федерации. Расширение границ наблюдения за потребительскими ценами и тарифами на товары и услуги в части перечня товаров и услуг, входящих в единую корзину, населенных пунктов, где осуществляется сбор информации, а также видов расчетов на региональном уровне не финансируется Госкомстатом России. Настоящее положение устанавливает назначение и порядок наблюдения за изменением цен и тарифов на товары и платные услуги на потребительском рынке и определения индекса потребительских цен на территории Российской Федерации. 120 I. Определение индекса потребительских цен (ИПЦ) I.1. ИПЦ характеризует изменение во времени общего уровня цен на товары и услуги, приобретаемые населением для непроизводственного потребления. Он измеряет отношение стоимости фиксированного набора товаров и услуг в ценах текущего периода к его стоимости в ценах предыдущего (базисного) периода. I.2. Расчет ИПЦ осуществляется в целом по Российской Федерации, федеральным округам и субъектам Российской Федерации по единому набору товаров (услуг)представителей. II. Назначение индекса потребительских цен и средних цен на отдельные товары и услуги II.1. ИПЦ является одним из важнейших показателей, характеризующих инфляционные процессы в стране, и используется в целях осуществления государственной финансовой и денежно-кредитной политики, анализа и прогноза ценовых процессов в экономике, пересмотра минимальных социальных гарантий населению, решения отдельных правовых споров. II.2. ИПЦ применяется при пересчете макроэкономических показателей из текущих цен в сопоставимые цены. Он исчисляется также с целью характеристики изменения потребительских расходов населения на товары и платные услуги в текущем периоде по сравнению с предыдущим (базисным) периодом под влиянием изменения цен на эти товары и услуги по отдельным регионам и Российской Федерации в целом. II.3. Средние цены (тарифы) на отдельные виды товаров и услуг складываются под влиянием многообразных ассортиментных, а также территориальных сдвигов, сезонных колебаний и других факторов. Средние цены (тарифы) на товары и услуги определяются как среднеарифметические взвешенные величины из уровней цен отдельных городов и регионов. II.4. Информация о средних потребительских ценах и тарифах на продовольственные, непродовольственные товары и платные услуги населению в соответствии с Федеральным законом «О прожиточном минимуме в Российской Федерации» от 24 октября 1997 г. №134-ФЗ используется при определении его величины как в целом по Российской Федерации, так и по ее субъектам. Исходя из средних цен (тарифов) на отдельные виды товаров и услуг, определяется стоимость необходимого социального набора, на основании которой согласно Федеральному закону «О порядке установления долговой стоимости единицы номинала целевого долгового обязательства Российской Федерации» (от 6 июля 1996 г. №87-ФЗ) рассчитывается ее величина. Средние цены на потребительские товары и услуги также применяются для формирования стоимости фиксированного набора потребительских товаров и услуг для межрегиональных сопоставлений покупательной способности населения, и стоимости других наборов товаров и услуг, исчисленных по различным нормам потребления, в целях экономического анализа и различных сопоставлений. III. Основные этапы организации статистического наблюдения за потребительскими ценами III.1. Наблюдение за ценами и тарифами на товары и платные услуги на потребительском рынке, и расчет индекса потребительских цен включает в себя следующие этапы работы: 121 – отбор населенных пунктов; – отбор базовых предприятий торговли и сферы услуг; – отбор товаров (услуг)-представителей; – регистрация цен и тарифов; – формирование системы весов для расчета индекса потребительских цен; – расчет средних цен (тарифов) на товары и услуги; – расчет индекса потребительских цен; – подготовка ценовой информации для стоимостной оценки потребительской корзины, на базе которой проводится определение величины прожиточного минимума; – расчет долговой стоимости единицы номинала целевого долгового обязательства Российской Федерации; – расчет стоимости фиксированного набора потребительских товаров и услуг для межрегиональных сопоставлений покупательной способности населения. Расчет ИПЦ производится на базе информации, полученной из двух источников: – данных об изменении цен, рассчитанных на основе регистрации цен и тарифов на товары и услуги на потребительском рынке, за каждый отчетный период; – данных о структуре фактических потребительских расходов населения за предыдущий год, которые используется в качестве весов при расчете ИПЦ. IV. Отбор населенных пунктов IV.1. Наблюдение за потребительскими ценами проводится на территории всех субъектов Российской Федерации. Ценовая информация собирается во всех столицах республик (в составе Российской Федерации), краев, областей, автономных округов, городах федерального значения и выборочно – в районных центрах (городах, поселках городского типа, далее – «города»), отобранных с учетом их представительности в отражении социально-экономического и географического положения регионов и степени насыщенности потребительского рынка товарами и услугами. В соответствии с действующей методологией и принятыми международными нормами индекс потребительских цен на товары и услуги строится для городского населения. IV.2. Отбор городов для наблюдения за ценами в субъектах Российской Федерации осуществлялся в соответствии со следующими критериями: – общее число обследуемых населенных пунктов в регионе, как правило, должно находиться в пределах 2–4 городов; – города, отобранные для наблюдения за ценами, должны отражать географические особенности региона и располагаться в различных его частях; – в выборку не должны включаться города, расположенные в непосредственной близости друг от друга и от территориального центра, если уровни и динамика цен в этих городах не имеют принципиальных различий; – отобранные для наблюдения за ценами города должны характеризоваться наличием устойчивого наполнения потребительского рынка товарами и услугами, входящими в перечень, принятый для ежемесячного наблюдения; – численность населения городов, отобранных для ежемесячного наблюдения за ценами, суммарно должна составлять не менее 35% городского населения региона. На основании выработанных критериев сформирован перечень населенных пунктов, в которых сбор информации об уровне цен и тарифов на товары и услуги будет организован с 2003 г. V. Отбор базовых организаций торговли и сферы услуг 122 Наблюдение за ценами и тарифами на товары и услуги осуществляется в организациях торговли, а также на вещевых, смешанных и продовольственных рынках, как в стационарных торговых заведениях, так и при передвижной торговле (палатки, киоски и т.