Медленные электромагнитные волны

1951 г. Июль
Т. XUV, вып. 3
УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
А. И. Ахиезер и Я. Б. Файнберг
СОДЕРЖАНИЕ
1. Медленные волны в волноводах, частично заполненных диэлектриком
Л. Цепочка эндовибраторов
IIL Волноводы, нагруженные дисками
IV. Спиральные волноводы
V· Взаимодействие пучка заряжённых частиц с медленными волнами
VI. Взаимодействие пучка заряжённых частиц с электронной плазмой
322
331
339
348
355
360
В последнее время при решении ряда физических и радиотехнических задач широко используются медленные электромагнитные волны, т. е. волны, фазовая скорость распространения
•которых меньше скорости света в вакууме. Важное значение
-медленных волн обусловливается
возможностью эффективного
взаимодействия с ними заряжённых частиц. Это взаимодействие
•используется в ряде приборов (как, например, клистрон, лампа
•с бегущей волной, многокамерный магнетрон, усилитель с двумя
пучками, магнетронный усилитель и др.) для возбуждения и усиления
электромагнитных
колебаний
сверхвысоких
частот.
Несмотря «а большое разнообразие такого рода приборов, физические процессы, происходящие в них, имеют много общего
и могут быть разъяснены при рассмотрении общей задачи о взаимодействии заряжённых частиц с медленной волной. Важную роль
в этом взаимодействии играет эффект Черенкова, состоящий
в том, что заряжённая частица, равномерно движущаяся в системе, в которой могут распространяться медленные волны, сама
способна излучать такие волны, если только её скорость превосходит некоторое критическое значение. При этом излучение
имеет место независимо от того, движется ли частица в диэлектрике или в вакууме; в последнем случае нужно только, чтобы
искусственно, например специальным расположением металлических
1
УФЫ, т. XUV, вып. 3
322
А. И. АХИЕЗЕР И Я^ Б. ФАЙНБЕРГ
перегородок с отверстиями на пути распространения волни„
были созданы такие условия, при которых фазовая скоростьволны меньше скорости света в вакууме.
Если с медленными волнами взаимодействует не отдельна®
частица, а немодулированный пучок заряжённых частиц, с достаточно малой плотностью, причём скорость пучка превосходит
критическое значение скорости в эффекте Черенкова, то состояние пучка становится неустойчивым и имеющиеся в нём флуктуации плотности распространяются в виде волн плотности заряда
с нарастающей амплитудой. Такой же характер имеют возбуждающиеся при этом медленные электромагнитные волны. Н е устойчивость пучка и возникновение волн с нарастающей амплитудой играют существенную роль в механизме возбуждения и
усиления колебаний сверхвысоких частот во всех приборах^,
где используется взаимодействие электронного пучка с медленными волнами (например, в таких типичных приборах, как лампа
с бегущей волной, многокамерный магнетрон и магнетронныйЧ.
усилитель).
В настоящей статье мы сделаем обзор известных методовполучения медленных волн, использующих волноводы, частичназаполненные диэлектриком, а также периодические структуры,,
не содержащие диэлектриков (типа цепочки эндовибраторов)·
и спиральные волноводы; кроме того, мы изложим общие закономерности тех процессов взаимодействия заряжённых частиц с медленными волнами, которые играют существенную роль при генерировании и усилении колебаний сверхвысоких частот.
I. МЕДЛЕННЫЕ ВОЛНЫ В ВОЛНОВОДАХ,
ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫХ ДИЭЛЕКТРИКОМ
1. Известно, что в обычных однородных волноводах, не содержащих диэлектриков, фазовая скорость распространения волк
(вдоль оси волновода) превосходит скорость распространения.·'
света в вакууме. Если волновод полностью заполнить диэлектриком, тр в области частот ω ^> — - ^
(а — диэлектрическая:
постоянная, ω 0 — граничная частота пустого волновода) фазовая,·
скорость будет меньше скорости света в вакууме с. Однако дл»
понижения фазовой скорости нет необходимости заполнять волновод диэлектриком полностью. Оказывается, что если стенки волновода покрыть слоем диэлектрика, то в области, не занятойдиэлектриком, начиная с некоторой критической частоты, фазовая скорость распространения V будет меньше с.
В этом параграфе мы кратко изложим особенности распространения волн в волноводах, частично заполненных диэлектриком 1 · 2 . Для простоты ограничимся рассмотрением цилиндрического»-
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
323
ВОЛНЫ
волновода, стенки которого покрыты слоем диэлектрика. Диэлектрик будем считать идеальным и изотропным.
Обозначим радиус волновода через b и толщину слоя диэлектрика через d = b— а (рис. 1). Мы будем рассматривать монохроматические волны, распространяющиеся вдоль оси волновода
(ось г), и считать, что компоненты поля пропорциональны
В случае
ei(mt — k32) (£ s — проекция волнового вектора на ось ζ ) .
Ε-волны (Егф0,
Нг = 0) компоненты поля в цилиндрической
Рис. 1.
системе координат удобно выражать следующими
Др ^=
hk
формулами 3 ·
0,1)
dU
дг
где функция U удовлетворяет уравнению
,1
d4J_,d4J
л?2
"
лг:
dU , 1 дЮ
г
=0
дг
'
0,2)
, s — д и э л е к т р и ч е с к а я постоянная и ц - магнитная прони-
цаемость I _
Для /У-волн (Ег = 0, Нгф0)
дующие соотношения:
вместо (1,1) имеют место сле-
дЧ!
дЮ
(1,3)
дг'
η
ρ
. μ/ι dU
dU
324
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
Частные решения уравнения (1,2) имеют следующий вид:
и^„ (ks)
U=
cos щ е1 <ωί - *<>*>, если г
^а,
[U'2Jn ( V ) + U\Nn ( V ) ] cos «φ e' <•»< - * *
(1,2')
если α •</·<!&,
где
k2—
Jn и Nn — функции
ΐ/~ε(ΐΑ'3—Щ, k=
Бесселя
и Неймана, & 1 = ^ / « 3 — Щ,
- ^ - , η — целое число, Uu U'2, U'^— кон-
станты.
Мы будем предполагать, что стенки волновода являются
идеально проводящими. Поэтому тангенциальная слагающая электрического поля при г=Ь должна обращаться в нуль. Кроме
того, при г —а должны быть непрерывны тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей. Итак, имеют место
следующие граничные условия:
V = a —0
z
r = a-\-0
Ϋ
τ· = α — 0
V =a +O >
Легко убедиться в том, что отдельные Е- и //-волны, отвечающие η φ 0, не могут удовлетворять всем этим граничным
условиям. Единственным исключением являются аксиально-симметричные Е- и //-волны, поля которых порознь могут удовлетворять граничным условиям (1,4). При пфО граничным условиям
можно удовлетворить только линейной комбинацией Е- и //-волн.
Иными словами, раздельное существование Е- и //-волн возможно только в случае аксиально-симметричного поля, во всех
же остальных случаях в волноводе могут распространяться только
суперпозиции Е- и М-волн.
В дальнейшем нас главным образом будет интересовать взаимодействие полей с заряжёнными частицами, движущимися в приосевой области волновода. С этой точки зрения наибольший интерес представляет аксиально-симметричная Е-волна, отвечающая
л = 0, для которой компонента Εζ на оси волновода отлична от нуля. (Для волн с η φ 0 Ег , будучи пропорциональной Jn (kxr),
обращается в нуль на оси волновода.) Мы ограничимся поэтому
рассмотрением аксиально-симметричной .Е-волны (Е 0 -волна).
Отличные от нуля компоненты электрического и магнитного
прлей для Ео-волны выражаются следующими формулами:
в области г -^.а
—А3г)
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
325
в области а -$^ г -^Ь
Ег — [Л2У0 ( V ) 4- B,Nn (k,r)] ee'1 «*< Е. = i
h
(1,6)
k.
Λ (A,r) + W
Η, = U
(V)] е' <-'
Граничные условия (1,4) приводят к соотношениям:
£0У0 ( V ) = A2J0 (Α,α) + β2Λ^0 (ft a a),
Исключив отсюда постоянные Eo, A2, B2t получим уравнение,
связывающее k3 с частотой ω и параметрами волновода
Jo (ha)
(ftjα)
k^t
ft,
jkJMa)
No (k2b) — N0 (kta) Jo
(1,8)
Это соотношение даёт возможность определить фазовую скорость
волны vo = —τ- как функцию частоты. Зависимость фазовой скорости от частоты мы будем в дальнейшем называть дисперсионной, а уравнение (1,8) — дисперсионным уравнением*).
Фазовая скорость рассматриваемых нами волн имеет одно
и то же значение в области, не занятой диэлектриком, и в слое
диэлектрика. Поэтому при достаточно больших значениях диэлектрической постоянной г и толщины слоя диэлектрика
Ь—а
может быть достигнуто существенное понижение фазовой скорости
до значений, которые гораздо меньше с.
Если диэлектрик почти полностью заполняет волновод, то
фазовая скорость ν9 мало отличается от того значения, которое
она имеет в волноводе, полностью заполненном диэлектриком.
::
) Мы вывели дисперсионное уравнение для волновода, стенки которого покрыты слоем диэлектрика. Аналогичным образом может быть
рассмотрен другой случай частичного заполнения волновода диэлектриком, когда внутрь волновода вставлен диэлектрический
стержень. Дисперсионное уравнение в этом случае имеет вид 2
•/о
У, (k,a)
где
Jo (k2a) No (k2b) — J0 (ktb) No (k2a)
(k2a) No (k2b) —
(k2a)
326
А. И.' АХИЕЗЕР tf Я. В. ФАЙНБЕРГ
В этом последнем случае фазовая скорость распространения волны
равняется
2,405
2,405
К-(•?-)"'
.
где ω 0 = ~—с — критическая частота волновода радиуса О, не
содержащего диэлектрика. Если ω ^ > ω 0 ( г — 1) *, то г» ¥ <[с.
