А.В. Мелких, А.А. Повзнер Физика нелинейных явлений

Федеральное агентство по образованию
Уральский государственный технический университет - УПИ
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
А.В. Мелких А.А. Повзнер
ФИЗИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ
Учебное пособие
Научный редактор – проф., д-р физ.-мат. наук Ф.А. Сидоренко
Екатеринбург
УГТУ-УПИ
2009
УДК 53 (075.8)
ББК 22. 3я 73
М 47
Рецензенты: кафедра общей физики Российского государственного
профессионально-педагогического университета, проф., д-р физ.-мат. наук
А.Д. Ивлиев; канд. физ.-мат. наук, доц. О.А. Чикова (Уральский
государственный педагогический университет)
Мелких А.В., Повзнер А.А.
М 47 Физика нелинейных явлений: учебное пособие /А.В. Мелких,
А.А. Повзнер. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. 144 с.
Учебное пособие «Физика нелинейных явлений» состоит из четырех глав:
устойчивость и хаос в нелинейных динамических системах, гидродинамическая
нелинейность и неустойчивость, нелинейные эффекты в электромагнитной
гидродинамике, ударные волны и экстремальные состояния вещества. В
пособии рассмотрены такие основные понятия физики нелинейных явлений,
как автоколебания и ударные волны, солитоны и турбулентность, хаос и
неустойчивость.
Пособие составлено в соответствии с программой по физике для
студентов высших учебных заведений, обучающихся по физическим
направлениям и специальностям.
УДК 53 (075.8)
ББК 22. 3я 73
 УГТУ-УПИ, 2009
©А.В. Мелких, А.А. Повзнер, 2009
2
Оглавление
Введение ....................................................................................................................... 4
1.
Устойчивость и хаос в нелинейных динамических системах ....................... 5
1.1. Устойчивость динамических систем, классификация стационарных
состояний. Аттрактор лоренца ................................................................................ 5
1.2. Фазовый портрет нелинейной динамической системы. Метод иерархии
времен релаксации.................................................................................................. 10
1.3. Бистабильные системы. Метастабильность. Силовое и параметрическое
переключение состояний ....................................................................................... 13
1.4. Автоколебания в различных системах. Фазовая диаграмма
автоколебаний. Механические и электрические автоколебания...................... 16
1.5. Генератор ван-дер-поля................................................................................ 21
1.6. Полупроводниковый генератор, основанный на механизме
саморазогрева .......................................................................................................... 30
1.7. Динамический хаос. Бильярд синая. Дискретные отображения. ............ 35
2.
Гидродинамическая нелинейность и неустойчивость ................................. 41
2.1. Динамика идеальной жидкости. Уравнение непрерывности. Уравнение
эйлера ....................................................................................................................... 41
2.2. Движение вязкой жидкости. Уравнение навье-стокса. Числа подобия в
гидродинамике ........................................................................................................ 44
2.3. Течение при малых числах рейнольдса. Течение в пористых средах..... 49
2.4. Устойчивость движения жидкости. Турбулентное течение .................... 50
2.5. Устойчивость механического равновесия жидкости. Конвекция рэлеябенара ....................................................................................................................... 56
2.6. Неустойчивость марангони ......................................................................... 58
2.7. Волны на поверхности жидкости. Линейная теория волн на
мелкой воде ............................................................................................................. 60
2.8. Основы теории волн на глубокой воде....................................................... 62
2.9. Солитоны. Уравнение кортевега-де-фриса ................................................ 65
3.
Нелинейные эффекты в электромагнитной гидродинамике ....................... 75
3.1. Равновесие и устойчивость электрически заряженной капли ................. 75
3.2. Гидродинамика проводящей жидкости ...................................................... 78
3.3. Уравнения магнитной гидродинамики ....................................................... 82
3.4. Уравнения электрогидродинамики ............................................................. 85
3.5. Законы вмороженности магнитных и вихревых линий ............................ 89
3.6. Течение гартмана .......................................................................................... 90
3.7. Магниторотационная неустойчивость (мрн) ............................................. 93
4.
Ударные волны и экстремальные состояния вещества ............................... 97
4.1. Ударные волны в сплошной среде .............................................................. 97
4.2. Нелинейные оптические явления .............................................................. 110
4.3. Экстремальные состояния вещества на земле и в космосе .................... 122
Библиографический список.................................................................................... 142
3
ВВЕДЕНИЕ
Нелинейные явления широко распространены в природе и технике. К
таким явлениям относятся, например, автоколебания и автоволны, солитоны и
хаос. Несмотря на значительные различия в природе этих явлений, они имеют
много общего. Данное пособие посвящено нелинейным явлениям различной
природы, как классическим и хорошо изученным, так и сравнительно новым
(таким как бесстолкновительные ударные волны и экстремальные состояния
вещества). С математической точки зрения предметом физики нелинейных
явлений являются системы, описывающиеся линейными дифференциальными
уравнениями. Линейность в данном случае понимается в том смысле, что
суперпозиция их решений так же является решением.
4
1. УСТОЙЧИВОСТЬ И ХАОС В НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
1.1.
Устойчивость динамических систем, классификация стационарных
состояний. Аттрактор Лоренца
Теория динамических систем основана на дифференциальных уравнениях
вида:
dni 1
= Fi ( n1 , n2 ,..., nn ) ,
dt τi
(1.1)
где ni - динамические переменные, например концентрации реагирующих
веществ; Fi(ni) - нелинейные функции, описывающие их взаимодействие;
τi- характерное время изменения переменных ni , i = 1, 2,..., n.
Уравнения (1.1) являются динамическими, то есть при задании
конкретного вида функции Fi их решения, вообще говоря, однозначно
определяются начальными условиями. Казалось бы, в такой ситуации ничего
неожиданного быть не должно. Тем не менее, характерные для синергетики
неожиданности здесь возникают, когда решения динамических уравнений
теряют устойчивость.
Анализ устойчивости уравнений движения, а также устойчивости
стационарных
состояний
основан
на
исследовании
поведения
малых
отклонений от соответствующего решения.
Алгоритм анализа устойчивости стационарных состояний системы:
1. Записываются динамические уравнения для переменных системы.
2. Находится стационарное решение системы уравнений.
3. Каждая переменная возмущается на малую величину и записывается
в виде: ni = ni + δni , после чего подставляется в исходную систему.
4. В исходной системе слагаемые, не содержащие δn, сокращаются (как
решения невозмущенной системы), а слагаемыми, содержащими δn в
степени большей первой пренебрегаем (это анализ на линейную
устойчивость).
5
5. Возмущения выбираются в виде:
δni = δni 0 exp(λt ) , где λ - число
Ляпунова и система решается относительно λ. По знаку λ делается
вывод об устойчивости системы.
В
общем случае
числа
Ляпунова могут быть комплексными.
Устойчивость определяется тогда знаком действительной части. Если среди
чисел Ляпунова имеются равные нулю или чисто мнимые, то стационарное
состояние называется нейтральным; при отклонении от него не появляются ни
возвращающие, ни отклоняющие силы.
Подчеркнем важное свойство: числа Ляпунова являются характеристическими (или собственными) числами системы; они не зависят от
начальных условий. Таким образом, устойчивость (или неустойчивость) —
внутреннее свойство исследуемой системы, а не результат внешнего
воздействия. Особенность его в том, что проявляется оно только при наличии
малых внешних воздействий.
Для системы двух дифференциальных уравнений особые точки могут
быть только четырех различных типов:
1.
Корни λ1 и λ2 характеристического уравнения действительные и
одного знака. Особая точка системы называется узлом.
2.
Корни λ1 и λ2 действительные и разных знаков. Такая
неустойчивая стационарная точка системы называется седлом.
Траектории,
проходящие
через
седло,
называются
сепаратрисами.
3.
Корни λ1 и λ2 характеристического уравнения – комплексносопряженные (но не чисто мнимые). В этом случае особая точка
называется фокусом.
4.
Корни λ1 и λ2 чисто мнимые. Этот случай встречается только в
консервативных (но не диссипативных) системах. Особая точка
называется центром.
Кроме перечисленных в многомерных системах встречаются более
сложные типы стационарных точек. Например, возможны комбинации 1-го и 26
го, а также 2-го и 3-го типов. Особые точки в этих случаях называются
соответственно седло-узел и седло-фокус.
Нетрудно заметить, что притягивающие особые точки, такие как
устойчивый
узел
и
устойчивый
фокус,
являются
аттракторами.
Но
аттракторами в диссипативных системах могут быть не только устойчивые
стационарные точки, но и замкнутые фазовые кривые, соответствующие
периодическому движению. Такие изолированные замкнутые траектории
называются
предельными
циклами
(циклами
Пуанкаре).
Устойчивые
предельные циклы являются аттракторами. Они обладают тем свойством, что в
их достаточно малой окрестности нет других замкнутых траекторий, а все
остальные фазовые траектории из этой окрестности наматываются на эту
единственную замкнутую траекторию. Если все траектории сматываются с
предельного цикла, то он является абсолютно неустойчивым. В этом случае
предельный цикл не является аттрактором.
В двумерных диссипативных системах, поскольку фазовые траектории не
могут пересекаться, возможны аттракторы только двух типов: устойчивые
стационарные точки и устойчивые предельные циклы. Однако для систем с
размерностью фазового пространства n = 3 динамика уже не исчерпывается
этими двумя простыми случаями. Кроме стационарных точек и предельных
циклов в таких системах могут существовать и более сложные аттракторы, в
частности двумерные инвариантные торы, отвечающие квазипериодическому
движению с двумя рационально независимыми частотами.
В многомерных системах n > 3 возможно возникновение еще более
сложного квазипериодического движения, когда в фазовом пространстве
рождаются торы еще более высокой размерности.
Все перечисленные аттракторы – устойчивые стационарные точки,
устойчивые предельные циклы и инвариантные торы – называются простыми
аттракторами, поскольку динамика систем с такими аттракторами не является
хаотической. Но в диссипативных динамических системах, размерность
фазового пространства которых n ≥ 3 , могут существовать ограниченные
7
притягивающие множества, которые являются аттракторами. Такие аттракторы
были названы «странными аттракторами».
Сжатие фазового объема диссипативной динамической системы приводит
к тому, что фазовые кривые с течением времени стягиваются к предельному
множеству - странному аттрактору, и остаются в этой области навсегда. На
самом же аттракторе движение является неустойчивым: любые две траектории
системы расходятся экспоненциально быстро, оставаясь, тем не менее, на
странном аттракторе.
Рассмотрим свойства одной из самых простых систем, обладающих
странным аттрактором. Это система Лоренца, которая представляет собой
систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается из
уравнений гидродинамики в задаче о термоконвекции в подогреваемом снизу
горизонтальном слое жидкости:
X& = σY − σX ,
Y& = rX − Y − XZ ,
(1.2)
Z& = XY − bZ ,
где σ – число Прандтля; r – приведенное число Релея; b – постоянная,
характеризующая размеры физической системы.
Начало координат, т.е. точка О ( X = Y = Z = 0 ) является стационарной
точкой при любых r,σ и b. Точка О устойчива и является устойчивым узлом,
если r < 1 .
Когда r > 1 , точка О теряет устойчивость, превращается в седловую, и в
системе возникают еще две стационарные точки:
O1(X, Y, Z) = ([b(r-1)]½, [b(r-1)]½¸ r-1),
O2(X,Y,Z) = (-[b(r-1)]½, -[b(r-1)]½¸ r-1),
При всех r > 1 система (2.2) имеет только эти три стационарные точки О,
О1 и О2.
Тип точек О1 и О2 определяется из характеристического уравнения:
λ 3 + ( σ + b + 1) λ 2 + ( r + σ ) bπ + 2σb ( r − 1) = 0 .
Отсюда находим, что О1 и О2 устойчивы, если σ > b + 1 и
8
1 < r < r* =
σ ( σ + b + 3)
.
σ − b −1
(1.3)
При r > r * точки О1 и О2 становятся неустойчивыми. В этом случае
характеристическое уравнение имеет один действительный отрицательный
корень и два комплексно-сопряженных с положительной действительной
частью, т.е. О1 и О2 будут стационарными точками типа седло-фокус.
Для дальнейшего изучения поведения траекторий требуется численное
интегрирование уравнений (1.2), поскольку локальный анализ окрестностей
неустойчивых стационарных точек О, О1 и О2 не дает сведений о характере
движения в системе Лоренца.
Численное исследование системы Лоренца было проведено многими
авторами. Например, при σ = 10 , b = 8 3 и 10 ≤ r ≤ 28 система имеет следующие
режимы поведения:
1.
При 10≤r≤r1 ≈ 24,06 система имеет три состояния равновесия: О,
О1 и О2. Точка О не устойчива и представляет собой точку типа
седло-узел.
Две
другие
стационарные
точки
являются
устойчивыми.
2.
При 24,06 ≤ r ≤ 24,74 точки О1 и О2 по-прежнему устойчивы.
Однако кроме них в фазовом пространстве системы имеется
предельное
множество,
называемое
аттрактором
Лоренца.
Фазовые траектории системы в зависимости от начальных
условий с течением времени стремятся либо к точке О1, либо к
точке О2, либо совершают колебания, случайным образом
переходя от вращения вокруг точки О1 к вращению вокруг точки
О2 и обратно. Следовательно, в зависимости от начальных
условий в этой системе могут реализоваться существенно
различные режимы движения: стационарный или хаотический.
3.
Когда r ≈ 24.74, точки О1 и О2 согласно (1.3) становятся
неустойчивыми.
9
4.
В интервале 24.74 < r < 28 все стационарные точки О, О1 и О2
являются
неустойчивыми.
Единственным
устойчивым
предельным множеством – аттрактором является аттрактор
Лоренца. Следовательно, в системе при любых начальных
условиях реализуется хаотический режим движения.
Заметим, что при r ≈ 148,4 в фазовом пространстве странный аттрактор
сменяется предельным циклом – движение становится периодическим.
1.2.
Фазовый портрет нелинейной динамической системы. Метод
иерархии времен релаксации
Поясним его смысл на примере двух уравнений для переменных х и у.
dx 1
dy
= P ( x, y ) ; = Q ( x , y )
dt τ x
dt
(1.4)
где Р(х, у) и Q(x, у) известные и в общем случае нелинейные функции своих
переменных.
На рис. 1.1 приведена плоскость (х, у). Каждая точка на этой плоскости
дает
информацию
о
состоянии
системы
изображающей точкой.
Рис.1.1
10
(2.9)
и
потому
называется
Пусть в начальный момент t = 0 переменные х и у равны х = х1 ; у = у1.
Вычислим их приращения за малый интервал времени ∆t. Эти приращения
отложены на рис. (1.1). Там же приведен вектор смещения изображающей
точки. Аналогично можно вычислить смещение в следующий интервал
времени. Повторяя процедуру, можно получить ломаную линию, которая при
∆t → 0 переходит в плавную кривую, именуемую траекторией системы.
Движение изображающей точки по траектории дает представление о развитии
процесса во времени, даже если точное решение системы (1.4) не известно или
не может быть выражено в аналитической форме. Именно в этом заключается
ценность фазового портрета.
Для упрощения расчетов удобно провести две линии Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0.
На первой приращение ∆х = 0, т.е. траектории на ней вертикальны. На второй
приращения ∆у = 0, т.е. траектории на ней горизонтальны. Эти линии
называются главными изоклинами. Точки их пересечения соответствуют
стационарным состояниям, поскольку при этом оба приращения равны нулю.
Многие нелинейные системы оказываются очень сложными. В этом
случае сложно даже записать систему уравнений, а не только решить ее. Для
моделирования таких систем часто применяется метод иерархии времен
релаксации. В основе этого метода лежит разделение переменных на три
группы: быстрые, средние и медленные. Например, если нас интересуют
изменения системы, происходящие за 1-10 минут, то процессы, протекающие за
секунды и доли секунд, считаются быстрыми, а процессы, для которых
требуются часы и сутки, — медленными. Иная градация возникает, если нас
интересуют секундные изменения; тогда уже минутные процессы мы отнесем к
медленным. Разбив реакции на такие группы, мы можем заметить следующее.
1. Все медленно и очень медленно изменяющиеся концентрации
считаются постоянными и равными их начальным значениям.
2. В быстрых и очень быстрых реакциях успевают установиться
стационарные концентрации. Другими словами, между соответствующими
концентрациями быстро установятся определенные соотношения, и при
11
изменении одной из них другие почти мгновенно к ней подстроятся. В этом
случае часть дифференциальных уравнений можно заменить алгебраическими
соотношениями,
и
система
упростится.
Такая
система
называется
редуцированной.
В результате останутся лишь процессы, имеющие примерно одинаковые
скорости; их, как правило, не много. Замену дифференциальных уравнений
алгебраическими называют иногда принципом стационарных концентраций.
Строгое
математическое
обоснование
такой
процедуры
было
дано
А.Н.Тихоновым.
Например, пусть имеются три переменные x – быстрая, y – средняя, z –
медленная:
dx 1
dz 1
= P ( x, y, z ) , dy = 1 Q ( x, y, z ) ,
= S ( x, y , z )
dt τ x
dt τ z
dt τ y
Используя алгоритм, получим, что уравнение для переменной y не
изменится, уравнение для переменной z пропадает (вместо него используется
начальное условие z(0)=z0), а уравнение для переменной x становится
алгебраическим:
P ( x, y , z0 ) = 0 .
Из этого уравнения можно выразить переменную x, и подставить ее в
уравнение для переменной y. В результате получим:
dy 1
= Q ( x ( y ) , y , z0 ) .
dt τ y
Таким образом, с помощью метода иерархии времен релаксации мы
получили существенно более простую систему (в данном случае одно
уравнение, которое можно решить).
12
1.3.
Бистабильные системы. Метастабильность. Силовое и
параметрическое переключение состояний
Одни из самых простых физических систем, которые изучает физика
нелинейных явлений, являются бистабильные системы. Такие системы имеют
два устойчивых состояния. Системы с большим количеством устойчивых
состояний называются мультистабильными.
Потенциальный рельеф бистабильной системы можно представить в
следующем виде:
Рис.1.2
Состояние с менее глубоким минимумом называется метастабильным. На
языке теории динамических систем рецепция информации означает перевод
системы в одно определенное состояние независимо от того, в каком состоянии
она находилась раньше. В современных технических устройствах рецепция, как
правило, осуществляется с помощью электрического или светового импульсов.
Во всех случаях энергия импульса должна быть больше барьера между
состояниями.
В теории динамических систем такое переключение за счет сторонних
сил называют силовым. Наряду с ним существует и используется другой
способ переключения - параметрический. Суть последнего в том, что на
некоторое (конечное) время параметры системы изменяются настолько, что она
становится моностабильной (т.е. одно из состояний становится неустойчивым,
а потом исчезает). Независимо от того, в каком состоянии находилась система,
13
она попадает на оставшееся устойчивое состояние. После этого параметрам
возвращают их прежние значения, система становится бистабильной, но
остается в новом состоянии.
Рис.1.3
Примером мультистабильных систем являются нейронные сети, которые
представляют собой множество связанных между собой элементов с входами и
выходами. Они способны хранить информацию и рецептировать ее. В 1943
году У. Маккаллок и В. Питтс описали первую математическую модель
нервной ткани, предположив, что нейроны можно приближенно описать как
простые устройства, имеющие лишь два состояния: активное и пассивное.
Такие устройства – формальные нейроны – имеют множество входов
(синапсов), по которым они могут получать воздействия от других таких же
элементов, и единственный выход (аксон), по которому активный нейрон
передает собственное воздействие другим нейронам. Аксон на конце может
ветвиться и образовывать соединения со многими клетками. Воздействия на
данный нейрон со стороны других клеток могут быть возбуждающими или
тормозящими – все определяется природой конкретной синаптической связи,
каждая из которых характеризуется своей эффективностью (весом). Эти
воздействия
складываются
алгебраически
(вес
возбуждающей
связи
положителен, а тормозящей отрицателен), и если сумма оказывается больше
некоторого характерного для данного нейрона порогового значения, то
последний переходит в активное состояние, и передает по своему аксону
14
воздействия другим нейронам. В противном случае нейрон пассивен и не
оказывает влияния на другие клетки.
Два примера систем, обладающих свойством бистабильности и могущих
выступать в качестве рецепторов и хранилищ информации. Нелинейный
маятник:
d 2x
dx
m 2 +γ
= F ( x) = k ( x − x 3 )
dt
dt
Она описывает движение шарика массы т в потенциальном поле V(x) при
наличии трения (коэффициент трения - γ):
1 
1
V ( x ) = − ∫ F ( x )dx = − k  x 2 − x 4 
4 
2
Химическая бистабильная система. Она описывается уравнениями вида:
dn1
= n1 − n1n2 − a1n12
dt
.
dn2
= n2 − n1n2 − a2 n22
dt
Смысл
коэффициентов:
.
первое
слагаемое
описывает
самовоспроизводство (автокатализ), второе - конкуренция двух типов веществ,
третье описывает насыщение. Такая система описывает не только химические
реакции, но и экономические процессы, процессы в обществе и живых
системах. Для данной системы невозможно построить потенциал. Поэтому
важны математические методы анализа таких систем, не основанные на
наглядном представлении.
15
1.4.
Автоколебания в различных системах. Фазовая диаграмма
автоколебаний. Механические и электрические автоколебания
Большинство окружающих нас в природе и технике нелинейных
динамических систем в общем случае неконсервативно. В любой системе
имеются потери (трение, нагрев и т.д.), и обычно система не является
энергетически изолированной. В этом случае в нелинейной открытой системе
возможна генерация незатухающих колебаний, свойства которых не зависят от
того, из какого начального состояния была запущена система. Системы,
обладающие
свойством
генерировать
такие
колебания,
названы
автоколебательными и связаны с предельным циклом Пуанкаре.
Движение нелинейных систем принято описывать с помощью фазовой
траектории
–
линии,
по
которой
система
движется
в
пространстве
управляющих параметров. Область в фазовом пространстве, к которой с
течением времени стремится система, называется аттрактором. Различают
следующие основные типы аттракторов: фокус (точка), предельный цикл,
странный аттрактор.
Предельный цикл – замкнутая фазовая траектория, к которой стремятся
все соседние
траектории, является образом периодических автоколебаний.
Автоколебания в динамической системе могут быть не только периодическими,
но и квазипериодическими и стохастическими.
Автоколебания – это незатухающие колебания, поддерживаемые
внешними источниками энергии в нелинейной диссипативной системе, вид и
свойства которых определяются самой системой и не зависят от начальных
условий.
Автоколебания принципиально отличаются от других колебательных
процессов тем, что для их поддержания не требуется периодических
воздействий извне. В простейших колебательных системах (автогенераторах)
можно выделить колебательную систему с затуханием, усилитель, нелинейный
ограничитель – звено обратной связи. Примером является классический
генератор Ван-дер-Поля.
16
Можно
выделить
«жесткий»
и
«мягкий»
режимы
возбуждения
автоколебаний. В случае жесткого режима колебания самопроизвольно
нарастают с некоторой начальной амплитуды. Для перехода систем с
«жестким» возбуждением в режим автоколебаний необходимо начальное
возбуждение с амплитудой, большей некоторого критического значения. Режим
автоколебаний, не требующий начального толчка, называется режимом
«мягкого» возбуждения.
Размеры предельного цикла определяют амплитуду автоколебаний
генератора, время движения изображающей точки по циклу – их период, а
форма предельного цикла – форму колебаний. Таким образом, задача об
исследовании периодических автоколебаний сводится к задаче нахождения
предельных циклов в фазовом пространстве и определении их параметров.
Однако общий метод нахождения предельных циклов неизвестен.
Удобно представить линеаризованную около стационарного состояния
систему уравнений, в которой возможны автоколебания в матричном виде:
 δ x&   σ11
 &  = σ
 δ y   21
σ12   δ x 
×
σ22   δ y  ,
где σik – элементы матрицы линеаризации (дифференциальные проводимости);
x и y – малые отклонения переменных от стационарных значений.
Тогда для чисел Ляпунова получим следующее уравнение:
( σ11 − λ )( σ 22 − λ ) = σ12σ21 .
Представим число Ляпунова в виде суммы действительной и мнимой
частей
λ = ε + iω .
Тогда получим уравнение
( σ11 − ε − iω)( σ22 − ε − iε ) = σ12σ21 = ( σ11 − ε )( σ22 − ε ) − ω2 − iω ( σ11 + σ22 − 2ε ) ,
которое распадается на два уравнения, для мнимой и действительной частей:
17
σ12σ 21 = ( σ11 − ε )( σ 22 − ε ) − ω2 ,
ω ( σ11 + σ 22 − 2ε ) = 0 .
(1.5)
(1.6)
Для действительной части и частоты получаем
2
σ11 + σ 22
σ11 − σ 22 

2
ε=
, ω = −
 − σ12 σ 21 .
2
2


Равенства (1.5) и (1.6) разбивают все фазовое пространство на области,
где колебаний нет, есть затухающие колебания, есть автоколебания с мягким
возбуждением и есть автоколебания с жестким возбуждением.
Если ввести новые переменные
ϕ=
σ11
σ12 σ 21
ψ
=
σ 22 и
σ 222 ,
то получим уравнения кривых, отделяющих области с различным
характером колебаний друг от друга:
2
ϕ −1 
ϕ = −1 , ψ = − 
 .
 2 
На рис. 1.4 изображена фазовая диаграмма автоколебательной
системы для двух переменных
18
ε<0
ψ
ε>0
ω
ω
ϕ
Рис. 1.4
Если
в
системе
три
независимые
переменные,
то
пространство будет делиться на 4 части двумя поверхностями.
Рассмотрим уравнение колебаний в электрическом контуре
d  q 2 LI 2 
+