д.), и в организациях сферы услуг. В выборочную совокупность включаются предприятия и организации всех форм собственности и организационно-правовых форм, а также индивидуальные предприниматели, осуществляющие деятельность в розничной торговле. Для отбора базовых организаций могут быть использованы данные статистической отчетности, налоговых органов, организаций по управлению имуществом и других органов исполнительной власти. VI. Принципы формирования потребительского набора товаров и платных услуг VI.1. Потребительский набор товаров и услуг, на основании которого осуществляется наблюдение за ценами и рассчитывается ИПЦ, представляет собой единую для всех регионов Российской Федерации репрезентативную выборку групп товаров и платных услуг, наиболее часто потребляемых населением. Данный набор разрабатывается Госкомстатом России и остается неизменным в течение определенного времени (не менее года). VI.2. В набор товаров и услуг, разработанный для наблюдения за ценами, репрезентативно включены товары и услуги массового потребительского спроса, а также отдельные товары и услуги необязательного пользования (легковые автомобили, ювелирные изделия из золота, алкогольные напитки и т.д.). Отбор позиций произведен с учетом их относительной важности для потребления населения, представительности с точки зрения отражения динамики цен на однородные товары, устойчивого наличия их в продаже. Критерием для включения в набор новых товаров и услуг является их доля в общих потребительских расходах населения. Новые товары и услуги включаются в набор для наблюдения за потребительскими ценами в тех случаях, когда их доля составляет 0,1% от общих потребительских расходов населения. VI.3. Набор состоит из трех крупных групп: продовольственные товары, непродовольственные товары и платные услуги населению. Каждая группа представлена конкретными товарами (услугами) или малыми товарными подгруппами. VII. Регистрация цен и тарифов VII.1. Регистрация цен и тарифов на товары и услуги проводится специалистами территориальных органов государственной статистики. VII.2. Сбор информации для расчета ИПЦ проводится путем регистрации цен на конкретные виды товаров и услуг ежемесячно с 23 по 25 число отчетного месяца. По товарам и услугам, цены (тарифы) на которые не подвержены резким изменениям, регистрация цен может быть проведена в более ранние сроки, но не более чем на один–два дня до установленного времени. VII.3. В соответствии с Федеральным законом Российской Федерации «О порядке установления долговой стоимости единицы номинала целевого долгового обязательства Российской Федерации» от 6 июля 1996 г. №7-ФЗ, органами государственной статистики, проводится еженедельная регистрация цен и тарифов на товары и услуги, входящие в состав необходимого социального набора, принятого для расчета долговой стоимости единицы номинала целевого долгового обязательства Российской Федерации. 123 VII.4. Регистрации подлежит фактическая цена товара, имеющегося в свободной реализации (без учета товаров, реализуемых на льготных условиях) и оплачиваемого наличными деньгами. Потребительская цена включает НДС, акциз, налог с продаж и другие косвенные налоги, а также расходы и доходы организаций товаропроводящей сети. VIII. Формирование системы весов для расчета индекса потребительских цен VIII.1. Источником информации о потребительских расходах населения являются ежегодные данные, полученные в результате обследований бюджетов домашних хозяйств. Для определения удельного веса отдельных статей потребительского набора используется также дополнительная информация: данные о структуре розничного товарооборота, о производстве отдельных видов продукции, другие источники; применяются экспертные оценки. Потребительские расходы домашних хозяйств являются частью денежных расходов, которые направляются на приобретение потребительских товаров и услуг. Потребительские расходы состоят из расходов на покупку продуктов питания (включая расходы на питание вне дома), алкогольных напитков, непродовольственных товаров и расходов на оплату услуг. В их составе не учитываются расходы на покупку ювелирных изделий, оплату материалов и работ по строительству и капитальному ремонту жилых или подсобных помещений, являющиеся инвестициями в основной капитал. VIII.2. Учитывая различия в структуре потребления населением товаров и услуг по отдельным субъектам Российской Федерации, ИПЦ на региональном уровне разрабатывается на базе структуры потребительских расходов населения, рассчитанной для данного региона, на федеральном уровне – на базе структуры потребительских расходов в целом по Российской Федерации за предыдущий год. Структура потребительских расходов, предназначенная для расчета ИПЦ, разрабатывается по категории «все население». Помимо этого, используя данные о расходах отдельных групп населения, осуществляются расчеты сводных индексов потребительских цен в разрезе групп населения с различным уровнем доходов. VIII.3. Пересмотр системы весов, используемой при построении индексов потребительских цен, осуществляется ежегодно. При высоких темпах инфляции, вызывающих значительные и резкие изменения в структуре потребления населения в течение короткого промежутка времени, в систему весов, используемую для расчета ИПЦ, в течение отчетного года могут вноситься соответствующие коррективы. IX. Расчет средних цен (тарифов) на товары и услуги IX.1. На базе собранной ценовой информации рассчитываются средние цены на отдельные виды товаров и услуг. По Российской Федерации средние потребительские цены определяются как среднеарифметические взвешенные величины из уровней цен товаров и услуг в отдельных регионах, а по отдельным регионам – в отдельных городах. При исчислении средних цен на отдельные виды товаров и услуг в разрезе субъектов Российской Федерации и по России в целом используется информация о численности наличного населения в отдельных городах и регионах. IX.2. Средние цены на отдельные товары и услуги складываются под влиянием многообразных ассортиментных, а также территориальных сдвигов, сезонных колебаний и других факторов. Таким образом изменение средних цен на товары отличается по своему экономическому содержанию от индексов цен по этим товарам, прежде всего тем, 124 что учитывает не только ценовой фактор, т.е. изменение конкретных цен на отдельные товары, но и структурные, ассортиментные сдвиги. Важнейшими из факторов, влияющих на структурные сдвиги, являются следующие: появление новых товаров, исчезновение старых, изменение доли отдельных товаров с различным уровнем цен, открытие (закрытие) организаций торговли или их перепрофилирование, территориальные сдвиги в размещении товаров с региональной дифференциацией цен, сезонные колебания цен и т.