В том случае, если диэлектрик почти полностью заполняет
волновод (α <ξ; b), легко исследовать дисперсионное уравнение
(1,8). Считая, чтр k2 близко к невозмущённому значению—'-т—
и пользуясь известными асимптотическими представлениями бесселевых функций, справедливыми при малых значениях аргумента
СС1)
(γ — постоянная Эйлера), мы получим из (1,8) следующее выражение для фазовой скорости, справедливое при а < ^ Ь,
-£•]}
Эта величина, как и следовало ожидать, превосходит фазовую
скорость при полном заполнении волновода диэлектриком; однако
в области частот
Положив г»? = оо, мы определим граничную частоту
(og . Если а < ^ Ь, то граничная частота равна
волновода
Волны с частотами, меньшими <i)g·, не могут распространяться
в волноводе. Граничная частота волновода, частично заполненного диэлектриком, всегда лежит между граничной частотой волновода, полностью заполненного диэлектриком, и граничной частотой волновода, не содержащего диэлектрика вовсе:
В том случае, если радиус канала в диэлектрике не мал
по сравнению с радиусом волновода, исследование уравнения
(1,8) представляет собой сложную задачу 5 . Довольно удобным
327
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
сказывается графическое решение уравнения (1,8) (с этой целью
«нужно вычертить кривую, определяющую зависимость k% от kl,
,ад найти точки её пересечения с гиперболой
А2
А2
/-
1\
^π2
.где λ0 — длина волны в вакууме).
На рис. 2 представлена 3
зависимость фазовой скорости ν*
«
2π
и длины волны в волноводе λ = —г— от длины волны в вакуп
2
а
3
Г--
^ме для -г- = -д- и ε = 57.
Таким образом, в волноводах, частично заполненных диэлектгриком, фазовая скорость распространения волн может быть
°~f,
0,7
0,6
0,1
OJS
0,2
f
Рис. 2.
«понижена до значений, меньших скорости света в вакууме. По.этому поля таких волноводов могут эффективно взаимодействовать с заряжёнными частицами.
Остановимся несколько подробнее на вопросе о топографии
шолей. Следует различать два случая, в зависимости от того,
'будет ли величина kl = i/~&3 — k\ вещественной или мнимой.
•ЗГак как
kz—
то kx =
γ-
б
У д е т вещественным,
328
А.
И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
если v?^>c.
В этом случае в области, свободной от диэлектрика, ( г - ^ а ) — составляющая электрического поля вдоль ос»
волновода, пропорциональная / 0 {k^r), достигает максимума на
оси волновода.
Если νψ < с, то k1 будет мнимым и Ег при г ^ а будет пропорционально / 0 (| kx | г), где / 0 — модифицированная функциж
Бесселя. В этом случае Ег представляет собой монотонно возрастающую функцию г, принимающую минимальное значение на ос»
0,03
0,05
0,07
0,09
X
Рис. 3.
волновода. Заметим в связи с этим, что взаимодействие частиц:
с полем будет наиболее эффективным не при их движении вдольоси волновода, а при движении вблизи границы с диэлектриком.
Рассмотрим, наконец, тот случай, когда νψ = с. При этомki = 0 и Ег при г^Са вовсе не зависит от г. На рис. 3 приве1
дена зависимость Е2 от г при v,f = oc, v9 = с и v9 = 0t2c
(и первом
случае
ε = 31,82,
во
втором г = 32,8 и в третьем
ε = 57,25, отношение радиуса канала к длине волны в вакууме
2
равняется 5·10~~ , — = 2 ) .
Заметим, что константы Аг и β 2 , входящие в формулы (1,6),.
могут быть при v,f<^c выражены следующим образом через Ео:
^ - ^ ΜΠΕΓΙΤΜ ι**
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
329
2. Определим теперь поток энергии в волноводе, стенки
которого покрыты слоем диэлектрика. Пользуясь полученными
выше выражениями для составляющих полей, легко вычислить
плотность потока энергии вдоль оси волновода р. Мы получим
следующий результат:
(1,12)
где -γ- и -g-- определяются формулами (1,11).
ведена 1 зависимость
.
На рис. 4 при-
8πζ>
от
In — i j Ήφ
О Су
7) φ
г
С
И
u.oh
.
^
ν9 = 0,2 с ( в пер-/<7'°"
вом случае г--31,82, 9,0 м
во втором ε = 32,8 и
в третьем ε = 57,25;
отношение радиуса ка- 7,0
•/V
нала к длине волны
в вакууме равняется
Ц/ ,<
5 10 2
' ~ '4" =
0,04
0,06
. При0
ведённые кривые поРис. 4.
казывают, что практически вся электромагнитная энергия протекает в области, занятой
диэлектриком.
Полный поток энергии через сечение волновода выражается
довольно сложной формулой (см.°). Мы приведём поэтому выражение для полного потока только в предельном случае α <^_ Ь.
В этом случае
ь
Ρ = 2π fprdr =
о
= 5,83.\0-3Elckk*b* 11-7,4 (l
Ц :|!Л т
(1,13)
(поле Ец выражено здесь в единицах CGSE).
Это соотношение показывает, что с увеличением диэлектрической постоянной сильно возрастает поток энергии. Уменьшение
фазовой скорости также приводит к росту Р.
Резюмируя 1 · 2 , мы можем сказать, что частичное заполнение
волновода диэлектриком даёт возможность, варьируя толщину
330
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
слоя диэлектрика и величину диэлектрической постоянной, понижать фазовую скорость распространения волн до сколь угодно
малых значений. Преимуществом этого метода получения медленных волн является также понижение граничной частоты волновода
(по сравнению с волноводом того же радиуса, не содержащим
диэлектрика). Недостатками метода является большой поток
мощности в диэлектрике, потери энергии в диэлектрике и, кроме
того, возможность зарядки поверхности диэлектрика, особенно
при движении заряжённых частиц вблизи поверхности диэлектрика. Последнее обстоятельство приводит к искажению электрического поля и к запиранию волновода.
Недостаток, связанный с возможностью зарядки поверхности
диэлектрика, повидимому, можно устранить, покрыв диэлектрик
слоем металла, толщина которого меньше глубины скин-слоя.
3. Эффективность изложенного метода получения медленных
волн может быть значительно увеличена при использовании анизотропных диэлектриков с малыми потерями 4 .
Если волновод полностью заполнен анизотропным диэлектриком с диэлектрической постоянной ζζ вдоль оси ζ и гг по радиусу,
то уравнения Максвелла имеют вид:
• — -д~~ {THIB)
Γ
= =
iks ζ Ε ζ ,
ΟΓ
Исключив отсюда // φ и Ег, получим волновое уравнение
д*Ег
дг1
1
~г
В случае Ео-волны
формулами:
дЕг
дг '
компоненты поля выражаются
следующими
(1,16)
K
l
{множителя е'(">< — *3г)
м ы
здесь не выписываем).
Полный поток мощности вдоль оси волновода, заполненного
.анизотропным диэлектриком, равняется
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
331
Сравним это выражение с выражением для потока мощности
в волноводе, заполненном изотропным диэлектриком, считая, что
ω, νψ и Ео в обоих случаях одинаковы. В случае изотропного
диэлектрика поток мощности равен
ИЗОТр —
Г
Q
Q
3 ? |2 ί U U\ /ι2
о Οι/1 V c 1 t / / у
·
Li
«,
1
*
*
'
Из условия равенства фазовых скоростей следует, что
, "о_ А
Если ш ^ ;
"°
t
то г ^ ; е г .
ε^Λ
Отношение потока энергии в анизо-
тропном диэлектрике к потоку в изотропном диэлектрике равно
О
'
' изотр
Таким образом, если εΓ ^ > εζ, то это отношение значительно
меньше единицы. Можно показать, что потери в стенках волновода при заполнении его анизотропным диэлектриком уменьшаются в том же отношении.
И.-ЦЕПОЧКА ЭНДОВИБРАТОРОВ
Для получения медленных ^волн не обязательно заполнять
волновод диэлектриком. Медленные волны могут быть получены
также в волноводах, не содержащих диэлектриков, если на пути распространения волны расположены металлические перегородки с отверстиями. В этом параграфе мы рассмотрим получение
медленных волн в линейных периодических структурах, представляющих собой совокупности идентичных, связанных друг
с другом через отверстия, элементарных ячеек-эндовибраторой,
расположенных вдоль общей оси. Такую структуру можно рассматривать также как волновод, нагруженный дисками с отверстиями для связи *).
Пусть система рассматриваемых нами эндовибраторов образуется вращением вокруг оси ζ периодической кривой с периодом /. Полость получающегося тела вращения должна быть односвязной, а в остальном форма образующей в интервале 0-^.z^Cl
произвольна. Мы будем рассматривать аксиально-симметричную
волну (£"0-волна) с отличными от нуля компонентами Е г , Ег, Н9,
причём эти величины не зависят от угла φ. Благодаря периодич*) Метод получения медленных электромагнитных волн в периодических структурах был предложен6 В. В. Владимирским в 1946 г. 6 . Ниже
излагается содержание работы .
332
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
ности структуры все компоненты поля должны удовлетворять следующему условию:
F(r,
(2,1)
z-\-t) = e**F(r, z),
где ψ — разность фаз между колебаниями в двух соседних ячейках-эндовибраторах. Эта величина зависит от частоты со и для.
волн, распространяющихся в направлении положительных Ζ, лежит
в интервале (0, π).
Фазовая скорость волны ν? связана с ψ соотношением
«Ф =
4-
2
2
(>)
Чтобы убедиться, что эта величина может быть сделана меньше с, достаточно показать, что через цепочку эндовибраторов
могут проходить достаточно малые частоты. В связи с этим мы
рассмотрим вопрос о полосе пропускания частот цепочкой эндовибраторов; Для оценки ширины этой полосы нет необходимости
полностью решать уравнения Максвелла с соответствующими
граничными условиями. Как показал В. В. Владимирский5, достаточно воспользоваться некоторыми экстремальными свойствами
собственных частот 6 . С этой целью введём в рассмотрение функцию и=гНу.
Она удовлетворяет уравнению
г sгде & = — . Предполагая стенки эндовибраторов идеально проводящими, мы имеем граничное условие £ , = 0, которое, как легко видеть, сводится к равенству нулю нормальной производной
от функции U:
— = 0
дп
Разделим рассматриваемую нами систему связанных эндовибраторов на отдельные ячейки бесконечно тонкими плоскостями, перпендикулярными к оси ζ и расположенными на расстояниях / друг от
друга. При этом на границе раздела эндовибраторрв будет выполняться условие -5-- = 0. Обозначим через ω* ( s = 1, 2 , . . . ) последовательность собственных частот отдельной ячейки-эндовибратора. Для всей цепочки эндовибраторов каждое из этих значений будет М-кратно вырождено (/V—число ячеек в цепочке).