 = − IU .
dt  2C
2 
Тогда получим уравнения:
dI
q 1
=−
− U (I ) ,
dt
LC L
dq
=I.
dt
Матрица для этого случая
 1 ∂U
 δ I&     =  L ∂I
 δ q&   1

-
1 
δ I 
LC  ×   .
 δq
0   
Тогда получим частоту и действительную часть чисел Ляпунова:
19
трехмерное
ε=−
1  ∂U 


2L  ∂I  ,
2
1
 ∂U 
+
ω = −

.
 2L∂I  LC
2
Для такой системы так же легко получить фазовую диаграмму. Очевидно,
что автоколебания в системе могут существовать, если существует
отрицательное дифференциальное сопротивление (проводимость). При
положительной проводимости это будут просто известные затухающие
колебания.
При
достаточно
большой
отрицательной
проводимости
возбуждение колебаний будет жестким.
Описание механических систем во многом аналогично электрическим.
Для механических систем получим уравнение баланса энергии:
d  kx 2 mv 2 
+

 = − F fr v - изменение энергии в единицу времени равно
dt  2
2 
мощности силы трения. Тогда получим систему дифференциальных
уравнений:
F
dv
k
= − x − fr ;
dt
m
m
dx
=v.
dt
Система может быть записана в матричном виде:
 1 ∂F fr
 δ v&    &  =  m ∂v
δ x   1

Очевидно,
что
аналогом
-
k
 δv 
m ×  .
δx
0   
отрицательного
дифференциального
сопротивления (проводимости) является производная силы трения по скорости.
При наличии обычного вязкого трения эта производная положительна (знак
20
минус уже учтен в уравнении) и колебания возможны только затухающие. Если
эта производная отрицательна, то автоколебания возможны. Такая ситуация
наблюдается, например, при переходе от трения покоя к трению скольжения. В
этом случае так же в зависимости от величины и знака дифференциальной
проводимости фазовое пространство делится на четыре области с теми же
свойствами, что и у электрических колебаний.
1.5.
Генератор Ван-дер-Поля
Рассмотрим для примера уравнение Ван-дер-Поля (в безразмерном виде):
d 2x
dx
− µ (1 − x 2 ) + x = 0 ,
2
dt
dt
(1.5)
Это уравнение описывает автоколебания напряжения в ламповом
генераторе с колебательным контуром в цепи сетки.
Рассмотрим схему лампового генератора. В этом генераторе имеется
контур, содержащий омическое сопротивление R, катушку самоиндукции L и
конденсатор
C.
Падение
напряжения
на
омическом
сопротивлении
компенсируется напряжением, возникающим в катушке колебательного
контура благодаря индуктивной связи с катушкой, включенной в анодную цепь
лампы. Фаза возникающего напряжения такова, что фазы колебаний контура и
катушки обратной связи совпадают. Напряжение на сетке лампы и
соответственно величина анодного тока определяются напряжением на
конденсаторе.
21
Ia
M
L
R
C
Рис. 1.5
Уравнение колебательного процесса получается из уравнения напряжений
контура. Оно отличается от уравнения для простого колебательного контура
наличием члена, соответствующего добавочному напряжению, возникающему
на катушке контура за счет взаимоиндукции. Если величина анодного тока
равна Ia, а коэффициент взаимоиндукции M>0, то это добавочное напряжение
можно записать в виде
U K = −M
dI a
.
dt
При этом знак выбран так, что энергия поступает в контур. Таким
образом, получается уравнение напряжений
&& + RQ& + 1 Q − M dI a = 0
LQ
.
C
dt
Зависимость между величиной анодного тока Ia и напряжением на сетке Ug
задается характеристикой лампы. При величине среднего анодного тока Ia0,
которая определяется выбранной рабочей точкой лампы, можно записать
Ia = Ia0 + f ( x ) ,
и соответственно
22
dI a df
=
x& = S ( x ) x& ,
dt dx
где S(x) – крутизна характеристики лампы. Так как изменение напряжения на
сетке
∆U g = x=
Q
C,
то уравнение колебаний принимает следующий вид:
LCx&& + RCx& + x − MS ( x ) x& = 0 .
Полагая
t
R C
, D0 =
,
2 L
LC
τ=
это уравнение можно привести к безразмерной форме
 MS ( x )

&&
& = 0.
x−
− 2 D0  x+x
LC


Входящую в это уравнение крутизну характеристики лампы S(x) можно
приближенно считать четной функцией и аппроксимировать рядом:
S ( x ) =S0 − S2 x 2 + S4 x 4 + ... .
Принимая во внимание лишь два первых члена этого ряда, и вводя обозначения
α=
MS0
LC
− 2 D0 , β =
MS 2
,
LC
получим уравнение Ван дер Поля
&&
x −  α − β x 2  x& + x = 0 .
Это лишь приближенное уравнение лампового генератора. Из полученных
уравнений следует, что незатухающие колебания происходят только тогда,
когда коэффициент взаимоиндукции М достигает некоторого минимального
значения, так как должно выполняться неравенство α >0, которое можно
записать так:
23
M > M0 =
2D0 LC RC
=
.
S0
S0
Величина М0 определяет так называемую границу самовозбуждения, при
переходе которой возникают автоколебания контура.
Величина
R−
M
S ( x)
C
является дифференциальным сопротивлением генератора и может стать
отрицательной.
Уравнение (1.5) (которое может быть получено переобозначением
переменных, так что вместо параметров α и β вводится один управляющий
параметр µ) при определенных значениях параметра µ может привести к
организации
автоколебаний.
Тогда
форма
предельного
цикла
будет
определяться параметром µ. При µ = 0 система становится линейной и
консервативной. Естественно ожидать, что при малом µ автоколебания будут
мало отличаться от гармонических колебаний. При больших µ форма
автоколебаний может существенно отличаться от синусоидальной.
Для построения фазовой траектории уравнение (1.7) удобно переписать в
виде двух уравнений:
dy
− µ (1 − x 2 ) y+x = 0 ,
dt
dx
= y.
dt
На рис. 1.6-1.8 представлены зависимости величин x и y от времени, а
также фазовые диаграммы системы при µ = 1.
24
x
4
2
0
10
20
30
40
50
2
t
4
Рис. 1.6
y
4
2
0
10
20
30
40
50
2
t
Рис. 1.7
4
y
2
0
2
4
3
2
1
0
1
2
3
x
Рис. 1.8
25
В физической литературе величину µ иногда называют прочностью
предельного цикла.
При
сильной
нелинейности
(µ>>1)
колебания
становятся
релаксационными, состоящими из участков быстрых и медленных движений
(рис. 1.9 при µ = 10).
20
y
0
10
20
30
40
50
t
20
Рис. 1.9
y
20
10
0
10
20
3
2
1
0
1
2
3
x
Рис. 1.10
Стационарное решение для такой системы нулевое. Тогда получим матрицу
дифференциальных проводимостей
 δ y&   μ −1  δ y 
 &=
×  .
δ
x
1
0
  
 δ x 
Находим частоту колебаний и действительную часть чисел Ляпунова:
26
2
µ
ε= ,
2
Линия,
отделяющая
µ
ω = ± 1−   .
2
положительные
действительные
части
от
отрицательных, представляет собой прямую
µ = 0.
Область, в которой частоты колебаний будут действительны, так же
ограничена прямыми
µ = ±2 .
Тогда
фазовая
диаграмма
генератора
Ван-дер-Поля
может
представлена в виде:
-2
0
2
µ
Нет
колебаний
Затухающие
колебания
Автоколебания
с мягким
возбуждением
Рис.1.11
27
Автоколебания
с жестким
возбуждением
быть
Характерные кривые для перечисленных зон (слева направо) представлены
на рисунках:
Нет колебаний ( µ = −3 ):
x
1.5
1
0.5
0
10
20
30
40
50
t
Рис.1.12
Затухающие колебания ( µ = −1 ):
x
1.5
1
0.5
0
10
20
30
40
50
0.5
t
Рис.1.13
Автоколебания с мягким возбуждением ( µ = 1 ):
x
4
2
0
10
20
30
40
50
2
4
t
Рис.1.14
28
Автоколебания с жестким возбуждением ( µ = 3 ):
x
4
2
0
10
20
30
2
40
50
t
4
Рис.1.15
Заметим, что схема генератора Ван-дер-Поля может быть обобщена на
автоколебательные процессы для системы с обобщенными потоками и силами
(рис. 1.16):
Обобщенный
поток
Обобщенная
емкость
Отрицательное
дифференциальное
сопротивление
Обобщенная ЭДС
(термодинамическая сила)
Рис. 1.16
29
Такая схема автоколебательной системы применима к широкому классу
нелинейных систем.
1.6.
Полупроводниковый генератор, основанный на механизме
саморазогрева
Как известно, в полупроводниках могут наблюдаться N- и S-образные
вольтамперные характеристики, характерным свойством которых является
наличие
падающего
участка.
На
таком
участке
дифференциальное
сопротивление (проводимость) оказывается отрицательной. Как следствие, на
данном участке ВАХ не может быть реализовано стационарное состояние.
Точнее, стационарное состояние оказывается неустойчивым.
I
U
Рис.1.17
Указанное свойство ряда полупроводниковых систем оказалось
важным при создании целого ряда приборов – генераторов электрических
колебаний. Существует целый ряд причин, по которым ВАХ полупроводника
становится нелинейной. В данном параграфе будет рассмотрен наиболее
простой механизм нелинейности ВАХ – саморазогрев.
Рассмотрим сначала особенности ВАХ полупроводникового образца.
Проводимость
полупроводникового
образца
считаем
зависящей
от
температуры так, что ВАХ чистого полупроводника определяется следующей
формулой:
30
 Eg
I = σ 0 exp  −
 2kT

 U,

(4.1)
где I - ток; σ0 – константа, в первом приближении не зависящая от
температуры; Eg– ширина запрещенной зоны полупроводника.
Учтем,
что
выделяемое
тепло
может
приводить
к
увеличению
температуры образца. Такое увеличение температуры будет сопровождаться
ростом проводимости, поскольку концентрация свободных электронов в
полупроводнике экспоненциально зависит от температуры. При этом и
организуется обратная связь, которая приводит к возможности гистерезиса в
системе.
Мощность, выделяемая в образце, может быть записана в виде
IU .
(1.7)
Плотность потока тепла от образца можно записать в виде
α (T0 − T ) ,
(1.8)
где α - коэффициент теплоотдачи материала в окружающую среду;
T - температура образца, установившаяся в результате выделения в нем тепла;
T0 - температура окружающей среды.
В стационарном состоянии выражения (1.7) и (1.8) должны быть равны.
Из этого равенства можно найти температуру образца
T = T0 +
IU
.
α
Тогда ток нелинейно зависит от напряжения


Eg
I = σ 0 exp  −
U.
 2k (T + IU / α ) 
0


Исследуем полученную зависимость на наличие экстремумов. Приравнивая
нулю производную
∂U
= 0,
∂I
получим уравнение для особых точек системы:
31
(kT0 +
Ek
k
X )2 = g X ,
α
2α
где X = ( IU ) s (индекс s соответствует особым точкам).
Решая это уравнение, находим, что
X 1,2 =
α Eg /2 − 2kT0 ± Eg /2( Eg /2 − 4kT0 )
.
k
2
Тогда критическая точка рассматриваемой системы будет определяться
равенством нулю выражения под корнем либо второй производной
∂ 2U
=0
∂I 2
Отсюда находим критические для формирования метастабильных
состояний параметры:
(Eg )C = 8kT0 , X C = αT0 .
При значениях Eg > ( Eg )c кривая имеет S-образный вид. В этой области
каждому значению разности потенциалов соответствуют три значения
плотности тока.
I
US1
US2
U
Рис.1.18
Рассмотрим поведение системы при Eg > ( Eg )c в интервале U S1 < U < U S 2 В
этом интервале одна из ветвей S-образной кривой является метастабильной.
32
Среднее значение I очевидно соответствует абсолютно неустойчивому
состоянию системы.
Вблизи значения U S 2 неустойчивым становится «холодный» ток и
система скачком переходит на верхнюю кривую («тепловой пробой»). Вблизи
US1 неустойчив «горячий» ток и система попадает на нижнюю кривую.
Важным в данном случае является вопрос о том, насколько велика будет
температура образца и при каких параметрах саморазогрев не приведет к его
расплавлению. Например, в критической точке имеем
T=T0 +
В
случае
же
αT 1
IU
= T0 + 0 = 2T0 .
α
1 α
надкритической
ВАХ
максимальная
температура
(соответствующая верхней ветви) будет еще больше.
Заметим, что класс полупроводников, в которых ширина запрещенной
зоны мала (меньше 0.2 эВ), очень узок. Практически речь идет лишь о
нескольких веществах (InSb и др.). Однако для многих из них температура
образца в критической точке оказывается все же больше температуры
плавления.
В то же время, ширина запрещенной зоны не может быть слишком мала
(не меньше, чем 8kT). При комнатной температуре это составляет примерно 0.2
эВ. Таким образом, из известных на сегодняшний день веществ очень немногие
удовлетворяют условиям существования отрицательного дифференциального
сопротивления без изменения своего агрегатного состояния. Это не значит, что
такие вещества не могут быть созданы. Нет никаких принципиальных запретов
на этот счет.
Поскольку вольтамперная характеристика в условиях саморазогрева
имеет S-образный вид, то
при определенных
значениях
тока будет
отсутствовать стационарное решение для разности потенциалов на образце. То
есть будут иметь место автоколебания.
Рассмотрим полупроводник в виде провода круглого сечения радиусом R.
Будем иметь в виду, что тепло, выделяющееся в образце, идет на его нагрев.
33
Рассмотрим нестационарную постановку задачи и запишем уравнения
баланса тока и тепла в цилиндрическом полупроводнике. Пусть входной
(управляющий) ток является заданным. Тогда уравнение баланса заряда в
образце можно записать в виде (Iin – входной ток)
C
dU
= I in − I .
dt
Уравнение баланса тепла
cm
где
c
–
удельная
dT
= IU − α 2πR(T − T0 ) ,
dt
теплоемкость
образца;
m
–
масса
образца;
α - коэффициент теплоотдачи. Будем считать, что основное тепловое
сопротивление сосредоточено на поверхности образца и температура его
практически одинакова. Эта ситуация соответствует характерному радиусу
шнура тока, равному радиусу проводника. Будем рассматривать систему с
индуктивностью. Тогда ВАХ можно записать в виде:
 Eg 0
dI 

I = σ0  U − L  exp  −
dt 

 2kT
L

 , или

E 
dI
I
= U − exp  g 0  .
dt
σ0
 2kT 
Перейдем к безразмерным переменным:
T
≡ T′ ,
T0
Eg 0
2kT0
α 2πR
dt ,
≡ Eg 0′ , dt ′ ≡
cm
U ≡U′
I ≡ I ′ α2πRT0σ0
α 2πRT0
.
σ0
dT ′
= I ′U ′ − (T ′ − 1) ,
dt ′
E ′
α 2πRσ0 L dI ′
= U ′ − I ′ exp  g 0  ,
 T′ 
cm
dt ′


34
,
C
α 2πR dU ′
= I in′ − I ′ .
cmσ0 dt ′
Опуская штрихи, получаем окончательно систему уравнений:
dT
= IU − T + 1 ,
dt
z
E 
dI
= U-I exp  g 0  ,
dt
 T 
y
где
C
α 2πR
= y,
cmσ0
dU
= I in -I ,
dt
α 2πRσ0 L
=z
cm
-
безразмерные
константы,
представляющие собой отношения характерных времен процессов накопления
заряда и индуктивности ко времени теплообмена.
Таким образом, среди полупроводников могут существовать вещества,
которые при определенных условиях будут выступать в качестве генератора
электрических колебаний, основанных на механизме саморазогрева. Такой
генератор может быть использован для получения колебаний определенной
частоты, амплитуды и формы, но и может служить датчиком температуры. Как
было показано выше, частота таких автоколебаний зависит от температуры
окружающей среды, поэтому даже незначительные изменения температуры
окружающей среды будут приводить к изменению частоты автоколебаний, что
легко зафиксировать.
1.7.
Динамический хаос. Бильярд Синая. Дискретные отображения.
Мерой
хаотичности
динамических
систем
является
энтропия
Колмогорова-Синая (КС-энтропия). Эта величина характеризует поведение
точек в фазовом пространстве, которые были первоначально близки.
Рассмотрим в фазовом пространстве в начальный момент времени t = 0
две близкие фазовые точки X1(0) и Х2(0), "выпустим" из них траектории и
35
проследим, как при эволюции системы (t > 0) будет изменяться расстояние
d(t)=ξ(t)=x2(t)-x1(t) между этими точками. Тогда если режим движения
является хаотическим, d(t) с течением времени будет экспоненциально
возрастать, так что на больших интервалах времени
d ( t ) ≈ d ( 0 ) ekt .
Отсюда можно найти среднюю скорость экспоненциального разбегания
траекторий
 d ( t ) 
k ≈ t −1 ln 
.
 d ( 0 ) 
(1.9)
Но это определение, вообще говоря, не является приемлемым. В самом
деле, при финитности движения (а только такое движение мы и рассматриваем)
d(t) не может увеличиваться всегда. Поэтому при больших t величина (1.9) в
любом случае независимо от режима - хаотического или регулярного – будет
близка к нулю. Однако чем меньше мы выберем начальное расстояние
d(0)=ξ(0), тем дольше можно следить за возрастанием d(t), то есть в течение
большего промежутка времени величина d(t) не достигнет максимального
значения. Следовательно, необходимо положить d(0)→0 и t→∞:
 d ( t ) 
h = lim t −1 ln 
.
 d ( 0 ) 
Величину h в физической литературе часто называют энтропией
Колмогорова-Синая, или КС-энтропией. Используя КС-энтропию, можно
определить, каким является исследуемый режим движения – хаотическим или
регулярным. В частности, если динамика системы является периодической или
квазипериодической, то с течением времени расстояние d(t) не возрастает, так
что значение энтропии равно нулю, h = 0. Если движению системы отвечает
устойчивая стационарная точка, то d(t)→0 и h < 0 . Однако в случае
хаотического поведения КС-энтропия всегда положительна, h > 0 .
36
Энтропия h - величина размерная ([h] = с-1) и по существу является не
только качественной, но и количественной характеристикой режима движения:
величина, обратная энтропии (при условии h > 0), определяет характерное
время перемешивания tmix = h −1 в системе; по прошествии промежутка времени
t >> t mix начальная область Ω0 расплывается по всей энергетически доступной
гиперповерхности
подмножеству
(в
отсутствие
фазового
диссипации)
пространства
-
или
странному
диссипативных динамических систем); при t >> t
mix
по
предельному
аттрактору
(для
описание системы может
быть только вероятностным. Однако на малых временах t << t
mix
поведение
системы можно предсказать с достаточной точностью (не превышающей,
естественно, точность задания начального положения фазовой точки).
Вопрос о необратимости в физике - принципиальный. Это один из
основных вопросов, которые решает физика. В фундаментальных законах
классической и квантовой физики время обратимо, так что замена скоростей
частиц на обратные эквивалентна повороту стрелы времени (т.е. замене
t → −t ). Иными словами, в гамильтоновых системах явление необратимости не
может иметь места.
Рассмотрим одну из простейших систем, которая иллюстрирует понятие
необратимость «бильярд Синая» (Я.Г. Синай).
Рис.1.19
37
Отражение шаров от выпуклой стенки. Числа Ляпунова положительны.
Неустойчивость как основа необратимости. Необратимость же нужна для того,
чтобы система забыла свое прошлое состояние. С течением времени вся
фазовая плоскость будет занята траекториями.
Кроме динамических уравнений существует так же и другой способ
описания динамических систем – дискретные отображения. Этот метод удобен
тогда, когда переменные приобретают дискретные значения.
С другой стороны, при численном решении дифференциальных
уравнений, которое в настоящее время очень часто используется в связи с
развитием компьютерной техники, возникают как раз дискретные уравнения.
Рассмотрим пример — это одномерное кубическое отображение с параметром r:
xn +1 = rxn (1 − xn2 ) .
(1.10)
Метод дискретных отображений сейчас широко используется при
моделировании развивающихся систем. Отличие его от динамических систем
типа в следующем.
Во-первых, значения динамических переменных
x (i ) отслеживаются
лишь в определенные моменты времени: t0,t1,... ,tn ; соответственно, значения
переменных xj(t) обозначаются: x1(i ) , x 2(i ) ,…, x m(i ) (i - номер ' переменной, i = 1, 2,...,
т; т - число динамических переменных). При этом интервалы времени
∆t = t n +1 + t n не малы и величины x n( +j )1 отличаются от x n( j ) не мало, а в меру самих
переменных. Можно сказать, что переменные фиксируются с запаздыванием на
∆t. Что происходит с переменными х3 в промежуточные моменты времени—
остается вне поля зрения.
Во-вторых,
вместо
дифференциальных
уравнений
используются
рекуррентные соотношения, связывающие значения переменных x n( +j )1 , со
значением их в момент tn.
В принципе каждому отображению можно сопоставить эквивалентную
систему
дифференциальных
уравнений,
38
но
более
высокого
порядка
(содержащую
большее
число
переменных),
в
которых
учитывается
запаздывание. Как правило, эти дополнительные переменные соответствуют
промежуточным продуктам (или объектам), которые образуются из объектов х,
а затем (через время ∆t) переходят снова в них же.
В результате отображение, содержащее лишь одну переменную,
эквивалентно
системе
из
нескольких
(более
трех)
дифференциальных
уравнений. В этом преимущество отображений. С другой стороны, отсутствие
информации о промежуточных процессах — недостаток. В зависимости от
целей и задач моделирования используются оба метода.
Удобным методом исследования одномерных отображений является
диаграмма Ламерея. Начальное значение x0 задается на оси xn, затем
восстанавливается перпендикуляр до пересечения с функцией f ( x ) = rxn (1 − xn2 )
проводится линия, параллельная оси абсцисс, до пересечения с биссектрисой, и
далее процедура повторяется. На рис. 3.3 приведена диаграмма Ламерея при r =
2,598 > rcr.
В модели (1.10) имеют место следующие бифуркации. При r< 1 в нуле имеется
единственное устойчивое стационарное состояние. При 1 < r < 2 существуют
два устойчивых стационарных состояния - одно в положительном квадранте и
другое в отрицательном. Конечный результат определяется начальными
условиями. При 2 < r < rcr имеет место хаотический режим, но точка остается в
одном и том же квадранте, т.е. выбор квадранта также предопределен. При r >
rcr = 2,598 тоже имеет место хаотический режим, в котором точка перескакивает
из одного квадранта в другой при любых начальных условиях. При r > 3
величина xn неограниченно возрастает с увеличением п. На рис. 1.20
изображена диаграмма Ламерея отображения (1.10) при r > 2,598.
39
Рис. 1.20
Таким образом, неустойчивость и хаотическое поведение может являться
свойством не рассматриваемой физической системы, а вычислительной схемы,
применяемой при ее моделировании. Понимание этого факта очень важно для
численного моделирования физических систем. Чтобы избавиться от хаоса
часто применяют уменьшение шага. Например, в нашем случае это будет
соответствовать уменьшению величины r.
40
2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ И
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
В данной главе и далее будем рассматривать временное поведение
переменных с зависимостью их от координат. Это так называемые
распределенные системы. Будем иметь в виду, что во многих случаях
поведение жидкости и газа одинаково (когда скорости их движения много
меньше скорости звука и их сжимаемостью можно пренебречь).
2.1.
Динамика идеальной жидкости. Уравнение непрерывности.
Уравнение Эйлера
Идеальная жидкость это жидкость, в которой отсутствует вязкость или
внутреннее
трение.
параметрами: ρ
Будем
характеризовать
жидкость
- плотность, V - скорость (средняя скорость
данном элементе объема),
следующими
молекулы в
p – давление. Флуктуациями пренебрегаем,
рассматривая жидкость, как сплошную среду.
Рассмотрим баланс массы в элементе объема. Масса в этом объема
может быть рассчитана как
m = ∫ ρdV .
V
Рассмотрим малый элемент поверхности
Рис. 2.1
41
, ограничивающей этот объем
Через этот элемент в секунду протекает масса, равная ρV d f .
При течении жидкости масса в рассматриваемом объеме сохряняется,
поскольку нет ее источников и стоков. Закон сохранения массы можно записать
в виде (с использованием теоремы Гаусса):
r ur
r
∂
− ∫ ρ dV = − ∫ ρ vd f = ∫ div( ρ v)dV .
∂t
Знак «-» означает, что масса в объеме убывает. Перенося оба интеграла
по объему в левую часть, получим
∫
(V )
(
r
∂ρ
+ div( ρ v))dV = 0 .
∂t
Поскольку выбранный нами объем был произвольным, то это равенство
выполняется только тогда, когда равно нулю подынтегральное выражение.
Тогда получим уравнение
r
∂ρ
+ div( ρ v) = 0 ,
∂t
которое называется уравнением непрерывности и представляет собой закон
сохранения массы жидкости. В частном случае, когда жидкость несжимаема (то
есть ее плотность не зависит от координат и времени) имеем:
уравнение непрерывности в виде:
rr
∇v = 0
Рассмотрим баланс сил,
действующих
на жидкость. Предположим
сначала, что кроме сил давления жидкости никаких других сил нет.
Найдем сумму всех сил, действующих на объем.
− ∫ pd f - интеграл по замкнутой поверхности
df
- элемент поверхности.
По теореме Гаусса
ur ur
ur
− ∫ pd f = − ∫ ∇ pdV
42
.
ur
∇
Таким образом p - сила, действующая на единицу объема.
Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона для нашего объема):
r
ur
dv
ρ
= −∇ p .
dt
r
∂v
dt
∂t
- явная зависимость скорости от времени
r
r
r
r
dv
∂v
∂v
∂v
dt + vx + v y + vz .
dt
∂x
∂y
∂z
Последние три слагаемых представляют собой
r
rur r
ur
∂v
ρ + ρ (v∇)v = −∇ p
∂t
rur r
(v∇ )v . Тогда получим
r
∂v rur r
1 ur
+
(
v
∇
)
v
=
−
∇ p - Уравнение Эйлера.
или
∂t
ρ
Легко обобщить это уравнение на случай, когда на объем действуют и
другие силы. Пусть помимо давления будет действовать сила тяжести.
Очевидно, что ρ g
- сила тяжести, действующая на единицу объема. Тогда
получим:
r
ur
∂ v rur r
1 ur
+ ( v∇ ) v = − ∇ p + g
∂t
ρ
-
это
уравнение
представляет
собой
закон
сохранения импульса при отсутствии сил трения.
Система уравнений непрерывности и Эйлера описывает движение
идеальной жидкости. В ней четыре уравнения и четыре неизвестных. Чтобы
быть полной она должна быть дополнена уравнением состояния (которое
связывает давление и плотность), а так же начальными и граничными
условиями.
Рассмотрим случай, когда жидкость покоится, т.е. случай гидростатики.
Вся левая часть равна нулю.
ur
ur
∇ p = ρ g , то есть
43
∂p
=0 ,
∂x
∂p
∂p
= −ρ g .
=0
∂y
∂
z
,
В результате интегрирования получим:
p = const − ρgz
z=h
z
p = p0
h
Находим const
p = const − ρgh ,
p = p 0 + ρg ( h − z )
Давление линейно меняется с высотой, это верно только тогда, когда
плотность постоянна.
2.2.
Движение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса. Числа
подобия в гидродинамике
В общем случае в системе присутствует вязкость. Это означает, что
между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями, будет
действовать сила (для случая наличия зависимости скорости только от
координаты z):
F =η
du
S,
dz
η - коэффициент динамической вязкости. Эта формула может быть обобщена на
зависимость всех компонентов скорости от всех координат. В результате
получим уравнение:
r
ur η r
dv rur r
1 ur
+ (v∇)v = − ∇ p + g + ∆v .
ρ
ρ
dt
Это уравнение называется уравнение Навье-Стокса. Удобно ввести величину
44
v=
n
ρ
- коэффициент кинематической вязкости. Здесь мы пренебрегли
явлением объемной вязкости.
Для уравнения Навье-Стокса так же нужны начальные и граничные
условия. Особенность их по сравнению с уравнением Эйлера в том, что на
стенке и нормальная и тангенциальная составляющие скорости равны нулю.
Например, для течения по круглой трубе длины l, радиуса R ранее
получали формулу для скорости:
v=
∆p 2 2
(R − r ).
4ηl
Тогда расход жидкости:
Q=
π∆p 4
R
8η l
.
Рассмотрим течение жидкости между вращающимися цилиндрами, т.е.
течение Куэтта. При этом один цилиндр вращается в другом (вид сверху)
R2
Ω1
R1
Ω2
Рис. 2.3
45
Запишем уравнения Навье-Стокса и непрерывности в цилиндрических
координатах. Ось z направим вертикально вдоль оси вращения цилиндров, угол
φ будет показывать угол вращения, а r будет представлять собой расстояние до
оси вращения до произвольной точки.
2
∂vr
1 ∂p η 
vr 2 ∂vϕ 
r r r vϕ
+
v
∇
v
−
=
−
+
∆
v
−
−


