Квадратичная функция, ее свойства и график (20 часов)

Квадратичная функция, ее свойства и график
(20 часов)
Уроки 1-2. Функция у=х²
«Предмет математика настолько
серьезен, что полезно не
упустить случая сделать его
немного занимательнее».
Блез Паскаль
Цель урока:
Формировать умения и навыки, носящие в современных условиях общенаучный и
общеинтеллектуальный характер;
Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование
операционного мышления направленного на выбор оптимальных решений.
научить школьников применять современное программное обеспечение в решении
нестандартных задач.
Ход урока:
1.Актуализация знаний по теме урока.
2.Исторический экскурс.
3.Построение параболы по точкам и с помощью компьютерной программы.
4.Закрепление материала. Решение задач.
5.Итог урока
1.Актуализация знаний по теме урока.
Пусть х и у – некоторые числовые множества. Функцией называется множество f
упорядоченных пар чисел (х; у) таких, что х Є Х, у Є У, и каждое х входит в одну и только
одну пару множества, а каждое у входит по крайней мере, в одну пару. При этом говорят,
что числу х поставлено в соответствие число у, и пишут у = f(x)
Функция занимает одно из центральных мест в школьном курсе алгебры, она имеет
многочисленные приложения в физике .Сегодня мы начнем знакомство с новым классом
функций – квадратичными функциями. Для начала обратимся к истории уже известной
нам фигуры – параболы, затем рассмотрим ряд квадратичных функций и прикладных
задач, связанных с ними.
2.История параболы.
Сообщение ученика, сопровождаемое презентацией. Коническими сечениями много
занимались математики Древней Греции. Ученик Евклида, Аполлоний Пергский, живший
в 260-170 г.г. до нашей эры, в основном труде “Конические сечения” дал полное
изложение их теории. Долгое время конические сечения, считавшиеся вершиной
греческой геометрии – эллипсы, параболы, гиперболы – казались плодом математической
фантазии, не имеющим отношения к реальной действительности (см. миниатюру
Конические сечения на сайте www.etudes.ru )
Уже в XVI Никколо Тарталья предположил, что траектория, брошенного тела, “не имеет
ни одной части, которая была бы совершенно прямой”;
в XVII веке Кеплер обнаружил, что по эллипсам двигаются планеты;
Галилео Галилей (XVI-XVII в.в.) показал, что параболы возникают в совсем “земной”
ситуации. Догадка Галилея была гениально простой: тело, брошенное под углом к
горизонту, двигается по параболе.
Интересные свойства параболы.
(см. приложение1)
1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом
параболы, и некоторой прямой, называемой её директрисой.
оптичекие свойства.avi
2. В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет далёкой
звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.
3. В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид чудес».
Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а
остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.
4. Конические сечения были открыты в Древней Греции и описаны Аполлонием Пергским
(ок. 260 — ок. 170 гг. до н. э.). Коническими сечениями называют эллипс, гиперболу и
параболу, так как эти кривые можно получить на поверхности круглого конуса в
пересечении плоскостью, не проходящей через вершину конуса. При этом поверхность
конуса мыслится неограниченно продолженной в обе стороны от вершины. Почти 2 тыс.
лет казалось, что теория конических сечений применима только к решению чисто
математических задач. Но в XVI в. математик и астроном Иоганн Кеплер, стараясь
описать законы движения планет, высказал гипотезу, что траектории движения планет
Солнечной системы — это эллипсы. Правда, доказать это смог не Кеплер, а Исаак Ньютон
в 1687 г. в своей книге "Математические начала натуральной философии", которая
послужила основой всей современной теоретической физики. Ньютон, хорошо знавший
древнюю теорию конических сечений, справился с задачей доказательства эллиптичности
планетных траекторий при помощи хитроумных геометрических построений и закона
всемирного тяготения.
После того как в XVII в. философ и математик Р. Декарт ввел понятие координатной
плоскости, оказалось возможным записать каждую линию на плоскости уравнением,
связывающим ее текущие координаты. Уравнения, задающие эллипс (в частности
окружность), гиперболу и параболу, во всякой системе декартовых координат являются
уравнениями второй степени. Поэтому соответствующие линии называются кривыми
второго порядка.
Кривые второго порядка часто фигурируют при математическом описании законов
природы. Почему эта модель оказалась столь плодотворной для приложений? Почему, в
частности, сечение конуса описывает движения планет? Загадка. Ответа на этот вопрос
пока нет. Но ясно, что если бы теория конических сечений не была заранее разработана
математиками, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты,
а это затормозило бы развитие науки.
В школе рассматривается подробнее всего одно из конических сечений — парабола”.
Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его
образующей, то в сечении получится парабола.
5. .Если вращать параболу вокруг оси её симметрии, то получится очень интересная
поверхность, называемая параболоидом вращения.
6. Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения.
Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном
стакане чая, а потом вынете ложечку.
7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить
источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала,
образуют параллельный пучок.
8. Фермы, поддерживающие железнодорожный мост длиной в 120 м, имеют вид
параболы, заданной уравнением у = ax²..
9. Если в пустоте кинуть камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по
параболе.
10. Никогда не задумывались, но с детства знакомая нам радуга, тоже имеет форму
параболы.
11. Форму параболы имеют и арки мостов, и струя воды, пущенная из шланга.
Уравнение параболы с осью, параллельной одной из осей координат.
Рассмотрим функцию
у = х2
Вы, конечно, строили ее график и знаете, что у этой кривой есть специальное название –
парабола.
Вспомним, какими свойствами обладает данная функция:
1. Четная степень х указывает на то, что изменение знака абсциссы любой точки не меняет
знака ее ординаты, т. е. что точки параболы с ординатами, отличными от нуля, симметричны относительно оси ординат.
2. Парабола имеет единственную точку,
лежащую на оси симметрии, — это ее вершина, совпадающая с началом координат.
3. Все точки параболы, кроме ее вершины, расположены над осью абсцисс, причем с
увеличением абсолютных значений их абсцисс они неограниченно удаляются от оси
абсцисс.
Построение такой параболы можно выполнить (рис. 1) по точкам, координаты которых
даются в следующей таблице значений:
Y
0 ±1 ±2 ±3 ±4
У
0 1
4
9
16
y=x
X
²
0
X
Рис. 1
Можно, конечно, построить график в тетради по точкам, но гораздо удобнее и быстрее
можно сделать это с помощью компьютера. Запускаем программу Advanced Grapher.(или
любую другую программу для построения графиков функций). Вид окна программы
изображен на рис. 1.
Используем следующие знаки арифметических операций: +, –, *, /, ^ соответственно для
сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень. Для записи модуля |x|
используем функцию ABS(x).Рис. 1. Окно приложения Advanced Grapher
Для построения нового графика нужно нажать кнопку
на панели инструментов. На
экране появляется окно Добавить график (Рис. 2). В поле ввода Формула вводим заданное
выражение Y(x) =x^2.
Рис. 2. Окно добавления графика
Далее выбираем цвет и толщину линии. Нажимаем кнопку ОК и график готов.
Для построения графиков использовалась программа Advanced Grapher.
(см. сайт www.serpik.com/agrapher/index.htm)
Лабораторная работа
1. Загрузите программу построения графиков функций:
F1 – справка по работе с программой.
2. Построить график функции У=Х2 желтого цвета.
3. Построить график функции У=2Х2 зеленого цвета.
4. Построить график функции У=3Х2 – синего цвета.
5. Сделайте вывод: что должно произойти с графиком функции У=Х2 , чтобы получились
графики У=2Х2 и У=3Х2.
6. Построить графики функций У=
Х2 красного цвета и У=
Х2 черного цвета.
7. Сделайте вывод: как из графика У=Х2 получить У= Х2 и У= Х2.
8. Построить график функции У= -4Х2 голубого цвета.
9. Сделать вывод: куда направлены ветви параболы при А>0 и при А<0.
10. Используя все построенные графики функций, сделать вывод: при каких значениях А
функция принимает положительные и отрицательные значения, значение, равное нулю.
11. По графикам функций найти координаты точек, в которых значения функции равны
нулю.
12. Сделать вывод: что называют нулями функции.
13. По графикам определить будет ли функция принимать одни и те же значения У при
противоположных значениях Х.
14. Сделайте вывод: симметричны ли графики данных функции относительно осей
координат.
15. Как записать в общем виде уравнения всех построенных графиков функций.
Способ построения параболы и ее вид следует запомнить, так как он довольно часто
используется при построении графиков других функций. Свойства функции У=АХ2
вспомним с помощью алгоритма.
Алгоритм исследования свойств функции У=АХ2 :
1. Если А>0, то ветви параболы направлены вверх.
Если А<0, то ветви параболы направлены вниз.
2. Если А>1, то парабола растягивается от оси Ох вдоль оси Оу.
Если 0<А<1, то парабола сжимается к оси Ох вдоль оси Оу.
3. Функция У=АХ2 возрастает, если: А>0 и Х>=0 или А<0 и Х<=0
убывает, если: А>0 и Х<=0 или А<0 и Х>=0
упражнения
Какие из точек А( 2;1), В (-1; 1/2), С ( 1/2; 1/4), D ( 2;4) лежат на параболе у=х²? Как по
отношению к точкам параболы расположены те из заданных точек, которые на ней не
лежат?
2. По графикам определить знак коэффициента А функции У = АХ2?
3. Сравнить значения коэффициентов А с единицей в формулах построенных графиков
функций.
4. Не выполняя построений графиков функций, определить, является ли убывающей
на промежутке Х<0 функция: У = 4Х2; У = - 0,2Х2; У = - 5Х2; У = 1/3Х2.
5. Являются ли возрастающими на промежутке [-3; 3] функции: У = 0,1Х2; У = - 6Х2.
6. Пересекаются ли парабола у=х² и прямая:
а) у = 2х+8; б) у = 2х – 3; в) у = – х – 1/4; г) у = - х + 4 ?
Если пересекаются, то найдите координаты точек пересечения.
7. Решить графически уравнения:
а) х² - 2х + 1 = 0; б) х² - 2х – з =0; в) 4 х² - 12х + 8 = 0
8. При каких значениях к прямая у = кх – 6 и парабола у = х²:
а) имеют две точки пересечения
б) имеют одну точку пересечения
в) не имеют точек пересечения ?
9. При каких значениях параметра «к» парабола у = х² и прямая у = кх – 3 имеют
общую точку, абсцисса которой равна:
а) х = 4; б) х = - 1; в) х = 3; г) х =√3.
Существуют ли еще и другие точки пересечения?
10. На параболе у = х² выбрана точка М(2;4) и через нее проведена секущая с
угловым коэффициентом «к». Выразите через «к» абсциссу второй точки пересечения
параболы и секущей. При каком значении «к» обе точки пересечения сольются, т.е.
прямая будет касаться параболы?
11.
Выберите самостоятельно точку, лежащую на параболе у = х² и ответьте на
вопросы предыдущего задания.
12. При каком соотношении между «к» и «в» прямая у = к х + в и парабола у = х²
имеют единственную точку пересечения?
Обобщение изученного.
Итог урока.
Урок 3-4. Прикладные задачи, связанные с квадратичной
функцией.
Дополнительный материал (можно рассмотреть на уроке или факультативном
занятии).
«Стоя на одном месте,
новых горизонтов не откроешь»
(поговорка)
Цель урока:
1.Развитие межпредметых связей.
2.Способствовать умению переноса знаний в новую ситуацию.
3.Развитие творческих способностей учащихся.
Ход урока:
1. Парабола, как огибающая.
2. Парабола, как нитка с бусинками.
3. Вышивание параболы.
4. Парабола, как след карандаша
5. Полет стрелы.
6. Задача о зеркале прожектора.
7.Примеры зависимостей, выражающихся квадратичной функцией.
Другие способы получения параболы. Дополнительный материал
Учитель: Получить график квадратичной функции – параболу можно и другими
способами.
Учитель: Параболу можно определить как кривую, состоящую из всех точек М
плоскости, одинаково удалённых от заданной точки – фокуса параболы – и от
заданной прямой – директрисы. Такое определение параболы наводит на идею
