Методические указания к практическим работам

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего
профессионального образования
«Санкт-Петербургский политехнический колледж»
Методические указания
по выполнению практических работ
по дисциплине Математика
специальность 151001 Технология машиностроения
Санкт-Петербург
2011
1
ОДОБРЕНО
Учебной (цикловой) комиссией
Протокол №
от
Председатель
Н.И.Богомолова
Составлена в соответствии
с Государственными требованиями
к минимуму содержания и уровню подготовки
выпускника по специальности
Заместитель директора по УР
Л.П. Мельникова
Автор: Е.А.Рахаева
Рецензенты:
2
Содержание
1. Пояснительная записка
2. Тематический план учебной дисциплины
3. Перечень практических работ
4. Методические указания
Практическое занятие 1
Практическое занятие 2
Практическое занятие 3
Практическое занятие 4
Практическое занятие 5
Практическое занятие 6
Практическое занятие 7
Практическое занятие 8
Практическое занятие 9
Практическое занятие 10
5. Литература
4
5
9
10
10
15
21
25
27
37
41
50
55
58
61
3
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочей программой учебной дисциплины «Математика»
предусмотрено
проведение практических работ.
Основная цель практических работ – закрепление теоретических знаний,
полученных во время теоретических занятий, приобретение необходимых практических
умений и навыков.
Практические занятия проводятся после изучения соответствующей темы, которая
обеспечивает наличие знаний, необходимых для выполнения практической работы.
В результате освоения учебной дисциплины студент должен знать:

значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и
практике; широту и в то же время ограниченность применения математических
методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования
и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания
математического анализа, возникновения и развития геометрии;

универсальный характер законов логики математических рассуждений, их
применимость во всех областях человеческой деятельности;

вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
В результате выполнения практических работ студент должен уметь:
 Векторная алгебра.
Выполнять линейные операции над векторами.
Выполнять действия над векторами, заданными своими координатами.
Находить расстояние между двумя точкам.
Находить проекцию вектора на ось.
Вычислять скалярное произведение векторов в декартовых координатах.
Вычислять векторное произведение векторов в декартовых координатах.
Вычислять смешанное произведение векторов в декартовых координатах.
Использовать геометрические приложения произведений векторов для

решения задач.
Математический анализ.
Вычислять производные функции при данном значении аргумента;
Интегрировать простейшие функции;
Находить частные производные различных порядков.
Составлять дифференциальные уравнения на простейших задачах;
Решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными;
Решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка;
Решать однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решать простейшие дифференциальные уравнения в частных производных;
Решать дифференциальные уравнения первого порядка, линейные относительно частных производных.
Определять сходимость числовых и функциональных рядов по признаку Даламбера;
Применять признак Лейбница для знакопеременных рядов;
Разлагать элементарные функции в ряд Маклорена.

Основы теории вероятностей и математической статистики
Находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей;
Решать задачи с применением теоремы сложения вероятностей для несовместных событий;
Строить ряд распределения случайной величины;
Находить функцию распределения случайной величины;
Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по заданному закону её
распределения;
Находить среднее квадратичное отклонение случайной величины.
Находить линейную корреляцию
Особенность выполнения практических работ по данной дисциплине закрепление
и усвоение основных положений теории, приобретение навыков расчета параметров при
производстве.
4
Уровень
освоения
Содержание учебного материала:
Значение и содержание учебной
дисциплины «Математика», её связь с
другими дисциплинами. Новейшие
достижения и перспективы развития.
Раздел 1. Векторная алгебра
Тема 1.1
Содержание учебного материала:
Определение
вектора.
Линейные
Действия над
операции над векторами, их свойства.
векторами,
Базис и координаты вектора. Действия
заданными
над векторами, заданными своими
своими
Модуль
вектора.
координатами. координатами.
Расстояние между двумя точкам.
Проекция вектора на ось.
Тема 1.2
Содержание учебного материала:
Алгебраические свойства скалярного
Скалярное
произведения векторов. Выражение
произведение
скалярного произведения векторов в
векторов.
декартовых
координатах.
Геометрические
приложения
скалярного произведения векторов.
Практическая Содержание: Вычисление скалярного
произведения
векторов.
работа № 1
Геометрические
приложения
скалярного
произведения векторов
для решения практических задач.
Тема 1.3
Содержание учебного материала:
Алгебраические свойства векторного
Векторное
произведения векторов. Выражение
произведение
векторного произведения векторов в
векторов
декартовых
координатах.
Геометрические
приложения
векторного произведения векторов.
Практическая Содержание: Вычисление векторного
произведения
векторов.
работа № 2
Геометрические
приложения
векторного произведения векторов для
решения практических задач.
Тема 1.3
Содержание учебного материала:
Алгебраические свойства смешанного
Смешанное
произведения векторов. Выражение
произведение
смешанного произведения векторов в
векторов.
декартовых
координатах.
Геометрические
приложения
смешанного произведения векторов.
Вычисление
Практическая Содержание:
Самостоятел
ьная работа
студентов
Введение
Содержание учебного материала,
практические работы, самостоятельная
работа студентов.
Количество
аудиторных
часов
Наименование
разделов и тем
Максимальн
ый
объём часов
2. Тематический план и содержание учебной дисциплины
3
2
-
1
21
3
14
2
1
1
3
2
1
2
3
2
-
3
3
2
1
2
3
2
-
3
3
2
1
2
3
2
-
3
5
смешанного произведения векторов.
Геометрические
приложения
смешанного произведения векторов
для решения практических задач.
Раздел 2. Математический анализ.
Тема 2.1
Содержание учебного материала:
функции.
Правила
Дифференциаль Производная
дифференцирования.
ное и
Дифференцирование
сложной
интегральное
функции.
Производные
и
исчисление.
дифференциалы высших порядков.
Неопределённый
интеграл.
Интегрирование методом введения
новой переменной и методом по
частям.
Интегрирование
рациональных,
иррациональных,
тригонометрических
функций.
Универсальная подстановка. Методы
интегрирования
в
определённом
интеграле.
Производные
и
Практическая Содержание:
дифференциалы высших порядков.
работа № 4
Правило «Лопиталя». Монотонность,
экстремум,
выпуклость
функции.
Интегрирование
рациональных,
иррациональных, тригонометрических
функций.
«Универсальная
подстановка».
Тема 2.2
Содержание учебного материала:
Определение
дифференциального
Дифференуравнения.
Уравнения
с
циальные
разделёнными и разделяющимися
уравнения
переменными.
Задача
Коши.
Однородные уравнения. Уравнения,
приводящиеся
к
однородным.
Линейные неоднородные уравнения 1ого
порядка.
Метод
Бернулли.
Дифференциальные уравнения 2-ого
порядка. Задача Коши. Линейные
однородные уравнения 2-ого порядка с
постоянными коэффициентами. Метод
Эйлера.
Решение
Практическая Содержание:
дифференциальных
уравнений
1-ого
работа № 5
порядка
с
разделяющимися
переменными.
Практическая Содержание: Решение линейных
однородных
дифференциальных
работа № 6
уравнений
2-ого
порядка
с
постоянными коэффициентами.
Тема 2.3
Содержание учебного материала:
Числовой ряд. Определение числового
Ряды.
работа № 3
30
6
20
4
2
1
3
2
-
3
6
4
2
2
3
2
-
3
3
2
-
3
6
4
2
2
6
ряда, суммы ряда. Свойства рядов.
Необходимый признак сходимости
рядов.
Признак
сравнения.
Интегральный признак сходимости
рядов.
Признак
Даламбера.
Нахождение
суммы
ряда
по
определению.
Знакочередующиеся
ряды. Признак Лейбница. Абсолютная
и
условная
сходимость.
Функциональные ряды. Степенные
ряды. Радиус и интервал сходимости.
Ряды Тейлора. Ряд Маклорена.
Разложение элементарных функций в
ряд.
Ряды
Фурье.
Разложение
элементарных
функций
в
ряд.
Нахождение радиуса и области
сходимости
степенного
ряда.
Разложение элементарных функций в
ряд Тейлора.
Практическая Содержание:
Нахождение
суммы
ряда
по
работа № 7
определению.
Исследование
сходимости положительных рядов.
Знакочередующиеся ряды. Признак
Лейбница. Абсолютная и условная
сходимость. Исследование сходимости
знакочередующихся
рядов.
Исследование числовых рядов на
абсолютную и условную сходимость».
Раздел 3. Основы теории вероятностей и
математической статистики
Тема 3.1
Содержание учебного материала:
Основные определения. Определение
Событие и
и свойства вероятности. Теорема
вероятность.
сложения вероятностей.
Практическая Содержание:
Решение
простейших
задач
на
работа № 8
определение вероятности события; на
определение вероятности события с
использованием теоремы сложения.
Тема 3.2
Содержание учебного материала:
Дискретные и Случайная величина, её функция
распределения.
Математическое
непрерывные
ожидание
и
дисперсия
дискретной
случайные
случайной
величины.
Законы
величины
распределения случайных величин.
Практическая Содержание:
Случайная
величина.
работа № 9
Дискретная
и
непрерывная
случайная
величина,
закон
распределения
случайной
величины.
3
2
-
3
18
12
3
2
2
2
3
2
-
3
3
2
2
2
3
2
-
3
7
Тема 3.2
Элементы
математической
статистики
Практическая
работа № 10
Содержание учебного материала:
Генеральная совокупность и выборка.
Оценка
параметров
генеральной
совокупности
по
её
выборке.
Доверительные
интервалы
для
параметров
нормального
распределения.
Проверка
статистических гипотез. Линейная
корреляция.
Содержание:
Нахождение
математического
ожидания, дисперсии и среднего
квадратичного
отклонения
дискретной
случайной
величины, заданной законом
распределения.
Всего по курсу
3
2
2
2
3
2
-
3
72
48
8
Практическая
работа № 1
Практическая
работа № 2
Практическая
работа № 3
Практическая
работа № 4
Практическая
работа № 5
Практическая
работа № 6
Практическая
работа № 7
Практическая
работа № 8
Практическая
работа № 9
Практическая
работа № 10
3. Список практических работ
Вычисление скалярного произведения векторов.
Вычисление векторного произведения векторов.
Вычисление смешанного произведения векторов.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Решение дифференциальных уравнений 1-ого порядка с
разделяющимися переменными.
Решение линейных однородных дифференциальных
уравнений 2-ого порядка.
Нахождение суммы ряда по определению. Исследование
сходимости положительных рядов.
Решение простейших задач на определение вероятности
события.
Случайная величина. Дискретная и непрерывная
случайная величина.
Нахождение математического ожидания, дисперсии и
среднего
квадратичного
отклонения
дискретной
случайной величины.
9
Практическая работа № 1
«Вычисление скалярного произведения векторов»
Основы теории
Координатывектора
 

