ФИЗИКА. Лабораторный практикум для студентов

1
Пермский государственный технический университет
Кафедра общей физики
ФИЗИКА
Лабораторный практикум
для студентов – заочников
всех специальностей
Пермь 2002
2
План УМД 2001/2002 уч. г.
ФИЗИКА. Лабораторный практикум для студентов – заочников всех
специальностей/Перм. гос. техн.ун-т, Пермь, 2002, - 70 с.
Составители: Н.А. Вдовин, к.ф.-м.н., доцент, В.Н. Зайцев, ст.
преподаватель, В.А. Лощилова, ассистент, Т.Д. Марценюк, ассистент,
Ю.К. Щицина, ст. преподаватель.
Под общей ред. д.т.н., профессора Цаплина А.И.
Практикум включает в себя 9 лабораторных работ. В начале каждой
работы даны краткие теоретические сведения, а в конце - вопросы для
самоконтроля. Указан порядок выполнения работ.
Практикум предназначен для студентов заочной формы обучения.
Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доцент К.Н. Лоскутов.

Пермский государственный
технический университет,
2002
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ..................................................................................................... 4
1. Обработка результатов измерений
на примере задачи определения объема цилиндра ........................... 5
2. Маятник Обербека............................................................................... 15
3. Физический маятник ............................................................................. 22
4. Исследование электростатических полей ........................................ 27
5. Определение ЭДС источника тока
компенсационным методом ................................................................ 32
6. Определение магнитной индукции в межполюсном зазоре
прибора магнитоэлектрической системы ......................................... 36
7. Определение радиуса кривизны линзы
с помощью колец Ньютона ................................................................. 42
8. Изучение явления дифракции света
с помощью дифракционной решетки ................................................. 47
9. Исследование фотоэлементов ............................................................. 60
Приложения ............................................................................................... 66
4
ВВЕДЕНИЕ
Лабораторные работы являются неотъемлемой частью изучения
курса физики. При их выполнении студент воспроизводит некоторые
физические явления, учится обращению с основными физическими
приборами и методами измерений, приобретает навыки ведения
лабораторного журнала, построения графиков, оценки достоверности
полученных результатов и оформления отчета.
Распределение объемов занятий и видов учебной работы при
изучении физики для студентов-заочников всех специальностей дано в
табл. 1.
Таблица 1
Семестр
Лекции
1-4
8-32
Занятия, часы
Лабора- Практиторные
ческие
работы
8-12
–
Самосто Выполятельная нение
работа
контрольных и
курсовых работ
185-456
2-6
Контроль
Экзамен
и/или
зачет
Основной формой подготовки к лабораторным работам является
самостоятельная работа студента по изучению предлагаемого материала.
Целесообразно проработать материал, пользуясь списком вопросов к
каждой лабораторной работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие.-7 изд., испр.-М.:
Высш. шк,2001.-542 с.
Дополнительная
2. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука,1988. Т.1-3.
3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высш. шк., 1989.
4. Лабораторный практикум по физике. Под ред. К.А. Барсукова и
Ю.И. Уханова. М.: Высш шк., 1988.
5
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЬЕМА ЦИЛИНДРА
Цель работы: ознакомиться с методом обработки результатов
измерений.
Приборы и принадлежности: цилиндр, штангенциркуль,
микрометр.
Теоретические сведения
Каждая лабораторная работа физического практикума связана с
измерениями тех или иных физических величин. Под измерением
понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной,
принятой за единицу измерения.
Различают измерения прямые и косвенные.
Прямые - это измерения, которые производятся с помощью
приборов, непосредственно дающих значение измеряемой величины
(длины - линейкой, штангенциркулем; времени - секундомером; силы тока
- амперметром и т.д.)
Косвенныe - это измерения, при которых неизвестная величина
определяется по результатам прямых измерений других величин, с
которыми она связана определенной формулой, например, плотность
вещества  вычисляют через измеренные m - массу и V – объем тела по
формуле  = m /V; электросопротивление проводника
R - через
измеренные напряжение U и силу тока I по формуле I = U/R и т.д.
При измерениях любой величины мы никогда не получаем ее
истинного значения. Это объясняется принципиальной
невозможностью устранить все посторонние влияния на процесс измерения. Иначе
говоря, при всяких измерениях мы допускаем ошибки; их величину
принято характеризовать абсолютной погрешностью измерений x (cм.
ниже) и относительной погрешностью . Эти характеристики не являются
независимыми. На способах определения х подробно остановимся ниже.
Что же касается , то относительной погрешностью измерений называют
отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой
величины
Δx
ε
.
x0
Так как х0- величина неизвестная, то на практике x0 заменяют
найденным из опыта среднеарифметическим значением <x> , поэтому
ε
x
x
.
(1.1)
6
Относительную погрешность часто выражают в процентах. Таким
образом, задача всякого измерения состоит из нахождения наиболее
вероятного значения измеряемой величины и оценки абсолютной и
относительной погрешности.
Погрешности прямых измерений
Принято различать три типа ошибок погрешностей прямых
измерений: промахи, систематические погрешности и случайные
погрешности.
1. Промахи - грубые ошибки, существенно превышающие
ожидаемую при данных условиях погрешность. Они вызываются
невнимательностью экспериментатора, использованием неисправных
приборов и т.д. Как правило, промахи быстро выявляются; наблюдения,
содержащие их, следует отбрасывать, как не заслуживающие доверия.
2. Случайные погрешности - погрешности, вызванные большим
числом случайных неконтролируемых помех (сотрясением фундамента
здания, изменением напряжения электрической сети, реакцией
наблюдателя). В итоге при повторных наблюдениях получаются несколько
отличающиеся друг от друга результаты. Исключить случайные
погрешности нельзя, можно лишь оценить их величину. Как это сделать,
нам подсказывает так называемая теория погрешностей. В основе этой
теории лежат два предположения, подтверждаемых опытом:
а) при большом числе измерений случайные погрешности
одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;
б) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются
реже, чем малые.
Именно из этих предположений следует, что при многократных
измерениях величины х наиболее близким к ее истинному значению х0
является среднее арифметическое значение:
x  x  ..... xn
,
(1.2)
 x  1 2
n
где n - число измерений.
Упомянутая выше теория погрешностей дает возможность найти
величину случайной погрешности хсл, т.е. расхождение между х  и <x>.
При этом исходят из следующих
соображений.
Пусть

характеризует
x0
вероятность того, что истинное
<x>
<x> +хсл значение х  измеряемой величины
<x>-xсл
отличается от <x> на величину, не
большую хсл, т.е. вероятность того,
Рис. 1.1
что истинное значение попадет в
интервал от <x> - xсл до <x>+xсл
7
(рис. 1.1). Например, если  = 0,95, то это означает, что при многократных
повторениях опыта ошибки отдельных измерений в 95 случаях из 100 не
превысят значения хсл. Вероятность  называется доверительной
вероятностью или надежностью, а интервал значений (<x> xсл) доверительным интервалом. Как видно, xсл - это полуширина
доверительного интервала. Ее-то и принимают за абсолютную случайную
погрешность.
Задача, очевидно, состоит в том, чтобы отыскать xсл при наперед
заданном значении . Решению этого вопроса помогает существующая
между xсл и  математическая связь. Качественно эта связь ясна: чем с
большей надежностью мы хотим указать результат данных измерений, тем
больше должен быть доверительный интервал.
В теории погрешностей в качестве единицы ширины доверительного
интервала выбрана так называемая средняя квадратичная погрешность
результата измерений
S=
Здесь x - среднее для
 x  x 
2
i
nn1

Δ x
2
i
nn1
.
измеренных n значений
(1.3)
xi (i=1,2,3,…,n);
Δ xi  xi  x - отклонение i - го наблюдения от среднего значения, n число измерений.
Учитывая сказанное, было предложено в случае небольшого
числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях)
вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:
хсл t n ΔS t n 
 Δx
2
i
n( n1 )
,
(1. 4)
где t,n - некоторое, зависящее от  и n, число, называемое
коэффициентом Стьюдента. Зависимость t,n от n понятна: чем больше n,
тем меньше  x  отличается от истинного значения, и тем меньше будет
доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит меньше t,n.
3. Систематическими называются погрешности, которые
сохраняют свою величину и знак во время эксперимента. Систематические
ошибки вызываются разными причинами, односторонне влияющими на
результат измерений:
-ограниченной точностью приборов (измерительных инструментов) приборные (инструментальные погрешности;
-неправильной настройкой (неравные плечи весов, стрелка не
установлена на ноль и т.д.);
-в расчетных формулах не учтено влияние некоторых
второстепенных факторов (например, при взвешивании не учитывается
сила Архимеда, при измерении электросопротивления не учитывается
сопротивление проводящих проводов);
8
производятся
-округлениями, которые
при измерениях и
вычислениях.
В большем числе случаев систематические погрешности могут быть
изучены и скомпенсированы путем внесения поправок в результаты
измерений. Если же сделать этого нельзя (или сложно) необходимо
правильно учесть вклад систематической ошибки в общую ошибку
измерений.
При выполнении лабораторных работ приходится оценивать, как
правило, следующие систематические ошибки:
а) Приборную (инструментальную) погрешность. Погрешность
показания прибора (например, связанная с неправильностью разбивки
шкалы амперметра, линейки...) является вполне определенной. При
обработке результатов измерений этот вид погрешностей задается в виде
так называемой предельной погрешности прибора (коротко - приборной
погрешности), указывающей, какова максимально возможная погрешность
при использовании данного прибора. При этом для одних приборов
указывается предельная абсолютная погрешность хпр, для других
(электроизмерительных, части оптических) предельная относительная
погрешность (класс точности прибора к).
Классом точности прибора называется отношение предельной
абсолютной погрешности к максимальному значению измеряемой
прибором величины
 xп р
100 % .
(1.5)
k
x м ах
Классов точности семь: 0,02; 0.05; 0,1; 0.5; 1; 2,5; 4. Это число указано на
шкале прибора. Зная класс точности и пределы измерения прибора, можно
рассчитать его предельную погрешность
kx
Δ xпр  max .
(1.6)
100
Приборная погрешность других приборов равна точности
измерительного прибора, под которой понимают ту наименьшую
величину, которую можно надежно определить с помощью данного
прибора. Точность прибора зависит от цены наименьшего деления его
шкалы и указывается на самом приборе или в его паспорте. Если этих
данных нет, то пользуются следующими правилами. Если прибор снабжен
нониусом (например, штангенциркуль), то его точность (и приборная
погрешность) равна цене наименьшего деления хпр = . При этом  = l /
m, где l - цена наименьшего деления основной шкалы прибора, m- число
делений нониуса; при отсутствии нониуса (линейка, термометр,...)
точность прибора равна половине наименьшего деления шкалы прибора:
Δ xпр 
Δ
.
2
Приборная погрешность хпр представляет собой наибольшую
погрешность, даваемую прибором. Действительная же погрешность
9
прибора хпрст (стандартное отклонение) носит случайный характер и
меньше хпр. Строгих формул для перевода хпр в хпрст нет, чаще всего
пользуются выражением
ст t ,
Δ xпр
 Δ xпр
(1.7)
3
где t , - коэффициент Стьюдента при n = .
Примечание: для электроизмерительных приборов хпр не зависит от
значения измеряемой величины хизм. Относительная же погрешность
измерения, т.е. хпр / хизм, зависит от хизм : чем больше хизм, тем меньше
относительная погрешность. Поэтому при измерениях рекомендуется
выбирать такие пределы измерения, чтобы отсчеты на них производились
бы по второй половине шкалы прибора.
б) Погрешность округления при измерении. При измерениях
показания приборов часто лежат между делениями шкалы. Отсчет “на
глаз” долей деления затруднительны. Поэтому показания приборов, как
правило, округляются - возникает
погрешность округления при
измерениях.
Интервал округления может быть различным. Чаще всего это либо
цена наименьшего деления шкалы - , либо половина цены деления.
Очевидно, максимальная погрешность округления равна половине
интервала округления, т.е. величине /2. Действительная же погрешность
меньше, и при доверительной вероятности  за погрешность округления
принимают величину
Δ
Δ xокр  α .
(1.8)
2
в) Погрешность округления при вычислениях. Этот вид погрешности
приходится учитывать только при косвенных измерениях. По этой причине
сведения по данной погрешности в следующем разделе.
4. Полная погрешность. Как уже отмечалось, в реальных условиях
присутствуют как случайные, так и систематические погрешности. В
теории вероятности показывается, что погрешность, обусловленная
несколькими независимыми причинами, определяется квадратичным
суммированием, т. е. полная абсолютная погрешность прямого измерения
2
2
Δ x Δ xсл2 Δ xпр Δ xокр
(1.9)
Относительная погрешность
ε
Δx
2
2
2
 ε сл
ε пр
ε окр
 x
(1.10)
При этом доверительная вероятность  выбирается одинаковой для
всех видов погрешностей.
10
Некоторые из слагаемых под знаком корня могут быть настолько
малыми по сравнению с другими, что ими можно пренебречь (малыми
считаются ошибки, которые не превышают 30 % от максимальной).
В заключение отметим, что количество необходимых измерений
определяется соотношением приборной и случайной погрешностей. Если
при повторных измерениях получается одно и то же значение, то это
означает, что случайная погрешность в данном методе измерений
значительно меньше приборной и большее число измерений не изменит
общей ошибки.
При значительной случайной погрешности (при повторных
измерениях получаются отличные друг от друга значения) число
измерений лучше выбрать такими, чтобы случайная погрешность среднего
арифметического была меньше приборной, или, по крайней мере, одного с
ней порядка.
Погрешности косвенных измерений
Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через
другие величины a, b, c, ..., полученные при прямых измерениях
z = f (a, b, c,...)
(1.11)
Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее
измерений, т.е. найти доверительный интервал
z  z Δ z
(1.12)
при надежности  и относительную погрешность ε z   z /  z  .
Что касается  z  , то оно находится путем подстановки в правую
часть (11) вместо a, b, c,... их средних значений
 z   f ( a  , b ,  c ,...) .
(1.13)
Абсолютная погрешность косвенных измерений  z является функцией
абсолютных погрешностей прямых измерений и вычисляется по формуле
2
2
f 
 f 
 Δa 2 
 Δb 2 ...
ΔZ  ΔZ ΔZ ... 
(1.14)
a
 b 
 f  f
,
,... частные производные функции f по переменным a, b, ..
Здесь
a b
Если величины a, b, c, ... в функцию Z = f (a, b, c,...) входят в виде
сомножителей в той или иной степени, т. е. если
2
2
b
Z  a k b l  c m ,
(1.15)
то сначала удобно вычислить относительную погрешность
2
2
 Δa  2  Δb 
ε z  k ε l ε   k 
 l 
  ,

