dfldz и теорема Н. Левинсона

1972
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК
Т. 89(131), № 2(10)
УДК 517.53
Функции с заданной оценкой dfldz
и теорема Н. Левинсона
Е. М. Дынькин (Ленинград)
В настоящей работе рассматриваются классы функций f, непрерывно
дифференцируемых на комплексной плоскости С1, у которых производ­
ная dfldz убывает с заданной скоростью при приближении к единичной
окружности. В частности, в точках единичной окружности должны вы­
полняться уравнения Коши — Римана.
В § 1 описываются в терминах их дифференциальных свойств функ­
ции на единичной окружности, допускающие продолжение до функций
такого класса. В § 2 для рассматриваемых классов выводится критерий
квазианалитичности. В § 3 при помощи результатов §§ 1 и 2 дается новое
доказательство теоремы Н. Левинсона о нормальности семейств анали­
тических функций.
Краткое изложение результатов настоящей работы содержится в за­
метке [1]*.
Всюду в дальнейшем приняты следующие обозначения: Г = {гбС\
| z | = 1} — единичная окружность; А == {г6С1, | г | < 1} — единичный круг,
А — Д (J Г — его замыкание; {ф(/г)}!!оо— коэффициенты Фурье суммируемой
функции ф, заданной на Г или на отрезке [—я, я]; l°° {dn}, где {dn}7—
некоторая положительная последовательность, — класс всех суммируемых
функций ф таких, что Ц)(п) =^0(d\n\)y п-> ± оо; z = x + iy, £ = £-f *тьд/dz =
— (д/дх + id/dy).
Автор приносит глубокую благодарность В. П. Хавину и Н. К. Ни­
кольскому за внимание к работе и ценные советы.
§ 1. Теорема существования
Пусть h— положительная неубывающая функция, определенная на
промежутке (0,+оо) и имеющая там непрерывную производную;
А( + 0 ) = 0 .
* После того, как рукопись [1] была сдана в печать, автору стали доступны не­
опубликованные результаты В. И. Мацаева, содержащиеся в его диссертации [2].
В частности, В. И. Мацаев доказывает теорему, обратную к теореме Н. Левинсона, и
теорему, чуть более слабую, чем прямая теорема Н. Левинсона, при помощи близких
соображений, также выводя их из критерия квазианалитичности некоторого класса
функций.
Функции с заданной оценкой df/dz
183
Классом DT(h) назовем класс всех непрерывно дифференцируемых
функций / на комплексной плоскости С1 таких, что
df
dz
< Kf h ([ 1 — | z 11),
Kf = const,
z б С1.
Ясно, что класс DT(h) является алгеброй и содержит все функции,,
аналитические в окрестности Г.
Т е о р е м а 1. Пусть ф — дважды непрерывно дифференцируемая
функция на окружности Г. Пусть далее
ln]
ап=^ J Л(г)(1— r)\\п\
dr,
n - 0 , ± 1 , ....
о
Для того чтобы функция <р допускала продолжение класса DT(h) на
всю плоскость, необходимо, чтобы
ц)(п) = 0(ап),
п->±оо,
и достаточно, чтобы
2
ср(я)
<^ -(- оо,
е > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть функция
f£Dr(h), совпадает с ф на Г. Тогда по формуле Грина при п ^ О
f,
Ф ( _ п) = — f <р (г) г"-1 dz = — f / (z) z""1 dz = — f f z""1 - ^ d*d#.
9-TTI*
«Z
Г
P.Tti
^Jlt
ilГ
jt
^
Я?
Переходя к полярным координатам, получим
I Ф (— п)\ -^ const • J глА (1 — г) dr = const • ал.
о
Случай /г<0 рассматривается аналогично.
Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и опирается на следующую
лемму.
Л е м м а . Если 2
Ф (— п) —
<^ + °°»
£
> 0» tno существует не­
прерывно дифференцируемая функция f в замкнутом единичном круге А
такая, что
1 ) / ( 9 = Ф(Б). ^ег,
2) ~4:{ге{*) = co(/)r 2 /i(l—г), г < 1, где со — непрерывная функция на
dz
[—я, я], причем
\'/«
max | со (/) | -< const • ( ^
Доказательство
в виде
ф ( — П)-
л е м м ы . Будем искать нужное продолжение
184
Е. М. Дынькин
Г
А
где S = reli, г 6 А.