При введении связи через отверстия вырождение снимается и из
каждой частоты со* возникает целая полоса частот <s>s (ψ), где
ψ — введённая выше разность фаз между колебаниями в соседних
эндовибраторах (для волн, распространяющихся в положительном
направлении оси ζ,
ψ принимает значения π -~ , где ρ — целое
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
333
число, изменяющееся от нуля до /V). Как известно, при введении
связи собственные значения возрастают (см. 6 , теорема 4). Отсюда
следует, что для распространения Ео-волны вдоль цепочки эндовибраторов необходимо, чтобы собственная частота эндовибраторов, получающихся разделением цепочки идеально проводящими
плоскостями, была ниже частоты распространяющихся волн.
Оценим теперь верхнюю границу получающейся при введении
связи полосы частот. Для этого представим себе, что цепочка
разделена на отдельные ячейки идеально магнитными перегородками. Это значит, что на границе между ними выполняется условие Ht = 0, т. е. {7 = 0. На остальной поверхности эндовибраторов сохраняется
условие з ~ — 0-
Собственные
частоты
этих
ячеек ω " будут выше собственных частот ω* (см. в , теорема 5).
Каждое из значений mf будет TV-кратно вырождено. Если
ввести связь, то вырождение снимается, причём собственная частота уменьшается (см. 6 , теорема 2). Отсюда следует, что для
распространения £ 0 -волны вдоль цепочки необходимо, чтобы частота отдельных эндовибраторов, получающихся разделением цепочки идеально магнитными перегородками, была выше частоты
распространяющихся волн.
Итак, собственные частоты цепочки ω^(ψ) (s — номер «полосы» частот) удовлетворяют неравенству
«4<ω,(10<ω?.
(2,3)
Можно показать, что границы этого неравенства достигаются
в случае эндовибраторов, обладающих плоскостью симметрии,
перпендикулярной к оси г 5 .
Определим, в каких пределах внутри s-полосы частит изменяется фазовая скорость волны. Заметим для этого, что границам
полосы пропускания частот соответствуют значения ψ, равные
ψ = 0 и ψ = π. Поэтому на нижней границе фазовая скорость
равна
„,
ν
На верхней
равна
— _5i_ —
ψ —
о — °°·
границе s-полосы пропускания
V9 min =
-
.
фазовая
скорость
(2,4)
Это—минимальное значение фазовой скорости распространения волны в s-полосе. При достаточно малых / v? min может быть гораздо
меньше с.
Мы нашли пределы, в которых изменяется фазовая скорость волн, принадлежащих к определённой полосе частот, могущих распространяться в цепочке связанных эндовибраторов.
334
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
Часто, однако, этого недостаточно. Весьма важно знать точную
дисперсионную зависимость, т. е. зависимость фазовой скорости
от частоты.
Эта задача может быть решена, если известна зависимость
частоты от ψ в пределах определённой полосы частот.
Определение дисперсионной зависимости представляет собой
чрезвычайно сложную математическую задачу. Мы изложим здесь
приближённые методы решения этой задачи, причём начнём с простейшего случая малой связи между эндовибраторами *).
Рассмотрим два эндовибратора с идеально проводящими стенками. Эндовибраторы сообщаются друг с другом через малое
круглое отверстие радиуса а в бесконечно тонкой плоской стенке; размеры отверстия предполагаются малыми по сравнению
с размерами стенки и длиной волны; линейные размеры эндовибраторов — одного порядка с длиной волны. Если отверстие заполнить идеально проводящей перегородкой, то мы получим два
несвязанных эндовибратора, собственные колебания которых считаются известными. Каждый из эндовибраторов имеет ряд собственных частот, но при малой связи заметные резонансные явления имеют место только для близких частот. Поэтому мы будем
рассматривать по одному собственному колебанию в каждом эндовибраторе (ради простоты мы предполагаем, что вырождение отсутствует).
Связь через отверстия вызывает сильное возмущение поля
вблизи отверстий. Однако это возмущение ограничивается небольшой областью вблизи отверстия и не распространяется на весь
объём эндовибраторов. Поэтому оно вызывает лишь небольшое
изменение частоты, являющееся интегральным эффектом. Мы можем, следовательно, определить изменение частоты, пользуясь теорией возмущений и считая, что граничные условия подверглись
малому возмущению.
Пусть Ej, Hi и Е 2 , Н 2 — поля в несвязанных эндовибраторах. Они удовлетворяют уравнениям Максвелла
rot H a = — i k * E a
divE
div a = O, j
где a = 1 , 2 , ka = — и ω α —собственные частоты обоих эндовибраторов.
Проинтегрировав по частям выражение rot E rot Ει по объёму первого эндовибратора νλ (Е — поле, возникающее при нали*)) Этот случай был изучен В.. В.7 Владимирским7 (см. также 8 · 9 ),
работы .
·
Нижее излагается содержание работы
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
335
чии связи между эндовибраторами), найдём:
f (EJrot rot ЕГ — Et rot rot Ε) dv +
+ f([E rot Εί]« — [Εί rot E] n ) ds = 0
(2,6)
£
( 5 j — поверхность, ограничивающая первый эндовибратор).
Воспользовавшись (2,5) и замечая, что поля Ej и Ε удовлетворяют граничным условиям
Е1( = 0 на поверхности Slt
Et = 0 на поверхности S1— S'
(S'—
плоская поверхность,
2
(А: - kf) f
закрывающая
отверстие),
EEt dV + ik, J [ιΕΗί]„ ds = 0.
v,
получим:
(2,7)
s-
Аналогичным образом получим второе уравнение:
Г
(£2 _ β)
;
ЕЕ
d
v
_j_ i k i
ί
Г [ЕН* ] щ
d s
=
о
(2,8)
i
( « ! и « 2 —внешние нормали к S\ и vS'j). Здесь & = — и ω — частота связанных эндовибраторов. Эти уравнения ещё не содержат никаких пренебрежений. Для приближённого определения частоты мы подставим сюда приближённое значение поля Е. В качестве исходного приближения для Ε и Η мы примем ^ E t
k
k
и qx —τ- Н г в объёме первого эндовибратора и # 2 Е 2 и ^ а ~ь~Н»
в объёме второго эндовибратора, где qx и q2 — некоторые константы. Так как возмущение полей ограничено небольшой областью, прилегающей к отверстию, то этим исходным приближением можно воспользоваться для вычисления объёмных интегралов в (2,7) и (2,8). Оитая, что поля Е1 и Е 2 нормированы
согласно условию
f f E
К
i
= \,
(2,9)
EE*2dV = qi.
(2,10)
\ 2 d V
ν,
получим:
= qv f
Перейдём теперь к вычислению поверхностных интегралов
в (2,7) и (2,8). Исходное приближение обращает, очевидно,
поверхностные интегралы в нуль, так как в них входят только
тангенциальные составляющие полей, а Еи и Ett обращаются
в нуль на поверхности S'. Замечая, что тангенциальная составляю-
336
А.
И. ЛХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
щая На регулярна как на поверхности S', так и в окрестности
порядка длины волны λ, мы можем разложить Н ь Н 2 под знаком интеграла в ряд по степеням координат (что касается составляющей Eti то она должна быть регулярной на поверхности
S', за исключением краёв отверстия, где она имеет интегрируемую особенность). Таким образом мы получим разложение поверхностных интегралов в ряд по степеням -у-, где а — радиус отверстия *).
Вводя декартову систему координат с началом координат
в центре отверстия и осью Z, направленной вдоль нормали пъ
и ограничиваясь в разложении Н^ двумя первыми членами, получим:
t ^ y [ ΕΗΪ] „, ds = ift, Ζ" [EHl(O)]nids —
S'
S'
где все производные от Hi взяты в начале координат.
Так как размеры отверстия малы по сравнению с длиной волны, то можно считать, что в окрестности отверстия поле Ε в первом приближении имеет электростатический характер и опредгляется из следующей электростатической задачи. Вдали от отверстия Ех—>0, Еу—*0,
а компонента Е, стремится к
q1Elz(0)
в верхнем полупространстве и к q2Eiz(0)
в нижнем полупространстве. В плоскости г = 0 выполняется условие Et = 0 всюду, кроме отверстия. Легко видеть, что первый интеграл, входящий
в (2,11), обращается в нуль в электростатическом приближении.
Его нельзя, однако, отбрасывать, так как он содержит малый параметр -у- в меньшей степени, чем второй интеграл. В первый
интеграл нужно, следовательно, подставить более точное значение поля Е. Это можно сделать, преобразовав предварительно
первый интеграл. Замечая, что нулевое
приближение
E
*) Если расстояние /, на котором расположены ближайшие к отверстию изгибы разделяющей стенки или другие особенности, заметно меньа
ше λ, то мы получим разложение не по степеням -у-, а
а
а
-γ- ; эту величину, так же как и -γ , мы считаем малой
с единицей.
по степеням
по сравнению
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
k
u
точно
удовлетворяет
первому
уравнению
337
Максвелла
1
и граничному условию £ ^ = 0 на поверхности 5 ' , можно преобразовать первый интеграл из поверхностного в объёмный:
ikj
[ΕΗί (0)]Я| ds = ikj
S'
S'
[(Ε - ^ΕΟ, Ht (0)] „, ds
--=
f-Hu)Hl(0)dv,
(2,12)
где Н о = ^ 1 - ^ ( 0 ) .
При удалении от отверстия подинтегральная функция в (2,12)
быстро убывает. Поэтому главную роль играет область вблизи
отверстия. В этой области магнитное поле Η имеет, очевидно,
магнитооптический характер, так как а<^\.
Оно может быть
приближённо определено из следующей магнитостатической задачи. Требуется найти магнитное поле Η = grad χ, где χ — магнитный потенциал, удовлетворяющий уравнению Δχ = 0 и граничному
условию , А = 0 на поверхности проводника. Вдали от отверстия
должно выполняться условие
пространстве и условие
Η —• <7ι -г- Н г (0)
Н — ' Q t i T Hj(0)
в верхнем полу-
в нижнем
полупро-
«2
странстве.