r
1.
∂t
ρ ∂r ρ  r r 2 r 2 ∂ϕ 
r
( )
∂vϕ
vϕ 2 ∂vr 
1 ∂p η 
r r r vr vϕ
+
v
∇
v
+
=
−
+
∆
v
−
+


ϕ
2. ∂t
r
ρ r ∂ϕ ρ  ϕ r 2 r ∂ϕ 
3.
( )
∂vz
1 ∂P η
rr r
+ ( v ∇ )v z = −
+ ∆v
∂z
ρ ∂z ρ z
Распишем отдельно конвективное слагаемое
∂f vϕ ∂f
∂f
rr
v ∇ f = vr
+
+ vz
∂r r ∂ϕ
∂z
( )
и лапласиан
1 ∂  ∂f  1 ∂ 2 f ∂ 2 f
∆f =
+
r  +
r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
Запишем уравнение непрерывности в цилиндрических координатах:
1 ∂
1 ∂vϕ ∂vz
(rvr ) +
+
= 0.
r ∂r
r ∂ϕ ∂z
Из симметрии задачи можно сделать вывод, что
vz = vr = 0 , а остается vϕ = v ( r ) и p = p(r ) .
Уравнения (1) и (2) преобразуются к виду:
 dp
v2
 dr = ρ 2
 2
 ∂ v + 1 dv − v = 0
 ∂r 2 r dr r 2
46
Уравнение непрерывности и уравнение (3) удовлетворяются автоматически.
Будем искать решение для скорости в виде:
v = Cr n .
Подставляя это выражение во второе уравнение, получим:
n = ±1 .
Тогда получим решение в виде:
v = ar +
b
r.
Для нахождения постоянных a и b применим граничные условия:
Граничные условия:
v = Ω1 R1 ,
r = R1
r = R2
v = Ω2 R2 .
Запишем окончательное решение для скорости:
Ω1 − Ω 2 ) R12 R22 1
(
Ω 2 R22 − Ω1 R12
v=
r+
R22 − R12
R 22 − R 21
r,
Ω2 R22 − Ω1R12
=a,
2
2
R2 − R1
(Ω1 − Ω 2 )R12 R22
R22 − R12
=b
Запишем уравнение для распределения давления:
 2 2ab b 2 
dP ρ 
b
=  ar +  = ρ  a r +
+ 3 .
dr r 
r
r
r 

2
Это уравнение можно проинтегрировать и найти распределение давления.
Рассмотрим частный случай, если Ω1 =Ω 2 . Получим, что v = Ωr - жидкость
между цилиндрами движется как единое целое (как твердое тело).
Если нет внешнего цилиндра, то есть Ω 2 = 0 а
R2 → ∞ , то получим
Ω1 R12
v=
, то есть скорость подчиняется гиперболическому закону.
r
47
Рассмотрим закон подобия в гидродинамике. Этот закон состоит в том,
что каждый тип движения определяется параметрами ν, u, l (например при
стационарном обтекании тела). Здесь u – представляет собой скорость потока
вдали от тела, l – характерный линейный размер тела.
Основываясь на экспериментальных данных, Осборн Рейнольдс,
проводивший опыты по течению жидкостей в трубах, заметил, что тип течения
определяется безразмерным комплексом:
Re =
ρ ul ul
= η
v
чило Рейнольдса.
Можно так же ввести другие безразмерные величины:
r
r
l
и
r
v
u.
Тогда решение системы уравнений гидродинамики можно представить в виде:
r
r  rr
r

2 r
v = uf  , Re  , p = ρ u f  , Re  .
l

l

Если мы возьмем тела одинаковой формы, но с одним и тем же числом
Рипольдса, то мы должны получить одно и тоже решение, это утверждение
называется законом подобия.
Если присутствует сила тяжести, то ей соответствует свое число –
Фруда:
u2
F= .
lg
Для нестационарных течений кроме масштаба
длины и скорости
вводится характерный интервал времени τ. Ему соответствует число Струхала
S=
uτ
l .
Все эти числа называются числами подобия в гидродинамике. Они
позволяют свести множество переменных и параметров в задаче к небольшому
48
числу действительно независимых величин, тем самым упростив решение
задачи.
Закон
подобия
широко
применяется
при
моделировании
гидродинамических систем: расчете течений в атмосфере, расчете самолетов,
турбин, небоскребов, ракет и т.д. Он позволяет проводить расчеты на на
моделях гораздо меньшего масштаба, что существенно сокращает затраты.
2.3.
Течение при малых числах Рейнольдса. Течение в пористых средах
Рассмотрим стационарное уравнение Навье-Стокса с точки зрения
подобия.
1 r
η r
rr r
v ∇ v = − ∇p + ∆v .
ρ
ρ
( )
u2
Слагаемое в левой части имеет порядок
l , а второе слагаемое в правой части
ηu
u 2 ρ l 2 ρ ul
~ 2 . Их отношение равно
=
= Re , то есть числу Рейнольдса.
ρe
l ηu
η
Рассмотрим частный случай, когда Re<<1 (течение при малых числах
Рейнольдса), тогда слагамым в левой части будем пренебрегать. В результате
получим уравнение:
r
r
∇p = η∆v .
Число Re мало при малых скоростях, или при большой вязкости, или при
малых размерах тела. Важно заметить, что при малых числах Re уравнения
движения становится линейным. Например, для обтекания шара потоком
жидкости при малых числах Рейнольдса верна формула Стокса для силы
трения: F = 6πη Ru .
Течение при малых числах Рейнольдса наблюдается, например, тогда,
когда жидкость течет в пористой среде. Для этого случая экспериментально
установлен закон Дарси, 1856 (Анри Дарси – французский инженер-гидравлик):
49
r P

r
u = −k ∇ 
+ z,
 ρg

где z – вертикальная координата, p-давление, ρ-плотность, k-коэффициент
r
фильтрации, u -вектор скорости фильтрации:
Q r
r
u = lim max n
S →0 S
Qmax
k=
- максимальный расход на площадке S. Коэффициент фильтрации:
gc
ν
, где с – коэффициент пористости среды.
Типичные скорости фильтрации для воды, нефти в горных породах 1мм/с.
Этот закон нарушается, когда поры большие и будут нелинейная зависимость.
2.4.
Устойчивость движения жидкости. Турбулентное течение
Отметим, что не всякое точное решение уравнений движения
реализуемо в природе. Причина в том, что такое решение может оказаться
неустойчивым.
Осборн Рейнольдс в конце 19-го начале 20-го века проводил опыты с
течением жидкости в трубах. Уже давно было известно, что при достаточно
больших скоростях жидкостное течение становиться неупорядоченным.
Основной результат экспериментов Рейнольдса состоял в том, что он
установил, что при заданной форме тела (трубы) переход к турбулентному
течению зависит от одного безразмерного параметра – числа Рейнольдса.
Турбулентное
течение
характеризуется
наличием
в
жидкости
нестационарных вихрей, которые возникают и вновь исчезают. Таким образом
турбулентное течения является нестационарным. Например, при обтекании
цилиндра при Re ≈30 – стационарный режим исчезает и появляется дорожка
вихрей, или дорожка Кармана. Для течения в трубах течение становилось
турбулентным, начиная примерно с Reс1≤1800. При дальнейших опытах было
50
показано, что в ряде случаев течение остается ламинарным и при больших
числах Рейнольдса. Этого можно достичь, особым образом организовав течение
(плавный вход в канал, уменьшить возмущения и остаточные вихри).
Например, течение в круглой трубе может оставаться ламинарным до Re
5
порядка 10 . Если же в таком режиме чуть-чуть возмутить течение, то оно
сразу станет турбулентным.
Таким образом для перехода к турбулентности можно ввести верхнее
ReC2 и нижнее ReC1 числа Рейнольдса. При Re< ReC1 движение ламинарно, а
турбулентное течение не может существовать сколь-нибудь долгое время. В
интервале между этими числами могут существовать как ламинарное , так и
турбулентное течения. Это во многом зависит от наличия возмущений. В
частности, ламинарное течение в этом интервале будет метастабильным. При
Re> ламинарное течение существовать не может, течение только турбулентное.
Если менять числа Рейнольдса, то будет наблюдаться явление гистерезиса.
Рассмотрим течение между вращающимися цилиндрами. Это течение
так же может стать неустойчивым. При этом между цилиндрами образуются
вихри Тейлора.
Рис. 2.4
Область неустойчивости для этого вида течения можно представить в виде:
51
неустойчивость
Ω1
Ω2
Рис. 2.5
Асимптота описывается уравнением прямой линии: Ω1 R1 = Ω 2 R2 .
2
2
Для исследования устойчивости течений жидкости применяется метод
малых возмущений, во многом сходный с методом исследования устойчивости
динамических систем. Все переменные возмущаются на малую величину.
Например, для скорости
r r
r
v = v0 + δ v ,
r
где v0 - не возмущенная скорость
Тогда линеаризованное уравнение Навье-Стокса будет выглядеть так:
r
r
r
∂
∇δ p η
r
r
r r
r
δ v + v∇ δ v + δ v∇ v = −
+ ∆δ v .
∂t
ρ
ρ
( )
(
)
При этом возмущение выбирается в виде плоских волн (например, волна
может распространяться вдольоси x):
r i( kx −ωt ) r
δv = e
f ( y, z ) .
После подстановки возмущения в линеаризованное уравнение это
уравнение обычно решается численно. В результате находят такие числа
Рейнольдса, при которых волна будет возрастать. Отличие от динамических
систем состоит в том, что в этом случае у волны есть волновое число, которое
выступает в качестве дополнительного параметра.
52
Например,
если
исследовать
течение
между
плоскостями
на
устойчивость, то получим фазовую диаграмму:
ω
ReC
Re
Рис. 2.6
В данном случае критическим является наименьшее число Рейнольдса
( Re =
vmax h
, h - ширина канала) ReC = 5772 .
2v
Для течения в круглой трубе при осесимметричных возмущениях не
найдено конечного критического числа Рейнольдса. Это означает, что в
принципе ламинарное течение может существовать при любых числах
Рейнольдса.
Критическое
соответствует
число,
второму
определяемое
критическому
методом
числу
из
малых
возмущений,
эксперимента.
Метод
нахождения первого (нижнего) критического числа не известен.
Исследование перехода от ламинарного течения к турбулентному
принципиально
важно,
поскольку
при
этом
существенно
меняется
сопротивление тела (если движется тело), или поток жидкости, если движется
жидкость.
Рассмотрим
турбулентное
течение
при
Re>>ReC2.
При
этом
турбулентность называется развитой. При этом пульсации скорости становятся
одного порядка с величиной средней скорости:
δv ≈ u .
Профиль скорости для турбулентного течения становится логарифмическим.
Например, для плоского течения:
53
v ( y ) ~ ln y ,
где y – поперечная координата. Этот профиль становится более пологим, чем
при ламинарном течении (квадратичный профиль). Для средней скорости
выведена полуэмпирическая формула
u=
 a a∆p 
a∆p
ln

,
2κ 2 ρ l  v 2 ρ l 
a – радиус трубы, κ– постоянная Кармана ≈ 0.4, ρ - плотность, ∆p - разность
давлений на концах трубы, l - длина трубы, v - кинематическая вязкость.
При турбулентном движении сопротивление трубы больше, чем при
ламинарном. Если ввести коэффициент сопротивления трубы:
λ=
2a∆p / l
ρu 2 / 2 ,
то для гладких труб можно получить экспериментальную зависимость этого
коэффициента от числа Рейнольдса:
λ
4
Турбулентное течение
Ламинарное
течение
2
1
103
104
105
106
Re
Рис. 2.7
Поскольку при турбулентном течении велики флуктуации скорости, то
это означает, что такие флуктуации могут переносить не только саму жидкость,
но и различные вещества, а так же тепло, импульс и т.д. В этом смысле удобно
ввести такие понятие как турбулентная вязкость, турбулентная диффузия и
турбулентная теплопроводность, во многом аналогичные таковым для газов.
Аналогом теплового движения молекул здесь выступает само турбулентное
движение. Для этих величин можно записать:
54
D
турб
η
турб
κ
=
турб
=
1
λ δv – коэффициент турбулентной диффузии,
3
1
λ δv ρ - коэффициент турбулентной вязкости,
3
=
1
λ δv ρC
3
Vуд
- коэффициент турбулентной теплопроводности. В
этих формулах <λ> - средняя длина «свободного пробега» вихрей (обычно ее
принимают равной характерному размеру, например, ширине трубы). <δv> средний модуль флуктуации скорости.
Как правило, эти величины значительно больше своих газовых аналогов.
Поэтому, при наличии турбулентного течения, например, перемешивание
жидкости (диффузия примеси) происходит очень быстро.
Оценим числа Рейнольдса для реки, атмосферы. В атмосфере вихри почти
плоские (циклоны, тайфуны, ураганы). Течение при этом почти двумерное.
Оценим число Re для атмосферы:
ρ ud
104
Re =
= 1.3 ⋅10 ⋅
= 0.65 ⋅1010 = 6.5 ⋅109 .
−6
20 ×10
η
Это очень большое число. Это означает, что атмосфера практически
всегда турбулентна.
Для реки:
Re =
ρud
1×10
= 103 ⋅
= 107 .
η
0.001
Большинство рек так же турбулентны. Это означает, что перемешивание
примесей в них происходит главным образом по закону турбулентной
диффузии.
55
2.5.
Устойчивость механического равновесия жидкости. Конвекция
Рэлея-Бенара
Рассмотрим слой несжимаемой вязкой жидкости (газа) подогреваемый
снизу. Движение такой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса,
непрерывности и переноса тепла в приближении Буссинеска:
r
dv rur r
1 ur
η r
+ (v∇)v = − ∇ p + g β Tez + ∆v ,
dt
ρ0
ρ
dT rur
+ v∇T = χ∆T ,
dt
rr
∇v = 0 ,
где p и T – давление и температура, которые отсчитываются от
некоторых средних равновесных значений, ρ0 – средняя плотность, ez –
единичный вектор в направлении вертикальной оси,
β=−
1
ρ
0
 ∂ρ 


∂
T


-
коэффициент
теплового
расширения,
χ
–
равн
коэффициент температуропроводности. Оба эти коэффициента считаются
постоянными.
Приближение Буссинеска состоит в том, чтобы пренебречь изменением
плотности в зависимости от температуры, кроме слагаемого в уравнении НавьеСтокса, отвечающем за силу Архимеда. В начальный момент времени жидкость
покоится, а температура линейно зависит от вертикальной координаты. На
верхней и нижней границах задана температура:
T ( z = 0 ) = T1 ,
T ( z = H ) = T2 ,
скорость жидкости на границе области равна нулю (жесткие граничные
условия) либо сила вязкого трения на верхней границе жидкости равна нулю
(мягкие граничные условия). Последнее приводит к уравнениям вида:
56
∂vx ∂vy
=
= 0.
∂z
∂z
Перепишем систему уравнений в безразмерной форме. Для этого
выберем в качестве масштаба длины высоту области H, времени H2/ν, скорости
ν/H, давления ρ0ν2/H2, температуры δT = T2-T1. Тогда система уравнений примет
вид (в старых обозначениях):
r
ur
dv rur r
Ra
r
+ (v∇)v = −∇ p +
Tez + ∆v ,
dt
Pr
dT rur
1
+ v∇T = ∆T ,
dt
Pr
rr
∇v = 0 ,
где
Ra =
g βδ TH 3
Pr =
Для
температура
механического
линейно
νχ
- число Рэлея,
ν
χ - число Прандтля.
равновесия
зависела
от
z.
жидкости
При
этом
необходимо,
второе
чтобы
уравнение
удовлетворяется автоматически, а первое уравнение приводит к линейной
зависимости давления в жидкости от высоты. Другой вопрос – устойчиво ли это
равновесие?
Был проведен анализ на линейную устойчивость этой системы
уравнений. В результате получены критические числа Рэлея, при которых
устойчивость теряется:
для свободных границ
RaC = 658 ,
для жестких границ RaC = 1708 .
57
В результате потери устойчивости возникает конвективное течение –
ячейки Бенара. Численное решение уравнений для возмущений показывает, что
при числах Рэлея, близких к критическому характерная скорость конвекции
v ~ Ra − Ra .
c
2.6.
Неустойчивость Марангони
Рассмотрим опять слой жидкости со свободной поверхностью,
поддерживаемой при температуре T1, а дно сосуда при температуре T2.
Предположим, что жидкость находится в невесомости, и поэтому жидкость
устойчива в смысле Рэлея-Бенара. Будем учитывать поверхностное натяжение
жидкости в качестве основной силы. Такое приближение будет верно в случае,
когда сила поверхностного натяжения много больше силы Архимеда.
Вблизи свободной поверхности выберем кубик с ребром h.
А
В
1
2
3
4
На него со стороны соседних слоев действуют силы поверхностного
натяжения. Например, на ребра A и B действуют силы
F1 = α1h , F2 = α 2 h .
Если температура на поверхности всюду одинакова, то α1=α2 и жидкость
находится в равновесии.
Пусть теперь произошло такое возмущение температуры, что на ребре А
она стала больше, чем на ребре В. Так как поверхностное натяжение жидкостей
58
уменьшается с ростом температуры, то теперь α2 > α1, и кубик 1 придет в
движение. На движущийся, например, в положение 2 кубик 1 будет действовать
сила трения, обусловленная вязкостью жидкости. Сила трения и сила
поверхностного натяжения уравновесят друг друга, и кубик будет двигаться с
некоторой скоростью v. Одновременно за счет теплопроводности жидкости
температура будет выравниваться. Если время выравнивания температуры
будет меньше, чем время движения кубика в положение 2, то можно считать,
что никакого движения не произошло, и равновесие сохранилось, т.е. оно
устойчиво. Если же температура не успела выровняться, кубик уже перешел в
новое положение 2, а его место занял кубик 4, то равновесия нарушилось, то
есть оно неустойчиво. Итак, условием неустойчивости будем считать
неравенство
∆t >
h
v,
где ∆t – время выравнивания температуры, v - средняя скорость
движения кубика.
Время выравнивания температуры можно оценить из уравнения для
конвекции Рэлея:
∆t ≈
h2
χ
.
Тогда неравенство перепишется так:
hv
χ
> 1.
Скорость оценим из равенства сил трения и поверхностного натяжения:
η
dv
∆S = (α 2 − α1 ) h .
dx
Считая приближенно, что
59
dv v
≈
dx h ,
а так же
α 2 − α1 = βα ∆T , βα =
Последняя
величина
является
∆α
∆T
.
характеристикой
жидкости.
∆S
представляет собой площадь трущихся поверхностей при движении жидкости.
Для кубика ∆S ≈ 3h . Учитывая сказанное выше, найдем скорость:
2
v=
βα ∆T
3η
.
Тогда условие неустойчивости будет следующим:
Mn =
βα ∆Th
> 3.
ηχ
Безразмерный комплекс, стоящий в левой части равенства называется
числом Марангони в честь ученого, который исследовал это явление. Строгая
математическая теория дает критическое число Марангони, равное 50.
Заметим, что явления, подобные неустойчивости Марангони, достаточно
широко распространены. Например, неустойчивость может быть связана с
зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от концентрации
каких-либо веществ. Такой неустойчивостью объясняется движение капель в
бокале с вином вверх по стенке, явления на поверхности кофе, чая и т.д.
2.7.
Волны на поверхности жидкости. Линейная теория волн на мелкой
воде
Для понимания механизмов возникновения волн на поверхности воды
важно рассмотреть два предельных случая: мелкая вода и глубокая вода (по
сравнению с длиной волны). Первый случай соответствует волнам в
60
неглубоких водоемах либо очень длинным волнам в океане (цунами). Второй
случай соответствует волнам на поверхности морей и океанов.
Замечательную аналогию движению сжимаемого газа представляет
движение в поле тяжести несжимаемой жидкости со свободной поверхностью,
если глубина слоя жидкости достаточно мала (мала по сравнению с
характеристическими размерами задачи, например, по сравнению с размерами
неровностей дна водоёма). В этом случае поперечной компонентой скорости
жидкости можно пренебречь по сравнению с продольной (вдоль слоя)
скоростью, а последнюю можно считать постоянной вдоль толщины слоя. В
этом
приближении
(называемом
гидравлическим)
жидкость
можно
рассматривать как «двухмерную» среду, обладающую в каждой точке
определённой скоростью v и, кроме того, характеризующуюся в каждой точке
значением величины h – толщины поля.
Рассмотрим длинные волны в обширном бассейне, который будем
считать неограниченным в двух измерениях (вдоль плоскости x-y). Глубину
жидкости в бассейне обозначим посредством h. Из трех компонент скорости
малой является компонента vz. Уравнения Эйлера для такого движения
приобретают вид:
∂v y
∂ξ
∂v x
∂ξ
+g
= 0,
+g
= 0,
∂t
∂y
∂t
∂x
где ξ – возмущение свободной поверхности.
В уравнении Эйлера мы пренебрегли конвекционным слагаемым,
считая скорость течения малой (линейное приближение).
Уравнение непрерывности имеет вид:
∂ h ∂ ( hv x ) ∂ ( hv y )
+
+
= 0,
∂t
∂x
∂y
где глубина h может быть записана в виде h=h0+ξ. Тогда
∂ ξ ∂ ( h0 v x ) ∂ ( h0 v y )
+
+
=0.
∂t
∂x
∂y
61
Такой вид уравнения непрерывности получается из закона сохранения
массы жидкости, записанного для единичного поперечного сечения и
постоянной плотности (в отличие от уравнения непрерывности, рассмотренного
ранее для несжимаемой жидкости, в данном случае объем изменяется).
Дифференцируя это уравнение по t, и подставляя уравнения Эйлера, получим:
 ∂ 2ξ ∂ 2ξ 
∂ 2ξ
− gh0  2 + 2  = 0 .
∂t 2
∂y 
 ∂x
Это волновое уравнение для двумерной среды, которое соответствует
волнам, распространяющимся со скоростью, равной
c=
gh0 .
Эта скорость играет здесь роль скорости звука в газодинамике.
2.8.
Основы теории волн на глубокой воде
Первые теории морских волн вытекали из основ классической
гидромеханики. В них исследовались форма волны и ее кинематические
характеристики, но не вскрывались закономерности развития и затухания волн,
возбуждаемых ветром, не объяснялся механизм передачи энергии от ветра к
волне и диссипации (рассеивания) этой энергии в волне. Кроме того, не
рассматривалось многообразие волн, возникающих при действии ветра, и не
давались связи между условиями действия ветра и элементами волн.
Ветровые волны на поверхности океана не представляют собой строгого
периодического явления, как волны в физическом их понимании. Морское
волнение можно уподобить турбулентным (пульсационным) колебаниям
поверхности
моря,
которое
отличается
большим
разнообразием,
что
значительно усложняет изучение ветровых волн. Указанные обстоятельства не
дают основания не учитывать классические теории морских волн, которые,
несмотря на существенные ограничения, принимаемые при решении задачи, не
потеряли своего методического и практического значения.
62
Величины соотношений между элементами реальных волн весьма
разнообразны. Поэтому при изучении элементов отдельной волны и их
изменения часто используется идеализированная волна, в качестве которой
выбирается трохоидальная. Это двумерная волна, частицы которой вращаются
по правильным окружностям. При этом частицы, находящиеся на одной
вертикали, колеблются синфазно.
Трохоидальный профиль волны заданной высоты и длины можно построить
следующим образом. Если окружность радиусом R катить по горизонтальной
прямой, то конец радиуса описывает циклоиду, а остальные точки радиуса
описывают трохоиды, соответствующие орбитам с радиусами r = h/2.
Упрощенный вывод теории трохоидальной волны изложен Н.Н. Зубовым.
В этой теории делаются следующие допущения:
• море считается бесконечно глубоким;
• жидкость является идеальной, состоящей из отдельных частиц и лишенной
сил внутреннего трения;
• плотность воды принимается постоянной;
• волнение считается двухмерным, установившимся и свободным, действие
силы, вызвавшей волнение, прекратилось после развития волнения, сами
волны рассматриваются как поступательные и гравитационные.
С одной стороны, для скорости волны можно записать соотношение:
c=
λ
T
=
λω
2π ,
где λ – длина волны, T – период.
Частота колебаний частиц, находящихся на поверхности жидкости може
быть найдена из второго закона Ньютона для единицы массы жидкости:
ω2R = g .
С другой стороны длина волны связана с радиусом окружности
соотношением:
λ = 2π R .
63
Выражая радиус окружности через длину волны, получим:
c=
gλ
.
2π
Таким образом, для глубокой воды скорость волн зависит от длины
волны – чем больше длина волны, тем больше ее скорость.
Рис. 2.8
Предполагаем далее, что при волнении частицы движутся по круговым
орбитам; радиусы орбит, по которым вращаются частицы, уменьшаются с
глубиной экспоненциально и тем быстрей, чем короче волна:
 2π
R = R0 exp  −
 λ

