МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва» В. Д. Бочкарева Алгебра в примерах и задачах. Результант. Дискриминант. Системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными и их решение методом исключения Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Подгруппы, циклические подгруппы. Циклические группы Подгруппой B группы A относительно внутренней бинарной операции f называется такое непустое подмножество B множества A , на котором относительно суженной операции f выполняются все аксиомы групп: 1) для любых элементов x, y B их композиция x f y B , 2) операция f ассоциативна на B , 3) относительно операции f в B существует нейтральный элемент e B , т. е. такой элемент, что x f e B e B f x x для любого x B , 4) операция f на B симметризуема, т. е. для любого элемента x B в B существует симметрический элемент x ' , т. е. такой элемент, что x f x' x ' f x e B . Необходимое и достаточное условие для того, чтобы B было подгруппой группы A : если B – непустое подмножество множества A относительно операции f и для любых a и b B выполняется a f b B , то B – подгруппа группы A . Задача 57. Определить, является ли B | a b 5 , a, b подгруппой аддитивной группы вещественных чисел. Решение. Применим критерий подгруппы. Пусть m a1 b1 5 , n a 2 b2 5 ( a1 , a 2 , b1 , b2 )– элементы множества B . Тогда n a 2 b2 5 – элемент, противоположный к n. Проверим, как ведет себя сумма m n : m n a1 a 2 b1 b2 5 , a1 a 2 , b1 b2 , т. е. m n B . Следовательно, B – подгруппа аддитивной группы . Задача 58. Определить будет ли множество положительных вещественных чисел мультипликативной подгруппой аддитивной группы вещественных чисел. Решение. Ответ отрицательный, так как речь идет о различных операциях. Пусть дана группа G f – группа относительно операции f . Пусть g G . Возьмем все целые рациональные степени этого элемента g : g 0 e , g 1 g , g 2 g f g , g 3 g f g f g , , g 1 g ' , g 2 g ' f g ' , , где e – нейтральный элемент группы, g ' – элемент симметричный к элементу g в группе G . В результате получено множество H | g n , n , которое является относительно f подгруппой группы G и называется циклической подгруппой, порожденной элементом g . Циклическая подгруппа, порожденная элементом g обозначается символом g . Если группа G f g , то она называется циклической группой. Задача 59. В группе 10 найти циклическую группу, порожденную элементом 2. 2 3 4 2 6 , 2 0 0 , Решение. 2 2 2 2 4 , 2 1 2 , 2 4 6 2 8 , 2 5 8 2 0 . Дальше, при получении «целых рациональных степеней» имеет повторения. Следовательно, мы получим замкнутое относительно операции сложения множество H 0, 2, 4, 6, 8 , причем, 0 0 , 2 8 , 4 6 , 6 4 , 8 2 . Согласно критерия подгруппы имеем, что H – подгруппа группы 10 , порожденная элементом 2: H 2 . Задача 60. Будет ли мультипликативная группа S 2 циклической? Решение. Определение. Группа будет циклической, если в ней существует 1 2 1 2 , S 2 e порождающий элемент. В в роли 1 2 2 1 порождающего элемента могут выступать два элемента: l и . Выясним, может ли e быть порождающим элементом. Составим целые рациональные степени элемента e : e 0 e , e1 e , e 2 e, . Ни одна степень элемента e не дает элемент , т. е. e не является порождающим элементом. Проверим элемент : 0 e , 1 , 2 e , 3 , . Элемент является порождающим для S 2 , т. е. S 2 – циклическая группа. Смежные классы. Разложение группы по подгруппе Пусть G f – группа, A – ее подгруппа, g – произвольный элемент группы G . Составим множество g f A x | x g f a, a A . Это непустое множество, называется левым смежным классом группы G по подгруппе A , A f g y | y a f g , a A определяемым элементом g . Множество называется правым смежным классом группы G по подгруппе A , определяемым элементом g . В общем случае g f A A f g . Задача 61. В S 3 найти правый и левый смежные классы, определяе-мые 1 2 3 элементом g , если подгруппа A l , 1 . 