Элементы квантовой механики

ТЕМА 4. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
4.1. Корпускулярно-волновая двойственность свойств вещества
Французский физик Луи де Бройль в 1924 г. пришел к выводу, что
корпускулярно-волновая двойственность свойств характерна не только для
света; движению любой микрочастицы соответствует некий волновой
процесс, не имеющий аналогов в классической физике. Можно сказать, что
это математический формализм, используемый для того, чтобы придать
движению микрочастиц волновой характер.
Де Бройль обобщил соотношение
(4.1)
P  h/
между импульсом фотона и длиной волны электромагнитного излучения,
предположив, что оно имеет универсальный характер и применимо к любой
микрочастице. Иначе говоря, если микрочастица имеет импульс P , то
движению этой частицы соответствует волна, длина которой равна h / P
(волна де Бройля). Равенство (4.1) называется формулой де Бройля и
является одним из соотношений, составляющих основу квантовой физики.
Формула де Бройля получила блестящее подтверждение в опытах
Дэвиссона и Джермера, исследовавших в 1927 г. отражение пучка электронов
от монокристалла никеля. Если скорость электрона   C , то   h / m (здесь
m – масса электрона). Из соотношения между кинетической энергией и
импульсом частицы имеем:
W
P2
 P  2mW ,  
2m
h
2mW
.
Пройдя ускоряющую разность потенциалов U , первоначально покоящийся
электрон приобретает кинетическую энергию, равную eU . Поэтому

h
2meU
.
(4.2)
Эта формула позволяет вычислить длину волны де Бройля
нерелятивистского электрона, зная ускоряющее напряжение.
В экспериментах Дэвиссона и Джермера параллельный пучок
моноэнергетических электронов направлялся на поверхность монокристалла
никеля (рис. 4.1). Если электроны пучка движутся по волновым законам, то
пучок должен отражаться от монокристалла так же, как и рентгеновское
излучение. Это означает, что при отражении электронов должна наблюдаться
дифракционная картина, обусловленная интерференцией пучков,
отраженных от соседних атомных слоев кристалла. Углы, соответствующие
различным дифракционным максимумам, определяются формулой ВульфаБрэгга
2d sin   m, m  Z ,
(4.3)
где  – длина дебройлевской волны электрона, d – расстояние между
атомными плоскостями,  – угол скольжения. Электроны, отраженные от
монокристалла, улавливались цилиндрическим анодом, соединенным с
1
гальванометром. Измеряя силу анодного тока в зависимости от  , можно
было оценить количество электронов, отраженных под разными углами.
источник
анод
электронов
A

Ni
Рис. 4.1
Используя значение угла  , в направлении которого наблюдался максимум
отражения, Дэвиссон и Джермер вычислили длину дебройлевской волны
электрона по формуле (4.3) и сравнили ее со значением, найденным по
формуле (4.2). В первом случае было получено значение 1,65 Å, во втором –
1,67 Å. Согласие оказалось настолько хорошим, что результаты этих опытов
следует считать блестящим подтверждением идеи де Бройля.
В 1927 г. Томсон (Абердинский университет, США) и Тартаковский
(Ленинград) наблюдали дифракционную картину при прохождении
электронного пучка через сверхтонкую металлическую фольгу толщиной
около 0,1 мкм. Электроны ускорялись электрическим полем с разностью
потенциалов порядка десятка киловольт, проникали через фольгу и попадали
на фотопластинку, оказывая на нее такое же действие, как и рентгеновские
фотоны. Полученная таким образом дифракционная картина имела вид
чередующихся темных и светлых колец; она поразительно совпала с
картиной, которая наблюдалась при прохождении через эту же фольгу
рентгеновского излучения. В 1929 г. Штерн и Эстерман показали, что
дифракционные явления обнаруживаются также у атомных и молекулярных
пучков.
Таким образом, наличие волновых свойств у движущихся микрочастиц
представляет собой универсальное явление, не связанное с их спецификой.
Формула (4.1), выражающая длину дебройлевской волны через импульс
частицы, является одним из соотношений, составляющих основу квантовой
механики. Вторая формула, которая также следует из корпускулярноволновой двойственности свойств микрочастиц, представляет собой
соотношение между энергией свободной частицы и частотой ее
дебройлевской волны: W   . Эта формула заимствована из оптики, где она
была введена Планком и выражает связь между энергией фотона и частотой
2
электромагнитной волны. Эта формула до сих пор не получила прямого
экспериментального подтверждения; ее справедливость для микрочастиц
следует из согласия с опытом тех теоретических результатов, которые были
получены с ее использованием в квантовой механике и ядерной физике.
В настоящее время корпускулярно-волновая двойственность свойств
микрочастиц не вызывает сомнений. Тем не менее имеет смысл рассказать об
одной из безуспешных попыток избавиться от нее, которая была
предпринята на этапе формирование принципиальных основ квантовой
механики.
Рассмотрим движение свободного электрона, которому соответствует
монохроматическая дебройлевская волна с длиной   h / P . Найдем
групповую скорость этой волны, считая ее простейшим волновым пакетом:
u
d d d ( ) dW
P 2 dW P m