z

где z - вертикальное расстояние вниз от поверхности воды;
Соответственно убыванию радиусов орбит частиц убывает и высота
волны.
Приведенная теория не учитывает поверхностное натяжение воды. Между
тем, для относительно коротких волн сила поверхностного натяжения может
оказаться сравнимой или больше, чем сила тяжести. Общее выражение для
скорости волн на поверхности напоминает выражение для скорости волн в
упругой среде. Отличие состоит в том, что для жидкости плотность остается
постоянной, а меняется форма ее поверхности:
c=
64
P
ρ,
где P =
ρ gλ
2π
+σ
2π
λ - давление.
Здесь
первое
гидростатическое
слагаемое
давление,
в
правой
возникающее
части
при
представляет
подъеме
жидкости
собой
над
поверхность. Второе слагаемое представляет собой давление Лапласа,
возникающее из-за кривизны поверхности (λ/2π представляет собой радиус
кривизны). Тогда окончательно получим для скорости:
c=
g λ σ 2π
+
2π ρ λ .
При малых длинах волн их скорость в основном определяется
поверхностным натяжением. Такие волны называются капиллярными. Если
построить график зависимости скорости волн от их длины, то получим кривую
с минимумом. Из этого выражения легко получить минимальную скорость
распространения волн:
d
c=
dλ
 g σ 2π 
−

2 
g λ σ 2π  2π ρ λ  .
+
2
2π ρ λ
1
σ 1
ρg.
λmin = 2π
2.9.
Солитоны. Уравнение Кортевега-де-Фриса
Солитон – это уединенная волна в средах различной физической
природы,
сохраняющая
неизменной
свою
форму
и
скорость
при
распространении. От англ. solitary – уединенная (solitary wave – уединенная
волна), «-он» – типичное окончание терминов такого рода (например, электрон,
фотон, и т.д.), означающее подобие частицы.
Понятие солитон введено в 1965 американцами Норманом Забуски и
Мартином Крускалом, но честь открытия солитона приписывают британскому
65
инженеру Джону Скотту Расселу (1808–1882). В 1834 им впервые дано
описание наблюдения солитона ("great solitary wave" - «большой уединенной
волны»). В то время Рассел изучал пропускную способность канала Юнион
близь Эдинбурга (Шотландия). Вот как сам автор открытия рассказывал о нем:
«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара
лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую
баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около
носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его
позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого
одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного
водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не
меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда
я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно
восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль
возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с
половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль
погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 мне впервые
довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал
волной трансляции…».
Впоследствии Рассел экспериментальным путем, проведя ряд опытов,
нашел зависимость скорости уединенной волны от ее высоты (максимальной
высоты над уровнем свободной поверхности воды в канале).
Возможно, Рассел предвидел ту роль, которую играют солитоны в
современной науке. В последние годы своей жизни он завершил книгу Волны
трансляции в водном, воздушном и эфирном океанах, опубликованную
посмертно в 1882. Эта книга содержит перепечатку Доклада о волнах – первое
описание уединенной волны, и ряд догадок о строении материи. В частности,
Рассел полагал, что звук есть уединенные волны (на самом деле это не так),
иначе, по его мнению, распространение звука происходило бы с искажениями.
66
Основываясь на этой гипотезе и используя найденную им зависимость скорости
уединенной волны, Рассел нашел толщину атмосферы (5 миль). Более того,
сделав предположение, что свет это тоже уединенные волны (что тоже не так),
Рассел нашел и протяженность вселенной (5·1017 миль).
По-видимому, в своих расчетах, относящихся к размерам вселенной,
Рассел допустил ошибку. Тем не менее, результаты, полученные для
атмосферы, оказались бы правильными, будь ее плотность равномерной.
Расселовский же Доклад о волнах считается теперь примером ясности
изложения научных результатов, ясности, до которой далеко многим
сегодняшним ученым.
Реакция на научное сообщение Рассела наиболее авторитетных в то
время английских механиков Джорджа Байделя Эйри (1801–1892) (профессора
астрономии в Кембридже с 1828 по 1835, астронома королевского двора с 1835
по 1881) и Джорджа Габриэля Стокса (1819–1903) (профессора математики в
Кембридже с 1849 по 1903) была отрицательной. Много лет спустя солитон был
переоткрыт при совсем иных обстоятельствах. Интересно, что и воспроизвести
наблюдение Рассела оказалось не просто. Участникам конференции «Солитон82», съехавшимся в Эдинбург на конференцию, приуроченную к столетию со
дня смерти Рассела и пытавшимся получить уединенную волну на том самом
месте, где ее наблюдал Рассел, ничего увидеть не удалось, при всем их опыте и
обширных знаниях о солитонах.
Теоретическое объяснение уединенные волны получили впоследствии в
работах французского ученого Ж. В. де Буссинеска и английского физика Дж.
Рэлея.
Они
обосновали
математически
возможность
существования
уединенных волн в мелководных каналах.
После смерти Рассела в 1895 году голландский физик Д. Кортевег и его
ученик Г. де Фрис вывели уравнение, описывающее уединенные волны. Это
67
уравнение получило название уравнения Кортевега - де Фриса (уравнение
КДФ) и имеет вид
∂s
3 ∂s H ∂ s 
 ∂s
+c  +
s +
 = 0.
∂t
6 ∂x 
 ∂x 2 H ∂x
2
3
0
(2.1)
3
Оно описывает распространение поверхностных гравитационных волн
на мелкой воде. Здесь с = gH - скорость волн мелкой воды, H- глубина
0
H ∂s
6 ∂x
2
водоема.
Нелинейный
член
3
3
отвечает
за
дисперсию
гравитационных волн (хотя и небольшую на мелкой воде).
Рассмотрим несколько подробнее влияние нелинейности и дисперсии на
распространение поверхностных гравитационных волн. По аналогии с
нелинейными акустическими волнами сразу можем сказать, что скорость
различных участков поверхностной волны будет различна:
3 

c = c 1 +
.
 2H 
0
Из-за различия скоростей (гребень волны движется быстрее впадины)
происходит превращение гармонической волны в пилообразную. Крутой фронт
под действием силы тяжести опрокидывается, и на поверхности воды
появляются пенистые гребешки. Опрокидывание фронта легко наблюдать при
движении волны по мелководью вблизи берега (рис. 2.9). Однако в ряде
случаев нелинейное искажение волны может компенсироваться дисперсией. В
самом деле, пилообразная волна представляет собой набор гармонических волн
с разными частотами. Из-за дисперсии эти волны движутся с разными
скоростями, и поэтому пилообразный фрагмент волны, подобно импульсу,
стремится
расшириться.
При
определенной
форме
фрагмента
оба
конкурирующих механизма могут компенсировать друг друга, и тогда по
поверхности воды побежит устойчивая структура в виде уединенной волны
(солитона). Выясним некоторые свойства этой уединенной волны.
68
Рис. 2.9
Предположим, что солитон имеет амплитуду so протяженность вдоль
оси Ox, равную l и представляет собой некоторый холмик. Оценим величины
нелинейного и дисперсионного членов в уравнении КДФ:
3 ∂s 1 s
s ~ s ;
2 H ∂x H l
(2.2)
0
0
s
H ∂s
~ -H
.
6 ∂x
l
2
3
2
3
0
3
∂s
В (2.2) учтено, что на переднем и заднем фронтах холмика
< 0.
∂x
3
3
Естественно, что оба механизма будут компенсировать друг друга при условии
s
1 s
s
−H
≈ 0.
H l
l
0
2
0
0
3
Последнее накладывает связь на амплитуду so и длину l солитона:
H
.
l ≈
s
3
2
0
69
Таким образом, чем больше амплитуда солитона so тем меньше должна
быть его длина l. Скорость солитона c возрастает с ростом амплитуды, что
характерно для нелинейного распространения волн.
Рис. 2.10
Точное решение уравнения КДФ, описывающее солитон, имеет вид
s
.
 x − ct 
ch 

 l 
s (t , x) =
0
2
При этом длина солитона l связана с амплитудой so соотношением
4H
l =
,
3s
3
(2.3)
2
0
а скорость
s 

c = c 1 +
.
 2H 
0
0
Если s << H , то последнее выражение можно переписать в виде
0
 1s 
с = gH 1 +
 ≈ g ( H + s ).
 2H
0
0
Эту формулу мы уже записывали при качественном обсуждении
поведения гравитационных волн по мере их приближения к берегу.
70
Важно подчеркнуть, что солитон является устойчивой структурой. Если
первоначально соотношение (2.3) не выполняется и амплитуда so слишком
велика, то водяной холм распадается на несколько меньших холмиков, из
которых сформируются солитоны. Напротив, если so слишком мала, то такой
низкий холм расползется вследствие дисперсии.
По
современным
представлениям
большинство
волн
цунами
образуются, когда достаточно крупный, но безвредный в океане солитон
выбрасывается на берег. При подходе к берегу он становится выше и короче, и
его высота становится сравнима с глубиной океана вблизи берега.
В заключение этой темы отметим, что в настоящее время обнаружены
солитоны для волн различной природы. Так, например, существуют солитоны
при распространении акустических волн в кристаллах, световых импульсов в
волоконных световодах, ионно-звуковых волн в плазме и др. Во всех случаях
существование солитонов обусловлено взаимной компенсацией нелинейных и
дисперсионных эффектов. Естественно, что энергия, переносимая уединенной
волной любой природы, будет диссипировать в тепло, поэтому по мере
распространения амплитуда солитона будет стремиться уменьшиться, что,
естественно, рано или поздно приведет к его исчезновению.
Современное развитие теории солитонов началось с 1955, когда была
опубликована работа ученых из Лос Аламоса (США) – Энрико Ферми, Джона
Пасты и Стена Улама, посвященная исследованию нелинейных дискретно
нагруженных
струн
(такая
модель
использовалась
для
изучения
теплопроводности твердых тел). Длинные волны, бегущие по таким струнам,
оказались солитонами. Интересно, что методом исследования в этой работе
стал численный эксперимент (расчеты на одной из первых созданных к этому
времени ЭВМ).
Открытые теоретически первоначально для уравнений Буссинеска и
КдВ, описывающих волны на мелкой воде, солитоны к настоящему времени
71
найдены также как решения ряда уравнений в других областях механики и
физики. Наиболее часто встречающимися являются (ниже во всех уравнениях u
– искомые функции, коэффициенты при u – некоторые константы)
нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)
iu = −u − u u.
2
t
xx
Уравнение было получено при изучении оптической самофокусировки и
расщепления оптических пучков. Это же уравнение применялось при
исследовании волн на глубокой воде. Появилось обобщение НУШ для
волновых процессов в плазме. Интересно применение НУШ в теории
элементарных частиц.
Уравнение sin-Гордона (СГ)
u − u + sin u = 0,
tt
описывающее,
например,
xx
распространение
резонансных
ультракоротких
оптических импульсов, дислокации в кристаллах, процессы в жидком гелии,
волны зарядовой плотности в проводниках.
Начиная с 1960, на развитие теории солитонов повлиял ряд физических
задач.
Была
предложена
теория
самоиндуцированной
прозрачности
и
приведены экспериментальные результаты, ее подтверждающие.
Приложения солитонной теории в настоящее время находят применение
при исследованиях линий передачи сигналов с нелинейными элементами
(диоды, катушки сопротивления), пограничного слоя, атмосфер планет
(Большое красное пятно Юпитера), волн цунами, волновых процессов в плазме,
в теории поля, физике твердого тела, теплофизике экстремальных состояний
веществ, при изучении новых материалов (например, джозефсоновских
контактов,
состоящих
из
разделенных
диэлектриком
двух
слоев
сверхпроводящего металла), при создании моделей решеток кристаллов, в
72
оптике, биологии и многих других. Высказано мнение, что бегущие по нервам
импульсы – солитоны.
В настоящее время описаны разновидности солитонов и некоторые
комбинаций из них, например:
антисолитон – солитон отрицательной амплитуды;
бризер (дублет) – пара солитон – антисолитон (рис. 2.11);
Рис. 2.11
мультисолитон – несколько солитонов, движущихся как единое целое;
флюксон – квант магнитного потока, аналог солитона в распределенных
джозефсоновских контактах;
кинк (монополь), от английского kink – перегиб.
Формально кинк можно ввести как решение уравнений КдВ, НУШ, СГ,
описываемое гиперболическим тангенсом (рис. 2.12). Изменение знака решения
типа «кинк» на противоположный дает «антикинк».
Рис.2.12
73
Кинки были обнаружены в 1962 англичанами Перрингом и Скирмом при
численном (на ЭВМ) решении уравнения СГ. Таким образом, кинки были
обнаружены раньше, чем появилось название солитон. Оказалось, что
столкновение кинков не привело ни к их взаимному уничтожению, ни к
последующему возникновению других волн: кинки, таким образом, проявили
свойства солитонов, однако название кинк закрепилось за волнами такого рода.
Солитоны могут быть также двумерными и трехмерными. Изучение
неодномерных
солитонов
осложнялось
трудностями
доказательства
их
устойчивости, однако в последнее время получены экспериментальные
наблюдения неодномерных солитонов (например, подковообразные солитоны
на пленке стекающей вязкой жидкости, изучавшиеся В.И.Петвиашвили и
О.Ю.Цвелодубом).
Кадомцева
–
Двумерные
Петвиашвили,
солитонные
решения
используемое,
имеет
например,
для
уравнение
описания
акустических (звуковых) волн:
(u + 6uu + u ) = u .
t
x
xxx
x
yy
Среди известных решений этого уравнения – нерасплывающиеся вихри
или солитоны-вихри (вихревым является течение среды, при котором ее
частицы имеют угловую скорость вращения относительно некоторой оси).
Солитоны такого рода, найденные теоретически и смоделированные в
лаборатории, могут самопроизвольно возникать в атмосферах планет. По своим
свойствам и условиям существования солитон-вихрь подобен замечательной
особенности атмосферы Юпитера – Большому Красному Пятну.
Солитоны являются существенно нелинейными образованиями и столь
же фундаментальны, как линейные (слабые) волны (например, звук). С
помощью солитонов удается выяснить новые принципиальные вопросы при
рассмотрении современных научных проблем.
74
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ
ГИДРОДИНАМИКЕ
В данной главе будут рассмотрены особенности нелинейных эффектов
при движении сплошной среды в электрическом и магнитном полях. Но
сначала рассмотрим равновесие жидкости в электрическом и магнитном полях.
3.1.
Равновесие и устойчивость электрически заряженной капли
Рассмотрим
каплю,
которая
в
условиях
невесомости
обладает
электрическим зарядом q. Потенциальная энергия капли будет складываться из
поверхностной и электростатической. Электростатическая энергия капли
радиуса R может быть записана в виде:
kq 2
Wq =
.
2R
Тогда полная потенциальная энергия будет иметь вид:
kq 2
W = 4πR α +
2R .
2
Силы поверхностного натяжения стремятся сохранить сферическое
равновесие с минимальным R, электрические силы стремятся разорвать каплю.
С увеличением радиуса вклад электростатического отталкивания становится
значительным. При этом капля может потерять устойчивость и разорвется на
две капли (рис.3.1).
75
Рис. 3.1
После разрыва капли на две меньшие их потенциальная энергия может
быть записана в виде:

kq32 
2
 + W22 .
W3 = 2 4πr α +
2
r


Слагаемые в скобках представляют собой собственную энергию
отдельной капли, в то время как W22 - есть энергия взаимодействия капель. В
первом приближении будем считать, что энергия взаимодействия капель
определяется как для точечных электрических зарядов
q32
W22 = k
2r .
На сомом деле при взаимодействии шаров будет происходить
перераспределение зарядов на них из-за взаимного отталкивания. Точный
расчет показывает, что потенциальная энергия в этом случае на 12% меньше,
чем в случае точечных зарядов.
Для того, чтобы равновесие заряженной капли было неустойчиво,
необходимо:
W > W3 .
76
Назовем
критическим
зарядом
такой
заряд
q*,
при
котором
потенциальные энергии начального и конечного состояний равны. Имея в виду,
что q3=q/2, можно записать:

kq *2
kq *2
2
= 2 4πк α +
4πR α +
2R
8r

2
 kq *2
 +
8r .

Из-за несжимаемости капли ее объем сохраняется:
4 3
4
πR = 2 πr 3 ,
3
3
откуда r =
R
.
21 / 3
После преобразований получим:
kq *2
21 / 3 − 1
Boq =
=
≈ 4.72 .
3
5/3
8παR
1− 3/ 2
Таким образом, если безразмерная величина Boq>4.72, то капле будет
выгодно разделиться на две. Это число называют еще электрическим числом
Бонда. Например, для воды капле радиусом 2мм будет соответствовать
критический заряд 2.7 нКл и потенциал примерно 12 кВ. Однако для этого
возмущение поверхности капли должно представлять собой первую гармонику.
При возбуждении второй гармоники капля может разделиться и на три.
Аналогичный расчет показывает, что для этого случая Boqc=11.5.
Теперь можно сделать следующий важный вывод. Если каплю заряжать,
постепенно увеличивая заряд, то наступит момент, когда она созреет для
деления пополам, тогда как для деления на три заряда капли будет
недостаточно.
Так было бы в случае симметричных возмущений. Более точно задачу о
равновесии заряженной капли впервые решил Рэлей. Он показал, что при Boq>2
равновесия сферической заряженной капли неустойчиво по отношению к сколь
угодно малым возмущениям – она самопроизвольно деформируется в
эллипсоид и это состояние является устойчивым. С увеличением заряда капли
77
эллипсоид будет все более вытянутым. Такой сценарий деформации капли
нарушает и дальнейшую ее эволюцию: с острых концов эллипсоида начинают
выбрасываться мелкие капли.
Впоследствии теория электрической неустойчивости капли была
применена для электрической неустойчивости атомных ядер, в которой
использовалась капельная модель ядра.
Понятие число Бонда возникло по аналогии с задачей об устойчивости
капли в поле силы тяжести. Число Бонда характеризует отношение силы
тяжести, действующей на каплю, к силе поверхностного натяжения. Для силы
поверхностного натяжения можно записать:
Fα =
∂Wα
= 8πRα .
∂R
В случае если сила поверхностного натяжения много больше силы
тяжести капля, лежащая на поверхности будет почти сферической:
4
8πRα >> mg = πρR 3 g .
3
Это условие можно переписать так:
ρgR 2
Bo =
<< 3 .
2α
Число Bo называется числом Бонда. При больших числах Бонда капля
неустойчива и имеет тенденцию к распаду на более мелкие капли.
3.2.
Гидродинамика проводящей жидкости
Примером
модели
сплошной
среды,
в
которой
учитываются
электромагнитные эффекты, может служить модель проводящей жидкости или
газа, в которых отсутствуют поляризация и намагниченность, но может течь
электрический ток, т.е. M = P = 0, j*≠0. Полагая dq**= 0, будем считать, что в
рассматриваемых моделях индивидуальная частица сплошной среды может
78
обмениваться с соседними частицами и другими внешними объектами только
механической и тепловой энергией.
Для простоты дальше рассмотрим модель идеальной среды: pif=-pgif . В
более общем случае свойства вязкости среды можно учесть.
Исследуемая ниже система уравнений представляет собой приближенную
в рамках ньютоновской механики систему, которая состоит из следующих
уравнений:
скалярного уравнения неразрывности:
∂ρ
+ div ( ρυ ) = 0 ;
∂t
векторного уравнения импульсов
1
 ∂υ

+ (υ∇)υ  = − gradp + ρ e E + ( j × H ) + ρFдоб
c
 ∂t

ρ
где через Fдоб обозначена плотность обычных массовых сил, не связанных
с взаимодействием жидкости с электромагнитным полем, например силы
тяжести;
скалярного уравнения притока тепла
dU + pd
1
=
ρ
1
ρ
(e)
( J * E )dt + dqдоб
,
(e )
где через dq доб обозначен приток тепла к единице массы жидкости извне
за счет теплопроводности или излучения и т.п.;
скалярного соотношения, выражающего второй закон термодинамики
Tds =
1
ρ
(e)
( J * E )dt + dqдоб
;
в этом уравнении принято, что dq’=0.
Если определить среду заданием внутренней энергии U как функции ρ и
s, то из соотношения
dU = Tds − pd
79
1
ρ
получаются еще два скалярных уравнения состояния:




∂
U
∂U

T =(
)ρ , − p = 
 1 .
∂s
∂ρ


s
К динамическим и термодинамическим уравнениям нужно еще добавить
электродинамические уравнения, а именно уравнения Максвелла
rotE = −
rotH =
1 ∂H
c ∂t , div H=0,
4π
1 ∂E
j+
, div E = 4πρe
c
c ∂t
и закон Ома, который в обычном варианте магнитной гидродинамики имеет
1
c
вид j = σ ( E + υ × H ) + ρ eυ .
(e )
Система уравнений получается замкнутой, если заданы dqдоб и Fдоб.
Упрощением этой системы для случаев большой и малой проводимости
среды (точнее для больших и малых значений параметра
σL
c
, где L –
характерный линейный размер явления) являются уравнения магнитной
гидродинамики (МГД) и электрогидродинамики (ЭГД). Для получения
уравнений МГД и ЭГД нужно провести оценки порядка величины членов в
уравнениях Максвелла, а также в выражениях для силы Лоренца и джоулева
тепла, и отбросить члены, имеющие меньший порядок малости по сравнению с
остальными.
Обозначим характерные значения напряженностей электрического и
магнитного полей, скорости, линейных и временных масштабов соответственно
через E, H, υ, L, T. Получим уравнения МГД и ЭГД в нерелятивистском
приближении, когда
80
2
v
 L 
  << 1 ,   << 1.
c
 cT 
2
Если характерное время T имеет порядок
L
υ
, то второе из условий есть
просто следствие первого. Это обычно выполняется в задачах механики,
причем υ представляет собой либо характерную скорость среды, либо
характерную скорость распространения волн.
Рассмотрим уравнение
rotH =
4π
1 ∂E
j+
.
c
c ∂t
Подставим в это уравнение выражение для j по закону Ома и оценим
порядок величин членов получившегося уравнения. При этом используем еще
оценку ρ e ~
F
, которая следует из уравнения div E=4πρe. Имеем (под членами
L
уравнения выписан максимальный порядок их величины)
rotH =
H
L
vE
cL
4π
4πσ
4πσ
1 ∂E
ρ eυ +
E+ 2 υ×H +
.
c
c
c ∂t
c
σL E
v σL H
c c L
c L
(3.1.)
L E
.
cT L
Исходя из этих оценок, можно показать, что в общем случае при
 σL 
  >> 1
 c 
2
(3.2.)
получается, что H2>>E2, соответствующие уравнения называются уравнениями
магнитной гидродинамики, а при
 σL 
  << 1
 c 
2
возможны
решения
с
E2>>H2.
Такие
электрогидродинамике.
81
решения
рассматриваются
в
3.3.
Уравнения магнитной гидродинамики
Условие
σL
c
>> 1 выполняется для многих движений жидких металлов
(для ртути σ~6*1015 1/сек), сильно ионизованных газов – плазмы (σ~1013-1014),
для большинства явлений, изучаемых в астрофизике (не только из-за больших
σ, но и больших L). Поэтому область применения МГД очень велика (МГДгенераторы электрического тока, плазменные двигатели, устройства для
осуществления термоядерных реакций и т.д.).
4π
ρ e v и 1 ∂E
Из оценок (3.1) следует, что при условии (3.2) членами
c
c ∂t
в уравнении (3.1) можно пренебречь по сравнению с
4πσ
E . Тогда (3.1)
c
принимает вид
rotH =
4πσ
c
v


E + × H 
c


или
E=
c
v
rotH − × H
4πσ
c
Отсюда видно, что при условиях v<<c, (3.2)
E2<<H2.
Далее из оценок (3.1) и условий v<<c, (3.2) следует, что в общем случае в
выражении для тока членом ρeυ можно пренебречь по сравнению с током
проводимости
j=j*=ĵ,
причем
j=
c
rotH .
4π
Кроме того, напряженность магнитного поля можно считать одной и той
же во всех системах координат, движущихся друг относительно друга со
скоростями много меньшими скорости света
82
v
H '= H − × E ≈ H ,
c
так как E2<<H2.
Рассмотрим теперь выражение для силы Лоренца в МГД
Fл = ρ e E +
1
1
j × H =ρ eE +
rotH × H .
c
4π
Так как порядок величины первого слагаемого E2/L, а второго H2/L, а
E2<<H2, то
Fл =
1
rotH × H .
4π
Наконец, выпишем выражение для джоулева тепла
c2
j⋅E = j =
(rotH ) 2 ,
2
σ
16π σ
1
2
так как ĵ=j.
Таким образом, в систему уравнений для среды войдет только
напряженность магнитного поля Н и не войдут величины E, ρe, j.
Из
системы
уравнений
Максвелла
можно
получить
уравнение,
содержащее только H. Рассмотрим уравнение
rotE = −
1 ∂H
.
c ∂t
Тогда имеем

1  c2
E = 
rotH − υ × H .
c  4πσ

Параметр
c2
4πσ
(3.3)
имеет размерность коэффициента кинематической
вязкости и называется коэффициентом магнитной вязкости υm
c2
υm =
4πσ
.
Тогда получим уравнение для H, называемое уравнением индукции:
83
∂H
= rot (v × H ) − rotvm rotH .
∂t
(3.4)
К этому уравнению можно добавить уравнение div H=0.
 vL 
 vm H 
 vH 
 