a


b





а затем абсолютную
2 2
a
2 2
b
2
 z   z  z
(1.16)
(1.17)
11
Формулы для z и z часто приводятся в справочной литературе.
Примечания.
1. При косвенных измерениях в расчетные формулы могут входить
известные физические константы (ускорение свободного падения g,
скорость света в вакууме с и т. д.), числа типа , e, дробные
1 1
3 6
множители , , ... . Эти величины при вычислениях округляются. При
этом, естественно, в расчет вносится погрешность Δ g , Δc, Δπ, Δe , погрешность округления при вычислениях, которая должна учитываться.
Принято считать, что погрешность округления приближенного
числа равна половине единицы того разряда, до которого это число было
округлено. Например,  = 3,14159... . Если взять  = 3,1, то  = 0,05, если
 = 3,14, то  = 0,005 ... и т.д. Вопрос о том, до какого разряда округлять
приближенное число, решается так: относительная ошибка, вносимая
округлением, должна быть того же порядка или на порядок меньше, что и
максимальная из относительных ошибок других видов. Таким же образом
оценивается абсолютная ошибка табличных данных. Например, в таблице
указано  =13,6103 кг/ м3, следовательно,  = 0,05103 кг/м3.
Ошибка значений универсальных постоянных часто указывается
3
вместе с их принятыми за средние значения: (с = 299793,0  0,3  10 м/c,
где с = 0,3103 м/c.
2. Иногда при косвенных измерениях условия опыта при повторных
наблюдениях не совпадают. В этом случае значение функции z
вычисляется для каждого отдельного измерения, а доверительный
интервал вычисляется через значения z так же, как при прямых измерениях
(все погрешности здесь входят в одну случайную погрешность измерения
z). Величины, которые не измеряются, а задаются (если они есть) должны
быть указаны при этом с достаточно большой точностью.
В качестве итога всего, сказанного выше, приведем порядок
обработки результатов измерений.
Порядок обработки результатов измерений
Прямые измерения
1. Вычислить среднее значение для n измерений
1 n
 x    xi .
n i 1
2. Найти погрешности отдельных измерений  xi  xi   x .
3. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений и их
сумму:
 x   xi   x  ,
2
i
2
n
 x
2
i
i 1
.
12
4. Задать надежность  (для наших целей принимаем = 0,95) и по
таблице определить коэффициенты Стьюдента t,n и t,.
5. Произвести оценку систематических погрешностей: приборной
хпр и ошибки округления при измерениях хокр = /2 ( - цена деления
прибора) и найти полную погрешность результата измерений (полуширину
доверительного интервала):
n
Δx
2
i
2
 t , 
 Δ
2
 Δ xпр
Δ x t ,n

 α 
nn1  3 
 2
6. Оценить относительную погрешность
2
2
i
.
Δx
 100 %.
 x
7. Окончательный результат записать в виде
x x Δ x , ε  % при  = ...
ε
Косвенные измерения
1. Для каждой величины, измеренной прямым способом, входящей в
формулу для определения искомой величины Z  f a, b, c, ... , провести
обработку, как указано выше. Если среди величин a, b, c, ... есть табличные
константы или числа типа , е,..., то при вычислениях  z  округлять их
следует так (если это возможно), чтобы вносимая при этом относительная
ошибка была на порядок меньше наибольшей относительной ошибки
величин, измеренных прямым способом.
2. Определить среднее значение искомой величины
z = f (<a>,<b>,<c>,...).
3. Оценить полуширину доверительного интервала для результата
косвенных измерений
2
Z 
2
  z
  z
2
2
   a    b  . ,
  a
  b
z z
,
.......вычисляются при a  a , b  b, .. .
a b
4. Определить относительную погрешность результата
где производные
ε
Δz
 100 %.
 z
k l m
5. Если зависимость z от a, b, c,... имеет вид za b c , где k, l, m любые действительные числа, то сначала следует найти относительную
ошибку
13
2
2
 a  2  a 
ε k 
 l 
  ,
  a 
 b 
2
а затем абсолютную Δ zε z  .
6. Окончательный результат записать в виде
z = <z>  z...% при  = .
Примечание:
При обработке результатов прямых измерений нужно следовать
следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин
должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные
экспериментально) величины.
При косвенных измерениях вычисления  z  производить по
правилам приближенных вычислений.
В окончательной записи абсолютной погрешности следует
оставлять только одну значащую цифру. (Если этой цифрой окажется 1
или 2, то после нее сохраняют еще одну цифру).
Среднее значение округляется до того же результата, что и
абсолютная погрешность.
Например:
V = (375,21  0,02) см 3 = (3,7521  0,0002) 102 см 3 .
I = (5,530  0,013) A,
A = (57,5  0,7) 10 2 Дж.
Порядок выполнения работы
Определение диаметра цилиндра.
1. Микрометром или штангенциркулем измерить не менее 7 раз (в
разных местах и направлениях) диаметр цилиндра. Результаты записать в
таблицу.
2. Вычислить среднее значение диаметра
1 n
<d> =  d i ,
n i 1
где n - число измерений, i - номер измерения.
3. Вычислить di = (di - <d>), di2 и
n
 d
i 1
2
i
.
4. Задавшись надежностью  (от 0,90 до 0,97), по таблице выбрать
коэффициенты Стьюдента t,n и t,.
d
5. Определить приборную погрешность dпр. Для
микрометра dпр = /2 ( - цена деления микрометра,
равная обычно 0,01 мм). Для штангенциркуля dпр = ,
 - “цена” деления нониуса.
h
6. Вычислить абсолютную ошибку (полуширину
доверительного интервала) в определении диаметра
цилиндра:
14
n
 d i2
2
2
 t  , 
 
2
 d  t  ,n

 d п р     .
 2
n(n  1)  3 
7. Вычислить относительную погрешность d = d/<d>.
2
i 1
Определение высоты цилиндра
Все измерения и вычисления, выполненные при определении
диаметра цилиндра, повторить при той же надежности  для высоты
цилиндра h. Результаты записать в таблицу.
Определение объема цилиндра
1. Вычислить среднее значение объема цилиндра
<V> = /4 <d>2 <h>.
2. Вычислить относительную погрешность определения объема
 v  4 2d   2k   2 , где  = /.
3. Вычислить полуширину доверительного интервала
V = v <V>.
4. Результаты записать в виде
V =<V> V при  = ...
v =...%,.
№
n/n
1
2
3
.
.
Сумма
Среднее
значен.
di , мм
di - <d>
(di-<d>)2
hi, мм
hi -- < h>
(hi-<h>)2
15
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
МАЯТНИК ОБЕРБЕКА
Цель: познакомиться с динамическими характеристиками
вращательного движения твердого тела, а также с использованием
основного закона динамики вращательного движения.
Приборы и принадлежности: маятник Обербека, секундомер,
мерительная линейка, штангенциркуль.
Краткие теоретические сведения
Момент инерции маятника в данной работе определяется из
основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела.
Динамическими характеристиками вращательного движения тела
являются: момент инерции тела относительно оси, момент силы
относительно оси, момент импульса тела относительно оси вращения.
Момент инерции тела относительно оси
Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО
(рис.2.1), которую будем называть осью (прямая ОО может быть и вне
тела).
Разобьем тело на элементарные участки
О
(материальные
точки)
массами  m 1 ,
 m 2 ,...,  m i , находящиеся от оси на
 m1 r1
расстоянии соответственно r 1 , r 2 ,... r i ,... .
Моментом инерции материальной точки
ri mi
относительно
оси
(OO)
называется
r2

m
2
произведение массы материальной точки на
квадрат ее расстояния до этой оси:
Ii = mi  ri2.
(2.1)
Моментом
инерции
(МИ)
тела
относительно оси (ОО) называется сумма
произведений масс элементарных участков
тела на квадрат их расстояния до оси:
n
I=
 Δm r
i i
i 1
2
.
О
Рис. 2.1
(2.2)
Как видно, момент инерции тела есть величина аддитивная - момент
инерции всего тел относительно некоторой оси равен сумме моментов
инерции отдельных его частей относительно той же оси.
n
В данном случае
I =
 I
i 1
i
. Измеряется момент инерции в кгм 2 .
16
Так как
mi =  Vi
где  - плотность вещества; V i - объем - i - го участка, то

(2.3)
2
ρri ΔVi
I=
или, переходя к бесконечно малым элементам,
I=
 ρr
v
2
dV
(2.4)
Формулу (2.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных
тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через
центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси,
проходящей через центр масс и параллельно образующей цилиндра, эта
формула дает
1
I  mR 2 ,
2
где m - масса; R - радиус цилиндра.
Большую помощь при вычисления МИ тел относительно некоторых
осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси
равен сумме МИ этого тела Iс относительно оси, проходящей через центр
масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат
расстояния d между указанными осями:
I = Iс+ m d2.
(2.5)
Момент силы относительно оси


Пусть на тело действует сила F . Примем для простоты, что сила F
лежит в плоскости,
перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис. 2.2,a),
которую назовем осью
(например,
это
ось
вращения тела). На рис.
2.2,a,
А
точка

приложения силы F , О
- точка пересечения оси с
плоскостью, в которой
лежит сила; r - радиусвектор, определяющий
положение
точки
А
Рис. 2.2
относительно точки О;
ОB = b - плечо силы.
Плечом силы относительно оси называется расстояние от оси до линии,


r
F
вдоль которой действует сила;  - угол между векторами и .

Моментом силы F
определяемый равенством
относительно оси ОО называется вектор,
 
  
M r F .
(2.6)
17
Модуль этого вектора M = F  r  Sin  = Fb. Иногда поэтому говорят, что
момент силы относительно оси - это произведение силы на ее плечо.

Если сила F направлена произвольно, то ее можно разложить на две


  

F
F

F

F
F
F
составляющие:
и
(рис. 2.2,б), т.е.,

//
 , где
//
//

составляющая, направленная параллельно оси ОO, а F лежит в
плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силы

F относительно оси ОО понимают вектор
  
M  r F .
(2.7)



M
В соответствии с выражениями (2.6) и (2.7) вектор
направлен
вдоль оси (cм. рис.2.2, а).
Момент импульса тела относительно оси вращения
Пусть тело вращается вокруг
некоторой оси ОО с угловой
скоростью . Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с
массами m1, m2,...mi,..., которые находятся от оси соответственно на
расстояниях r1, r2,..., r3, ...,
и вращаются по окружностям, имея
линейные скорости v1, v2, ..., vi, ... Известно, что величина, равная


Δmi vi  ΔPi - есть импульс i- го участка. Моментом импульса i- го участка
(материальной точки) относительно оси вращения называется вектор
(точнее, псевдовектор)
  
ΔLi  ri Δ pi ,

ri -
где
радиус-вектор,
относительно оси.
определяющий
(2.8)
положение
i-го
участка
Момен
том импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор:
 n  n  
Li  Δ Li  ri Δ pi ,
O
i 1

L
Li
m1
i 1
(2.9)
n
модуль которого

vi
mi
m2
O
Рис. 2.3
L Δmi vi ri .
i 1
В соответствии с выражениями (2.8) и


(2.9) векторы Δ L и L направлены по оси
вращения (рис.2.3). Легко показать, что

момент импульса тела L относительно оси
вращения и момент инерции I этого тела
относительно
той
же
оси
связаны
соотношением
 
LI ω .
(2.10)
18
Основной закон динамики для вращательного движения
В случае, если момент инерции тела в процессе вращения остается
постоянным, “Основной закон...” читается так: момент силы (или
результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело
относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела
относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело:
 
M I ε .
(2.11)
Описание установки
и метода определения момента инерции
Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из
втулки 1, четырех спиц 2, укрепленных на одном из концов втулки. На
спицах размещены грузы 3. Последние могут перемещаться вдоль спиц и
закрепляться на них с помощью винтов. Другой конец втулки выполнен в
виде шкива 4 , на который наматывается нить-шнур. К свободному концу
шнура привязан груз 5. Под влиянием этого груза маятник приходит в
ускоренное вращательное движение вокруг неподвижной оси. Трение
между втулкой маятника и осью практически сведено к нулю
установленными на ось подшипниками. Для установки груза 5 на
определенной высоте предусмотрен указатель 6. Исходным уравнением
для определения момента инерции I маятника является уравнение (2.11), из
которого следует, что
M
I
,
(2.12)

где M - вращающий момент,
в данном случае - момент
силы Т натяжения шнура,
приложенной в точке k
(рис.2.4); 
- угловое
ускорение маятника. Момент силы берется относительно оси вращения, а
потому
М = T R,
(2.13)
где R - радиус шкива.
Сила T может быть
найдена из второго закона
Рис.2.4
Ньютона. записанного для
груза 5:
ma = mg - T,
где m - масса груза 5; а - ускорение, с которым он опускается, откуда
Т = m (g - а).
(2.14)
19
Таким образом, подставляя (2.14) в (2.13), получим
М = m(g - a) R.
(2.15)
Угловое ускорение  связано с тангенциальным ускорением a 
точек на ободе колеса следующим соотношением:
ε
a
.
R
В свою очередь, a t совпадает с ускорением а, с которым опускается
груз 5. Следовательно,
ε
a
.
R
(2.16)
Ускорение а можно вычислить, если измерить время t опускания
груза 5 на определенную высоту h. Действительно
at 2
h
,
2
а потому
2h
a 2 .
(2.17)
t
Подставляя (2.17) в (2.16) и (2.15), а затем в (2.12), получим
I