; W
,
 
 .
dk dk d (k ) dP
2m dP m
m
Следовательно, групповая скорость дебройлевской волны свободного
электрона совпадает со скоростью его поступательного движения. Мы
пришли к этому, считая электрон нерелятивистским; можно показать, что и в
релятивистском случае u   . В период становления квантовой физики этот
результат вызвал острые дискуссии. Связано это с тем, что после
обнаружения волновых свойств микрочастиц вещества была сделана попытка
рассматривать частицы как волновые пакеты и таким образом избавиться от
двойственности свойств. Действительно, в этом случае получается, что
частица (т.е. ее волновой пакет) в определенный момент времени
локализован в определенной области пространства. В пользу этой гипотезы
свидетельствовало и то, что групповая скорость волнового пакета совпадала
со скоростью движения частицы. Тем не менее эта гипотеза оказалась
ошибочной. Дело в том, что все монохроматические волны, составляющие
группу волн, распространяются независимо. Поскольку их фазовые скорости
различаются вследствие дисперсии, волновой пакет быстро расплывается. В
случае дебройлевских волн

 

 ,
k 2
т.е. их фазовая скорость пропорциональна длине волны. Численные оценки
показывают, что при такой дисперсии волновой пакет расплывается в
течение примерно 10-29 с.
Итак, попытка избавиться от корпускулярно-волновой двойственности
свойств микрочастиц вещества не удалась. Причина этого в том, что
корпускулярно-волновой дуализм – это объективная закономерность,
присущая микромиру.
4.2. Уравнение Шредингера
Развивая идею де Бройля о волновых свойствах микрочастиц, Э.
Шредингер сопоставил их движению комплексную функцию координат и
времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил буквой  .
3
Такое название не случайно – волновая функция представляет собой
уравнение волны де Бройля, которая сопутствует движению микрочастицы.
Эта функция (  -функция) определяется так, что произведение квадрата ее
модуля на элементарный объем равно вероятности нахождения частицы в
2
этом объеме в определенный момент времени: dP   dV . Отсюда следует:
 
2
dP
,
dV
т.е. квадрат модуля  -функции численно равен плотности вероятности
нахождения частицы в определенной точке пространства. Из этого следует
условие, которому должна удовлетворять волновая функция (условие
нормировки):

  
2
dxdydz  1 .

(4.3А)
Его физический смысл вполне понятен: если в трехмерном пространстве
имеется частица, то вероятность обнаружить ее там равна единице
(вероятность достоверного события).
Волновая функция позволяет найти все характеристики движения
нерелятивистской микрочастицы (координату, энергию, импульс) и является
решением дифференциального уравнения в частных производных второго
порядка:
2 2

.
(4.4)

   U  i
2m
t
Здесь m – масса частицы, i – мнимая единица,  2 – оператор Лапласа, U –
скалярная функция координат и времени. Ее градиент определяет силу,
действующую на частицу:  U  F . Если эта функция не зависит от времени,
она представляет собой потенциальную энергию частицы.
Уравнение Шредингера в квантовой механике играет роль,
аналогичную уравнению
m
d2r
F
dt 2
(4.5)
в механике Ньютона. Иначе говоря, эти уравнения позволяют
последовательно решить основную задачу механики: по известным силам,
приложенным к частице, и начальным значениям ее координат и импульса
найти координату частицы в любой момент времени. В отличие от уравнения
(4.5) уравнение Шредингера является волновым. Это означает, что ему
удовлетворяет функция, которая представляет собой уравнение волны. Это
отличие обусловлено тем, что микрочастицам, относящимся к объектам
исследования квантовой механики, присуща корпускулярно-волновая
двойственность свойств.
Уравнение Шредингера, как и уравнение Ньютона, постулируется, а
его справедливость следует из истинности тех теоретических результатов,
которые получены с его помощью в атомной и ядерной физике. Выше уже
отмечалось, что если силовое поле, в котором движется микрочастица,
4
стационарно, то функция U  U ( x, y, z ) представляет собой потенциальную
энергию частицы. В этом случае решение уравнения Шредингера
распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат,
другой – от времени:
i
Wt

  ( x, y, z )  e
(4.6)
(здесь W – полная механическая энергия частицы, которая остается
неизменной в случае стационарного силового поля). Для того чтобы
получить уравнение Шредингера для стационарного случая, подставим
функцию (4.6) в (4.4):
    e
i
Wt

,


 e
t
iW t



2
 iW 
,


e   Ue


2m
  
2

  (W  U )  0
2m
iW t
iW t

 iW
 i 
 
 
e

iW t

,
(4.6А)
(волновую функцию в стационарном уравнении принято обозначать
строчной буквой  ).
К уравнению Шредингера (4.4) можно прийти, исходя из соотношения
между кинетической энергией и импульсом свободной нерелятивистской
частицы, для которой U  0, W  U  p 2 / 2m . Для упрощения рассуждений
рассмотрим одномерный случай, т.е. движение частицы вдоль оси OX .
Согласно идее де Бройля, в этом случае частице нужно сопоставить волну
  Ae  i ( t  kx )
(4.7)
Несложно убедиться в том, что это уравнение эквивалентно обычному
уравнению плоской волны
  A cos(t  kx) .
Действительно, по формуле Эйлера e i  cos   i sin  . Поэтому
  A cos( (t  kx)  i sin( (t  kx))    A(cos( t  kx)  i sin( t  kx)) .
Отбросив мнимую часть, имеем:   A cos(t  kx) . Понятно, что к этому
уравнению мы пришли бы и в том случае, если бы в равенстве (4.7)
использовали показатель экспоненциального множителя без знака «минус».
Несмотря на это в квантовой механике принято записывать уравнение волны
в виде (4.7). Перепишем его, выполнив элементарные тождественные
преобразования:
i
 (t  kx) t  kx Wt  Px