<<
,




т.е. если  v  << 1, то первым членом в
Если
2
 L 
 L 
 m
2
2
правой части уравнения индукции можно пренебречь по сравнению со вторым.
В этом случае уравнения для H не зависят от движения среды (если к тому же σ
не зависит от температуры, определяемой движением среды). Но движение
vL
среды, конечно, зависит от H. Безразмерный параметр
v m называется
магнитным числом Рейнольдса, Re m =
vL
. Если же, наоборот, Rem>>1, то в
vm
уравнении индукции (3.4) можно пренебречь вторым справа членом, тогда
магнитное поле подчиняется уравнениям
∂H
= rot (υ × H ) , div H =0
∂t
и оказывается вмороженным в среду (см. следующий параграф).
Итак, система уравнений магнитной гидродинамики в простейшем
варианте (без учета свойств вязкости и теплопроводности среды) имеет вид
dρ
+ ρdivυ = 0,
dt
dv
1
= ρF − gradp +
rotH × H ,
ρ
dt
4π
ds
c2
ρT
=
(rotH ) 2 ,
2
dt 16π σ
U = U ( ρ , s),
p = ρ2
84
∂U
∂U
, T =
,
∂ρ
∂s
∂H
= rot (υ × H ) − rotυ m rotH ,
∂t
div H=0.
Величины E, ρe, j не входят в эту систему. Если нужно, их можно
вычислить после нахождения решения по формулам
j=
E=
c
rotH ,
4π
1
(υ m rotH − υ × H ),
c
ρe =
3.4.
1
divE.
4π
Уравнения электрогидродинамики
σL
Рассмотрим теперь явления, в которых
c
<< 1 , например, потоки
малопроводящей среды с некоторым (небольшим) количеством заряженных
частиц. Заряженные частицы часто появляются в потоках в результате
взаимодействия с обтекаемыми телами или их можно добавлять искусственно с
тем,
чтобы
получить
возможность
управлять
потоком
с
помощью
электромагнитного поля.
Рассмотрим здесь самый простой случай, когда в среде имеются только
заряженные частицы одного сорта с зарядом e (их число в единице объема n1) и
нейтральные молекулы (их число в единице объема n). Если обозначить через
υотн среднюю скорость заряженных частиц относительно среды
v отн =
∑v
i отн
n1
,
то ток проводимости (ток в системе координат, относительно которой скорость
среды равна нулю) будет, очевидно, выражаться так:
j’=ρeυотн,
85
а для тока в неподвижной системе координат будем иметь
j = ρ e v + ρ e vотн .
Обычно вводят коэффициент подвижности b заряженных частиц по формуле
vотн = bE ,
тогда
j = ρ e bE .
Таким образом, в рассматриваемом случае можно ввести обозначение
σ = ρ eb .
Коэффициент подвижности b пропорционален числу заряженных частиц и
обратно пропорционален плотности среды.
Обращаясь
к
уравнению
(3.1)
видим,
что
если
σL
c
<< 1 ,
L
v2
<< 1, то это уравнение допускает класс решений, для которых
<<
1
,
cT
c2
H2<<E2. Этот случай и рассматривается в ЭГД. Система уравнений Максвелла
для E может быть при этом упрощена, а именно в уравнении
rotE +
1 ∂H
=0
c ∂t
второй член будет малой величиной высшего порядка по сравнению с первым
L H
E
 <<
.
cT L 
L
Поэтому это уравнение может быть заменено уравнением rot E=0.
Таким образом, электрическое поле E в ЭГД подчиняется уравнениям
электростатистики
rot E = 0,
div E = 4πρe .
Заметим, что E может зависеть от времени.
86
Кроме того, в ЭГД напряженность электрического поля можно считать
одинаковой во всех инерциальных системах, движущихся друг относительно
друга с нерелятивистскими скоростями:
1
E' = E + v × H ≈ E ,
c
в связи с тем, что H2<<E2. Поэтому закон Ома можно писать в виде
j = ρ e v + σE
или в рассматриваемом простом случае в виде
j = ρ e v + ρ e bE.
Рассмотрим выражение для силы Лоренца:
Fл = ρ e E +
1
1
σ
j × H = ρe E + ρev × H + E × H.
c
c
c
Так как порядок первого члена есть
E2
,
L
второго
−
vE
H,
cL
третьего
σL
v2
<< 1 , то вторым и третьим
−
H , причем H2<<E2, 2 << 1 ,
c L
c
c
σL E
членами можно пренебречь по сравнению с первым, т.е.
Fл = ρ e E.
Выпишем еще выражение для джоулева тепла:
j '⋅E ' = σE ⋅ E = σE 2 ,
так как E’=E в ЭГД. Для среды, содержащей заряженные частицы только
одного сорта,
j '⋅E ' = ρ e bE 2 .
Теперь выпишем полную систему уравнений ЭГД в простейшем
варианте, без учета вязкости и теплопроводности среды:
87
dρ
+ ρdivυ = 0,
dt
dv
= ρF − gradp + ρ e E ,
ρ
dt
ds
ρT
= σE 2 = ρ e bE 2
dt
T=
∂U
∂s
,
p = ρ2
∂U
∂ρ
,
U = U ( ρ , s) ,
rot E=0,
div E=4πρe,
∂ρ e
+ divj = 0,
∂t
j = ρ e bE + ρ e v.
Уравнение
∂ρ e
+ divj = 0 ,
∂t
есть точное следствие уравнений Максвелла. В эту систему не входит
напряженность магнитного поля H. При она определяется после решения
задачи из уравнений
4π
1 ∂E
j+
,
c
c ∂t
divH = 0.
rotH =
В ЭГД вводится так называемое электрическое число Рейнольдса
Re эл =
v
; если Reэл→0 (коэффициент подвижности зарядов велик), то
bE
уравнения, определяющие электрическое поле, не зависят от параметров среды
(если к тому же b не зависит от этих параметров). Таким образом, при малых
электрических числах Рейнольдса движение среды не оказывает влияния на
величину электрического поля. Если же Reэл→0, b→0, то заряды движутся
вместе со средой, заряды вморожены в среду.
88
Кроме магнитной гидродинамики и электрогидродинамики развиваются
и другие области науки, в которых предметом изучения также являются
движения сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем.
Например, в практике находят все большее применение так называемые
ферромагнитные жидкости (жидкости в взвешенными в них мелкими
железными
частицами),
в
связи
с
этим
возникла
и
развивается
феррогидродинамика. Существует гидродинамика поляризующихся жидкостей,
магнитоупругость, пъезоупругость и т.д.
3.5.
Законы вмороженности магнитных и вихревых линий
Выясним теперь общие свойства поля вектора A (x, y, z, t);
удовлетворяющего соотношениям вида
∂a
= rot (v × A), div A=0.
∂t
(3.5.)
Выше было показано, что этим условиям удовлетворяет поле магнитной
напряженности H в случае Rem>>1, в частности, если проводимость бесконечна.
1
Этим же условиям удовлетворяет поле вектора вихря скорости
ω = rotv в
2
случае баротропных движений идеальной жидкости в поле потенциальных
массовых сил. В самом деле, рассмотрим уравнение импульсов идеальной
непроводящей жидкости в форме Громека-Лемба
∂v
v
1
+ grad + 2ω × v = − gradp + F .
∂t
2
ρ
2
Предположим, что F=gradU и p=f(ρ). В этом случае можно ввести
функцию давления
p
Ρ=
dp
∫ ρ ( p) ,
p0
для которой, как легко проверить, верно равенство
89
gradΡ =
1
ρ
gradp.
Уравнение импульсов в этих предположениях представится в виде
∂v
v2
+ grad
+ 2ω × v = − gradP + gradU .
∂t
2
Взяв теперь от обеих частей этого уравнения операцию ротора, получим
∂ω
= rot (υ × ω ),
∂t
(3.6.)
причем
div ω=0.
Эти уравнения совпадают с уравнениями (3.5). Заметим, что в уравнение (3.6)
входят только кинематические величины, но оно получилось как следствие из
динамического уравнения импульсов.
Таким образом, установив общие свойства вектора A, удовлетворяющего
условиям (3.5), мы установим, в частности, весьма важные свойства поля
магнитной напряженности H в случае среды с бесконечной проводимостью и
поле вектора вихря ω при баротропных движениях идеальной жидкости в поле
потенциальных массовых сил.
3.6.
Течение Гартмана
Уравнения магнитной гидродинамики имеют решение, описывающее
течение вязкой электропроводной несжимаемой жидкости в канале при
наличии поперечного магнитного поля. Такое течение является обобщением
течения Пуазейля в обычной гидроаэромеханике и называется течением
Гартмана.
Пусть есть течение в плоском канале прямоугольного сечения, в
котором расстояние между стенками, параллельными плоскости Oxz (рис. 5),
много меньше расстояния между стенками, параллельными плоскости Oyz.
90
Канал предполагается бесконечным вдоль оси Oz, скорость имеет только одну
компоненту w, направленную вдоль этой оси, а наложенное на течение
постоянное магнитное поле направлено вдоль оси Oy. Жидкость движется в
канале под действием постоянного перепада давления P = –∂p/∂z.
При такой постановке задачи фактически рассматривается течение, при
котором в стационарном случае скорость жидкости, в силу эффектов вязкости,
зависит только от координаты y. Если боковые стенки канала – электроды, то,
как
видно
из
рассмотрения
принципиальной
схемы
магнитогидродинамического генератора, вдоль оси Ox, перпендикулярной
плоскости течения, потечет электрический ток. При этом появляется
индуцированное магнитное поле с компонентой Bz, зависящей также только от
координаты y, в отличие от постоянного приложенного магнитного поля,
направленного вдоль оси Oy. Уравнение движения в этом случае имеет вид
d 2 w By 0 dBz
µ 2 +
= − P.
dz
4π dy
а уравнение индукции магнитного поля –
c 2 d 2 Bz
dw
+
B
= 0.
y
0
4πσ dy 2
dy
В качестве граничных условий используются условия прилипания жидкости на
стенках канала и равенство них нулю индуцированной компоненты магнитного
поля, т.е.
w = 0, Bz = 0 при y = ± a.
При этих граничных условиях можно получить точное решение
w = w0
4π w0 σµ y / ash(a / δ ) − sh( y / δ )
ch(a / δ ) − ch( y / δ )
; Bz = −
,
ch(a / δ ) − 1
c
ch(a / δ ) − 1
91
где w0 – максимальная скорость потока в центре канала (при y = 0), которая,
конечно, зависит от перепада давления Р, а величина δ определяется формулой
δ=
c
By 0
µ
σ
и определяет так называемое число Гартмана Ha =
a
δ
.
Физически квадрат числа Гартмана по порядку величины определяет
отношение электромагнитной силы 1/c j×B = 1/c2 σ V×Bк силам вязкости
µ∆V . Чем меньше число Гартмана, т.е. чем меньше электромагнитная сила,
тем больше приведенный выше профиль скорости должен приближаться к
параболическому профилю течения Пуазейля. Действительно, легко показать,
что предел для полученной скорости течения w при наличии поперечного
магнитного поля при На → 0 равен
w = w0 (1 – y2/a2),
т.е. в предельном случае получается профиль Пуазейля для плоского
канала. Очевидно, что из-за тормозящей силы, связанной с магнитным полем,
расход жидкости через канал в единицу времени при одинаковом перепаде
давления Р будет меньше, чем при течении Пуазейля. Кроме того, в магнитном
поле профиль скорости становится более плоским: у стенок градиент скорости
возрастает, а вблизи центра канала уменьшается. Первое обстоятельство
приводит к увеличению сопротивления канала течению жидкости из-за вязкого
трения.
Области
применения
сравнительно
молодой
науки
магнитной
гидродинамики обширны. Особую роль магнитная гидродинамика играет в
астрофизике, поскольку Вселенная на 90% состоит из ионизованного газа,
находящегося в электромагнитном поле. Примеры магнитогидродинамических
генераторов энергии, плазменных ускорителей, насосов для перекачки жидких
металлов, проблем, связанных с управляемыми термоядерными реакциями, и
т.п. указывают на то, что основы МГД важны и в земных условиях.
92
Тем не менее, эта наука непрерывно развивается, поскольку в своей
классической форме она имеет много ограничений, которые приводят к
невозможности ее использования во многих задачах, связанных с движением
электропроводных сред. Интересно, что создатель магнитной гидродинамики
Х. Альфвен, получивший за это Нобелевскую премию, резко раскритиковал
свое детище в торжественной Нобелевской речи. Он отметил, что в природе
часто случаются ситуации, в которых электрическое поле имеет компоненту
вдоль магнитного поля, что противоречит разобранному выше условию
«вмороженности» магнитного поля в жидкость. Кроме того, в условиях космоса
часто бывает неизвестным выбор характерного размера задачи, который входит
в определение важного в теории магнитного числа Рейнольдса.
Классическая магнитная гидродинамика не учитывает важные эффекты
вращения заряженных частиц в магнитном поле. Такое вращение приводит к
образованию токов Холла, не учитываемых в приведенной форме обобщенного
закона Ома, к анизотропии вязкости и теплопроводности (коэффициенты µ и λ
различны вдоль магнитного поля и в поперечном к нему направлении) и к
другим эффектам. Эти эффекты не являются обычно существенными в плотных
газах, характерных для земных условий, но очень важны в разреженных средах,
наиболее часто встречающихся в астрофизических приложениях.
3.7.
Магниторотационная неустойчивость (МРН)
МРН— это неустойчивость проводящей жидкости, вращающейся в
магнитном поле. Устойчивость вращающейся жидкости без магнитного поля
изучалась Куэттом, Маллоком, Рэлеем, Тейлором. Локальное условие
устойчивости вращающейся жидкости можно получить из следующих
соображений. Выберем произвольный элемент жидкости (элемент объёма) в
слое, расположенном на некотором расстоянии от оси вращения, и сместим по
радиусу этот элемент. В новом положении при малой вязкости (то есть при
большом числе Рейнольдса) элемент сохранит момент количества движения,
пропорциональный
его
азимутальной
93
скорости.
Дальнейшее
движение
элемента по радиусу будет зависеть от соотношения между центробежной
силой, действующей на него, и градиентом давления в этом слое. В равновесии
градиент давления уравновешивает центробежную силу, действующую на
окружающую жидкость. Если окружающая жидкость имеет меньший момент
количества
движения,
то
равновесный
градиент
давления
окажется
недостаточным для удержания в этом слое смещённого элемента и разовьётся
неустойчивость. Таким образом, течение оказывается неустойчивым, если
момент количества движения (на единицу массы)
r 2Ω падает с радиусом
∂ ( r 2 Ω)
< 0.
(критерий Релея)
∂r
Иное дело, если жидкость оказывается проводящей и помещена в
магнитное поле. Для конкретности рассмотрим вращение хорошо проводящей
жидкости (большое магнитное число Рейнольдса) вокруг оси, параллельной
магнитному полю. При смещении элемента объёма магнитная силовая линия
оказывается вмороженной в исходный слой и сохраняется угловая скорость
элемента. Для устойчивости течения необходимо, чтобы угловая скорость Ω не
падала с радиусом (Велихов, 1959), т.е.
∂Ω
≥ 0.
∂r
Это условие глобально не может быть выполнено, так как скорость гдето превысит скорость света. При этом критерий не зависит от величины
магнитного поля. Магнитное поле дестабилизирует течение вплоть до некого
предельного значения. Сильное магнитное поле за счёт натяжения магнитных
силовых линий стабилизирует поток.
В
природе
магниторотационная
неустойчивость,
по-видимому,
наблюдается в жидком ядре Земли (Велихов, 2005), в звёздах, например в
Солнце (Ruediger, 2004), в аккреционных дисках (Balbus и Hawley, 1991). В
жидком
ядре
дифференциальное
Земли
источником
вращение,
неустойчивости
вызванное
термической
может
и
быть
химической
конвекцией жидкого ядра. Дифференциальное вращение вызывает появление
94
МРН, генерирующей магнитное поле. В свою очередь поле ликвидирует
дифференциальное вращение. В результате взаимодействие двух процессов,
возможно, обьясняет периодические срывы магнитного поля с характерным
временем порядка 10000 лет, разделённые длительными периодами (сотни
тысяч лет) стабильного существования поля. В Солнце МРН приводит к тому,
что 70 процентов Солнца вращается как твёрдое тело.
Проблема объяснения механизма падения вещества на притягивающий
центр заключается в том, что при сохранении момента количества движения
центробежная сила в аккреционном диске не позволит веществу упасть в центр.
В 1973 году Н.И. Шакура и Р.А. Сюняев предложили модель сильно
турбулентного аккреционного диска, вязкость в котором пропорциональна
скорости звука и толщине диска. В 1991 году Бальбус (Balbus) и Хейли
(Hawley) предположили, что магниторотационная неустойчивость вызывает эту
турбулентность. МРН должна наблюдаться во вращающихся галактиках и
других вращающихся обьектах Вселенной. Если существует глобальное
вращение Вселенной в целом, то оно должно приводить к появлению
глобального магнитного поля.
Экспериментально
магниторотационная
неустойчивость
изучается
сейчас в ряде лабораторий: Университет Мэриленда, ГНЦ РФ Физикоэнергетический институт имени А.И. Лейпунского (ФЭИ) (Обнинск, Россия),
Принстонский университет. Для наблюдения МРН необходимо достигнуть
достаточно больших (существенно превосходящих единицу) магнитных чисел
Рейнольдса, используя в качестве жидкости жидкий натрий. Самая крупная
установка создана в Университете Мериленда — вращающаяся сфера
диаметром в 4 метра. Вторая проблема связана с созданием начального
профиля скорости для изучения неустойчивости. Магнитное поле приводит к
появлению вторичных течений, а высокие числа Рейнольдса приводят к
возбуждению гидродинамической турбулентности. В ГНЦ РФ ФЭИ (Обнинск,
Россия) вращение возбуждается током, протекающим поперёк магнитного
95
поля,
что
может
позволить
исключить
вторичные
течения
и
гидродинамическую турбулентность. Можно надеяться на то, что в ближайшее
время удастся экспериментально исследовать возникновение и развитие
магнитогидродинамической турбулентности.
96
4. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ
ВЕЩЕСТВА
4.1.
Ударные волны в сплошной среде
Ударная волна – это распространяющийся по среде фронт резкого,
почти мгновенного, изменения параметров среды: плотности, давления,
температуры, скорости. Ударные волны называют также сильными разрывами
или скачками. Причины возникновения ударных волн в газах – полеты со
сверхзвуковыми
скоростями
(звуковой
удар),
истечения
с
большими
скоростями через сопла, мощные взрывы, электрические разряды, интенсивное
горение.
Рис. 4.1
Ударные волны в воде носят название гидравлического удара. С этим
явлением пришлось столкнуться при устройстве первых водопроводов:
первоначально водопроводные задвижки перекрывали воду слишком быстро.
Резкое прекращение тока воды вызывало ударную волну (гидравлический
удар), распространявшуюся в трубе водопровода и часто вызывавшую разрыв
такой трубы. Для решения этой проблемы в России был привлечен Жуковский,
и она была успешно решена (1899). Ударные волны существуют и на
поверхности воды: при открывании ворот шлюзов, при «запирании» течения
реки (бора).
97
Рис. 4.2
Ударные волны могут возникать и из первоначально непрерывных
течений. Любая достаточно интенсивная волна сжатия порождает ударную
волну из-за того, что в этих волнах задние частицы движутся быстрее впереди
бегущих (нелинейное укручение фронта волны).
Ударные
волны
являются
частью
детонационных
волн,
волн
конденсации (хорошо известным примером этого явления служат шлейфы
тумана, остающиеся за самолетом при пролете через участки атмосферы с
повышенной влажностью), могут возникать при взаимодействии лазерного
излучения с веществом (светодетонационные волны). Сход снежной лавины
также может рассматриваться как ударная волна.
В твердых телах ударные волны возникают при высокоскоростном
соударении тел, в астрофизических условиях – при взрывах звезд.
Одним из примеров ударной волны является катастрофическое
нарастание давки в охваченной паникой толпе, протискивающейся через узкий
проход. Родственным явлением приходится затор в потоке транспорта.
Ударные волны в газах были обнаружены в середине 19 в. в связи с развитием
артиллерии, когда возросшая мощь артиллерийских орудий позволила метать
снаряды со сверхзвуковой скоростью. Введение понятия ударной волны
приписывают немецкому ученому Бернхарду Риману (1876).
Условия на фронте ударной волны. При переходе через ударную
волну должны выполняться общих законов сохранения массы, импульса и
98
энергии. Соответствующие условия на поверхности волны – непрерывность
потока вещества, потока импульса и потока энергии:
2
2
0
1
u
u
ρ u =ρu , p + p u = p + pu , h + =h +
2
2
2
0
0
1
1
0
0
2
0
1
1
1
0
1
(r – плотность, u – скорость, p – давление, h – энтальпия, теплосодержание)
газа. Индексом «0» отмечены параметры газа перед ударной волной, индексом
«1» – за ней. Эти условия носят название условий Ренкина – Гюгонио,
поскольку первыми из опубликованных работ, где были сформулированы эти
условия, считаются работы британского инженера Вильяма Ренкина (1870) и
французского баллистика Пьера Анри Гюгонио (1889).
Условия Ренкина – Гюгонио позволяют получить давление и плотность
за
фронтом
ударной
волны
в
зависимости
от
начальных
данных
(интенсивности ударной волны и давления и плотности перед ней):
1 1
1
h − h +  + ( p − p ) = 0,
2 p
p 
0
1
1
0
0
1
h – энтальпия газа (функция r и p). Эта зависимость носит название адиабаты
Гюгонио, или ударной адиабаты (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Фиксируя на адиабате точку, соответствующую начальному состоянию
перед ударной волной, получаем все возможные состояния за волной
99
заданной интенсивности. Состояниям за скачками сжатия отвечают точки
адиабаты, расположенные левее выбранной начальной точки, за скачками
разрежения – правее.
Анализ адиабаты Гюгонио показывает, что давление, температура и
скорость газа после прохождения скачка сжатия неограниченно возрастают
при увеличении интенсивности скачка. В это же время плотность возрастает
лишь в конечное число раз, сколь бы ни была велика интенсивность скачка.
Количественно увеличение плотности зависит от молекулярных свойств
среды, для воздуха максимальный рост 6 раз. При уменьшении амплитуды УВ
она вырождается в слабый (звуковой) сигнал.
Из условий Ренкина – Гюгонио также можно получить уравнение
прямой в плоскости
1
,p
p
 1
1
 − ( p − p ) = const = p u ,
p 
p
1
0
0
0
0
1
называемой прямой Рэлея – Михельсона. Угол наклона прямой определяется
значением скорости газа перед ударной волной u0, сечение адиабаты Гюгонио
этой прямой дает параметры газа за фронтом ударной волны. Михельсон (в
России) ввел это уравнение при исследовании воспламенения гремучих
газовых смесей в 1890, работы британца лорда Рэлея по теории ударных волн
относятся к 1910.
Скачки
разрежения.
В
воздухе
наблюдаются
только
скачки
уплотнения. В этом случае по отношению к среде перед ее фронтом ударной
волны движется со скоростью, превышающей скорость звука в этой среде, по
среде за ее фронтом волна движется с дозвуковой скоростью. Звуковые волны
могут нагнать ударную волну сзади, сама же волна надвигается бесшумно.
Привлечение законов термодинамики позволило теоретически обосновать это
свойство ударных волн для сред с обычными термодинамическими
100
свойствами (теорема Цемплена). Однако, в средах со специальными
термодинамическими свойствами скачки разрежения возможны: известны
скачки такого рода в средах с фазовыми переходами, например, пар –
жидкость.
Структура ударной волны. Типичная ширина ударной волны в
воздухе – 10–4 мм (порядка нескольких длин свободного пробега молекул).
Малая толщина такой волны дает возможность во многих задачах считать ее
поверхностью разрыва. Но в некоторых случаях имеет значение структура
ударной волны. Такая задача представляет и теоретический интерес. Для
слабых ударных волн хорошее согласие эксперимента и теории дает модель,
учитывающая вязкость и теплопроводность среды. Для ударных волн
достаточно
большой
интенсивности
структура
должна
учитывать
(последовательно) стадии установления термодинамического равновесия
поступательных,
вращательных,
для
молекулярных
газов
еще
и
колебательных степеней свободы, в определенных условиях – диссоциацию и
рекомбинацию
молекул,
химические
реакции,
процессы
с
участием
электронов (ионизацию, электронное возбуждение).
Контактные
разрывы.
Ударные
волны
следует
отличать
от
контактных разрывов, также являющихся поверхностями раздела сред с
различными плотностями, температурами и, может быть, скоростями. Но, в
отличие от ударных волн, через контактный разрыв нет протекания вещества
и давление с обеих его сторон одинаково. Контактные разрывы называют
также тангенциальными.
Распад произвольного разрыва. Поверхность произвольного разрыва,
разделяющая две области среды с заданными давлением, плотностью,
скоростью, в последующие моменты времени в общем случае перестает
существовать (распадается). В результате такого распада может возникнуть две,
одна или ни одной ударной волны, а также волны разрежения (являющиеся
непрерывными) и контактный разрыв, что может быть рассчитано по
101
начальным
данным.
Н.Е.Кочиным
Решение
(доклад
1924 на
этой
задачи
первом
впервые
было
сообщено
международном конгрессе по
прикладной механике в г. Дельфте (Нидерланды), опубликовано в 1926).
Легко представить практические случаи, которые приводят к задачам
такого рода, например, разрыв диафрагмы, разделяющей газы различного
давления и т.д. Решение такой задачи актуально для расчета работы ударной
трубы.
Ударная труба. Простейшая ударная труба состоит из камер высокого и
низкого давления, разделенных диафрагмой (рис. 4.4).
Рис. 4.4
После разрыва диафрагмы в камеру низкого давления устремляется
толкающий газ из камеры высокого давления, формируя волну сжатия, которая,
быстро увеличивая свою крутизну, образует ударную волну. За ударной волной
в камеру низкого давления движется контактный разрыв. Одновременно в
камеру высокого давления распространяется волна разрежения.
Первые ударные трубы появились в конце 19 в., с тех пор развитие
техники
ударных
труб
позволило
превратить
ударные
волны
в
самостоятельный инструмент для исследований. В ударной трубе можно
получить газ, однородно нагретый до 10 000° К и выше. Такие возможности
широко используются при изучении многих химических реакций, различных
физических процессов. В астрофизических исследованиях основными данными
102
являются спектры звезд. Точность интерпретации этих спектров определяется
результатами сравнения со спектрами, полученными на ударных трубах.
С конца 1920-х стала развиваться сверхзвуковая аэродинамика. Первая
сверхзвуковая
аэродинамическая
труба
в
США
(в
Национальном
консультативном комитете по аэронавтике, NACA) была создана к 1927, в
СССР – в 1931–1933 (в Центральном аэрогидродинамическом институте), это
открыло новые возможности экспериментального исследования ударных волн.
Сверхзвуковое течение качественно отличается от дозвукового, в первую
очередь, наличием ударных волн. Возникновение ударных волн приводит к
значительному
повышению
сопротивления
движущихся
тел
(столь
значительному, что возник термин – волновой кризис), а также к изменению
действующих на эти тела тепловых нагрузок. Вблизи ударных волн эти
нагрузки очень велики и, если не предприняты соответствующие меры защиты,
может произойти прогорание корпуса летательного аппарата и его разрушение.
Крайне важная проблема в аэродинамике – предотвращение бафтинга
(появления нестационарных ударных волн у поверхности летательного
аппарата). При бафтинге действие динамических и тепловых нагрузок
становится переменным по времени и месту приложения, противостоять таким
нагрузкам намного сложнее.
Косые и прямые ударные волны. В поле течения ударная волна может
быть перпендикулярной невозмущенному течению (прямая ударная волна) или
составлять с невозмущенным течением некоторый угол (косая ударная волна).
Прямые ударные волны обычно создаются в специальных экспериментальных
устройствах – ударных трубах. Косые ударные волны возникают, например,
при сверхзвуковом обтекании тел, при истечении газа из сверхзвуковых сопел и
т.п.
Есть еще одна классификация ударных волн. Примыкающие к твердой
поверхности волны носят название присоединенных, не имеющие точек
соприкосновения – отошедших. Отошедшие ударные волны возникают при
103
сверхзвуковом обтекании затупленных тел (например, сферы), присоединенные
волны имеют место в случае остроконечных тел (клина, конуса); такие волны
не столько тормозят течение, сколько резко разворачивают его, так что и за
ударной волной течение остается сверхзвуковым.
Рис. 4.5
В ряде случаев газодинамическая теория допускает оба случая течения
за фронтом присоединенной волны и сверхзвуковое (в этом случае ударная
волна называется слабой), и дозвуковое течение (сильная ударная волна).
Экспериментально наблюдаются только такие ударные волны.
Задача о сильном взрыве. К 1945 было создано мощное оружие
разрушения – атомная бомба. Оценка последствий ядерного взрыва во многом
связана с расчетом воздействия образовавшейся в результате взрыва ударной
волны. Такая задача, называемая задачей о сильном взрыве, впервые была
решена Л.И.Седовым в СССР (опубликовано в 1946), получившим точное
аналитическое решение поставленной задачи (в виде конечных формул). В 1950
опубликовал
свое
исследование
этой
же
задачи
(с
использованием
приближенных численных методов) Дж. Тейлор (США).
Сходящаяся ударная волна. Впервые задача о фокусировке ударной
волны была сформулирована и решена Г.Гудерлеем в Германии (1942) и
независимо Л.Д.Ландау и К.П.Станюковичем в СССР (опубликовано в 1955).
104
По мере приближения волны к центру фокусировки происходит концентрация
энергии и ударная волна усиливается. В моменты, близкие к фокусировке,
волна выходит на некоторый предельный (называемый автомодельным) режим,
когда предшествующие условия создания и распространения ударной волны не
важны. Сходящиеся ударные волны позволяют получать гигантские давления и
температуры в точке фокусировки, в настоящее время изучение таких волн –
одно из перспективных направлений создания управляемого термоядерного
синтеза.
Устойчивость ударной волны. Если условия течения таковы, что его
малые возмущения имеют тенденцию к росту, то со временем рост этих
возмущений может привести к изменению режима течения или даже к полному
его разрушению. Специальные исследования устойчивости УВ в среде с
общими свойствами впервые проведены в СССР (С.П.Дьяков, 1954, и
В.М.Конторович, 1957 – уточнение результатов Дьякова). Были определены
области устойчивости (затухание возмущений) и неустойчивости (рост
возмущений), нейтральной устойчивости (ударная волна не реагирует на
возмущения), а также обнаружена область спонтанного излучения звука
поверхностью ударной волны. Простые расчеты, основанные на полученных
результатах, показали, что в воздухе ударная волна абсолютно устойчива.
Вместе с тем, неустойчивость проявляется, например, у детонационных волн,
что
приводит
к
особенностям
распространения
волн
такого
рода:
галопирующая и спиновая детонация, ячеистая структура детонационных волн.
Тенденция даже слабых волн сжатия к опрокидыванию приводит к тому, что
звуковые волны переходят в слабые скачки и более уже не распространяются со
звуковой скоростью – скорость слабого скачка равна полусумме скоростей
звука в среде до скачка и после него. В этом сложность экспериментального
определения точной скорости звука. Теория дает следующие результаты – в
воздухе (при нормальных условиях) 332 м/с, в воде (при 15° С) 1490 м/с.
105
Число Маха. Отношение скорости течения к скорости звука – важная
характеристика течения и носит название числа Маха:
u
M= ,
a
u – скорость газа, a – скорость звука. При сверхзвуковом течении число Маха
больше единицы, при дозвуковом – меньше единицы, при течении со звуковой
скоростью – равно единице.
Предложил название «число Маха» швейцарский ученый Якоб Аккерет
в знак признания заслуг Э.Маха в области исследования сверхзвуковых
течений.
Угол
Маха.
Для
источника
слабых
возмущений,
обтекаемого
сверхзвуковым потоком, наблюдается интересное явление: четко выраженные
границы поля возмущений – линии Маха (рис. 4.6). При этом синус
образованного линией Маха и направлением основного течения угла есть
sin α =
a 1
= .
u M
обратное число Маха:
Рис. 4.6
106
Этого и следовало ожидать, так как скорость распространения слабых
возмущений поперек направления набегающего потока есть скорость звука.
Чем больше скорость набегающего потока, тем уже делается угол Маха.
Взаимодействие ударных волн с пограничным слоем. В пограничном
слое, возникающем вблизи ограничивающих поток стенок, происходит
торможение потока до нулевых скоростей на стенке (условие «прилипания»).
Фронт
ударной
волны,
взаимодействующей
с
пограничным
слоем,
претерпевает изменения: образуется, так называемый, l-образный скачок
(лямбда-образный скачок, по сходству конфигурации такого скачка с греческой
буквой лямбда, рис. 4.7).
Рис. 4.7
При течении в канале с развитыми пограничными слоями у стенок
прямой скачок заменяется Х-образным скачком, составленным двумя lобразными скачками (обычным и перевернутым). За фронтом такого скачка
происходит нарастание толщины пограничного слоя, пограничный слой
турбулизуется, могут образовываться другие Х-образные скачки и, в конце
концов, может возникнуть ситуация, когда падение скорости потока от
сверхзвуковой до дозвуковой происходит в сложной системе скачков и
неодномерного течения – псевдоскачке.
107
Ударные волны и теория мелкой воды
Сверхзвуковое течение, как оказалось, аналогично течению воды (или
другой несжимаемой жидкости) в открытом водоеме, глубина которого
достаточно мала («мелкая» вода) и на жидкость действует сила тяжести.
Формально аналогия проявляется в том, что уравнения, описывающие
соответствующие движения и газа, и воды, оказываются одинаковыми.
Используя это свойство можно совершенно ясно наблюдать явления,
происходящие в сверхзвуковом потоке. Например, в обычном быстротекущем
ручейке отчетливо видны аналоги отошедших и присоединенных ударных
волн, картины процесса возникновения ударной волны при обтекании
криволинейной
стенки,
пересечения
и
отражения
ударных
волн,
распространения возмущений от точечного источника – линий Маха, картины
истечения сверхзвуковых струй в область покоящегося газа, Х-образных
скачков и т.п. Впервые обратившим внимание на такую аналогию считается
Д.Рябушинский (Франция, 1932).
Учтем теперь (в отличие от 2.6), что изменения величин при движении
не являются малыми; в связи с этим в уравнении Эйлера должны быть
сохранены члены второго порядка по скорости. В частности, для одномерного
движения жидкости в канале, зависящего только от одной координаты x (и
времени), эти уравнения имеют вид
∂v
∂v
∂h
+v
= −g
∂t
∂x
∂x
∂ h ∂ ( vh )
+
= 0,
∂t
∂x
(глубина h предполагается здесь постоянной вдоль ширины канала).
Мы можем заключить, что если жидкость движется со скоростями v < c
(так называемое спокойное течение), то влияние возмущений распространяется
на весь поток как вниз, так и вверх по течению. При движении же со
скоростями
v
>
c
(стремительное
течение)
влияние
возмущений
распространяется лишь на определённые области потока вниз по течению.
108
Давление p (отсчитываемое от атмосферного давления на свободной
поверхности)
меняется по глубине жидкости согласно гидростатическому
закону p = ρ g (h − z ) , где z – высота точки над дном. Полезно заметить, что если
ввести величины
ρ
h
1
g 2
2
=
=
ρ
=
ρ
p
pdz
gh
= ρh ,
∫0
2
2ρ ,
∂v
∂v
1 ∂p
+v = −
,
∂t
∂x
ρ ∂x
∂ρ ∂
+ v ρ = 0,
∂t ∂x
Формально совпадающий с видом уравнений адиабатического течения
политропного
газа
с
γ = 2( p ~ ρ ).
Это
2
обстоятельство
позволяет
непосредственно переносить в теорию «мелкой воды» все газодинамические
результаты, относящиеся к движению без образования ударных волн. Для
последних
соотношения
в
теории
мелкой
воды
отличаются
от
газодинамических соотношений для идеального газа.
«Ударная волна» в текущей по каналу жидкости представляет собой
резкий скачок высоты жидкости h, а с нею и её скорости v (так называемый
прыжок воды). Соотношения между значениями этих величин по обе стороны
разрыва можно получить с помощью условий непрерывности потоков массы и
импульса жидкости. Плотность потока массы (отнесённая к 1 см ширины
канала)
есть
j = ρ vh.
Плотность
же
потока
импульса
интегрированием p + ρ v 2 по глубине жидкости и равна
h
∫ ( p + ρv
2
)dz =
ρ gh 2
0
2
+ ρ v 2 h.
Поэтому условия их непрерывности дают два уравнения
v1h1 = v2 h2 ,
gh12
gh22
2
vh+
= v2 h2 +
.
2
2
2
1 1
109
получается
Эти соотношения устанавливают связь между четырьмя величинами: v1, v2, h1,
h2, две из которых могут быть заданы произвольно. Выражая скорости v1, v2
через высоты h1, h2, получим:
v12 =
g h1
(h1 + h2 ),
2 h2
v22 =
g h1
(h1 + h2 ).
2 h2
(4.1)
Потоки же энергии по обе стороны разрыва неодинаковы; их разность
определяет количество энергии, диссипируемой (в 1 с) в разрыве. Плотность
потока энергии вдоль канала равна
 p v2 
1
q = ∫  +  ρ vdz = j ( gh + v 2 ).
2
ρ 2
0
h
Воспользовавшись выражениями (6), получим для искомой разности
q1 − q2 =
gj
(h12 + h22 )(h2 − h1 ).
4h1h2
Пусть жидкость движется через разрыв со стороны 1 на сторону 2. Тогда тот
факт, что энергия диссипируется, означает, что должно быть q1 − q2 > 0, и мы
приходим к выводу, что
h1 > h2 ,
т.е. жидкость движется через разрыв со стороны меньшей на сторону большей
высоты. Из (4.1) можно теперь заключить, что
v1 > c1 = gh1 , v2 < c2 = gh2
(4.2)
в полной аналогии с газодинамическими ударными волнами. Неравенства (4.2)
можно было бы найти и как необходимое условие устойчивости разрыва.
4.2.
Нелинейные оптические явления
Нелинейная оптика (Н.о.) , раздел физической оптики, охватывающий
исследование распространения мощных световых пучков в твёрдых телах,
110
жидкостях и газах и их взаимодействие с веществом. С появлением лазеров
оптика получила в своё распоряжение источники когерентного излучения
мощностью до 109—1010 Вт. В таком световом поле возникают совершенно
новые оптические эффекты и существенно изменяется характер уже известных
явлений. Общая черта всех этих новых явлений — зависимость характера их
протекания от интенсивности света. Сильное световое поле изменяет
оптические характеристики среды (показатель преломления n, коэффициент
поглощения), в связи с чем изменяется характер явления. Сказанное объясняет
происхождение
термина
Н.о.:
если
оптические
характеристики
среды
становятся функциями напряжённости электрического поля Е световой волны,
то поляризация среды нелинейным образом зависит от Е. Н.о. имеет много
общего с нелинейной теорией колебаний,, нелинейной акустикой и др. Оптику
слабых световых пучков, поле которых недостаточно для заметного изменения
свойств среды, естественно назвать линейной оптикой.
Историческая
установленным,
справка.
что
В
«долазерной»
основными
оптике
характеристиками
считалось
твёрдо
световой
волны,
определяющими характер её взаимодействия с веществом, являются частота
или непосредственно связанная с нею длина волны λ и поляризация волны. Для
подавляющего большинства оптических эффектов величина напряжённости
электрического светового поля Е (или плотность потока излучения I = cnE2/8π,
где с — скорость света, n — показатель преломления) фактически не влияла на
характер явления. Показатель преломления n, коэффициента поглощения,
эффективное сечение рассеяния света фигурировали в справочниках без
указания интенсивности света, для которой они были измерены, так как
зависимость указанных величин от интенсивности не наблюдалась. Можно
указать лишь несколько работ, в которых были сделаны попытки исследовать
влияние интенсивности света на оптические явления. В 1923 С. И. Вавилов и В.
Л. Лёвшин обнаружили уменьшение поглощения света урановым стеклом с
ростом
интенсивности
света и
объяснили
111
это
тем,
что
в
сильном
электромагнитном поле большая часть атомов (или молекул) находится в
возбуждённом состоянии и уже не может поглощать свет. Считая, что это лишь
один из множества возможных нелинейных эффектов в оптике, Вавилов
впервые ввёл термин «Н.о.». Возможность наблюдения ряда нелинейных
оптических эффектов с помощью фотоэлектрических умножителей в 50-х гг.
теоретически рассмотрел Г. С. Горелик (СССР); один из них — смещение
оптического дублета с выделением разностной частоты, лежащей в диапазоне
СВЧ (гетеродинирование света), наблюдали в 1955 А. Форрестер, Р.
Гудмундсен и П. Джонсон (США).
Широкие возможности изучения нелинейных оптических явлений
открылись после создания лазеров. В 1961 П. Франкен с сотрудниками (США)
открыл эффект удвоения частоты света в кристаллах — генерацию 2-й
гармоники света. В 1962 наблюдалось утроение частоты — генерация 3-й
оптической гармоники. В 1961—1963 в СССР и США были получены
фундаментальные результаты в теории нелинейных оптических явлений,
заложившие теоретические основы Н. о. В 1962—63 было открыто и объяснено
явление вынужденного комбинационного рассеяния света. Это послужило
толчком к изучению вынужденного рассеяния др. видов: вынужденного
рассеяния Мандельштама — Бриллюэна, вынужденного релеевского рассеяния
и т.п.
В 1965 было обнаружено явление самофокусировки световых пучков.
Оказалось, что мощный световой пучок, распространяясь в среде, во многих
случаях не только не испытывает обычной, так называемой дифракционной
расходимости,
а
напротив,
самопроизвольно
сжимается.
Явление
самофокусировки электромагнитных волн в общей форме было предсказано в
1962
Г.
А.
Аскарьяном
(СССР).
Оптические
эксперименты
были
стимулированы теоретическими работами Ч. Таунса с сотрудниками (США,
1964). Большой вклад в понимание природы явления внесли работы А. М.
Прохорова с сотрудниками.
112
В 1965 были созданы параметрические генераторы света, в которых
нелинейные
оптические
эффекты
используются
для
генерирования
когерентного оптического излучения, плавно перестраиваемого по частоте в
широком диапазоне длин волн. В 1967 началось исследование нелинейных
явлений, связанных с распространением в среде сверхкоротких (длительностью
до 10-12 сек) световых импульсов. С 1969 развиваются также методы
нелинейной и активной спектроскопии, использующие нелинейные оптические
явления
для
улучшения
разрешающей
способности
и
повышения
чувствительности спектроскопических методов исследования вещества.
Взаимодействие сильного светового поля со средой. Элементарный
процесс, лежащий в основе взаимодействия света со средой, — возбуждение
атома или молекулы световым полем и переизлучение света возбуждённой
частицей. Математическим описанием этих процессов являются уравнения,
связывающие поляризацию P единицы объёма среды с напряжённостью поля Е
(материальные
уравнения).
Линейная
оптика базируется
на
линейных
материальных уравнениях, которые для гармонической волны приводят к
соотношению:
P = κE,
(4.3)
где κ — диэлектрическая восприимчивость, зависящая только от свойств
среды. На соотношении (4.3) базируется важнейший принцип линейной оптики
— принцип суперпозиции. Однако теория, основанная на (4.3), не способна
объяснить ни один из перечисленных выше нелинейных эффектов. Согласно
(4.3), переизлученное поле имеет ту же частоту, что и падающее,
следовательно, уравнение (4.3) не описывает возникновения оптических
гармоник; из (4.3) следует независимость показателя преломления среды от
интенсивности. Сказанное означает, что материальное уравнение (4.3) является
приближённым: фактически им можно пользоваться лишь в области слабых
световых полей.
113
Суть приближений, лежащих в основе (4.3), можно понять, обращаясь к
классической модели осциллятора, широко используемой в оптике для
описания взаимодействия света с веществом. В соответствии с этой моделью,
поведение атома или молекулы в световом поле эквивалентно колебаниям
осциллятора. Характер отклика такого элементарного атомного осциллятора на
световую волну можно установить, сравнивая напряжённость поля световой
волны с напряжённостью внутриатомного поля Ea ≅ е/а2 ≅ 106—109 в/см (е —
заряд электрона, а — атомный радиус), определяющего силы связи в атомном
осцилляторе. В пучках нелазерных источников Е ≅ 1—10 в/см, т. е. Е << Ea, и
атомный осциллятор можно считать гармоническим (возвращающая сила
линейно связана со смещением). Прямым следствием этого является уравнение
(4.3). В пучках мощных лазеров Е ~ 106—107 в/см и атомный осциллятор
становится ангармоническим, нелинейным (возвращающая сила — нелинейная
функция смещения). Ангармоничность атомного осциллятора приводит к тому,
что зависимость между поляризацией P и полем Е становится нелинейной; при
(Е/Еа) < 1 её можно представить в виде разложения в ряд по параметру Е/Еа:
P = χE + χE2 + ϑE3 + … .
(4.4)
Коэффициенты χ, ϑ и т.д. называются нелинейными восприимчивостями (по
порядку величины χ ~ 1/Еa; ϑ ~ 1/Ea2). Материальное уравнение (4.4) является
основой Н. о. Если на поверхность среды падает монохроматическая световая
волна Е = Аcos (ωt — kx), где А — амплитуда, ω — частота, k — волновое число,
х — координата точки вдоль направления распространения волны, t — время,
то, согласно (4.4), поляризация среды наряду с линейным членом P
(л)
= χA cos
(ωt — kx) (линейная поляризация) содержит еще и нелинейный член второго
порядка:
χA χA
= χE =
+
cos 2(at − kz ).
2
2
2
P
( нл )
2
114
2
(4.5)
Последнее слагаемое в (4.5) описывает поляризацию, изменяющуюся с
частотой 2ω, т. е. генерацию 2-й гармоники. Генерация 3-й гармоники, а также
зависимость показателя преломления от интенсивности описываются членом
ϑE3 в (2) и т.д.
Нелинейный отклик атомного осциллятора на сильное световое поле —
наиболее
универсальная
причина
нелинейных
оптических
эффектов.
Существуют, однако, и др. причины: например, изменение показателя
преломления n может быть вызвано нагревом среды лазерным излучением.
Изменение температуры ∆T = αE2 (α — коэффициент поглощения света)
приводит к тому, что
n=n +
0
Во
многих
случаях
∂n
∆T .
∂T
существенным
оказывается
также
эффект
электрострикции (сжатие среды в световом поле Е). В сильном световом поле Е