Нужно найти'непрерывную функцию со такую, что а) / непрерывно
дифференцируема в А, б) /(£) = Ф(£) при всех £6Г. Если такая функция о
найдена, то уравнение - ~ = (o(t)r2h(l—г) удовлетворяется автоматичедг
ски. Рассмотрим подробнее условия а) — б) для функции (1).
а) Так как ф имеет две непрерывные производные, то первый член в
(1) непрерывно дифференцируем в А. Поэтому для выполнения условия
а) достаточно, чтобы и второй член в (1) был таким же. Для этого, в
свою очередь, достаточно потребовать, чтобы функция со была абсолютно
непрерывной и ее производная со' входила бы в класс i>(—я, я) при не­
котором р>2.
def
б) Вычислим
значения
f(eiB) = lim / (rem).
/•-•1-е
eiQ
Первый член в (1), т. е. интеграл типа Коши с плотностью ф, в точке
принимает значение, равное 2 ф(п)е
(см., например, [3]). Второй
сю
п=о
член принимает в точке eib значение
где
(0 = 2 Г / г ( 1 — г ) - - ^ ^ - ^ — 2 | ] в - ^ Г/г(г)(1—г)
J
r-elt
tZ*
У
Переходя к коэффициентам Фурье, получим
[.37(л)^ф(л) — со(/г+1) Л(л),
я > 0 ; }(п) = — ®(п+I)
А(п),
лг < 0.
Но, как легко видеть, Л(п)=—2а п -2, я ^ О . Поэтому, если положить
•ш(л)=0 при л ^ 1 и со(/г)=ф(м— 1)/2а п -з при д ^ О , то / ( Л ) = Ф(Л) при
всех/г = 0, ± 1 , ... и f(£) = Ф (£), £6Г.
Итак, для окончания доказательства леммы достаточно проверить,
что (в наших условиях) величины со (я), определенные выше, действи­
тельно являются коэффициентами Фурье абсолютно непрерывной функ­
ции со, причем co'Gi>(—я, я) при некотором р>2. Функция со' имеет ко­
эффициенты Фурье, равные mco(ft), л = 0, ± 1 , .... По теореме Юнга —
оо
Хаусдорфа [3] достаточно проверить, что
2 |л5(«)Ге = 2
ф ( — П)
2
| « « ( " ) | 2 _ е < + °°. Но
< +°°>
Функции с заданной оценкой df/dz
185
так как, очевидно, a n + 2 ^ const -an при всех п. Лемма доказана.
Теперь можно провести доказательство достаточности в теореме 1.
Без ограничения общности можно считать функцию <р вещественной.
Пусть /о — продолжение ф внутрь круга А, построенное в лемме. При
| г | > 1 положим fi(z) =/ 0 (l/z). Тогда функция f, совпадающая с f0 при
| г | ^ 1 и с fi при | z | > l , как легко проверить, имеет непрерывные про­
изводные на плоскости. Кроме того, при | z | > l
z2 dz
дг
и поэтому
дг
-< const • h 11 —
1
\
i
при L
z I > 1. Теорема 1 доказана.
§ 2. Квазианалитичность классов Dr (h)
В этом параграфе исследуется вопрос о квазианалитичности класса
сужений функций из DT(h) на единичную окружность Г. В теории ква­
зианалитических классов функций рассматриваются два определения
квазианалитичности (см. [4]). Именно, некоторый класс бесконечно диф­
ференцируемых функций на единичной окружности называется квази­
аналитическим (Д), если он не содержит функции, отличной от тожде­
ственного нуля и обращающейся в нуль в некоторой точке вместе со все­
ми производными. Класс называется квазианалитическим (/), если он не
содержит функций, обращающихся в нуль на некоторой дуге и не равных
нулю тождественно.
Известно однако [4], что для классов Карлемана эти два определения
совпадают. Подобным же образом, из содержащихся в этом параграфе
рассмотрений следует, что и для классов DT(h) оба определения приво­
дят к одному понятию.
В этом параграфе мы предполагаем, что функция h имеет непрерыв­
ную производную на (0, +оо) и что \\nh(eG) |— выпуклая функция а.