,   Ae



W t Px

i
 Ae 
( Px W t)
.
Продифференцируем последнее равенство по переменной t и дважды по x :
( Px W t)

i
  WAe 
,
t

i
(4.8)
( Px W t)
( Px W t)
 i
 2  i 
P 2  ( PxW t)

 PAe 

P
Ae


A
e
,
.


x 
x 2   
2
i
2
i
i
(4.9)
Из полученных производных выразим полную энергию частицы и квадрат ее
импульса:
5
W 
Поскольку
2 2
 1 
, P2  
.
i  t
 x 2
W U 
P2
,
2m
имеем:
 1 
1 2  2
.
U  
i  t
 2m x 2
Если в последнем равенстве сделать замену  1  i 2 , умножить обе его части
на  и выполнить тождественные преобразования, то мы придем к

уравнению (4.4) для одномерного случая:

2 2

.
 U  i
2
2m x
t
Необходимо подчеркнуть, что приведенные выше рассуждения нельзя
рассматривать как вывод уравнения Шредингера. Они подтверждают лишь,
что это уравнение удовлетворяет соотношению между энергией
нерелятивистской частицы и ее импульсом.
В математическом аппарате квантовой механики широко используются
операторы различных физических величин – энергии, момента импульса и
т.п. Под оператором понимается символическая запись совокупности
математических операций, которые нужно выполнить над одной функцией
для того, чтобы получить другую функцию (примером могут служить
оператор набла и оператор Лапласа). Если в уравнении Шредингера (4.6А)
функцию U  U ( x, y, z ) рассматривать как оператор, действие которого на  функцию сводится к умножению ее на U , то этому уравнению можно
придать более компактный вид:
^
H   W .
(4.10)
Здесь
^
H 
2
 U
2m
представляет собой оператор полной энергии частицы, который принято
назвать гамильтонианом (в квантовой механике операторы обозначаются
буквами со шляпкой). Проинтегрировав уравнение (4.10), можно найти
набор волновых функций, удовлетворяющих этому уравнению, и численные
значения величины W – полной энергии частицы. Волновая функция должна
удовлетворять следующим условиям:
– она должна быть гладкой (непрерывно дифференцируемой);
– она должна быть интегрируемой, т.е. несобственный интеграл от
квадрата модуля волновой функции по всему трехмерному пространству
должен сходиться. Все функции, удовлетворяющие уравнению (4.10),
называются собственными функциями гамильтониана, а все значения полной
энергии – его собственными значениями.
6
Решение квантовомеханической задачи на отыскание значений какойлибо физической величины (например – момента импульса частицы)
проводится следующим образом. Вначале нужно составить и
проинтегрировать уравнение вида (4.10) и найти собственные функции
гамильтониана частицы. Для момента импульса в квантовой механике
^
используются четыре оператора: оператор квадрата момента импульса M 2 и
^
^
^
операторы проекций момента импульса на координатные оси ( M x , M y , M z ).
Для того чтобы найти собственные значения любого их четырех операторов,
^
например – M 2 , необходимо проинтегрировать уравнение, аналогичное
^
(4.10): M 2   M 2  (здесь  – собственная функция гамильтониана частицы).
^
Собственные значения оператора M 2 , найденные в результате решения
этого уравнения, и есть возможные значения квадрата момента импульса.
4.3. Соотношения неопределенностей
Корпускулярно-волновая двойственность свойств микрочастиц и
вероятностный смысл волновой функции, определяющей их состояние,
приводит к весьма важному вопросу о границах применимости понятий
классической физики в микромире. Специфика микрочастиц проявляется в
том, что переменные, характеризующие ее состояние (координата и
импульс), могут быть измерены одновременно лишь с определенной
точностью. При этом неопределенность (неточность) измерений обусловлена
не только погрешностью измерительного прибора; согласно принципу,
сформулированному Гейзенбергом, произведение неопределенности
координаты частицы и проекции ее импульса на эту же координатную ось не
может быть меньше постоянной Планка  :
xPx   , yPy   , zPz   .
(4.11)
Этот принцип получил название принципа неопределенности, формулы
(4.11) – соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Эти формулы
можно получить, основываясь на неравенстве, свойственном всем волновым
процессам.
Для того чтобы прийти к этому неравенству, вспомним, что цуги
электромагнитных волн, испускаемые атомами вещества, имеют
ограниченную протяженность в пространстве, что связано с конечной
длительностью процессов испускания. Поскольку среднее время жизни
атомов в возбужденном состоянии ~10-9…10-8 с, протяженность x
волнового цуга, распространяющегося вдоль оси OX в вакууме, равна Ct и
составляет ~0,3…3 м. Вследствие ограниченной протяженности волновой
цуг не может быть монохроматическим (по определению,
монохроматической может быть лишь волна, имеющая бесконечную
протяженность и неизменную амплитуду). При изучении упругих волн уже
отмечалось, что используя методы гармонического анализа, волновой цуг
7
можно представить в виде волнового пакета – суперпозиции
монохроматических волн, частоты которых имеют значения в промежутке