Решив эти статические задачи и вычислив интегралы (2,11),
(2,12), получим из (2,7) и (2,8) следующую систему уравнений для
определения qu q2 и k19
(2,13)
Изложенный метод может быть легко обобщён на тот случай,
7
когда имеется не два, а любое число эндовибраторов . Рассмотрим, следуя В. В. Владимирскому7, цепочку одинаковых цилиндрических эндовибраторов радиуса Ь и длины /, которые соприкасаются основаниями цилиндров. Связь между соседними эндовибраторами осуществляется через круглые отверстия радиуса а,
центры которых лежат на оси системы. Мы ограничимся рассмотрением самой низкой частоты электрических волн цилиндра..
2
УФН, т. XLIV, вып. 3
338
А.
И. АХИЕЗЕР
И Я. Б.
ФАЙНБЕРГ
В этом случае неравные нулю компоненты поля имеют вид
-'о(У)
Ρ _
9
*b4j\ (p,)
где Уо и Jt — функции Бесселя, р,—первый
и
k —
корень функции J<y
Р)
Уравнения (2,13) приводят
2
(А - kl) qn -
к бесконечной системе уравнений
akl (2 qn - qn^ - qn+x) = 0,
(2,15)
где
Эта величина характеризует связь между эндовибраторами
и пропорциональна третьей степени радиуса отверстия. Система
уравнений (2,15) допускает решение в виде бегущей волны
где ψ — разность фаз между колебаниями соседних
ров. Подставляя (2,16) в (2,15), получим:
^
эндовибрато-
= «(1-со8ф).
(2,17)
Это и есть дисперсионное уравнение рассматриваемой нами задачи.
Согласно (2,2) фазовая скорость при распространении волн
в цепочке равна
^ = ^ [ 1 + а(1-со5ф)].
(2,18)
Фазовая скорость изменяется от оо при ψ = 0 до — (1-|-2а)·
при ψ = π.
Групповая скорость волны равна
^
=
^
=
/ω
ο^1ηψ = Α _ ^ _
Она пропорциональна кубу отношения — .
Γ
^ ,
5 ΐ π
,
ν
.
На границах
(2,19)
полосы
пропускания vg обращается в нуль.
Выражение (2,18) для фазовой скорости показывает, что при
малых расстояниях между стенками, разделяющими эндовибраторы, фазовая скорость может принимать значения, меньшие скорости света в вакууме. Однако при уменьшении /, иначе говоря,.
с увеличением числа разделяющих стенок, возрастают потери-
МЕйЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
339
энергии в стенках, а следовательно, увеличивается затухание
волн, распространяющихся в цепочке. Затухание воли может быть
уменьшено увеличением радиуса отверстия, так как при этом
возрастает групповая скорость, а вместе с ней и длина затухания
(длина затухания представляет собой расстояние, на котором
амплитуда бегущей волны уменьшается в е раз; она равна
2 — * , где Q — добротность системы 1 0 ) . Поэтому представляет значительный интерес нахождение дисперсионной зависимости для цепочки с не малой связью между отдельными эндовибраторами, иначе говоря, случай, когда а>1. В этом случае обычно говорят не о цепочке эндовибраторов, а о волноводе, нагруженном дисками с от
верстиями !'2_ к изучению такого волновода мы теперь и перейдём *).
III. ВОЛНОВОДЫ, НАГРУЖЕННЫЕ ДИСКАМИ
1. Рассмотрим, прежде всего, тот, согласно 11 · 1 2 , случай,
когда волновод нагружен дисками, расположенными достаточно
близко друг к другу, так что выполняется условие
гдеХл=-г
длина волны в волноводе11. Диски так же как
"3
в предыдущем разделе, будем предполагать бесконечно тонкими.
Так как /<^.% ь , то можно считать, что поля в области а - ^ г < С Ъ
[Ь — радиус волновода) между
смежными дисками практически не зависят от координаты ζ (рис. 5). При этом, однако, поле медленно меняется
при переходе от одной ячейки
к другой. Иными словами, мы
"
предполагаем,
что
за висиРис. 5.
мость полей от координаты
ζ в области а - < л < ; & имеет вид е~ш'г, где Ζ представляют собой
z-координаты середин ячеек. Если z-координаты дисков равны
(2/г -{- 1) -γ
( я — целое число), то z = nl.
В области r - ^ α поля имеют вид
Еж =
'
r / t
Л
' -'
"
(3,2)
*) Методы решения краевых задач в сложных волноводных системах и эндовибраторах разрабатывались Г. В. Кисунько, П. Е. Краснушкиным, Я. Н. Фельдом и др.
2*
340
А. И. АХИЕЗЕР И Я. В. ЧАЙНБЕРГ
Мы предположим, что в области α-^r-^ft составляющая Ег имеет Вид
(3,3)
Ez=qEaZu(kr)eW-*\
где функция
Z o (kr) = Ν, (kb) Л (Аг) - Л (**) N, (kr)
выбрана таким образом, чтобы удовлетворить граничному условию
Ег = 0 на поверхности волновода; q—-некоторая
константа.
Обратим внимание на то обстоятельство, что аргументом функции Z o является kr, а не kxr. Это связано с тем, что Ег в пределах одной ячейки не зависит от координаты ζ.
Найдём теперь Ег и H,f . Для определения Hv воспользуемся
уравнением Максвелла
Так
как мы рассматриваем
аксиально-симметричное поле, то
-*.*,
(3,4)
где
Zx (kr) - No (kb) Λ (kr) - Λ ( « 0 Л\ (kr).
Легко видеть, что в рассмариваемом нами приближении, когда
Ег в пределах ячейки не зависит от z, Er—0.
Действительно,
из уравнений Максвелла следует, что
г
d<f
дг
Так как в пределах ячейки Н^ не зависит от ζ, то
Ег = 0.
(3,5)
Таким образом, в области α - ^
q o ( )
Ег = 0,
)
ΗΨ = iqE9Zx (kr) e' (ωί-ад.
J
(3,6)
Мы должны теперь
«сшить» решения (3,2)
и (3,6) на
границе раздела областей, т. е. при г—а. Строго говоря, сделать
это невозможно, так как поля в областях г<^а и а<С.г<С.Ь
по разному зависят от ζ. Мы «сошьём» поле в средних точках ячеек,
т. е. при ζ — Ζ. При таком «сшивании» компоненты Ег и Ηψ будут,
очевидно, непрерывны только в среднем, так как равенство полей
будет иметь место только в серединах ячеек.
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ
341
Исключив константы q и Ео из соотношений
EQJ0 (kia)
= qE0ZQ (ka),
Euj- Jx faa) = qE0Zt
(kxa),
получим следующее уравнение, связывающее kx = \ h? — кз
φ (Ъ η) =? L
и k:
Λ
_ 1 Jj (ka) Νϋ (kb) - Νλ (ka) Jo(kb) _ n ( h
~Ή\
(ka) No (kb) - No (ka) Jo (W) = α ^
n
п
Подчеркнём, что это дисперсионное уравнение справедливо, строго говоря, только в случае близко расположенных дисков (к31<^1).
Действительно, мы вывели уравнение (3,7) из условия непрерывности полей только в средних точках ячеек. Если расстояние
между дисками мало, то поля в средней и крайней точках ячейки
в области г <^а будут мало отличаться друг от друга. В этом случае условие непрерывности полей будет приближённо выполняться
во всех точках ячейки. Тем не менее, дисперсионным уравнением
(3,7) можно пользоваться для грубых расчётов вплоть до & 8 / ~ π .
Мы предполагали, что в области г ^ а иоле имеет вид бегущей
волны с одним определённым значением волнового вектора кь.
Такое предположение приближённо справедливо только в случае
больших отверстий 12 , когда а~^>1. Это связано с тем, что
в действительности поле имеет вид суперпозиций ряда волн, распространяющихся с различными фазовыми скоростями. Только
такой суперпозицией волн можно точно удовлетворить граничным
условиям. Можно показать 1 2 , что волны, накладывающиеся на
рассматриваемую нами основную волну (с волновым вектором ka),
затухают при изменении г от г = а до г = 0 и проникают на расстояние порядка /. Если поэтому а ^>> /, то влияние этих вторичных волн несущественно и мы можем пользоваться в области
г<^а представлением поля в виде (3,2).
2. Перейдём теперь к анализу дисперсионного уравнения (3,7).
Рассмотрим сперва тот случай, когда ^ а < ^ 1 и Αό<ξΜ, τ. е.
случай очень длинных волн. При этом
Из дисперсионного уравнения легко заключить, что ki должно
быть вещественным, причём kia'^>\.
Это следует из того, что
функция Φ (^α), равная α, при чисто мнимых kx заключена в пределах (0, 1 / 2 ), а при вещественных Ηλ определяется следующими
342
А.
И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
асимптотическими соотношениями:
Φ (^α) ^ -γ, если kxa <С
Ф
(*1а) * Т£
— f ) 'если
1, то аЩ =a2k2 — a!k\
Так как
, т. е.
чисто мнимая величина. Это значит, что волновод
частот ка <§^ 1 ведёт себя как аттенюатор.
Οβ
1,2
1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4-JO 4,4
4,θ 5,2
в
Ад-
области
5fi 6,0
Kb
Рис. 6.
Когда с возрастанием k величина kb достигает значения 2,405,
являющегося первым корнем функции Бесселя Уо, дисперсионное
уравнение принимает вид
h
kaJ0(ka)
'
из которого следует, что kl = А, т. е. k3 = 0. Иначе говоря,
нижняя граница полосы пропускания волновода, нагруженного
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
343
дисками, совпадает с нижней границей волновода без дисков того
же радиуса.
С дальнейшим ростом ka функция α (ka, kb) уменьшается и стремится к нулю (см. рис. 6 n , на котором изображено
семейство кривых a. (ka,kb) = const). Как следует из дисперсионного уравнения, при α—>0 величина kx становится чисто мнимой,
причём | ki] а ^ > 1 .