Т е о р е м а 2. Для того чтобы класс сужений функций из Dr(ti) н
единичную окружность был квазианалитическим*, необходимо и достаточ.
но, чтобы \ In In
dr = + °°J
h (r)
о
Д о к а з а т е л ь с т в о . Теорема 1 показывает, что имеют место включе1
ния l°°{n-2an}czDT(h) \vczl00 {ап}, где, как и выше, ап= j h{r) (l — r)Wdr9
о
а = 0, ± 1 , .... Пусть функция r-+h(r) (1 — г)п достигает максимума на от­
резке [0,1] при г = гп. Положим ф(г) = | In /г (г) |, тогда должно быть
Ф'(0 + - г 2 - = °'
Безразлично, (Д) или (/).
2 Математический сборник, т. 89(131), № 2(10)
л=(гл-1)ф'(г«)
186
Е. М. Дынькин
и, следовательно г я \ 0 . Стало быть,
1
1
ап = j A(r)(l - / f d r > А(гя) J (1 - г) я Л-> const . Л ( г л ) ( 1 - г л ) Л ;
о
'я
так как, очевидно, а я <Л(г я )(1—г я ) л , то /°° {n"3fe}CZDr(/i)|rC/00{&n},
где 6Л = Л(гя) (1 — гя)я, /г — 0, 1, ... .
Пусть 0 < г < 1. Положим * (г) = (г — 1) q/ (r). Обратная функция
t-+r(t) является убывающей функцией t. Положим
p(t)=v(r(t))-tln(l-r(t))9
t>0.
Л е м м а 1. Функция t-*tp'(t) возрастает на (О, +оо).
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1. Имеем p'(t)=—In ( I — r ( t ) ) . От­
сюда
/р / (0 = - ' 1 п ( 1 - г ( 0 ) = ( 1 - г ( 0 ) Ф , ( г ( 0 ) 1 п ( 1 - г ( 0 ) .
Поэтому достаточно проверить, что (1—r)q/(r)ln(l—г) — убывающая
функция г. Но
(1_Г)Ф'(Г)1П(1-Г) = (Г|Ф'(Г)|)^=^1П
1
1—г
Первый сомножитель убывает, так как функция <р(еа) выпукла. Что ка­
сается второго, то
d
' ^ ' . i n - A - U ^ + inO-/-))< о.
dr \
r
1— г ]
г
Лемма доказана.
Заметим теперь, что Ья = е"~р(/г), /г = 0, 1, . . . , и соответственно п"гЬп =
= 0-Р(Л)-Зin/if /г = 0, 1, . . . . Согласно теореме Валле-Пуссена — Мандельбройта [4], применимой в силу леммы 1, необходимым и достаточным
условием квазианалитичности (безразлично (А) или (/)) классов l°° {bn} и
Г° {п~3Ьп} является условие j p(t)t~2dt = + оо. Поэтому теорема 2 будет
оо
доказана, если мы проверим, что интегралы \p(t)r2dt
и
J
In In
о
dr
h
(r)
сходятся или расходятся одновременно.
По определению функции р
J р (/) t"4t - j ф (г (0) Г2й/ + j iГА1шIn -I—' ­^
l
l
Л.
1
В первом из этих интегралов замена переменной t= (r—1)<р'(г) дает
равенства
(r)
Ф()
fJ Ф(Г(*))Г«Я = JГ (! —\/•)<?
w , 2 ^ ( 0 + f „ У'
W
J (i — 0 1 Ф
г
2
1
О
2
.л-d r ^1 AI H
M
(Ol
ш
187
Функции с заданной оценкой df/dz
Но ф (г) = ф (1) + J | Ф' (к) | dX < const • | ф' (г) |. Поэтому в / 2 подынтегральг
ная функция ограничена. Далее,
*(г)
т1 = Г
J (1~г)ф'(г)2
dy'
(г) < const. f - i £ L rfY9' (Wr)
Y W
^
J
о
ф'(г)2
=
о
/*!
= — const • \ ф (r) d
<
< const. flim - ^ - 4 - - ^ 1 + const . [dr <
+ °°.
Поэтому достаточно исследовать сходимость интеграла Г Г 1 In
или, что т о ж е самое, Г t~lr(t)dt
In
(так
как r(t)->0
dt
1 — r(t)
J
при /->оо
и
~ г (/)). Та же замена переменной t = (г— 1) ф' (г) приводит к
авенствам
ОО
/Ч
Г!
