Документ 2110896

Наац В. И., Наац И. Э., Рыскаленко Р. А.
Параметризованные модели теории переноса в задачах экологического мониторинга…
Математика
ПАРАМЕТРИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ
ПЕРЕНОСА В ЗАДАЧАХ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО
МОНИТОРИНГА АТМОСФЕРЫ И ПРИНЦИП
МИНИМАКСА
В. И. Наац, И. Э. Наац, Р. А. Рыскаленко
PARAMETERIZED MODELS
OF TRANSPORT THEORY
IN PROBLEMS OF ATMOSPHERE
ECOLOGICAL MONITORING AND
MINIMAX PRINCIPLE
Naath V. I., Naath I. E.,
Riscalenko R. A.
Parameterized computational models of the
transport theory are considered in the paper
with regard to the atmosphere ecological monitoring problems and minimax method, which
permits to estimate the decision effectiveness in
the conditions of information uncertainty.
В статье рассматриваются параметризованные вычислительные модели теории переноса применительно к задачам экологического мониторинга атмосферы и метод минимакса, позволяющий оценивать эффективность решений в условиях информационной неопределенности.
Ключевые слова: экологический мониторинг, пограничный слой атмосферы , концентрация загрязняющих веществ, математические модели теории переноса, принцип минимакса.
УДК 519.5, 519.6
46
Рассматриваются модели для решения
прогнозных задач экологического мониторинга пространственно-временной изменчивости поля концентрации загрязняющих веществ (ЗВ) в пограничном слое атмосферы в
ситуациях с так называемыми несанкционированными (аварийными) выбросами в атмосферу. Вычислительные модели предназначены для их реализации в структуре информационно-измерительных систем поддержки принятия решений в критических
ситуациях. Эти модели основаны с одной
стороны на априорной информации в виде
уравнений турбулентного переноса ЗВ и
предположениях о постоянстве скорости
r
ветра V ( x, t ) и поля коэффициента турбу-
лентной диффузии K ( x, t ) в пределах локального контролируемого региона. С другой стороны они основаны на оперативных
сопутствующих прогнозу изменениях поля
концентрации ЗВ в некоторых опорных точках (постах экологического контроля). Авторами предлагается алгоритм, позволяющий
прогнозировать
пространственновременную динамику поля концентрации ЗВ
в критических ситуациях и оценивать эффективность тех или иных принципиальных
решений в условиях информационной неопределенности на основе принципа минимакса.
При решении задачи прогноза пространственно-временной изменчивости поля
концентрации ЗВ в атмосфере определяющую роль играют математические модели
теории переноса субстанции и методы
63/2009
Вестник Ставропольского государственного университета
численного решения соответствующих уравнений. Простейшим из этих уравнений является так
называемое полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии в пограничном слое атмосферы, которое можно записать для одномерного случая в виде [1]:
∂u
∂
∂  ∂u 
(1)
+ αu + (Vu ) −  K  = S ( x, t ) .
∂t
∂x
∂x  ∂x 
Уравнение (1) связывает концентрацию ЗВ u( x, t ) в контролируемом объеме среды
r
Ω = Ω x × Ωt = [0, X ] × [0, T ] с полями V ( x, t ) , K (x, t ) , S (x, t ) . При этом предполагается, что
r
скорость ветра V ( x, t ) и коэффициент турбулентной диффузии K ( x, t ) в точке ( x, t ) могут
быть
связаны
друг
с другом неким функциональным
уравнением, скажем
F ( x, t ,V , K ) = C (const ) . Ниже кратко рассматриваются вопросы практической реализации подобного способа априорного доопределения модели (1) в задачах экологического прогноза в
области Ω .
Напомним прежде всего, что уравнение (1) при численных оценках поля u( x, t ) должно
быть доопределено граничными и начальными значениями, а именно, u ( x, t = 0 ) = u0 ( x ) ,
u(0, t ) = µ1(t ) , u( X , t ) = µ2 (t ) . Приближенные аналитические модели указанных функций
u0 (x ) , µ1(t ) и µ2 (t ) должны быть получены на основе измерений концентрации ЗВ в экологи-
ческих постах (точках контроля). Подобная информационно-измерительная процедура необходима для так называемой «привязки» модели (1) к контролируемой области Ω . Ясно, что в
этих же точках могут быть осуществлены измерения метеопараметров атмосферы (скорость
ветра, температура, влажность и т. д.), позволяющих прогнозировать поле скорости ветра в
пределах области Ω на основе соответствующих априорных моделей. Если считать, что поле
r
V (M , t ) , где M = M ( x , y, z ) ∈ Ω , известно в пределах Ω , то в рамках предлагаемого метода
остается найти функциональную связь между параметрами Vx ( M , t ) , V y ( M , t ) , Vz ( M , t ) и ко-
эффициентами турбулентной диффузии K x ( M , t ) , K y ( M , t ) , K z ( M , t ) в соответствующих направлениях Ox , Oy и Oz . Для этой цели может быть использована эмпирическая формула вида:
1
 ∂V 2  ∂V  2  ∂V  2  ∂V  2  2
K = cL2  x  +  x  +  z  +  z   ,
 ∂x   ∂z   ∂x   ∂z  
(2)
где c и L – некие константы (параметры), числовые значения которых согласуются с так называемыми турбулентными состояниями пограничного слоя атмосферы. В частности, в соответствии с принятыми рекомендациями, величина c близка к значению 0.4, а параметр L
(размерность м2 ) лежит в диапазоне 20–200 для наблюдаемых состояний пограничного слоя
атмосферы. Для практического использования соотношения (2) необходимо предварительно
r
оценить значение параметра L . Это возможно на основе измерений значений поля V (P, t ) . Не
останавливаясь подробно на обосновании формулы (2), отметим, что главное в ней это констатация наличия зависимости значений коэффициентов турбулентной диффузии от степени пространственной изменчивости компонент скорости ветра, что вполне соответствует основным
положениям теории турбулентных уравнений сплошных сред. В качестве примера можно сослаться на качественную модель турбулентной диффузии в пограничном слое атмосферы
Лайтхмана [2]. Исходя из этого, при решении вычислительных задач вместо формулы (2) предлагаt
v
ется следующая модель функциональной связи полей V (P, t ) и K (P, t ) (тензорная величина):
47
Наац В. И., Наац И. Э., Рыскаленко Р. А.
Параметризованные модели теории переноса в задачах экологического мониторинга…
1
2
3 
 2
r
∂
V
2
i
  ,
Ki (x ) = L ∑ pij 
 j =1  ∂x j  