д. Учитывая вышесказанное, информация о средних ценах не всегда может быть использована для характеристики динамики цен. Наряду с динамическими рядами средних цен, важное место в анализе ценовой информации занимают пространственные ряды цен, на основании которых проводят межрегиональные сопоставления цен на одни и те же товары. Информация о средних ценах используется для определения стоимости различных наборов товаров и услуг как в целом по России, так и по субъектам Российской Федерации, а также в других целях. X. Порядок расчета индекса потребительских цен X.1. Расчет ИПЦ на федеральном и региональном уровнях производится по единой методологии. Х.2. На основании данных регистрации цен определяются средние сопоставимые цены отчетного и предыдущего периодов на конкретные товары и услуги. Сопоставимой по сравнению с базисным периодом считается цена, зарегистрированная в одном и том же предприятии торговли (сферы услуг) на один и тот же товар. Для обеспечения сопоставимости ценовой информации (например, в случае отсутствия товаров в продаже в конкретном торговом предприятии или во всем регионе) используется метод замены. Х.3. Расчет ИПЦ осуществляется поэтапно. Х.3.1. Индивидуальные индексы цен на отдельные товары и услуги по городу определяются как частное от деления средних сопоставимых цен. Х.3.2. На базе индивидуальных индексов цен по городам, участвующим в наблюдении, и территориальных весов определяются агрегатные индексы цен на отдельные товары (услуги), в целом по региону, экономическому району, федеральному округу и Российской Федерации. В качестве весов в этом случае используется удельный вес численности наличного населения обследуемой территории в общей численности населения Российской Федерации. Х.З.3. Исходя из агрегатных индексов цен на отдельные виды товаров и услуг по субъекту Российской Федерации (экономическому району, федеральному округу, Российской Федерации) и доли расходов на их приобретение в потребительских расходах населения, определяются сводные индексы цен по отдельным товарным группам, в целом по группам продовольственных, непродовольственных товаров и платных услуг, а также ИПЦ в целом по субъекту Российской Федерации (экономическому району, федеральному округу, Российской Федерации). Х.4. Расчет ИПЦ осуществляется в соответствии с формулой Ласпейреса: I1/0 = (P0j Q0j P1j/P0j)/ (P0j Q0j), где I1/0 – сводный индекс потребительских цен в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом; P1j – цена товара (услуги) в отчетном периоде; P0j – цена товара (услуги) в базисном периоде; P0j, Q0j – расходы на приобретение товара (услуги) в общих потребительских расходах населения базисного периода. 125 Х.5. Расчет ИПЦ производится с месячной периодичностью. Ежемесячно исчисляются индексы цен к предыдущему месяцу, к соответствующему месяцу предыдущего года, к декабрю предыдущего года. Для пересчета макроэкономических показателей в сопоставимые цены осуществляется расчет индексов цен к соответствующему периоду предыдущего года. Ежеквартально определяются индексы цен на конец квартала к концу предыдущего квартала, к соответствующему кварталу предыдущего года, к соответствующему кварталу базисного года, к базисному году. Расчет индексов цен на отдельные товары (услуги)-представители, а также сводных индексов цен за квартал, период с начала года, период за ряд лет производится «цепным» методом, т.е. путем перемножения соответственно месячных, квартальных или годовых индексов потребительских цен. XI. Исчисление стоимости наборов товаров и услуг Исходя из информации о средних ценах на отдельные товары и услуги и нормах их потребления, определяется стоимость различных наборов товаров и услуг. XI.1. В целях реализации Федерального закона Российской Федерации от 24 октября 1997 г. №134-ФЗ «О прожиточном минимуме в Российской Федерации» проводится наблюдение за ценами и тарифами на товары и платные услуги, включенные в потребительскую корзину – минимальный набор продуктов питания, непродовольственных товаров и услуг, необходимых для сохранения здоровья человека и его жизнедеятельности. На базе собранной информации об уровне потребительских цен на продукты питания, непродовольственные товары и услуги производится стоимостная оценка потребительской корзины, используемая для исчисления величины прожиточного минимума на душу населения. ХI.2. Необходимый социальный набор разрабатывается в соответствии с Федеральным законом Российской Федерации от 6 июля 1996 г. №87-ФЗ «О порядке установления долговой стоимости единицы номинала целевого долгового обязательства Российской Федерации» и используется для расчета долговой стоимости единицы номинала целевого долгового обязательства в целом по Российской Федерации. ХI.3. На базе разработанного перечня товаров и услуг и норм их потребления осуществляется исчисление стоимости фиксированного набора потребительских товаров и услуг в целях межрегиональных сопоставлений покупательной способности населения в целом по России и субъектам Российской Федерации. XII. Публикация индекса потребительских цен XII.1. ИПЦ за месяц публикуется в ежемесячном экономическом докладе Госкомстата России «Социально-экономическое положение России» и размещается на сайте Госкомстата России в информационной системе Интернет в сроки, предусмотренные Федеральной программой статистических работ. ХII.2. ИПЦ по России в целом ежеквартально публикуется в «Российской газете» до 20 числа месяца, следующего за истекшим кварталом. В те же сроки публикуется ИПЦ за квартал, рассчитанный по набору товаров и услуг без учета товаров необязательного пользования. ХII.3. Информация об ИПЦ за год публикуется в ежегодных статистических изданиях «Российская Федерация в цифрах», «Российский статистический ежегодник», «Регионы России», а также в статистическом сборнике «Цены в России». ХII.4. Порядок публикации ИПЦ на региональном уровне определяется территори126 альными органами государственной статистики. ХII.5. В случае необходимости может производиться корректировка ранее опубликованных данных, с учетом имевших место уточнений. ХII.6. При опубликовании внешними пользователями информации об ИПЦ, рассчитанного Госкомстатом России, а также другой ценовой информации, собираемой органами государственной статистики, в обязательном порядке должна производиться ссылка на источник информации (Госкомстат России). С введением настоящих Основных положений отменяется ранее действовавшее Положение «О порядке наблюдения за изменением цен и тарифов на товары и услуги, определения индекса потребительских цен», утвержденное Постановлением Госкомстата России от 29 июня 1995 г. №79. По мере совершенствования информационной базы, используемой для расчетов индексов потребительских цен, в настоящие «Основные положения» могут быть внесены соответствующие изменения. Управление статистики цен и финансов Госкомстата России Краткий глоссарий Индекс цен – относительный показатель, выраженный в коэффициентах или процентах, характеризующий изменение цен во времени или в пространстве. Индивидуальный индекс цен – представляет собой отношение цены конкретного товара (услуги) в определенный период времени к цене того же товара (услуги) в базисном периоде. Сводный индекс цен – взвешенное среднее значение всех индивидуальных индексов цен. Индекс цен базисный – базисный индекс рассчитывается как отношение цены текущего периода к цене периода, принятого за базу. Индекс цен цепной – строится методом отнесения цены текущего периода к цене предыдущего периода. При постоянных весах действует правило, согласно которому произведение цепных индексов равняется базисному. Базисный период индекса – период, для которого значение индекса устанавливается равным 1,0 или 100%. Цена (тариф) – денежное выражение стоимости товара (услуги) в единицах определенной валюты (национальной или международной) за количественную единицу товара. Уровень цены складывается под влиянием ряда объективных обстоятельств, не зависящих от участников сделки (особенность товара, его конкурентоспособность, степень монополизации рынка и т.