Так как значение ka, обращающее α в нуль, порядка единицы (см. рис. 6), то & з а ~ \k\\a~^> 1. Отсюда следует, что
—- ~ т — < ё Г 1 . Таким образом,
мы видим, что в волновоr
с — k^a ^
'
'
_де, нагруженном дисками, могут распространяться волны, фазовая
С ι
-1,25
\1
2,0
1,8
1Л
1,2
1 /f
/I I У
0,8
'/
0,6
s
1,0
ОА
0,2
/
• . ι —•
1
I
1,6 2,0 2ft 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6 6,0
kh
Рис. 7.
скорость которых
лена
зависимость
меньше
скорости света. На рис. 7 представ-
—- от ко при
—.
r
vразличных значениях
с
a
3. Как мы уже указывали выше, дисперсионное уравнение (3,7)
справедливо в случае волновода, нагруженного бесконечно тонкими дисками, расстояние между которыми достаточно мало. Мы
изложим теперь метод, дающий возможность принципиально определять зависимость фазовой скорости от частоты при любых рас13
стояниях между дисками и конечной толщине дисков .
344
А.
И. АХИЕЗЕР И Я. Б.
ФАЙНБЕРГ
Предполагая поле аксиально-симметричным, будем исходить
из следующих выражений для компоненты Е/.
(3,8)
где
z
o (Г/) = Л ( г / ) ^о ( ! > ) - W. (Г,г) 70 ( I »
(при таком выборе Ζ ο выполняется граничное условие £ г = 0 '
при г = &).
Пользуясь уравнениями Макрвелла, получим следующие выражения для компонент Ег и //9:
оо
}
Ζ
** s i n V ~
rf cos
*
(3,9)
( I » ( ^ cos
s
sin 7 ,г),
а< г
где
Zx (Г,г) - У, (Г,г)
На поверхности дисков, т. е. при ζ = ζ±ι~η- (рис. 8), £ г должно-
GH4!L t U
Π
т
ΙΠ
Рис. 8.
обращаться в нуль. Отсюда следует, что величина γ*, входящая:
345
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
в аргумент
в выражении для Еп
cos"iSz
может принимать значе-
ния (2s — 1) - £ - , а величина γ Λ , входящая в аргумент si
значения^ —-—. Таким образом, поле в области а
мо-
жет быть представлено в виде
оо
X?» -у t-г \ и
ж у ι у г) и COS
ί=0
/ν
2πβ
.
Ζ τ
: 0 (r,r) ds sin
(2
* ~υ
πζ
s—l
ik
Σ ΎΓ Ζχ ( 1 > )
bi
(3,10)
i cos
5=0
~ΊΓ
ζ
οο
ι -u V^
1
τ
(2s—
/
•
Ζ
S 1 П
+ ^ 2- Τ" ι
где
для членов, содержащих
2π«
cos—-.— ζ, и
для членов, содержащих sin~-^——
ζ.
Рассмотрим теперь подробнее поле в области r-^ia. Из условия
периодичности изучаемой нами структуры следует, что любая компонента поля распространяющейся волны может быть представлена в виде
f(z
,л__е-1,%г/ (z
\
r
где / 0 (г, г) — периодическая
функция ζ
с периодом L
(см. рис. 8), а β0 — вещественная величина, заключённая в преОтсюда легко заключить, что
о
s ι 2тгт
,,, ,,-,
?т — Ро -|
1— •
(ά,η)
Полученные нами выражения для полей должны быть «сшиты»
на границе двух областей, т. е. при г=а. Такое «сшивание»
означает,, что должна быть непрерывна
компонента Е2 при г —а
рр
делах { — -j- , -
п
-к-Г если -н--^ | г | - ^ - л - ,
та Н9 при г=а
то Ez
=0j
и
компонен-
и \г\ -^ -у Г на внутренней поверхности дисков,
346
А.
И, АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
τ. е. при -_- - ^ \г\ ^ ~у . имеет место скачок Н9, связанный с п о верхностными
токами ) .
Итак, имеют место следующие соотношения:
(
СХЭ
Bs cos - y 2 - f V o s sin—
z
1~~
>
е с л и
z
I ^ "o~ >
Λ
-2-,
если
(3,12)
+CO
H,n
/.та)
=
Σ
,-
fc
«
D
„-Щ
7, (Τ /TI
^1 I
5=0
s i n
(
(3
где
= d,Z 0 (Γ,α).
Умножая (3,12) последовательно
на c o s — j — ζ
и интегрируя по г в пределах от ζ==
и sin
(2s — 1) κζ
I
£
Ζ.
γ до ζ = -„, получим:
(3,14)
~2~ - ^ ί ' - ^
МЕДЛЕННЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
347
ВОЛНЫ
где
= L
2*s
sin
(о
sin
/
2« λ L_
m
V ~~r~J 2
"Τ
(3,15)
5,»=
+
sin
(2s-1) π Д I
"7
j '2
) L
,
sin
Умножая, далее,
(3,13)
(25-1) π \L
9
на cos — γ
и sm
(2s —
и
инте-
грируя по ζ в пределах от ζ~- ^ - д о г = у , получим, используя (3,14), следующую бесконечную систему уравнений для
определения коэффициентов Ат:
оо
Σ
.
Г
k
Zx(Tsa)
Г,
Ζ ο (Г 4 л)
k
Zi(rsa)
k
Ji(-/_ma)
где Csm и 5 i m получаются из Csm и 5 i m заменой L на /. Приравнивая нулю детерминант бесконечной системы (3,16) и (3,17),
получим дисперсионное уравнение, связывающее β0 с частотой
и параметрами системы.
Как показывают расчёты 1 S , в этом детерминанте достаточно
ограничиться тремя строками и столбцами, соответствующими
/я — 0 , — 1 , + 1 и s = 0 , l в уравнении (3,16) и s=\
в уравнении (3,17), чтобы получить достаточно хорошее приближение.
Легко видеть, что изложенный только что метод приводит
в случае близко расположенных тонких дисков к дисперсионному
348
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
уравнению (3,7). Действительно, если 1<^% и а > / , то из всех
уравнений (3,16) можно сохранить только одно уравнение, отвечающее s = 0. Остальные уравнения содержат множитель — и пол
этому
в рассматриваемом приближении автоматически удовлетво-
ряются. (Если / < С Х И а>1, то | Г , | ~ - ^ - , I ^ l - H i y - ,
т, s=J=O и все коэффициенты при Ат в уравнениях с s = ^ 0 , проΖΛ(ΥΜ)
k
порциональные
- ρk
τ7τ\
г)J ( )( , будут порядка
Переписав
уравнение (3,16) с
5= 0
в
виде
при тфО)
^0
где
_
w
Z o (ka)
получим соотношение
1^0 = 0,
совпадающее с уравнением (3,7) [k^ = укг
— kl , Α3 =
Мы видим, таким образом, что дисперсионное уравнение (3,7)
справедливо в случае очень близко расположенных тонких дисков с не очень малыми отверстиями а.
Заметим, что представление полей при г < а в виде одной бегущей волны справедливо, если а ^ > / , так как только в этом
случае амплитуды добавочных бегущих волн, пропорциональные
/ 0 (JX m [r), убывают от границы раздела областей (г —а) к оси
г
1
как е
.
Резюмируя, можно сказать, что волновод, нагруженный дисками, является эффективным методом получения медленных воли
в области фазовых скоростей νψ ~ с, так как при этом благодаря сравнительно редкому расположению дисков значительно
уменьшается затухание волн. Кроме того, в этом случае аксиальная составляющая поля в области г < ^ а мало меняется (нарастает) с радиусом.
IV. СПИРАЛЬНЫЕ ВОЛНОВОДЫ
1. Медленные электромагнитные волны могут быть получены
также при помощи спирального волновода, представляющего собой
открытую проводящую спираль (рис. 9). Если вдоль спирали
распространяется волна со скоростью, близкой к с, то фазовая
скорость волны вдоль оси спирали будет меньше с. Грубо гово-
МЕДЛЕННЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
349
ря, она пропорциональна шагу спирали и обратно пропорциональна радиусу спирали.
Методу получения медленных волн с помощью спиральных
волноводов посвящено большое число работ 15· 16· 17> 1 8 . Мы изложим в этом параграфе основные результаты этих работ.
Рассмотрим в этом разделе распространение аксиально-симметричных волн в достаточно густой с п и р а л и 1 5 - 1 6 ' 1 7 1 8 . Составляющие полей Ег и Hz в этом случае при v9<^c
определяются следующими выражениями:
Е2 = [Л/о ( V ) + Bf<o ( V ) ] β'<ω'-*·*>,
Ηζ = [C/o (kxr)
где
/0
-f- / Ж о (kf)]
и Ко — модифицированные
i?H">i-*3Z) ;
функции
Бес-
2
= у k\ — k . Поле внутри спирали
селя и
(/*-<>„) не может, очевидно, содержать Ко, так как
при r=0
Koik^r) обращается в бесконечность.
Рис. 9.
Поле вне спирали не должно содержать /0> так как
/ 0 — монотонно возрастающая функция, стремящаяся при г оо
κ бесконечности. Поэтому компоненты Е2, Ηζ внутри спирали
(область I) имеют вид
(4,1)
(Ео—амплитуда
Ez на
Е2 и Н2 равны:
оси
спирали).
Вне
спирали (область II)
(4,2)
Н \\
г
Остальные компоненты поля могут быть определены с помощью
уравнений Максвелла. В результате мы получим:
В области I:
к(4,3)
350
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
В области II
k
(4.4)
^
(в этих формулах мы опустили множитель е ' ( « ^ - а д )
Перейдём теперь к выводу дисперсионного уравнения, связывающего k3 и k. Так как тангенциальная составляющая электрического поля вдоль витков спирали равна нулю, то справедливо
соотношение*)
£ ? I cos ψ -f- Ег[ sin ψ = 0, r = r 0 ,
(4,5)
где ψ — угол намотки (см. рис. 8). Из непрерывности Ег
следует, что при г = г0
и.£?
Так как отсутствует ток в направлении, перпендикулярном
спирали, то тангенциальная составляющая магнитного поля вдоль
витков спирали непрерывна, т. е.
Λ/φι cos ψ-j- /Уг1 sin ψ = //φΐΐ cos ψ —f- /^ г ц sin ψ,
r=r0.
