Автокорреляционная функция сигнала

1
1. Поняття про автокореляційну функцію сигналу
Для количественной и качественной оценки совпадения двух сигналов
U (t )
и U (t   ) (его смещенной копии ) вводится так называемая автокорреляционная функция (АКФ) сигнала.
Автокорреляционная функция характеризует меру зависимости между двумя
сигналами, и равна скалярному произведению этих двух сигналов.

BU ( )   U (t )U (t   )dt
(1)

Равенство (1) означает свертку двух одинаковых сигналов, сдвинутых по времени
друг относительно друга на величину, равную τ. Эту величину можно называть
расстройкой двух сигналов по времени τ.
В дальнейшем будем считать, что исследуемый сигнал имеет ограниченный во
времени импульсный характер, чтобы заранее предполагать, что (1) имеет смысл.
Свойства автокорреляционной функции.
1. Если
  0 , то




BU (0)   U (t )U (t  0)dt   U 2 (t )dt  EU
Автокорреляционная функция при расстройке τ =0 принимает свое максимальное
и положительное значение, равное энергии самого сигнала.
2.Автокорреляционная функция
BU ( ) является четной функцией.
BU ( )  BU (  )
Данное выражение легко доказать, сделав следующую замену вида
Тогда.




BU ( )   U (t )U (t   )dt   U ( x   )U ( x )dx
3.При любом
сигнала.

x  t  .
(2)
модуль автокорреляционной функции не превосходит энергии
BU ( )  BU (0)  EU .
Данное выражение вытекает из неравенства Коши.
(U ,U )  U  U  EU .
Это свойство еще раз показывает, что с увеличением времени
( )
АКФ сигнала
должна уменьшаться. Ее максимум находится в точке   0 и равен энергии
сигнала.
4.Данное свойство вытекает из предыдущих. Если проанализировать АКФ
2
относительно энергии сигнала
B N ( ) 
BU ( )
EU , то максимальное значение
АКФ равно ±1, а при τ > tи характеристика BU (τ) будет принимать нулевое
значение.

Пределы изменения АКФ от –1, до1 и с возрастанием
она затухает.
2. Автокорреляционная функция прямоугольного видео импульса.
На рисунке изображен видео импульс и его копия, сдвинутая на время
.
автокорреляционная функция есть ни что иное, как скалярное произведение двух
сигналов
.
U (t )

t

tu
t u 
t u 
t 
BU ( )   U (t )U (t   )dt   Um dt  Um

0
0
0
2 u
2
 Um (tu   )  Um tu (1 
2
2

tu
)
BU ( )
 tu
tu

3

 2
U t (1  )  tu    tu
BU ( )   u tu

0
   tu , tu 
Действительно, произведение

U (t )U (t   ) отлично от нуля только лишь в

интервалах времени  t u , t u , когда наблюдается наложение сигналов друг на
друга. Если сдвиг во времени превышает длительность импульса, то наложение
отсутствует, естественно нет взаимной энергии поэтому нет связи между
сигналами, автокорреляционная функция вне интервала
нулю.
 t u , t u  будет равна
3. Автокорреляционная функция прямоугольного радиоимпульса.
Рассмотрим радиосигнал вида
U(t) =
0,
( t<- t и /2 )
Ucos ωt, (- t и /2 < t< t и /2 )
0,
( t > t и /2 )
U (t )
tu
2
t
Зная, что функция автокорреляции обладает свойством четности, вычислим
АКФ, полагая, что 0 < t< t и .
BU ( )

 tu
tu
tu

Um cos  H t  2  
S (t )  
 t

0
t   u

 2
tu

2
t 
, u
2
4
При τ = 0 величина BU(τ) становится равной энергии этого импульса. Полученный
результат описывает функцию автокорреляции прямоугольного радиоимпульса
при всех сдвигах τ, лежащих в интервале - t и < τ < t и . Очевидно, что если
абсолютная величина сдвига превосходит длительность импульса, то значение
функции автокорреляции будет тождественно обращаться в ноль.
4. Автокорреляционная функция последовательности прямоугольных
видеоимпульсов.
В радиотехнике нередко используют сигналы в виде ограниченной совокупности
периодических импульсов, называемых “пачкой” импульсов. Например, такими
последовательностями могут быть серии команд на системы управления каких-то
объектов. Пачка импульсов состоит из сигналов (радио- или видеоимпульсов),
которые формируются с определенным периодом Т. При этом число импульсов в
этой последовательности (пачке) конечно.
S (t )  U (t )
Um
tu