a  xi  yj  zk
Z
k
i
j
X
Y
1°

a{x1 ; y1 ; z1 }

b{x 2 ; y 2 ; z 2 }
 
a  b  {x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 }
 
a  b  {x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 }

a  {x1 ; y1 ; z1 }
2°
1
OC  (OA  OB )
2
x  x2
x 1
2
y  y2
y 1
2
z  z2
z 1
2
z
A
C
B
y
x
3°

a  x2  y2  z 2
4°
MM 1  {x 2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 }
MM 1  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
5°
Скалярное произведение двух векторов.
10
   
 
a  b  a  b  cos(a ^ b )
6°


a{x1 ; y1 ; z1} b{x 2 ; y 2 ; z 2 }

ab  x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
7°

 
ab
cos( a ^ b ) 
ab
x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
 
cos( a ^ b ) 
2
2
2
2
2
2
x1  y1  z1  x 2  y 2  z 2
8° Деление отрезка в данном отношении
АВ делится (.) С в отношении АС:СВ; координаты (.) С
xc 
x a  xb
1
yc 
y a  yb
1
zc 
z a  zb
1
9° Направляющие косинусы

Направление вектора a определяется углами  ;  ;  , образованными им с
осями координат Ox; Oy; Oz.
cos  
ax

a
cos  
az

a
ax
ax 2  ay 2  az 2
az
cos  
ay

a
ay
ax 2  ay 2  az 2
ax 2  ay 2  az 2
Если: (.) А (x1; y1; z1) (.) B (x2; y2; z2)
AB  d  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
cos  
x2  x1
d
cos  
y 2  y1
d
cos  
z 2  z1
d
11
Задания для практической работы № 1.
Вариант 1
Задание 1
(.) А (5; -3; 2) (.) B (2; 4; 1)
На прямой АВ найти (.) С делящую АВ в отношении 2:1
Задание 2
На оси OZ найти точку, равноудаленную от (.) А (2;4;3) (.)B (-3;5;1)
Задание 3




Найти длину b  10i  15 j  30k и его направляющие косинусы
Задание 4
Найти скалярное
произведение
векторов
 


 

a  3i  2 j и b  i  3 j  k
Задание 5


  



При каких Р векторы a  7i  pj  k b  4i  3 j  pk перпендикулярны.
Вариант 2.
Задание 1
(.) А (3; 4; 5) (.) B (2; 1; 1)
На прямой АВ найти (.) N делящую АВ в отношении 3:2
Задание 2
На оси OX найти точку, равноудаленную от (.) А (1;3;5) (.)B (-3;2;1)
Задание 3


 
Найти длину b  4i  2 j  k и его направляющие косинусы
Задание 4
Найти скалярное
произведение
векторов



 



a  2i  j  3k и b  4i  3 j  2k
Задание 5

  

 

При каких M векторы a  mi  3 j  k b  4i  mj  k перпендикулярны
Вариант 3.
Задание 1
(.) А (5; 4; 3) (.) B (1; 1; 1)
На прямой АВ найти (.) N делящую АВ в отношении л = 4
Задание 2
На оси OY найти точку, равноудаленную от (.) А (2;4;1) (.)B (-2;-4;3)
Задание 3


 
Найти длину b  6i  j  4k и его направляющие косинусы
Задание 4
Найти скалярное
произведение
векторов
 


 


a  3i  2 j  k и b  i  2 j  4k
Задание 5


  



При каких M векторы a  3i  mj  k b  mi  6 j  2k перпендикулярны
12
Вариант 4.
Задание 1
(.) M (2; 2; -1) (.) M1 (3; 4; 1)
На прямой MM1 найти (.) P делящую MM1 в отношении 4:1
Задание 2
На оси OY найти точку, равноудаленную от (.) А (2;6;3) (.)B (-3;-2;-1)
Задание 3


 
Найти длину b  5i  j  6k и его направляющие косинусы
Задание 4
Найти скалярное
произведение
векторов

  
 

a  5i  j  k и b  3 j  k
Задание 5
 


  

При каких P векторы a  4i  3 j  Pk b  Pi  j  k перпендикулярны
Вариант 5.
Задание 1
(.) M (1; 1; 1) (.) M1 (-3; 5; -4)
На прямой MM1 найти (.) N делящую MM1 в отношении 1:2
Задание 2
На оси OY найти точку, равноудаленную от (.) А (2;0;4) (.)B (4;3;6)
Задание 3



Найти длину a  6i  3k и его направляющие косинусы
Задание 4
Найти скалярное произведение
векторов


  

a  3i  j  k и b  4i  2k
Задание 5


  



При каких P векторы a  i  Pj  k b  Pi  4 j  2k перпендикулярны
Вариант 6.
Задание 1
(.) M (-2; -2; 4) (.) M1 (3; 2; 3)
На прямой MM1 найти (.) P делящую MM1 в отношении 4:1
Задание 2
На оси OY найти точку, равноудаленную от (.) А (8;2;6) (.)B (-5;3;4)
Задание 3

 

Найти длину a  4i  2 j  k и его направляющие косинусы
Задание 4
Найти скалярное
произведение
векторов


 

 

a  2i  4 j  k и b  4i  2 j  k
Задание 5

 





При каких P векторы a  3i  2 j  Pk b  4i  Pj  6k перпендикулярны
13
Вариант 7.
Задание 1
(.) M (-1; -1; -1) (.) M1 (4; 4; 4)
На прямой AB найти (.) D делящую AB в отношении 2:1
Задание 2
На оси OZ найти точку, равноудаленную от (.) А (-2;4;1) (.)B (5;6;1)
Задание 3




Найти длину a  5i  3 j  4k и его направляющие косинусы
Задание 4
Найти скалярное
произведение
векторов

 
  


a  3i  4 j  k и c  i  j  k
Задание 5


  



При каких P векторы a  Pi  3 j  k b  3i  8 j  Pk перпендикулярны
Вариант 8
Задание 1
(.) М1 (2; 4; -2) (.) М2 (-2; 4; 2)
На прямой М1М2 найти (.) М, делящую ММ1 в отношении 1:3
Задание 2
На оси ОХ, найти (.) равноудаленную от (.) А (1; 4; 2) (.) B (-2; 4; -4)
Задание 3




Найти длину a  20i  30 j  60k и его направляющие косинусы
Задание 4
Найти скалярное произведение векторов

 





a  2i  4 j  9 k b  i  3 j  2 k
Задание 5








b  2i  pj  6k
Даны векторы a  pi  12 j  4k
При каких р - векторы перпендикулярны
Задание 6
 