2 3 1 Решение. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 1 , 2 , 3 , S 3 l 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 2 1 1 2 3 1 2 3 , 5 . 4 2 3 1 2 1 3 Составим классы 1 2 3 1 2 3 4 , 3 4 , 3 . g A g l , g 1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 4 , 5 4 , 5 . A g l g , 1 g 2 1 3 2 3 1 Заметим, A g g A . Пусть G f – группа и A – ее подгруппа. Если G A , то говорят, что группа G по подгруппе A разложена на один смежный класс. Если G A , то в G существует элемент a A и тогда составим класс a f A. Если A a f A G , то говорят, что группа G по подгруппе A разложена на два левых смежных класса b f A . Если A a f A b f B G , то имеем разложение группы G на три смежных класса по подгруппе A и т. д. Процесс разложения группы G по подгруппе A на левые смежные классы может быть конечным, может быть бесконечным. Аналогично можно получить разложение группы G по подгруппе A на правые смежные классы: A A f A f , . Правое разложение не обязано совпадать с левым разложением. В результате мы получаем два множества классов: A, a f A, b f A, и A, A f , A f , – левое и правое фактор-множества множества G по подмножеству A . Длина этих множеств называется индексом подгруппы A в группе G . Задача 62. Найти фактор-множество множества 8 по подгруппе A 0, 2, 4, 6 относительно операции сложения. Решение. Операция сложения в 10 коммутативная, поэтому левое и правое разложения 8 по A будут одинаковые. Разложим 10 на A на левые смежные классы. 10 A , например, a 1 A . Строим 1 A 1 0, 1 2, 1 4, 1 6 1, 3, 5, 7. A 1 A 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, 7 10 . Имеем разложение 10 по A на два смежных класса. Фактор-множество: A, 1 A. Задача 63. В мультипликативной группе 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , 2 S 3 1 l , 3 , , 4 1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 возьмем подгруппу A 1 l , 6 . Найти , 6 5 3 2 1 3 1 2 фактор-множество множества S 3 по A . Решение. При левостороннем разложении S 3 по A имеем: A 1 , 6 , 2 A 2 , 5 , 3 A 3 , 4 , т. е. левосторонний фактормножество A, 2 A, 3 A . При правостороннем разложении S 3 по A имеем: A 1 , 6 , A 2 2 , 4 , A 3 3 , 5 , т. е. правостороннее фак-тормножество A, 2 A, 3 A , причем A 2 2 A , 3 A A 3 . Индекс подгруппы A в S 3 равен 3. Задача 64. Найти разложение аддитивной группы по подгруппе A целых чисел, кратных 3. Решение. A x | x 3q, q . A , например, 1 A . Составим 1 A | 1 a, где a A | 1 3q, q . Следовательно, класс 1 A состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. A 1 A , например, 2 A , 2 1 A . Составим 2 A y | y 2 a, a A y | y 2 3q, q . Следовательно, класс 2 A состоит из всех целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Итак, в A находятся все целые числа, которые при делении на 3 дают в остатке 0, в классе 1 A – все целые числа, которые делятся на 3 дают в остатке 1, в классе 2 A – все числа с остатком 2. Но при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2. Значит, все целые числа распределились по классам A, 1 A, 2 A , т. е. разложение на смежные классы по A имеет вид: A 1 A 2 A . Так как сложение в коммутативное, то левостороннее разложение совпадает с правосторонним. Индекс подгруппы A в равен 3. Нормальный делитель группы. Фактор-группа Если в группе G f относительно подгруппы H x f H H f x при любом элементе x G , т. е. если любой элемент x группы G перестановочен с подгруппой H , то подгруппа