mR 2 gt 2  2h
2h
  md  gt
2
2
 2h
8h

,
(2.18)
где d = 2 R - диаметр шкива.
Заметим, однако, что второе слагаемое в выражении (2.18)
оказывается на практике значительно меньше первого, а потому момент
инерции маятника можно вычислить как
md 2 gt 2
I
.
(2.19)
8h
Формула (2.19) - рабочая формула для определения I из законов
динамики. С другой стороны, как уже отмечалось, момент инерции тела величина аддитивная. Следовательно, момент инерции маятника Обербека
относительно оси вращения можно представить в виде
I = Iв + Iш + 2Iсп + 4Iгр ,
(2.20)
где: Iв- момент инерции втулки; Iш - момент инерции шкива; Iсп- момент
инерции спицы; I гр - момент инерции одного груза 3. (Разумеется, все эти
моменты инерции в данном случае берутся тоже относительно оси
вращения.)
1
Так как
I сп  mспl 2 ,
12
20
где l и mпс- общая длина (рис.2.5) и масса двух спиц, а для случая, когда
грузы 3 находятся на концах спиц,
Iгр = mгрl12
(груз - материальная точка), где l1- расстояние от центра масс груза до оси,
а mгр - масса груза 3, то
I = (Iв + Iш) + 1/6  mпс l2 + 4 mгр l12.
(2.21)
Рис. 2.5
Порядок выполнения работы
1. Внесите в таблицу данные о массе груза 5 и ускорении
свободного падения для широты г. Пермь (написаны на приборе).
2.Установите грузы 4 на концы спиц, причем так, чтобы маятник
находился в безразличном равновесии.
3. Наматывая нить на шкив, установите груз 5 так, чтобы основание
груза совпало с указателем 6 (см. рис.2.4), (следите за тем, чтобы витки
нити на шкив наматывались в один слой, а нить намоталась бы с внешней
стороны маятника). В этом положении маятник придерживайте рукой за
одну из спиц.
4. Измерьте время t1 падения груза 5 с установленной высоты до
пола. Для чего отпустите маятник без толчка, включив одновременно
секундомер. Опыт повторите не менее 7 раз. Результаты занесите в
таблицу.
5. Передвиньте грузы 3 примерно на середину спиц и установите их
так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии.
По п. 4 измерьте время t2 движения груза в этом случае. Результаты
запишите в таблицу.
6. Измерьте диаметр шкива d и высоту падения груза h, оцените
ошибки d и h в измерении этих величин. Данные занесите в таблицу.
7. Вычислите < t1 > и < t 2 > и по формуле
 m  d 2   g  t  2
<I>=
,
8h
вычислите среднее значение моментов инерции  I 1  и  I 2  (для того и
другого расположения грузов 3).
21
8. Определите абсолютную и относительную погрешности в
определении момента инерции (только для I 1 или только для I 2 , так как
погрешности будут приблизительно одинаковыми).
Для чего:
Номер
опыта
1
2
3
.
.
.
7
t2
t1
Другие данные
(t1i - <t1>)2
t1i - < t1>
m   m  m
g=……
d =…  …
h =…  …
=
t  ,n 
t1 =
 t1  =
(t1i - < t1>) =
t2  =
2
а) задайтесь надежностью  (от 0,90 до 0,97), выберите коэффициент
Стьюдента t  ,n , t  , , оцените tпр для секундомера;
б) вычислите абсолютную погрешность в измерении времени:
 t t    t
2
Δ t1 
в) вычислите
(например, I 1 ):
2
t ,n
1
nn  1
относительную
2
2

2  Δt
 3  ( Δ t•р )  α 2 




,
погрешность
в
2
;
определении
I
2
2
2
2
 m 
  g
d
  t
  h
  4
 I 
  4   
 

 d  
 t 
 h 
  g 
 m 
г) вычислите абсолютную погрешность:
Δ I 1 2  ε I  I 12   ;
д) результаты запишите в виде
при ε I   %,
 = ...
9. Сравнивая I 1 и I 2 , сделайте вывод (касающийся связи величины
момента инерции и расположения грузов 3).
10. Измерьте l и l 1 (лучше 2l 1 ) (см. рис.2.5) и по формуле (2.20)
вычислите момент инерции как аддитивную величину I1ад (mиc, mгр и (Iв +
Iш) должны быть даны). Значения всех этих величин внесите в тетрадь.
11. Найдите расхождение в процентах между значениями I1 и I1ад,
полученными из опыта и вычисленными по формуле (2.21).
I1   I1    I ,
I 2  I 2 ΔI .
22
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется моментом инерции материальной точки
относительно оси, моментом инерции твердого тела относительно оси?
В каких единицах измеряется момент инерции?
2. В чем состоит теорема Штейнера? Приведите пример ее
использования.
3. Что называется моментом силы относительно оси? В каких
единицах он измеряется?
4. Что такое плечо силы?
5. Что называется моментом импульса материальной точки
относительно оси вращения, моментом импульса твердого тела
относительно оси вращения? В каких единицах измеряется момент
импульса?
6. Как связаны между собой момент импульса и момент инерции
тела, вычисленные относительно оси вращения?
7. Маятник Обербека: устройство и теория метода определения его
инерции.
8. Порядок выполнения работы. Выводы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Цель: познакомиться с методом определения моментов инерции тел.
Приборы и принадлежности: исследуемое тело (пластина),
кронштейн для подвешивания тела, секундомер, линейка, математический
маятник.
Краткие теоретические сведения
Физическим маятником (ФМ) называется твердое тело, которое
может колебаться под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси
(не проходящей через центр масс тела).
При колебании ФМ как бы вращается вокруг оси О (рис. 3.1).
(Кстати,
точку О пересечения оси с вертикальной плоскостью,
проходящей через центр масс С тела, называют точкой подвеса).
Следовательно, движение маятника подчиняется основному уравнению
динамики вращательного движения:
23


M Iε
или М = I  ,
(3.1)
где М - момент силы тяжести
относительно оси О; I - момент инерции

маятника относительно той же оси;  угловое ускорение маятника.
Из рис 3.1 видно, что
М = - mgb Sin  ,
(3.2)
где: m - масса маятника;
b Sin  - плечо силы тяжести mg;
b - расстояние от точки подвеса О до
центра масс С.
Знак “-” означает, что вращающий момент
М стремится уменьшить угол ,
Рис. 3.1
характеризующий положение маятника по
отношению к равновесному состоянию.
Более строго смысл знака “-” объясняется так: псевдовекторы момента сил


M
и смещения от положения равновесия  направлены в
противоположные стороны (для ситуации, изображенной на рис. 3.1
первый направлен за плоскость чертежа, а второй - из этой плоскости на
d 2
наблюдателя). Помня, что ε  2 , и учитывая (3.1), уравнение (3.2)
dt
запишем в виде
d 2
I 2  m g b  Sin   0 .
(3.3)
dt
При малых отклонениях маятника (именно этот случай мы и будем иметь в
виду) Sin   , а потому равенство (3.3) после деления на I примет вид
d 2 mgb

  0.
(3.4)
I
d t2
Величина mgb/I, как сугубо положительная, может быть заменена
квадратом некоторого числа:
mgb / I  02
(3.5)
Тогда уравнение (3.4) можно переписать как
d 2
 ω02  0.
(3.6)
2
dt
Используя прямую подстановку, убеждаемся, что решением
уравнения (3.6) является выражение
 = 0 Cos (0t + ) .
(3.7)
Это свидетельствует о том, что ФМ совершает в этих условиях
незатухающие гармонические колебания с циклической частотой 0. 0 и
24
 - постоянные (амплитуда и начальная фаза), зависящие от начальных
условий.
Период колебаний ФМ
2π
I
T
 2π
.
(3.8)
ω0
mgb
I / mb имеет размерность длины. Эта величина обозначается через L и
называется приведенной длиной ФМ:
L = I / mb
(3.9)
Таким образом,
L
.
(3.10)
g
Сравнивая (3.10) с формулой для периода колебаний
математического маятника T = 2π l / g , где l - длина математического
маятника, видим, что приведенная длина ФМ - это длина такого
математического маятника, у которого период колебаний совпадает с
периодом колебаний данного ФМ. Легко заметить, что L > b. В самом
деле, в соответствии с теоремой Штейнера I = Iс + mb2, где Ic - момент
инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс.
Следовательно, по выражению (3.9)
T  2π
I c  mb 2
I
I
L

 c  b,
mb
mb
mb
(3.11)
откуда видно, что L>b.
Точку О1 (см. рис. 3.1), отстоящую от О на расстоянии L, называют
точкой качаний.
Описание установки
и метода определения инерции тела
Исследуемое тело 1 представляет собой металлическую пластину с
двумя вырезами (рис. 3.2). Этими вырезами тело подвешивается на опору кронштейн 2 для организации колебаний. Чтобы уменьшить трение и
износ детали точки подвеса О1 и О2 снабжены специальными подставками
3. На конце кронштейна может быть подвешен математический маятник 4,
длину которого можно изменять.
В работе определяются моменты инерции I1 и I2 относительно осей
О1 и О2. Метод определения моментов инерции основан на том, что период
колебаний ФМ (пластина в данном случае играет роль физического
маятника) связан с его моментом инерции относительно оси колебания
(см. формулу (3.8)). Таким образом, измерив на опыте период колебаний
маятника Т и расстояние b от точки подвеса до центра масс (см. рис.3.1),
25
зная массу m маятника и ускорение
свободного падения g, можно
вычислить момент инерции:
T 2 mgb
(3.12)
I
.
2
4
Порядок выполнения работы
1. Снять пластину с подвеса,
измерить линейкой расстояния b1 =
O1C и b2 = O2C (см. рис. 3.2) и
Рис. 3.2
оценить
ошибку
b
этих
измерений. Результаты занести в
табл.1; сюда же вписать данные о массе тела и ускорении свободного
падения.
2. Подвесить маятник на ось О1, привести его в движение (  8о) и
измерить время t1 для 30-50 полных колебаний (N). (Отсчет времени лучше
начинать после того, как тело совершит несколько колебаний). Опыт
повторить не менее 5 раз при одном и том же числе колебаний. Результаты
(эти и последующие) занести в табл.1.
3. Снять маятник и, подвесив его на ось О2, проделать то же, что и в
п.2.
4. Вычислить Т1 и Т2 для каждого из опытов и их средние значения
<T1> и <T2>.
Таблица 1
№№ Число
Колебания
Колебания на оси О2
полн.
а оси О1
n/n колеб.
N
t1
Т1,i
t2
T2,i
(T2i - <T2>) (T2i - <T2>)2
1
2
.
.
T
1,i
T

2 ,i
T1 
Другие
данные
b1 = 
b2 = 
5. По формуле
 T

2 ,i
T2 
m= 
g= 
L1 =
L2 =
 T2

2

26
 T  2  m  g  b 
 I 
4π 2
(см. (3.12)) вычислить <I1> и <I2>.
6. Для момента инерции I2 вычислить относительную I2
абсолютную I2 погрешности (для I1 первую из них принять такой же).
Для этого:
а) подсчитать Т2i - <Т2>, (T2i - <T2>) ,
2
n
 T2i   T2 
и
2
(cм. табл. 1);
i 1
б) вычислить абсолютную погрешность в измерении периода
колебаний
n
 T
  T2  
2
2
 Δt t , 
 ,
ΔT2  t ,n
  пр 
n( n  1 )
N
3


где n - число измерений; tпр - приборная погрешность секундомера; t,n коэффициент Стьюдента (определяется по таблице в зависимости от
выбранной надежности  и n); N – число полных колебаний.
в) определить относительную погрешность;
2
ε
2
I2
2i
1
2
2
2
2
 ΔT2 
 Δπ   Δm   Δg   Δb2 
  4   
 ;
 4
     

T

π

m

g

b

  
    2 
 2 
г) вычислить абсолютную погрешность в определении I2:
I2 = I <I2>;
7. Результаты представить в виде:
I1 = <I1>  I1
I2 = <I2>  I2
при  = , I = % .
8. Вычислить приведенные длины L1 и L2 маятников по формуле
L
I
.
mb
9. При наличии математического маятника установить его длину l
равной L1 (или L2) и убедиться в синхронности колебаний физического и
математического маятников.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Физический маятник.
2. Уравнения колебаний физического маятника
(дифференциальное уравнение и его решение).
3. Частота и период колебаний физического маятника.
4. Приведенная длина физического маятника.
27
5. Точка подвеса и центр качаний физического маятника.
6. Метод определения I в данной работе.
7. Порядок выполнения работы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Цель работы: ознакомиться с методом моделирования
электростатического поля с помощью электропроводной бумаги;
исследовать электростатическое поле плоского и цилиндрического
конденсаторов.
Приборы и принадлежности: источник постоянного тока,
вольтметр, электропроводная бумага, планшет с набором электродов,
проводники, один из которых снабжен зондом.
Сведения из теории
Электростатическое
поле (ЭСП)
форма материи,
осуществляющая взаимодействие между заряженными телами.
Основным свойством поля является его силовое действие на
любой заряд, помещенный в поле.
Источником ЭСП является неподвижный заряд (заряженное тело).
Количественными характеристиками ЭСП являются напряженность
и потенциал.
Напряженность поля - векторная физическая величина,
характеризующая силовое действие поля в точке, численно равная силе, с
которой поле действовало бы на положительный единичный заряд,
помещенный в данную точку поля и по направлению совпадающая с
направлением действия этой силы.

 F
E= ,
(4.1)
q

здесь F - сила, действующая на заряд + q, помещенный в данную точку
поля.
Таким образом, напряженность - это силовая характеристика поля.
Единица напряженности - Н/Кл (В/м). Если напряженность поля во всех
точках одинакова по величине и направлению, то поле называют
однородным, в противном случае - неоднородным.
Потенциал поля в точке - это скалярная физическая величина,
характеризующая энергетические свойства поля, численно равная
потенциальной энергии положительного единичного заряда, помещенного
в данную точку поля.
28
Wп
,
(4.2)
q
здесь Wп - потенциальная энергия заряда +q, помещенного в некоторую
точку поля. Единицей потенциала является В (Дж/Кл). Потенциал энергетическая характеристика поля.
Потенциальная энергия, а вместе с ней и потенциал задаются с
точностью до постоянной. Чтобы потенциал приобрел вполне
определенное значение, надо придать ему некоторое значение в одной из
точек поля. В физике принято считать  = 0 в точке, удаленной бесконечно
далеко от заряженного тела.
Надо, однако, помнить, что хотя для любой точки поля можно
указать такую величину, как потенциал, ясный физический смысл имеет
только разность потенциалов двух точек поля (1 - 2): она равна работе
поля по перемещению единицы положительного заряда из одной точки (1)
в другую (2). Измерить практически можно тоже только разность
потенциалов. И, говоря об измерении потенциала,
подразумевают
измерение разности потенциалов двух точек, потенциал одной из которых
условно принимается за нуль.
Из определения разности потенциалов двух точек поля следует, что
работа поля по перемещению заряда +q из точки 1 в точку 2 может быть
вычислена по формуле
А = q (1 - 2) .
(4.3)
Электростатическое поле можно изобразить графически. Делается
это с помощью
линий напряженности (силовых линий) и
эквипотенциальных поверхностей.
Линией напряженности называется линия, касательная к которой в
каждой точке совпадает с направлением напряженности поля в этой точке
(рис. 4.1 - сплошные кривые).
=
Рис. 4.1
Эквипотенциальная поверхность - поверхность равного потенциала
(на рис. 4.1 пунктирные линии - линии пересечения этих поверхностей с
плоскостью рисунка).
29
Так как работа поля по перемещению заряда вдоль
эквипотенциальной поверхности равна нулю (1 = 2), то это значит, что
линии напряженности в любой точке поля перпендикулярны
эквипотенциальным поверхностям.
Напряженность и разность потенциалов поля связаны между собой.
В общем случае эта связь выглядит так:


 
E
  grad  .
E=n
или
(4.4)

Здесь производная по расстоянию берется вдоль линии напряженности в
направлении, совпадающем с направлением единичного вектора нормали n
к эквипотенциальной поверхности. Из уравнений (4.4) видно, что вектор E
всегда направлен в сторону уменьшения потенциала.
В случае однородного поля модуль вектора напряженности связан с
разностью потенциалов соотношением:
A B
,
(4.5)
E=
d
где А и  В - потенциалы двух точек (А и В), лежащих на одной линии
напряженности, а d - расстояние между этими точками.
Таким образом, зная закон изменения потенциала вдоль силовой
линии, можно в любой точке поля определить напряженность поля,
численное значение которой равно изменению потенциала на единице
длины силовой линии. Отсюда следует еще одна единица измерения
напряженности - B/м.
Моделирование электрического поля и описание установки
Исследовать ЭСП, созданное зарядами в вакууме или в воздухе,
сложно (нужны специальные приборы). Поэтому чаще всего для изучения
поля зарядов используют его модель - поле токов в слабо проводящей
среде (в нашем случае - в электропроводной бумаге), которое, как и поле
зарядов, является потенциальным. При этом силовым линиям ЭСП
соответствуют так называемые линии тока (линии, касательные к которым
в каждой точке совпадают с направлением вектора плотности тока в этой
точке), а поверхности равного потенциала этих полей просто совпадают.
Сами потенциалы могут быть измерены обычным вольтметром,
снабженным проводником с зондом - изолированным металлическим
стержнем с заостренным концом.
На рис. 4.2 представлены внешний вид и электрическая схема
установки. Здесь 1 - планшет, на который укладывается электропроводная
бумага 4, к которой, в свою очередь, прижимаются электроды 2. На эти
электроды от источника постоянного тока 3 подается разность
потенциалов, создающая электростатическое поле (и электрический ток на
поверхности бумаги). С помощью зонда 5 и вольтметра 6 легко
30
измерить потенциал в любой точке поля: для этого достаточно коснуться
зондом той или иной точки бумаги.
В данной работе перед студентом стоят следующие задачи:
1) опытным путем найти эквипотенциальные поверхности для полей
плоского и цилиндрического конденсаторов;
Рис. 4.2
2) на бумаге для указанных выше полей провести
эквипотенциальные линии и линии напряженности;
3) вычислить величину напряженности поля плоского конденсатора;
построить график зависимости потенциала от расстояния.
Порядок выполнения работы
1. Путем осмотра познакомиться с приборами и принадлежностями.
Установить предел измерения вольтметра, определить “цену” деления
прибора.
2. Закрепить оба листа электропроводной бумаги на планшете
темной графитовой стороной вверх, плотно прижав к ним обе пары
металлических электродов. Контуры электродов обвести.
3. На прямолинейных электродах собрать электрическую цепь (см.
рис.4.2) и после проверки подключить к источнику постоянного тока.
4. С помощью зонда проверить: на который из электродов подан
более высокий потенциал (желательно “минус” - на левый). На бумаге
пометить электроды знаками “+” и “-”.
5. Экспериментально найти 5-6 групп точек поля, каждая из которых
(групп) имеет одинаковый потенциал. Начните с точек, лежащих на
расстоянии 5-10 мм от “-” электрода. В каждой группе взять по 8-10 точек,
в том числе во внешней для конденсатора области. Точки на бумаге
отмечают прижатием зонда к бумаге. Показания вольтметра для каждой из
групп (1, 2, 3, ...) занести в табл. 1.
31
6. Перенести электрическую цепь на цилиндрические электроды.
Подключить источник тока, установить полярность электродов и найти 2-3
группы точек с одинаковыми потенциалами, значения которых записать
прямо на бумаге. Источник поля отключить, цепь разобрать.
7. Оба листа бумаги снять. Повернуть (хотя и не обязательно)
светлой стороной вверх. Отметить положение электродов, поставив знаки
“+” и “-”. Точки с одинаковыми потенциалами соединить. Это и есть
эквипотенциальные линии. На том и другом листе провести (по всему
полю) по 7-10 линий напряженности, указав их направление.
8. Вычислить напряженность поля плоского конденсатора и
построить график i1 = f (ri1):
а) вычислить разность потенциалов 21 = 2-1, 31 = 3-1,... ;
б) по одной из линий напряженности (в средней части поля)
измерить расстояния r21, r31, ... ; все результаты занести в табл. 1;
Таблица 1
-3
2
Номер
Еi = i1ri1 ri1 ,
i, В i1, В ri1,10
Е, %
-3
-6
2
 i1
эквип.
м
,10
10 м

 ri1
линии
Вм
1
2
=
3
Е/Е
.
100%
.
.
Е=
Сумма
Средн.
значен.
в) по формуле (4.5), по данным п.п. “а”,“б” вычислить значения
напряженностей исследуемого поля и по ним среднее значение <Е>;
г) заполнить другие графы таблицы, т. е. вычислить i1ri1, ri2, а
также  i1ri1 и ri2;
д) вычислить напряженность поля по формуле, следующей из метода
наименьших квадратов:
   i1   ri1  ;
E
(4.6)
2

r
 i
е) сравнить результаты п.п. “в” и “д”. Найти расхождение в
процентах между <E> и E, т. е. расхождение одной и той же величины,
найденной разными способами;
ж) начертить график зависимости разности потенциалов
(потенциала) от расстояния i1 = f (rr1). Сделать соответствующий
вывод.
32
9. Рабочее место привести в порядок и сдать лаборанту.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое ЭСП? В чем состоит его основное свойство?
2. Какими величинами характеризуют ЭСП?
3. Что называют напряженностью поля? Единицы ее измерения.
4. Что называется потенциалом данной точки поля? Единицы его
измерения.
5. Каков физический смысл разности потенциалов двух точек поля?
6. Какова связь между напряженностью и потенциалом поля, между
напряженностью и разностью потенциалов?
7. Как графически изображается ЭСП?
8.Что такое линии напряженности и эквипотенциальные поверхности
поля? Каково их взаимное расположение (при изображении поля)?
9. Как моделировалось ЭСП в данной работе? Опишите установку.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭДС ИСТОЧНИКА ТОКА
КОМПЕНСАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Цель работы: ознакомиться с компенсационным методом измерения
ЭДС.
Приборы и принадлежности: нормальный элемент с ЭДС N,
исследуемый источник х, вспомогательная батарея , потенциометр ПП63, проводники, гальванометр Г (N,  и Г часто вмонтированы в
потенциометр), делитель напряжения, ключ.
Сведения из теории
Если на концах проводника сопротивлением R (рис. 5.1,а) имеется
разность потенциалов 1 - 2, то по проводнику течет ток. Чтобы ток
некоторое время был неизменным, разность потенциалов в течение этого
времени надо поддерживать постоянной. Это значит, что положительные
заряды, приходящие в точку 2, необходимо каким-то образом перемещать
обратно в точку 1, где потенциал 1>2. Силы электрического поля сделать
этого не могут, так как они направлены в сторону меньшего потенциала.
Следовательно, работу по перемещению положительных зарядов из точки
2 в точку 1 могут совершать только силы неэлектрического
происхождения (например, механические силы, силы химической природы
и т. д.). Эти силы называются сторонними.
33
Рис. 5.1
Рис.5.2
Указанную работу практически выполняют источники тока,
включаемые в цепь (рис. 5.1, б). Именно сторонние силы источника и
перемещают положительные заряды от меньшего потенциала (клемма “–”)
к большему (клемма “+”).
Важной характеристикой, связанной с работой сторонних сил
источника тока, является величина, называемая электродвижущей силой.
ЭДС источника численно равна работе, которую совершают сторонние
силы при перемещении единицы положительного заряда с клеммы “–” на
клемму “+” внутри источника. Нужно, однако, иметь в виду, что хотя
заряды по внешней цепи перемещаются под влиянием электрического
поля, само поле (разность потенциалов на внешнем участке) и создается за
счет работы сторонних сил. Чем больше ЭДС источника, тем большую
работу может совершить ток в цепи этого источника.
ЭДС источника измеряется в вольтах и совпадает с разностью
потенциалов на клеммах источника при разомкнутой цепи. Действительно,
запишем закон Ома для замкнутой цепи (см. рис.5.1, б)
ε
I
Rr
и для участка цепи
  2
I 1
.
R
Сравнивая эти формулы, получим
 1  2
R

.
ε
Rr
34
Отсюда следует, что, когда по цепи течет ток, разность потенциалов
между полюсами источника меньше его ЭДС. При разомкнутой цепи
(R  )  = 1 - 2 .
Одним из простых и надежных методов измерения ЭДС является так
называемый компенсационный метод. Электрическая цепь реализации
этого метода изображена на рис. 5.2, где х - источник с неизвестной ЭДС,
N - нормальный элемент (с известной ЭДС),  - вспомогательная батарея.
Предполагается, что N <  и х < . При замыкании ключа К1 через
реостат R течет ток. Если при этом переключатель П замкнут на N, то ток
пойдет и через гальванометр Г.
Запишем первое правило Кирхгофа для узла b (см. рис. 5.2):
I + Ir - I1 = 0,
(5.1)
и второе правило Кирхгофа для контура аNba :
I rаb - Ir (r + rг) = N ,
(5.2)
где r - внутреннее сопротивление источника N ; rг - сопротивление
гальванометра.
Перемещая точку b, можно подобрать такое Rаb = Rаb , при котором
ток через гальванометр не идет: Ir = 0. В этом случае
I Rа,b = N .
(5.3)
(ЭДС N компенсируется падением напряжения на участке ab - частью
ЭДС  ). Если переключатель П перебросить на х, то, передвигая точку b,
можно подобрать такое сопротивление Rаb = Rаb, при котором Iг = 0. В
этом случае
I Rаb =  х.
(5.4)
Разделив уравнение (5.3) на (5.4), получим
x  N

Rab
ε
 N,

Rab
εx
откуда

Rab
,
Rab
(5.5)
т.е. для определения х достаточно знать N и отношение Rab / R’ ab.
Принцип работы потенциометра
Потенциометры - приборы для измерения ЭДС источников тока,
термо-ЭДС и для некоторых других целей. Принцип их работы основан на
компенсационном методе. В данной работе используется потенциометр
ПП- 63.
Лицевая панель прибора изображена на рис. 5.3, где зажимы НЭ, БП,
Х служат для подключения нормального элемента N, батареи питания  и
источника с неизвестной ЭДС - х. Как правило, N и  уже подключены и
находятся внутри потенциометра, поэтому переключатели должны быть в
положении “В” ( внутреннее). Ключ ”Питание” соответствует ключу К 1
(см. рис. 5.2), ключ “K” и “И” - переключателю П, Г – нуль-гальванометр.
35
Рис. 5.3
Порядок выполнения работы
1. Установить рабочий ток I (скомпенсировать N). При компенсации
N ключ К 1 замыкают, переключатель П ставят в положение “К”
(контроль). Во всех участках цепи (рис. 5.2) будет течь ток. Рукоятками Р1
(грубая настройка) и Р2 (доводка) устанавливают ток в гальванометре IГ =
0. При этом падение напряжения на участке Rab будет равна N , т.е. I Rаb
=  N . После этого рукоятки Р1 и Р2 трогать нельзя.
Ток I , который течет через резистор R (рис. 5.2) , при отсутствии
тока в гальванометре будет постоянным и называется рабочим током.
Величина его зависит только от  и полного сопротивления контура, по
которому течет ток I.
2. Определить х . Так как х должна быть меньше , а у нас они
одного порядка, то х нужно подключать не непосредственно к клеммам
“X”, а через делитель напряжения. Составить схему такого подключения
и внести ее в отчет. Зная, какая часть от х будет измерена, легко
подсчитать и все х.. При определении х нужно переключатель П
поставить в положение “И” (измерение). При этом в цепь (см. рис. 5.2)
вместо N будет включен х. Нажав кнопку “Грубо”, замкнем цепь
гальванометра и по ней будет течь ток.
Рукоятками L1 и L2 (они связаны с сопротивлением R) установим ток
в гальванометре, равный нулю. Затем вместо кнопки “Грубо” нужно
нажать кнопку “Точно” и рукояткой L2 установить Ir = 0.
Конструктивно потенциометр устроен так, что величина измеряемой
ЭДС х определяется в mV показаниями шкал, которые расположены под
рукоятками L1 и L2 (измеряемая ЭДС равна сумме показаний при Iг = 0).
Измерять х нужно не менее шести раз.
36
После каждого измерения рукоятками L1 и L2 сбиваются показания.
Результаты занести в таблицу.
№
x,i
x,i – x 
(x,i – x )2
изм
1
2
.
.
7
=
x 
=
=
t,n=
=
3. Обработать результаты измерений:
а) найти полуширину доверительного интервала по формуле
Δε x 


2
k
Δ
t  ( n ) ΔS   δ 2  α 2   ,
3
2
2
где S - среднеквадратичное отклонение; t(n) - коэффициент Стьюдента,
выбирается в зависимости от надежности  (  0,95) и числа измерений n;
k- коэффициент Стьюдента при n , k  t();  - максимальная
погрешность прибора;  - цена деления шкалы прибора ( в данном случае
при L2);
б) найти относительную ошибку;
в) окончательный результат записать в виде
х = <х>   х
при  = ,  = %.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
В МЕЖПОЛЮСНОМ ЗАЗОРЕ ПРИБОРА
МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Цель работы: ознакомиться с принципом действия измерительного
прибора магнитоэлектрической системы, определить величину индукции
магнитного поля в межполюсном зазоре прибора, исследовать графически
зависимость угла поворота рамки прибора от силы тока в ней.
Приборы: амперметр магнитоэлектрической системы, шкала
которого специально для данной работы проградуирована в градусах; два
реостата; амперметр или прибор комбинированный типа Ф 4313, Ц 4315,
Ц317 для измерения тока, напряжения и сопротивления.
37
Сведения из теории
Движущиеся заряды (токи) изменяют свойства окружающего их
пространства - создают в нем магнитное поле. Наличие магнитного поля
проявляется в действии силы на движущиеся в нем заряды (токи).
Если в магнитное поле поместить небольшую свободно
ориентирующуюся (поворачивающуюся до тех пор, пока действует
вращающий момент) рамку с током, то она установится определенным
образом. Следовательно, магнитное поле имеет направленный характер и
должно характеризоваться векторной величиной. Эту величину называют
индукцией
магнитного поля (магнитной индукцией ) и обозначают буквой

B.