(4,7)
Подставив в эти граничные условия выражения для полей (4,3)
и (4,4) и исключив константы, получим дисперсионное уравнение
— (k г )2
/
2. Рассмотрим подробнее два предельных случая, когда k1r0<^\
и когда £ι/" 0 3>>1. Воспользовавшись асимптотическими выражениями функций Бесселя при малых значениях аргумента / 0 ( Χ ) ? Ϊ Ϊ 1 ,
/J (χ) ~~γΧ, Κα (x) ~ — 1η -γ, Κι (Χ) ~ — (χ <C 1), получим
в случае kv r0 <C! 1 следующее выражение для фазовой скорости:
ι_
2
ctg ψ
\ ~~Г"
—с /1 —
2 In
*) Здесь предполагается, что возможна замена спирали эквивалентной цилиндрической поверхностью, проводящей ток только в направлении спирали.
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
351
Это выражение показывает, что если к±гй < ^ 1, то имеет место
дисперсия, причём ход дисперсии нормален. Поэтому групповая
скорость меньше фазовой. Если k^ r0 —> 0, то νφ —» с.
В случае к^го^>\
справедливы выражения
_ ι
/ 0 (к, г 0 ) ^ Λ (к{ г 0 ) ж (2π£ χ г о )~ Τ β *. л0 f
воспользовавшись которыми получим:
fc
(, _
При густой намотке ctg<j>^g>l, поэтому kx~^=-V k\ — k2 ~^> к
и, следовательно, k{~k3.
Таким образом, фазовая скорость равняется
Эта формула имеет простой смысл: отношение фазовой скорости
к скорости света в вакууме равно отношению путей, проходимых
волной вдоль спирали и вдоль её реи.
Заметим, что в случае k1 r0 < ^ 1 поле медленно нарастает
с ростом г от оси спирали к её поверхности и медленно спадает
вне спирали. В случае klrtl~^>\
поле быстро нарастает от оси
спирали к её поверхности и быстро спадает вне спирали.
Отличительной и весьма существенной особенностью спирального волновода является отсутствие граничной частоты.
Мы рассмотрели предельные случаи k1r0<^_\
и кхг0~^> \.
График, изображающий дисперсионную зависимость в общем виде,
представлен на рис. 10.
3. Воспользовавшись граничными условиями (4,5) и (4,6), выразим коэффициенты Си С 2 , Св через Ео. Мы получим следующие
выражения для полей:
В области I (/"<У 0 ):
F .
Ρ
[ IЬ
^
г\
Ι
If
352
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
В области II (>>-г 0 ):
I^L Ρ иг (ь, г\
; *з Л)
1
(4,12)
« = 4 tg*
(мы опустили множитель е'(ш<—
1
2
Рис 10.
Вычислим теперь полный поток электромагнитной энергии в направлении оси волновода:
р
= -кRe/
[ЕН ] ds
** = "гRe
4-
d r
[о
Γ — £φιΐ H*ru) r dr
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
353
Воспользовавшись формулами (4,10) и (4,11), получим
где //, Ki — значения соответствующих функций Бесселя при
значении аргумента, равном k1 г0. Здесь первое слагаемое в фигурных скобках определяет поток энергии внутри волновода, а второе слагаемое — вне волновода.
При малых значениях klr0 почти весь поток энергии сосредоточен вне спирали. С ростом kt r 0 увеличивается поток энергии
внутри спирали и уменьшается вне её. При этом полный поток
уменьшается и при заданном значении г 0 достигает минимума вблизи
Ajr o ;sil,2. (Поток энергии вне спирали достигает минимума также
вблизи kxr0 ^ 1 , 2 . ) Такая зависимость потока от kxr0 связана
с тем, что при kx r0 <СС 1 поля медленно убывают вне спирали,
а при kx r0 ^ > 1 быстро возрастают от оси к её поверхности
и быстро спадают вне спирали.
4. Мы видели выше, что значительная часть потока энергии
проходит вне спирали. Чтобы перераспределить поток энергии
и уменьшить долю потока вне спирали, можно окружить спираль
металлическим цилиндром, коаксиальным со спиралью 17 . При этом
изменяются также дисперсионные свойства спирали. В частности,
оказывается, что уменьшается фазовая скорость волны по сравнению с открытой спиралью с теми же параметрами.
Мы приведём здесь дисперсионное уравнение для спирали
в цилиндрическом волноводе, которое выводится таким же способом, как и уравнение для открытой спирали 1 1 (при выводе уравнения нужно учесть, что на поверхности цилиндра выполняются
граничные условия Е2ц = 0, Е9ц = 0):
где
И) -
КЩ
/ι
(R — радиус
цилиндра).
р
)
Если £ ι Γ β < ^ ; ΐ и £ ι # < ^ 1 , то из (4,15) следует, что
3
УФН, т. XLIV, вып. 3
354
А.
И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
Таким образом, в этом случае νψ не зависит от частоты и определяется только параметрами спирали; групповая скорость при этом
совпадает с фазовой.
Если
.то
v?=
Это соотношение совпадает с формулой (4,10), справедливой
в случае открытой спирали. Такое совпадение объясняется тем, что»
поля при kxr0'^>\
быстро спадают вне спирали, и поэтому внешний цилиндр не оказывает влияния на топографию поля.
Рис. И.
Фазовая скорость при k1r0'^>\s
^ι ''о'^С 1, н е зависит от частоты.
так
к
же
как и в случае-
На рис. 11 представлена зависимость -г- ctg ψ от kroctgty
для
открытой спирали (кривая //) и для спирали в цилиндрическом:
волноводе (кривая /), если — = 2. Мы видим, что наличие цилиндра
приводит к понижению фазовой скорости, причём это понижение
особенно значительно в области длинных волн.
Вычисление показывает, что поток энергии в спирали,,
окружённой цилиндром, меньше, чем в открытой спирали при
заданных частоте, радиусе спирали и напряжённости поля на оси
волновода.
Метод получения медленных волн с помощью спирали являете®
эффективным в области малых фазовых скоростей.
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
355
V. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПУЧКА ЗАРЯЖЁННЫХ ЧАСТИЦ
С МЕДЛЕННЫМИ ВОЛНАМИ
1. Перейдём теперь к изучению взаимодействия заряжённых
частиц с медленными волнами. Заметим прежде всего, что равномерно движущаяся в периодической структуре заряжённая частица
может при известных условиях излучать электромагнитные волны.
Известно, что при равномерном движении заряда в диэлектрике
имеет место излучение, если только скорость заряда превосходит
фазовую скорость волн в безграничном диэлектрике (эффект Черепкова) i9> 2 0 > 2 1 . Можно показать 2 2 , что наличие диэлектрика не
является необходимым условием излучения. Если фазовая скорость
распространения волны в сложном волноводе, не содержащем
диэлектрика, меньше скорости света в вакууме, то равномерно
движущаяся в такой структуре заряжённая частица также будет
излучать электромагнитные волны, если только скорость частицы
превосходит некоторое критическое значение.
Это явление, которое можно назвать сложным эффектом Черенкова, играет важную роль в механизме генерирования и усиления
медленных волн с помощью пучков заряжённых частиц.
Излучение частицы можно трактовать 1 S a · 2 2 как резонанс
между собственными колебаниями периодической структуры и вынуждающей силой, связанной с движущейся заряжённой частицей.
Собственные частоты системы ωλ определяются совокупностью
параметров λ = γ, s, один из которых (γ) является непрерывным
и заключён
в пределах
j-f
—z-t где
/ — период
структуры;
остальные параметры (s) являются дискретными и служат для обозначения «полосы» пропускания частот. Вынуждающая сила харакΎ -|
-.— ) ν, где я = 0, z t 1,
± 2 , . . . и ν — скорость частицы. Условие резонанса, являющееся
условием излучения, имеет поэтому вид
сох ΞΞ ω τ ί = 2 γ π = ( γ -j- - ^ - )
ν.
В неограниченном вакууме со = fc, Ω γ η = *ff cos θ ( β — угол между
направлением распространения волны и скоростью частицы, п = 0);
так как v<^c, то условие резонанса выполняться не может. В неограниченном диэлектрике α>χ = — L · - (ε — диэлектрическая проницаемость) и условие резонанса приводит к известному условию
излучения Черенкова
ν /е
В периодических структурах условие резонанса может выполняться при самых различных комбинациях величин γ, л, s.
3*
356
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б, ФАЙНБЕРГ
2. Изучению взаимодействия пучков заряжённых частиц с мед24 25 26> 2 7 2 8
ленными волнами посвящено значительное число работ - ·
· .
В этих работах показано, что если не возмущённая скорость немодулированного пучка превосходит некоторое критическое значение,
то возникающие в пучке флуктуации плотности заряда распространяются в виде волн с нарастающей амплитудой. При этом возбуждаются электромагнитные волны также с нарастающей амплитудой 24~28.
Чтобы разъяснить это явление, рассмотрим прежде всего простейший случай. Пусть в неограниченном однородном диэлектрике
в направлении оси ζ движется бесконечно широкий плоакопараллельный пучок электронов, невозмущённое состояние которого
определяется скоростью 1)0 и плотностью заряда р 0 ; эти величины
мы считаем постоянными и не зависящими от координат. (Для того
чтобы существовало такое состояние, будем предполагать, что наряду с электронным имеется также ионный пучок с плотностью
заряда — р0 и скоростью ν0.)
Частицы пучка подчиняются уравнению движения
и уравнению непрерывности
где w—возмущённая скорость частиц пучка, ρ — отклонение
плотности заряда от равновесного значения р0 и Ε — электрическое поле.
Мы будем рассматривать малые отклонения от невозмущённого
состояния, т. е. предполагать, что р<С!р 0 и | w — ν ο | < ^ ι > ο · ^читая., что w параллельно vtt, получим следующие линеаризованные
уравнения движения и непрерывности:
до ,
до
е с
/к
1Ч
Л
(5,2)
где ν = w — v0. К этим уравнениям мы присоединим линеаризованные уравнения для векторного и скалярного потенциалов
4«
-—
Ρ-
(5,3)
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
357
С
где
ε — диэлектрическая постоянная
и и = —-=е
—
скорость
V
распространения волн в диэлектрике.
Уравнения (5,1), (5,2), (5,3) представляют собой полную систему
уравнений, описывающих взаимодействие пучка с диэлектриком.
Решение этих уравнений ищем в виде плоских волн г ' М — ?г).
Мы получим, очевидно, следующие соотношения:
А = —φ.