H называется нормальным делителем группы G . Если операция f в группе G коммутативна, то любая подгруппа в группе G является нормальным делителем. Если при левостороннем и при правостороннем разложении группы G по подгруппе H смежные классы, на которые распадается группа G , получаются одинаковыми, то H – нормальный делитель группы G . Верно и обратное: если H – нормальный делитель в группе G , то при левостороннем и при правостороннем разложении группы G по подгруппе H смежные классы, на которые распадается группа G , получаются одинаковыми. H является нормальным делителем группы G f тогда и только тогда, когда при любом x G и любом h H элемент x f h f x 1 H . Задача 65. Если индекс подгруппы H группы G f равен 2, то H – нормальный делитель группы G . Решение. Если подгруппа H имеет индекс 2 в группе G , то G H a f H , где a H и G H H f a , т. е. a f H H f a . Следовательно, классы смежности левостороннего разложения совпадают с соответствующими классами правостороннего разложения, т. е. H – нормальный делитель группы G . Задача 66. Будет ли группа A в задаче 63 нормальным делителем в группе S 3 ? Решение. Левостороннее разложение группы S 3 по подгруппе A состоит из классов A 1 , 6 , 2 A 2 , 5 и 3 A 3 , 4 . A 1 , 6 , Правостороннее разложение состоит из классов A 2 2 , 4 , A 3 3 , 5 , но 2 A A 2 , 3 A A 3 , т. е. подгруппа A не является нормальным делителем группы S 3 . Задача 67. Найти фактор-группу группы по подгруппе H всех чисел, кратных 3. Решение. Так как сложение в коммутативно, то H – нормальный делитель. Найдем разложение по H : H H 1 H 2 . Фактормножество A состоит из классов H , H 1, H 2 . Зададим на A операцию сложения: H H 1 H 2 H H H 1 H 2 H 1 H 1 H 2 H H 2 H 2 H H 1 Заполнение таблицы Кэли осуществляется по правилу: H H H . Например, H 1 H 2 H 1 2 H 3 . Это множество состоит из всех целых чисел x h 3 , где h H , т. е. h 3q , q . Тогда H 3 x | x 3q 3 3q 1 H . Итак, мы получили фактор-группу H , H 1, H 2, операция сложения в которой задана вышеукаH занной таблицей Кэли. Задача 68. Найти фактор-группу группы по подгруппе H . Решение. H – нормальный делитель, т. к. сложение в коммутативно. Найдем разложение по H : H . Действительно, изобразим на 0;1 числовой оси, а элементы H отметим на ней точками: Построим H , где 0; 1 . Если 0 , то H 0 H , если 0, 1 , то элементы H 0, 1 отметим звездочками. Тогда H H 0, 1 состоит из элементов, отмеченных точками и звездочками. В это множество не попадает элемент, например, 0, 2 . Тогда строим множество H 0, 2 , элементы которого обозначим штрихом. Тогда H H 0, 1 H 0, 2 состоит из элементов, обозначенных точками, звездочками и штрихами, но не совпадает с . Очевидно, чтобы H совпало с , необходимо, чтобы 0; 1 . Мы построили фактор-множество . Согласно процедуры факторизации, операция сложения определяется следующим образом: H H H , где 0; 1 , 0; 1 . Гомоморфизм и изоморфизм групп Гомоморфизмом группы G1 f 1 в группу G 2 f 2 называется такое отображение h множества G1 и в множество G 2 , при котором композиция любых двух элементов x и y G1 относительно операции f 1 отображается в композицию образов элементов x и y относительно операции f 2 , т. е. h x f1 y h x f 2 h y . При гомоморфизме групп: 1) нейтральный элемент l G1 группы G1 отображается в нейтральный элемент l G2 группы G 2 , т. е. h l G1 l G2 . 2) пара симметричных элементов x , x' группы G1 отображаются в пару симметричных элементов h x , h x' h x ' группы G 2 . Множество всех элементов группы G1 , которые при гомоморфизме h отображаются в нейтральный элемент l G2 группы G 2 относительно сужений операции f 1 образует подгруппу группы G1 , которая является нормальным делителем группы G1 и называется ядром гомоморфизма h : Ker h . Задача 69. Определить, является ли отображение h : в группу Решение. 