t
BU ( )
T

 tu
t u T  tu
T  tu
T
Максимум функции автокорреляции достигается при τ = 0. Однако, если задержка
τ оказывается кратной периоду последовательности (в данном случае при τ = ± Т,
± 2Т), наблюдаемые боковые лепестки функции автокорреляции сравнимы по
величине с главным лепестком. Это свидетельствует о несовершенстве
корреляционной структуры данного сигнала.
5. Автокорреляционная функция бесконечно протяженного сигнала.
Для рассмотрения автокорреляционная функция бесконечно протяженного
сигнала выражение
U (t )U (t   )
BU ( ) , как для простого скалярного произведения
должно быть изменено. Необходимо считать, что данная
функция была получена на основании некоторого ограниченного во времени
сигнала т.е. импульсного сигнала, при том, что длительность импульса
необходимо устремить в бесконечность. Для устранения расхождения при
5
вычислении обычных импульсов и неограниченного во времени сигнала
автокорреляционная функция в данном случае вычисляют так.
1
~
BU ( )  lim
t u  t u

 U (t )U (t   )dt

~
В данном случае BU ( ) становится равной средней взаимной мощности
этих двух сигналов.
Если требуется рассматривать неограниченно протяженные во времени
периодические .последовательности, то подход к изучению корреляционных
свойств сигналов должен быть несколько видоизменен. Будем считать, что такая
последовательность получается из некоторого локализованного во времени, т. е.
импульсного, сигнала, когда длительность последнего tи стремится к
бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости получаемых выражений,
определим новую функцию автокорреляции как среднее значение скалярного
произведения сигнала и его копии: .
1
~
BU ( )  lim
tu  tu
t/2
 U (t )U (t   )dt
t / 2
При таком подходе функция автокорреляции Bи становится равной средней
взаимной мощности этих двух сигналов.
Например, желая найти такую функцию автокорреляции для неограниченной
во времени косинусоиды
u(t) — U cos ωt, — ∞ < t < ∞,
можно воспользоваться формулой ( ), полученной для радиоимпульса
длительностью tи, а затем перейти к пределу при tи → ± ∞, учитывая определение
(
). В результате получим
U2
~
BU ( ) 
cos 
2
Эта функция автокорреляции сама является периодической; ее значение при
τ = 0, равное U2/2, представляет собой среднюю (эффективную) мощность,
которую данный сигнал будет выделять на активной нагрузке величиной в 1 Ом.
6. Связь между энергетическим спектром сигнала и
его автокорреляционной функцией.
Wu ( ) 

 j
B
(

)
e
d
 U

(ППФ от
BU ( ) )
Энергетический спектр представляет собой прямое преобразования Фурье от
автокорреляционной функции сигнала.
6
Принципиально важные выводы из полученных результатов:
Доказана возможность расчета автокорреляционной характеристики на основе
распределения энергии сигнала в спектра. Прямое преобразование Фурье
корреляционной функции Bs (τ) дает спектральную плотность энергии, а
преобразование дает корреляционную функцию Bs (τ).
1.Ширина спектра сигнала тем шире, чем уже основной лепесток автокорреляционной функции. Иначе, чем шире спектр S (со) сигнала, тем меньше интервал
корреляции, т. е. сдвиг т, в пределах которого корреляционная функция отлична
от нуля. Соответственно чем больше интервал корреляции заданного сигнала, тем
уже его спектр.
2. Полученные выражения указывают на возможность эксперементального
определения энергетического спектра сигнала. Чаще бывает удобным получить
вначале автокорреляционную функцию, а затем используя преобразование Фурье
рассчитать энергетический спектр.
3. Из полученных выражений видно, что корреляционная функция Bs (τ) не
зависит от ФЧХ спектра сигнала. Так как при заданном амплитудном спектре
S (ω) форма функции S (t) существенно зависит от ФЧХ, то можно сделать
следующее заключение: различным по форме сигналам S (t}, обладающим
одинаковыми амплитудными спектрами, соответствуют одинаковые
корреляционные функции ВU (τ).