. Здесь  – центральная частота пакета,  – его спектральная
, 
2
2
ширина, зависящая от протяженности цуга. Можно показать, что   1/ t .
Поскольку t  x / C  1/ t  C / x , имеем:
(4.12)
  C / x  x  C .
Если волновой цуг распространяется вдоль оси OX , то
kx 
2 
    Ck x    Ck x .

C
(4.13)
Сделав в неравенстве (4.12) замену (4.13), получим:
(4.14)
x  Ck x  C  x  k x  1 .
Последнее неравенство и есть искомое соотношение, свойственное всем
волновым процессам. В случае волны де Бройля для частицы с импульсом
Px  k x , движущейся вдоль оси OX , имеем:
Px  k x , Px x  k x x .
Из последнего равенства с учетом соотношения (4.14) имеем:
Px x   .
(4.14А)
Рассматривая движение микрочастицы вдоль осей OY и OZ , по аналогии
можно получить остальные неравенства, входящие в (4.11).
В приведенных выше рассуждениях соотношения неопределенностей
были получены с использованием неравенства (4.14), справедливого для
любых волновых процессов. К неравенству вида (4.14А) можно прийти,
рассматривая дифракцию дебройлевской волны. Предположим для этого, что
параллельный пучок микрочастиц движется в направлении,
перпендикулярном оси OX . Поместим на пути их движения плоскость с
прямоугольной щелью шириной x (рис. 4.2). В момент ее прохождения
 Px
x

m0
P
Рис. 4.2
дебройлевская волна дифрагирует, при этом направление на дифракционные
минимумы первого порядка определяется условием
x sin       arcsin(  / x) .
(14.15)
Следовательно, некоторые частицы будут двигаться в пределах
дифракционного максимума нулевого порядка с угловой шириной 2 .
8
На рис. 4.2 видно, что в момент прохождения щели возникает
неопределенность импульса таких частиц Px  P sin  ; неопределенность
координаты при этом совпадает с шириной щели x . С учетом равенства
(4.15) находим, что
Px  P

x
.
2
 , имеем:

2 
Px 

, Px x  h ,
 x
Поскольку P  k , k  2 / , P 
что не противоречит неравенству (4.14А).
Соотношения неопределенностей указывают, в какой мере можно
пользоваться понятиями классической физики применительно к микромиру,
в частности – с какой степенью точности можно говорить о траектории
движения микрочастиц. Движение по определенной траектории характерно
тем, что координата и импульс частицы имеют вполне определенное
значение в любой момент времени. Поскольку для нерелятивистской
частицы Px  m x  Px  m x , неравенство (4.14А) примет вид:
x x 

.
m
Следовательно, чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности
координат и скорости, тем с большей точностью можно характеризовать
движение частицы траекторией. Численные оценки показывают, что уже для
частицы размером порядка 1 мкм неопределенности Px и x оказываются
за пределами точности современной измерительной аппаратуры. Исходя из
этого можно считать, что такие частицы движутся по вполне определенной
траектории. В некоторых условиях это справедливо даже по отношению к
электрону – наиболее «легкой» из всех известных микрочастиц. В качестве
примера оценим неопределенность координаты и импульса электрона,
движущегося в электронно-лучевой трубке длиной 10 см.
Пусть след параллельного пучка электронов на люминесцирующем
экране ЭЛТ имеет радиус порядка 1 мм (рис. 4.3). Тогда
r Px

 0,01 .
l
P
X
экран
P
r
 Px
l
r
Рис. 4.3
9
Если ускоряющее напряжение U  10 кВ, имеем:
P  2meU =4,4∙10-23 Н∙с, Px  4,4∙10-23∙ 0,01=4,4∙10-25 Н∙с.
В соответствии с (4.14А) x 

, x  0,2 нм. Следовательно, движение
Px
электрона в ЭЛТ практически неотличимо от движения по определенной
траектории.
Соотношение неопределенностей представляет собой один из
фундаментальных принципов квантовой механики. Фундаментальность его
проявляется в том, что использование лишь одного этого принципа позволяет
получить ряда важных результатов, относящихся к физике атома. В
частности, соотношение неопределенностей позволяет объяснить следующий
совершенно непонятный факт: почему электрон в атоме под действием
кулоновской силы притяжения не падает на ядро? Дело здесь в том, что если
бы это случилось, то координата и импульс электрона имели бы совершенно
определенные значения, что противоречит принципу неопределенности.
Соотношения неопределенностей позволяют оценить размер атома
водорода и величину минимальной энергии его электрона, состоящей из
энергии орбитального движения и взаимодействия с ядром:
W
P2
e2