(5,4)
(ω — ι > ο γ ) ρ = ρ ο γ ι » ,
Ε
χ=
Ι
д^~~Ш=='Т \J*~~
J
где γ—проекция g на ось χ, γ2 = g 2 — γ 2 . Исключив из этих
уравнений φ, ρ и г;, получим дисперсионное уравнение, связывающее ω и γ:
(здесь ω0 = γ ο β
и
^3 = ^
)· Считая γ заданным, мы будем рас-
сматривать (5,5) как уравнение, определяющее ω.
Переходя к исследованию уравнения (5,5), будем предполагать
плотность пучка достаточно малой, т. е. считать достаточно малой
величину Ω. Мы будем искать корень уравнения (5,5), близкий
к ω = γτ>0. Полагая
где | η ] <^[ ve γ, получим следующее выражение для η:
(5,6)
Это выражение показывает, что если 2 <^ γι»0, то корень, близкий
к γ υ 0 ) действительно существует. Далее мы видим, что если м —
вещественная величина, что соответствует области прозрачности
диэлектрика, то при ν0 ^> и величина η может стать чисто мнимой
(если vo<^uy то η всегда, т. е. при всех значениях γ, вещественна).
Отсюда можно заключить 31 ,что если невозмущённая скорость пучка ν,
превосходит фазовую скорость распространения волн в бесконечном диэлектрике, то состояние пучка, характеризующееся постоям-
358
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙИБЕРГ
ными р0 и v0, будет неустойчивым и возникающие в пучке флуктуации плотности и скорости будут распространяться в виде волн
с растущей экспоненциально со временем амплитудой. При этом
наряду с волнами плотности заряда будут распространяться электромагнитные волны также с нарастающей амплитудой.
Мы видим, что условие неустойчивости пучка и возникновения
волн плотности заряда и электромагнитных волн с нарастающей
амплитудой совпадает с условием черенковского излучения отдельной заряжённой частицей.
3. Формула (5,6) становится неприменимой, если γ равно
ω
~ _
1
_ /—η
ο
"
}
так как при этом η обращается в бесконечность.
Исследуем более подробно случай, когда γ = γ, чему соответствует частота, равная
<5·7>
Ч!гПолагая в уравнении (5,5) γ = γ и ω = ω-|-ί,
пределения ξξ:
дующее уравнение для определения
получим
сле-
Так как 2 < ^ « > 0 , то в этом уравнении можно пренебречь первым, третьим и четвёртым членами. В результате мы получим:
2з
Таким
образом, если проекция волнового вектора
на
ось
χ
равна γ, то мнимая часть частоты пропорциональна не — , а ( —
Заметим, что если уравнение (5,5) рассматривать как уравнение
для определения γ при заданной частоте ω, то, полагая о. = о·, мы
получим следующее выражение для мнимой части γ:
•-4
4 *(*)
2з
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
359
Максимальное значение этой величины как функции νϋ равно
1
л
макс
2
^
( оно достигается при —- = у
V
Легко понять физический смысл частоты со, соответствующей
максимальной неустойчивости пучка. Если отдельная частица движется в диэлектрике со скоростью ν0, превосходящей скорость
распространения волны и, то возникает черепковское излучение,
которое можно трактовать как резонанс между собственными колебаниями поля в диэлектрике и вынуждающей силой, обусловленной движущейся частицей. Частота собственных колебаний равна gu, а частота вынуждающей силы равна ν0 γ. Приравнивая эти
величины и замечая, что g = |^Yg-(-f2, мы получим частоту со,
которой соответствует волна с наибольшим нарастанием амплитуды.
Заметим, что в области частот, где диэлектрическая постоянная комплексна, т. е. в области непрозрачности диэлектрика,
уравнение (5,5) имеет комплексные корни при всех сколь угодно
малых значениях невозмущённой скорости v0; иначе говоря, невозмущённое состояние пучка неустойчиво при всех значениях v0.
4. Мы рассмотрели случай неограниченногр диэлектрика и бесконечно широкого пучка частиц, однако полученные выводы
остаются в силе также для ограниченных пучков 2 4 " 2 8 .
Рассмотрим " , например, цилиндрический волновод, заполненный диэлектриком, через который в направлении оси волновода
проходит пучок заряжённых частиц. Чтобы не усложнять расчёта,
предположим, что пучок заполняет всё пространство внутри волновода. В этом случае мы должны попрежнему исходить из уравнений (5,1), (5,2), (5,3), к которым следует присоединить только
граничное условие Ег = 0 на границе волновода. Величины ρ, ν,
φ, Εζ мы будем искать в виде ei^at~^f{f),
причём функция/
удовлетворяет уравнению
где Аг — двумерный лапласиан в плоскости х, у и γ 0 — граничный
волновой вектор, р а в н ы й — (<о0 — граничная частота волновода).
.Учитывая (5,11), мы получим из уравнений (5,1), (5,2), (5,3) соотношения
( - °> 3 + 2τ».ω - fvl + Ω*) ρ = J 1 ροΤ2φ(
360
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
которые приводят к дисперсионному урав.чению (5,5). Величина соОг
входящая в него, означает теперь граничную частоту волновода.
Заметим, что волны плотности заряда и скорости в волноводах без диэлектрика исследовались в работе Рамо 2 3 , в которой
выведено дисперсионное уравнение (5,5) для случая и — с.
Неустойчивость пучка и возникновение волн плотности заряда
и электромагнитных волн с нарастающей амплитудой могут иметь
место не только при движении пучка в диэлектрике. Эти явления
возникают также при движении пучка частиц в волноводах медленных волн, не содержащих диэлектрика, если только невозмущённая скорость пучка превосходит некоторое критическое значение (для цепочки эндовибраторов с очень малыми отверстиями
эта скорость пропорциональна У а, рДе α определяется формулой (2,15)).
С такой точки зрения может быть объяснён механизм возбуждения колебаний в многокамерном магнетроне. То обстоятельство,
что в многокамерном магнетроне мы имеем дело не с линейной, а
с круговой, замкнутой цепочкой эндовибраторов, не меняет существа явления: бесконечная линейная цепочка представляет собой,
так сказать, спрямлённый многокамерный магнетрон. Замкнутость
цепочки приводит к тому, что постоянная распространения ψ моги
жет принимать только дискретные значения, равные ψη = —jr- л,
где N—общее
число камер, а п — целое число, не превосходящее N. Как следует из формулы (5,7), максимальный рост амплитуды будет у колебания, для которого ψ = γ/ равно
( и — критическая скорость).
VI. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПУЧКА ЗАРЯЖЁННЫХ ЧАСТИЦ
С ЭЛЕКТРОННОЙ ПЛАЗМОЙ
1. Известно, что в электронной плазме могут распространять29 30
ся продольные электрические волны, частота которых равна ·
ω = Уа>1-\-и* ~ί*>
г д е
ω
ο
=
(—~—~ )
2
п
( о — равновесная
ность электронов плазмы), γ—волновой вектор и м = ( — у
плот—
средняя тепловая скорость электронов (Г — температура, выраженная в эргах). Формально такого же типа дисперсионная зависимость
имеет место в волноводе, заполненном диэлектриком, с фазовой скоростью распространения волн, равной и (при этом ω 0 представляет собой граничную частоту волновода). Поэтому возникает вопрос, не будет ли подчиняться взаимодействие пучка электронов с
плазмой тем же закономерностям, что и взаимодействие пучка
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
36Ϊ
заряжённых частиц с медленными волнами в волноводах, заполненных диэлектриком, и в цепочках эндовибраторов. Оказывается 2 1 Г
что действительно во многих отношениях взаимодействие пучка
заряжённых частиц с плазменными колебаниями аналогично взаимодействию пучка с медленными волнами в сложных волноводах,
в частности, имеет место неустойчивость пучка и возникновение
волн плотности заряда и электрических продольных волн с нарастающей амплитудой. Однако в отличие от диэлектриков и сложных волноводов, при движении через которые пучок становится
неустойчивым при скоростях, превосходящих фазовую скорость
распространения волн, неустойчивость пучка в плазме имеет место
при всех значениях не возмущённой скорости пучка. Неустойчивость
пучка и возникновение волн с нарастающей амплитудой становятся
особенно значительными, если скорость пучка превосходит среднюю
тепловую скорость электронов плазмы s 7 .
2. Рассмотрим 27 - 31 неограниченную однородную плазму, в которой в направлении оси ζ движется бесконечно широкий плоскопараллельный пучок электронов. Невозмущённое состояние пучка
характеризуется постоянными и не зависящими от координат скоростью 1)0 и плотностью заряда р 0 . Состояние плазмы определяется
функцией распределения F (r, w, г), которая при больших частотах
колебаний, когда можно пренебречь ролью парных соударений,
удовлетворяет следующему кинетическому уравнению 29 :
dF
dt
Здесь w — скорость электронов плазмы, г — радиус-вектор,
определяющий их положение, и Ε—-самосогласованное электрическое поле, действующее в плазме. Мы будем рассматривать состояния плазмы, близкие к равновесному состоянию, и состояния
пучка, близкие к невозмущённому состоянию. Обозначая через
f(z, w, t) отклонение функции распределения от равновесной максвелловской функции fo(w),
где w—проекция скорости электронов плазмы на ось ζ (в изучаемом нами случае неограниченной
плазмы и бесконечно широкого пучка достаточно, как легко видеть, рассматривать только эту проекцию скорости), получим
следующее уравнение для определения / :
J!f_\w_df_\ е ρ д/о
„
dt
dz ' ш
dw
'
Электрическое поле удовлетворяет уравнению
4^
(R U
ν »/
(6,2)
f
— ОО
где е I f dw—нескомпенсированная
ионами
плотность
заряда
362
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
электронов плазмы, а р — отклонение плотности пучка от невозмущённого значения р 0 . (Мы предполагаем при этом, что равновесный электронный заряд е I f0 dw
и невозмущённый*]^заряд
пучка компенсируются зарядом ионов.)
Частиды пучка подчиняются уравнению^движения
и уравнению непрерывности
dlv
~дТ +
W
P
(? + Ро) = °
(щ^ — возмущённая скорость пучка). Предполагая, что w . парал
лельно v 0 , и считая, что wp мало отличается от ν β , получим еле
дующие линеаризованные уравнения движения и непрерывности:
до
,
e „
dv
-Ir-t—Я" (Ро" + ». Р) = 0,
где ν = wp—
(6,4)
v0.