создания чертёжного прибора, способного вычерчивать параболу. Прибор
состоит из линейки и угольника, к одному из острых углов которого прикреплена нить, по
длине равная прилегающему к этому углу катету-I. Другой конец нити закрепляется в
точке плоскости – фокусе параболы, линейка прикладывается к директрисе, угольник
скользит катетом-II по линейке, а карандаш (мел) удерживает нить в натянутом состоянии
и прижимается к катету-I, скользя вдоль него. При движении угольника вдоль линейки
карандаш (мел) вычерчивает параболу. (Учитель демонстрирует получение параболы с
помощью модели, изготовленной из линейки, угольника, нити).
Учитель: Легко получить параболу с помощью обычного
карманного фонарика. (Учитель демонстрирует получение
кривых с помощью фонарика, экрана). Световое пятно от
вертикально расположенного фонаря будет кругом. Немного
повернём его, и пятно будет иметь форму овала. Такой овал
называется эллипсом. При дальнейшем повороте фонарика
эллипс будет всё больше и больше вытягиваться, а в некоторый
момент его наиболее удалённая точка уйдёт в бесконечность.
Кривая, ограничивающая такое пятно, называется параболой. Неограниченные кривые,
которые получаются при дальнейшем вращении фонарика, называются гиперболами. Все
получившиеся кривые – окружность, эллипс, парабола, гипербола – конические сечения.
Такое название они получили заслуженно, поскольку световой столб, выходящий из
фонарика, является конусом.
Парабола, как огибающая.
Параболу можно рассматривать, как огибающую семейства прямых. Можно показать
миниатюру «Парабола, как огибающая» (см. сайт www.etudes.ru ) Выполним следующие
задания:
1.Возьмем прямоугольный лист бумаги, отметим точку А на нем и будем сгибать лист
таким образом, чтобы нижний край проходил через точку А (рис.1).
рис.1
Отметим на наложенном нижнем крае точку, совпадающую с А, и. развернув лист,
получим точку S, являющуюся следом точки А на нижнем крае.
Произведя много сгибаний и расправляя каждый раз лист, получим много следов S,
S, S, … на нижнем крае и столько же линий сгиба m, m, m, …(рис. 2).
Рис.2
При внимательном рассмотрении листа можно разглядеть область на листе, через точки
которой не проходят линии сгиба. Эта область содержит точку А и ограничена некоторой
кривой, которая называется огибающее, каждая линия сгиба касается огибающей в
некоторой точке. Огибающая является параболой.
2. Рассмотрим угол с вершиной О и сторонами n и m. На сторонах угла отметим две
фиксированные точки N и M соответственно, равноудаленные от вершины угла О. На
сторонах n и m рассмотрим соответствующие последовательности точек N, N, N, … и M,
M, M, …, при чем MM = NN и точки M и N расположены по разные стороны от прямой
MN
Перегибая угол по прямым MN и разгибая, получим следы сгибов.
Рассмотренное семейство прямых имеет огибающую, являющуюся параболой.
Рис.4
3. Огибающая и оптическое свойство. Рассмотрим огибающую (т.е. параболу) для
некоторого однопараметрического семейства линий сгиба. Пусть произвольная прямая m
касается параболы в точке М, H – проекция точки М на нижний край k и S – след точки
А на нижнем крае (рис. 5).
Тогда AM = HM по свойству параболы, AM = MS по свойству серединного
перпендикуляра.
Длина наклонной MS равна длине перпендикуляра MH, следовательно, S совпадает с H.
Поэтому отрезки AM и HM образуют с касательной равные углы, при чем HM
перпендикулярно краю k.
Если в точке М установить зеркало вдоль касательной и обращенное отражающей
поверхностью к параболе, то световой луч АМ после отражения в точке М пойдет вдоль
луча HM. Следовательно, все лучи выходящие из фокуса А, после отражения,
Рис.5
от параболического зеркала пойдут в одном и том же направлении, перпендикулярном
краю k, т.е. перпендикулярно директрисе k (рис.5).
Парабола как нитка с бусинками
Начертите прямую d и на расстоянии р от нее отметьте точку F (рис. 6).
Рис. 6.
Выберите достаточно много чисел r, удовлетворяющих р неравенству
Для каждого выбранного числа r проведите параллельно прямой d прямую l, удаленную
от d на расстояние r.
Опишите дугу s радиуса r с центром в точке F.
Точки пересечения построенных прямых l и соответствующих дуг s будут (как бусинки на
нитку) нанизываться на параболу, поскольку они находятся на одинаковом расстоянии от
фокуса F и директрисы d параболы.
Вышивание параболы
На листе плотной бумаги начертите прямую m и перпендикуляр FA к ней (рис. 7).
Рис. 7.
На прямой m, по обе стороны от точки А, выберите произвольно несколько точек М1, М2,
… Мn.
Приложите прямоугольный треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с
точкой М1, один катет прошел через точку F и весь треугольник расположился выше
прямой m.
На другом катете отметьте точку N1.
Точно так же постройте еще точки N1, N2, Nn.
Возьмите иглу с цветной ниткой, завяжите на нитке узелок, проткните с обратной стороны
лист бумаги в точке М1 и соедините стежком точку М1 с точкой N1, потом точно так же —
точку М2 с точкой N2, точку М3 с точкой N3, и так далее.
Вы заметили, что все нитки сгущаются (можно сказать, скапливаются) вокруг одной и той
же кривой? "Увиделась" ли вам в этой кривой парабола?
Парабола как след карандаша
На листе плотной бумаги проведите прямую d, которая станет директрисой будущей
параболы.
Выберите точку F (фокус параболы) вне этой прямой и воткните в нее булавку.
Чтобы вам легче было ориентироваться, обозначьте вершины используемого далее
чертежного прямоугольного треугольника буквами А, В, С. Один конец нити, длина
которой равна катету ВС, привяжите к булавке F, другой конец закрепите кнопкой в
вершине В треугольника (рис. 8).
Рис. 8.
Теперь вам предстоит довольно непростая работа: приложите катет АС к прямой d и
одной рукой передвигайте треугольник вдоль этой прямой; в другую руку возьмите
карандаш и его острием М натягивайте нитку, прижимая ее к катету ВС треугольника.
Легко видеть, что отрезки MF и МС равны и, следовательно, острие М карандаша
описывает параболу. Кропотливо? Да, но красиво!
Лабораторная работа. (Дополнительный материал для сильных учащихся)
1.Подготовьте набор принадлежностей для построения параболы. Для заданных фокуса и
директрисы постройте соответствующую им параболу.
2.Расстояние от фокуса параболы до директрисы равно 4 см. Чему равно наименьшее
расстояние от точек на параболе до директрисы? Укажите соответствующую точку на
параболе.
3.Для параболы с заданным фокусом и директрисой проведите касательную,
перпендикулярную оси параболы.
4.Что будет происходить с параболой. Если фокус: а) приближается к директрисе; б)
удаляется от директрисы?
5. Для параболы с заданным фокусом и директрисой проведите касательную, проходящую
через данную точку: а) на параболе; б) вне параболы.
Докажите, что две касательные к параболе, проведенные из точки, принадлежащей
директрисе, перпендикулярны.
7.Для заданных фокуса и директрисы параболы с помощью циркуля и линейки постройте
несколько точек параболы.
8.Даны фокус параболы и две касательные. Постройте директрису этой параболы.
9. Даны фокус, касательная и на ней точка касания. Постройте директрису параболы.
10.Даны директриса и две касательные. Постройте фокус параболы.
11. Даны директриса, касательная и на ней точка касания. Постройте фокус параболы.
12.Даны две пересекающиеся прямые. Нарисуйте какую-нибудь параболу, касающуюся
этих прямых. Сколько таких прямых? Какие точки плоскости могут быть фокусами этих
парабол?
13.Дана парабола. Укажите способ нахождения ее фокуса и директрисы.
Показать миниатюру «Оптические свойства параболы» (см. сайт www.etudes.ru ).
Задача.
Построй те график функции у = х². Масштаб возьмите покрупней: 1=2см( 4 клетки).
Отметьте на оси оу точку F (0, 1/4). Полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до
какой-нибудь точки М параболы. Затем приколите полоску в точке М и поверните ее
вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного
ниже оси абсцисс. Отметьте на полоске, на сколько она выйдет за ось абсцисс (рис. 4).
Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. На сколько
теперь опустился конец полоски за ось абсцисс?
Результат я могу вам сказать заранее: какую бы точку на параболе у = х² вы ни взяли,
расстояние от этой точки до точки (0;1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси
абсцисс всегда на одно и то же число – на 1/4.
Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы у = х² до точки (0;1/4) равно
расстоянию от той же точки параболы до прямой у = - 1/4, параллельной оси ох.
Эта замечательная точка F (0;1/4) называется фокусом параболы у = х², а прямая
у = - 1/4- директрисой этой параболы. Директриса и фокус есть у всякой параболы.
Задача Полет стрелы
С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с,
высота башни 20 м и t – время полёта стрелы (в секундах), то расстояние h (в метрах)
стрелы от поверхности земли можно найти по формуле h=-5t2+50t+20 (приближённое
значение ускорения свободного падения считается равным с 10 м/с2). Какой наибольшей
высоты достигнет стрела? Постройте график движения стрелы по уравнению h= -5t2
+50t+20. Значение t[1;8] c шагом 1. Отметьте точку, в которой стрела достигнет
наибольшей высоты.
Задача о зеркале прожектора
Знакомство с новым классом математических задач опять начнем с нескольких простых
примеров. Мы уже встречали дифференциальные уравнения. Данный пример будет связан
с определением формы зеркала прожектора. Соответствующую задачу сформулируем
следующим образом: найти такую форму зеркала, чтобы лучи от точечного источника
света после отражения в нем образовывали параллельный пучок.
Из соображений симметрии ясно, что поверхность зеркала должна быть поверхностью
вращения с осью, проходящей через источник света параллельно отраженным лучам.
Проведем через ось какую-нибудь плоскость и рассмотрим сечение нашего зеркала этой
плоскостью. Введем в ней систему координат х, у. Начало координат О совместим с
источником света, а ось у направим параллельно отраженным лучам (см. рис.3).
Уравнение линии пересечения данной плоскости с зеркалом запишется в виде у = φ (х).
Наша задача заключается в том, чтобы найти функцию φ(х), определяющую форму
зеркала.
Рассмотрим рис.4. Пусть М — произвольная точка искомой линии, ее координаты (х, у),
NQ— касательная к линии в точке М, N — точка пересечения касательной с осью у. Луч
света, выходящий из точки О, после отражения от зеркала в точке М должен идти
параллельно оси у. Согласно закону отражения  ОМN =  РМQ. С другой
стороны,  ОNМ=  РМQ, как соответственные при параллельных прямых. Таким
образом, в треугольнике ОМN углы в вершинах М и N равны, т. е. этот треугольник
равнобедренный. В результате будем иметь:
2
2
ОN = ОМ = x  y
Теперь рассмотрим ΔКМN и подсчитаем тангенс угла КМN, равного углу α:
tg α = KN/KM = (KO + ON)/KM.
2
2
2
2
Таким образом,
tg α = (у + x  y )/х = х/( x  y – у).
(1)
Угол α определяет наклон касательной в точке М к оси х, тангенс этого углу равен, как
известно, производной у´: у´ = tg α . Подставляя это выражение в соотношение (1),
получим следующее уравнение:
2
2
у´ = х/( x  y – у). (2)
Y
Такие уравнения, связывающие независимую переменную х, искомую функцию у и ее
производную у´, называются дифференциальными уравнениями.
X
0
Y
Рис. 3 Ход лучей света в зеркале прожектора.
Р
Q
α
M
0
X
N
Рис. 4 Геометрическая схема, иллюстрирующая вывод уравнения зеркала.
Примеры зависимостей, выраженных через квадратичную функцию.
1.Уравнение координаты тела, движущегося под действием постоянной силы
at 2
х = х0 + V0t +
2
(частные случаи этого движения х0 = 0, V0 = 0).
2. Зависимость кинетической энергии от скорости
mV 2
W=
,
2
электрической мощности от тока N = RI2 и др.
3.В электроизмерительных приборах электромагнитной системы угол поворота стрелки
пропорционален квадрату силы тока. Шкалы этих приборов называются квадратичными,
они неравномерные.
4.Количество тепла, выделяемого за 1 с при прохождении тока в проводнике с
постоянным сопротивлением R Ом и силой тока в 1 ампер выражается квадратичной
функцией Q = 0,24 RI² (калорий). Графиком этой функции является правая ветвь параболы
с вершиной в начале координат.
5.Груз, сброшенный с самолета на высоте h с начальной скоростью v0 при своем