2m 40 r
(4.16)
(здесь r – расстояние от электрона до ядра). Если в качестве меры
неопределенности координаты взять величину r , неравенство (4.14А)
примет вид:
rP   .
(4.17)
Из равенства (4.16) следует, что энергия электрона имеет наименьшее
значение при P  0 и r  0 . Поэтому в качестве неопределенностей
координаты и импульса можно взять их значения, т.е. r  r , P  P . С
учетом этого перепишем (4.17) в виде равенства и выразим из него импульс
электрона:
rP    P 

.
r
(4.18)
Далее сделаем в (4.16) замену (4.18) и исследуем полученную функцию
W  W (r ) на минимум:
W
40  2
2
e2
dW
2 2
e2





0

r

,
.
dr
2mr 2 40 r
2mr 3 40 r 2
e2m
(4.19)
Легко видеть, что эта формула совпадает с формулой для радиуса орбиты
электрона в основном состоянии, полученной в теории Бора. В данном
случае мы пришли к равенству (4.19), основываясь только на соотношении
неопределенностей. Для получения этого же результата в полуклассической
теории Бору пришлось вводить постулаты о стационарных состояниях и
условие квантования момента импульса электрона. Сделав в (4.16) замену
(4.19), получим формулу для минимальной энергии электрона,
совпадающую с соответствующей формулой теории Бора.
10
Соотношения неопределенностей типа (4.11) характерны не только для
координат и импульса микрочастицы. Можно показать, что если частица
находится в нестационарном состоянии, то неопределенность ее энергии W
связана с неопределенностью времени пребывания частицы в этом состоянии
аналогичным соотношением Wt   .
4.4. Частица в потенциальной яме
Итак, в рамках квантовомеханического описания движению любой
микрочастицы сопоставляется волновая функция. Если частица движется в
стационарном силовом поле, ее волновую функцию можно найти,
^
проинтегрировав стационарное уравнение Шредингера H   W
^
(здесь H – гамильтониан частицы). В качестве примера решения задачи на
отыскание собственных функций и собственных значений гамильтониана
рассмотрим задачу о частице, находящейся в т.н. потенциальной яме с
бесконечно высокими стенками. Иначе говоря, частица находится в
одномерном потенциальном силовом поле, конфигурация которого показана
на рис. 4.4. Стационарное уравнение Шредингера для волновой функции
частицы в одномерной яме имеет вид:
d 2 2m

(W  U )  0 .
dx 2  2
(4.20)
Поскольку на стенках ямы и за ее пределами потенциальная энергия
U
U 
U  0, если 0  x  l
U  , если x  0  x  l
O
l
x
Рис. 4.4
бесконечно велика, вероятность найти там частицу равна нулю. Из
вероятностного смысла волновой функции следует, что это соответствует
условиям
(0)  (l )  0 .
(4.21)
В области 0  x  l потенциальная энергия частицы равна нулю, поэтому
уравнение (4.20) упрощается:
d 2 2m
 2 W  0 .
dx 2

2
2
Если ввести обозначение 2m /   k , получим уравнение
11
его решение имеет вид:
d 2
 k 2W  0 ;
dx 2
(4.21А)
Для того чтобы найти параметры k и  , воспользуемся граничными
условиями (4.21). При x  0 имеем: Asin   0 . Мы не можем полагать, что
A  0 , поскольку в этом случае в любой области значений x волновая
функция равна нулю. Поэтому из равенства Asin   0 следует, что   0 .
Если же x  l , имеем:
  A sin( kx  ) .
A sin kl  0  kl  n, n  N
(значение n  0 не имеет физического смысла, поскольку в этом случае l  0 ,
т.е. яма имеет нулевую протяженность). Исключив параметр k из уравнений
kl  n и 2m /  2  k , найдем собственные значения энергии:
Wn 
2 2 2
 n , n  1,2,3,... .
2ml 2
(4.22)
Таким образом, энергия частицы в потенциальной яме может
принимать только строго определенные значения, т.е. энергия частицы
представляет собой квантованную величину. На языке квантовой механики
это означает, что частица может находиться только на определенных
энергетических уровнях. Число n , от которого зависит значение энергии,
называется главным квантовым числом.
Далее найдем промежуток между соседними энергетическим уровнями.
Из равенства (4.22) следует, что
1
 2 2
(4.23)
n



W

n.


n
2
2ml 2
ml 2 
ml 2
Пусть масса частицы равна примерно массе молекулы (  10 26 кг), l  0,1 м.
Wn  Wn1  Wn 
 2 2
(2n  1) 
 2 2 
Можно сказать, что мы рассматриваем молекулу газа в сосуде диаметром 10
см. В этом случае по формуле (4.23) получается, что W  10 39  n (Дж).
Очевидно, при таком малом значении W можно считать, что возможные
значения энергии частицы образуют практический непрерывный
(квазинепрерывный) спектр. Аналогичный результат получается, когда в
потенциальной яме такой же протяженности рассматривать электрон (в таких
условиях находятся свободные электроны в металлических проводниках).
Если же объем, в котором находится электрон, имеет размеры порядка
атомных, то
Wn  10 17 n (Дж)  10 2 n (эВ),
т.е. дискретность возможных значений энергии очевидна.
Собственные функции частицы найдем, подставив в решение (4.21А)
  0, k  n / l :
 n  A sin
nx
.
l
Для нахождения коэффициента A воспользуемся условием нормировки
(4.3А), которое в рассматриваемом случае одномерной ямы имеет вид:
12
l
A
2
sin 2
0
nx
dx  1 .
l
Поскольку из этого условия получается, что A  2 / l , то
n 
2
nx
sin
, n N .
l
l
1 
2
x
.
sin
l
l
Если n  1,
Период этой функции:
( x  T ) x