За направление вектора B принимают направление положительной
нормали (положительная нормаль к плоскости рамки образует правый
винт с направлением тока в рамке), установившейся и свободно
ориентирующейся небольшой рамки с током.
Согласно гипотезе Ампера, в постоянных магнитах, в частности в
магнитной стрелке, круговые “молекулярные токи“ расположены в
параллельных плоскостях и направлены в одну сторону. Благодаря этому
действие магнитного поля на магнитную стрелку аналогично
 действию на
рамку с током. Поэтому за направление вектора B берут также
направление, в котором устанавливается северный конец магнитной
стрелки, помещенный в данную точку поля.


Сила dF , действующая на элемент проводника d l с током I,
находящийся в магнитном поле, определяется по закону Ампера
 

dF  I dl  B ,
(6.1)
или в скалярной форме
 
dF = B I dl sin ( d l ,^ B ),
(6.2)


здесь d l - вектор с модулем d l, направленный по току, а B и есть
индукция магнитного поля в месте, где расположен элемент проводника.
 
Из формулы (6.2) при sin dl , B  =1


1 dF

.
(6.3)
I dl
Следовательно, вектор магнитной индукции численно равен
отношению силы, действующей со стороны магнитного поля на элемент
проводника с током, к произведению силы тока на длину элемента, если он
расположен перпендикулярно
вектору магнитной индукции.

Если индукция B в каждой точке поля одинакова, то такое поле
называется однородным. В случае однородного магнитного поля и
прямого проводника с током, расположенного перпендикулярно линиям
индукции, из формулы (6.2) получим
B
38
F=BIl.
(6.4)
Из формулы (6.4) имеем
F
,
Il
что позволяет простейшим образом установить единицу измерения
магнитной индукции B. В СИ магнитная индукция измеряется в теслах
(Тл). Тесла есть индукция такого однородного магнитного поля, в котором
на проводник с током в 1 ампер длиной 1 метр, расположенный
перпендикулярно линиям индукции, действует сила в 1 ньютон.
Примером практического применения действия магнитного поля на
проводник
с
током
служат
электроизмерительные
приборы
магнитоэлектрической системы.
B
Принцип действия прибора магнитоэлектрической системы
Устройство прибора магнитоэлектрической системы, который может
служить для измерения тока, напряжения и т.п. показано на рис. 6.1.
Полюсные наконечники постоянного магнита имеют цилиндрическую
расточку, в которой по оси установлен стальной сердечник. Между
полюсами и сердечником образуется зазор с радиальным магнитным
полем, индукция которого одинакова по величине во всех точках зазора
(рис. 6.2). Рамка (см. рис. 6.1), укрепленная на оси, может вращаться в
межполюсном зазоре. При вращении две ее стороны (на рис. 6.2 они
перпендикулярны) постоянно пересекают радиальное магнитное поле в
зазоре.
Для уменьшения трения ось рамки оканчивается стальными кернами,
опирающимися на подпятники, изготовленные из агата, рубина или
корунда. С осью жестко связана стрелка прибора. При включении прибора
в электрическую цепь ток проходит по виткам рамки. При этом на
каждую
сторону
рамки,
расположенную
в
магнитном

поле зазора, действует сила F . С учетом числа витков рамки k согласно
Рис. 6.1
39
закону Ампера (6.4) имеем
F = k B I l1 ,
Рис. 6.2
(6.5)
здесь B - величина магнитной
индукции в зазоре; I - сила
тока в рамке; l1 - длина той
стороны
рамки,
которая
расположена
в
зазоре;
направление силы F определяется правилом ”левой

F
руки”. Каждая из сил
создает вращающий момент
l2 / 2, где l2 - длина стороны рамки, не
рамки, равный M1 = k B I l1
помещенной в зазор.

Направление вектора M 1 можно определить по правилу ”правого
винта”: если вращать винт так, как вращает рамку приложенная сила,
 то
поступательное движение винта указывает направление вектора M 1 . На

M
рис. 6.2 1 направлен по оси вращения рамки к нам и обозначен точкой.
Момент пары сил, приложенных к рамке
M = k B I l 1 l2 = k B I S ,
(6.6)
где S – площадь рамки, l2 – длина второй стороны рамки.
Величину k I S обозначают Pm и называют магнитным моментом
рамки. Эту величину вводят как вектор и направляют
 по положительной


Pm  k I S n , где n нормали к рамке с током. Следовательно,
единичный вектор вдоль положительной нормали к рамке.
С введением вектора Pm выражение (6.5) можно записать в
векторной форме:

 
M  Pm B ,


(6.7)

здесь B - магнитная индукция в тех местах зазора, где расположена рамка.
Используя закон Ампера, нетрудно показать, что формула (6.7)
справедлива также в случае, когда рамка
 с током расположена в
однородном магнитном поле с индукцией B .
 При изменении направления тока в рамке направление каждой из сил
F изменится на противоположное, и, следовательно, стрелка будет
отклоняться в другую сторону от положения равновесия. Поэтому
магнитоэлектрический измерительный механизм пригоден только в цепях
постоянного тока.

Для компенсации момента M служат пружины, скрепленные одним
концом с осью рамки. При повороте рамки пружины создают момент сил
упругости, пропорциональный углу поворота рамки 
40
N=C,
(6.8)

N всегда направлен
здесь C - жесткость пружины. Момент

противоположно вращающему моменту M .


Пока угол поворота  мал (| M |>| N |), рамка продолжает вращаться
под действием результирующего момента M - N. При этом угол 
увеличивается и вместе с ним увеличивается и N. Это происходит до тех
пор, пока момент сил упругости пружин N не станет равным вращающему
моменту M. Следовательно, угол, соответствующий установившемуся
положению равновесия рамки, будет удовлетворять, согласно (6.6) и (6.8),
равенству
C=kBIS.
(6.9)
Из формулы (6.9) следует, что угол поворота рамки пропорционален
току в ней. Поэтому шкала прибора магнитоэлектрической системы
равномерная.
По формуле (6.9) индукция магнитного поля в зазоре
C
B
,
(6.10)
kIS
что позволяет определить ее опытным путем, если измерить каким-либо
образом величины C, , k, S .
Порядок выполнения работы
1. Изучить принцип действия прибора магнитоэлектрической
системы.
2. Определить индукцию магнитного поля в межполюсном зазоре
прибора магнитоэлектрической системы.
2.1.Собрать
электрическую схему ( рис. 6.3, где А
A
A1
- амперметр магнитоэлектриR1
ческой системы, шкала кото- +
рого
проградуирована
в градусах
для
измерения
R2
магнитной индукции в зазоре
прибора; А1 – амперметр для
измерения силы тока в цепи.
2.2. Изменяя ток с
Рис. 6.3
помощью реостатов R1 и R2,
снять
7-10
показаний
приборов А и А1. При этом
показания прибора А должны быть сняты в пределах всей шкалы, т.е. от 0
до 90о.
41
2.3. Результаты измерений занести в табл. 1. По формуле (6.10) для
каждой пары I и  определить Bi и < B>. Необходимые данные о приборе
А взять из табл. 2.
Таблица 1
№
I,А
Bi , Tл.
|<B> - Bi | |<B> - Bi |2
 , град
n/n
1
2
3



<>
№
n/n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Инвентарный
номер прибора
078426
007636
096794
411841
085207
214273
016776
074495
093837
С,10 Нм/град
S , 10 м
33
37
29
29
20
24
24
18
21
418
418
418
418
350
350
350
350
350
-6
-8
2
Таблица 2
k
15
15
15
15
20
20
20
20
20
2.4. Вычислить полуширину доверительного интервала
 | B B
i
 B  t ( n )
|2
i
n ( n  1)
и результат записать в виде
B = <B>   B,  = . . . , ε b 
ΔB
100%.
B
3. Построить график зависимости  = f (I). Анализируя график,
сделать выводы относительно шкалы прибора и индукции магнитного поля
в межполюсном зазоре прибора.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Чем создается и как обнаруживается магнитное поле?
2. Как направлен вектор индукции магнитного поля?
42
3. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле
(закон Ампера).
4. Величина индукции магнитного поля ( физический смысл
индукции магнитного поля ), единицы ее измерения в СИ.
5. Принцип действия прибора магнитоэлектрической системы.
6. Вывод расчетной формулы для определения магнитного поля в
воздушном зазоре прибора.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ЛИНЗЫ
С ПОМОЩЬЮ КОЛЕЦ НЬЮТОНА
Цель работы: пронаблюдать на опыте интерференцию света в
тонкой пленке (в воздушном слое между линзой и пластинкой) в виде
колец Ньютона и познакомиться с методом определения радиуса
кривизны линзы с помощью колец Ньютона.
Приборы и принадлежности: плосковыпуклая линза, поставленная
выпуклой стороной на плоскопараллельную пластину и закрепленная на
ней; микроскоп;
источник света; небольшая часть линейки с
миллиметровой шкалой.
Сведения из теории
В основе определения радиуса кривизны линзы или длины волны
света с помощью колец Ньютона лежит явление интерференции.
Сущность явления интерференции заключается
в
отсутствии
суммирования интенсивностей световых волн при их наложении, т.е.
при наложении световых волн происходит перераспределение светового
потока в пространстве, в результате чего в одних точках пространства
возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности.
Необходимым условием интерференции световых волн является их
когерентность: постоянство во времени разности фаз колебаний вектора E
(и соответственно вектора
H) в произвольной точке
встречи
складываемых электромагнитных волн.
Известно, что два независимых источника света не дают
когерентных волн. Для получения последних пучок (луч) света от одного
источника
делят
каким-либо
способом на две
части
или
непосредственно выделяют два пучка (луча) от одного источника,
направляют их разными путями, а затем сводят в одну область
пространства.
В данной лабораторной работе два когерентных луча получают
следующим образом. Плосковыпуклую линзу кладут выпуклой стороной
на стеклянную пластину (рис. 7.1). На линзу направляют нормально к
плоской поверхности пучок параллельных монохроматических лучей.
43
Каждый луч проходит линзу и на верхней границе воздушного клина
делится на два: один отражается от верхней границы клина, другой
проходит клин и отражается от его нижней
границы. Из-за малой кривизны линзы
преломление света на ее выпуклой
поверхности практически не происходит,
и два отраженных луча идут вдоль
падающего (см. рис. 7.1).
Они когерентны, так как получены
путем разделения одного падающего луча.
Оптическая разность хода двух
отраженных
лучей будет одинакова
для всех пар лучей, находящихся на
равном расстоянии от точки касания
линзы, т.е. там, где одинакова толщина
Рис. 7.1
слоя
b.
Поэтому
наблюдаемые
интерференционные полосы называются полосами равной толщины и
имеют вид темных и светлых колец - колец Ньютона.
Обозначим через r радиус кольца
Ньютона, соответствующий
толщине воздушного слоя b (рис. 7.1).
Между двумя отраженными в
этом месте
лучами оптическая разность хода
Δ  2b  λ 2 ,
(7.1)
где  - длина волны в вакууме.
Добавление /2 обусловлено следующим. В электромагнитной
волне векторы E, H, v составляют правовинтовую систему (рис. 7.2,а). При
отражении вектор скорости v скачком меняет свое направление на
противоположное. При этом должно измениться на противоположное
направление векторов E или H. Опыты
а
б
в
Рис. 7.2
показывают, что при отражении от среды, оптически более плотной (с
большим показателем
преломления), меняет
направление
на
противоположное вектор E (рис. 7.2,б). Изменение направления вектора E
или H на противоположное эквивалентно скачкообразному изменению
44
фазы колебаний E или H на  или, иначе, прохождению соответствующей
составляющей электромагнитной волны расстояния /2.
Поскольку световое воздействие на глаз, фотопластинку,
фотоэлемент обусловлено вектором E, а не H, то за счет отражения второго
луча от среды с большим показателем преломления к его оптической
длине пути следует добавить /2.
Найдем радиусы колец Ньютона в отраженном свете. Из рис. 7.1
видно, что
R2 = (R - b)2 + r2 = R2 - 2Rb + b2 + r2 ,
(7.2)
где R - радиус кривизны линзы. Из выражения (7.2) с учетом малости b2
получим
r2
2b =
.
(7.3)
R
Подставляя 2b из выражения (7.3) в выражение (7.1), получим
=
r2 λ

R 2
.
(7.4)
Подставляя в (7.4) условие минимума 
(2k+1) /2, а затем условие
максимума = k, где k = 1,2,3..., определим радиусы темных и
светлых колец в отраженном свете:
rт = kλR ,
(7.5)
rсв =
( 2k  1 )λR
,
2
(7.6)
где k - номер кольца.
Казалось бы, именно эти формулы могут быть использованы для
определения R. Однако, чтобы исключить ошибку, связанную с
определением номера кольца, для работы выбирают не одно, а два кольца.
Пусть их номера k=i и k=m, тогда
ri 
i λ R , rm  m λ R .
(7.7)
Возводя выражения (7.7) в квадрат и вычитая одно из другого, получим
r2 т,i - r2 т,m = (i - m)  R .
(7.8)
Формула (7.8) справедлива и для светлых колец. Так как центр
кольца устанавливается с большой погрешностью, на опыте измеряют не
радиус, а диаметр кольца D. Тогда формула (7.8) примет вид
D2i - D2m = 4(i - m)  R .
(7.9)
45
Описание установки
Стеклянная пластина и плосковыпуклая линза, радиус выпуклой
поверхности которой следует определить, помещаются на столик
микроскопа, с помощью которого и наблюдаются увеличенные кольца
Ньютона. В качестве источника света используется газоразрядная
неоновая лампочка. Диаметры колец измеряются по шкале,
вмонтированной в окуляр. Цена деления
окулярной шкалы 
определяется экспериментально.
Выполнение работы
1. Определение цены деления окулярной шкалы
1.1. Включить неоновую лампочку в сеть 220 В.
1.2. Часть линейки с миллиметровыми делениями подвести под
микроскоп и навести на резкость. При этом в поле зрения должны быть
видны две соседние риски, т.е. один миллиметр линейки.
1.3. Подсчитать число делений N (больших или малых) окулярной
шкалы, уложившихся между левыми краями изображения рисок, а затем
между правыми. Помещая в поле зрения соседние миллиметры линейки,
проделать то же самое.
1.4. Рассчитать среднее значение <N> и среднюю цену деления для
окулярной шкалы <> = 1/<N> в миллиметрах на деление (большое или
малое).
1.5. Определить относительную погрешность  =  / <>,
предварительно установив связь  с относительной погрешностью
N/<N>
на основании формулы относительной погрешности при
косвенных измерениях (см. теорию погрешностей). N найти по формуле
n
ΔN  t ,n
( N   N  )
2
i
1
n( n  1 )
(7.10)
при 
риментатором).
1.6. Найти абсолютную погрешность 
и записать результат
измерения  в виде доверительного интервала. Результаты измерений и
вычислений занести в табл. 1.
2. Определение радиуса кривизны линзы
Подвести кольца Ньютона под объектив микроскопа и "поймать" их
в окуляр. Для этого следует перемещать пластинку с линзой в
горизонтальных направлениях, а тубус микроскопа - вверх и вниз.
46
Чтобы свет от лампочки попадал в микроскоп после отражения от
границ воздушного слоя между линзой и пластинкой, последние
Таблица 1
2
Номер
N
(Ni - <N>)
(Ni - <N>) Результаты
измерения
вычислений
1
>=1/<N>
2
= ...
.
N=…
.