Найти (3a – 2b) · (5a – 6b), если a = 4; b = 6; a ^ b  60 °
14
Практическая работа № 2
«Вычисление векторного произведения векторов»
Основы теории
Определение векторного произведения.
Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией
упорядоченной тройки векторов
Отложим векторы
тройка
в трехмерном пространстве.
от одной точки. В зависимости от направления вектора
может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора
происходит кратчайший поворот от вектора
к
. Если кратчайший поворот происходит
против часовой стрелки, то тройка векторов
случае – левой.
Теперь возьмем два не коллинеарных вектора
и
на то, как
называется правой, в противном
и
. Построим некоторый вектор
. Отложим от точки А векторы
, перпендикулярный
одновременно и
и
. Очевидно, что при построении вектора
мы можем
поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите
иллюстрацию).
15
В зависимости от направления вектора
упорядоченная тройка векторов
может быть правой или левой.
Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух
векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Определение: Векторным произведением двух векторов
и
, заданных в прямоугольной
системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор
он является нулевым, если векторы
он перпендикулярен и вектору
и
, что
коллинеарны;
и вектору
(
его длина равна произведению длин векторов
);
и
на синус угла между ними (
);
тройка векторов
ориентирована так же, как и заданная система координат.
Векторное произведение векторов
и
обозначается как
Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить
его координаты по координатам заданных векторов.
Определение.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение
двух векторов
и
есть вектор
, где
- координатные векторы.
Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.
Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы
третьего порядка, первая строка которой есть орты
, во второй строке находятся
координаты вектора
системе координат:
в заданной прямоугольной
, а в третьей – координаты вектора
Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из
определения векторного произведения в координатах:
16
Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью
согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два
определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете
посмотреть в книге, указанной в конце статьи.
Свойства векторного произведения.
Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы
, то на основании свойств определителя легко
обосновываются следующие свойства векторного произведения:
антикоммутативность
;
свойство дистрибутивности
или
;
сочетательное свойство
- произвольное действительное число.
или
, где
Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.
По определению
и
. Нам известно,
что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить
местами две строки, поэтому,
что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.
,
Геометрический смысл векторного произведения.
По определению длина векторного произведения векторов равна
. А из курса геометрии средней школы нам известно, что
площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на
синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной
17
площади треугольника, имеющего сторонами векторы
и
, если их отложить от одной
точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов
и
параллелограмма со сторонами
и
и углом между ними, равным
состоит геометрический смысл векторного произведения.
равна площади
. В этом
18
Задания для практической работы № 2.
Вариант 1
𝜋
̂
1. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, если известно |𝑎⃗| = 3, |𝑏⃗⃗| = 3, (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = .
4
2. В прямоугольной системе координат заданы два вектора 𝑎⃗ = (2; 1; −3), 𝑏⃗⃗ = (0; −1; 1) . Найдите их
векторное произведение.
⃗⃗, где 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗, - орты прямоугольной
3. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑖⃗ − 𝑗⃗ и 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘
декартовой системы координат.
4. В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек
𝐴(1; 0; 1) 𝐵(0; 2; 3) 𝐶(1; 4; 2). Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 одновременно.
5. Векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного
произведения[(3𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) × (𝑎⃗ − 2𝑏⃗⃗)].
6. В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD,
𝐴(2; −1; 2) 𝐵(1; 2; −1) 𝐷(3; 2; 1). Используя векторное произведение, определите площадь треугольника
АВD и площадь параллелограмма АВCD.
7. В прямоугольной декартовой системе координат даны точки 𝐴(3; 2; −1) 𝐵(4; −2; 3). К точке В
приложена сила 𝐹⃗ = (2; −4; 5). Найти ⃗⃗⃗⃗
𝐹0 - момент силы 𝐹⃗ относительно точки А.
Вариант 2
𝜋
̂
1. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, если известно |𝑎⃗| = 2, |𝑏⃗⃗| = 3, (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = .
3
2. В прямоугольной системе координат заданы два вектора 𝑎⃗ = (3; 2; −2), 𝑏⃗⃗ = (1; −1; 0) . Найдите их
векторное произведение.
⃗⃗, где 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗, - орты прямоугольной
3. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑖⃗ + 𝑗⃗ и 𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 𝑘
декартовой системы координат.
4. В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ одновременно.
𝐴(2; 1; 0) 𝐵(1; 3; 4) 𝐶(0; 3; 1). Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
⃗⃗
5. Векторы 𝑎⃗ и 𝑏 перпендикулярны и их длины равны соответственно 6 и 8. Найдите длину векторного
произведения[(2𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) × (𝑎⃗ − 3𝑏⃗⃗)].
6. В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD,
𝐴(1; −2; 3) 𝐵(2; 1; −2) 𝐷(4; 1; 2). Используя векторное произведение, определите площадь треугольника
АВD и площадь параллелограмма АВCD.
7. В прямоугольной декартовой системе координат даны точки 𝐴(2; 2; −2) 𝐵(3; −1; 2). К точке В
приложена сила 𝐹⃗ = (1; −3; 2). Найти ⃗⃗⃗⃗
𝐹0 - момент силы 𝐹⃗ относительно точки А.
Вариант 3
𝜋
̂
1. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, если известно |𝑎⃗| = 1, |𝑏⃗⃗| = 4, (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = .
6
2. В прямоугольной системе координат заданы два вектора 𝑎⃗ = (1; 3; −5), 𝑏⃗⃗ = (0; −2; 1) . Найдите их
векторное произведение.
⃗⃗, где 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗, - орты прямоугольной
3. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑖⃗ − 𝑗⃗ и 𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 𝑘
декартовой системы координат.
4. В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ одновременно.
𝐴(3; 2; 0) 𝐵(2; 3; 1) 𝐶(1; 0; 1). Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
5. Векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ перпендикулярны и их длины равны соответственно 6 и 8. Найдите длину векторного
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑏⃗⃗)].
произведения[(2𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) × (2𝑎
6. В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD,
𝐴(2; −1; 3) 𝐵(3; 1; −1) 𝐷(2; 1; 4). Используя векторное произведение, определите площадь треугольника
АВD и площадь параллелограмма АВCD.
7. В прямоугольной декартовой системе координат даны точки 𝐴(1; 2; −3) 𝐵(1; 3; −2). К точке В
приложена сила 𝐹⃗ = (1; −3; 2). Найти ⃗⃗⃗⃗
𝐹0 - момент силы 𝐹⃗ относительно точки А.
19
Вариант 4
𝜋
̂
1. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, если известно |𝑎⃗| = 5, |𝑏⃗⃗| = 1, (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = .
6
2. В прямоугольной системе координат заданы два вектора 𝑎⃗ = (2; 0; −1), 𝑏⃗⃗ = (1; −1; 4) . Найдите их
векторное произведение.
⃗⃗, где 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗, - орты прямоугольной
3. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑖⃗ + 𝑗⃗ и 𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 𝑘
декартовой системы координат.
4. В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек
𝐴(1; 2; 1) 𝐵(0; 2; 1) 𝐶(2; 1; 0). Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 одновременно.
5. Векторы 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗ перпендикулярны и их длины равны соответственно 9 и 12. Найдите длину векторного
произведения[(𝑎⃗ + 3𝑏⃗⃗) × (𝑎⃗ − 2𝑏⃗⃗)].
6. В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD,
𝐴(1; −2; 1) 𝐵(2; 1; −2) 𝐷(1; 2; 3). Используя векторное произведение, определите площадь треугольника
АВD и площадь параллелограмма АВCD.
7. В прямоугольной декартовой системе координат даны точки 𝐴(0; 1; −3) 𝐵(1; 0; −1). К точке В
приложена сила 𝐹⃗ = (2; −1; 2). Найти ⃗⃗⃗⃗
𝐹0 - момент силы 𝐹⃗ относительно точки А.
Вариант 5
𝜋
̂
1. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, если известно |𝑎⃗| = 2, |𝑏⃗⃗| = 1, (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = .
4
2. В прямоугольной системе координат заданы два вектора 𝑎⃗ = (3; 1; −2), 𝑏⃗⃗ = (0; −2; 1) . Найдите их
векторное произведение.
⃗⃗, где 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗, - орты прямоугольной
3. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑖⃗ − 𝑗⃗ и 𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 𝑘
декартовой системы координат.
4. В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ одновременно.
𝐴(2; 0; 3) 𝐵(1; 0; 3) 𝐶(2; 3; 2). Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
⃗⃗
5. Векторы 𝑎⃗ и 𝑏 перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного
произведения[(2𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) × (𝑎⃗ − 2𝑏⃗⃗)].
6. В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD,
𝐴(1; −1; 3) 𝐵(2; 3; −1) 𝐷(0; 1; 1). Используя векторное произведение, определите площадь треугольника
АВD и площадь параллелограмма АВCD.
7. В прямоугольной декартовой системе координат даны точки 𝐴(2; 1; −1) 𝐵(3; −2; 2). К точке В
приложена сила 𝐹⃗ = (1; −4; 3). Найти ⃗⃗⃗⃗
𝐹0 - момент силы 𝐹⃗ относительно точки А.
Вариант 6
𝜋
̂
1. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑎⃗ и 𝑏⃗⃗, если известно |𝑎⃗| = 4, |𝑏⃗⃗| = 3, (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) = .
3
2. В прямоугольной системе координат заданы два вектора 𝑎⃗ = (1; 2; −3), 𝑏⃗⃗ = (0; −1; 4) . Найдите их
векторное произведение.
⃗⃗, где 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘
⃗⃗, - орты прямоугольной
3. Найдите длину векторного произведения векторов 𝑖⃗ + 𝑗⃗ и 𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 𝑘
декартовой системы координат.
4. В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ одновременно.
𝐴(3; 1; 4) 𝐵(1; 0; 4) 𝐶(2; 3; 1). Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и 𝐴𝐶
⃗⃗
5. Векторы 𝑎⃗ и 𝑏 перпендикулярны и их длины равны соответственно 6 и 8. Найдите длину векторного
⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝑏⃗⃗)].
произведения[(𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) × (2𝑎
6. В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD,
𝐴(3; −2; 0) 𝐵(2; 3; −2) 𝐷(0; 1; 2). Используя векторное произведение, определите площадь треугольника
АВD и площадь параллелограмма АВCD.
7. В прямоугольной декартовой системе координат даны точки 𝐴(1; 2; −4) 𝐵(0; −1; 3). К точке В
приложена сила 𝐹⃗ = (2; −1; 2). Найти ⃗⃗⃗⃗
𝐹0 - момент силы 𝐹⃗ относительно точки А.
20
Практическая работа № 3
«Вычисление смешанного произведения векторов»
Основы теории
Определение: Смешанным произведением трех векторов , , называется
число, равное скалярному произведению вектора
на вектор :
Геометрический смысл смешанного произведения
Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов
правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда
построенного на этих векторах:
. В случае левой тройки
смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда
со знаком минус:
. Если , и компланарны, то их смешанное
произведение равно нулю.
Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда,
построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения
этих векторов:
Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен
Свойства смешанного произведения:
1°
2°
3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда
.
Если же
, то векторы , и образуют левую тройку векторов.
5°
6°
7°
21
8°
9°
10° Тождество Якоби:
Если векторы
,
и
заданы своими
координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле
22
Задания для практической работы № 3.
Вариант 1
1. Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат
𝑎⃗ (1; −1; 3) 𝑏⃗⃗ (−2; 2; 1) 𝑑⃗ (3; −2; 5). Найдите смешанное произведение 𝑎⃗ ∙
𝑏⃗⃗ ∙ 𝑑⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах
𝐴𝐵
(3; 6; 3), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (1; 3; 2), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴1 = (2; 2; 2), заданных в прямоугольной
системе координат.
3. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах
𝑎⃗ {2; 3; 5},
𝑏⃗⃗{1; 4; 4} 𝑐⃗ {3; 5; 7}.
4. В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре точки
𝐴 (0; 1; 0) 𝐵 (3; −1; 5) 𝐶 (1; 0; 3) 𝐷 (−2; 3; 1). Найдите объем тетраэдра
АВСD.
Вариант 2
1. Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат
𝑎⃗ (2; −3; 0) 𝑏⃗⃗ (−1; 3; 1) 𝑑⃗ (2; −1; 5). Найдите смешанное произведение 𝑎⃗ ∙
𝑏⃗⃗ ∙ 𝑑⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах
𝐴𝐵
(1; 3; 2), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (3; 2; 1), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴1 = (1; 2; 0), заданных в прямоугольной системе
координат.
3. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах
𝑎⃗ {1; 2; 3},
𝑏⃗⃗{1; 2; 4} 𝑐⃗ {2; 3; 5}.
4. В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре точки
𝐴 (1; 0; 1) 𝐵 (2; −1; 3) 𝐶 (2; 1; 1) 𝐷 (−1; 3; 2). Найдите объем тетраэдра
АВСD.
