Лебегово продолжение меры Понятие внешней меры и ее свойства Определение. Пусть - мера, определенная на полукольце подмножеств множества и пусть . Внешней мерой множества будем называть число равное , где . В случае, когда покрывается счетным числом элементов полукольца, будем считать внешнюю меру равной , в противном случае будем обозначать Замечание. Если в определении внешней меры все ряды расходятся, то будем считать, что Свойства внешней меры 1. (включая ) Очевидно 2. Счетная полуаддитивность. Пусть , тогда Очевидно достаточно рассмотреть случай, когда в силу определения внешней меры и , поэтому и свойство доказано, переходя к пределу 3. Монотонность. Если , то Это из того, что и по свойству 2. получаем то, что необходимо доказать. 4. Если , то и пусть - мера в . Пусть по свойству 4. и Замечание. Из доказанных свойств , что внешняя мера является мерой на полукольце , но, вообще говоря, она не является мерой на Пример 1 . Пусть - мера Лебега на , т.е. . Найдем Переходя к пределу при , получаем Пример 2 . - конечное или счетное, тогда Покажем сначала, что если - точка на , то монотонности То, что . , по свойству , то из свойства полуаддитивности. Измеримые по Лебегу множества. Лебеговское продолжение меры Определение. выполнено Мн-во будем называть измеримым по Лебегу, если Обозначим систему всех измеримых по Лебегу мн-в Положим Т.1.(без доказательства) 1. - -алгебра. 2. Если - -аддитивная мера на , то , определяемая формулой (1), аддитивная мера на ( - из определения внешней меры) Определение. -аддитивная мера, определяемая (1), на множестве и называется лебеговским продолжением меры. Т.2. Лебеговское продолжение меры - продолжение меры . Для доказательства достаточно показать, что Пример 3 . Пусть - мера Лебега на прямой. По Т.2. измеримы, они являются элементами полукольца и по Т.1. , то измерим. и по свойству 6. Из измеримости интервала следует измеримость произвольного борелевского множества. Пример 1 . Пример неизмеримого множества и введем на нем отношение эквивалентности , если . Это отношение разбивает на непересекающиеся классы. Выберем в каждом классе по одному представителю и составим из них множество . Докажем, что неизмеримо. . Рассмотрим все рациональные числа из (-1;1) их счетное число, занумеруем их, получим последовательность , ясно, что Предположим, что - измеримо. Пусть По свву 4. меры Противоречие. Пусть , тогда классы не пересекаются и по свойству 3 меры получаем , но ввиду (*) Противоречие. - неизмеримое и не борелевское. Пример 2 . Канторовское множество Рассмотрим разделим его на 3 части и выбросим средний интервал , далее разделим каждый из оставшихся промежутков на 3 части и выбросим средний и т.д. Получившееся множество обозначим , - объединение выбрасываемых интервалов. Покажем, что мощность равна континууму. Во множестве находятся все числа, в троичной записи которых не присутствует 1, т.е. они эквивалентны множеству последовательностей, состоящих из 0 и 2, а таких чисел не счетное число. Мера Лебега-Стильтьеса и называется мерой Лебега-Стильтьеса. Если Утверждение 1 . - -аддитивна на (без доказательства) - неубывающая на . , то это мера Лебега на прямой. - непрерывна слева.