лазера
электрострикционное
давление,
пропорциональное
E2,
изменяет
плотность среды, что может привести к генерации звуковых волн. С тепловыми
эффектами и электрострикцией иногда связана самофокусировка света.
Оптические гармоники. Интенсивное монохроматическое излучение лазера
на неодимовом стекле (λ1 = 1,06 мкм), проходя через оптически прозрачный
кристалл ниобата бария, может преобразоваться в излучение с длиной волны
ровно вдвое меньшей, т. е. во 2-ю гармонику (λ2 = 0,53 мкм). При некоторых
условиях во 2-ю гармонику переходит более 60% энергии падающего
излучения. Удвоение частоты наблюдается для излучения др. лазеров видимого
и инфракрасного диапазонов. В ряде кристаллов и жидкостей зарегистрировано
утроение частоты света — 3-я гармоника. Более сложные эффекты возникают,
если в среде распространяются две или несколько интенсивных волн с
различающимися частотами, например ω1 и ω2. Тогда наряду с гармониками
115
каждой из волн (2ω1, 2ω2 и т.п.) возникают волны комбинационных частот (ω1 +
ω2; ω1 — ω2 и т.п.).
Описанное явление, называется генерацией оптических гармоник, имеет
много общего с широко известным умножением частоты в нелинейных
элементах радиоустройств. Вместе с тем есть и существенное различие: в
оптике эти эффекты являются результатом взаимодействия не колебаний, а
волн. В сильном световом поле, согласно (2), каждый атомный осциллятор
переизлучает не только на частоте падающей волны, но и на её гармониках.
Однако так как свет распространяется в среде, размеры L которой существенно
превышают длину волны λ (для видимого света λ~ 10-4 см), суммарный эффект
генерации гармоник на выходе зависит от фазовых соотношений между
основной волной и гармониками внутри среды; возникает своеобразная
интерференция, способная либо усилить, либо ослабить эффект. Оказалось, что
взаимодействие двух волн, различающихся частотами, например ω и 2ω,
максимально, а, следовательно, максимальна и перекачка энергии от основной
волны к гармоникам, если их фазовые скорости равны (условие фазового
синхронизма). К условиям фазового синхронизма можно прийти и из
квантовых соображений, они соответствуют закону сохранения импульса при
слиянии или распаде фотонов. Для трёх волн условия синхронизма: k3 = k1 + k2,
где k1, k2 и k3 — импульсы фотонов в единицах постоянной Планка.
Условия синхронизма основной волны и гармоник в реальной
диспергирующей среде на первый взгляд кажутся неосуществимыми. Равенство
фазовых скоростей волн на разных частотах имеет место лишь в среде без
дисперсии. Однако оказалось, что отсутствие дисперсии можно имитировать,
используя взаимодействие волн разной поляризации в анизотропной среде.
Этот
метод
резко
повысил
эффективность
нелинейных
волновых
взаимодействий. Если в 1961 кпд оптических удвоителей частоты составлял
~10-10—10-12, то в 1963 он достиг значения 0,2—0,3, а к 1973 приблизился к 0,8.
116
Оптические умножители частоты позволили существенно расширить
область применения лазеров. Эффект генерации оптических гармоник широко
используется для преобразования излучения длинноволновых лазеров в
излучение коротковолновых диапазонов. Промышленность многих стран
выпускает оптические умножители частоты на неодимовом стекле или на
алюмоиттриевом гранате с примесью неодима (λ = 1,06 мкм), позволяющие
получить мощное когерентное излучение на волнах λ = 0,53 мкм (2-я
гармоника), λ = 0,35 мкм (3-я гармоника) и λ = 0,26 мкм (4-я гармоника). Для
этой цели были подобраны кристаллы, обладающие высокой нелинейностью
(большими значениями χ) и позволяющие удовлетворить условиям фазового
синхронизма. Иллюстрациями современных возможностей в этой области
являются генератор 5-й оптической гармоники и получение 9-й гармоники
излучения неодимового лазера (λ9 = 1189
). В 1972 было экспериментально
осуществлено умножение частоты в области вакуумного ультрафиолета; в
качестве нелинейной среды здесь использовались некоторые газы и пары
металлов.
Самофокусировка света. Самовоздействия. При достаточно большой
(но вполне умеренной для современной лазерной техники) мощности светового
пучка, превышающей некоторое критическое значение Ркр, в среде вместо
обычной дифракционной расходимости первоначально параллельного пучка
наблюдается его самосжатие. Величина Ркр различна для разных сред; для ряда
органических жидкостей Ркр ~ 10—50 квт, в некоторых кристаллах и
оптических стеклах Ркр не превышает нескольких вт.
Иногда,
импульсных
например,
лазеров
«схлопывания»
пучка,
в
при
распространении
жидкостях,
которое
это
излучения
самосжатие
сопровождается
носит
настолько
мощных
характер
быстрым
нарастанием светового поля, что это может вызвать световой пробой, фазовые
переходы и др. изменения состояния вещества. В др. случаях, например при
распространении излучения газовых лазеров непрерывного действия в стеклах,
117
нарастание поля также заметно, хотя и не является столь быстрым. Самосжатие
в некотором смысле похоже на фокусировку пучка обычной линзой. Однако
существенные
различия
наблюдаются
за
фокальной
точкой;
самосфокусированный пучок может образовывать квазистационарные нити
(«волноводное» распространение), последовательность фокальных точек и т.п.
Явление самофокусировки обусловлено тем, что в сильном световом
поле изменяется показатель преломления среды. Если знак изменения
показателя преломления таков, что в области, занятой пучком, он возрастает,
эта область становится оптически более плотной, и периферийные лучи
отклоняются к центру пучка. Поскольку фазовая скорость света v = c/n = с/(n0 +
n2E2), то фазовые фронты изгибаются (поле Е на оси больше, чем на
периферии) и лучи отклоняются к оси пучка. Такая нелинейная рефракция
может быть столь существенной (её «сила» нарастает вместе с концентрацией
поля), что практически полностью подавляет дифракционные эффекты.
Обратный эффект — самодефокусировка — возникает, если среда в
области, занятой световым пучком, из-за зависимости показателя преломления
от интенсивности становится оптически менее плотной (n2 < 0). В этом случае
мощный лазерный пучок расходится гораздо быстрее, чем пучок малой
интенсивности. Нелинейные волновые явления типа самофокусировки и
самодефокусировки, в которых средние частота и волновое число k = ωn/c =
2π/λ почти не изменяются, называются самовоздействием волн. Наряду с
самовоздействием волн, модулированных в пространстве, в Н. о. изучается
также самовоздействие волн, модулированных во времени.
Распространение
светового
импульса
в
среде
с
показателем
преломления вида n = n0 + n2E2 сопровождается искажением его формы и
фазовой модуляцией. В результате возникает сильное уширение спектра
лазерного импульса. Ширина спектра излучения на выходе из среды в сотни и
тысячи раз превышает ширину спектра на входе.
118
Эффекты самовоздействия определяют основные черты поведения
мощных световых пучков в большинстве сред, включая и активные среды
самих лазеров. В частности, лавинное нарастание напряженности светового
поля при самофокусировке вызывает во многих случаях оптический пробой
среды.
Интересным вопросом в явлении самофокусировки является поведение
светового пучка за фокальной точкой. А. М. Прохоров с сотрудниками
обратили внимание на существенную роль движения фокальных точек при
самофокусировке. В реальном лазерном импульсе мощность изменяется во
времени и соответственно изменяется во времени фокальная длина нелинейной
линзы. В результате возникает движущийся фокус. Скорость его движения
может достигать 109 см/сек. Учёт быстрого движения фокусов в сочетании с
аберрациями нелинейной линзы во многих случаях позволяет построить
полную теорию явления самофокусировки.
Самопросветление и нелинейное поглощение. Среды, непрозрачные
для слабого излучения, могут стать прозрачными для высокоинтенсивного
излучения
(просветление),
и,
наоборот,
прозрачные
материалы
могут
«затемняться» по отношению к мощному излучению (нелинейное поглощение).
Таковы
наиболее
важные
особенности
поглощения
света
большой
интенсивности. Они объясняются зависимостью коэффициента поглощения от
интенсивности света.
Если интенсивность резонансного по отношению к поглощающей среде
излучения велика, существенная доля частиц среды переходит из основного в
возбуждённое состояние и населённости её верхнего и нижнего уровней
выравниваются. Для получения эффекта насыщения в равновесных условиях
необходима
затрата
некоторой
энергии,
поэтому
просветление
сопряжено с определёнными потерями энергии светового пучка.
119
среды
В поле коротких световых импульсов, длительность которых меньше
характерных времён релаксации среды, наблюдается эффект просветления др.
типа — резонансное самопросветление среды. В этом случае короткий мощный
световой импульс проходит через среду, вообще не испытывая поглощения
(слабое же квазинепрерывное излучение той же частоты может поглотиться
этой средой практически полностью). Результатом взаимодействия такого
очень короткого светового импульса со средой оказывается резкое уменьшение
групповой скорости распространения светового импульса и изменение его
формы.
Эффекты
нелинейного
поглощения
связаны
с
тем,
что
при
взаимодействии интенсивного излучения частоты ω0 с частицами заметную
вероятность имеют процессы одновременного поглощения m квантов частоты
ω1, причём m = ω0 /ω1.
Нелинейная оптика и спектроскопия. Параметрический генератор
света. Развитие Н. о. позволило усовершенствовать методы оптической
спектроскопии и разработать принципиально новые методы нелинейной и
активной спектроскопии. Важная проблема абсорбционной спектроскопии —
создание подходящего источника света, перестраиваемого по частоте. Н. о. даёт
радикальное решение проблемы: наряду со сложением фотонов в нелинейной
среде возможен обратный процесс — когерентный распад фотона частоты Ω на
два фотона частот ω1 и ω2, удовлетворяющих условию Ω = ω1+ ω2. Процесс
идёт
эффективно,
если
одновременно
выполнены
условия
волнового
синхронизма: kл = k1 + k2.
На этом принципе основано действие параметрического генератора
света. При фиксированной частоте Ω (частоте накачки) частоты ω1 и ω2 можно
варьировать в широких пределах (сохраняться должна лишь их сумма), изменяя
параметры среды, влияющие на выполнение условий синхронизма. С помощью
таких генераторов уже сейчас возможно перекрытие длинноволновой части
120
видимого
и
ближней
части
инфракрасного
диапазонов.
Созданы
параметрические генераторы света и в далёкой инфракрасной области.
Параметрический
абсорбционных
генератор
света
спектрометров;
с
—
удобный
источник
его
появлением
оптики
света
для
получили
перестраиваемый, стабильный, легко управляемый источник когерентного
излучения (накладывая на нелинейный кристалл электрическое поле, можно
осуществить частотную или амплитудную модуляцию излучения).
Преобразование сигналов и изображений. Эффект сложения частот,
лежащий в основе действия описанного спектрографа, находит и др.
применения. Одно из них — регистрация слабых сигналов в инфракрасном
диапазоне. Если частота ωх лежит в инфракрасном диапазоне, а ωн — в
видимом, то в видимый диапазон попадает и суммарная частота Ω, причём
коэффициент преобразования может быть >> 1. В видимом же диапазоне
регистрация
сигнала
производится
с
помощью
высокочувствительного
фотоэлектронного умножителя (ФЭУ). Система из нелинейного кристалла, в
котором происходит сложение частот и ФЭУ, является чувствительным
приёмником инфракрасного излучения; такие приёмники находят применение в
инфракрасной астрономии. С помощью этой схемы можно не только
регистрировать сигнал, но и преобразовывать изображение из инфракрасного
диапазона в видимый.
Методы нелинейной оптики проникают во все традиционные разделы
оптики и лежат в основе ряда её новых направлений (нелинейное вращение
плоскости поляризации, нелинейное рассеяние, нелинейная дифракция,
нелинейная магнитооптика и т.п.). С ростом напряжённости светового поля
обнаруживаются всё новые и новые нелинейные процессы. К сожалению,
предельное световое поле, которое может быть использовано в эксперименте,
определяется не возможностями лазерной техники, а разрушением среды или
изменением её оптических свойств под действием света.
121
На первом этапе развития нелинейной оптики использовался диапазон
волн от 1,06 до 0,3 мкм. Переход к лазерам на CO2 (λ = 10,6 мкм) привёл к
открытию
нелинейности,
связанной
с
поведением
носителей
тока
в
полупроводниках (в видимом диапазоне она практически не проявляется), и
обнаружению
источников
новых
нелинейных
ультрафиолетового
материалов.
излучения
При
помощи
возможны
мощных
исследование
нелинейного поглощения в кристаллах и жидкостях с широкой запрещенной
зоной,
умножение
ультрафиолетовых
частоты
лазеров
в
с
вакуумном
оптической
ультрафиолете,
накачкой.
В
1971
создание
впервые
наблюдались когерентные нелинейные эффекты в рентгеновской области.
Успехи
нелинейной
оптики
стимулировали
соответствующие
исследования в физике плазмы, в акустике, радиофизике и вызвали интерес к
общей теории нелинейных волн. В связи с Н. о. появились новые направления
исследования в физике твёрдого тела, связанные с изучением нелинейных
материалов и оптической прочности твёрдых тел и жидкостей. Возможно,
нелинейными оптическими явлениями в межзвёздной плазме обусловлены и
некоторые особенности характеристик квазаров. Не исключено достижение
таких интенсивностей лазерного излучения, при которых станет возможным
наблюдение нелинейных оптических явлений в вакууме.
4.3.
Экстремальные состояния вещества на Земле и в космосе
Состояние
вещества
с
предельно
высокими
температурами
и
давлениями, а следовательно, - с необычайно высокими концентрациями
энергии, всегда привлекало исследователей возможностью получения новых
рекордных параметров, перспективами продвижения в новые области фазовой
диаграммы и получения в лабораторных условиях экзотических состояний из
которых возникла наша Вселенная в результате Большого взрыва в которых
сейчас находится подавляющая (95%) часть барионного (видимого) вещества в
122
природе: в плазме обычных и нейтронных звёзд, пульсаров, чёрных дыр и
планет-гигантов, а также во множестве планет, в том числе недавно открытых.
Кроме того, устойчивым прагматическим стимулом таких исследований
является практическое применение экстремальных состояний в ядерной,
термоядерной и импульсной энергетике, электрофизике высоких напряжений и
мощностей, а также для синтеза сверхтвёрдых веществ, упрочнения и сварки
материалов, противоударной защиты космических аппаратов и, конечно, для
обороны,
поскольку
(инерционный
работа
управляемый
ядерных
устройств
термоядерный
с
контролируемым
синтез
(УТС))
и
квазиконтролируемым (атомные и водородные заряды) энерговыделением
основана на инициировании ядерных реакций в сильно сжатом и разогретом
ядерном топливе.
Революционные
открытия
в
астрономии
последних
десятилетий
(нейтронные звёзды, пульсары, чёрные дыры, γ -всплески, экзопланеты и т.д.)
дают новые примеры экстремальных состояний, изучение которых необходимо
для решения принципиальных вопросов современной астрофизики.
Применение мощных и изощрённых систем кумуляции энергии –
химических и ядерных взрывчатых веществ (ВВ), пороховых, легкогазовых и
электродинамических пушек, потоков заряженных частиц, лазерного и
рентгеновского излучения, а также потоков релятивистских ионов позволило
повысить скорость метания макроскопических ударников на три-четыре
порядка величины, а давление в ударной волне – на шесть-восемь порядков по
сравнению с таковыми во времена битвы Давида и Голиафа и достичь давлений
магабарно-гигабарного диапазона и «ядерной» плотности энергии вещества.
«Высокой» плотностью энергии в веществе традиционно принято считать
величину, превышающую 104 − 105 см −3 , что соответствует энергии связи
конденсированных сред (например, ВВ, Н2 или металлов) и уровню падения в
несколько миллионов атмосфер.
Как правило, вещество в условиях высокой плотности энергии находится
в плазменном – ионизованном – состоянии вследствие процессов термической
123
ионизации и/или ионизации давлением. В астрофизических объектах такое
сжатие и разогрев осуществляется гравитационными силами и ядерными
реакциями, а в лабораторных условиях – мощными ударными волнами, для
возбуждения
которых
применяется
широкий
набор
драйверов
–
от
двухступенчатых газовых пушек до лазеров и сильноточных Z-пинчей
мощностью в несколько сотен тераватт.1 При этом, если в астрофизических
объектах время существования экстремальных состояний варьируется от
нескольких миллисекунд до нескольких миллиардов лет, позволяя проводить
их подробное наблюдение и измерение с помощью космических зондов,
орбитальных и наземных телескопов, то в земных условиях речь идёт о
микросекундно-фемтосекундном
диапазоне
длительности,
что
требует
применения специфических предельно быстрых средств диагностики.
Характерной особенностью физики высоких плотностей энергии является
крайняя сложность и сильная нелинейность происходящих в ней плазменных
процессов,
важность
коллективного
межчастичного
взаимодействия
и
релятивизм, что делает изучение явлений в этой области интересным и
захватывающим, привлекающим к себе всё новых и новых исследователей.
На рисунке 4.8. представлена схематическая диаграмма экстремальных
состояний, которые реализуются в ряде природных объектов и в лабораторных
или квазилабораторных условиях.
Возникновение экстремлаьных состояний в природе вызвано силами
тяготения, имеющими дальнодействующий и, в отличие от характера
кулоновских сил (в плазме), неэкранируемый характер. Эти силы сжимают и
разогревают
вещество
либо
непосредственно,
либо
играют
роль
дополнительного стимулятора экзотермических ядерных реакций в массивных
астрофизических объектах.
1
Мощность всех электростанций Земли составляет около 3,5 ТВт.
124
Рис.4.8
Масштабы реализуемых в природе экстремальных состояний способны
поразить самое смелое воображение (рис 1б, в). На дне Марианской впадины
(глубина 11 км) давление воды р достигает 1,2 кбар; в центре Земли
p ≈ 3,6 Мбар, температура T ≈ 0,5 эВ, плотность ρ ≈ 10 - 20 г см-3; в центре
Юпитера p ≈ 40 - 60 Мбар, ρ ≈ 30 г см-3, T ≈ 2×104 К; в центре Солнца
p ≈ 240 Гбар, T ≈ 1,6×103 эВ, ρ ≈ 150 г см-3; в остывающих звёздах – белых
карликах - p ≈ 1010-1016 Мбар, ρ ≈ 106-109 г см-3, T ≈ 103 эВ. В мишенях УТС с
инерционным удержанием плазмы p ≈ 200 Гбар, ρ ≈ 150-200 г см-3, T ≈ 108эВ.
Нейтронные звёзды, являющиеся элементами пульсаров, чёрных дыр,
γ -всплесков и магнитаров, имеют, по-видимому, рекордно высокие параметры:
p ≈1019 Мбар, ρ ≈ 1011 г см-3, T ≈ 104 эВ для мантии и p ≈1022 Мбар,
ρ ≈ 1014 г см-3, T ≈ 104 эВ для ядра при гигантском магнитном поле, 1011 − 1016 Гс.
С возрастанием плотности энергии (р и Т) вещество приобретает всё
более универсальную – «автомодельную» - структуру. Возрастание давления и
температуры
разрушает
молекулярные
комплексы,
образуя
атомарные
состояния, которые затем вследствие температурной ионизации и/или
ионизации
давлением
теряют
внешние
электроны,
ответственные
за
химические связи. Электронные оболочки атомов и ионов деформируются,
125
приобретая всё более регулярное заполнение уровней, а кристаллическая
решётка после серии полиморфных переходов (обычно это происходит при p <
0,5 Мбар) преобразуется в плотноупакованную объёмноцентрированную
кубическую структуру.
Эти процессы «упрощения» свойств вещества происходят тогда, когда
характерная плотность энергии становится порядка энергии валентных
оболочек, составляя e / a ≈ 3 × 10
2
4
В
14
эрг см-3 (где aB = h2 /(me2 ) ≈ 5, 2 ×10−9 см –
боровский радиус), что и определяет порядок величин нижней границы
«универсализации» вещества: Т = 10
эВ, р = 300 Мбар. Количественное
положение границ универсализации зависит от конкретного вещества, и их
экспериментальное установление является ответственной задачей физики
высоких плотностей энергии. Тем более, что теория предсказывает большое
разнообразие в поведении вещества в ультрамегабарном диапазоне значений –
оболочечные эффекты, электронные и плазменные фазовые переходы и т.п.
Пальма первенства сейчас динамическим методам, основанным на
импульсной кумуляции высоких плотностей энергии в веществе. Время жизни
таких высокоэнергетических состояний определяется временем инерционного
−10
−6
разлёта плазмы, имеющего характерный масштаб 10 − 10 с, что требует
применения быстрых и изощрённых средств диагностики. Физические условия,
соответствующие нижней границе интересующих нас состояний, приведены в
табл. 1. Видно, что получение высокой плотности энергии в плазме
предъявляет весьма серьёзные требования к средствам генерации, делая
необходимой эффективную пространственную и временнýю компрессию
мощности.
Являясь наиболее распространённым состоянием вещества в природе
(98% массы Вселенной, без тёмной материи), плазма занимает практически всю
область фазовой диаграммы. При этом особую трудность при физическом
описании такой среды представляет собой область неидеальной плазмы, в
которой энергия межчастичного кулоновского взаимодействия
126
e2 n1/ 3
является
сравнимой с кинетической энергией движения частиц Ek или превосходит её. В
этой области параметр неидеальности плазмы Г = e2 n1/ 3 / Ek > 1 , поэтому эффекты
плазменной неидеальности не могут быть описаны теорией возмущений, а
применение
численных беспараметрических
методов Монте-Карло или
молекулярной динамики затруднено в связи со сложностью выбора адекватных
псевдопотенциалов и правильного учёта квантовых эффектов.
Эффекты релятивизма электронов в уравнении состояния и транспортных
свойствах плазмы в случае me c 2 ≈ k BT соответствуют T ≈ 0,5 МэВ ( 6 ×106 К). При
температурах, превышающих это значение, вещество становится неустойчивым
по отношению к спонтанному рождению электрон-позитронных пар.
Квантовые
эффекты
определяются
параметром
вырождения
nD 3 (D = (h 2 / 2mk BT )1/ 2 - тепловая дебройлевская длина волны). Для вырожденной
плазмы nD 3 > 1 , масштабом кинетической энергии является энергия Ферми
E ≈ h n / 2m , которая возрастает с увеличением плотности плазмы n, делая её
2
2/3
F
по мере сжатия, n → ∞ , всё более идеальной: Г = me 2 /(h 2 n1/ 3 ) → 0 . Условие
релятивизма, соответствующее соотношению me c 2 ≈ EF ≈ 0,5 МэВ, даёт значение
плотности порядка 106 г см-3.
Похожая асимптотика имеется и в другом предельном случае – в случае
классической ( nD ≈ 1 ) плазмы при малых температурах, T → 0 , в которой
3
Ek ≈ k BT и которая становится всё более идеальной, Г ≈ e n
2
1/ 3
/( k T ) , при её
B
разогреве. Таким образом, периферия фазовой диаграммы вещества занята
идеальной (Г ≈ 1) больцмановской ( nD < 1 ) или вырожденной ( nD 3 > 1 )
3
плазмой, описываемой развитыми сейчас адекватными физическими моделями,
которые в ряде случаев удаётся проверить в динамическом эксперименте.
Наибольшую трудность для изучения представляет собой обширная
область
неидеальной
техническими
плазмы
приложениями
Г
=
1,
(плазма
связанная
с
многочисленными
металлов
и
полупроводников,
импульсная энергетика, взрывы, дуги, электрические разряды, импульсный
термоядерный синтез) и с астрофизическими объектами, такими как планеты-
127
гиганты, экзопланеты, коричневые карлики, нейтронные и кварковые звёзды и
т.п., для которых теория предсказывает качественно новые физические
эффекты
–
металлизацию,
«холодную»
ионизацию,
диэлектризацию,
плазменные фазовые переходы и т.п.
Особый
интерес
вызывают
плазменные
фазовые
переходы
в
сильнонеидеальных кулоновских системах: кристаллизация пылевой плазмы и
ионов в электростатических ловушках, циклотронах, электролитах, коллоидных
системах
на
поверхности
жидкого
гелия,
экситонная
конденсация
в
полупроводниках и т.п. Отметим недавно открытый фазовый переход в
термической дейтериевой плазме, квазиадиабатически сжатой до мегабарных
давлений серией реверберирующих ударных волн.
Другой характерной особенностью плазмы с высокой концентрацией
энергии является коллективный характер её поведения и сильная нелинейность
её реакции по отношению к внешним энергетическим воздействиям, таким как
ударные и электромагнитные волны, солитоны, потоки лазерного излучения и
быстрых частиц. Так, распространение электромагнитных волн в плазме
возбуждает
ряд
параметрических
неустойчивостей
(комбинационное,
томпсоновское и бриллюэовское рассеяние света), самофокусировку и
филаментацию излучения, развитие неустойчивостей релятивистской природы,
генерацию быстрых частиц и струй, а при более высоких интенсивностях –
«вскипание» вакуума с рождением электрон-позитронных пар.
Большое внимание при экстремальных энергетических воздействиях
уделяется
нестационарным
гидродинамическим
явлениям,
таким
как
неустойчивость ударных волн и ламинарных течений, динамика струй и
солитонов,
высокоскоростные
(число
Маха
Ма
≈ 15 − 20 )
ударные,
магнитогидродинамические и радиационные (тепловые) волны, турбулентность
и турбулентное перемешивание в сжимаемой и излучающей среде (рис. 4.9).
128
Рис. 4.9
Цель экспериментов по макроскопической физике высоких плотностей
энергии состоит в генерации экстремальных параметров вещества, значения
которых находятся на пределе возможностей современного эксперимента. Уже
сейчас объектами лабораторных исследований стали состояния плазмы с
максимальным давлением в несколько сотен или тысяч мегабар, температурой
до 109 К и плотностью энергии 109 Дж см-3, сопоставимой с плотностью
энергии ядерного вещества. Согласно развитым сегодня представлениям, для
осуществления
управляемой
термоядерной
реакции
с
инерционным
удержанием плазмы необходимо за 10-9 с энергию в несколько мегаджоулей
подвести к сферической мишени, в центре которой возникнет дейтерийтритиевая плазма с экстремально высокими параметрами: T ≈ (1 − 2) ×108 К,
-3
ρ ≈ 200 г см ,
p ≈ 150 − 200
Гбар, что близко к условиям центра Солнца.
Соответствующая мощность лазера на порядки превосходить суммарную
мощность всех электростанций Земли. Для этой цели создаются лазерные
129
установки – Национальная установка для зажигания (National Ignition Facility,
NIF) в США и LMJ (от франц. – Laser Mégajoule) во Франции, а также –
установки мягкого рентгеновского излучения сильноточных Z-пинчей (Zeta,
США) и пучков релятивистских тяжёлых ионов.
Эти условия, необходимые для зажигания управляемой термоядерной
реакции, являются крайне экзотическими для земных условий, но вполне
типичными для подавляющей части вещества во Вселенной, сжатого
гравитационными силами в недрах звёзд и других астрофизических объектов.
При этом в физике высоких плотностей энергии возникает ряд увлекательных
задач, от решения которых зависит прогресс в этой и смежных областях знаний.
Фундаментальное
значение
имеет
изучение
уравнение
состояния
вещества и состава плазмы в широкой области фазовой диаграммы,
включающей в себя условия планет-гигантов, экзопланет, карликов, гигантов и
нейтронных звёзд, установление причин квазиклассичности (модель ТомасаФерми)
в
термодинамике.
Большой
интерес
представляют
свойства
вырожденной сжатой плазмы, её термодинамика, равновесные, кинетические и
транспортные свойства в условиях сильной неидеальности и в присутствии
мощных магнитных полей, а также свойства карк-глюонной плазмы, наличие и
свойства её гипотетического фазового перехода.
Почти 80 лет стоит интригующий вопрос о фазовом переходе првого рода
в сильнонеидеальной плазме (см. первые результаты фиксации такого рода в
дейтерии).
К
более
далёкой перспективе относится изучение условий
для
пикноядерных реакций («холодный» синтез) и условий сильного кулоновского
экранирования, ускоряющего термоядерные реакции в недрах массивных звёзд,
а также получение релятивистского вырожденного вещества с энергией Ферми
EF > me c 2 и исследование его уравнения состояния.
Генераторы высоких плотностей энергии. Спектр экспериментальных
устройств для генерации высокой плотности энергии в макроскопических
объёмах весьма многообразен – он включает в себя алмазные наковальни для
130
статического сжатия вещества, пороховые и легкогазовые метательные
устройства – «пушки», взрывные генераторы мощных ударных волн,
электровзрывные
устройства, магнитокумулятивные
генераторы,
лазеры,
сильноточные генераторы мощных импульсов электрического тока, ускорители
заряженных частиц и всевозможные комбинации этих устройств.
В таблице 2 приведено сопоставление параметров наиболее мощных из
действующих и строящихся установок различного типа: лазеров, импульсных
устройств,
Z-пинчей, ускорителей заряженных частиц. Созданные для
проведения плазменных исследований в интересах обороны и физики высоких
энергий, эти установки сейчас с успехом применяются для исследований по
фундаментальной физике плазмы высоких плотностей энергии. Наиболее
мощные из строящихся лазерных установок, NIF и LMJ, будут излучать в 192
пучках энергию 1,8 – 2 Мдж (в основной гармонике), обеспечивая условие
термоядерного зажигания микромишеней. Эти установки позволят перейти к
экспериментам с ударными волнами в гигабарном диапазоне давлений, т.е.
продвинуться в область квазиклассического описания вещества, и дадут
возможность изучать течение плазмы в условиях развитых радиационных
эффектов излучения.
Статические и ударно-волноввые методы. Значимый прогресс в
области статических давлений был достигнут в начале 1980-х годов с
появлением
экспериментальной
техники
алмазных
наковален.
В
этих
установках два специальным образом огранённых алмаза сжимают тонкие
(шириной 10 – 100 мкм) плоские слои исследуемого вещества до максимальных
давлений мегабарного диапазона, верхний предел которого определяется
максимальной прочностью алмаза (0,5 – 1 Мбар). В ряде опытов сжатое
вещество либо подогревают лазерным излучением, либо сжатый в алмазных
наковальнях материал является мишенью для последующего его сжатия
лазерными ударными волнами. Такие опыты дали много полезной информации
о механических свойствах, термодинамике и фазовых превращениях в
131
геофизических объектах в экстремальной для земных условий области
параметров p ≈ 0,1 − 3,5 Мбар, T ≈ 103 − 6 ×103 К.
Дальнейшее продвижение по шкале высокой плотности энергии связано
с переходом к динамическим методам исследований, основанным на создании в
веществе импульсной кумуляции энергии посредством мощных ударных волн
либо с помощью электромагнитного или корпускулярного излучения различной
природы. Возникающие при этом температуры и давления плазмы значительно
превосходят термопрочностные пределы материалов установок, что приводит к
ограничениям характерного времени жизни плазмы
(10-10 – 10-5 с) в
динамических экспериментах, которое определяется динамикой разлёта
мишени.
При
динамическом
подходе
отсутствуют
принципиальные
ограничения на величины создаваемых в мишени максимальных плотности
энергии и давления – они лимитируются только мощностью энергетического
источника – так называемого драйвера.
Ударно-волновая техника сегодня играет ведущую роль в физике
высоких плотностей энергии, позволяя получать для многих химических
элементов и соединений максимальные давления мегабарно-гигабарного
диапазона. Достигнутое сегодня максимальное динамическое давление на
шесть порядков превосходит давление при ударе пули, на три порядка –
132
давление в центре Земли и оказывается близким к давлению в центральных
слоях Солнца и мишенях инерционного термоядерного синтеза (ИТС).
Ударная волна не только сжимает вещество, но и разогревает его до
высоких
температур, что
особенно важно для
получения
плазмы –
ионизированного состояния вещества. При экспериментальном изучении
сильнонеидеальной плазмы сейчас используется ряд динамических методик,
позволяющих получать за фронтом ударной волны состояния неидеальной
вырожденной (статистика Ферми) и классической (статистика Больцмана)
плазмы, сжатой до максимальных давлений около 4 Гбар и разогретой до
температур порядка 107 К, т.е. достичь условий, близких тем, при которых
энергия и давление равновесного излучения начинают играть заметную роль в
суммарной термодинамике и динамике таких высокоэнергетических состояний.
Эти условия являются весьма типичными для звёздных объектов на разных
стадиях их эволюции.
Многократное ударное сжатие (близкое к изоэнтропическому) было
успешно применено для экспериментального изучения ионизации плазмы
давлением
и
диэлектризации
Квазиадиабатическое
сжатие
вещества
также
при
мегабарных
реализовано
при
давлениях.
взрывном
высокосимметричном цилиндрическом сжатии водорода и инертных газов.
Особо отметим опыты по «мягкому» адиабатическому сжатию плазмы
мегагауссовым магнитным полем.
В другом предельном случае – когда необходимо получить плазму
высоких температур – целесообразно осуществлять ударно-волновое сжатие
мишеней с пониженной (по сравнению с твердотельной) плотностью, т.е.
мишеней из пористых металлов или аэрогелей. Это позволяет резко увеличить
эффекты необратимости ударного сжатия и тем самым повысить энтропию и
температуру сжатого состояния.
Исследовать состояния плазмы, промежуточные между состояниями
твёрдого тела и газа, позволяет метод изоэнтропического расширения,
основанный
на
генерации
плазмы
133
при
адиабатическом
расширении
конденсированного
вещества,
предварительно
сжатого
и
необратимо
разогретого на фронте мощной ударной волны. Именно таким образом впервые
были экспериментально изучены высокотемпературные участки кривых
кипения, околокритические состояния и области перехода металл-диэлектрик
значительного числа металлов.
Техника
мощных
ударных
волн,
возбуждаемых
столкновением
металлических лайнеров (ударников), разогнанных до скорости в несколько в
секунду, с мишенью из исследуемого вещества сегодня является основным
средством получения физической информации о поведении плазмы при
давлении до 10 – 15 Мбар.
Рекордно высокие в земных условиях плотности энергии плазмы
получены в ближней зоне ядерного взрыва. Мировой рекорд по давлению
плазмы, полученному в земных квазилабораторных условиях, составляет
примерно 4 ×109 атм, что близко к давлению во внутренних слоях Солнца.
Плазма в этих условиях ( W ≈ 109 Дж см-3,
невырождена,
nD 3 ≈ 0, 07 ,
двенадцатикратно
ne ≈ 4 ×10 24
см-3,
ионизирована,
T ≈ 8 ×106 К)
а
параметр
неидеальности достаточно мал, Г ≈ 0,1 , что является экспериментальной
иллюстрацией тезиса раздела 2 об упрошении физических свойств плазмы в
пределе ультравысокой плотности энергии.
При ядерных взрывах получены давления в мультимегабраной области,
близкие к характерному «физическому» давлению p ≈ e / a ≈ 300 Мбар, и
2
4
B
134
температуры T ≈ Ry ≈ 10
Ферми,
5
К, начиная с которых применма теория Томаса-
предполагающая
упрощённое
квантово-статистическое
описание
сильносжатого вещества и «автомодельность» его физических свойств по
отношению к заряду ядра.
Вопрос о границах применимости квазиклассической модели до сих пор в
значительной степени остаётся открытым, а характер поведения вещества в
области р > 300 Мбар сейчас представляется более разнообразным, чем это
предполагалось
ранее
на
основе
упрощённых
представлений.
Экспериментальная проверка предсказаний оболочечной квазиклассической
модели является одной из самых интересных задач физики сверхвысоких
давлений,
для
решения
которой
понадобится,
по-видимому,
новая
экспериментальная техника, основанная на мощных потоках направленной
энергии.
Электродинамические методы. Устройства с сильноточной (105-107 А)
импульсной энергией дл получения плазмы с высокой плотностью энергии
используются в различных экспериментальных постановках. Электрическая
энергия
может
осуществлять
прямой
импульсный
джоулев
нагрев
(электровзрыв) проводников либо магнитодинамическое сжатие и разогрев
плазменных образований. Запасённая энергия может использоваться для
получения интенсивных вспышек мягкого рентгеновского излучения (с
радиационной температурой 200 – 300 эВ) с последующей генерацией этим
излучением мощных ударных волн или для электродинамической генерации
ударных волн, а также для электродинамического разгона металлических
лайнеров. Энергетические возможности электродинамических устройств такого
рода, как правило, на порядки больше, чем у лазеров (за исключением NIF и
LMJ), что позволяет проводить опыты с более толстыми мишенями и тем
самым повысить точность измерений и снизить временные требования (10-8 –
10-7 с) к средствам диагностики.
135
Электровзрыв
проводников
и
металлических
фольг,
вызываемый
пропускаемым через них импульсным током 50 – 200 кА, является
традиционным
направлением
исследований
теплофизических
свойств
тугоплавких веществ в области конденсированного состояния при характерной
плотности энергии порядка 10 кДж см-3. В последнее время этот диапазон был
расширен до 20 – 30 кДж см-3, с выходом в сильнозакритические состояния
металлов, что в соответствии с предложением Ландау и Зельдовича позволяет
изучать переход металл-диэлектрик при непрерывном сверхкритическом
расширении плазмы металлов.
Применение химических ВВ для получения интенсивных импульсных
токов и магнитных полей основано на взрывном сжатии исходного магнитного
потока проводящими металлическими лайнерами, ускоренными продуктами
детонации конденсированных ВВ до скоростей несколько километров в
секунду. Именно таким образом получены рекордно высокие в земных
условиях значения электрического тока около 300 МА и магнитной индукции
около 29 МГс. В последнем случае плотность энергии магнитного поля
составляет 3 ×106 Дж см-3, что позволяет провести интересные физические
эксперименты в мегагауссовых магнитных полях: квазиизоэнтропическое
сжатие веществ, изучение магнетосопротивления, магнитооптических явлений,
эффекта Шубникова – де Газа и многих других явлений при высокой плотности
энергии.
Мощные
лазеры
в
физике
высоких
плотностей
энергии.
Стремительное развитие лазерной техники привело к переходу существующих
и строящихся лазерных комплексов и петаваттный-зетаваттный диапазон
мощности, что позволило получить широкий спектр значений плотности
мощности вплоть до предельно высоких на сегодня величин: q ≈ 1022 − 1023 Вт см2
, которые, несомненно, будут увеличиваться и далее. Воздействие такой
гигантской мощности на мишени приводит к разнообразным физическим
эффектом
в
горячей
самофокусировка
и
плазме,
таки
филаментация
136
как
многофотонная
различной
природы,
ионизация,
гигантских
электрических и магнитных полей, ускорение электронов и ионов до
релятивистских скоростей, вызванные этими быстрыми частицы ядерные
реакции, релятивистское «просветление» плазмы, нелинейная модуляция и
множественная
генерация
гармоник,
пондеромоторные
эффекты
в
гидродинамик и многое другое, что является сегодня объектом интенсивных
исследований.
Некоторые из этих явлений мы кратко рассмотрим в этом разделе.
Последовательное возрастание плотности мощности лазерного излучения
будет приводить к качественно новым явлениям, таким как спонтанное
рождение электрон-позитронных пар («вскипание вакуума» и потеря им
прозрачности), возникновение микроскопических количеств релятивистского
вещества, генерация релятивистских ударных волн и потоков плазмы,
солитонов, струй и γ -вспышек, подобных астрофизическим, а в перспективе – к
реализации условий для проявления квантовой гравитации. На этом новом
уровне интенсивности воздействия возможно появление иных схем УТС,
ядерных реакций и новых способов получения короткоживущих изотопов, а
также необычных схем эффективных компактных ускорителей.
Современный»ренессанс» в лазерной физике связан с изобретением в
1985 г. Метода чирпирования оптических импульсов, который открыл дорогу
мультитераваттным, петаваттным или даже эксаваттным лазерным системам,
позволив довести максимальное значение плотности мощности на мишени до
q ≈ 1022 Вт см
-2
при теоретическом пределе 3 ×1023 Вт см-2. В этом методе
изначально короткий лазерный импульс растягивается во времени, после чего
обладающей меньшей плотностью мощности импульс усиливается лазерноактивной средой, а затем сжимается.
Метод чирпирования позволил на 5 – 6 порядков повысить изначальную
интенсивность лазерного излучения, радикально снизить размер и стоимость
лазеров, ставших «настольными» устройствами, доступными даже для
университетских лабораторий. Кроме того, эти лазеры хорошо сочетаются с
крупными
установками
для
лазерного
137
УТС
(«быстрый»
поджиг)
и
ускорителями заряженных частиц (см. раздел 5.1, рис. 11,б) и дают
возможность
регистрировать
такие
нелинейные
эффекты
квантовой
электродинамики, как рождение пар из вакуума, а также получать интенсивное
оптическое излучение для исследования фотон-фотонных столкновений.
Появление этой лазерной техники высоких мощностей позволило значительно
продвинуться по шкале интенсивности и перейти в лабораторных условиях от
изучения атомных и твердотельных процессов к изучению горячей плазмы,
лазерной ядерной физике, физике высоких энергий, релятивистской физике и в
будущем, возможно, к космологии за пределами Стандартной модели.
Воздействие лазерного излучения с высокой мошностью приводит к
новым сильнонелинейным физическим явлениям в релятивистской плазме с
давлением гигабарного диапазона, напряжённостью электрического поля в
несколько теравольт на 1 см и гигагауссовой индукцией магнитного поля.
К хорошо известным явлениям самофокусировки, стимулированного
рассеяния и укручения фронтов добавляются новые явления – филаментация
света, релятивистские и пондеромоторные эффекты в гидродинамике, а также
развитая
генерация
нетермических
гигавольтных
электронов
и
мультимегавольных ионов в лазерной плазме, приводящих к ядерным
реакциям. При этом речь о весьма короткой – фемтосекундной – длительности
светового импульса, в течение которой электромагнитная волна совершает
всего несколько колебаний.
Начиная с q > 3, 4 ×1018 Вт см-2, напряжённость электрического поля
E = 4π q / c в лазерной волне становится сравнимой с напряжённостью
электрического поля ядра Ea = e / aB2 ≈ 5 ×109 В см-1 на первой боровской орбите
водорода. Для ионизации энергетического уровня U i необходима
4 × 109 U i4
интенсивность q =
[Вт см-2], где Z-зарядовое число.
2
Z
В этих условиях лазерное излучение ионизирует среду, которая
превращается в разогретую плазму. В данной области параметров проводятся
интересные опыты по генерации мощных ударных волн лазерным излучением
и генерации быстрых заряженных частиц в лазерной плазме. Приблизительно
138
при этих значениях плотности мощности, q > 1017 Вт см-2, в зоне поглощения
происходит генерация нетепловых электронов и ионов с энергией в
ультрамегаэлектронвольтном диапазоне. Начиная с q ≈ 1018 Вт см-2,
пондеромоторное давление света становится сравнимым с гидродинамическим
давлением плазмы.
Релятивистские
эффекты
будут
существенными
в
случае,
когда
кинетическая энергия электрона, разогнанного в поле световой волны, станет
порядка me c 2 (где me - масса покоя электрона), что приводит к условию
q λ ≈ 1,37 × 10 Вт мкм2 см-2, при λ = 1 мкм это даёт q ≈ 10 Вт см-2.
2
18
18
рв
рв
Таким
образом,
впервые
в
земных
условиях
были
получены
микроскопические количества вещества с релятивистскими энергиями при
эффективной массе электрона порядка 100 me .
Движение протонов станет релятивистским при интенсивности
М 
 q ≈ 5 × 10
q = 
Вт см-2, которая, надо надеяться, скоро будет
m 
реализована в экспериментах.
Переход к «релятивистской» интенсивности лазерного излучения уже
2
р
рр
24
рв
e
сейчас принёс ряд интересных физических результатов – это генерация
рентгеновского
излучения
и
гамма-излучения,
самофокусировка,
генерация
высших
гармоник,
релятивистская
ускорение
электронов,
протонов и ионов, появление электронных вихрей и солитонов, генерация
ультрамегагауссовых магнитных полей, а также проявления квантовой
электродинамики.
В
условиях
релятивистское
высокой
просветление
интенсивности
плазмы,
излучения
связанное
с
происходит
релятивистским
возрастанием массы электрона и соответствующим уменьшением критической
плазменной частоты ω p = 4π e2 ne / γ m (где γ - релятивистский фактор Лоренца),
с модификацией плотности плазмы пондеромоторными силами, а также с
частотной трансформацией самого лазерного импульса.
139
Наряду с эффектом релятивистского просветления, большой интерес
представляет эффект релятивистской самофокусировки лазерного излучения,
вызванный изменением диэлектрической проницаемости плазмы вследствие
релятивистского возрастания массы электрона в поперечном направлении
относительно
направления
распространения
луча
и
пространственного
перераспределения плотности плазмы под действием пондеромоторных сил.
 ω
mc ω
Критическая мощность Wc для самофокусировки:W =
≈ 17
eω
ω
5
2
e
c
2
2
ре
ре
2