п.), а также субъективных обстоятельств (выбор контрагента, рынка сбыта, времени, места и способа заключения сделки и т.п.). Потребительская (розничная) цена (тариф) – фактическая цена или тариф на товары и услуги, реализуемые в свободной продаже в организациях торговли сферы услуг в стационарных торговых заведениях и при передвижной торговле (киоски, палатки и т.д.), а также на рынках. Потребительская цена является конечной ценой потребления и включает в себя НДС, акциз, налог с продаж и другие косвенные налоги, а также затраты и прибыль организаций товаропроводящей сети. Сопоставимая цена (тариф) – цена (тариф), зарегистрированная в одной и той же организованной торговли (сферы услуг) на один и тот же товар (услугу). Средняя цена (тариф) – среднеарифметическая величина из уровней цен товара (услуги)-представителя, зарегистрированных в различных городах. Средняя арифметическая взвешенная цена – P = di Pi/di, где Pi – цена товара; 127 di – доля численности населения территории. Регистрация цен (тарифов) – метод сбора информации о ценах на товары (услуги), вошедшие в сформированные наборы товаров (услуг)-представителей в организациях, отобранных для наблюдения за потребительскими ценами. Товар (услуга)-представитель – вся совокупность товаров (услуг) определенного вида, которые могут отличаться друг от друга незначительными особенностями (деталями), не влияющими на качество и основные потребительские их свойства, и должны быть однородными по своему потребительскому назначению. Набор товаров (услуг)-представителей – единая для всех регионов Российской Федерации репрезентативная выборка групп товаров и платных услуг, наиболее часто потребляемых населением. Взвешивание – метод индексных расчетов для получения сводных показателей из индивидуальных элементов, каждому из которых придается определенное значение, или вес, в общей их совокупности. Веса – мера относительной значимости товара (услуги) в рамках сводного индекса цен. Приложение 1 (выписка) Перечень населенных пунктов, в которых организовано наблюдение за потребительскими ценами и тарифами на товары и услуги населению в 2003 г. Приволжский Федеральный округ Уфа, Нефтекамск, Сибай, Стерлитамак. Йошкар-Ола, Волжск. Саранск, Ковылкино. Казань, Зеленодольск, Набережные Челны. Ижевск, Воткинск, Можга. Чебоксары, Канаш. Киров, Кирово-Чепецк. Нижний Новгород, Арзамас, Дзержинск, Урень, Семенов, Лысково, Городец. Оренбург,Бузулук, ОрскПенза, Сердобск, Кузнецк. Пермь, Березники, Чайковский. Кудымкар Самара, Сызрань, Тольятти. Саратов,Балаково, Балашов, Ртищево Ульяновск, Димитровград. Индекс потребительских цен (% к предыдущему месяцу) (информация приведена по состоянию на 8 октября 2005 г.) Год 2005 128 январь 102,6 февраль 101,2 март 101,3 апрель 101,1 май 100,8 июнь 100,6 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 101,8 102,4 103,1 102,8 102,3 108,5 101,5 102,3 104,1 118 118 126 101,0 101,6 101,2 102,3 101,0 104,1 100,9 102,8 111 111 125 100,8 101,1 101,1 101,9 100,6 102,8 100,6 101,4 102,8 109 107 120 101,0 101,0 101,2 101,8 100,9 103,0 100,4 101,0 102,2 108,5 108 119 100,7 100,8 101,7 101,8 101,8 102,2 100,5 100,9 101,6 107,9 107 118 100,8 100,8 100,5 101,6 102,6 101,9 100,1 101,1 101,2 106,7 106 120 Год 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 июль 100,5 100,9 100,7 100,7 100,5 101,8 102,8 100,2 100,9 100,7 105,4 105 122 111 август 99,9 100,4 99,6 100,1 100,0 101,0 101,2 103,7 99,9 99,8 104,6 105 126 109 сентябрь 100,3 100,4 100,3 100,4 100,6 101,3 101,5 138,4 99,7 100,3 104,5 108 123 112 октябрь ноябрь декабрь 101,1 101,0 101,1 101,1 102,1 101,4 104,5 100,2 101,2 104,7 115 120 123 101,1 101,0 101,6 101,4 101,5 101,2 105,7 100,6 101,9 104,5 115 116 126 101,1 101,1 101,5 101,6 101,6 101,3 111,6 101,0 101,4 103,2 116 113 125 июнь 108,0 106,1 107,9 109 112,7 109,5 Индекс потребительских цен (% к декабрю предшествующего года) Год 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 1995 1994 1993 1992 январь 101,1 102,4 февраль 103,9 102,8 104,1 104,3 105,1 Год 112,9 102,4 103,9 107 131 131 157 477 март 105,3 103,5 105,2 105,4 107,1 104,1 116,0 103,1 105,4 110 142 140 188 619 апрель 106,5 104,6 106,2 106,6 109,0 105,0 119,5 103,5 106,4 112 154 152 224 753 май 107,3 105,3 107,1 108,4 110,9 106,8 122,2 104,0 108,4 101,5 102,3 104,1 118 118 126 345 114 167 163 264 843 104,1 108,6 116 178 172 317 в 10,0 р июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь 129 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1999 1998 1997 1996 108,5 107,1 109,8 113,2 111,5 128,0 104,2 109,6 108,3 107,6 108,3 109,9 113,2 112,6 129,5 109,5 108,6 108,0 108,6 110,3 113,9 114,1 109,3 109,7 111,5 115,2 116,5 149,6 109,1 156,4 109,3 110,5 110,8 113,3 116,7 118,2 134,8 165,3 110,0 111,7 112,0 115,1 118,6 120,2 136,5 184,4 111,0 121,8 Информация Нижегородского областного комитета государственной статистики об уровне потребительских цен в Нижегородской области 2005 г. Месяцы 2005 г. Январь Февраль I квартал Апрель Май Июнь Июль Август Индексы потребительских цен, % к предыдущему периоду 102,5 101,6 105,1 101,9 100,2 100,7 100,4 99,2 Месяцы 2004 г. Январь Февраль Март I квартал Апрель Май Июнь I полугодие Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь За весь 2004 г. Индексы потребительских цен, % к предыдущему периоду 101,92 102,34 100,77 105,1 100,89 100,58 101,02 107,8 101,44 99,87 99,9 101,6 101,5 114,3 http://www.nizstst.sinn.ru сайт нижегородского статуправления Приложение 2 ЦЕНТРАЛЬНЫЙ БАНК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 14 октября 1998 г. №285-Т 130 Методические рекомендации к положению банка России «О порядке начисления процентов по операциям, связанным с привлечением и размещением денежных средств банками, и отражения указанных операций по счетам бухгалтерского учета» от 26 июня 1998 г. №39-П УСЛОВНЫЕ ПРИМЕРЫ ПО ПОРЯДКУ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ ПО ПРИВЛЕЧЕННЫМ (РАЗМЕЩЕННЫМ) ДЕНЕЖНЫМ СРЕДСТВАМ БАНКОВ ПО ФОРМУЛАМ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ, СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИКСИРОВАННОЙ И ПЛАВАЮЩЕЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ Формулы определения наращенной суммы долга по привлеченным (размещенным) средствам банков 1. По формуле простых процентов: S = Р (1 + I t/K), где I – годовая процентная ставка; t – количество дней начисления процентов по привлеченным (размещенным) денежным средствам; К – количество дней в календарном году (365 или 366); Р – первоначальная сумма привлеченных (во вклад, депозит и на другие банковские счета) или размещенных (в кредит, заем и на других банковских счетах) денежных средств; S – сумма денежных средств, причитающихся к возврату (получению), равная первоначальной сумме привлеченных (размещенных) денежных средств плюс начисленные проценты. 