падении описывает правую ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной
gx 2
(0;h) : y = h .
2v 0
6.Тело, брошенное под углом  к горизонту с начальной скоростью v0 м/с (без учета
сопротивления воздуха), летит по кривой, являющейся параболой: у = x·tg  -
gx 2
.
2v02 cos 2 
Подбор материала к данному уроку можно поручить учащимся, посещающим
факультатив и проявляющим интерес к предмету. Материал может быть представлен в
форме доклада или в форме компьютерной презентации. Можно использовать также
готовый математический этюд (см. сайт www.etudes.ru ).
Задача. Вдоль наклонной доски пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 0,5
м от начала пути шарик побывал дважды: через 1 и 4 с после начала движения. Считая
движение равнопеременным, определить его начальную скорость и ускорение.
Решение. Здесь
формулой
си
c есть абсциссы точек пересечения параболы, задаваемой
(где
), с прямой x = l = 0,5. Другими словами, при x = l,
и есть корни квадратного уравнения
Используя теорему Виета, получаем:
, значит
Итог урока
, или
(м/с2) и
(м/с2).
Урок 5-6. Гфики функций у=ах², у = ах² + в, у =а(х –m)², у
=а(х –m)²+в.
«Математик, который не является
отчасти поэтом, никогда не достигнет
совершенства в математике».
К. Вейерштрасс
Цели урока:
1.Формировать умения и навыки построения графика квадратичной функции по планусхеме и с помощью преобразования графиков.
2.Развивать у учащихся умение применять логические операции – сравнение; анализ;
развивать и активизировать познавательные процессы – мышление, внимание,
восприятие; приобщение учащихся к информационным технологиям;
3.Формировать эстетическую культуру при построении чертежей; умение работать в
группе, воспитывать сотрудничество, культуру общения; позволить ощутить учащимся
свою значимость при овладении компьютерными программами.
Ход урока:
1.Объяснение нового материала
2.Алгоритм построения графиков квадратичной функции.
3.Преобразование графиков функций.
4.Использование компьютерных программ для построения и преобразования графиков.
5.Итог урока.
Эпиграф к нашему сегодняшнему уроку поощряет нас не останавливаться на достигнутом,
а двигаться дальше. Расширяя горизонты своих знаний. Мы начнем наш урок с
небольшого видеоряда. Как вы думаете, что объединяет все эти рисунки? Правильно, на
каждом из них мы видим форму, напоминающую нам параболу. Сегодня мы продолжим
разговор об этой удивительной линии, обобщим уже имеющиеся знания по теме урока,
откроем для себя новые свойства параболы.
Графиком какой функции является парабола?
Какая функция называется квадратичной?
Мы с вами уже рассмотрели частные случаи квадратичной функции, научились строить
графики функций у=х², у=ах², у = ах² + в, у =а(х –m)²,
Рассмотрим функции вида у=ах², у = ах² + в, у =а(х –m)², у =а(х –m)²+в.
Пусть первоначально а > 0. ясно, что каждая ордината графика функции у=ах² в а раз
больше соответствующей ординаты графика функции у=х². Здесь возможны различные
варианты в зависимости от значения а. Если а > 1, то все ординаты графика функции у=х²
при умножении на а увеличиваются и сохраняют направление. При 0 < a <1
уменьшаются, сохраняя направление. Дадим несколько примеров графиков функции у=
ах² при а= 2, 1, 1/2 (рис.5). Из этих примеров видно, что графиком функции у=ах² является
та же парабола, только более широкая (если 0 < a <1) и более узкая (если а >1).
Пусть а < 0. Сравним точки графиков у=ах² и у= -ах², у которых абсциссы совпадают.
Легко заметить, что их ординаты противоположны. Следовательно, график функции
у= - ах² симметричен графику у=ах² относительно оси ОХ, т.е. является параболой, ветви
которой направлены вниз.
Графики функций у = ах² + в получаются из графиков функций у = ах² параллельным
переносом вдоль оси ОУ на в единиц. Если в < 0, то сдвиг происходит вниз, а если в > 0,то
сдвиг происходит вверх.
Графики функций у =а(х –m)² получаются из графиков функций у = ах² параллельным
переносом вдоль оси ОХ на m единиц. Если m > 0,то сдвиг осуществляется вправо, а если
m< 0,то сдвиг осуществляется влево.
?
x?
1/
4x
y=
y=
1/2
?
y=2x
y=4x?
Y
?
y=-4x?
y=-2
x
y=
-
1/4
x
y= ?
-1/
2x
?
X
Bсе выше перечисленные свойства графиков квадратичной функции нашли свое
отражение в следующем стихотворении:
Я есть парабола! Взгляните!
Как я стройна, изящна и горда!
Ведь, если модуль а превысит единицу,
То резко прочь направлюсь я тогда.
А если он поменьше единицы,
То плавно и изящно приближусь я к ОХ,
Ведь существо мое подобно птице,
Я не могу обидеть ось абсцисс.
Мне буква а указ и назиданье:
Лишь только от 0 она по праву руку встанет,
Как лебедь гордая, я крылья вверх стремлю
с огромнейшим желаньем.
А слева от нуля она немилосердна и жестока.
Приходится мне вниз лететь от дорогой оси абсцисс далеко.
А если b побольше 4ас,
То дважды с великою Ох я встречусь.
А если же они равны,
То лишь однажды к абсциссе я прикоснусь заветным поцелуем.
И жаль до слез, что встречи не бывает,
Когда меньше нуля их разность будет.
Да, если солнышко свои лучи моей оси протянет параллельно,
То, отраженные, они не могут жить отдельно
И в фокусе моем сходясь все вместе,
Мне силу дивную дают!»
И римляне бегут, оставив Сиракузы!
И спутник вверх умчался, как шальной.
Красавицы параболы великое искусство
И нам позволит облететь весь шар земной.
Задания:
Задание1. Внимательно рассмотрите рисунок. Сравните поведение графиков функций, у
которых а = -1, а = 1, а = -2,
а = 2, а = - 0,5, а = 0,5. Чем они похожи? Чем отличаются?
Задание2. Рассмотрим теперь функцию у = ах² + в. Попробуйте догадаться, с графиком
какой функции мы будем сравнивать график данной функции.
Для построения графика функции у = ах² + в сравним эту функцию с функцией
у=ах². При каждом х значение функции у=ах² отличаются от значений функции у = ах² + в
на одно и тоже число в.Геометрически это означает, что каждая точка графика функции у
= ах² + в получается из соответствующего графика функции у=ах² сдвигом на в единиц
вверх, если в > 0 и вниз, если в < 0, т.е. график функции у = ах² + в получен из графика
функции у=ах². Параллельным переносом вдоль оси оу на в единиц. Осью симметрии
параболы у = ах² + в является ось ординат. Вершиной является точка с координатами
(о;в).
Задание 3. Постройте графики функций: у =2х ²+1 б) у = -2х ² + 2 в) у = 0,5х ² - 1 г) у
= 0,5х ² + 4.
Для каждой из функций назовите координаты вершины и укажите направление ветвей.
Первый вариант выполняет построение по алгоритму:
Вычисли координаты вершины. Отметь её на координатной плоскости.
Через вершину проведи ось симметрии.
Вычисли и отметь нули функции.
Вычисли координаты дополнительных точек. Отметь их.
Проведи параболу.
Второй вариант выполняет построение с помощью параллельного переноса графиков.
После этого проводится взаимопроверка. Сравните друг с другом полученные графики.
Рассмотрим еще один вид квадратичной функции у =а(х – m)².
Сравнивая функции у=ах² и у =а(х – m)², мы видим, что значение функции у =а(х – m)²
при х =хо + m Совпадает со значением функции у=ах² при х = хо. Геометрически это
означает, что точка на графике функции у =а(х – m)² с абсциссой х =хо + m имеет
одинаковую ординату с точкой графика функции у=ах² , имеющей абсциссу х =х о. Иными
словами, график функции у =а(х – m)² получен из графика функции у=ах² параллельным
переносом влоль оси абсцисс на m единиц вправо, если. m > 0 и влево, если m < 0.
Вершиной параболы у =а(х – m)² является точка (m; о), а осью симметрии – пряиая,
проходящая через эту точку, параллельно оси ординат.
Задание 4. Исходя из графика функции у = х², постройте графики функций:
а) у = (х – 2)²+ 3 б) у = (х + 1)² - 2 в) у = (х – 3)² - 1 г) у = (х + 2)² + 4
Задание можно выполнять как на доске и в тетрадях, так и на компьютере, используя
любую программу построения графиков или электронные учебники (см Дрофа –
Мультимедиа).
Задание 5. По данному графику функции назвать ее уравнение и дать ее краткую
характеристику.
Тест
Задание 1. Какой из графиков соответствует формуле у = -1/2 x2?
Задание 2. Найти область значений функции у=2+1/3 x2.
1) [0; ) 2) [2; ) 3) (- ; 2]
Задание 3. В каких координатных четвертях расположен график функции у=0,2(x-3)2.
1) I и II 2) II и III 3) I и IV
Задание 4. Какое из чисел {4;6;9}не принадлежит области значений функции
y=2(x-3)2+6?
1) 4 2) 6 3) 9
Задание 5. При каких значениях x из множества {1;2;3;4} функция y=(x-3)2+5 принимает
равные значения?
1) 1 и 2 2) 2 и 3 3) 2 и 4
Тест (для сильных учащихся)
Задание 1. Установите, на каком рисунке изображен график функции у = -0,5 х² - 3
Задание 2. Укажите, на каком рисунке изображен график функции у = (х + 2)² - 4
Задание 3. Определите, на каком рисунке изображен график функции у = 4 - х│х│
Задание 4. Найдите p и q, если точка А(2;-6) является вершиной параболы у = х² + pх + q
1) p = 4 q = 2
2) p = -4 q = -2
3) p = -4 q = 2
4) p = 4 q = -2
Задание 5. Установите, какая из точек А(-2;3), В(4;9), С(-4;11), D(2;-1) принадлежит
графику функции у =
х
3
² -5
( х)
1) С
2) А 3) D
4) В
Задание 6. Найдите нули функции у – х( х  2 )² - 4х
1) 0,2
2) 0,6
3) 6
4) 0
Задание7. Найдите промежуток убывания функции у = (х – 2)² + (х – 1)²
1) (-∞;3]
2) (-∞;2]
3) (-∞;1,5]
4) (-∞;-2]
Задание 8.Найдите наибольшее значение функции, заданной формулой у = -4 х² +7х -3
1) 1/8
2) -1/8
3) - 3/16
4) 1/16
Итог урока.
Урок 7-8. Квадратичная функция и ее график.
«Считать несчастным тот день или тот час,
в который ты не усвоил ничего нового,
ничего не прибавил к своему
образованию».
Ян Амос Коменский
Цели урока:
1.Систематизировать, обобщить и расширить знания учащихся по теме урока.
2.Содействовать развитию математического мышления учащихся.
3.Способствовать развитию творческих способностей учащихся.
Ход урока:
1.Актуализация опорных знаний
2Объяснение нового материала
3Отработка навыков построения графиков квадратичных
функций.
4Применение полученных знаний в нестандартной ситуации.
5 Итог урока.
1.Проверка знаний, подготовка учащихся к сознательному усвоению нового материала
Дана функция: y = x2 - 4х + 3
Какие способы построения параболы мы уже знаем? (по точкам, с помощью шаблона)
Для того, чтобы воспользоваться шаблоном параболы, что нам нужно знать? (координаты
вершины параболы и ось симметрии)
Как можно найти координаты вершины параболы? (воспользуемся методом выделения
полного квадрата)
4.
Проходит ли ось симметрии данной параболы через точку (2; -1)?
5. Найти нули функции.
6. Вычислить y(0).
7. Вычислить y(4).
Для выполнения задания используем метод выделения полного квадрата: у = х² - 4х +4 – 1,
у = (х – 2)² - 1. Координаты вершины: (2;- 1). Ось симметрии х = 2. Ветви направлены
вверх. Двое учащихся выполняют задание на боковых досках для последующей проверки.
2. Объяснение нового материала
Всегда ли удобно применять метод выделения полного квадрата для нахождения вершины
параболы? Обратите внимание на эпиграф к нашему уроку. Сегодня мы познакомимся с
универсальным методом построения графика квадратичной функции. Знание этого метода
всегда приведет нас к желаемому результату.
Функцию у =ах² + вх + с называют квадратичной, если а, в, с – действительные числа и а
не равно 0. для построения графика квадратичной функции воспользуемся методом
в
в
в2
в2
х ) + с = а( х² + 2
х 2 - 2 )+с
а
2а
4а 4а
2
2
в
в 4ас  в
4ас  в
= а(х +
)² +
. Точка с координатами (- ;
) является вершиной
2а
2а
4а
4а
в
параболы, а прямая х = - , параллельная оси оу, является осью симметрии параболы.
2а
При a>0 ветви параболы направлены вверх, при a<0 – вниз, величина а показывает
выделения полного квадрата: ах² + вх + с = а(х² +
«крутизну» параболы – чем больше а , тем круче поднимаются вверх (опускаются вниз)
ее ветви.
График квадратичной функции называется параболой:
a>0
a<0
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Парабола имеет ось симметрии, которая проходит через вершину параболы. Вершина
разделяет параболу на две части – ветви параболы. Мы уже знаем, что если в = с = 0, то
функция примет вид у=ах2 и вершина такой параболы совпадет с началом координат. Так
в
4ас  в 2
как ах² + вх + с = а(х +
)² +
, то график квадратичной функции у = ах² + вх + с
2а
4а