 [ГВт].


Похожие интересные эффекты релятивистской природы связаны с
сильнонелинейными плазменными волнами, которые образуют вакуумные
каналы и «пузыри» в плазме, создают плазменные линзы для заряженных
частиц и вызывают генерацию мощного электромагнитного излучения в
диапазоне частот от терагерцевых до рентгеновских, а также возбуждают
бесстолкновительные ударные волны.
Распространение
в плазме
двух
коллинеарных
лазерных
пучков
релятивистской интенсивностью приводит к генерации мощных кильватерных
электромагнитных
волн,
которые
позволяют
ускорять
электроны
при
ускорительных градиентах до 100 МВ см-1, в несколько тысяч раз
превышающих обычные ускорительные градиенты (около 5 кВ см-1). При этом
генерируются гигантские продольные электрические поля: при интенсивности
q ≈ 1018 Вт см-2 напряжённость электрического поля составляет примерно
2 ТВ м-1, а при q ≈ 1023 Вт см-2 достигает порядка 0,1 ПВ м-1. Такие темпы
ускорения приводят к тому, что ускоритель частиц SLAC, рассчитанный на
энергию 50 ГэВ, в лазерном исполнении имел бы длину всего 100 мкм. Сейчас
проведены успешные эксперименты по лазерному ускорению электронов до
энергий
1018–1019
10
Вт
–
170
см-2.
МэВ
Можно
при
интенсивности
надеяться,
что
лазерного
появление
излучения
в
будущем
мультипетаваттных и эксаваттных лазерных лазеров приведёт к реализации
темпов ускорения вплоть до значений порядка нескольких ТэВ на 1 см при
полной кинетической энергии в гигаэлектронвольтном диапазоне.
140
Эффекты квантовой оптики проявляются, начиная с q ≈ 1, 4 ×1026 Вт см-2,
кинетическая энергия электрона при этом составляет около 50 ТэВ. При
q ≈ 1021 Вт см-2 давление света порядка 300 Гбар, что близко к давлению в
центре Солнца и много больше давления в ближней зоне ядерного взрыва.
Высокоинтенсивные
лазеры
позволяют
получить
сверхвысокие
ускорения ae ≈ 1030 g , близкие к ускорениям в области шварцшильдовского
радиуса чёрной дыры (см. раздел 6.2). Это открывает принципиальную
возможность моделировать условия в окрестностях чёрных дыр и кротовых нор
и проверять предсказания общей теории относительности.
Так, при q ≈ 1026 Вт см-2 ускорение электрона составит a = 1027 g , что
близко к условиям на «горизонте событий» чёрной дыры. Если будут
реализованы такие высокие ускорения, то, по-видимому, появится возможность
изучать специфическое электромагнитное излучение Унру, которое аналогично
излучению Хокинга, вызванному гравитационными эффектами.
При
более
высокой
плотности
мощности
лазерного
излучения,
q ≈ 3×1029 Вт см-2, появляется возможность проверки предсказаний
современных
теорий
квантовой
гравитации,
относительно
изменения
размерности пространства-времени на малых расстояниях rn. Согласно работе
[142] r ≈ 10
n
32 / n −17
см, где размерность n > 4. В этом случае электронная волновая
функция отразит другой закон гравитации при n ≤ 3 на расстояниях 10-6 см.
141
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Скоков В.Н., Селезнев В.Д. Введение в физику неравновесных процессов.
Екатеринбург. УГТУ-УПИ, 2008. 233с.
2. Мелких А.В., Повзнер А.А. Физика нелинейных явлений. Учебное
пособие. Екатеринбург. УГТУ-УПИ, 2006. 194с.
3. Саранин В.А. Равновесие жидкости и его устойчивость. М.: Институт
компьютерных исследований, 2002. 144с.
4. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М.: Наука, 2001. 244с.
5. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику, М:. Наука, 1990,
269 с.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.VI Гидродинамика.
М.: Физматлит, 2001. 736с.
7. Валуева В.П., Свиридов В.Г. Введение в механику жидкости. М.: Изд-во
МЭИ, 2001. 212с.
8. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от
маятника до турбулентности и хаоса. М., 1988.
9. Кулаков А.В., Румянцев А.А. Введение в физику нелинейных процессов.
1988. 160 с.
142
Учебное издание
Алексей Вениаминович Мелких
Александр Александрович Повзнер
ФИЗИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ
Редактор Н.П. Кубыщенко
Компьютерная верстка Н.Н. Анохиной
____________________________________________________________________
Подписано в печать
05.10.09
Формат 60× 84 1/16
Бумага типографская
Плоская печать
Усл.печ.л. 7,73
Уч.-изд. л. 6,5
Тираж 100
Заказ
____________________________________________________________________
Редакционно-издательский отдел УГТУ – УПИ
620002, Екатеринбург, Мира, 19
rio@mail.ustu.ru
Ризография НИЧ УГТУ – УПИ
620002, Екатеринбург, Мира, 19
143