 2  T  2l .
l
l
Если n  2 ,
2
2x
sin
, T l.
l
l
2 
Примерные графики этих функций, а также квадратов их модулей приведены
на рис. 4.5. Поскольку квадрат модуля волновой функции характеризует
 (x)
 (x)
a)
2
б)
n 1
n 1
n2
O
l
2
n2
l
X
O
l
2
l
X
Рис. 4.5
вероятность обнаружить частицу в рассматриваемой области пространства,
на рис. 4.5,б видно, что при n  1 вероятность максимальна в центре ямы.
Если же n  2 , вероятность обнаружить частицу в середине ямы минимальна,
однако она максимальна в точках левее и правее середины.
Таким образом, поведение микрочастицы, находящейся в
потенциальном силовом поле, в рамках квантовомеханического
рассмотрения коренным образом отличается от поведения этой же частицы
при классическом описании. Прежде всего это касается энергии: ее
возможные значения для квантовой частицы образуют дискретный ряд чисел,
хотя классическая частица может принимать любые значения энергии. Вовторых, для квантовой частицы мы можем вычислить лишь вероятность ее
пребывания в определенной точке пространства, в то время как классическая
частица движется по вполне определенной траектории.
13
В заключение рассмотрим зависимость от квантового числа n
характера расположения энергетических уровней микрочастицы в
потенциальной яме. Согласно равенству (4.23),
Wn 
 2 2
ml 2
n.
Полагая квантовое число непрерывной величиной, найдем предел
отношения Wn / Wn :
Wn
2n  1
 lim
 0,
n  W
n  n 2
n
lim
т.е. по мере увеличения квантового числа происходит сближение соседних
значений энергии. При n   дискретные энергетические уровни сливаются,
и микрочастица может принимать любые значения энергии. Иначе говоря,
при бесконечно больших значениях n , соответствующих движению
макрочастицы, результаты квантовой теории совпадают с выводами теории
классической. В этом находит свое выражения принцип соответствия,
согласно которому любая новая теория, обобщающая прежнюю теорию,
содержит ее как предельный случай.
4.5. Квантование момента импульса. Гармонический осциллятор
Далее рассмотрим собственные значения операторов квадрата момента
импульса частицы и его проекций на координатные оси. Оказывается, что в
рамках квантовомеханического описания одновременно могут иметь
определенные значения лишь квадрат момента импульса и одна из его
проекций; две другие проекции при этом не имеют определенного значения.
Из этого следует, что в квантовой механике вектор момента импульса не
имеет определенного направления и поэтому не может быть изображен
направленным отрезком прямой.
Для того чтобы найти значения квадрата момента импульса частицы,
^
^
необходимо решить уравнение M 2   M 2  , где M – оператор квадрата
момента импульса,  – собственная функция гамильтониана частицы.
Решение этого уравнения весьма громоздко, поэтому мы ограничимся
рассмотрением конечных результатов.
^
Для собственных значений оператора M 2 получается следующая
формула: M 2   2 l (l  1) , где l  0,1,2... – орбитальное квантовое число.
Следовательно, модуль момента импульса может иметь лишь дискретные
численные значения: M   l (l  1) . Проекция момента импульса также имеет
дискретные значения:
M z  ml  ,
(4.24)
где ml  0,  1,  2, ... – магнитное орбитальное квантовое число. Поскольку
проекция момента импульса на определенное направление не может быть
больше его модуля, должно выполняться условие
14
m    l (l  1) .
(4.25)
Следовательно, максимально возможное значение m  l . Из сопоставления
формул (4.24) и (4.25) получается, что если модуль момента импульса имеет
ненулевое значение, то M z  M . Это означает, что направление момента
импульса частицы никогда не совпадает с направлением, выделенным в
пространстве. Это соответствует тому, что, как уже отмечалось,
определенное значение имеет лишь одна проекция вектора момента
импульса. Поскольку ml  0,  1,  2, ...  l , из равенства (4.24) следует, что для
определенного значения l (т.е. для определенного значения момента
импульса) существует 2l  1 возможных значений проекции момента
импульса на выделенное направление. Иначе говоря, вектор момента
импульса может иметь лишь строго определенную ориентацию относительно
направления, выделенного в пространстве (в квантовой механике это
называется пространственным квантованием).
Гармоническим осциллятором в квантовой механике называется
микрочастица, совершающая одномерное движение под действием
квазиупругой силы FX  kx . Как известно, потенциальная энергия такой
частицы U  kx 2 / 2 , частота собственных колебаний   k / m . Из
последнего равенства следует, что k   2 m , поэтому U  m2 x 2 / 2 . В таком
случае стационарное уравнение Шредингера для волновой функции
осциллятора имеет вид:
d 2  2m 
m2 x 2 
W 
  0 .