получается параллельным переносом графика функции у = ах2 на вектор р(х0, у0), где
в
4ас  в 2
х0= - , у0=
есть координаты вершины параболы.
2а
4а
У = ах2
у = ах² + вх + с
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Рассмотрим план построения графика функции: у = ах² + вх + с:
1.Вычисли координаты вершины. Отметь её на координатной плоскости.
2.Через вершину проведи ось симметрии.
3.Вычисли и отметь нули функции.
4.Вычисли координаты дополнительных точек. Отметь их.
5.Проведи параболу.
Отработка навыков построения графиков квадратичных функций.
Задание: построить график функции у = х² + 6х + 5.
1.Найдем координаты вершины х 0 = -3, у 0 = - 4
2. Ось симметрии х = -3
3. Нули функции х = - 5, х = - 1
4.Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и проводим через них
параболу (иногда требуется найти несколько дополнительных точек).
Для построения графика данной квадратичной функции можно использовать шаблон
параболы у=x2. Для этого достаточно вычислить координаты вершины параболы,
отметить ее на координатной плоскости, провести ось симметрии, определить
направление ветвей и, приложив шаблон соответствующей параболы к вершине,
построить заданный график.
Задание: используя шаблон параболы y = 2x2, построить график функции y = 2х² - 2х +1.
2
1
Найдем координаты вершины параболы х 0 = = . Для того, чтобы найти вторую
22 2
координату не обязательно запоминать формулу, достаточно подставить х 0 в формулу,
2
1
1
1
задающую функцию: у 0 = 2·   - 2·   + 1 = . Координаты вершины параболы
2
2
2
1 1
1
( ; ), ось симметрии х = .
2 2
2
Первичный контроль знаний.
Вариант I
Найдите координаты вершины параболы
Y= - x2-2x+2
А) (-1;3) Б) (1;3) В) (-1;-3) Г) (1;-1)
Укажите график функции y = - x2-2x+2
3. Найдите промежуток убывания функции y = -x2-2x+2
А) (- ;1] Б)[1;+ ) В) (- ;-1] Г) [ -1;+ )
4.Укажите график функции y = (x-3)2+1
Вариант II
Найдите координаты вершины параболы Y = - x2+4x-3
А) (-2;1) Б) (2;1) В) (2;-1) Г) (-2;-1)
Укажите график функции y = - x2+4x-3
3.Найдите промежуток убывания функции y = - x2 + 4x -3
А) (- ? ;-2] Б)[-2;+ ? ) В) (- ? ;2] Г) [2;+ ? )
4.Укажите график функции y = (x+2)2 +1
Шифры ответов:
1 вариант
Задание
1
2
3
4
Ответ
А
Б
Г
Г
Задание
1
2
3
4
Ответ
Б
В
Г
Б
2 вариант
Урок 9.Творческие задания на построение графика
квадратичной функции.
«Нельзя изучить математику, глядя,
как это делает сосед».
А.Нивен
Цели урока:
1.Научить определять вид и положение графика функции в зависимости от
аналитического выражения, которым записана данная функция.
2.Научить обобщать и обрабатывать информацию, полученную в результате проведенных
исследований.
3.Продолжить обучение построению графиков функций с помощью компьютерных
программ.
4.Развивать навыки самостоятельной работы и творческие способности учащихся.
Ход урока:
1.Актуализация опорных знаний, сообщение целей и задач урока.
2. Повторение алгоритма построения графика квадратичной функции, записанной
различными аналитическими выражениями.
3. Применение полученных знаний в нестандартной ситуации.
1.Повторение алгоритма построения графика квадратичной функции.
Как называется график квадратичной функции?
От чего зависит направление ветвей параболы?
Как определить координаты вершины параболы?
Назовите направление ветвей и координаты вершин парабол: y = - x2 + 2x + 8,
y = x2 - 4x + 7, у = -0,5 х² - 3, у = (х + 2)² - 4?
Какая прямая является осью симметрии каждой параболы?
Задание (для слабых и средних учащихся).
Построить график функции y = - x2 + 4x -3 и записать свойства данной функции.
1.Какие значения принимает переменная х? Как называется множество всех таких
значений?
2.Какие значения принимает функция? Как называется множество всех таких значений?
3.Назовите нули функции.
4.Назовите промежутки знакопостоянства функции.
5.Назовите промежутки возрастания и убывания функции.
6.Укажите наибольшее и наименьшее значения функции, если они существуют.
Проверить правильность выполнения задания с помощью компьютерной программы.
Задание (для сильных учащихся).
С помощью шаблонов парабол придумать и выполнить какой-нибудь рисунок, выполнить
его в тетради или на компьютере.
2.Применение полученных знаний в нестандартной ситуации.
Теперь, когда мы научились использовать различные методы построения графиков
квадратичных функций, познакомились с частными случаями построения параболы, мы
можем приступить к творчеству.
Вниманию учащихся представляется плакат и работы сильных учащихся.
Попробуем выполнить несколько рисунков с помощью графиков квадратичных функций
(первые два графика можно выполнить на доске, а затем предоставить учащимся
возможность творить самостоятельно).
Для выполнения этой работы можно воспользоваться компьютерной программой,
которую можно найти по адресу в Интернете: http://kgpu.real.kamchatka.ru
При отсутствии такой возможности можно выполнить построения в тетради.
На дом можно дать задание по готовому рисунку определить формулы, задающие
функции, или самим придумать аналогичные задания.
Итог урока.
Урок 10-11. Свойства квадратичной функции.
«Кто не знает, в какую гавань он плывет,
для того нет попутного ветра»
Сенека
Цели урока:
1. Изучить свойства квадратичной функции.
2. Научить учащихся самостоятельно по графику читать свойства квадратичной функции.
3. Научить применять полученные знания для решения задач.
4. Развивать творческую сторону мышления. Учить проводить исследование функций
элементарными методами.
5. Формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения.
Ход урока:
1.Свойства квадратичной функции
2.Работа с графиками квадратичных функций (чтение свойств по графику).
3.Проверка знаний, умений и навыков по теме урока
4.Итог урока.
1.Умение строить график квадратичной функции у =ах² + вх + с может помочь «увидеть»,
а потом и доказать некоторые свойства этой функции. Какие это свойства? Назовите
область определения, область значений и нули функции. Рассмотрим случай, когда а
положительно. Что вы можете сказать о графике данной функции? Выполним
схематичный рисунок и рассмотрим по графику свойства функции.
Свойство 1. Квадратичная функция определена при всех значениях аргумента:
D(ах² + вх + с)=(-∞,+∞)=R
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1-20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Свойство 2. Множество значений квадратичной функции есть луч:
Е (ах² + вх + с)=[y0, +∞) при а>0
Е (ах² + вх + с)=( -∞, y0] при а<0, где у0=
а>0
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
4ас  в 2
- ордината вершины параболы
4а
а<0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-20
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Y
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Свойство 3. Область определения квадратичной функции разделяется точкой
в
х0= - (абсциссой вершины параболы) на два луча монотонного изменения функции:
2а
D(ах² + вх + с)= ( -∞, х0]U[х0, +∞).
Луч ( -∞, х0] есть промежуток убывания функции при а>0 и промежуток возрастания
функции при а<0.
Луч [х0, +∞) есть промежуток возрастания функции при а>0 и промежуток убывания
функции при а<0.
в
Свойство 4. х0= -значение аргумента квадратичной функции, при котором она
2а
принимает наименьшее значение, если а>0, и наибольшее значение, если а<0.
Свойство 5. График квадратичной функции симметричен относительно прямой х0= -
в
.(в
2а
точках, равноудаленных от абсциссы вершины параболы квадратичная функция
принимает равные значения).
Свойство 6. Положение параболы относительно оси ох определяется в первую очередь
знаком старшего коэффициента квадратного трехчлена и знаком его дискриминанта (см.
таблицу).
Свойство 7. Если а>0, то y<0 , при x Є ( х1 ;х 2 ), где х 1 и х 2 - нули функции и у>0, при x
Є (-∞;х 1 )  (х 2 ;+∞).
Если же а<0, то y<0 при x Є (-∞;х 1 )  (х 2 ;+∞) и у>0 при x Є ( х1 ;х 2 ).
Сведем все перечисленные свойства в таблицу:
Отработаем навыки чтения графиков функций с помощью практических заданий.
Упражнение 1.Для каждой из квадратичных функций: 1) у = х² + 5, 2) у = 6 – 2х², 3) у =
2х² + 5, 4)у = 1/2 х²+5 найдите на чертеже ее график
Упражнение 2. Для каждой из квадратичных функций: 1) у = х² +2х, 2) у = х² -2х,
3) у = - х² +5х, 4) у = -х² -2х найдите на чертеже ее график
Упражнение 3. На чертеже изображены графики функций 1) у = ах² + вх + 1 и
2) у = - х² - х + с. Где какой график? Что больше: с или 1? Определите знак в.
Упражнение 4. На чертеже изображены графики функций 1) у = ах² + с и
2) у = х² +в х + d, при чем ось ОУ стерта.
А) какая функция имеет график 1? А какая – 2?
Б) Определите знаки с и d
В) определите знак в.
Упражнение 5. На чертеже изображены графики функций 1) у = х² +4 х + с,
2) у = х² +в х + d, 3) у = х² + 1, при чем ось ОХ стерта.
А) какая функция имеет график 1, какая -2, а какая -3?
Б) Что больше с или d?
В) Определите знаки с и d.
Упажнение 6. На чертеже изображены графики функций 1) у = х² +2 х , 2) у = d - х²,
у = - х² +в х – 6. Найдите в и d.
Упражнение 7. Парабола у = а х² +в х + с имеет вершину в первой четверти. Определите
знаки в и с.
Упражнение 8. Парабола у = а х² +в х + с имеет вершину в четвертой четверти и не
содержит точек второй четверти. Определите знаки всех коэффициентов.
3. Проверка знаний, умений и навыков по теме урока
1.Постройте график функции у=1,6 х². Укажите:
а) область определения и область значений функции;
б) промежутки возрастания и убывания функции.
2.Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у=3 х² и
прямой у=5х-2.
3. В каких точках парабола у = х² - 5х + 2 пересекает прямую у = 8?
4. Найти координаты точек пересечения параболы у = 0,5 х² + х – 12 с осями координат.
5. График функции у = а х²+ n проходит через точки (1;-2), (-4;28). Задайте эту функцию
формулой. Укажите область определения и область значений функции.
6.В каких координатных четвертях расположен график функции у = а х²+ n:
а) при а > 0, n >0 б) при a >0, n <0.
Укажите область определения и область значений функции.
7. При каких значениях в и с точка А (4;-6)является вершиной параболы у = х² + вх + с?
8.При каких значениях параметра а график функции у = а х²+ 7 пересекает ось ох?
9. При каких значениях параметра а функция у = 2 х² + ах + 8 принимает положительные
значения при любом значении х?
10. Найдите пары: «Квадратичная функция – график этой функции» и отметьте знаком
«+»
10Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0
0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Y
6
Y
6
Y
6
Y
6
5
5
5
5
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
1
1
2
Х
1
2
3
4
5
6
7
8
1
9 10
0
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Х
-6
-5
-4
-3
-1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Х
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
2
1
0
-6
-1
0
1
2
3
4
5
6
Х
0
-6
-1
0
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
у  ( х  1) 2  2
у  ( х  1) 2  2
у  х 2  2х  3
11. Даны пары: «Квадратичная функция – координаты вершины параболы»
Найдите ошибку.
Правильные ответы обведите в кружок.
3
6
Квадратичная функция
у = (х+4)2-5
у = (х+12)2-4
у = - (х-5)2+3
у = - (х+8)2-9
у = - (х-2)2-3
у = (х+12)2+20
-2
-2
у  ( х  2) 2  1
№
1
2
3
4
5
6
-3
-1
у  ( х  2) 2  1
2
5
-4
-1
-6
1
4
-5
Координаты вершины параболы
(-4;-5)
(12;-4)
(-5;-3)
(-8;-9)
(-2;-3)
(-12;20)
Попробуй обосновать и запомни следующие утверждения:
1.Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх.
2.Если а <0, то ветви параболы направлены вниз.
3.Если D<0, то парабола не имеет общих точек с осью ох, то есть располагается целиком
выше или ниже оси ох.
1
2
3
4
b
х = - 2a .
х и х соответственно.
4.Если D=0, то парабола касается оси ох в одной точке с абсциссой
0
5.Если D>0, то парабола пересекает ось ох в точках с абсциссами 1
2
6.Поскольку значение функции у = а х²+ вх + с при х = 0 равно с ( то есть у(0) = с), то
свободный член квадратного трехчлена совпадает с ординатой точки пересечения графика
функции с осью оу.
7.Если ас<0 (то есть коэффициенты а и с имеют различные знаки), то
а) парабола пересекает ось ох в двух различных точках
б) число 0 всегда находится между корнями квадратного трехчлена, то есть х1 <0< х2 при
а > 0 и х2 <0< х1 при а <0.
8. Если дискриминант D = b² - 4ac больше 0. то
2