Вариант 3
1. Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат
𝑎⃗ (1; −2; 0) 𝑏⃗⃗ (−2; 0; 4) 𝑑⃗ (1; −2; 3). Найдите смешанное произведение 𝑎⃗ ∙
𝑏⃗⃗ ∙ 𝑑⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах
𝐴𝐵 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 0; 1), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(0; 3; 1), 𝐴𝐶
𝐴𝐴1 = (1; 2; 3), заданных в прямоугольной системе
координат.
3. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах 𝑎⃗ {2; −1; 3},
𝑏⃗⃗{1; 3; 4} 𝑐⃗ {1; 3; 0}.
4. В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре точки
𝐴 (2; 0; 2) 𝐵 (1; −1; 2) 𝐶 (0; 1; 2) 𝐷 (−2; 3; 2). Найдите объем тетраэдра
АВСD.
23
Вариант 4
1. Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат
𝑎⃗ (2; −1; 4) 𝑏⃗⃗ (−1; 2; 3) 𝑑⃗ (2; −2; 3). Найдите смешанное произведение 𝑎⃗ ∙
𝑏⃗⃗ ∙ 𝑑⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах
𝐴𝐵
(2; 4; 1), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (2; 3; 1), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴1 = (1; 2; 3), заданных в прямоугольной
системе координат.
3. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах
𝑎⃗ {1; 3; 4},
𝑏⃗⃗{2; 4; 3} 𝑐⃗ {2; 5; 1}.
4. В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре точки
𝐴 (1; 1; 2) 𝐵 (0; −1; 2) 𝐶 (3; 0; 1) 𝐷 (−1; 3; 2). Найдите объем тетраэдра
АВСD.
Вариант 5
1. Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат
𝑎⃗ (0; −3; 2) 𝑏⃗⃗ (−2; 3; 2) 𝑑⃗ (1; −1; 3). Найдите смешанное произведение 𝑎⃗ ∙
𝑏⃗⃗ ∙ 𝑑⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах
𝐴𝐵
(2; 3; 1), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (1; 2; 3), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐴1 = (0; 2; 1), заданных в прямоугольной системе
координат.
3. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах
𝑎⃗ {3; 2; 1},
𝑏⃗⃗{3; 2; 1} 𝑐⃗ {4; 3; 1}.
4. В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре точки
𝐴 (2; 0; 2) 𝐵 (1; −1; 2) 𝐶 (1; 1; 2) 𝐷 (−2; 3; 1). Найдите объем тетраэдра
АВСD.
Вариант 6
1. Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат
𝑎⃗ (0; −2; 1) 𝑏⃗⃗ (−4; 0; 2) 𝑑⃗ (3; −2; 1). Найдите смешанное произведение 𝑎⃗ ∙
𝑏⃗⃗ ∙ 𝑑⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах
𝐴𝐵 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0; 2), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(1; 3; 0), 𝐴𝐶
𝐴𝐴1 = (3; 2; 1), заданных в прямоугольной системе
координат.
3. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах 𝑎⃗ {3; −1; 2},
𝑏⃗⃗{4; 3; 1} 𝑐⃗ {0; 3; 1}.
4. В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре точки
𝐴 (3; 0; 1) 𝐵 (2; −1; 1) 𝐶 (2; 1; 0) 𝐷 (−1; 2; 2). Найдите объем тетраэдра
АВСD.
24
Практическая работа № 4
«Производные и дифференциалы высших порядков»
Основы теории
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от
производной этой функции называется второй производной функции f и
обозначается f". Таким образом,
f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной
называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от
дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула
dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
Задания для практической работы № 4.
Найти f"(x), если f(x) = sin(x2).
Найти f"(x), если f(x) = (x + i)eix.
Найти f"(x), если f(x) = (sin x2, cos x2, x2).
Найти f"(x), если
Найти f"(x), если
.
.
Найти y'''(x), если y = f(ex).
25
Найти d2y для функции y = ex, если: x - независимая переменная; x промежуточный аргумент (зависимая переменная).
Найти d2y, если y = arctg u/υ, где u и υ - дважды дифференцируемые функции
некоторой переменной.
Найти производные
x = 2t - t2, y = 3t - t3.
Найти
от функции y = f(x) заданной параметрически, если
от функции y = f(x) заданной уравнением x2 + y2 = 5xy3.
Найти y(100), если
.
Найти y(100), если y = x sh x.
Найти d10y, если y = u2.
Выразить производные y" и y''' от функции y = f(x) через последовательные
дифференциалы переменных x и y, не предполагая x независимой переменной.
Найти y(n), если
.
Найти y(n), если y = sin3x.
Найти y(n), если y = sin4x + cos4x.
26
Практическая работа № 5
«Решение дифференциальных уравнений 1-ого порядка с
разделяющимися переменными»
Основы теории
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие,
в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В
уравнениях
вида
переменные
уже
разделены,
а
в
ОДУ
переменные
разделяются
посредством
преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к
уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.
В этой статье сначала рассмотрим метод решения уравнений с разделенными
переменными, далее перейдем к уравнениям с разделяющимися переменными и закончим
дифференциальными уравнениями, сводящимися к уравнениям с разделяющимися
переменными. Для пояснения теории будем подробно разбирать решения характерных
примеров и задач.
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
.
Дифференциальные уравнения
переменными.
называют уравнениями с разделенными
Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения,
содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные
стороны от него.
Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.
Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство
. Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных
функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как
неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном
виде.
Пример.
Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными
.
Решение.
27
Проинтегрируем обе части равенства:
. По сути, мы уже получили
общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения
дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных
интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных
функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных:
где С1 и С2 – произвольные постоянные.
Мы пришли к неявно заданной функции
, которая является
общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными
переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию
y
можно
выразить
явно
через
аргумент
x.
Итак,
, где
функция
уравнения.
. То есть,
является общим решением исходного дифференциального
Замечание.
Ответ
можно
записать
в
любом
из
трех
видов
или
, или
. Но имейте в виду, что многие
преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят
также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если
есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно
заданной функции Ф(x, y) = 0.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
.
28
Прежде чем продолжить, напомним, что
когда y является функцией аргумента x.
В дифференциальных уравнениях
или
переменные могут быть разделены, проведением
преобразований. Такие ОДУ называются дифференциальными уравнениями с
разделяющимися переменными. Соответствующее ДУ с разделенными переменными
запишется как
.
При разделении переменных следует быть очень внимательными, чтобы проводимые
преобразования были эквивалентными (чтобы f2(y) и g1(x) не обращались в ноль на
интервале интегрирования). В противном случае можно потерять некоторые решения.
Разберемся с этим на примере.
Пример.
Найти все решения дифференциального уравнения
.
Решение.
Это уравнение с разделяющимися переменными, так как мы можем разделить x и y:
Для нулевой функции y исходное уравнение обращается в тождество
, поэтому, y = 0 является решением дифференциального
уравнения. Это решение мы могли упустить из виду.
29
Проинтегрируем дифференциальное уравнение с разделенными переменными
:
В преобразованиях мы заменили C2 - C1 на С.
Мы получили решение ДУ в виде неявно заданной функции
. На этом
можно закончить. Однако в нашем случае функцию y можно выразить явно, проведя
потенцирование полученного равенства:
Ответ:
.
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с
разделяющимися переменными
, a ≠ 0, b ≠ 0.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида
,a≠
0, b ≠ 0 приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными введением новой
переменной z = ax + by, где z представляет собой функцию аргумента x.
30
В этом случае
После подстановки в исходное уравнение и небольших преобразований приходим к
уравнению с разделенными переменными
31
Задания для практической работы № 5.
Вариант 1
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 2𝑥 + 1
б) 𝑦 , + 𝑦 = 5
в) (1 + 𝑦)𝑑𝑥 − (1 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) 4𝑥𝑑𝑥 − 3𝑦𝑑𝑦 = 3𝑥 2 𝑦𝑑𝑦 − 2𝑥𝑦 2 𝑑𝑥
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑦2
𝑦
,
𝑦 = 2+4 +2
𝑥
𝑥
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
𝑦
𝑦, − = 𝑥
𝑥
4. Материальная точка массой m = 2r без начальной скорости медленно погружается в
жидкость. Сила сопротивления жидкости пропорционально скорости погружения. Найти
скорость точки через 1 сек. после начала погружения, если коэффициент
пропорциональности k = 0,002 кг/с.
5. Кривая проходит через точку (2; -1) и обладает тем свойством, что угловой
коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки
касания с коэффициентом пропорциональности k = 3. Найти уравнение кривой.
Вариант 2
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 3𝑥 + 2
б) 𝑦 , + 2𝑦 = 3
в) (2 + 𝑦)𝑑𝑥 − (3 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) 𝑥√1 + 𝑦 2 + 𝑦𝑦 , √1 + 𝑥 2 = 0
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑥+𝑦
𝑦, =
𝑥−𝑦
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
1
𝑦, −
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥
𝑥+2
4. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью
км/ч. На полном ходу
ее мотор был выключен и через 10 с скорость лодки уменьшилась до
км/ч. Сила
сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки
через 1 мин после остановки мотора.
5. Кривая проходит через точку (2; -1) и обладает тем свойством, что угловой
коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки
касания с коэффициентом пропорциональности k = 3. Найти уравнение кривой.
32
Вариант 3
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 𝑥 + 5
б) 𝑦 , + 4𝑦 = 6
в) (7 + 𝑦)𝑑𝑥 − (5 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) √3 + 𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥 2 𝑦𝑑𝑦
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑥𝑦 , = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑦
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
1
𝑦 , − 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥
4. Пуля, двигаясь со скоростью
м/с, углубляется в достаточно толстую стену.
Сила сопротивления стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное
квадрату ее скорости. Найти скорость пули через 0,001с после вхождения пули в стену,
если коэффициент пропорциональности k = 7м .
5. Кривая проходит через точку (1; 2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты
любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой
кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k = 3. Найти
уравнение кривой.
Вариант 4
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 𝑥 − 2
б) 𝑦 , + 2𝑦 = 7
в) (3 − 𝑦)𝑑𝑥 − (2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) (𝑒 2𝑥 + 5)𝑑𝑦 + 𝑦 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 0
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑦2
𝑦
2𝑦 , = 2 + 6 + 3
𝑥
𝑥
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
1
𝑦, −
𝑦 = 𝑥2
2𝑥
4. Материальная точка массой m = 1г движется прямолинейно. На нее действует в
направлении движения сила, пропорциональная времени, с коэффициентом
пропорциональности
и сила сопротивления среды, пропорциональная
скорости, с коэффициентом пропорциональности
кг/с. Найти скорость точки
через 3с после начала движения, если начальная скорость точки была равна нулю.
5. Кривая проходит через точку (1; 5) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый
на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти
уравнение кривой.
33
Вариант 5
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 𝑥 − 7
б) 𝑦 , + 3𝑦 = 7
в) (4 − 𝑦)𝑑𝑥 − (5 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) 𝑥√5 + 𝑦 2 𝑑𝑥 + 𝑦√4 + 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑥 + 2𝑦
𝑦, =
+3
2𝑥 − 𝑦
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
2𝑥 − 5
𝑦, −
𝑦=5
𝑥2
4. В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью q =
5л/мин, а смесь вытекает с той же скоростью, причем концентрация раствора с помощью
перемешивания поддерживается равномерной. В начальный момент в растворе
содержалось
=10кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин
после начала процесса?
5. Кривая проходит через точку (2; 4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый
на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы
точки касания. Найти уравнение кривой.
Вариант 6
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 𝑥 + 2
б) 𝑦 , + 7𝑦 = 3
в) (7 − 𝑦)𝑑𝑥 − (2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) 𝑦√4 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 0
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2
,
𝑦 =
𝑥 2 − 2𝑥𝑦
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
1
12
𝑦, − 𝑦 = − 3
𝑥
𝑥
4. Материальная точка массой m = 3r без начальной скорости медленно погружается в
жидкость. Сила сопротивления жидкости пропорционально скорости погружения. Найти
скорость точки через 2 сек. после начала погружения, если коэффициент
пропорциональности k = 0,003 кг/с.
5. Кривая проходит через точку (1; -2) и обладает тем свойством, что угловой
коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки
касания с коэффициентом пропорциональности k = 2. Найти уравнение кривой.
34
Вариант 7
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 𝑥 − 4
б) 𝑦 , + 2𝑦 = 8
в) (3 − 𝑦)𝑑𝑥 − (5 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) 2𝑥𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑥 2 𝑦𝑑𝑦 − 2𝑥𝑦 2 𝑑𝑥