1
(У /-(*)# = — (*г£Ип|ф'(г)|+ [ T Z T ^
1
0
0
Ясно, что \ —— d r < + °°. Интегрируя по частям, получим
J 1—г
о
/"1
— Trdlnlф' (г) |
a l n | Ф ' (гО| Ч-Urn rln|ф' (г)| + \
ln\<f'(r)\dr.
Итак, класс DT{h) | г будет квазианалитическим (/) или (Д) тогда и толь­
ко тогда, когда
ljmrln|<p'(r)l+ Пп|ф'(г)|йг = + оо.
J
0
г->о
а) Пусть \ In In
J
л (г)
dr = + °°« Это значит, что \ 1пф(г)<2г = + оо.
J
о
о
Но ф (г) < const • | ф' (г) | и поэтому J In | ф' (г) | dr = + оо. Наконец, оче0
видно, lim r In | ф' (г) | > 0. Следовательно, класс Dr (h) | г квазианалитичен.
г-*о
б) Пусть, напротив, \ In In
о
d r < + оо, т. е. J 1пф(г)йг< + со.
Мг)
о
Докажем следующую лемму.
Л е м м а 2. Если J 1пф(г)с(г< оо, mo j In |ф' (г) |dr << -f oo.
е
о
2*
ш
Е. М. Дынькин
, -
X
Доказательство
леммы
2.
ф (г) = ф(1) + 1 |ф' (A,)|dA,>
г
> I A, | ф'(А,)]>— > 2г | ф' (2г)! 1п 2, так как функция ф (еа) выпукла. СледоваJ
^ы
о
тельно, | ф' (г) | < const - г~1ф (г/2) и J In | ф' (г) | dr < + °°. Лемма доказана.
8
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 2.
В случае ) In In
dr < -f- oo получаем, по лемме 2, j In | ф' (г) | ° < d r <
<^ + oo, а так как подынтегральная функция монотонна, то должно
быть Нтг1п|ф' (г)\ = 0 . Следовательно, в этом случае класс Dp (h) | г некваГ-»0
зианалитичен. Теорема 2 доказана.
З а м е ч а н и е 1. Из сходимости интеграла \ In In
dr вытекает не-
0
квазианалитичность класса Dr(h)\r при единственном условии монотонно­
сти А, как это следует из приводимой ниже леммы.
Л е м м а 3. Если функция h монотонна, положительна, ft(-f0)=0 a
i
In In
l
h{r)
dr<^ + oo, mo существует функция hx такая, что
а) A i ( r ) < A ( r ) > 0 < r < l >
б) h\ имеет непрерывную производную, и a-^\lnhi(e°)
функция,
в) \ In In
| —выпуклая
d r < + °°.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Без ограничения общности можно считать
функцию h непрерывной и строго возрастающей. Пусть, по-прежнему,
Ф= |1пА|. Положим
*(*) = ]*$*\.
хр
Тогда г|? имеет непрерывную производную г|/ (х) =
s=
ф (—),
xty' (х) =
ф | —), которая возрастает вместе с х, и поэтому ^(я^)—вы пуклая функ­
ция а. Далее, г|)(*)<4.\Г2ф(л;/2), х > 0 , и поэтому j ln^(*)djt<-{-oo. Наконец,
JC/2
Положим hi(r)=exp(—2ty(r)).
казана.
Тогда функция hi — искомая. Лемма до­
Функции с заданной оценкой df/dz
З а м е ч а н и е 2. В случае \ In In
J
о
h (r)
189
d r < + 0 0 теорема Валле-Пуссена—
Мандельбройта [4], действительно, дает более сильное утверждение.
Для любых дуг 1\ и / 2 , 1\<^12аТ существует функция ср, q>£DT(h)\T,
такая, что а) 0 ^ ф ^ 1 , б) ф=1 на / ь в) ф = 0 вне 12.
Иными словами, из функций класса DT(h)\T можно построить раз­
биение единицы.
§ 3. Теорема Н. Левинсона
Н. Левинсоном была доказана следующая теорема об условиях нор­
мальности (см., например, [5], [6], [7]).