 x1  0
ab  0
 x1  х  0
a)
 
 
2

ac  0
 х2  0
 х1  х  0
 x1  х 2  0
 x1  0
ab  0
б )
 
 
ac  0
 х2  0
 х1  х2  0
x  0  x2
в )[ 1
 х1  х2  0  ac  0
x2  0 x1
9.Ось параболы расположена слева от оси ОУ (то есть
х <0) если ав > 0.
0
х = 0), если в = 0.
11.Ось параболы расположена справа от оси ОУ (то есть х >0) если ав < 0.
b
Напомним, что х = - абсцисса вершины параболы.
2a
10.Ось параболы совпадает с осью ОУ(то есть
0
0
0
Итог урока:
Урок 12-13. Задачи с параметрами и квадратичная
функция
«Метод решения хорош, если с
самого начала мы можем предвидеть
– и впоследствии подтвердить это, что, следуя этому методу, мы
достигнем цели»
Лейбниц
Цель:
1. Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
2. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для
выполнения практических заданий более высокого уровня.
3.Содействовать рациональной организации труда; развивать познавательные процессы,
память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; повысить интерес к
нестандартным задачам, сформировать положительный мотив учения.
Ход урока:
1.Подготовительный этап (мотивация изучения нового, выявление целей урока и
ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке).
2.Актуализация ЗУН
3.Постановка проблемы, ее осмысление
4.Изучение нового материала (исследовательская работа),
5.Осмысление и первичное закрепление.
6.Текущий контроль и проверка его результатов.
7.Подведение итогов урока и домашнее задание.
Актуализация ЗУН.
Несколько слов о задачах на квадратный трехчлен с параметром.
Принято выделять четыре основных подхода к изучению квадратного трехчлена:
метод выделения полного квадрата;
нахождение корней квадратного трехчлена с последующей работой с полученными
корнями;
использование теоремы Виета;
использование графических представлений о квадратном трехчлене.
Естественно, что при решении конкретных задач не исключается одновременное
использование нескольких подходов.
При работе с квадратным трехчленом возникает обилие технических трудностей. Это
обусловлено алгоритмичностью соответствующего метода, а также тем, что большинство
задач на квадратный трехчлен с параметром допускают «прямое решение», то есть
решение, основанное на нахождении корней. Разумеется, далеко не всегда такое решение
является наиболее рациональным
Повторим необходимые для нас сведения о квадратичной функции.
2
.
Какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты
квадратного трёхчлена?
если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви параболы
направлены вверх,
если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы
направлены вниз,
если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то графиком функции
является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как
квадратное, а как линейное),
если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,
если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс,
если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,
B

абсцисса вершины параболы равна 2 A .
f x   Ax  Bx  C
Постановка проблемы: перед вами задания на урок, прочтите условия и ответьте на
вопрос: что общего во всех заданиях и что их различает?
Все уравнения квадратные, с параметром, и во всех есть условие расположения корней, а
различает их местоположение заданной точки. Каковы же случаи расположения корней?
Наиболее часто встречаются три случая расположения корней квадратного уравнения
Заданное число левее корней;
Заданное число между корнями
Заданное число правее корней
Исследовательская работа:
Сейчас каждая из трех групп получила задание на решение проблемы о взаимном
расположении точки, лежащей на оси ОХ, нулей функции и коэффициентов квадратного
трёхчлена. Используя инструкцию проведения исследовательской работы для своей
группы, попробуйте найти связь между этими тремя объектами, сформулируйте
получившейся вывод. Является ли это условие необходимым и достаточным?
Инструкционные карты:
1. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения больше заданного
числа М?
x1 , x2  M
Y
x
x2
O
x3
X
Возможны два случая:
и
A>0
A<0
Подумайте, что можно сказать о дискриминанте?
Подумайте, что можно сказать о f(M)?
Сравните М и абсциссу вершины параболы
Запишите систему неравенств

 f M .....,

 D....,
 B
 2 A .....M .

 f M .....,

 D....,
 B
 2 A .....M .
2. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения меньше заданного
числа М?
Y
Возможны два случая:
A>0
и
A<0
Подумайте, что
Подумайте, что
можно сказать о дискриминанте?
x
x2
Сравните М и абсциссу вершины
O
x3
X
можно сказать о f(M)?
параболы
Запишите систему неравенств

 f M .....,

 D....,
 B
 2 A .....M .

 f M .....,

 D....,
 B
 2 A .....M .
3. При каких значениях параметра а число М находится между корней квадратного
уравнения?
Y
x
x2
O
Возможны два случая:
A>0
X
x3
и
A<0
Подумайте, что можно сказать о дискриминанте?
Подумайте, что можно сказать о f(M)?
Сравните М и абсциссу вершины параболы
Запишите систему неравенств

 f M .....,

 D....,
 B
 2 A .....M .

 f M .....,

 D....,
 B
 2 A .....M .
Отчет об исследовательской работе:
Представители каждой группы выходят к доске, демонстрируют график своей проблемы,
записывают свою систему неравенств и формулируют вывод, объясняя, как они пришли к
такому решению, учащиеся записывают результат в тетрадь.
Все полученные в ходе исследования данные учитель обобщает и сводит в таблицу:
Теорема 1: чтобы оба корня
квадратного уравнения
Ах² + Вх + С =0
были действительными и
имели одинаковые знаки,
необходимо и достаточно
выполнение следующих
отношений:
D = в² -4ас ≥0
х1  х2 =с/а >0
При этом оба корня будут
положительными, если
х1 + х2 =-в/а >0
И оба корня будут
отрицательными, если
х1 + х2 =-в/а <0
Теорема 2: чтобы оба корня
квадратного уравнения
Ах² + Вх + С =0
были действительными и имели
разные знаки,
необходимо и достаточно выполнение
следующих отношений:
D = в² -4ас >0
х1  х2 =с/а <0
При этом положительный корень
имеет большую абсолютную величину,
если х1 + х2 = - в/а >0 .
Если же х1 + х2 = - в/а<0, то
отрицательный корень имеет большую
абсолютную величину.
Теорема 3:чтобы оба корня
квадратного уравнения
Ах² + Вх + С =0
Были меньше заданного числа М
, необходимо и достаточно
выполнение следующих
условий:
При а>0 f(M)>0 и

 Af M   0,

 D  0,
 B
  2 A  M .
При а<0 f(M)<0 и

 Af M   0,

 D  0,
 B
  2 A  M .
Теорема 4:чтобы оба корня
квадратного уравнения
Ах² + Вх + С =0
были больше заданного
числа М, необходимо и
достаточно выполнение
следующих условий:
При А>0 f(M)>0 и

 Af M   0,

 D  0,
 B
  2 A  M .
При А<0 f(M)<0 и

 Af M   0,

 D  0,
 B
  2 A  M .
Теорема 5: чтобы один из корней
квадратного уравнения
Ах² + Вх + С =0
был меньше числа М, а другой
больше числа М
(т.е. Заданное число М лежит между
корнями квадратного уравнения),
необходимо и достаточно
выполнение следующих условий:
При А>0: f(M)<0 D>0
При А<0: f(M)>0 D>0
Следствия:
1.Чтобы оба корня квадратного
уравнения
Ах² + Вх + С =0
были больше заданного числа М,
но меньше числа А (М< А), т.е.
лежали в интервале между М и
А, необходимо и достаточно
выполнение следующих условий:
при А>0: f(M)>0, f(A)>0, D≥0
при А<0: f(M)<0, f(A)<0, D≥0
2. Чтобы один из корней
квадратного уравнения
Ах² + Вх + С =0
был меньше числа М, а другой
больше числа А, (М< А), т.е.
отрезок МА целиком лежал
внутри интервала между
корнями, необходимо и
достаточно выполнение
следующих условий:
при А>0: f(M)<0, f(A)<0, D≥0
при А<0: f(M)>0, f(A)>0, D≥0
Учащиеся делают в тетради опорный конспект:
№
Расположение
точек
a>0
Рисунок
a<0
Условие
Рисунок
Условие
x1 < x2 < M

D  0

 f (M )  0
 b

M
 2a

D  0

 f (M )  0
 b

M
 2a
2
m < x1 < x2

D  0

 f ( m)  0
 b

m
 2a

D  0

 f (M )  0
 b

m
 2a
3
x1 < m < x2
D  0

 f ( m)  0
D  0

 f ( m)  0
m < x1 < x2 < M
D  0

 f (m)  0
 f (M )  0

D  0

 f (m)  0
 f (M )  0

m < x1 < m < x2
D  0

 f (m)  0
 f (M )  0

D  0

 f (m)  0
 f (M )  0

x1 < m < M < x2
D  0

 f (m)  0
 f (M )  0

D  0

 f (m)  0
 f (M )  0

1
4
5
6
Закрепление материала:
Используя, полученные знания, решить уравнения с условиями:
При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения
(2–a)x2-3ax+2a=0 больше ½. (решение, показанное через проектор комментирует
учитель )
Решение. Рассмотрим функцию f(x)= (2–a)x2-3ax+2a.

 Af M   0,

 D  0,
 B
  2 A  M .

 1 a 3a

2  a  2  4  2  2a   0,



2


9
a

8
a
2

a

0
,


3a
1
 ;

2 * (2  a) 2


2 a
2  a  4  4   0,



 17 a 2  16a  0,

3a

 1  0;
 2a




a   2;2 

a   2;2



 16
 a   ;0    16 ; ,
2  a a  2  0, 

a   ;0   ; , 
 17

 17
 
 a(17a  16)  0, 
1 

 3a  2  a
4a  2
a   ;2 ;
 0; 
 0;



2 

2a
2a
16
16
a( 17 ;2)
Ответ.. ( 17 ;2).
Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения
x2- 6ax+(2-2a+9a2)=0 больше 3. (Ученик у доски)
Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x2-6ax+(2-2a+9a2)


2
 Af M   0, 9  18a  2  2a  9a  0,
9a 2  20a  11  0,


2
2

 36a  8  8a  36a  0,
 D  0,
a  1  0,

6a

 B

3
.

a  1.
  2 A  M . 
2


 2

a   ;1  1 9 ; ,



a  1,


a  1.