2. По формуле сложных процентов: S = P (1 + I j/K)n, где I – годовая процентная ставка; j – количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов; К – количество дней в календарном году (365 или 366); n – количество операций по капитализации начисленных процентов в течение общего срока привлечения (размещения) денежных средств; Р – первоначальная сумма привлеченных (во вклад, депозит и на другие банковские счета) или размещенных (в кредит, заем и на других банковских счетах) денежных средств; S – сумма денежных средств, причитающихся к возврату (получению), равная первоначальной сумме привлеченных (размещенных) денежных средств плюс начисленные капитализированные проценты. 3. При начислении процентов по плавающей процентной ставке может применяться, например, ставка ЛИБОР плюс/минус установленный соответствующим договором процент (по привлеченным и размещенным средствам в иностранной валюте) либо ставка рефинансирования Банка России (другая ставка межбанковского рынка) плюс/минус установленный соответствующим договором процент (по привлеченным и размещенным средствам в рублях). 131 Общие положения В период с 1 июля по 31 декабря 1998 года банк осуществляет операции по привлечению денежных средств физических и юридических лиц во вклады (депозиты) и межбанковские кредиты, а также производит операции по размещению собственных и привлеченных денежных средств. Календарь II полугодия 1998 г. Пн Вт 6 13 20 27 7 14 21 28 Пн Вт 5 12 19 26 6 13 20 27 Ср 1 8 15 22 29 Июль Чт 2 9 16 23 30 Август Сентябрь Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 6 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 7 8 9 10 11 12 13 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 14 15 16 17 18 19 20 24 25 26 17 18 19 20 21 22 23 21 22 23 24 25 26 27 31 24 25 26 27 28 29 30 28 29 30 Октябрь Ноябрь Декабрь Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс 1 2 3 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 21 22 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 23 24 25 26 27 28 29 28 29 30 31 30 1. Операции банка по начислению и уплате процентов по привлеченным во вклады (депозиты) денежным средствам физических и юридических лиц, а также полученным межбанковским кредитам Исходные данные: Сроки привлечения банком средств во вклады (депозиты), а также межбанковские кредиты – на условиях «овердрафт», «до востребования», «овернайт» – 3, 7 и 21 день, 3 месяца. Процентные ставки банка (ставки привлечения): По вкладам населения Срок % До востре- 3–4* бования 21 день 3 месяца 15 22 По депозитам юр. лиц Срок «овернайт» % 18,5–18,8** 3 дня 7 дней СР – 0,5*** СР + 0,5*** По межбанковским привлеченным средствам Срок Внутридневной овердрафт, предоставленный банком – корреспондентом по счету «ЛОРО» Кредит «овернайт» Депозит на 7 дней % 5,5 18,8–20,7** 22,4–24,9** * В тексте настоящего Приложения все ставки привлечения и размещения указаны в процентах годовых. ** Диапазон ставок задан в зависимости от колебаний ставки межбанковского рынка. В приводимых в настоящем Приложении условных примерах рассматриваются только банковские операции по привлечению и размещению рублевых денежных средств. 132 *** Плавающая ставка, равная ставке рефинансирования Банка России плюс (минус) установленный банком процент. Ставка рефинансирования Банка России в рассматриваемом периоде: – по состоянию на 01.07.98 г. – 18%; – по состоянию на 20.11.98 г. – 16%. 1.1. Начисление процентов на сумму срочного депозита 02.07.98 г. банк принимает в межбанковский депозит денежные средства в сумме 50 тыс. руб. сроком на 7 дней по ставке 24,9%. Полный срок депозита (02–09.07.98 г.) – 8 календарных дней (n), период начисления процентов по депозиту (02–08.07.98 г.) – 7 календарных дней (n – 1). 09.07.98 г. банк возвращает сумму депозита и уплачивает начисленные проценты в сумме: 50 000 руб. 24,9% 7 дней/365 дней = 238 руб. 77 коп. 1.2. Начисление процентов на сумму вклада до востребования по процентной ставке, изменяющейся в течение срока действия договора банковского вклада 07.07.98 г. банк заключает с вкладчиком договор банковского вклада на условиях выдачи вклада по первому требованию (вклад до востребования). Первоначальная сумма вклада – 84 руб. Процентная ставка – 3%, начисленные проценты не увеличивают сумму основного вклада, выплата процентов осуществляется по первому требованию вкладчика отдельно от суммы вклада. 30.07.98 г. вкладчик снимает с вклада денежные средства в сумме 43 руб. 04.08.98 г. банк принимает решение об увеличении, начиная с 10 августа 1998 г. процентной ставки по вкладам до востребования до 4%. 03.09.98 г. вкладчик снимает оставшуюся сумму вклада и начисленные за весь период вклада проценты. Полный срок вклада (07.07–03.09.98 г.) – 59 календарных дней (n), период начисления процентов по вкладу (07.07–02.09.98 г.) – 58 календарных дней (n – 1). 03.09.98 г. банк возвращает вкладчику остаток вклада в сумме 41 руб. и уплачивает начисленные на этот день проценты в сумме: (84 руб. 3% 23 дня/365 дней) + (41 руб. 3% 11 дней/365 дней + + (41 руб. 4% 24 дня/365 дней) = 31 коп. 1.3. Начисление процентов на сумму срочного вклада с условием ежемесячной капитализации процентов 20.07.98 г. банк заключает с вкладчиком договор срочного вклада на 3 месяца (срок возврата вклада – 20.10.98 г.). Сумма вклада – 10 тыс. руб. Процентная ставка – 22%, 20-го числа каждого месяца действия договора производится капитализация начисленных процентов. Переоформление вклада по окончании срока действия договора на ранее действовавших условиях срочного вклада договором не предусматривается. Выплата причисленных к сумме вклада процентов осуществляется по истечении срока действия договора. В течение срока действия договора банк трижды – 20.08.98 г., 20.09.98 г. и 20.10.98 г. производит капитализацию начисленных процентов во вклад. 20.10.98 г. – срок окончания договора срочного вклада, вкладчик не явился за вкладом в установленный договором срок. В этот же день после окончания операционного дня банк переоформляет указанный срочный вклад во вклад до востребования. 