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
3𝑦 3 + 10𝑦𝑥 2
,
𝑥𝑦 =
2𝑦 2 + 5𝑥 2
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
2
𝑦, + 𝑦 = 𝑥3
𝑥
4. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью
км/ч. На полном ходу
ее мотор был выключен и через 8 с скорость лодки уменьшилась до
км/ч. Сила
сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки
через 1 мин после остановки мотора.
5. Кривая проходит через точку (2; 1) и обладает тем свойством, что произведение
углового коэффициента касательной в любой ее точке на сумму координат точки касания
равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.
Вариант 8
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 𝑥 + 6
б) 𝑦 , − 3𝑦 = 8
в) (5 − 𝑦)𝑑𝑥 − (3 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) 𝑦 𝑙𝑛𝑦 + 𝑥𝑦 , = 0
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑦2
𝑦
𝑦 , = 2 + 8 + 12
𝑥
𝑥
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
2𝑥
𝑦, −
𝑦 = 1 + 𝑥2
1 + 𝑥2
4. Пуля, двигаясь со скоростью
м/с, углубляется в достаточно толстую стену.
Сила сопротивления стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное
квадрату ее скорости. Найти скорость пули через 0,003с после вхождения пули в стену,
если коэффициент пропорциональности k = 5м .
5. Кривая проходит через точку (2; 1) и обладает тем свойством, что отношение ординаты
любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой
кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k = 2. Найти
уравнение кривой.
35
Вариант 9
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 𝑥 + 8
б) 𝑦 , − 𝑦 = 4
в) (7 − 𝑦)𝑑𝑥 − (2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) (1 + 𝑒 𝑥 ) ∙ 𝑦 , = 𝑦𝑒 𝑥
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 3𝑦 2
𝑦
,
𝑦 =
+ 8 + 12
2
𝑥 − 4𝑥𝑦
𝑥
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
1 − 2𝑥
𝑦, +
𝑦=1
𝑥2
4. Материальная точка массой m = 1 г движется прямолинейно. На нее действует в
направлении движения сила, пропорциональная времени, с коэффициентом
пропорциональности
и сила сопротивления среды, пропорциональная
скорости, с коэффициентом пропорциональности
кг/с. Найти скорость точки
через 2с после начала движения, если начальная скорость точки была равна нулю.
5. Кривая проходит через точку (3; 4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый
на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти
уравнение кривой.
Вариант 10
1. Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
а) 𝑦 , = 𝑥 + 7
б) 𝑦 , − 7𝑦 = 1
в) (2 − 𝑦)𝑑𝑥 − (2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0
г) √1 − 𝑥 2 𝑦 , + 𝑥𝑦 2 + 𝑥 = 0
2. Решить однородное дифференциальное уравнение:
𝑥𝑦 , = 2√3𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑦
3.Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
2
𝑦, −
𝑦 = (𝑥 + 1)2 𝑒 𝑥
𝑥+1
4. В сосуде 50 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью q =
5л/мин, а смесь вытекает с той же скоростью, причем концентрация раствора с помощью
перемешивания поддерживается равномерной. В начальный момент в растворе
содержалось
=5 кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 10 мин после
начала процесса?
5. Кривая проходит через точку (1; 2) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый
на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы
точки касания. Найти уравнение кривой.
36
Практическая работа № 6
«Решение линейных однородных дифференциальных уравнений
2-ого порядка»
Основы теории
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений.
Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни
характеристического уравнения
случая: корни характеристического
различающимися
. При различных p и q возможны три
уравнения могут быть действительными и
,
действительными
и
совпадающими
или комплексно сопряженными
. В
зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее
решение
дифференциального
уравнения
как
,
или
, или
соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка
с
постоянными
коэффициентами
.
Корнями
его
характеристического уравнения
являются k 1 = -3 и k 2 = 0. Корни
действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными
коэффициентами
имеет
вид
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами
.
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде
суммы
общего решения соответствующего ЛОДУ
и частного
решения
исходного неоднородного уравнения, то есть,
общего решения однородного дифференциального уравнения
. Нахождению
с постоянными
коэффициентами
, посвящен предыдущий пункт. А частное решение
определяется
либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x),
стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных
постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
3.
Линейные
однородные
дифференциальные
уравнения
(ЛОДУ)
и линейные неоднородные дифференциальные уравнения
(ЛНДУ) второго порядка
.
37
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с
постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ
на некотором отрезке [a; b]
представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и
y 2 этого уравнения, то есть,
.
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных
решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения
выбираются
из
следующих
систем
линейно
независимых
функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является
.
Общее решение ЛНДУ
- общее решение соответствующего ЛОДУ, а
ищется в виде
- частное решение исходного
дифференциального уравнения. О нахождении
мы только что говорили, а
определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести
, где
можно
.
38
Задания для практической работы № 6.
Вариант 1
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
a) (1 − 𝑥 2 )𝑦 ,, = 𝑥𝑦 ,
б)𝑦 ,, − 4𝑦 , + 3𝑦 = 𝑒 5𝑥
2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) 𝑦 ,, + 4𝑦 , − 12𝑦 = 8 sin 2𝑥;
𝑦(0) = 0,
𝑦 , (0) = 0
б) 𝑥 ,, − 8𝑥 , + 16𝑥 = 𝑒 4𝑡 ;
𝑥(0) = 0,
𝑥 , (0) = 1
3. Найдите общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений
𝑧 , = 5𝑧 − 3𝑦
{ ,
𝑦 = 3𝑧 − 𝑦
Вариант 2
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
a) 2𝑦𝑦 ,, + (𝑦 , )2 + (𝑦 , )4 = 0
б)𝑦 ,, − 6𝑦 , + 9𝑦 = 𝑒 𝑥
2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
4
1
а) 𝑦 ,, − 6𝑦 , + 9𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 + 3;
𝑦(0) = 3 ,
𝑦 , (0) = 27
б) 𝑥 ,, + 4𝑥 , − 5𝑥 = 8 cos 𝑡 ;
𝑥(0) = 0,
𝑥 , (0) = 0
3. Найдите общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений
𝑦 , = 𝑧 − 2𝑦
{ ,
𝑧 = 4𝑧 − 5𝑦
Вариант 3
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
a) 𝑦 ,, + 𝑦 , 𝑡𝑔 𝑥 = sin 2𝑥
б)𝑦 ,, + 7𝑦 , + 12𝑦 = sin 𝑥
2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) 𝑦 ,, + 4𝑦 = 𝑒 −2𝑥 ;
𝑦(0) = 0,
𝑦 , (0) = 0
,,
,
𝑡
б) 2𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 2𝑒 ;
𝑥(0) = 0,
𝑥 , (0) = 0
3. Найдите общее решение системы линейных
однородных дифференциальных уравнений
𝑦, = 𝑧 − 𝑦
{𝑧, = 𝑦 − 𝑧
Вариант 4
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
1
a) 𝑦 ,, + 𝑥 𝑦 , = 𝑥 2
б)𝑦 ,, + 𝑦 = cos 2𝑥
2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) 𝑦 ,, − 2𝑦 , + 5𝑦 = 𝑥𝑒 2𝑥 ;
𝑦(0) = 1,
𝑦 , (0) = 0
,,
,
б) 𝑥 − 2𝑥 − 3𝑥 = 2𝑡;
𝑥(0) = 0,
𝑥 , (0) = 0
3. Найдите общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений
𝑦 , = 𝑧 − 2𝑦
{ ,
𝑧 = 3𝑧 + 2𝑦
39
Вариант 5
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
a) 1 + (𝑦 , )2 + 𝑦𝑦 ,, = 0
б)𝑦 ,, − 4𝑦 , + 8𝑦 = sin 2𝑥
2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) 𝑦 ,, + 5𝑦 , + 6𝑦 = 12 cos 2𝑥 ;
𝑦(0) = 1,
𝑦 , (0) = 3
б) 𝑥 ,, − 6𝑥 , + 9𝑥 = −12𝑡;
𝑥(0) = 0,
𝑥 , (0) = 0
3. Найдите общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений
𝑦 , = −𝑦 − 2𝑧
{ ,
𝑧 =𝑧+𝑦
Вариант 6
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
a) 𝑦 , (1 + 𝑦)−5𝑦 , 𝑦 2 = 0
б)𝑦 ,, + 𝑦 , − 2𝑦 = 𝑒 𝑥
2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) 𝑦 ,, − 5𝑦 , + 6𝑦 = (12x − 7)e−x ;
𝑦(0) = 0,
𝑦 , (0) = 0
б) 𝑥 ,, + 𝑥 , = sin 3𝑡 ;
𝑥(0) = 0,
𝑥 , (0) = 1
3. Найдите общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений
𝑧 , = 𝑦 + 2𝑧
{ ,
𝑦 = 3𝑧 + 4𝑦
Вариант 7
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
a) 𝑥𝑦 ,, + 2𝑦 , = 𝑥 3
б)𝑦 ,, − 4𝑦 , − 5𝑦 = 𝑥 2
2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) 𝑦 ,, − 4𝑦 , + 13𝑦 = 26x + 5;
𝑦(0) = 1,
𝑦 , (0) = 0
,,
,
, (0)
б) 𝑥 + 4𝑥 = 𝑡;
𝑥(0) = 1,
𝑥
=1
3. Найдите общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений
𝑧 , = −𝑦 + 𝑧
{ ,
𝑦 = 𝑦 − 4𝑧
Вариант 8
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
a) 𝑦 ,, 𝑡𝑔 𝑦 = 2(𝑦 , )2
б)𝑦 ,, − 𝑦 , = 2(1 − 𝑥)
2. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) 𝑦 ,, − 4𝑦 , = 6x 2 + 1;
𝑦(0) = 2,
𝑦 , (0) = 3
,,
,
б) 𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 = cos 𝑡 ;
𝑥(0) = 0,
𝑥 , (0) = 1
3. Найдите общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений
𝑧 , = 𝑦 + 7𝑧
{ ,
𝑦 = 5𝑦 − 2𝑧
40
Практическая работа № 7
«Нахождение суммы ряда по определению. Исследование
сходимости положительных рядов»
Основы теории
Основные определения и понятия.
Пусть мы имеем числовую последовательность
, где
.
Приведем пример числовой последовательности:
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида
.
.
В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5:
.
называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.
Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид
Частичная сумма числового ряда – это сумма вида
некоторое натуральное число.
.
, где n –
называют также n-ой частичной суммой числового ряда.
К примеру, четвертая частичная сумма ряда
есть
.
Частичные суммы
образуют бесконечную последовательность
частичных сумм числового ряда.
Для нашего ряда n –ая частичная сумма находится по формуле суммы первых n членов
геометрической прогрессии
есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм:
, то
.
Числовой ряд
называется сходящимся, если существует конечный предел
последовательности частичных сумм
. Если предел последовательности
41
частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд
расходящимся.
Суммой сходящегося числового ряда
называется предел последовательности его
частичных сумм, то есть,
.
В нашем примере
следовательно, ряд
называется
,
сходится, причем его сумма равна шестнадцати
третьим:
.
В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической
прогрессии со знаменателем большем, чем единица:
.
n–ая частичная сумма определяется выражением
,а
предел частичных сумм бесконечен:
.
Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида
. В этом случае n–ая частичная сумма может быть вычислена как
. Предел частичных сумм бесконечен
.
Свойства сходящихся числовых рядов.
Если сходится числовой ряд
, то сходящимся будет и ряд
. Другими словами,
сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду
добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет
сходящимся.
Если сходится числовой ряд
, причем
и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд
, где A – произвольная постоянная.
42
Если сходятся числовые ряды
сходящимися будут ряды
B и A - B соответственно.
и
, их суммы равны A и B соответственно, то
и
, причем их суммы будут равны A +
Необходимое условие сходимости ряда.
Если числовой ряд
сходится, то предел его k-ого члена равен нулю:
.
При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует
проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия
указывает на расходимость числового ряда, то есть, если
, то ряд расходится.
С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть,
выполнение равенства
не говорит о сходимости числового ряда
примеру, для гармонического ряда
.К
необходимое условие сходимости выполняется
, а ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
Для сходимости знакоположительного числового ряда
необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была
ограничена.
Первый признак сравнения рядов.
Пусть
и
- два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство
для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда
следует сходимость
,
а из расходимости ряда
следует расходимость
.
Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный
инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему
представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не
всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности
показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К
примеру, пусть
, разность показателей степени числителя и знаменателя
43
равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом
есть, гармонический ряд.
, то
Второй признак сравнения.
Пусть
и
- знакоположительные числовые ряды. Если
сходимости ряда
следует сходимость
числового ряда
Следствие.
следует расходимость
. Если
, то из
, то из расходимости
.
Если
и
, то из сходимости одного ряда следует сходимость
другого, а из расходимости следует расходимость.
Исследуем ряд
на сходимость с помощью второго признака сравнения. В
качестве ряда
возьмем сходящийся ряд
членов числовых рядов:
. Найдем предел отношения k-ых
Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда
следует сходимость исходного ряда.
Для информации приведем третий признак сравнения рядов.
Третий признак сравнения.
Пусть
и
- знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N
выполняется условие
а из расходимости ряда
, то из сходимости ряда
следует расходимость
следует сходимость
,
.
44
Признак Даламбера.
Пусть
- знакоположительный числовой ряд. Если
сходится, если
, то числовой ряд
, то ряд расходится.
Замечание.
Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если
ряд сходится, если
, то
, то ряд расходится.
Если
, то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или
расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.
45
Задания для практической работы № 7.
Вариант 1
2
∑∞
𝑛=1 𝑛2 +6𝑛+8
1. Найти сумму ряда: 𝑆 =
2. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:


k 2  3k  3
2k 3  1
а) 
;
б)  k 1
;
2
2
k 1 1  2k  3k
k 1 3
в)


k 1
k
 k2  3 
 2
 ;
 4k  1 

г)
k !
 4
k 1
k
1
.
3. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды:
а)

 1k ;
 k 3
б)

cosk 
 4 1
k
k 1
k 1
.
4. Найти область сходимости степенного ряда:
а)


k 1
2  k 1
k
  x  1 ;
2
3 k  2
б)


k 1
23k  x k
.
k !
Вариант 2
2
1. Найти сумму ряда: 𝑆 = ∑∞
𝑛=1 𝑛2 +5𝑛+4
2. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:


2k 2  5k  3
2 k 5  1
а) 
;
б)
;

2
k 2
2
k 1 1  2k  5k
k 1 3
в)


k 1
k
 2k 2  5 
 2
 ;
 7k  2 

г)
2k !
 7
k 1
k
1
.
3. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды:
а)

 1k
k
k 1
2
5
;
б)

cosk 
 7  1
k 1
k
.
4. Найти область сходимости степенного ряда:

а)

k 1
2  k 2 1
k
  x  5 ;
3
3 k  2

б)

k 1
25 k  x k
.
2k !
46
Вариант 3
2
∑∞
𝑛=1 𝑛2 +5𝑛+6
1. Найти сумму ряда: 𝑆 =
2. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:


3k 2  4k  3
2 k 4  1
а) 
;
б)  k 3
;
2
2
k 1 1  2k  4k
k 1 3
в)


k 1
k
 3k 2  4 
 2
 ;
 7k  3 

г)
3k !
 5
k 1
k
1
.
3. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды:
а)

 1k
k
k 1
3
4
б)
;

cosk 
 7  1
k
k 1
.
4. Найти область сходимости степенного ряда:

а)

k 1
2  k3 1
k
 x  4 ;
4
3 k  2
б)


k 1
24k  x k
.
3k !
Вариант 4
2
∑∞
𝑛=1 𝑛2 +7𝑛+10
1. Найти сумму ряда: 𝑆 =
2. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:


4k 2  2 k  3
2 k 2  1
а) 
;
б)
;

2
k 4
2
k 1 1  2k  2k
k 1 3
в)


k 1
k
 4k 2  2 
 2
 ;
 6k  4 

г)
4k !
 5
k 1
k
1
.
3. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды:
а)

 1k
k
k 1
4
2
;
б)

cosk 
 6 1
k 1
k
.
4. Найти область сходимости степенного ряда:

а)

k 1
2  k 4 1
k
 x  2 ;
5
3 k  2

б)
22k  x k
 4k !
.
k 1
47
Вариант 5
2
∑∞
𝑛=1 𝑛2 +7𝑛+12
1. Найти сумму ряда: 𝑆 =
2. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:


2 k 1  1
5k 2  k  3
а) 
;
б)  k 5
;
2
2
k 1 3
k 1 1  2k  k
в)


k 1
k
 5k 2  1 
 2
 ;
 6k  5 

г)
5k !
 2
k 1
1
k
.
3. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды:
а)

 1k
k
k 1
5
1
б)
;

cosk 
 6 1
k
k 1
.
4. Найти область сходимости степенного ряда:

а)

k 1
2  k5 1
k
 x  1 ;
6
3 k  2
б)


k 1
2k  x k
.
5k !
Вариант 6
2
1. Найти сумму ряда: 𝑆 = ∑∞
𝑛=1 𝑛2 +8𝑛+7
2. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:


2k 5  1
k 2  5k  3
а) 
;
б)
;

2
k 1
2
k 1 3
k 1 1  2k  5k
в)


k 1
k
 k2  5 
 2
 ;
 6k  1 

г)
k !
 6
k 1
k
1
.
3. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды:
а)