Т е о р е м а 3. Пусть G=(a,b)X(—1,1)Если М — убывающая поло­
жительная функция на (О,1), М^е и j In In M (у) dy < + ooy то семейство
о
FM всех функций /, аналитических в G и таких, что \f{z)\ ^ М ( | 1 т г | ) ,
26G, нормально в G.
С помощью теоремы 2 может быть получено следующее доказатель­
ство теоремы Н. Левинсона.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим произвольный отрезок веществен­
ной оси [аи bi]cz(a, b) и два выпуклых дважды непрерывно дифферен­
цируемых контура Л и Л, лежащих целиком в G, симметричных друг
другу относительно вещественной оси и содержащих отрезок [а2, Ь2\
[аи bl]cz(a2, 62)с=[а2, b2]cz(a, b),
в качестве своей общей части. Если w = %(z) — конформное отображение
внутренности контура Л на единичный круг А, то найдется число с,
с < + оо, такое, что 1 — \%(z) | ^ c | Imz|.
Положим h(r) =M(r/c)~l. Тогда класс DT(h)\T будет, в силу теоре­
мы 2 и леммы 3, неквазианалитическим, и существует функция
Ф, y£DT(h), такая, что 0 ^ ф ( ^ ) ^ 1 при | о ; | = 1 , ф=1 на образе отрезка
[аи Ь{\ при отображении %, ф = 0 на Г вне образа отрезка (а2, Ь2).
Для любого 2бЛ° (Л° — внутренность контура Л) положим [i(z) =
= ф(х(^)). Тогда \х — непрерывно дифференцируемая функция, [х = 0 на
контуре Л вне (а2, Ь2) и |я=1 на отрезке [аи Ь\]. В то же время
(k^d%_
dw dz
< const • h [с | Imz |] < const M (| Im z j)-"1.
В частности, jx = 0 на контуре Л вне [а2, Ь2\ и, так как там выполняют­
ся уравнения Коши — Римана, то и нормальная производная функции \х
на контуре Л обращается в нуль вне [а2у Ь2]. Поэтому, если для всех z,
Imz^zO, z$A°, положить [i(z)=0, то мы получим непрерывно дифферен­
цируемую функцию в верхней полуплоскости. Если продолжить ее по
симметрии в нижнюю полуплоскость, то \i станет непрерывно дифферен­
цируемой функцией на плоскости такой, что a) JLX = 0 на внешнем обводе
Л U Л, б) jx = 1 на [аА], в) ^ = О [М (| bnz Щ .
ог
190
Е. М. Дынькин
Пусть теперь z лежит в той окрестности отрезка [ah b{\ на плоскости,
в которой \\х\ > ! /2. Для любой функции f из FM формула Коши —Грина,
в применении к внешнему обводу A|JA, дает
/ЮМ*) — - ff в /(?)|f^,
л°ил
I/(z) [i (z) I <const - \
*
ц
< const < + oo,
л°и"л°
I f (z) I <J Const <
+
oo.
Если теперь учесть, что отрезок [аи b{\cz(a, b) выбирался произволь­
но, а нормальность семейства означает равномерную ограниченность
функций этого семейства на каждом компакте, то мы придем к требуе­
мому результату.
(Поступила в редакцию 14/IV 1972 г.)
Литература
1. Е. М. Д ы н ь к и н , Операторное исчисление, основанное на формуле Коши — Грина, и
квазианалитичность классов D(h), Записки научн. семинара ЛОМИ, 19 (1970), 221 —
226.
2. В. И. М а ц а е в, Некоторые теоремы о полноте и компактности, связанные с клас­
сической квазианалитичностью, Диссертация, Харьков, 1964.
3. А. З и г м у н д , Тригонометрические ряды, Москва, изд-во «Мир», 1965.
4. С. М а н д е л ь б р о й т, Квазианалитические классы функций, Москва, ОНТИ, 1936.
5. N. L e v i n s о n, Gap and density theorems, Amer. Math. Soc. Coll. Publ. 1940.
6. Y. D o m a r , On a largest subharmonic minorant of a given function, Arkiv Mat., 3,
№ 5 (1958), 429-440.
7. Ж. Н. К е ш и ш я н , О некоторых критериях нормальности семейств аналитических
функций, Изв. АН Арм. ССР, серия физ-матем., 15, № 2 (1962), 45—57.