 2

1 ; 

a  9
 2

1 ; 
.
Ответ. a  9
При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения
х2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2? (Ученики решают
самостоятельно, один из них работает у доски по карточке, а затем решения
сравниваются.)
Решение. Рассмотрим функцию f(x)= х2 + (а + 1)х + 3.
f(2)<0;
f(2)=4+2a+2+3=2a+9<0
2a<-9
a<–4.5
Ответ. a(–;–4.5)
4.Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения
x2+4ax+(1-2a+4a2)=0 меньше –1. (Самостоятельно, с последующей проверкой, учитель
оказывает помощь на месте по требованию)
Решение. Рассмотрим функцию f(x)= x2+4ax+(1-2a+4a2).


2
 Af M   0, 1  4a  1  2a  4a  0, 4a 2  6a  2  0,

 2
2
 D  0,
16a  4  8a  16a  0,   1  2a  0,
2a 2  3a  1  0,

4a
 B




 1.
2a  1.
  2 A  M . 
2a  1.

2

 
1
a    ; 2   1; 

 
1

a

2
a 1;
Ответ. a 1; .
Домашнее задание:
1.При каких значениях параметра а уравнение ах2  х + 3 = 0 имеет единственное решение?
2.При каких значениях параметра а уравнение (а  2)х2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет единственное
решение?
3.При каких значениях параметра а уравнение ах2  4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?
4.Найдите все значения параметра а, при которых квадратный трехчлен 0,5х2 – 2х  5а + 1 имеет
два различных корня, сумма кубов которых меньше 40.
Итог урока
Урок 14-15. Решение задач с параметрами.
«Решение задач является наиболее
характерной и специфической разновидностью
свободного мышления»
У.Джеймс
Цель урока:
1. Учить систематизировать полученные знания и применять их при решении задач.
2. Развивать логическое мышление.
3. Формировать коммуникативные навыки, умение работать в группе
Ход урока:
1. Проверка домашнего задания
2. Тест на проверку усвоения материала по теме
3. Работа в группах (решение задач с параметрами с применением изученных
теоретических знаний)
4. Итог урока
1. Проверка домашнего задания (решение может показываться на доске учащимися или
заранее быть приготовлено на слайдах и показано с помощью мультимедиапроектора):
1.При каких значениях параметра а уравнение ах2  х + 3 = 0 имеет единственное
решение?
Решение:
1. а  0, тогда
 х30
х3
2. а  0, тогда
D  1  12а
D  0, если а 
1
.
12
Ответ : уравнение имеет единственное решение при а  0 или а 
1
.
12
2.При каких значениях параметра а уравнение (а  2)х2 + (4 – 2а)х + 3 = 0 имеет
единственное решение?
Решение:
1. а  2, тогда
0 х2  0 х  3  0
Уравнение не имеет решений.
3.При каких значениях параметра а уравнение ах2  4х + а + 3 = 0 имеет более одного
корня?
Решение:
1. При а  0 уравнение  4х  3  0 имеет один корень,
что не удовлетворяет условию.
а
2. При а  0 уравнение имеет два корня, если D  0
4
1
D  4  а а  3  а 2  3а  4
D  0, если а 2  3а  4  0
а   4; 1 см. рисунок 2
рис. 2
Из этого промежутка надо исключить 0.
Ответ : а   4; 0  0; 1
4.Найдите все значения параметра а, при которых квадратный трехчлен 0,5х2 – 2х  5а + 1
имеет два различных корня, сумма кубов которых меньше 40.
Решение:


 х13  х23  40 ,
 x  x2  x12  x1 x2  x22  40 ,
 1

 D  0;
1  0,51  5a   0;
2
1  5a
1. x1  x2 
 4, x1  x2 
 21  5a 
0,5
0,5
2. x12  x1 x2  x22  x12  2 x1 x2  x22  3 x1 x2   x1  x2   3x1 x2
2
Итак,


4 4 2  3  21  5а   40,
16  6  30a  10,
a  0,



a  0,2;
a  0,2.
2,5a  0,5  0;
Ответ : при а   0,2; 0 .
2.Самостоятельная работа (тест)
1.График квадратного трехчлена у =ах² + (а – 3)х + а лежит выше оси ох, если а
принадлежит промежутку:
1) (1;+∞)
2) (- 3;1)
3) (-∞;-3)  (1;+∞)
4) (0;+∞)
5) (- 3;0)
2.Если точка (0;8) принадлежит параболе с вершиной в точке (1;1), то уравнение
параболы имеет вид:
1) у = -7 х² + 8
2) у = -8 х² + 8
3) у = 7х² - 14х + 8
4) у = -3х² - 4х + 8
5) у = -9х² + 2х + 8
3.Парабола у =ах² + 3х + а – 4 имеет с осью абсцисс две общие точки, если а
удовлетворяет условию:
1)а  (4,5;+∞) 2) а  (-0,5;+∞) 3) (-∞;4,5)
4) а  (-0,5;4,5)
5) а  (-0,5;0)  (0;4.5)
4.Корни квадратного трехчлена у =(а – 1)х² + ах + 1 отрицательны, если а принадлежит
промежутку:
1) (1;2)  (2;+∞)
2) (1;+∞)
3) [1;2]
4) [2; +∞)
5) [1;2)  (2;+∞)
5.Если х  [- 4;4], то множество значений функции у= │ х² - 9│ является промежуток:
1) [0;7]
2) [7;9]
3) (7;9]
4) [0;9]
5) (0;9)
6. График квадратного трехчлена у =ах² + (а – 3)х + а имеет общие точки с полуосью ОХ,
если а принадлежит промежутку:
1) (- 3;3]
2) (-∞;3]
3) (0;3]
4) (- 3;0)
5) (1;3)
7. Квадратный трехчлен сх² - 2сх + 1 положителен пир всех значениях х  R, если:
1) с<0
2) c<1
3) c  0
4) c  (0;1)
5) c  [0;1]
8. Сумма целых значений а, при которых графики функций у =(а – 6)х² - 2 и у=2ах + 1 не
пересекаются, равны:
1)-12 2) -18 3) -9 4) -15
5)-20
3.Работа в группах
Каждой из пяти групп дается для решения одна задача. После решения и обсуждения в
группе один из участников представляет решение на обычной или интерактивной доске,
аргументируя свой ответ, ссылаясь на изученный ранее теоретический материал.
Участники остальных групп задают отвечающему вопросы, анализируют достоинства
предложенного метода решения или предлагают свой вариант.
(задача 5 дается на рассмотрение самой сильной группе, способной предложить несколько
способов решения задачи).
Задача 1. При каких значениях а оба корня уравнения
Задача 2. Для каких действительных значениях а квадратное уравнение
больше 1?
имеет один корень больше 3, а другой меньше 2?
Задача 3. При каких значениях а корни уравнения
принадлежат интервалу (-1;5)?
Задача 4. Найти все те значения параметра с, при которых оба корня квадратного
уравнения
действительны и меньше, чем -1.
Задача 5. Сколько корней в зависимости от значения параметра а имеет уравнение
x2+a | x-2| =0?
Графический способ решения квадратного уравнения с параметром
Графический способ решения
уравнений с параметром

Пусть задана функция y=f(x), где:
f(x) =
x²+4x, x>0
3x, 0<x<1
2/(x-1)+2, x>1
a>3
Указать количество корней уравнения f(x) =а,
где а – параметр.
y=f(x)
-5
-4
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
YY
5
4
3
2
1X
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
-1
-2
-3
-4
-5
Y
5
4
3
2
1
X
0
-1 11
-2
-3
-4
-5
a=3
2<a<3
a=2
X
2
3
4
0<a<2
5
a=0
-4<a<0
a=-4
a<-4
Графический способ решения
уравнений с параметром

Пусть задана функция y=f(x), где:
f(x) =
x²+4x, x>0
3x, 0<x<1
2/(x-1)+2, x>1
Указать количество корней уравнения f(x) =а
при всех значениях параметра а .
Y
55
44
33
22
1 1X
-5
-4
-3
-2
-1
00
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
Y
5
4
3
2
1
X
X
0
1 -11 2 3 4 5
-2
-3
-4
-5
a>3
один корень
a=3
один корень
2<a<3
три корня
a=2
два корня
0<a<2
два корня
a=0
один корень
-4<a<0 два корня
a=-4
a<-4
один корень
корней нет
Ответ:
нет корней
при a<-4;
один корень
при a=-4,
a=0,
a=3,
a>3;
два корня
при -4<a<0,
0<a<2,
a=2;
три корня
при 2<a<3
Задачи, представленные на слайдах, можно выполнять на компьютере, используя любую
программу построения графиков.
Задача. Сколько корней в зависимости от значения параметра а имеет уравнение
x2+a | x-2| =0?
Исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:
I
и II
Исследуем I систему. Определим, сколько корней, не меньших 2, имеет уравнение (1).
Этот шаг удобно и наглядно объяснять ученикам, используя графики, иллюстрирующие
различные варианты расположения параболы y=x2 + ax -2a. Так как ветви параболы
направлены вверх, то предварительный анализ позволяет отметить на рис.1
соответствующие случаи.
Рис.1а. Уравнение имеет 2 устраивающих нас корня.
Рис.1б. Уравнение имеет 1 устраивающий нас корень.
Рис.1в. Устраивающих нас корней нет.
Пусть f(x ,a)=x2+ax-2a; f(2,a)=4.Если абсцисса вершины соответствующей параболы - xb ,
то xb=-a/2, D1=a2+8a. Учитывая, что f(2,a)=4 , видим, что для уравнения (1) существование
нужных корней возможно только в случаях, представленных на рис.2.
Рис.2а. xb>2,D1>0.
Рис.2б. xb>2,D1=0.
Накладываемые на xb и D1 требования являются необходимыми и достаточными для
существования корней уравнения (1), удовлетворяющих неравенству системы I.
Для рис.2а
Ситуация, отраженная на рис.2б, реализуется для
значений а, определяемых системой
Следовательно, уравнение (1)
имеет 2 устраивающих нас корня при a<-8, один - при a=-8 и не имеет устраивающих нас
корней в остальных случаях.
Исследование системы II проводится аналогично. Пусть g(x ,a)=x2-ax+2a, тогда g(2, a)=4,
xb=a/2, D1=a2-8a.
Для наличия двух корней уравнения (2), удовлетворяющих неравенству системы II,
необходимо и достаточно выполнение системы условий
Один нужный корень уравнение (2) может иметь при D1=0, xb<2, т.е. при а=0.
Поскольку системы I и II могут иметь только отличающиеся друг от друга решения ( одна
содержит неравенство x≥ 2, другая - x<2), то, сопоставляя результаты их исследования,
окончательно получаем: при a<-8 исходное уравнение имеет 4 корня; при a=-8 - три корня;
при -8<a<0 - два корня; при а=0 - один корень; при a>0 исходное уравнение корней не
имеет.
Домашнее задание: Решить данную задачу другим способом.
Учитель обобщает все сказанное, подводит итог урока
Урок 16-17. Исследование квадратного трехчлена с
параметром.
«Если не можешь делать то, что тебе нравится,
пусть тебе нравится, то, что ты делаешь».
Французская поговорка
Цель:
1. Обобщить и систематизировать материал по данной теме.
2. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применение для
выполнения практических заданий более высокого уровня.
3. Развивать познавательные интересы. Учить эффективным навыкам организации
умственного труда, самостоятельности.
Ход урока:
1.Актуализация ЗУН( проверка домашнего задания, выявление затруднений)
2.Решение задач.
3.Текущий контроль и проверка его результатов.
4.Подведение итогов урока и домашнее задание.
1.Самостоятельная работа по проверке знаний, полученных на прошлом уроке.
Определи, при каких значениях p один из корней уравнения равен 0
х²- 2х + p = 0
х²- 2х + p -3 = 0
х²- 2х + p² -3p = 0
Выясни, при каких значениях p оба корня уравнения равны 0.
х²- (p - 1)х + p² - 1 = 0
х²- (2p + 3)х + 4p² - 9 = 0
х²- (
р
4
- 81)х + p³ + 27 = 0
3. Определи, при каких значениях p корни уравнения равны по модулю х² + p х - 1 = 0
х²- (p - 2)х - 2 = 0
х²- (p - 2)х + 2 = 0
По графику функции у = ах² + вх + с найдите знаки коэффициентов а, в, с
При каких значениях а уравнение ах² + 6х + 2а +7 = 0 имеет один корень?
При каких значениях а уравнение ах² - 2ах + а² + 2а - 3 = 0:
а) не имеет корней
б) имеет положительные корни
При каких значениях а уравнение х² + 2(а – 1)х + а +5 = 0 имеет хотя бы один
положительный корень?
При каких значениях а уравнение х² + 2(а – 1)х + а -5 = 0 имеет корни разных знаков, не
превосходящие по модулю 5?
4
При каких значениях а уравнение х + (1 - 2а)х² + а² -5 = 0 имеет четыре разных корня?
Ответы и решения:
4.а>0, в>0, c>0
5.1; -4,5; -7/6
6. a) a>1,5; в) (1;1,5]
7.Если один из корней положителен, то другой может быть (1) отрицательным, (2) равным
0 и (3) положительным ( при этом может совпасть, а может не совпасть с первым).
8.Рассмотрим каждый случай в отдельности:
(1) f(0) =a+5, откуда a<-5.
(2) f(0) = a+5<0
x′(0) = 1 – a>0, откуда a=-5
(3) D= а² - 3a - 4≥0,
f(0) = a+5<0
x′(0) = 1 – a>0,откуда a  (-5;-1)
9.Требуемые значения параметра являются решениями системы
f(-5)=30-9a≥0,
a≤10/3
f(0)= a – 5<0,
 a<5
f(5) = 11a+10≥0
a≥-10/11
Откуда а  [-10/11;10/3]
2.Рассмотрение более сложных примеров.
При каких значениях параметра а неравенство х  а х  2  0 имеет единственное
решение?
Решение:
а  2, то
х  2х  2  0,
х
а
2
2
х  22  0,
х  2;
если а  2, то х  а; 2 или х  2; а  (см. рисунок 1).
рис. 1
Ответ : при а  2.
При каких значениях параметра а решением неравенства х  а  х  2 х  3  0 будет
отрезок?
Решение:
2
Т.к. х  а   0, то данное неравенство равносильно системе :
2
х  2 х  3  0,