= 
/
...
<>=…
=N/<N>2...
…
Cумма
Ср.
значение
=<>=…
расположены наклонно к оси микроскопа. В результате этого кольца
Ньютона видны в виде эллипсов. Понятно, что истинному диаметру
кольца соответствует большая ось эллипса, вдоль которой и следует
расположить окулярную шкалу.
2.2. Произвести отсчеты х1 и х2 положений диаметрально
противоположных точек середин темных (светлых) колец Ньютона,
вычислить диаметры колец и их квадраты.
2.3. Выбрать номера колец i и m, наиболее далекие друг от друга для
избежания больших погрешностей, рассчитать для каждой пары
Di2  Dm2
и T.
2.4. Как следует из вышесказанного, диаметр кольца Ньютона можно
непосредственно измерить в делениях окулярной шкалы. Умножая этот
результат на величину , выраженную в мм/дел., получим диаметр в
миллиметрах. Из формулы (7.9) выразим радиус кривизны линзы:
( Di2  Dm2 )β 2
R
,
(7.11)
4( i  m )λ
где диаметр D выражен в тех же делениях окулярной шкалы (в больших
или в малых), что и N. Усредненная длина волны света неоновой
лампочки  = (640 + 30) нм.
Di2  Dm2
В целях упрощения расчетов величину
обозначим через T.
4( i  m )
Тогда
47
β2
R =T
λ
По
<R>
формуле
(7.12)
определить
(7.12)
2.5. Подсчитать абсолютную погрешность:
2
2
2
 Δβ   Δλ 
 ΔT 
  
ΔR  R  
  4
 ,
T 
β  λ 
(7.13)
где T найти по формуле, аналогичной формуле (7.13).
2.6. Результаты измерений и вычислений занести в табл. 2.
Записать окончательный результат в виде доверительного интервала с
указанием надежности и относительной погрешности.
Таблица 2
2
2
2
Номер х1
х2
D
D
i - m D i -D m T Т - <T> (T -<T>)2
кольца
1
2
.
.
.
Сумма
Ср.знач.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Явление интерференции света.
2. Когерентность.
3. Оптическая длина пути и оптическая разность хода.
4. Условия максимумов и минимумов при интерференции.
5. Явления, происходящие при отражении: от среды, оптически
более плотной; от среды, оптически менее плотной.
6. Линии равной толщины. Кольца Ньютона.
7. Вывод расчетной формулы.
8. Ход эксперимента по определению радиуса кривизны линзы или
длины волны света с помощью колец Ньютона.
9. Вычисления погрешностей измерений.
48
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ДИФРАКЦИИ СВЕТА
С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ
Цель работы: изучить явление дифракции в монохроматическом
свете при помощи дифракционной решетки и щели.
Приборы и принадлежности: лазер, дифракционная решетка (или
щель), измерительная линейка и экран.
Сведения из теории
Дифракцией света называют явления, вызванные нарушением
цельности волновой поверхности. Дифракция проявляется в нарушении
прямолинейности распространения колебаний. Волна огибает края
препятствия и проникает в область геометрической тени. Дифракционные
явления присущи всем волновым процессам, но проявляются особенно
отчетливо лишь в тех случаях, когда длины волн излучений сопоставимы
с размером препятствий.
С точки зрения представлений геометрической оптики о
прямолинейном распространении света граница тени за непрозрачным
препятствием резко
очерчена лучами, которые проходят мимо
препятствия, касаясь его поверхности. Следовательно, явление
дифракции
необъяснимо с позиций геометрической оптики. По
волновой теории Гюйгенса, рассматривающей каждую точку поля
волны как источник вторичных волн, распространяющихся по всем
направлениям, в том числе и в область геометрической тени
препятствия, вообще неясно, как может возникнуть сколько-нибудь
отчетливая тень. Тем не менее, опыт убеждает нас в существовании тени,
но не резко очерченной, как утверждает теория
прямолинейного
распространения света, а с размытыми краями. Причем в области
размытости наблюдается система интерференционных максимумов и
минимумов освещенности.
Принцип Гюйгенса – Френеля
Особенность дифракционных эффектов состоит в том, что
дифракционная картина в каждой точке пространства является
результатом интерференции лучей от большого числа вторичных
источников Гюйгенса. Объяснение этих эффектов было осуществлено
Френелем и получило название принципа Гюйгенса - Френеля.
Сущность принципа Гюйгенса - Френеля можно представить в виде
нескольких положений:
1. всю волновую поверхность, возбуждаемую каким-либо
источником S0 площадью S, можно разбить на малые участки с равными
площадями dS, которые будут являться системой вторичных источников,
испускающих вторичные волны;
49
2. эти вторичные источники, эквивалентные одному и тому же
первичному источнику S0, когерентны между собой. Поэтому волны,
распространяющиеся от источника S0, в любой точке пространства должны
являться результатом интерференции всех вторичных волн;
3. мощности излучения всех вторичных источников - участков
волновой поверхности с одинаковыми площадями – одинаковы;
4. каждый вторичный источник (с площадью dS) излучает
преимущественно в направлении внешней нормали n к волновой
поверхности в этой точке; амплитуда вторичных волн в направлении,
составляющем с n угол , тем меньше, чем больше угол и равна нулю
при 
5. амплитуда вторичных волн, дошедших до данной точки
пространства, зависит от расстояния вторичного источника до этой точки:
чем больше расстояние, тем меньше амплитуда;
6. когда часть волновой поверхности S прикрыта непрозрачным
экраном, вторичные волны излучаются только открытыми участками этой
поверхности. При этом часть световой волны, закрытая непрозрачным
экраном, не действует совсем, а открытые области волны действуют так,
как если бы экрана совсем не было;
Принцип Гюйгенса - Френеля позволяет объяснить
явление
дифракции и дать методы ее количественного расчета.
Различают два случая дифракции. Если преграда, на которой
происходит дифракция, находится вблизи от источника света или от
экрана, на котором производится наблюдение, то фронт падающих или
дифрагированных волн имеет криволинейную поверхность; этот случай
называется дифракцией Френеля или дифракцией в расходящихся
лучах.
Если падающие и дифрагированные волны плоские, явление
значительно упрощается; этот частный случай называется дифракцией
Фраунгофера или дифракцией в параллельных лучах.
Плоские волны получаются либо удалением источника света и
места наблюдения от преграды, вызывающей дифракцию, либо
применением соответственного расположения линз.
Метод зон Френеля
Дифракция Френеля играет основную роль в волновой теории, ибо,
вопреки принципу Гюйгенса и на основе принципа Гюйгенса - Френеля,
объясняет прямолинейность распространения света в свободной от
препятствий однородной среде. Чтобы показать это, рассмотрим действие
сферической световой волны от точечного источника S0 в произвольной
точке пространства P (рис. 8.1). Волновая поверхность такой волны
50
Рис. 8.1.
симметрична относительно прямой S0P. Амплитуда искомой волны в точке
P зависит от результата интерференции вторичных волн, излучаемых
всеми участками dS поверхности S. Амплитуды и начальные фазы
вторичных волн зависят от расположения соответствующих источников
dS по отношению к точке P.
Воспользовавшись симметрией задачи, Френель предложил
оригинальный метод разбиения волновой поверхности на зоны (метод зон
Френеля). По этому методу волновая поверхность разбивается на
кольцевые зоны (рис.8.1), построенные так, что расстояния от краев
каждой зоны до точки P отличаются на  ( - длина световой волны в
той среде, в которой распространяется волна). Если обозначить через r0
расстояние от вершины волновой поверхности 0 до точки P, то расстояния
r0 + k() образуют границы всех зон, где k - номер зоны. Колебания,
приходящие в точку P от аналогичных точек двух соседних зон,
противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки P
равна . Поэтому при наложении эти колебания взаимно ослабляют друг
друга, и результирующая амплитуда выразится суммой:
A = A1 - A2 + A3 - A4 + ....
(8.1)
Величина амплитуды Ak зависит от площади Sk k-й зоны и угла k
между внешней нормалью к поверхности зоны в любой ее точке и
прямой, направленной из этой точки в точку P.
Можно показать, что площадь Sk k-й зоны не зависит от номера
зоны в условиях r0. Таким образом, в рассматриваемом приближении
площади всех зон Френеля равновелики и мощность излучения всех зон
Френеля - вторичных
источников - одинакова. Вместе с тем, с
увеличением k возрастает угол k между нормалью к поверхности и
направлением в точку P, что приводит к уменьшению интенсивности
излучения k-й зоны в данном направлении, т.е. к уменьшению амплитуды
Ak по сравнению с амплитудами предыдущих зон. Амплитуда Ak
уменьшается также вследствие увеличения расстояния от зоны до точки P
с ростом k. В итоге
A1 > A2 > A3 > A4 > ... > Ak > ...
51
Вследствие большого числа зон убывание Ak носит монотонный
характер и приближенно можно считать, что
A  Ak 1
Ak  k 1
.
(8.2)
2
Переписав (8.1) в виде
A A
A A
A
A  1   1  A2  3    3  A4  5  ... ,
(8.3)
2  2
2  2
2
обнаруживаем, что, согласно (8.2) и с учетом малости амплитуды
удаленных зон, все выражения в скобках равны нулю и уравнение (8.1)
приводится к виду
A = A1 / 2.
(8.4)
Полученный результат означает, что колебания, вызываемые в точке
P сферической волновой поверхностью, имеют такую же амплитуду, как
если бы действовала только половина центральной зоны Френеля.
Следовательно, свет от источника S0 в точку P распространяется как бы в
пределах очень узкого прямого канала, т.е. прямолинейно. Мы
приходим к выводу, что в результате явления интерференции
уничтожается действие всех зон, кроме первой.
Дифракция Фраунгофера на одной щели.
Практически щель представляется прямоугольным отверстием,
длина которого значительно больше ширины. В этом случае свет
дифрагирует вправо и влево от щели (рис. 8.2). Если наблюдать
изображение источника в направлении, перпендикулярном направлению
образующей щели, то
можно ограничиться
рассмотрением
дифракционной картины в одном измерении (вдоль х).
Если волна падает
нормально к плоскости
щели, в соответствии с принципом Гюйгенса
- Френеля, точки щели являются вторичными
источниками волн, колеблющимися в одной
фазе, так как плоскость
щели совпадает с
фронтом падающей волны. Разобьем площадь
щели на ряд узких полосок равной ширины,
параллельных образующей щели. Фазы волн
от разных полосок на одинаковых расстояниях, в
Рис.8.2
силу вышесказанного, равны, амплитуды также
равны, ибо выбранные элементы имеют равные площади и одинаково
наклонены к направлению наблюдения.
Если бы при прохождении света через щель соблюдался закон
прямолинейного распространения света (не было бы дифракции), то на
экране Э, установленном в фокальной плоскости линзы L2, получалось бы
изображение щели. Следовательно, направление 
определяет
52
недифрагированную волну с амплитудой A0, равной амплитуде волны,
посылаемой всей щелью.
Вследствие
дифракции
световые
лучи
отклоняются
от
прямолинейного распространения на углы . Отклонение вправо и влево
симметрично относительно осевой линии OC0 (рис. 8.5, C и C-Для
отыскания действия всей щели в направлении, определяемом углом ,
необходимо учесть разность фаз, характеризующую волны, доходящие до
точки наблюдения C от различных полосок (зон Френеля), ибо, как
указывалось выше, в побочном фокусе линзы C собираются все
параллельные лучи, падающие на линзу под углом к ее оптической оси
OC0, перпендикулярной фронту падающей волны.
Проведем плоскость FD, перпендикулярную к направлению
дифрагированных лучей и представляющую фронт новой волны. Так как
линза не вносит дополнительной разности хода лучей, ход всех лучей от
плоскости FD до точки C одинаков. Следовательно, полная разность хода
лучей от щели FE задается отрезком ED. Проведем плоскости,
параллельные волновой поверхности FD, таким образом, чтобы они
разделили отрезок ED на несколько участков, каждый из которых имеет
длину  (рис. 8.2). Эти плоскости разделят щель на вышеупомянутые
полоски - зоны Френеля, причем разность хода от соседних зон равна
 в соответствии с методом Френеля. Тогда результат дифракции в
точке C определится числом зон Френеля, укладывающихся в щели (см.
дифракцию Френеля на круглом отверстии): если число зон четное (z =
2k), в точке C наблюдается минимум дифракции, если z - нечетное (z =
2k+1), в точке C - максимум дифракции. Число зон Френеля,
укладывающихся на щели FE, определяется тем, сколько раз в отрезке ED
содержится  т.е. z 
ED
. Отрезок ED, выраженный через ширину щели
λ/2
а и угол дифракции , запишется как ED = а sin .
В итоге для положения максимумов дифракции получаем условие
а sin  =  (2k + 1) 
(8.5)
для минимумов дифракции
а sin  =  2k  (8.6)
где k = 1,2,3.. - целые числа. Величина k, принимающая значения чисел
натурального ряда, называется порядком дифракционного максимума.
Знаки + и - в формулах (8.5) и (8.6) соответствуют лучам света,
дифрагирующим от щели под углами +и -и собирающимся в
побочных фокусах линзы L2: C и C-, симметричных относительно
главного
фокуса C0. В направлении = 0 наблюдается
самый
интенсивный центральный максимум нулевого порядка, ибо колебания от
всех зон Френеля приходят в точку C0 в одной фазе.
Положение максимумов
дифракции
по
формуле (8.5)
соответствует углам
53
λ
a
λ
a
  arcsin1,5 ;   arcsin2,5 ;   arcsin3,5
λ
и т.д.
a
На рис. 8.6 приведена кривая
распределения интенсивности
света в
функции sin . Положение центрального
максимума ( = 0) не зависит от длины
волны и, следовательно, является общим
для всех длин волн. Поэтому в случае
белого света центр дифракционной
картины представится в виде белой
полоски. Из рис. 8.3 и формул (8.5) и
(8.6) ясно, что положение максимумов и
Рис. 8.3
минимумов зависит от длины волны.
Поэтому простое чередование темных и светлых полос имеет место
только при монохроматическом свете. В случае белого света
дифракционные картины для волн с разными 
сдвигаются
в
соответствии с длиной волны. Центральный максимум белого цвета имеет
радужную окраску только по краям (на ширине щели укладывается
одна зона Френеля). Боковые максимумы для разных длин волн уже
не совпадают между собой;
ближе
к центру располагаются
максимумы, соответствующие более коротким волнам. Длинноволновые
максимумы отстоят друг от друга дальше ( = arcsin /2), чем
коротковолновые. Поэтому дифракционный максимум
представляет
собой спектр, обращенный к центру фиолетовой частью. Полное
гашение света не происходит ни в одной точке экрана, так как
максимумы и минимумы света с разными  перекрываются.
Дифракционная решетка
Рассмотрим дифракцию на одномерной дифракционной решетке,
так как этот случай дифракции находит широкое применение во многих
экспериментальных методах спектрального анализа.
Дифракционная решетка представляет собой систему большого
числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, лежащих
в одной плоскости и разделенных непрозрачными промежутками,
равными по ширине. Дифракционная решетка изготавливается путем
нанесения параллельных штрихов на поверхность стекла с помощью
делительных машин. Места, прочерченные делительной машиной,
рассеивают свет во все стороны и являются, таким образом, практически
непрозрачными промежутками между неповрежденными частями
пластинки, которые играют роль щелей. Число штрихов на 1 мм
определяется областью спектра исследуемого излучения - от 300 1/мм (в
инфракрасной области) до 1200 1/мм (в ультрафиолетовой).
54
Итак,
имеется
система
из
N
параллельных щелей с шириной каждой щели
a и расстоянием между соседними щелями
b (рис.8.4). Сумма a + b = d называется
периодом или постоянной дифракционной
решетки. На решетку нормально падает
плоская монохроматическая волна. Требуется
исследовать интенсивность света, распространяющегося
в направлении, составляющем угол  с нормалью к плоскости решетки.
Рис. 8.4.
Кроме распределения интенсивности вследствие дифракции на каждой щели, нужно
учесть
интерференцию между N пучками (перераспределение световой энергии за счет
интерференции волн от N щелей когерентных источников).
Очевидно, что минимумы будут находиться на прежних местах, ибо
условие минимума дифракции для всех щелей (рис. 8.5) одинаково. Эти
Рис. 8.5
минимумы называются главными. Условие главных минимумов
a sin 
=  kсовпадает с условием (8.8).
Положение главных минимумов sin  =  a, 2 /a,... показано на
рис. 8.5. Однако в случае многих щелей к главным минимумам,
создаваемым каждой щелью в отдельности, добавляются минимумы,
возникающие в результате интерференции света, прошедшего через
различные
щели. Появляются добавочные минимумы в областях
дифракционных максимумов. Внешне это проявляется в том, что широкие
полосы, даваемые одной узкой щелью, покрываются рядом более тонких
полос, вызванных интерференцией лучей, исходящих от разных щелей:
первой и второй, первой и третьей и т.д. Чем больше щелей, тем больше
добавочных минимумов может возникнуть. Так как общий световой поток
остается неизменным, происходит усиление световых потоков около
направлений, удовлетворяющих условиям усиления при интерференции
от разных щелей, за счет уменьшения световой энергии в других
направлениях. На
рис. 8.5
для примера показано распределение
55
интенсивности и расположение максимумов и минимумов в случае двух
щелей с периодом d и шириной щели a.
В одном и том же направлении все щели излучают совершенно
одинаково. Амплитуды колебаний одинаковы. И результат интерференции
зависит от разности фаз колебаний, исходящих от сходственных точек
соседних щелей (например, C и E, B и F), или от оптической разности хода
ED от сходственных точек двух соседних щелей до точки C. Для всех
сходственных точек эта разность хода одинакова. Если ED =  k или,
так как ED = d sin,
d sin =  k, k = 0,1,2...,
8.7)
колебания соседних щелей взаимно усиливают друг друга, и в точке C
фокальной плоскости линзы наблюдается максимум дифракции.
Амплитуда суммарного колебания в этих точках экрана максимальна:
Amax = N A ,
(8.8)
где A - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом ;
интенсивность
Jmax = N2A2 = N2J .
(8.9)
Поэтому формула (8.9) определяет положение главных максимумов
интенсивности. Число k дает порядок главного максимума.
Положение главных максимумов (8.9) определяется соотношением
λ
2λ
3λ
sin  max   ,

