ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013 УДК 519.633 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ c ⃝ Е.Е. Таширова Ключевые слова: волновое уравнение; численные методы; разностные схемы; запаздывание. Сконструировано семейство методов для численного решения двумерного волнового уравнения с запаздыванием. Рассмотрим волновое уравнение с эффектом последействия вида ( 2 ) ∂2u ∂2u 2 ∂ u =a + 2 + f (x, y, t, u(x, t), ut (x, y, ·)) : t0 6 t 6 T, 0 6 x 6 X, 0 6 y 6 Y ∂t2 ∂x2 ∂y с граничными: u(0, y, t) = g1 (y, t), u(X, y, t) = g2 (y, t) : 0 6 y 6 Y, t0 6 t 6 T, u(x, 0, t) = g3 (x, t), u(x, Y, t) = g4 (x, t) : 0 6 x 6 X, t0 6 t 6 T и начальными условиями: u(x, t) = φ(x, y, t) : 0 6 6 x 6 X, 0 6 y 6 Y, t0 − τ 6 t < t0 . Здесь x, y, t – независимые переменные, u(x, y, t) – искомая функция, ut (x, y, ·) = {u(x, y, t + s), −τ 6 s < 0} – функция-предыстория искомой функции к моменту t, τ > 0 – величина запаздывания, f (x, y, t, u(x, y, t), ut (x, y, ·)) – функционал, определённый на [0, X] × [0, Y ] × [t0 , T ] × R × Q, Q = Q[−τ, 0) — множество функций u(ξ), кусочно-непрерывных на [−τ, 0) с конечным числом точек разрыва первого рода, в точках разрыва непрерывных справа, ∥u(·)∥Q = supξ∈[−τ,0) |u(ξ)|. Будем предполагать, что функционал f и функции φ, g1 , g2 , g3 , g4 таковы, что задача имеет единственное решение. Численные алгоритмы решения одномерного уравнения гиперболического типа с эффектом последействия были изучены в [1]. Разобьем отрезок [0, X] на части с шагом h1 = X/N1 , [0, Y ] на части с шагом h2 = Y /N2 , где N1 , N2 – некоторые целые числа. Введем точки: xi = ih1 , i = 0, 1 . . . , N1 , yk = kh2 , k = = 0, 1 . . . , N2 . Разобьем отрезок [t0 , T ] на части с шагом ∆, tj = t0 + j∆, j = −m, . . . , M. Обозначим приближение точного решения u(xi , yk , tj ) через uji,k . Введем дискретную предысторию точного решения к моменту tj при фиксированных i, k : {uli,k }j = {uli,k : j − m 6 l 6 j}. Оператором интерполяции-экстраполяции назовем отобj ражение: I : {uli,k }j → vi,k (·) ∈ Q[−τ, ∆]. Для 0 6 s 6 1 рассмотрим семейство методов: ( j+1 ) j+1 j+1 j+1 j+1 j j+1 j−1 u u − 2u uj+1 − 2u + u + u i,k−1 i−1,k i,k i,k − 2ui,k + ui,k i,k i,k+1 i+1,k = sa2 + + ∆2 h21 h22 ( 2 +sa ( +(1 − 2s)a 2 j−1 j−1 ui−1,k − 2uj−1 i,k + ui+1,k h21 uji−1,k − 2uji,k + uji+1,k h21 + + j−1 j−1 uj−1 i,k−1 − 2ui,k + ui,k+1 h22 uji,k−1 − 2uji,k + uji,k+1 h22 ) + ) j j + Fi,k (vi,k (·)), i = 1, . . . N1 − 1, k = 1, . . . N2 − 1, j = 0, . . . M − 1, (1) 2704 ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013 с граничными: uj0,k = g1 (yk , tj ), ujN1 ,k = g2 (yk , tj ), uji,0 = g3 (xi , tj ), uji,N2 = g4 (xi , tj ) и начальj j ными условиями: uji,k = φ(xi , yk , tj ) : − m 6 j 6 0, Fi,k (vi,k (·)) — функционал, определенный j j на vi,k (·) = I({uli,k }j ) ∈ Q[−τ, ∆], связанный с функционалом f (xi , yk , tj , uji,k , vi,k (·)). При s = 0 получается явная схема, при других s, 0 < s 6 1, при каждом фиксированном j получаем систему уравнений. Для того чтобы привести систему к виду, при котором ее можно решить методом прогонки, перейдем к факторизованной схеме [2]. Идея метода заключается в замене оператора, стоящего на верхнем слое, произведением одномерных операторов. При каждом tj определим значения дискретной модели yj = j u0,0 uj0,1 . . . uj0,N2 −1 uj0,N2 j uj1,1 . . . uj1,N2 −1 uj1,N2 u1,0 . . .. .. .. .. . . . . . . j j j j uN1 ,0 uN1 ,1 . . . uN1 ,N2 −1 uN1 ,N2 