 х  а.
Решением неравенства является отрезок  3; 2.
Т.к. х  а, то а   3; 2.
Ответ : при а   3; 2.
При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х2 + (2а + 6)х  3а  9 = 0 имеет более
одного корня?
Решение:
а
х
а а  3х 2  2а  3х  3а  9   0
1. Если а  0, то 0  х 2  6 х  9  0
х  1,5  т.е. уравнение имеет единственное решение;
2. Если а  3, то 0  х 2  0  х  0  0, т.е. х  любое число;
3. Если а  0 и а  3, тогда уравнение имеет более одного корня, если D  0
D  а  3  а а  3 3а  9   а  3  3а а  3  а  3 1  3а 
1
D  0, если а   .
3
 1 
С учетом условия а  0, имеем : а    ; 0   0;   
 3 
 1 
Ответ : уравнение имеет более одного корня при а   3    ; 0   0;   
 3 
2
2
2
2
Найдите все значения параметра b, при которых уравнение b  1x 2  2 x 11  b 2  1  0
имеет два различных действительных корня.
Решение:
ОДЗ : 11  b 2  0; b  11;
 11  b  11.
1. Если b  1, то 0  х  2 х 10  1  0  уравнение имеет единственный корень,
что не удовлетворяет условию.
2. Если b  1, то уравнение имеет два различных действительных корня, если D  0
D
 11  b   b  1  11  b
2
2
2
 b  1  b 2  b  12
D  0, если b 2  b  12  0
b   4; 3  см. рисунок 3 
4


С учетом ОДЗ и вывода в п. 1, получим : b   11; 1  1; 3
Ответ : уравнение имеет два различных действительных корня,


рис.3
если b   11; 1  1; 3
Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (а + 4)х2  2ах + 2а – 6 > 0 не
выполняется ни при каком действительном х.
Решение:
Чтобы выполнилось услови задачи, надо, чтобы неравенство
а  4х 2  2ах  2а  6  0 выполнялось для всех х.
7
 выполняется не для всех х.
4
2. Чтобы нервенство выполнялось для всех х, надо, чтобы, ветви
1. Если а  4, то 8 х  14  0, х 
параболы были направлены вниз и выполнялось условие D  0.
D  a 2  a  42a  6   a 2  2a  24
a  4,
a  4  0,

 a  6;  a  6
 2
a  2a  24  0;
a  4;

Ответ : при а   ;  6.
3
b
Найдите все значения параметра b, при которых функция f(х) = bх2 + 4х + 5 имеет наибольшее
значение, и это значение больше 5,5.
Решение:
1. b  0; f  x   4 x  5  графиком функции будет прямая,
наибольшег о значения нет.
2. b  0; графиком функции будет парабола, ветви которой
напрвлены вверх, наибольшег о значения нет.
3. b  0; найдем координаты вершины параболы :
2
х0  
b
4
8
4
f  x0   b  2   5    5
b
b
b
Наибольшее значение функции должно быть больше 5,5
b  0,
b  0,

 4
1 
 55 ;
b  8.

2
 b
Ответ : при b   8; 0 
 х 2  9  0,
При каких значениях параметра b система 
не имеет решений?
 x  4  b
Решение:
1. При b  0 система не имеет решений.
2. При b  0 система равносильна следующей
системе :
 3  x  3,
 3  x  3,


 b  x  4  b;
 b  4  x  b  4.
Полученная система не имеет решений,
если см. рисунок 5 
4  b  3;
b  7;
4  b  3;  b  1;  b  1


Таким образом, система не имеет решений,
х
3
3
4b 4b
4b 4b 3
рис. 4
рис. 5
если
b  0 или 0  b  1, т.е. при b  1.
Ответ : при b  1.
3
Для каждого значения параметра а решите неравенство: ах 2  2а  3х  а  1  0 .
Решение:
х
1. Если а  0, то 0  х 2  3 х  1  0; х 
1
3
2. а  0
D  2a  3  4a a  1  4a 2  12a  9  4a 2  4a  16a  9
2
D  0, если а 
9
16

 2а  3  9  16а
;
 x1 
2а


 2а  3  9  16а
.
 х2 
2а

х   ; х1   х2 ;    см. рисунок 6 
х1
х2
х
3. а  0
а) Если D  0, т.е. 0  а 
9
, то х  х1 ; х2  см. рисунок 7 .
16
9
, то решений нет.
16
9
5
в) Если D  0, т.е. а 
, то х 
16
3
Ответ : при а  0 х   ; х1   х2 ;   ;
рис. 6
б) Если D  0, т.е. а 
1

при а  0 х   ;   ;
3

9
при 0  a 
х  х1 ; х2 ;
16
9
5
при а 
х ;
16
3
9
при а 
нет решений.
16
х1
х2
рис. 7
Для каждого значения параметра а решите неравенство: х2  (3а+6)х + 2а2 + 11а + 5 < 0 .
Решение:


D  3a  6  4 2a 2  11a  5  9a 2  36a  36  8a 2  44a  20 
2
 a 2  8a  16  a  4 .
2
x1, 2 
a  42
3a  6 
2
1. Если а  4, то x1, 2

3a  6  a  4
2
3a  6  а  4 

2
3а  6  а  4

;
 х1 
 х  2а  1;
2
 1

 х 2  а  5.
 х  3а  6  а  4 ;
2
2

При а  4 2а  1  а  5, т.е. х  а  5; 2а  1.
х
2. Если а  4, то x1,2 
3a  6  4  а 
2
 х1  а  5;
 х  2а  1.
 2
При а  4 2а  1  а  5, т.е. х  2а  1; а  5.
3. Если а  4, то х 2  18 х  32  44  5  0
х 2  18 х  81  0
х  92  0  нет решений.
Ответ : при а  4 х  а  5; 2а  1;
при а  4 х  2а  1; а  5;
при а  4 нет решений.
При каких значениях параметра а уравнение х 2  3а  1 х  2а 2  а  0 имеет четыре различных
корня?
Решение:
Т.к. х 2  х , можно преписать данное уравнение в виде :
2
х  3а  1 х  2а 2  а  0
2


D  3a  1  4 2a 2  a  9a 2  6a  1  8a 2  4a  a  1
2
3a  1  a  1

;
 x1 
2


 x  3a  1  a  1 ;
2
 2
2
 x 1  2a  1;

 x 2  a .
Для того, чтобы данное по условию уравнение имело четыре
различных корня, надо, чтобы выполнялись условия :
 x 1  0,


 x 2  0, 


 x 1  x 2;
2a  1  0,


a  0,
2a  1  a;

1

a  2 ,
1


a  ,
a

0
,

2


a  1;

a  1.