Уравнения (6,1), (6,2), (6,3), (6,4) представляют собой полную
систему уравнений, определяющих малые возмущения плазмы и
пучка.
Линеаризованные уравнения (6,1) — (6,4) допускают решения,
содержащие ζ и t в виде ег(">'—Y«)J где γ и ω — константы. Мы
докажем, что среди этих решений имеются решения, которые при
вещественном γ характеризуются комплексным ω и отрицательной
мнимой частью. Наличие таких нарастающих решений показывает,
что исходное состояние пучка является неустойчивым и что возникающие в плазме и пучке флуктуации поля и плотности зарядов
будут распространяться в виде волн с нарастающей амплитудой.
Решения в виде плоских монохроматических волн (с комплексной частотой) определяются согласно (6,1), (6,3), (6,4) следующими
•формулами:
/ = / — £ • — — — , £ = const βΗωίс
. е
г; = — ι —
т ω — γ» 0 '
р = — п £Ро_
т
Ε
(6,5)
МЕДЛЕННЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
363
Подстановка (9,5) в (6,2) приводит к соотношению, связывающему ω и γ:
4nga 7 /о («О dw
т-\ J
ω — fW
_
'
—oo
где Ω = (
аз
(ω — γυ ο )3
_
>
^ ' '
— J2 — ленгмюровская частота для пучка и /0 (w) =
mwl
I
2
2Г
= п0 ( „
j
е
—равновесная функция рарпределения электронов плазмы (л 0 — плотность электронов, Г — температура, выраженная в эргах).
Исследование дисперсионного уравнения (6,6) представляет
собой нашу основную задачу.
3. Вводя вместо w новую переменную y=zf~y
w, перепи-
шем (6,6) в виде
о
β
(6,7)
ι
где ωο = (
-j2
^
ι
—ленгмюровская частота плазмы и
ι
Входящий сюда интеграл
со
—00
dy
У
можно представить в виде
ι
,
J(z) = YKZe-* reV4~T& — Kie-*Sg \mz.
о
(6,8)
Это соотношение очень полезно для дальнейших исследований,
так как в нём можно сделать предельный переход к вещественным ζ.
Отметим два предельных случая соотношения (6,8).
Если | ζ | ^ > 1 и Imz—» — 0, тр
, 1 , 3
364
А.
И. АХИЕЗЕР ]] Я. Б. ФАЙНБЕРГ
Если \ζ\ < С 1, то
(6,10)
J(ζ) = 2]/πz —TtiSg lmz.
Используя (6,8), можно представить дисперсионное уравнение
(6,7) в следующем виде:
где а = f
4]tn
g3
у
ии=(—)2
(и — средняя тепловая скорость
электронов плазмы).
4. Перейдём теперь к исследованию дисперсионного уравнения.
Предполагая плотность пучка достаточно малой, т. е. считая
достаточно малой величину Ω, будем искать корень уравнения
(6,11), близкий к a>=:fv0. Полагая в (6,11)
Q3
где [ s | < ^ ^νϋ, получим следующее выражение для - j -
_ ι J.
Это выражение показывает, что если 2 · ^ ^ γ ΐ Ό > τ ο корень,
близкий к ω = "[ν0, действительно существует, причём так как в
уравнение (6,12) входит квадрат г, то всегда существует корень
с Im со < 0, соответствующий волне с нарастающей амплитудой.
Таким образом, мы доказали, что флуктуации поля и плотности распространяется в виде волн с нарастающей амплитудой и
что исходное состояние пучка является неустойчивым при всех
скоростях νϋ.
Выражение (6,12) может быть значительно упрощено в двух
предельных случаях:
< " г ' 0 > и.
В том случае, если г»0<С и, мы получим на основании (6,10)
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
365
откуда
8 ~i
I • —ι
r
n~ |r
,1,
—2~
Мы видим, что при ν0 <ξ^ и смещение частоты по отношению
к γΐ>0 является в основном вещественным и по порядку величины
равно Ω. Мнимая часть частоты, равная
1 ι / 3 ϊ t/0
3
'
-2, Γ
[ΐ+(βγ)
достигает максимума при αγ =
<ω
3
/
, что
/2
»η
соответствует
частоте
τ
ω 0 , максимальное значение 1 равняется
-=
Оно значительно меньше Ω.
Рассмотрим теперь предельный случай vo~^>u. Используя фор.мулу (6,9), представим (6,12) в виде
?).
(6,15)
Пренебрегая членами Ο (—ξ-) , получим:
\ νο /
й
Β= - Ϊ
»
тде η = 1 / —ψ
, ° .2 е
7 (ρη
2
'
и
===,
u
(6,16)
)
' . Так как η <ξ^ 1, то мы можем
заменить (6,16) приближённым выражением
•*-'
Таким образом, отклонение от частоты ω = γΐ>0 при г » 0 ^ > и
является почти чисто мнимым.
366
А.
И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
Заметим, что при ъо~^$> и дисперсионное уравнение может быть
приближённо представлено в виде
"о
^2
ι
— Ί
, , ,оч
KU,lOJ
причём мы пренебрегли в левой части этого равенства слагаемым
-ψ- -^— е
2
\"Т/ , содержащим экспоненциальный фактор,
так как
Уравнение (6,18) имеет такой же вид, как и дисперсионное
уравнение (5,5), характеризующее взаимодействие пучка заряжённых частиц с медленными волнами в сложных волноводах и диэлектриках, причём роль фазовой скорости играют средняя тепловая скорость электронов плазмы и роль граничной частоты волновода— ленгмюррвская частота плазмы со0. Интересно заметить,
что уравнение (6,18) (без слагаемого, содержащего экспоненциальный множитель) может быть получено, если описывать плазму
чисто гидродинамически и считать при этом давление равным ти? пг
где л — плотность электронов.
5. В то время как при малых скоростях пучка (vo<^u)
мнимая часть ω очень невелика и составляет по порядку величины
—- Ω, при скоростях, превосходящих
и, мнимая часть ω может
принимать гораздо большие значения. Согласно (5,7) и (5,8), если
волновой вектор и частота становятся равными
1
/ -ч
мнимая часть частоты равна
Таким образом, в области скоростей, превосходящих среднюю
тепловую скорость электронов плазмы, при γ = γ и ω = ω мнимая
часть частоты пропорциональна не —- — , как это имеет место
2
В
области малых скоростей, а ( — J 3 , Отсюда
следует, что не-
МЕДЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
367
устойчивость пучка и возникновение волн с нарастающей амплитудой становятся особенно существенными в области скоростей,
превосходящих и. Эти результаты справедливы, если в уравнении
(6,18) не учитывать слагаемого с экспоненциальным фактором и,
кроме того, не рассматривать парных столкновений в плазме * ) .
ЦИТИРОВАННАЯ;" ЛИТЕРАТУРА
1. G. В r u e k and E. W i c h e r , Journ. Appl. Phys. 18, 766 (1947).
2. L. P i n c h e r l e , Phys. Rev. 66,118 (1944).
3. Л у и д е Б р о й л ь , Электромагнитные волны в волноводах и полых
резонаторах. Госиноиздат, Москва, 1948, стр. 18.
4. R. В. R. S h е г s b у - Η а г b i e, Nature, 162, 890 (1948).
5. В. В л а д и м и р с к и й , ДАН 52, 219 (1946).
6. К у р а н т и Г и л ь б е р т , Методы математической физики, т. I.
7. В. В л а д и м и р с к и й , ЖТФ 17, 1277 (1947).
8. В. Б р о д с к и й , Изв. АН СССР, сер. физич. 10, 17 (1946).
9. Н. Be t h e , Phys. Rev. 66, 163 (1944).
10. J. S l a t e r , Rev. of Modern Phys. 20, 485 (1948).
11. L. C h u a n d W. H a n s e n , Journ. Appl. Phys. 18, 996 (1947).
12. L. B r i l l o u i n , Journ. Appl. Phys. 19, 1023 (1948).
13. W. W i l k i n s h o w , Journ. Appl. Phys. 20, 634 (1949).
14. У и т т е к е р и В а т с о н , Курс современного анализа, т. II.
15. J. P i e r c e , Proc. lnst. Rad. Ing. 35, 121 (1947).
16. С. К о г а н, ДАН 56, 867 (1949).
17. Л. Л о ш а к о в и Е. О л ь д е р о г е , Радиотехника 3, 11 (1948).
18. R. P h i l l i p s , Quarterly of Applied Mathematics 8, 229 (1950).
19. И. Т а мм и И. Ф р а н к , ДАН 14, 108 (1937).
19а.В. Г и н з б у р г , Journ. of Physics 2, 441 (1940).
20. В. Г и н з б у ρ г, ДАН 56, 253 (1947).
21. В. Г и н з б у р г и И. Ф р а н к , ДАН 56, 699 (1947).
*) Феноменологически столкновения в плазме можно учесть, если
добавить в (6,1) член —
/, где τ — среднее время между двумя стол-
кновениями. Уравнение (6,18) приобретает при этом вид
Смещение частоты равняется
t =
— ι•
V
ι \2
оно всегда, при всех ι% имеет отрицательную мнимую часть.
368
А. И. АХИЕЗЕР И Я. Б. ФАЙНБЕРГ
22. А. А х и е з е р , Г. Л ю б а р с к и й , Я. Φ а й н б е ρ г, ДАН 73, 55
(1950).
23. S. R a m o , Phys. Rev. 56, 276 (1939).
24. J. P i e r c e , Proc. Inst. Rad. Ing. 35, 111 (1947).
25. В. Л о п у х и н, УФН 36, вып. 4 (1948).
26. Л. Л о ш а к о в , ЖТФ 19, 578 (1949).
27. А. А х и е з е р и Я. Ф а й н б е р г , ДАН 64, 555 (1949).
28. J. P i e r c e , The Bell System Techn. Journ. 29, № 1, 2, 3,4 (1950).
29. А. В л а с о в , ЖЭТФ 8, 291 (1938).
30. А. В л а с о в , Учёные записки МГУ (физика) 75, вып. 1 (1945).
3 1 . В о h m and G r o s s , Phys. Rev. 75, 1864 (1949).