(3)
3
где pij – элементы некой весовой матрицы P : pij ≥ 0 , ∑ pij = 1 , ∀ j = 1, 2,3 . Заметим, что
i =1
матрица P в принципе может быть связана с теорией марковских процессов [3]. Если модель
переноса (1) доопределяется уравнением связи (3), то целесообразно общую модель писать в
виде системы уравнений:
( )
3 ∂
3 ∂
∂u
Vi u − ∑
+ αu + ∑
∂t
i =1 ∂xi
i =1 ∂xi
 ∂u 
 = S (Q, t ) ,
 K i
 ∂xi 
(4а)
1
2 2
3 

∂Vi (Q, t )  
2

(4б)
K i (Q, t ) = L ∑ pij
, i = 1,2,3 ,
 j =1  ∂x j  


где Q – точка области Ω с координатами x1, x2 , x3 . Для численного решения (4) авторами бы-
ли разработаны соответствующие алгоритмы на основе схем покоординатного расщепления [1].
Основной вопрос, связанный с обобщенной моделью переноса (4), касается оценки элементов
матрицы P = pij
, определяющей структуру поля турбулентности реальной среды. По-
{ }3x3
скольку вести речь о прямых наблюдениях турбулентного поля в локальных объемах движущейся среды не представляется возможным, то остается прибегнуть к косвенной оценке этой
матрицы. Ясно, что если матрица P принадлежит некоторому семейству матриц ℜ , то решая
последовательно систему (4), можно построить последовательность распределений {u (Q, t ; P )}
на ℜ . Поскольку в работе рассматриваются задачи экологического мониторинга с использованием информационно-измерительной системы, то оценить подходящий вариант структурной
матрицы P можно из решения следующей оптимизационной задачи
r
r
min max
u ( x , t ; P ) − u~ ( x , t ) ,
(5)
r
P∈ℜ
x*
~( xr, t ) – значения поля концентрации ЗВ в контролируемых точках xr* области Ω . Критегде u
рий (5) в практических применениях удобно использовать в виде
m
r
r
F (P ) = ∑ λv u (xv , tv ; P ) − u~v (x , t ) ,
(7)
v =1
где λv – некие весовые коэффициенты, связанные с ранжированием точек наблюдения в обm
ласти Ω , ∑ λv = 1 , λv > 0 . В этом случае заключительной операцией является решение оптиv =1
мизационной задачи вида:
( )
min F (P ) = F P* .
P∈ℜ
(8)
Дальнейшее прогнозирование поля концентрации ЗВ осуществляется по распределению
(
)
r
u Q, t; P* для точек (Q, t ) вне области наблюдений (вне точек (xv , tv ) ). Теоретический анализ
модели (4) и алгоритмической задачи (5) (существование решений и устойчивость) выходит за
рамки настоящей работы. Соответствующие регуляризирующие алгоритмы, обеспечивающие
48
63/2009
Вестник Ставропольского государственного университета
устойчивость вычислительных схем, особенно в части усвоения эмпирических данных, частично были рассмотрены в ранее опубликованных работах авторов [4,5]. Использование параметризованных моделей переноса типа (3), определенных на пространстве ℜ , естественно связано
со значительной долей неопределенности в получаемых прогнозах, которые вряд ли могут быть
«точными». Подобную неопределенность в данном классе задач предлагается преодолевать в
той или иной системе на основе принципа минимакса, как это и принято в теории исследования
операций. Решение задач мониторинга окружающей среды требует использования методов
этой теории в полной мере.
Следующим шагом в развитии модели (4) является предложение дополнить её соответствующей аэродинамической моделью пограничного слоя атмосферы, а именно уравнением НавьеСтокса, что позволит выполнять расчеты компонент поля скорости ветра. В результате приходим
к следующей обобщенной модели теории переноса примесей в пограничном слое атмосферы:
r
∂u
+ αu + div (Vu ) − div ( K∇u ) = S (Q, t ) ,
∂t
r
r r
r
r
∂V
+ V∇ V − K∇ 2V = − F ,
∂t
( )
(9а)
(9б)
1
2 2
 3
 ∂Vi (Q, t )  
2