Введем операторы A1 и A2 : A1 uji = −a uj 2 i−1,k A2 uji = −a2 − 2uji,k + uji+1,k h21 uji,k−1 − 2uji,k + uji,k+1 h22 , 1 6 i 6 N1 − 1, A1 uj0,k = 0, A1 ujN1 ,k = 0, , 1 6 k 6 N2 − 1, A2 uji,0 = 0, A1 uji,N2 = 0. Тогда систему (1) можно переписать в виде: yj+1 − 2yj + yj−1 + ∆2 s(A1 + A2 )(yj+1 + yj−1 ) + ∆2 (1 − 2s)(A1 + A2 )yj = ∆2 F j (v(·)). (2) Введем оператор R = E + ∆2 sA1 + ∆2 sA2 . Тогда уравнение (2) можно привести к виду: R(yj+1 − 2yj + yj−1 ) + ∆2 (A1 + A2 )yj = ∆2 F j (v(·)). С учетом соотношения (E + ∆2 sA1 )(E + ∆2 sA2 ) = E + ∆2 sA1 + ∆2 sA2 + O(∆4 ), получаем R = R1 R2 + O(∆4 ) = (E + ∆2 sA1 )(E + ∆2 sA2 ) + O(∆4 ). Перейдем к факторизованной схеме: R1 R2 (yj+1 − 2yj + yj−1 ) + ∆2 (A1 + A2 )yj = ∆2 F j (v(·)). При фиксированном j получаем систему, которая эффективно решается с помощью двух прогонок по каждому из направлений x и y. ЛИТЕРАТУРА 1. Пименов В.Г., Таширова Е.Е. Численные методы решения уравнения гиперболического типа с наследственностью // Труды ИММ УрО РАН, Т. 18, № 2. С. 222-231. 2. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с. БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00089 Tashirova E.E.NUMERICAL METHODS FOR SOLVING TWO-DIMENSIONAL WAVE EQUATION WITH AFTEREFFECT 2705 ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013 A family of methods is constructed for the numerical solution of a two-dimensional wave equation with time delay. Key words: wave equation; numerical methods; difference schemes; time delay. УДК 539.165.2 СУЩЕСТВУЕТ ЛИ БОЗОН ХИГГСА? c ⃝ В.Р. Терровере Ключевые слова: бозон Хиггса; электрослабая теория; симметрия; масса. Теория бозона Хиггса основана на нестандартном уравнении Клейна–Гордона. Решение этого уравнения является неограниченым. Этот факт является одним из аргументов считать, что бозон Хиггса не существует. Математическое мифотворчество — это математически безупречная теория, не имеющая никакого отношения к физической реальности, но авторы которой утверждают обратное. Например, это теории Андрея Линде [1] и Стивена Хокинга [2]. В [3, c. 185] утверждается, что теория Хиггса «простейшая физически осмысленная модель со спонтанным нарушением симметрии.» Цель данной работы проверить, действительно ли это физически осмысленная модель? Теория бозона Хиггса основана на лагранжиане скалярного поля φ 1 L ≡ T − V = (∂µ φ)2 − V (φ), 2 (1) где T и V – кинетическая и потенциальная энергия поля. Если µ2 > 0 и V (φ) = 21 µ2 φ2 , то из уравнения Эйлера–Лагранжа можно получить линейное уравнение Клейна–Гордона 2 φ = F = −µ2 φ . (2) В отличие от вeкторной силы Ньютона µ d2 qi /dt2 = Fi = −∂V /∂qi сила Хиггса является скаляром и сама зависит, как и 4 ускорение, от поля φ. Именно такой силой является сила упругой пружины, связанной с грузом, и поэтому колебания груза на пружине являются наглядным физическим аналогом уравнения (2), которое предварительно необходимо привести к виду свободных одномерных колебаний [4, c. 77] √ ∂2u k 2 + ω0 u = 0 , ω0 = , (3) 2 ∂ t m где k – жесткость пружины. Решение этого уравнения ограничено. Для системы с одной степенью свободы уравнение (2) упрощается ∂2φ ∂2φ − + µ2 φ = 0. ∂t2 ∂x2 (4) Теперь воспользуемся методом разделения переменных φ(x, t) = u(t)v(x) и подставим это выражение в (4) v∂ 2 u/∂t2 − u∂ 2 v/∂x2 + µ2 uv = 0 . Если для произвольной точки x∗ справедливо ∂ 2 v/∂x2 |x=x∗ = 0 , то ∂ 2 u/∂t2 + µ2 u = 0 . Это означает, что решение уравнения (2) ограничено. 2706