28.10.98 г. вкладчик получает сумму вклада до востребования и начисленные за период с 20.10.98 г. по 27.10.98 г. включительно (8 календарных дней) проценты по установленной ставке 4%. Полный срок срочного вклада (20.07–20.10.98 г.) – 93 календарных дня (n), период на- 133 числения процентов по ставке срочного вклада – 22% (20.07–19.10.98 г.) – 92 календарных дня (n – 1). Полный срок вклада до востребования (20.10–28.10.98 г.) – 9 календарных дней (n), период начисления процентов по ставке вклада до востребования – 4% (20.10–27.10.98 г.) – 8 календарных дней. Порядок начисления банком процентов на сумму вклада: – сумма срочного вклада на 21.08.98 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.07.98 г. по 19.08.98 г. включительно): 10 000 руб. + (10 000 руб. 22% 31 день/365 дней) = 10 186 руб. 85 коп. – сумма срочного вклада на 21.09.98 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.08.98 г. по 19.09.98 г. включительно): 10 186,85 руб. + (10 186,85 руб. 22% 31 день/365 дней) = 10 377 руб. 19 коп. – сумма срочного вклада по состоянию на конец операционного дня 20.10.98 г. (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.09.98 г. по 19.10.98 г. включительно), в конце рабочего дня 20.10.98 г. переоформленного во вклад до востребования: 10 377,19 руб. + (10 377,19 руб. 22% 30 дней/365 дней) = 10 564 руб. 83 коп. – сумма начисленных на вклад до востребования процентов (за период с 20.10.98 г. по 27.10.98 г. включительно): 10564,83 руб. 4% 8 дней/365 дней = 9 руб. 26 коп. Таким образом, общая сумма возврата денежных средств вкладчику составит на 28.10.98 г. 10 574 руб. 09 коп., из которых 10 564 руб. 83 коп. – сумма срочного вклада с учетом капитализированных процентов и 9 руб. 26 коп. – проценты, начисленные за время, прошедшее с момента переоформления указанного срочного вклада во вклад до востребования. 1.4. Начисление процентов на сумму срочного вклада по формуле сложных процентов 05.08.98 г. банк заключает с вкладчиком договор срочного банковского вклада на 21 день (срок возврата вклада – 26.08.98 г.). Сумма вклада – 10 тыс. руб. Процентная ставка – 15%, по условиям договора начисленные по итогам каждого дня срока действия депозита проценты увеличивают сумму вклада. Полный срок вклада (05.08–26.08.98 г.) – 22 календарных дня (n), период начисления процентов по вкладу (05.08–25.08.98 г.) – 21 календарный день (n – 1). 26.08.98 г. банк возвращает вкладчику вклад (с учетом ежедневной капитализации процентов) в сумме: 10 000 руб. (1 + 15% 1 день/365 дней)21 = 10 086 руб. 66 коп. 1.5. Начисление процентов на сумму депозита по плавающей процентной ставке 17.11.98 г. банк привлекает в 7-дневный депозит денежные средства юридического лица (предприятия) в сумме 45 тыс. руб. по плавающей процентной ставке, равной ставке рефинансирования Банка России, действующей на момент действия депозита (по состоянию на 17.11.98 г. – 18%), плюс 0,5%. 19.11.98 г. Банк России объявляет о снижении начиная с 20.11.98 г. ставки рефинансирования с 18 до 16%. Полный срок депозита (17–24.11.98 г.) – 8 календарных дней (n), период начисления процентов (17–23.11.98 г.) – 7 календарных дней (n – 1). 24.11.98 г. банк возвращает предприятию сумму депозита и уплачивает начисленные проценты в сумме: (45000 руб. 18,5% 3 дня/365 дней) + (45000 руб. 16,5% 4 дня/365 дней = = 149 руб. 79 коп. 134 1.6. Начисление процентов на сумму предоставленного внутридневного овердрафта по счету «ЛОРО» в банке-корреспонденте 09.12.98 г. в соответствии с договором о корреспондентских отношениях банк – корреспондент предоставляет внутридневной овердрафт по счету «ЛОРО» банка – респондента. Сумма внутридневного овердрафта составила 183562 руб. в течение 2 ч 30 мин (150 мин) и 32745 руб. в течение 1 ч 17 мин (77 мин). На конец дня дебетового сальдо по корреспондентскому счету «ЛОРО» у банка – корреспондента не было. Процентная ставка по внутридневному овердрафту составляет 5,5%, время работы расчетной системы корреспондентских отношений между банками – 9 ч (540 мин) в сутки. 10.12.98 г. банк – респондент на основании полученной от банка – корреспондента выписки по корреспондентскому счету «НОСТРО» оплачивает задолженность по процентам за предоставленный 09.12.98 г. внутридневной овердрафт в сумме: (183562 руб. 5,5% 150 мин./ 540 мин. 1 день/ 365 дней) + + (32745 руб. 5,5% 77 мин./ 540 мин. 1 день/365 дней) = 8 руб. 39 коп. 2. Операции банка по начислению и получению процентов по денежным средствам, размещенным в кредиты, займы и межбанковские депозиты 2.1. Начисление процентов на сумму выданного кредита по фиксированной процентной ставке 11.08.98 г. банк выдает юридическому лицу (предприятию) кредит в сумме 250 тыс. руб. на 1 месяц по ставке 25%. Срок возврата суммы кредита и уплаты процентов по нему – 11.09.98 г. Полный срок кредита (11.08–11.09.98 г.) – 32 календарных дня (n), период начисления процентов по кредиту (11.08–10.09.98 г.) – 31 календарный день (n – 1). 11.09.98 г. согласно условиям кредитного договора предприятие – заемщик погашает перед банком задолженность по кредиту и производит уплату процентов за пользование кредитом в сумме: 250 000 руб. 25% 31 день/365 дней = 5 308 руб. 22 коп. 2.2. Начисление процентов на сумму выданного межбанковского кредита по плавающей процентной ставке Банк осуществляет операции по выдаче межбанковских кредитов на срок в 3 дня. Процентная ставка по кредиту изменяется на ежедневной основе и равна ставке МИБОР по однодневным кредитам, действующей на соответствующий день срока действия кредитного договора, плюс 2%. Капитализация начисленных процентов не производится. Продление срока действия договора кредитным договором не предусматривается. 08.12.98 г. банк выдал межбанковский кредит на указанных выше условиях в сумме 1 млн 200 тыс. руб. (срок возврата суммы кредита и уплаты начисленных процентов – 11.12.98 г.). Полный срок кредита (08–11.12.98 г.) – 4 календарных дня (n), период начисления процентов по кредиту (08–10.12.98 г.) – 3 календарных дня (n – 1). В период действия кредитного договора процентная ставка банка – кредитора по текущему кредиту составила: Дата 08.12.98 09.12.98 10.12.98 Ставка МИБОР по 1-дн. кредитам, % 14,29 17,65 15,03 Ставка банка-кредитора, % (гр. 2 + 2%) 16,29 19,65 17,03 135 Начисление банком – кредитором процентов: 1) 09.12.98 г. (за первый день пользования суммой кредита): 1 200 000 руб. 16,29% 1 день/365 дней = 535 руб. 56 коп. 2) 10.12.98 г. (за второй день пользования суммой кредита): 1 200 000 руб. 19,65% 1 день/365 дней = 646 руб. 03 коп. 3) 11.12.98 г. (за третий день пользования суммой кредита): 1 200 000 руб. 17,03% 1 день/365 дней = 559 руб. 89 коп. 11.12.98 г. банк – заемщик погашает задолженность по кредиту в сумме 1 млн 200 тыс. руб. и уплачивает начисленные проценты в сумме 1 741 руб. 48 коп. (535,56 + 646,03 + 559,89). 