,
 ... .
(8.10)
d
d
d
Максимум нулевого порядка один и расположен в точке C0, максимумов
первого, второго и т.д. порядков по два, и расположены они симметрично
относительно C0, на что указывает знак +. На рис. 8.5 показано положение
главных максимумов.
Кроме главных максимумов, имеется большое число более слабых
побочных
максимумов, разделенных добавочными минимумами.
Побочные максимумы значительно слабее главных. Расчет показывает,
что интенсивность побочных максимумов не превышает 1/23
интенсивности ближайшего главного максимума.
В главных максимумах амплитуда в N раз, а интенсивность в N2 раз
больше, чем дает в соответствующем месте одна щель. Это увеличение
максимумов происходит за счет того, что отдельные яркие главные
максимумы разделены темными областями добавочных минимумов и
очень слабых побочных максимумов (пропорционально 1/N), которые
становятся более узкими (тонкими и яркими). Такие яркие линии, четко
локализованные в пространстве, легко обнаруживаются и могут быть
использованы в целях спектроскопических исследований.
По мере удаления от центра экрана интенсивность дифракционных
максимумов убывает (увеличивается расстояние от источников). Поэтому
не удается наблюдать все возможные дифракционные максимумы.
Заметим, что количество дифракционных максимумов, даваемых решеткой
56
по одну сторону экрана, определяется условием sin 1 ( = максимальный угол дифракции), откуда с учетом (8.7)
d
k max  .
(8.11)
λ
При этом не следует забывать, что k - целое число.
Положение главных максимумов зависит от длины волны .
Поэтому при освещении дифракционной решетки белым светом все
максимумы, кроме центрального (k= 0), разложатся в спектр, обращенный
фиолетовым концом к центру дифракционной картины. Таким образом,
дифракционная решетка может служить для исследования спектрального
состава света, т.е. для определения частот (или длин волн) и
интенсивности всех его монохроматических компонент. Применяемые
для этого приборы называются дифракционными спектрографами, если
исследуемый спектр регистрируется с помощью
фотопластинки, и
дифракционными спектроскопами, если спектр наблюдается визуально.
Характеристики дифракционной решетки
Качество дифракционной решетки характеризуется ее угловой
дисперсией и разрешающей силой.
Угловая дисперсия. Основное назначение дифракционной решетки установление длины волны исследуемого излучения, т.е. определение
различия в длинах волн двух близких спектральных линий. Так как
положение спектральных линий задается
углом, определяющим
направление лучей (формула 8.9), целесообразно ввести
угловую
дисперсию D - угловое расстояние между двумя линиями, отличающимися
по длине волны на 1 нм (рис. 8.6),
δ
D
.
(8.12)
δλ
Угловую
дисперсию
дифракционной
решетки можно найти, взяв дифференциал от (8.7):
d cos d = k d , откуда
k
D
.
(8.13)
dcos
Чем меньше период решетки d и чем выше
Рис. 8.6
порядок
спектра k, тем больше угловая
дисперсия. В пределах небольших углов (cos   1)
можно положить
D=k/d.
(8.14)
Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких
спектральных линий зависит не только от расстояния между ними,
которое определяется дисперсией решетки D, но и от ширины
спектрального максимума.
57
Если максимумы спектральных линий расположены настолько
близко, а ширина максимумов так велика, что минимум между линиями
исчезает (рис. 8.7, a, сплошная кривая) или этот минимум есть, но
a
б
Рис.8.7
в
интенсивность в промежутке между максимумами составляет более 80% от
интенсивности максимума (рис. 8.7,б, сплошная кривая), то оба
максимума ( и ) воспринимаются как один. Два близких максимума
воспринимаются глазом раздельно, если интенсивность в промежутке
между ними составляет не более 80% от интенсивности максимума
(рис. 8.7,в, сплошная кривая). Согласно критерию Рэлея такое
соотношение интенсивности имеет место, если
середина
одного
максимума совпадает с краем другого.
Разрешающая сила. Разрешающей силой R решетки называется
величина, обратная минимальной разности длин волн  (взятой около
некоторой длины волны ), разделенных (разрешенных) данной решеткой:
R =  .
(8.15)
R = kN ,
(8.16)
Можно показать, что
где N - общее число щелей решетки; k - порядок спектра.
Большая разрешающая сила решетки достигается за счет больших
значений N.
Описание установки
Схема экспериментальной установки представлена на рис. 8.8, где: 1оптическая скамья, 2 - источник света - лазер, 3 - рейтер для установки
дифракционной решетки (или щели) 4; 5 - рейтер для установки экрана 6.
58
Рис. 8.8
Рис. 8.9
Так как в нашем случае в качестве источника света используется
лазер, дающий когерентный строго параллельный малого сечения пучок
света, то в установку нет необходимости вводить линзы, которые обычно
ставят впереди и позади дифракционной решетки. Дифракционная картина
получается четкой и при сравнительно небольшом расстоянии экрана до
дифракционной решетки.
На рис. 8.9 сплошными линиями показаны лучи, дающие на экране в
результате интерференции максимумы, пунктирными - лучи, дающие
минимумы.
Выполнение работы
1. Определение длины световой волны лазерного луча
1.1. Ознакомиться с установкой.
1.2. Дифракционную решетку вставить в рамку рейтера 3.
1.3. Включить лазер в сеть.
1.4. Направить луч лазера на дифракционную решетку и, передвигая
вдоль скамьи рейтер 3, установить его в таком месте, чтобы
дифракционная картина была четкой и, по возможности, занимала бы
большую часть шкалы.
1.5. По шкале произвести отсчет координат хл и хп одномерных
максимумов всех порядков слева и справа от нулевого максимума.
Результаты занести в табл. 1.
1.6. Измерить с помощью линейки расстояние L между
дифракционной решеткой и плоскостью экрана. Выписать с
дифракционной решетки значение постоянной решетки d.
1.7. Вычислить расстояние lк между максимумами каждого порядка,
а также tg к. Найти к и sin к. Результаты занести в табл. 1.
d sin  ђ
1.8. По формуле λ 
(см. 8.7) вычислить длину волны 
k
Таблица 1
59
Порядок
максимумов
1
.
.
5
хп
хл
d=
,
lk = хп -хл
tg к