 1k
k
k 1
4
5
;
б)

cosk 
 6 1
k 1
k
.
4. Найти область сходимости степенного ряда:
а)


k 1
2  k 1
k
  x  5 ;
2
3 k  2

б)

k 1
25 k  x k
.
k !
48
Вариант 7
2
∑∞
𝑛=1 𝑛2 +8𝑛+15
1. Найти сумму ряда: 𝑆 =
2. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:


2 k 4  1
2k 2  4k  3
а) 
;
б)  k 2
;
2
2
k 1 3
k 1 1  2k  4k
в)


k 1
k
 2k 2  4 
 2
 ;
 6k  2 

г)
2k !
 5
k 1
k
1
.
3. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды:
а)

 1k
k
k 1
2
4
б)
;

cosk 
 6 1
k
k 1
.
4. Найти область сходимости степенного ряда:

а)

k 1
2  k 2 1
k
 x  4 ;
3
3 k  2
б)


k 1
24k  x k
.
2k !
Вариант 8
2
∑∞
𝑛=1 𝑛2 +6𝑛+8
1. Найти сумму ряда: 𝑆 =
2. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:


2 k 1  1
3k 2  k  3
а) 
;
б)
;

2
k 3
2
k 1 3
k 1 1  2k  k
в)


k 1
k
 3k 2  1 
 2
 ;
 4k  3 

г)
3k !
 2
k 1
k
1
.
3. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся
ряды:
а)

 1k
k
k 1
3
1
;
б)

cosk 
 4 1
k 1
k
.
4. Найти область сходимости степенного ряда:

а)

k 1
2  k3 1
k
 x  1 ;
4
3 k  2

б)

k 1
2k  x k
.
3k !
49
Практическая работа № 8
«Решение простейших задач на определение вероятности
события»
Основы теории
1. Размещения
Рассмотрим простейшие понятия, связанные с выбором и расположением некоторого
множества объектов.
Подсчет числа способов, которыми можно совершить эти действия, часто
производится при решении вероятностных задач.
Определение. Размещением из n элементов по k (k ≤ n) называется любое
упорядоченное подмножество из kэлементов множества, состоящего из n различных
элементов.
Пример. Следующие последовательности цифр являются размещениями по 2
элемента из 3 элементов множества {1;2;3}: 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их
составом. Размещения 12 и 21 содержат одинаковые цифры, но порядок их расположения
различен. Поэтому эти размещения считаются разными.
Число различных размещений из n элементов по k обозначается
и вычисляется
по формуле:
, где n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙ n (читается «n – факториал»).
Число двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3 при условии, что ни
одна цифра не повторяется равно:
.
2. Перестановки
Определение. Перестановками из n элементов называются такие размещения
из n элементов, которые различаются только расположением элементов.
Число перестановок из n элементов Pn вычисляется по формуле: Pn=n!
Пример. Сколькими способами могут встать в очередь 5 человек? Количество
способов равно числу перестановок из 5 элементов, т.е. P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Определение. Если среди n элементов k одинаковых, то перестановка этих n
элементов называется перестановкой с повторениями.
Пример. Пусть среди 6 книг 2 одинаковые. Любое расположение всех книг на
полке - перестановка с повторениями.
Число различных перестановок с повторениями
(из n
элементов, среди
которых kодинаковых) вычисляется по формуле:
.
В нашем примере число способов, которыми можно расставить книги на полке,
равно:
.
3. Сочетания
Определение. Сочетаниями из n элементов по k называются такие размещения
из n элементов по k, которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.
Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается
и вычисляется по
формуле:
.
По определению 0!=1.
Для сочетаний справедливы следующие свойства:
1.
50
2.
3.
4.
Пример. Имеются 5 цветков разного цвета. Для букета выбирается 3 цветка. Число
различных букетов по 3 цветка из 5 равно:
.
4. События
Познание действительности в естественных науках происходит в результате испытаний
(эксперимента, наблюдений, опыта).
Испытанием или опытом называется осуществление какого-нибудь определенного
комплекса условий, который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз.
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в
результате некоторого испытания (опыта).
Таким образом, событие рассматривается как результат испытания.
Пример. Бросание монеты – это испытание. Появление орла при бросании – событие.
Наблюдаемые нами события различаются по степени возможности их появления и
по характеру их взаимосвязи.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате
данного испытания.
Пример. Получение студентом положительной или отрицательной оценки на экзамене
есть событие достоверное, если экзамен протекает согласно обычным правилам.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате
данного испытания.
Пример. Извлечение из урны белого шара, в которой находятся лишь цветные
(небелые) шары, есть событие невозможное. Отметим, что при других условиях опыта
появления белого шара не исключается; таким образом, это событие невозможно лишь в
условиях нашего опыта.
Далее случайные события будем обозначать большими латинскими буквами
A,B,C... Достоверное событие обозначим буквой Ω, невозможное – Ø.
Два или несколько событий называются равновозможными в данном испытании,
если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более
возможным или менее возможным, чем другие.
Пример. При одном бросании игральной кости появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков все это события равновозможные. Предполагается, конечно, что игральная кость
изготовлена из однородного материала и имеет правильную форму.
Два события называются несовместными в данном испытании, если появление
одного из них исключает появление другого, и совместными в противном случае.
Пример. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Берем на удачу
одну деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали.
Эти события несовместные.
Несколько событий образуют полную группу событий в данном испытании, если в
результате этого испытания обязательно наступит хотя бы одно из них.
Пример. События из примера образуют полную группу равновозможных и попарно
несовместных событий.
Два несовместных события, образующих полную группу событий в данном
испытании, называются противоположными событиями.
Если одно из них обозначено через A, то другое принято обозначать через
(читается «не A»).
Пример. Попадание и промах при одном выстреле по цели - события
противоположные.
51
5. Классическое определение вероятности
Вероятность события – численная мера возможности его наступления.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если всякий раз, когда
наступает событие А, наступает и событие В.
События А1, А2, ..., Аn образуют схему случаев, если они:
1) равновозможны;
2) попарно несовместны;
3) образуют полную группу.
В схеме случаев (и только в этой схеме) имеет место классическое определение
вероятности P(A) события А. Здесь случаем называют каждое из событий, принадлежащих
выделенной полной группе равновозможных и попарно несовместных событий.
Если n – число всех случаев в схеме, а m – число случаев, благоприятствующих
событию А, то вероятность события А определяется равенством:
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый случай в схеме случаев
благоприятствует событию. В этом случае m = n и, следовательно,
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один случай из схемы случаев не
благоприятствует событию. Поэтому m=0 и, следовательно,
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между
нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего
числа случаев в схеме случаев. Поэтому 0<m<n, а, значит, 0<m/n<1 и, следовательно,
0 < P(A) < 1.
Итак,
вероятность
любого
события
удовлетворяет
неравенствам
0 ≤ P(A) ≤ 1.
В настоящее время свойства вероятности определяются в виде аксиом,
сформулированных А.Н. Колмогоровым.
Одним из основных достоинств классического определения вероятности является
возможность вычислить вероятность события непосредственно, т.е. не прибегая к опытам,
которые заменяют логическими рассуждениями.
6. Операции над событиями. Теорема сложения вероятностей
Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий (в одном и том же испытании).
Сумма А1 + А2 + … + Аn обозначается так:
или
.
Пример. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А состоит в выпадении 4
очков на 1 кости, а событие В – в выпадении 5 очков на другой кости.
События А и В совместны. Поэтому событие А +В состоит в выпадении 4 очков на первой
кости, или 5 очков на второй кости, или 4 очков на первой кости и 5 очков на второй
одновременно.
Пример. СобытиеА – выигрыш по 1 займу, событие В – выигрыш по 2 займу. Тогда
событие А+В – выигрыш хотя бы по одному займу (возможно по двум сразу).
Произведением или пересечением нескольких событий называется событие, состоящее
в совместном появлении всех этих событий (в одном и том же испытании).
Произведение В событий А1, А2, …, Аn обозначается так:
52
.
Пример. События А и В состоят в успешном прохождении I и II туров соответственно
при поступлении в институт. Тогда событие А×В состоит в успешном прохождении обоих
туров.
Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую
интерпретацию. Пусть событие А есть попадание точки в область А, а событие В –
попадание точки в область В. Тогда событие А+В есть попадание точки в объединение
этих областей (рис. 2.1), а событие АВ есть попадание точки в пересечение этих областей
(рис. 2.2).
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Теорема. Если события Ai(i = 1, 2, …, n) попарно несовместны, то вероятность суммы
событий равна сумме вероятностей этих событий:
Пусть А и Ā – противоположные события, т.е. А + Ā = Ω, где Ω – достоверное событие.
Из теоремы сложения вытекает, что
Р(Ω) = Р(А) + Р(Ā) = 1, поэтому
Р(Ā) = 1 – Р(А).
Если события А1 и А2 совместны, то вероятность суммы двух совместных событий
равна:
Р(А1 + А2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1×А2).
Теоремы сложения вероятностей позволяют перейти от непосредственного подсчета
вероятностей к определению вероятностей наступления сложных событий.
8. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в
предположении, что событие А уже наступило.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению
вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в
предположении, что первое событие уже наступило:
Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В/А).
(2.2)
Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет
вероятность появления другого, т.е.
Р(А) = Р(А/В) или Р(В) = Р(В/А).
(2.3)
Если события А и В независимы, то из формул (2.2) и (2.3) следует
Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В).
(2.4)
Справедливо и обратное утверждение, т.е. если для двух событий выполняется
равенство (2.4), то эти события независимы. В самом деле, из формул (2.4) и (2.2)
вытекает
Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В) = Р(А) ×Р(В/А), откуда Р(А) = Р(В/А).
Формула (2.2) допускает обобщение на случай конечного числа событий А1, А2,…,А n:
Р(А1∙А2∙…∙А n)=Р(А1)∙Р(А2/А1)∙Р(А3/А1А2)∙…∙Р(А n/А1А2…А n-1).
53
Задания для практической работы № 8.
1. В коробке находятся m+2 синих, n+3 красных и 2n+1 зеленых карандашей.
Одновременно вынимают m+3n+2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них
будет m+1 синих и n+1 красных.
2. В первой урне находятся m+2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй — m+n
белого и m синего, в третьей — n+3 белого и m+1 красного цвета. Из первой и второй
урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей
вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
mn
3. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна
.
mn2
Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух
раз.
4. Каждый избиратель независимо от остальных избирателей, отдаёт свой голос за
кандидата А с вероятностью 0,1(m+n) и за кандидата В – с вероятностью 1-0,1(m+n).
Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5000
избирателей) один из
кандидатов опередит другого:
а) ровно на 1900 голосов
б) не менее, чем на 1900 голосов
А
т
0
1
Таблица 1 (выбор параметра т)
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
1
2
3
8
4
9
5
8
3
9
2
Таблица 2 (выбор параметра п )
В
п
0
3
1
5
2
4
3
2
4
1
5
5
6
4
7
1
54
Практическая работа № 9
«Случайная величина.
Дискретная и непрерывная случайная величина»
Основы теории:
В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о
случайной величине. Случайной называют величину, которая в результате испытания
примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин,
которые заранее не могут быть учтены.
Выпадение некоторого значения случайной величины Х это случайное событие: Х = х i.
Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате
испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число
возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и
бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра
или измеренной температуры в конкретные моменты времени.
Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в
результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка.
Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример
непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида
транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.
Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою
функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции
распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое
х – действительное число и получена случайная величина X, при этом (x>X). Требуется
определить вероятность того, что случайная величина Х будет меньше этого
фиксированного значения х.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), определяющая
вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение
меньшее значения х, то есть:
F (х) = Р(Х < х ).
где х – произвольное действительное число.
Случайная величина (непрерывная или дискретная) имеет численные характеристики:
Математическое ожидание М (Х). Эту характеристику можно сравнивать со средним
арифметическим наблюдаемых значений случайной величины Х.
Дисперсия D(X). Это характеристика отклонения случайной величины Х от
математического ожидания.
Среднее квадратическое отклонение s(Х) для дискретной и непрерывной случайной
величины Х – это корень квадратный из ее дисперсии:
.
Рассмотрим дискретную случайную величину на примере.
Пример 1.
Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной
величиной Х. Возможные значения числа появлений герба: 0,1,2,3. Следует найти
вероятность появления герба в одном испытании.
Решение. Вероятность появления герба в одном испытании равна p=1/2.
Противоположное ему событие: герб не выпал, вероятность этого события по формуле
равна q=1-p=1/2.
1) Событие 1. «Три раза бросили монету и ни разу герб не выпал». Это сложное событие
состоит из появления трёх совместных и независимых элементарных событий: «герб не
55
выпал в одном испытании». Для события «три раза бросили и ни разу герб не выпал»,
которое обозначим Р(0), вероятность вычисляется по формуле умножения для
независимых событий:
.
2) Событие 2. «Три раза бросили монету и один раз герб выпал». Это сложное событие
состоит из появления одного из трёх несовместных и независимых событий: «герб выпал
в одном из трёх совместных испытаний». Для события «три раза бросили монету и один
раз герб выпал» вероятность будет состоять из суммы несовместных событий по формул,
где каждое слагаемое вычисляется по формуле умножения для независимых событий:
.
3) Событие 3. «Три раза бросили и два раза выпал герб». Для этого события вероятность
события будет состоять из суммы событий:
.
4) Событие 4. «Три раза бросили и все три раза выпал герб». Вероятность этого события
совпадает с первым и вычисляется по формуле умножения.
.
Здесь: p1, p2, p3 – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
q1, q2, q3 – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
Результаты вычислений вынесены в таблицу.
Таблица
герб
герб
герб
герб
Событие Х
не выпал выпал 1 раз выпал 2 раза выпал 3 раза
хi
0
1
2
3
Вероятность события:
Р(хi)= рi
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между
полученными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями. Его
можно задать:
1) таблично (рядом распределения);
2) графически;
3) аналитически (в виде формулы).
В примере 1 закон распределения задан в виде ряда распределения, где представлены все
возможные значения хi и соответствующие им вероятности рi = Р ( Х = хi ). При этом
вероятности рi удовлетворяют условию:
, потому что
,
где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником
распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (х i)
откладываются по оси абсцисс, а вероятности (рi) – по оси ординат. Точки Аi c
координатами (хi, рi) соединяются ломаными линиями.
Функция F(х) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
56
,
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых хi< х.
Пример 2.
Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной
величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.
Решение.
Если х £ 0, то F(х) = Р ( Х < х ) = 0.
Если 0 < х £ 1, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8.
Если 1 < х £ 2, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 = 0,5.
Если 2 < х £ 3, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.
Если х > 3, то F(х) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
В таблицу внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной
величины – х.
Таблица
№
1 2
3
4
5
хi
0 1
2
3
>3
функция распределения F(х) 0 0,125 0,5 0,875 1
Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х
переписаны в другой форме из таблицы 1 в таблицу 3.
Таблица
№
1
2
3
4
хi
0
1
2
3
Ряд распределения Р(хi)= рi 0,125 0,375 0,375 0,125
Многоугольник распределения и полученная функция распределения вероятности
представлены на рис 1, 2.
Рис. 1. Многоугольник распределения
Рис. 2. Функция распределения
57
Задания для практической работы № 9.
1. Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из n+3
бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x)
этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и
дисперсию DX; построить график F(x).
2. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
xi
pi
-2
0,2
-1
0,1
0
0,2
m
p4
m+n
p5
Найти вероятности p4, p5, и дисперсию DX, если математическое
ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.
3. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
при
   x  m,
0