2 
dx 2  2 
Из решения этого уравнения следует, что полная механическая энергия
осциллятора является дискретной величиной, зависящей от квантового числа
n:
1

Wn   n   , n  0, 1, 2,.... .
2

Наименьшая энергия, которой может обладать осциллятор при n  0 ,
называется нулевой. Существование нулевой энергии, которая представляет
собой чисто квантовое явление, подтверждается в экспериментах по
рассеянию света на колебаниях атомов кристаллов при сверхнизких
температурах. Оказывается, что интенсивность рассеянного света при
понижении температуры стремится не к нулю, но к некоторому
наименьшему значению. Это указывает на то, что даже при T  0 колебания
атомов полностью не прекращаются.
Существование нулевой энергии колебаний согласуется с принципом
неопределенности. Действительно, если существует неопределенность
координаты атома, неизбежно существует соответствующая
неопределенность его импульса. Из этого следует, что скорость частицы
всегда отлична от нуля, даже при T  0 .
15
4.6. Туннельный эффект
Далее рассмотрим конкретное физическое явление, которое имеет
квантовомеханическую природу и называется туннельным эффектом.
Пусть частица движется вдоль оси OX слева направо и попадает в
потенциальное силовое поле следующей конфигурации: на промежутке
0  x  l энергия U  U 0 , на промежутке x  0  x  l U  0 (рис. 4.6). Иначе
W
1
2
3
U0
W
O
X
l
Рис. 4.6.
говоря, движущаяся частица встречает на своем пути одномерный
прямоугольный потенциальный барьер высотой U 0 . Согласно классическим
представлениям, если энергия частицы W больше высоты барьера, она
беспрепятственно преодолевает его. При этом, поскольку полная
механическая энергия частицы сохраняется, ее скорость на промежутке
0  x  l уменьшается, а за пределами барьера принимает прежнее значение.
Если же W  U 0 , частица отражается от барьера и движется в обратную
сторону.
В рамках квантовомеханического описания частица ведет себя
совершенно по-другому. Для того чтобы разобраться в этом, прежде
необходимо познакомиться с принципом суперпозиции состояний, который
является одним из основополагающих принципов квантовой физики.
Пусть система частиц характеризуется некоторой физической
величиной q . Оператор этой величины имеет собственные функции
1 ,  2 ,... i ,... n , которым соответствуют собственные значения q1 , q2 ,...qi ,...qn .
Согласно принципу суперпозиции, состояние системы частиц описывается
волновой функцией
n
  C1 1  C 2 2  ...  Ci i  ...C n n   Ci i .
(4.26)
i 1
Квадраты модулей коэффициентов C1 , C2 , ...Ci ,...Cn численно равны
вероятности пребывания системы в соответствующем состоянии. Например,
2
C i – это вероятность того, что в момент проведения измерения система
находилась в состоянии, которому соответствует волновая функция  i и
численное значение q  qi . Вместе с тем система может находиться и в
другом состоянии, вероятность которого определяется соответствующим
16
коэффициентом. Важно осознавать то, что в определенный момент времени
система находится только в одном из возможных состояний, а
соответствующий коэффициент C дает вероятность того, что система
«выбрала» именно его. Поскольку суммарная вероятность всех возможных
состояний равна единице, коэффициенты в равенстве (4.26) должны
удовлетворять очевидному условию:
n
C
i 1
 1.
2
i
Зная волновые функции различных состояний и соответствующие
коэффициенты, можно найти среднее значение величины q :
n
q   Ci qi .
2
i 1
Как уже отмечалось, «поведение» квантовой частицы, проходящей
потенциальный барьер, существенно отличается от поведения частицы
классической. Во первых, даже при W  U 0 имеется ненулевая вероятность
того, что квантовая частица отразится от барьера и полетит в обратную
сторону. Во-вторых, при W  U 0 существует отличная от нуля вероятность
того, что частица проникнет через барьер и окажется в области 3. Такое
«поведение» частицы, совершенно невозможное с точки зрения классической
физики, непосредственно следует из уравнений Шредингера.
Рассмотрим случай W  U 0 . В областях 1 и 3, где U  0 , стационарное
уравнение Шредингера имеет вид:
d 2  2m

W  0 .
dx 2  2
(4.26А)
В области 2 потенциальная энергия частицы равна U 0 , поэтому уравнение
Шредингера запишется следующим образом:
d 2  2m
 2 (W  U 0 )  0 .
dx 2

(4.27)
Решение уравнения (4.26А) имеет вид
  e x ,
(4.28)
где  – корни характеристического уравнения. Для того, чтобы получить его,
продифференцируем равенство (4.28) дважды, подставим в (4.26А) и
выполним тождественные преобразования:
2 
2m
W  0.
2
Найдем корни характеристического уравнения:
2m
2m
i
1
2mW .
W  i2 2 W    
2mW ,   i ,  
2




Общее решение уравнения (4.26А) в области 1 и 3: 1  A1e ix  B1e ix ,
 3  A3 e ix  B3 e ix (здесь A1 , B1 , A3 , B3 – соответствующие константы
 
интегрирования). Рассуждая по аналогии, находим решения уравнения (4.27)
для области 2:
17
 2  A2 e x  B2 e x ,  
1
2m(U 0  W ) .