136 Приложение 3 Основные программы кредитования покупки недвижимости, доступные в Нижнем Новгороде 04.2006 Размер кредита Процентная (% от Срок Обеспечение ставка, годовых стоимости жилья) Сбербанк. До 90% До 20 16% в рублях, Кредит до 300 лет 11% в валюте тыс. руб. поручительство Жилищный кредит 1 физлица; от 300 до 750 тыс. руб. поручительство 2 физлиц; больше 750 тыс. руб. -поручительство 1 физлица + залог ликвидного имущества Сбербанк. До 90% До 20 До оформления До оформления лет ипотеки: 16% в ипотеки рублях, 11% в поручительство Ипотечный кредит валюте. После физлиц, после оформления оформления ипотеки: 15% в ипотеки -залог рублях, 10,8% в приобретаемой валюте недвижимости Программа (КРЕДИТОР) Сбербанк. Кредит«Ипотечный плюс» (строящееся жилье) Сбербанк. До 90% До 20 До оформления лет ипотеки: 15% в рублях, 10,8% в валюте. После оформления ипотеки: 14% в рублях, 10,6% в валюте До 95% До 20 при нали- лет чии детей. «Молодая семья» При отсутствии детей - до 90% от стоимости жилья 16% в рублях, 11% в валюте Ограничения Комиссия Возрастные -от 1,5% от суммы 18 до 75 лет (к кредита (мин. моменту пога- 200 руб., макс. 2 шения кредита) тыс. руб.) Возрастные -от 1,5% от суммы 18 до 75 лет (к кредита (мин. моменту пога- 200 руб., макс. 2 шения кредита) тыс. руб.)+тариф за организацию ипотечной сделки 500 руб.; нотариус -по договоренности Залог имущест- В домах, кото- 1,5% от суммы венных прав на рые строят кредита (мин. строящуюся «Жилстрой-НН», 200 руб., макс. 2 квартиру. После «Стриот», тыс. руб.)+тариф окончания ВВСК, «Вереск- за организацию строительства - НН» и др. Воз- ипотечной сделзалог приобре- раст - от 18 до 75 ки 500 руб.; таемой недви- лет к моменту нотариус- по жимости погашения кре- договоренности дита Кредит до 300 Только для мо- 1,5% от суммы тыс. руб. лодых семей, кредита (мин. поручительство если один из 200 руб., макс. 2 1 физлица; от супругов не тыс. руб.) 300 до 750 тыс. достиг 30 лет руб. поручительство 2 физлиц, больше 750 тыс. руб. -поручительство 137 КИТ Финанс. Основная программа КИТ Финанс. КИТ-Валютный стандарт КИТ Финанс. Долгосрочный стандарт КИТ Финанс. Ипотека мечта 138 До 90% До 30 (не менее лет 10 тыс. долларов/ 300 тыс. руб.) До 70%, но не менее 50 тыс. долларов 5-10 лет До 70%, но не менее 1,5 млн руб. 20-30 лет До 70% 1 -30 лет 1 физлица + залог ликвидного имущества 10,5-12% в дол- Залог приобре- От 18 до 60 лет, Рассмотрение ларах, 11,75таемой недви- при этом 60 лет- заявки на пре14,5% в рублях в жимости предельный доставление зависимости от возраст оконча- кредита-1000 срока и размера ния срока выпла- руб., открытие и первоначального ты ипотечного ведение ссудного взноса кредита. Стаж счета -5000 руб. заемщика на последнем месте работы -не менее 6 месяцев 9,75% в долла- Кредит предос- От 18 до 60 лет, Рассмотрение рах тавляется на при этом 60 лет- заявки на преприобретение предельный доставление недвижимости возраст оконча- кредита-1000 на первичном ния срока выпла- руб., открытие и рынке (под ты ипотечного ведение ссудного залог жилья, кредита. Стаж счета -5000 руб. находящегося в заемщика на собственности) последнем месте и на вторичном работы -не менее рынке (под 6 месяцев залог приобретаемой недвижимости) 11,75% в рублях Кредит предос- От 18 до 60 лет, Рассмотрение тавляется на при этом 60 лет- заявки на преприобретение предельный доставление недвижимости возраст оконча- кредита-1000 на первичном ния срока выпла- руб., открытие и рынке (под ты ипотечного ведение ссудного залог жилья, кредита. Стаж счета -5000 руб. находящегося в заемщика на собственности) последнем месте и на вторичном работы -не менее рынке (под 6 месяцев залог приобретаемой недвижимости) Плавающая - 5% Кредит предос- От 18 до 60 лет, Рассмотрение + MosPrime 3M тавляется на при этом 60 лет - заявки на пре(текущая ставка приобретение предельный доставление -10,08% в руб- недвижимости возраст оконча- кредита-1000 лях) на первичном ния срока выпла- руб., открытие и рынке (под ты ипотечного ведение ссудного залог жилья, кредита. Стаж счета -5000 руб. находящегося в заемщика на собственности) последнем месте и на вторичном работы -не менее рынке (под 6 месяцев залог приобре- Банк Москвы. До 90% Ипотечная программа МДМ-Банк. До 80% Ипотечные кредиты ГП «НИКА». Федеральная программа по стандартам АИЖК Нижегородский филиал Промсвязьбанка До 90% До 85% (готовое жилье) Нижегородский филиал Промсвязьбанка (на этапе строительства) Банк «Союз». До 85% таемой недвижимости) Залог приобре- Возрастные: до 1% от суммы таемой недви- 55 лет - женщикредита (не жимости нам; до 60 лет - менее 350 и не мужчинам более 1000 долларов) 3-10 12-15% в руб- Залог приобре- 21-60 лет, стаж 1000 руб. лет лях, 10,5-12,6% таемой недви- работы -не менее установление в долларах жимости 1 года, прописка кредитного в Нижнем Нов- лимита, $100 городе и облас- открытие и ведети, мужчинам до ние с/счета, 400 27 лет - урегули- руб. - аренда рованные отно- индивидуального шения с ВС РФ банковского сейфа До 30 12-16% Залог недвижи- Возрастные -от 4,2 тыс. руб. лет мости 18 до 75 лет рассмотрение заявки, 4 тыс. руб. - услуги 3-15 лет 13-15% в рублях, 10-12% в валюте 1-5 лет 14-15,5% в руб5-15 лях, 10-11,5% в лет долларах 14,516% в рублях, 10,5-12% в долларах 1-5 лет 17-18,5% в руб5-15 лях, 13-14,5% в лет долларах 17,519% в рублях, 13,5-15% в долларах До 85% От 1 (min 5тыс- года до тах 100 20 лет Первичный рынок тыс. долларов или эквивалент в рублях) На этапе строительства: 17% в рублях, 14% в долларах. После регистрации ипотеки (в зависимости от срока кредита): 14-15% в рублях, 10,5-11,5% в долларах Залог приобре- Недвижимость Комиссия 1% от таемой недви- не старше 20 лет суммы ежемежимости сячного платежа, за рассмотрение заявки -1% от суммы кредита Залог имущестНет Комиссия 1% от венных прав по суммы ежемедоговору долесячного платежа, вого участия за рассмотрение заявки -1% от суммы кредита При кредитовании на этапе строительства залог имущественных прав либо поручительство застройщика. При оформлении права собственности - регистрация ипотеки в силу закона Банк «Союз». До 85% От 1 14-15% в руб- Залог приобре(min 5 тыс года до лях, 10,5-11,5% таемой недвиmах 100 20 лет в долларах в жимости Вторичный рынок тыс. долзависимости от ларов или срока кредита Квартиры на этапе строительства кредитуются только по строительным компаниям, с которыми у Банка заключено генеральное соглашение о сотрудничестве Не выдаются 0,1% от суммы кредиты на квар- кредита ежеметиры в ветхом сячно фонде, расположенные в памят- 139 эквивалент в рублях) Банк DeltaCredit. «ДельтаМечта» До 80%, но не менее 450 тыс. руб. Банк DeltaCredit. До 80%, но не менее 15 «ДельтаСтандарт» тыс. долларов Банк DeltaCredit. До 80%, но не менее 20 «Дельта25» тыс. долларов Банк DeltaCredit. До 80%, но не менее 20 «ДельтаВариант» тыс. долларов Банк DeltaCredit. До 70%, но не менее 15 «ДельтаИнвест» тыс. долларов Банк DeltaCredit. От 1 до 20 тыс. долларов «ДельтаПлюс», дополнительный к ипотеке РОСБАНК. От 7,5 тыс. до 300 тыс. долПлан "Инвестици- ларов онный" (строящееся жилье) РОСБАНК. 