 , i = 1,2,3 .
K i (Q, t ) = L ∑ pij
 j =1  ∂x j  


(9в)
Модель (9), как и всякая модель физического явления, определяется набором неизвестных параметров, которые подлежат оценке на основе экспериментальных данных в каждом конкретном случае. К подобным коэффициентам относятся α , K , L2 и матрица P ∈ ℜ . Зависимость
r
решения u (Q , t ) и V (Q, t ) от неизвестных параметров естественно требует указать способ их
оценки. Модель (9) ориентирована на практическое решение в рамках информационноизмерительной системы, которая в штатном режиме обеспечивает контроль полей u (Q , t ) и
r
V (Q, t ) в точках (Qν , tν ) .
В этой ситуации в целях преодоления неопределенности естественно прибегнуть к принципу минимакса, т. е. к решению оптимизационной задачи типа
{
r
2
r
2

~
min max ω1 ⋅ u~ (Qν , t j ) − u (Qν , t j , P ) + ω2 ⋅ V (Qν , t j ) − V (Qν , t j , P )  .
(10)
P∈ℜ ( Q , t )

*
Решением этой задачи является P* ∈ ℜ . Значение P позволяет далее решать задачи прогноза
(
)
поля u Q, t; P* вне области контроля Ω × Ωt .
Разработке алгоритмического и программного обеспечения подобных задач посвящены
некоторые работы авторов [6-10]. Однако полностью данная проблема не решена и требуются
дальнейшие разработки и исследования.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
Семенчин Е. А., Наац В. И., Наац И. Э. Математическое моделирование нестационарного переноса
примеси в пограничном слое атмосферы. – М.: Физматлит, 2003.
Лайтхман Д. Л. Физика пограничного слоя атмосферы. – Л., 1970.
Наац И. Э., Семенчин Е. А. Математическое моделирование динамики пограничного слоя в задачах
мониторинга окружающей среды. – Ставрополь: СГПУ, 1995.
Наац В. И. Обратная коэффициентная задача для уравнения турбулентной диффузии. // Вестник
СевКавГТУ. – Серия физико-химическая. – 2003. – С. 89–94.
49
Наац В. И., Наац И. Э., Рыскаленко Р. А.
Параметризованные модели теории переноса в задачах экологического мониторинга…
Каргин Н. И., Рыскаленко Р. А. Применение вариационных методов в вычислительной модели уравнения Навье-Стокса // Вестник СевКавГТУ. – 2006. – № 3(7). – С. 22–26.
6. Наац В. И., Рыскаленко Р. А. Построение сеточной модели решения нестационарного уравнения
переноса примесей в атмосфере и ее программная реализация // Математическое моделирование и
информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках: Материалы III
региональной научно-технической конференции. – Георгиевск, 2003. – С.16–18.
7. Наац В. И. Численное моделирование пространственных задач переноса субстанции в пограничном
слое атмосферы // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2005. –
№ 2(05). – С. 3–13.
8. Наац В. И. Система информационно – вычислительного обеспечения задач экологического мониторинга // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: Тр. XV Всероссийской научно-технической конференции. – Н. Новгород, 2005. – С. 5–6.
9. Рыскаленко Р. А. Численное моделирование поля концентрации примесей с заданными характеристиками в задачах переноса // Современные проблемы математики и естествознания: Материалы
Всероссийской научно-технической конференции. – Н. Новгород, 2003. – С. 15.
10. Каргин Н. И., Рыскаленко Р. А. Многочлены Бернштейна и метод наименьших квадратов в вычислительной модели уравнения Навье-Стокса // Известия вузов. Северо-Кавказский регион Естественные науки. – 2007. – № 6.
5.
Об авторах
Наац Игорь Эдуардович, Ставропольский государственный университет, доктор физикоматематических наук, профессор кафедры информационных систем в экономике. Сфера научных интересов – математическое моделирование, численные методы, математическая физика.
VINaac@yandex.ru
Наац Виктория Игоревна, Ставропольский государственный университет, доктор физикоматематических наук, доцент, заведующая кафедрой математического анализа. Сфера научных интересов – математическое моделирование, численные методы, комплексы программ.
VINaac@yandex.ru
Рыскаленко Роман Андреевич, Ставропольский государственный университет, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов – математическое моделирование, численные методы, программирование, информационные технологии.
risc-roman@yandex.ru
50