Понятно, что функции   e ix ,   e ix и т.п. соответствуют дебройлевским
волнам, распространяющимся вдоль оси OX и в противоположном
направлении. Поскольку в области 3 имеется только волна, движущаяся
вправо, коэффициент B3  0 . Для определения остальных констант
воспользуемся условием непрерывности и гладкости волновой функции:
(4.29)
1 (0)   2 (0),  2 (l )   3 (l ),  '1 (0)   ' 2 (0),  ' 2 (l )   ' 3 (l ) .
Производные функций 1 ,  2 ,  3 :
'
'
'
1  iA1e ix  iB1e ix ,  2  A2 ex  B2 e x ,  3  iA3e ix  iB3e ix .
Условиям (4.29) соответствует система уравнений:
A1  B1  A2  B2 ,

 A e  l  B e   l  A e i l ,

2
2
3

 iA1  iB1  A2  B2 ,
 A2 e l  B2 e l  iA3 e il .
Разделим уравнения системы (4.30) на A1 :
B
A
B

1 1  2  2 ,

A1 A1 A1

 A2 e l  B2 e l  A3 e il ,
 A1
A1
A1

B
A
B
 i  i 1   2   2 ,
A1
A1
A1

 A2 l
A3 il
B 2  l
e 
e  i e .

A
A
A1
1
1

(4.30)
(4.31)
Введем обозначения:
A
U 0 W
B1
A
B

 b1 , 2  a 2 , 2  b2 , 3  a 3 ,

 n.
A1
A1
A1
A1

W
С учетом их система уравнений (4.31) примет вид:
1  b1  a 2  b2 ,

 a e  l  b e   l  a e i l ,
 2
2
3

 i  inb1  na 2  nb2 ,
na 2 e l  nb2 e  l  ia 3 e il .
(4.32)
Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей на
потенциальный барьер дебройлевских волн определяет вероятность
отражения частицы от барьера и может быть названо коэффициентом
отражения:
B1
A1
2
 b1  R .
2
2
18
Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей в область 3 и
падающей на барьер волн определяет вероятность проникновения частицы
сквозь барьер и называется коэффициентом прозрачности:
2
A3
2
A1
 a3
2
 D.
Понятно, что величины R и D связаны простым соотношением: R  D  1 .
Выполнив ряд тождественных преобразований системы уравнений (4.32),
можно получить:
a3
2
D
4in
 e  i l .
( n  i ) e  ( n  i ) 2 e l
 l
2
(4.33)
Поскольку величина
l 
2m(U 0  W )

l
обычно много меньше единицы, в знаменателе равенства (4.33) можно
пренебречь слагаемым, содержащим множитель e l . Поэтому
a3  
4ine  il l
e .
(n  i ) 2
Так как n  i 2  n 2  1 ,
D  a3
2

16n 2
 e  2 l .
2
2
(n  1)
2
Поскольку

16n 2
 2l

D

e

e

1
,
имеем:
2
2
(n  1)
2 m (U 0 W ) l
.
Из этого равенства следует, что вероятность проникновения частицы через
барьер весьма существенно зависит от его протяженности и разности U 0  W .
Численные оценки показывают, что если при каком-то значении l
коэффициент прозрачности равен, например, 0,01, то в результате
увеличения протяженности барьера в два раза этот коэффициент
уменьшается в 100 раз. Точно такое же уменьшение величины D связано с
увеличением в четыре раза разности U 0  W . Можно показать, что в случае
потенциального барьера произвольной формы
De

2

b

a
2 m (U ( x ) W ) dx
.
Физический смысл пределов интегрирования в последнем равенстве ясен из
рис. 4.7.
В рамках классической физики туннельный эффект в рассматриваемом
случае ( W  U 0 ) представляется абсурдным, поскольку при этом
кинетическая энергия частицы в потенциальном поле отрицательна. Следует
иметь в виду, однако, что в квантовой физике деление полной механической
энергии на потенциальную и кинетическую не имеет смысла, поскольку
противоречит принципу неопределенности. Действительно, если считать,
что частица, движущаяся, например, вдоль оси OX , обладает строго
19
U
W
O
a
b
X
Рис. 4.7
определенной кинетической энергией, она имеет вполне определенный
импульс (PX  0) . Согласно соотношениям неопределенностей, в этом
случае x   , т.е. положение частицы в поле и ее потенциальная энергия не
определены.
В качестве примера проявления туннельного эффекта в конкретном
физическом явлении можно назвать автоионизацию атомов газа в
электрическом поле. Ранее уже говорилось о том, что значения
напряженности поля, при которых происходит отрыв электрона от
нейтрального атома, примерно в 100 раз меньше тех, которые
предсказываются классической теорией. Причина такого расхождения
заключается в том, что ионизация атомов происходит в результате
туннелирования электрона сквозь потенциальный барьер, обусловленный
электрическим полем ядра.
20