140 От 7,5 тыс. до 300 никах архитектуры, на приобретение долей недвижимости 10 и 20 Плавающая - Залог приобреВозрастные Рассмотрение лет 5,5%+ MosPrime таемой недвиограничения заявки 3M (текущая жимости бесплатно, коставка - 10,5% в миссия за выдарублях) чу кредита -1 % 7,10 и От 9,7% в дол- Залог приобреВозрастные Рассмотрение 15 лет ларах таемой недвиограничения заявки жимости бесплатно, комиссия за выдачу кредита -1 % 25 лет От 11,5% в дол Залог приобреВозрастные Рассмотрение ларах таемой недвиограничения заявки жимости бесплатно, комиссия за выдачу кредита -1 % 20 лет Плавающая - от Залог приобреВозрастные Рассмотрение 6% + LIBOR в таемой недвиограничения заявки долларах жимости бесплатно, комиссия за выдачу кредита -1 % 10 лет От 12% в долла- Выдается под Возрастные Рассмотрение рах залог имеющей- ограничения заявки ся квартиры на бесплатно, коулучшение миссия за выдажилищных чу кредита -1 % условий 1 и 2 16% в рублях, Без обеспечеВозрастные Рассмотрение года 13,5% в долла- ния. Выдается ограничения заявки рах на цели финанбесплатно, косирования расмиссия за выдаходов по ипочу кредита -1 % течной сделке, либо строительства, ремонта и благоустройства приобретаемой недвижимости 15 лет От 17% в рублях Залог приобре- Уровень дохода От 0,5% от сумили 12,5% в таемой недвимы кредита валюте до можимости единовременно мента регистра(мин. 6 тыс. руб.) ции права собственности, после регистрации -от 15% в рублях или от 10,5% в валюте 15 лет От 15% в руб- Залог приобре- Уровень дохода От 0,5% от сумлях, от 10,5% в таемой недвимы кредита План «Стандартный» Банк «Уралсиб». тыс. долвалюте жимости ларов До 80% От 6 15% в рублях, 11 Поручительство (от 50 тыс. месяцев % в валюте 2 физлиц или руб. до 3 до 15 (евро, доллары поручительство Первичное жилье млн руб.) лет США) застройщика до сдачи дома в эксплуатацию, залог приобретаемого жилья единовременно (мин. 6 тыс. руб.) Обязательно 1% от суммы наличие посто- кредита единоянной регистра- временно (мин. ции в Нижнем Зтыс. руб.) Новгороде или Нижегородской области, возраст - от 18 до 60 лет (к моменту погашения кредита), стаж работы на последнем месте не менее 6 мес. Банк «Уралсиб». До 80% От 6 15 % в рублях, Залог приобре(от 50 тыс. месяцев 11% в валюте таемой недвируб. до 3 до 15 (евро, доллары жимости Вторичное жилье млн руб.) лет США) Городской ипоДо 90% 5-15 От 9,9% в валю- Залог приобре- 10% первона- 0,8% от суммы течный банк. (акция до лет те, от 13,5% в таемой недви- чальный взнос кредита при конца рублях жимости выдаче марта), но «Квартира» Вто- не менее ричный рынок 10 тыс. долларов/ 300 тыс. руб. Городской ипо- До 70%, 5-15 От 11% в валю- Кредит на по10% первона- 0,8% от суммы течный банк. но не лет те, от 13,5% в требительские чальный взнос кредита при менее 10 рублях цели под залог выдаче тыс. долсуществующего «Квартира+» ларов/ от жилья 300 тыс. руб. НБД-Банк. До 90% До 30 12-16% годовых Залог приобре- Возрастные: от Комиссия за стоимости лет (в зависимости таемой недви- 18 до 75 лет к выдачу кредита жилья от срока кредижимости моменту пога- от 4,5 тыс. руб. Программа ипотования и разшения кредита течного кредитомера первонавания чального взноса) * Данные собраны журналистами «Наших денег» по своей собственной инициативе и не являются исчерпывающими 141 ЛИТЕРАТУРА 1. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб.// Академия народного хозяйства при правительстве Российской Федерации. изд. М.: Дело, 2002. 2. Мицкевич А. Финансовая математика. М.: ОЛМА-ПРЕСС Инвест: Институт Экономических стратегий, 2003. – 128 с. (Успешный бизнес. Мастер класс). 3. Кочетыгов А.А. Финансовая математика. Серия «Учебники, учебные пособия». Ростов н/Д: Феникс, 2004. 480 с. 4. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций: Учеб. пособие/ Под редакцией В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. М.: Вузовский учебник, 2004. 360 с. 5. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. 400с. 6. Ковалев В.В. Финансовый анализ. Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. М.: Финансы и статистика, 1996. 432с. 142 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ........................................................................................................................................ Лекция 1. Наращение по простым процентным ставкам. Погашение задолженности частями ............................................................................................................................... Лекция 2. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке..................................................................................................................... Лекция 3. Наращение и дисконтирование по сложным ставкам. Операции со сложной учетной ставкой ....................................................................................................... Лекция 4. Сравнение процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок .................................................................................................................. Лекция 5. Непрерывные проценты. Непрерывное наращение и дисконтирование. Определение срока ссуды и размера процентной ставки. Инфляция ............................. Лекция 6. Эквивалентность процентных, учетных ставок .......................................................... Лекция 7. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей......................... Лекция 8. Потоки платежей. Рента .................................................................................................. Лекция 9. Погашение долгосрочной задолженности................................................................... Лекция 10. Ипотечные ссуды ........................................................................................................... Лекция 11. Измерение доходности .................................................................................................. П р и л о ж е н и е 1................................................................................................................ П р и л о ж е н и е 2................................................................................................................ П р и л о ж е н и е 3................................................................................................................ Литература........................................................................................................................................... 143 Учебное издание Сьянов ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Учебное пособие Редактор Технический редактор Комп. верстка В.П. Пермичева О.В. Ленская Е.Я. Владимирова Издательская лицензия № 04568 от 20 апреля 2001 г. Полиграфическая лицензия №18-0140 от 8 октября 2001 г. Сдано в набор 21.06.06. Подписано в печать .06. Формат 6084/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Уч.-изд. л. . Усл. печ. л. . Тираж 350 экз. Зак. . Издательство Волго-Вятской академии государственной службы 603950, Нижний Новгород-292, пр. Гагарина, 46 тел. 12-33-01 144 145