4 1 1; 1; i; i. гомоморфизмом группы 4 4 1 чет.a 1 нечет.a 1 1 . Если «да», то найти Ker h . При отображении h возможны следующие случаи: 1) x – чет, y – чет; 2) x – нечет, y – чет; 3) x – чет, y – нечет; 4) x – нечет, y – нечет. Проверим, как ведут себя h x y . В первом случае x y – чет, следовательно h x y 1 . Но h x 1 , h y 1 , т. к. x и y – четные. Тогда h x y h x h y . Во втором случае x y – нечетные, следовательно h x y 1 . Но h x 1, h y 1 и h x h y 1 , т. е. h x y h x h y . В третьем случае h x 1 , h y 1 , h x y 1 , т. е. h x y h x h y . В четвертом случае h x 1, h y 1 , h x y 1 , т. е. h x y h x h y . В итоге можно сказать, что для любых x, y верно: h x y h x h y . Следовательно, h – гомоморфизм группы в группу 1 . Ядром гомоморфизма h является множество всех четных чисел, т. е. Ker h 2. Если при гомоморфизме h : G1 f 1 G 2 f 2 отображение h взаимооднозначно, т. е. Ker h lG1 , то h называется изоморфизмом группы 4 G1 f 1 в группу G 2 f 2 . Если при этом имеется наложение множества G1 на множество G 2 , то группы G1 f 1 и G 2 f 2 называются изоморфными. Задача 70. Изоморфны ли группа 2 и мультипликативная группа кольца 4 ? Решение. 2 0, 1. A 1, 3– множество обратимых элементов из 4 . Взаимооднозначных отображений 2 на A несколько. Из них надо выбрать то (если оно существует), которое удовлетворяет определению изоморфного отображения. Для удобства рассуждений построим таблицы Кэли для 2 и A : 2 : A: 0 3 1 1 0 0 1 1 1 3 1 1 0 3 3 1 Зададим такое отображение h : 2 A , при котором нейтральный эле-мент l 2 отобразится в нейтральный элемент l A (по свойству изоморфиз-ма), т. е. 0 1 . Тогда остается только одна возможность для отображения h : 1 3 . Итак, h : 2 A 0 1 . 1 3 Проверим, будет ли верно: h x y h x h y при x, y 2 . h0 0 h0 1 1 1 h0 h0 h0 1 h1 3 1 3 h0 h1 h1 0 h1 3 3 1 h1 h0 h1 1 h0 1 1 1 h1 h1 , т. к. 3 3 1 по mod 4 . Итак, h x y h x h y при x, y 2 , т. е. h – изоморфизм. Следовательно, группа 2 и мультипликативная группа кольца 4 – изоморф-ны. Задача 71. Доказать изоморфизм групп 2 и 3 . Решение. 1 способ. Отображение h : 2 3 2a 3a взаимооднозначным отображением 2 на 3. Действительно, 2k 2 p влечет k p , отсюда 3k 3 p . Любое целое число вида 3k имеет прообраз, а именно: 2k . При этом отображение h x y h x h y , т. к. h2k 3k , h2 p 3 p , h2k 2 p h2k p 3 p 3k 3 p . Следовательно, h – изоморфизм 2 и 3. ЛИТЕРАТУРА 1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с. 2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с. 3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. – 160 с. 4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с. 5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. – 144 с. 6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с. 7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с. 8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 276 с. 9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с. 10.Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с. 11.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с. 12.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во МГУ, 1965. – 40 с. 13.Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. – 183 с. 14.Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. – 302 с. 15.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. – 332 с. 16.Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с. 17.Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. – 228 с. 18.Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1982. – 223 с.