f x   a  x  m / n при
m  x  m  n,
0
при m  n  x  .

Найти:
а) параметр а;
б) функцию распределения F x  ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал
n


 m  , m  n  1 ;
2


г) математическое ожидание MX и дисперсию DX.
Построить график функций f x  и F x  .
А
т
0
1
Таблица 1 (выбор параметра т)
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
1
2
3
8
4
9
5
8
3
9
2
Таблица 2 (выбор параметра п )
В
п
0
3
1
5
2
4
3
2
4
1
5
5
6
4
7
1
58
Практическая работа № 10
«Нахождение математического ожидания,
дисперсии и среднего квадратичного отклонения
дискретной случайной величины»
Основы теории:
Дискретные случайные величины
xi - значения величины X,
Математическое ожидание
Свойства:
1) M(C) = C, C - постоянная;
2) M(CX) = CM(X);
3) M(X1 + X2) = M(X1) + M(X2), где X1, X2 - независимые случайные величины;
4) M(X1X2) = M(X1)M(X2).
Дисперсия
Свойства:
1) D(C) = 0;
2) D(CX) = C2D(X);
3) D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2), где X1, X2 - независимые случайные величины.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х
59
Задания для практической работы № 10.
Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая)
о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.
№
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Выпуск
продукции
60+n
78,0
41,0
54,0
60+n
n•m+20
45,0
57,0
67,0
80+n
92,0
48,0
59,0
68,0
80+n
Прибыль
15,7
18,0
12,1
13,8
15,5
n+m+10
12,8
14,2
15,9
17,6
18,2
n+m+5
16,5
16,2
16,7
№
предприятия
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Выпуск
продукции
52,0
62,0
69,0
85,0
70+n
71,0
n•m+30
72,0
88,0
70+n
74,0
96,0
75,0
101,0
70+n
Прибыль
14,6
14,8
16,1
16,7
15,8
16,4
n+m+10
16,5
18,5
16,4
16,0
19,1
16,3
19,6
17,2
По исходным данным:
1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме
прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики
ряда распределения.
2. Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по
сумме прибыли: среднюю арифметическую xb , среднее квадратическое
отклонение  ( X ) , дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы.
А
т
0
1
Таблица 1 (выбор параметра т)
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
1
2
3
8
4
9
5
8
3
9
2
Таблица 2 (выбор параметра п )
В
п
0
3
1
5
2
4
3
2
4
1
5
5
6
4
7
1
60
5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
1. Н.Б.Богомолов «Практические занятия по математике» М.
«Высшая школа» 1990 год.
2. В.С.Щипачёв «Основы высшей математики» М. «Высшая школа»
2002 год.
3. И.П.Натансон «Краткий курс высшей математики» С-Пб. «Лань»
2001 год.
4. Я.М.Ерусалимский «Дискретная математика» М. «Вузовская
книга» 2001 год.
5. В.С.Щипачёв «Задачи по высшей математики» М. «Высшая
школа» 1997 год.
6. В.Н.Калинина, В.Ф.Панкин «Математическая статистика» М.
«Высшая школа» 2001 год.
7. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова «Высшая математика в
упражнениях и задачах» Часть 1 и 2. М. «Высшая школа» 1999
год.
8. О.Н.Афанасьева, Я.С.Бродский, А.Л.Павлов «Математика для
техникумов» М. «Наука» 1991 год.
9. И.И.Валуце «Математика для техникумов» М. «Наука» 1990 год.
10.В.А.Подольский и др. «Сборник задач по математике: Учебное
пособие для средних специальных учебных заведений» М.
«Высшая школа» 2002 год.
11. В.Ф.Бутузов, Н.И.Крутицкая «Математический анализ в вопросах
и задачах» М.»Физиатлит» 2000 год.
12. Д.Т.Письменный «Конспект лекций по высшей математике»
1часть. М. «Айрис Пресс Рольф» 2002 год.
13.Д.Т.Письменный «Конспект лекций по высшей математике» 2
часть
М. «Айрис Пресс Рольф» 2002 год.
14.В.Т.Лисичкин, И.Л.Моловнйчик «Математика» М. «Высшая школа
1991 год.
15.И.И. Баврин «Высшая математика» - учебник М. «Академия высшая
школа» 2001 год.
16. «Сборник задач по математике для вузов». Под редакцией
А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. М. «Наука» 1986 год часть 1 и 2.
17.В.Н. Матвеев и др. «Курс МАТЕМАТИКИ» для техникумов (часть 2)
Москва «Наука» 1976 год.
61