1 
Ответ : при а   ; 1  1;   .
2 
Домашнее задание:
Найти все значения параметра k, при которых оба корня квадратного уравнения
x2-6kx+(2-2k+9k2)=0 меньше 3.
Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения
(1+a)x2–3ax+4a=0 больше1.
Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между корнями квадратного
уравнения x2+ax–1=0.
Разобрать решение задачи с параметром (Два подхода к решению одной задачи: какой
выбрать? Стр 21), предложенное в приложении «Математика»№1 2006г.(газета «1
сентября» )
Урок 18-19. Модуль и квадратичная функция.
«Есть в математике нечто,
вызывающее человеческий восторг».
Ф.Хаусдорф
Цель:
1. Рассмотреть методы построения графиков квадратичных функций, содержащих знак
модуля.
2. Развивать творческую сторону мышления. Учить осуществлять исследовательскую
деятельность.
3. Формировать навыки графической культуры, рациональной организации труда,
повышать интерес к нестандартным задачам, сформировать положительный мотив
учения.
Ход урока:
1.Актуализация опорных знаний (решение нестандартной задачи).
2.Объяснение нового материала.
3.Отработка навыков построения графиков, содержащих знак модуля.
4.Применение полученных знаний в нестандартной ситуации.
5.Подведение итогов урока.
Начнем наш урок с задачи, предлагавшейся на международной математической игре
«Кенгуру»:
Сколько решений имеет уравнение │…│ │ │ │ х │ – 1 │- 1 │ – 1 │ -…-1 │ =2007 (в
записи левой части уравнения участвует 2007 единиц).
Решение: построим график функции у= │…│ │ │ I х │ – 1 │- 1 │ – 1 │ -…-1 │
Всем вам хорошо знаком график функции у = │ҳ│- он симметричен относительно оси
ОУ.
у = │ҳ│
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Таким же свойством симметрии обладает и график функции у =││ҳ│− 1│, поэтому
достаточно построить его часть при х ≥0 и воспользоваться симметрией. При х ≥0 имеем
у = │ҳ −1│.Этот график симметричен относительно прямой х=1. поэтому достаточно
построить его часть при х ≥1 (у=х-1) и воспользоваться симметрией. Итак, получаем
график функции у =││ҳ│− 1│.
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Продолжая аналогично, получаем нужный нам график.
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1-20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Высота зубцов полученной «пилы» равна 1, так что прямая у=2007 будет пересекать
график лишь в двух точках на левом и правом «концах» этой «пилы». То есть уравнение
имеет два решения.
Неправда ли, очень красивое решение?!!
Итак, сегодня мы поговорим о квадратичных функциях, содержащих знак модуля.
Научимся строить графики таких функций, рассмотрим некоторые свойства.
Эта тема важна, во-первых, потому, что задачи, связанные с абсолютными величинами,
часто встречаются на математических олимпиадах и на вступительных экзаменах в вузы,
и, во-вторых, потому, что эта тема тесно связана практически со всеми разделами
школьной программы. Методы и приемы построения графиков функций, аналитическое
выражение которых содержит знак модуля, являются общими для различных видов
функций.
Задача 1.
По известному графику функции у = f(x) построить график функции у =│f(x)│.
По определению имеем
│f(x)│.= f(x), если f(x)≥0
- f(x), если f(x) < 0.
поэтому график функции у =│f(x)│ совпадает с графиком функции у = f(x), на тех
промежутках, где f(x)≥0, а на тех промежутках, где f(x) < 0, график функции у =│f(x)│
получается из графика функции у = f(x) с помощью симметрии относительно оси ОХ.
Рассмотрим конкретный пример: построить график функции у = │х 2-2х-3│
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
у = х2-2х-3
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1-20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
у = │х2-2х-3│
Задача 2.
По известному графику у = f(x) построить график функции у = f(│x│).
Если х≥0,то │x│= х, поэтому f(│x│)= f(x), то есть при х≥0 графики у = f(│x│) и у = f(x)
совпадают. Функция у = f(│x│) является четной, т.к. │x│- четная функция; поэтому ее
график при х <0 симметричен относительно оси ОУ графику этой функции. Другими
словами, для построения графика функции у = f(│x│) надо построить график функции
у = f(x). Затем оставить только его часть, лежащую справа от оси ОУ, и отобразить эту
часть симметрично той же оси.
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
у = х2-│2х│-3
Задача 3.
По известному графику у = f(x) построить график функции у = f(-│x│).
Функция у = f(-│x│) также является четной. Пусть дана функция у = х2-2х-3.
Подставив вместо х выражение -│x│, получаем функцию f(-│x│) = х2 +│2х│- 3.
Затем, проводя точно такие же рассуждения, как в задаче 2, строим ее график, а именно,
при х≥0 имеем у = х2+2х-3 и часть этого графика, лежащую справа от оси ОУ, отображаем
симметрично относительно той же оси.
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
X
1
0
-1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
у = х2 +│2х│- 3.
Задача 4.
По известному графику у = f(x) изобразить на плоскости множество точек, координаты
которых удовлетворяют условию │y │= f(x).
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Y
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
│y│= x²
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-20
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Y
X
1 2
3 4 5 6 7
8 9 10
│y│= x² + 1
│y│= x² -2x - 3
Задание: Постройте график функции у = | X2 - 9 │X| + 8 │
Y
20
18
16
14
12
10
8
6
4
X
2
0
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2-2
-4 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
-20
Построение выполняется на компьютере с помощью программы Advanced Grapher
Задание: Исследуйте функцию и постройте ее график
Y=4|X|-X2
Решение:
1. D(y) = R;
E(y) = (; 4]
2. Функция четная. Непериодическая.
3. Точки пересечения с осями координат:
Оу: (0;0);
Ох: (-4;0), (0;0), (4;0)
4. Промежутки знакопостоянства:
У>0 при х  (4;0)  (0;4)
У<0 при х  (;4)  (4;)
5. Промежутки монотонности:
- Функция возрастает при x  (;2] и при x  [0;2]
- Функция убывает при x  [2;0] и при x  [2;)
6. Экстремумы:
Хmax=-2,
Xmax=2
Xmin=0
Ymax=Y(-2)=Y(2)=4
Ymin=Y(0)=0
Рассмотрим более сложный случай, когда уравнение имеет вид
Из определения модуля следует, что корни уравнения должны удовлетворять условию
При соблюдении этого условия искомые корни уравнения должны также удовлетворять
совокупности
или
Значит, уравнение
.
равносильно совокупности двух систем:
или
Рассмотрим ряд уравнений:
1) Решим уравнение
.
Это уравнение равносильно совокупности двух систем:
(1) или
(2).
Решим систему (1).
Из условия,
т.е.
имеет единственное решение:
Решим систему (2).
, удовлетворяет только число 4. Значит система (1)
.
Из этих корней условию
удовлетворяет только число
.
Решением системы (2) является
.
Множеством корней исходного уравнения служит объединение множеств решений систем
, т.е. множество, состоящее из чисел 4 и
.
Ответ: 4;
.
Решите уравнение:
а)
б)
в)
У доски поочередно работают учащиеся.
Решение.
а)
. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
или
Уравнение
Корень
удовлетворяет условию
Уравнение
.
решения не имеет.
Следовательно, система (2) не имеет решения. Решением исходного уравнения является
.
Ответ: 1.
б)
Решим систему (1).
Решая уравнение
Учитывая условие
Решим систему (2).
, найдем, что его корнями являются числа
, система не имеет решения.
Решая квадратное уравнение
и
.
, найдем, что его корнями являются числа
и
. Учитывая, условие
определяем, что система (2) решения не
имеет. Следовательно, исходное уравнение не имеет решения.
в)
.
Исходное уравнение равносильно совокупности систем:
(1) или
(2).
Решим систему (1).
Квадратное уравнение:
т.к.
, то
.
Решим неравенство второй степени методом интервалов:
Рассмотрим функцию
, нули функции:
.
Определим знаки функции на промежутках. Нули функции разбивают координатную
прямую на три промежутка:
1)
,
,
2)
,
,
3)
,
.
Решением неравенства является
Решением системы (1) является число 2.
Решим систему (2).
Квадратное уравнение:
.
Учитывая условие, что
выясняем, что систем (2) не имеет решения.
Решением исходного уравнения является число 2.
Ответ: 2.
Один из распространенных приемов, которым часто пользуются при решении уравнений с
переменной под знаком модуля, состоит в том, что освобождаются от знака модуля,
выделяя промежутки, в которых выражение, записное под знаком модуля, сохраняет знак.
Пример 1.
.
Освобождаясь от знака модуля , получаем, что данное уравнение равносильно
совокупности двух систем:
(1) или
Решим систему (1).
(2).
Решением системы является число 2.
Рассмотрим систему (2).
,
решением системы (2) является число
. Следовательно, множеством решений
исходного уравнения являются числа 2,
Пример 2.
.
Найдите корни уравнения
Решение:
, принадлежащие промежутку (-4;4).
.
Корни двучлена
разбивают числовую прямую на три промежутка:
,
Освобождаясь от знаков модуля на каждом из этих промежутков, получим, что данное
уравнение равносильно совокупности трех систем:
,
или
Решим каждую из этих систем.
, или
.
Решением системы (1) является число
.
Решение биквадратного уравнения системы (2) не удовлетворяет условию
следовательно, система (2) не имеет решения.
Решением системы (3) является число
Промежутку (-4;4) принадлежат числа
Ответ:
,
.
;
.
.
И в заключение рассмотрим задание. При каких значениях
корня?
уравнение
Решим уравнение графическим способом. Построим график функции
Рисунок 1.
1)
, решений нет
2)
, 2 корня
3)
, 4 корня
4)
, 3 корня
5)
, 2корня
Ответ: уравнение
имеет 2 корня, при
Домашнее задание:
1. Построить график функци:
и
.
имеет 2
,
2. Решить уравнения:
1)
4)
, 2)
, 5)
3. Постройте график функции
уравнение
имеет три корня?
, 3)
, 6)
,
.
, и при каких значениях параметра
Урок 20 . Занимательные и олимпиадные задачи на
квадратный трехчлен.
«Если вы хотите научиться плавать,
смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, решайте их».
Д.Пойа
Цель:
1. Учить осуществлять исследовательскую деятельность в процессе поиска способа
решения задачи.
2. Развивать творческую сторону мышления, умение преодолевать трудности.
3. Повышать интерес к нестандартным задачам, формировать положительный мотив
учения.
Задача 1. Отрезок на графике.
На графике квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с
целыми координатами. Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то
соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
Решение:
Можно, конечно сразу начать считать расстояния, но лучше сначала упростить задачу,
перенеся начало координат в одну из точек и сохранив направление осей. Тогда одна из
точек будет иметь координаты А(0;0), вторая – В(х;Р(х)), где Р(х)= у = ах² + вх + с –
данный квадратный трехчлен после проведенной замены координат.
Поскольку точка (0;0) лежит на графике квадратного трехчлена, то Р(0) = 0, и с = 0.
Расстояние между точками А(0;0) и В(х;Р(х)) равно
x  P 2 x)  x 2  ax 2  bx) 2  x 1  ax  b) 2 .
2
Задача 2. Три параболы.
На рисунке изображены графики трех квадратных трехчленов. Можно ли подобрать такие
числа а, в и с, чтобы это были графики трехчленов: ах2+ вх + с, вх2+ сх + а, сх2+ ах + в?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Y
X
1 2
3 4 5 6 7
8 9 10
Решение: эта задача была предложена на областном туре Московской математической
олимпиады. Прежде, чем ее решать вспомним, как по графику определять знаки
коэффициентов квадратного трехчлена ах2+ вх + с:
- координата точки пересечения графика с осью ординат определяет знак с;
в
-абсцисса вершины параболы позволяет определить знак в.
2а
Применение первых двух наблюдений позволяет решить задачу с помощью не очень
сложного, но все – таки существенного и требующего определенной культуры перебора.
У двух парабол ветви направлены вверх, а у одной вниз, поэтому у двух трехчленов
старший коэффициент положительный, а у одного отрицательный. Следовательно, среди
трех чисел а, в и с два положительных числа и одно отрицательное.
Две из рассматриваемых парабол пересекают ось ординат в точках с
отрицательными ординатами, а одна – в точке с положительной ординатой, поэтому у
двух трехчленов свободный член отрицательный, а у одного – положительный.
Следовательно, среди трех чисел а, в и с должны быть два отрицательных числа, а одно
положительное.
Полученное противоречие показывает, что ситуация, описанная в условии задачи,
невозможна.
А теперь попробуем решить задачу в одну строчку, учитывая тот факт, что
значение квадратного трехчлена ах2 + вх + с в точке 1 равно а + в + с. Это означает, что
каждая из данных парабол должна проходить через точку с координатами (1;а + в + с), что
не соответствует условию (сотри рисунок).
Последнюю идею можно применить и в следующей классической задаче:
Задача 3.
У квадратного трехчлена ах2 + вх + с нет корней, кроме того а + в + с > 0. Определить
знак с.
Решение:
Так как корней нет, то график целиком лежит в верхней или в нижней полуплоскости.
Значит, значения нашего квадратного трехчлена в точках 0 и 1 должны быть одного знака.
Поскольку а + в + с > 0, то и с > 0.
Задача 4.
Среди всех решений неравенства у – х ≥ х² + 1 найдите те, для которых выражение у – 2х
принимает наименьшее значение.
Решение:
1 способ.
Так как у – х ≥ х² + 1  у – 2х ≥ х² - х + 1, то у – 2х ≥ х² - х + 1= (х – о,5)² + 0,75≥0,75
Следовательно, выражение у – 2х принимает наименьшее значение тогда и только тогда,
когда оба неравенства в последней цепочке обращаются в равенства, то есть при х = 0,5,
У = 0,75.
2 способ.
Y
10
9
8
у=x^2+x+1
7
6
5
4
3
2
1
0 1 2
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
-6
у=2х+2
-7
-8
-9
-10
у=2х+4
X
3 4 5 6 7
8 9 10
Данное неравенство задает на координатной плоскости множество точек, лежащих внутри
или на границе параболы у = х² - х + 1. Пусть а = у – 2х, тогда рассмотрим семейство
прямых у = 2х + а, где а – произвольное действительное число. Все прямые этого
семейства параллельны, каждая такая прямая пересекает ось у в точке с координатами
(0;а). По условию задачи нас интересуют только те прямые, которые имеют общие точки с
указанным множеством. Если прямая у = 2х + а1 не является касательной к параболе, то
среди рассматриваемого семейства можно указать такую прямую у = 2х + а 2 , которая
также имеет общие точки с заштрихованным множеством, но при этом а 2 < а1 . Это можно
сделать, например, проводя прямую, параллельную прямой у = 2х + а1 , через любую
точку указанного множества, лежащую ниже этой прямой. Таким образом, выражение
у – 2х принимает наименьшее значение, если прямая у = 2х + а является касательной к
параболе у = х² - х + 1. Найдем координаты точки касания. Воспользуемся тем, что
касательная к параболе имеет с ней ровно одну общую точку. Тогда система уравнений
 у  2х  а

2
 у  х  х 1
должна иметь единственное решение. Это равносильно тому, что уравнение
х² - х + 1 = 2х + а  х 2  х  (1  а)  0 должно иметь один корень, следовательно,
D= (-1)² - 4(1 – а) = 4а – 3 = 0, то есть а = 0,75. При найденном значении а уравнение имеет
решение х = 0,5. Тогда у = (0,5)² + 0,5 +1 = 1,75.
Те, кто знает производную, могут иначе найти координаты точки касания. Уравнение
касательной к данной параболе имеет вид
у = (2 х0  1)( х  х0 )  х02  х0  1  у  (2 х0  1) х  х02  1 ,где х 0 -абсцисса точки касания.
Тогда из равенства 2х + а = (2 х0  1) х  х02  1 следует, что х 0 = 0,5 и а = 0,75, откуда
у = 1,75.