к
L=
sin к
λ
d sin 
k
лазерного луча по данным для каждого порядка максимумов и среднее
значение длины волны <>.
1.9. Вычислить угловую дисперсию и разрешающую способность
дифракционной решетки для третьего порядка спектра.
2. Определение ширины щели
2.1. В рамку рейтера 3 вместо дифракционной решетки вставить
металлическую щель.
2.2. Направляя луч лазера на щель, передвигая рейтер 3 и изменяя
ширину щели (если это предусмотрено), добиться четкой дифракционной
картины.
2.3. Измерить расстояние между крайними минимумами одного
порядка и расстояние L от щели до экрана.
2.4. Вычислить sinк. Так как угол к в этом случае мал, то
l
sin  k  tg  k  k .
2L
 k
2.5. По формуле a 
(см. 8.6) вычислить ширину щели.
sin  ђ
Значения  (<>) определены в упражнении 1. Результат занести в табл. 2.
Порядок
мини- хп
мума
Таблица 2
<>
хл
lk = xп - хл
L
tg  ђ 
lk
= sin к
2L
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дифракция света.
2. Принцип Гюйгенса - Френеля.
3. Метод зон Френеля.
a
kλ
sin  ђ
60
4. Дифракция света на одной щели. Условия максимума и минимума.
5. Как
выглядит дифракционная картина от дифракционной
решетки.
Условия максимума. Как меняется картина с увеличением
числа щелей.
6. Сравнить
дифракционную
картину
от
решетки
в
монохроматическом и белом свете.
7. Какими величинами характеризуют качество дифракционной
решетки?
8. Что
такое угловая (линейная)
дисперсия дифракционной
решетки. Как ее вычислить?
9. С чем связана необходимость введения “разрешающей силы”
дифракционной решетки. Что это такое?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОТОЭЛЕМЕНТОВ
Цель работы: снять вольт-амперную
и
люкс-амперную
характеристики вакуумного фотоэлемента и фотосопротивления.
Приборы и принадлежности: оптическая скамья, вакуумный
фотоэлемент СЦВ-4, фотосопротивление, вольтметр, миллиамперметр,
выпрямитель, источник света.
Сведения из теории
Действие фотоэлементов основано на явлениях внешнего и
внутреннего фотоэффектов.
Внешним фотоэффектом называется явление испускания электронов
металлами под действием света. Для внешнего фотоэффекта характерны
следующие закономерности.
1. Число электронов, испускаемых веществом в единицу времени,
пропорционально интенсивности падающего света.
61
2. Начальная скорость вылетевших электронов определяется
частотой света и не зависит от его интенсивности. С увеличением частоты
падающего света скорость электронов увеличивается.
3. Для каждого вещества существует так называемая красная граница
фотоэффекта, т.е. минимальная частота света 0, при которой еще имеет
место фотоэффект. Величина 0 зависит от химической природы вещества
и состояния его поверхности.
4. Фотоэффект практически безынерционен, т.е. между началом
освещения и возникновения фотоэффекта нет заметного промежутка
времени.
Закономерности фотоэффекта не укладываются в рамки
классической электромагнитной теории света.
Эйнштейн
показал,
что
все
основные
закономерности
фотоэлектрического эффекта непосредственно объясняются, если
предположить, что свет поглощается такими же порциями энергии, какими
он, по предположению Планка, испускается. В самом деле, при вырывании
электрона из металла энергия кванта света идет на работу выхода А
электрона из металла и на сообщение электрону кинетической энергии
mv 2
.
2
Так как порция световой энергии, поглощенной электроном при его
вырывании, равна h, то по закону сохранения энергии
mv 2
max .
hν  A 
2
Это равенство называется уравнением Эйнштейна для внешнего
фотоэффекта. Из этого уравнения следует, что минимальная порция
энергии, необходимая для вырывания, должна быть равна работе выхода А.
Следовательно, частота 0, соответствующая красной границе
фотоэффекта, 0 = A / h.
Внутренним фотоэффектом называется появление под действием
света внутри диэлектрика или полупроводника добавочных свободных
электронов.
Поглощая фотоны, связанные электроны вещества получают
энергию, но не вылетают за пределы вещества, а становятся свободными,
оставаясь внутри вещества и увеличивая его проводимость (явление
фотопроводимости).
Механизм внутреннего фотоэффекта вскрывается зонной теорией
твердых тел, согласно которой электроны, поглощая кванты света,
переходят из валентной зоны в зону проводимости.
Законы внутреннего фотоэффекта эквивалентны законам внешнего
фотоэффекта.
62
На основании внешнего и внутреннего фотоэффектов строится
большое число приемников излучения, преобразующих световой сигнал в
электрический и объединенных общим названием – фотоэлементы.
Фотоэлементы с внешним фотоэффектом
Рис. 9.2
Вакуумный
фотоэлемент
представляет
собой
откачанный
стеклянный баллон, часть внутренней
поверхности
которого
покрыта
тонким слоем светочувствительного
металла, играющего роль фотокатода.
Анод А находится в центре баллона
(рис. 9.1). При освещении фотоэлемента из катода вылетают электроны
и под действием электрического
поля попадают на анод. По цепи идет
ток.
Газонаполненный фотоэлемент содержит какой-либо инертный
газ под небольшим давлением. Первичные фотоэлектроны ионизируют
атомы газа, что приводит к увеличению тока, проходящего через элемент.
Фотоэлементы с внутренним фотоэффектом
(полупроводниковые фотоэлементы)
Фотосопротивление. Действие его основано на явлении
фотопроводимости. На рис.9.2 показано включение фотосопротивления в
электрическую
цепь.
Без освещения
фотосопротивления ток в цепи практически отсутствует, при освещении ток
возрастает в тысячи раз.
Фотосопротивления обладают чувствительностью в сотни и тысячи раз
большей,
чем
фотоэлементы
с
Рис. 9.1
внешним фотоэффектом. Кроме того,
они имеют широкий диапазон спектральной чувствительности: от
инфракрасных до рентгеновских и  - лучей. Недостатками их являются
значительная инерционность и зависимость свойств от температуры.
Вентильные фотоэлементы (фотоэлементы с запирающим слоем).
В вентильных фотоэлементах используется фотогальванический эффект
(разновидность внутреннего фотоэффекта). В отличие от других
фотоэлементов, вентильные фотоэлементы не требуют при работе
источника тока, так как сами являются таким источником.
63
Вольт-амперные и люкс-амперные характеристики фотоэлементов
Вольт-амперной характеристикой фотоэлемента называется кривая,
выражающая зависимость фототока от напряжения. На рис. 9.3 показана
вольт - амперная характеристика вакуумного фотоэлемента. Она
отличается двумя особенностями:
а) при увеличении напряжения U между анодом и катодом фототок
IФ достигает насыщения (с увеличением освещенности ток насыщения
возрастает);
б) существует такое значение
задерживающей
разности
потенциалов Uз ,
при
котором фототок прекращается. Электроны
перестают достигать анода, когда работа задерживающего электрического
mv2
поля становится равной их начальной кинетической энергии: eU 3 
,
2
где е, m и v - это заряд, масса и скорость электрона соответственно.
Вольт - амперные характеристики фотосопротивлений имеют
линейный характер.
Люкс-амперной (или световой) характеристикой фотоэлемента
называется зависимость фототока от освещенности катода при постоянном
напряжении. У вакуумных фотоэлементов световая характеристика
линейна, так как число выбитых электронов в единицу времени n
пропорционально освещенности
(Iн = е n ~ E).
Iф
Iн 2
Световая
характеристика
Iн 1
фотосопротивлений
имеет
нелинейный характер.
Применение фотоэлементов
Фотоэлементы используются
в
технике
и
в
научных
исследованиях. Например, они
UЗ
U
применяются в звуковом кино для
Рис. 9.3
воспроизведения
звука,
для
сигнализации, в телевидении, автоматике и телемеханике. Фотоэлементы
позволяют управлять на расстоянии процессами производства. При
нарушениях хода процесса изменяется поток света, попадающего на
фотоэлемент, и создается ток, выключающий весь процесс. С помощью
фотоэлементов измеряются весьма слабые световые потоки (например, в
биологии, астрофизике), регистрируются инфракрасные спектры,
осуществляется фотографирование в темноте и т.д.
Вентильные фотоэлементы используются для изготовления
“солнечных” батарей, преобразующих энергию Солнца в электрическую.
Кремневые “солнечные” батареи применяются, например, для питания
аппаратуры на искусственных спутниках Земли и автоматических
межпланетных станциях.
64
Фотоэлементы могут быть использованы для
освещенности рабочих мест. Приборы, служащие для
освещенности, называются люксметрами.
измерения
измерения
Выполнение работы
1. Ознакомиться с имеющимися на лабораторном столе приборами.
2. Снять вольт-амперную характеристику вакуумного фотоэлемента
(СЦВ-4):
2.1. Поместив фотоэлемент СЦВ-4 на оптическую скамью, собрать
электрическую цепь по рис.9.4.
2.2. Подать напряжение сети на выпрямитель и источник света.
Рис. 9.4
Изменяя напряжение U, подаваемое на фотоэлемент, от 0 до 120-150
В, снять зависимость (7-10 точек) силы фототока Iф от напряжения для
двух расстояний r1 и r2 фотоэлемента от источника света. Результаты
измерений занести в табл. 1.
П р и м е ч а н и е. Расстояния r1 и r2 необходимо подбирать такими, чтобы
шкала миллиамперметра использовалась как можно полнее. Фототок
можно измерять в относительных единицах (в делениях шкалы прибора).
Таблица 1
Номер
U, В
Iф , А
измерения
r1 =
r2 =
1
.
.
7
2.3. По измеренным данным построить графики Iф = f (U).
3. Снять люкс-амперную характеристику:
3.1. При постоянном напряжении (U = cоnst) снять зависимость силы
фототока Iф от освещенности Е фотоэлемента. Так как освещенность
1
обратно пропорциональна квадрату расстояния r ( E  2 ) , то изменять ее
r
можно путем изменения r. Результаты измерений занести в табл. 2.
65
П р и м е ч а н и е. U = сonst должно быть подобрано так, чтобы r можно
было менять в широком пределе.
3.2. По данным табл. 2 построить график Iф = f (E) = f (1 / r2).
4. Снять характеристики фотосопротивления:
Таблица 2
Номер
U, B =
измереr
Iф , А
E = 1/r2
ния
1
.
.
.
7
4.1. Выключить выпрямитель. На место фотоэлемента подключить в
цепь фотосопротивление, установив его на оптическую скамью. По
аналогии с пп. 2,3 снять одну вольт-амперную и одну люкс-амперную
кривые для фотосопротивления. Результаты занести в таблицы,
аналогичные табл. 1 и 2.
4.2. По измеренным данным построить графики Iф= f (U), Iф =f (E).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Понятие о квантовых свойствах света. Энергия кванта света.
2. Явление внешнего фотоэффекта и его закономерности.
3. Внутренний фотоэффект и его объяснение на основе зонной
теории строения вещества.
4. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, его
физический смысл.
5. “Красная граница” фотоэффекта.
6. Объяснение закономерностей фотоэффекта на основе квантовой
природы света
7. Вольт-амперные и люкс-амперные характеристики вакуумного и
газонаполненного фотоэлементов.
8. Зависимость тока насыщения фотоэлементов от освещенности.
9. Задерживающая разность потенциалов и ее связь с кинетической
энергией электрона, вылетевшего из катода в результате фотоэффекта.
10. Зависимость проводимости фотосопротивления от освещенности.
11.
Вольт-амперная
и
люкс-амперная
характеристики
фотосопротивления.
66
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Предельные приборные погрешности
некоторых приборов
№
n/n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Приборы
Линейка металлическая
Линейка деревянная
Линейка пластмассовая
Гири обычные
Штангенциркули с ценой
деления:
0.1 мм
0,005 мм
Микрометры
с
ценой
деления 0,01 мм
Весы лабораторные
Секундомеры механические
и электрические
Термометры
Хпр
Значение
меры
150… 500 мм
200… 500 мм
200… 300 мм
1,2,3г
0,1 мм
0,5 мм
1мм
6, 8, 12 мг
0-155 мм
0-250 мм
0-50 мм
0,1 мм
0,05 мм
4 мкм
до 200 г
до 30 мин
3миним.делен. шкалы
1миним.делен. шкалы
за 1 оборот секундной
(большой) стрелки
Цена миним. деления
стеклянные до 1000
67
жидкостные
шкалы, если оно =
1о,2о,5о и удвоенная
цена, если оно = 0.2о,
0,5о
2. Коэффициенты Стьюдента
Число
измерений
3
4
5
6
7
8
9
10

Надежность, 
0,9
0,95
2,9
4,3
2,4
3,2
2,1
2,8
2,0
2,6
1,9
2,4
1,9
2,4
1,9
2,3
1,8
2,3
1,6
2,0
0,5
0,82
0,77
0,74
0,73
0,72
0,71
0,71
0,79
0,67
0,98
7,0
4,5
3,7
3,4
3,1
3,0
2,9
2,8
2,3
3. Пример обработки результатов прямого измерения
Измерялась длина l стержня штангенциркуля с ценой деления  = 0,1
мм. Полученные данные приведены в таблице (вторая колонка).
№
n/n
1
2
3
4
5
6

<l>
l мм
li - <l>
l2 = (li-< l>)2
20,8
20,4
20,7
20,9
20,5
20,8
124,1
20,68
+0,12
–0,28
+0,02
+0,22
–0,18
+0,12
0,0144
0,0784
0,0004
0,0484
0,0324
0,0144
1) Находим
n
 li
 124 ,1 м м
i 1
и среднее значение
<l> =
l
n
i
= 20,68 мм
2) Находим (li - <l>), (li<l>)2 и (li - <l>)2 =188410-4
мм2.
3) Задаемся надежностью 
= 0,95
и по таблице
находим t n=2,57 и t  = 1,96
4) Вычисляем абсолютную и случайную погрешности
  li2
1884 10 4
 0,20 м м
n(n -1)
65
5) Устанавливаем предельную погрешность прибора lпр =  =0,1 мм и
вычисляем приборную погрешность
lcл = tn
 2,57
68
lпрст = t /3   = 1,96/3  0,1 = 0,085 мм
6) Погрешность округления. Отсчет по нониусу округлялся до целого
деления, значит, h =  = 0,1 мм, а
lокр =  h/2 = 0,95  0,1/2 = 0,048 мм
7) Полная абсолютная погрешность.
2
2
2
2
2
2
l = Δlсл  Δlпр  Δlокр  0,20  0,0085  0,048 = 0,22 м
8) Относительная погрешность.
l =l/<l> = 0,22/20,68 = 0,0106
 1,1 %
9) Итог: l = (22,7  0,2) мм.   1% при  = 0,95.
4. Пример обработки результатов косвенного измерения
Определялось ускорение свободного падения g с помощью
математического маятника. После обработки результатов измерений
длины маятника l и периода колебаний Т были получены данные: l = (1,203
 0,004)м при  = 0,95. Т =(2,21  0,002) с.
Связь между g, l, и Т следующая:
4π 2
4  3,14 2 1,203
м
 l 
 9,71 2
1) Вычисляем <g>; <g> =
2
2
T>
2,21
с
2) Т.к. “g” представляет собой произведение g = 42l1T-2, то сначала
вычисляем относительную ошибку.
2
g =
4     
2
2
l
2
2
T
2
2
  
 l 
  
 4
 
  4
 
  
 < l >
  T >
2
2
 0,005
 0,004 
 0,02
= 4
 
  4
 = 1,86 10-2 = 0,19
 3,14 
 1,203 
 2,2 
3) Абсолютная погрешность g = <g>  g = 9,71 0,19 = 0,184 м/с2.
Итог: g = (9,7  0,2)м/с2.   2% при  = 0,95.
5. Основные величины и единицы СИ
Физическая
величина
Длина
Масса
Время
Сила тока
Температура
Количество
вещества
Наименование
Единица измерения
метр
килограмм
секунда
Ампер
Кельвин
м
кг
с
А
К
моль
моль
69
Сила света
кандела
кд
6. Производные единицы, имеющие специальное наименование
Частота
Сила
Давление
Энергия
Мощность
Кол-во электричества
Сила тока
Электрическое напряжение
Электроемкость
Электросопротивление
Поток магнитной индукции
Магнитная индукция
Индуктивность
Световой поток
Освещенность
Активность радиоактивного распада
Поглощенная доза излучения
Герц
Ньютон
Паскаль
Джоуль
Ватт
Кулон
Ампер
Вольт
Фарада
Ом
Вебер
Тесла
Генри
люмен
люкс
Беккерель
Грэй
Гц
Н
Па
Дж
Вт
Кл
А
В
Ф
Ом
Вб
Тл
Гн
Лм
Лк
Бк
Гр
7. Абсолютные показатели преломления некоторых веществ
Вещество
Алмаз
Стекло
Кварц
Лед
(n)
2,42
1,5 - 1,6
1,46
1,31
Вещество
Вода
Глицерин
Спирт
(n)
1,33
1,47
1,36
8. Длины волн видимой области спектра
Спектральная область
Красные лучи
Желтые лучи
Зеленые лучи
Голубые лучи
Фиолетовые лучи
Длины волн, мк.
760 - 640
640 - 580
580 - 495
495 - 440
440 - 400
9. Работа выхода электронов
70
Вещество
А, эВ
Вещество
А, эВ
Алюминий
Вода
Натрий
Медь
4,20
6,10
2,28
4,36
Окись бария
Окись цезия
Цезий
Цинк
1,0 - 1,6
1,0 -1,2
1,94
4,25
Вещество
Калий
Натрий
Платина
А, Дж
3,5 10-19
3,710-19
10,0 10-19
Вещество
Серебро
Цезий
Цинк
А, Дж
7.5 10-19
3,2 10-19
6,4 10-19
10. Некоторые физические постоянные
Атомная единица массы
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Заряд электрона
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Постоянная Планка
Скорость света в вакууме
Постоянная Стефана - Больцмана
Постоянная закона смещения Вина
Постоянная Ридберга
1 а.е.м.= 1,66053 10-27 кг
0 = 4 10-7 Гн/м
0 = 8,85 10-12 Ф/м
е = 1,602 10-19 Кл
mе = 9,11 10-31 кг
mp = 1,6725 10-27 кг
mn = 1,6747 10-27 кг
h = 6,625 10-34 Джc
c = 2,9979 108 м/с
 = 5, 67 10-8 Вт/(м2 К4)
b = 2,90 10-3 м К
R = 1,10 107 м-1