Теория поля

Теория поля
1. Скалярное и векторное поля
В некоторых профилирующих инженерных дисциплинах (гидромеханика,
теплотехника, радиотехника и электротехника) широко используются элементы
математической теории поля. Само понятие поля заимствовано из механики и
физики. Его смысл заключается в том, что каждой точке пространства или некоторой его области отнесено значение некоторой величины. Поле может быть
скалярным или векторным в зависимости от характера рассматриваемой величины. Например, при исследовании неравномерно нагретого твердого тела каждой его точке отнесено значение скалярной величины – температуры и таким
образом определено скалярное поле температур. Рассмотрение потока жидкости или газа приводит к векторному полю скоростей частиц жидкости. Другими
примерами векторных полей является электрическое поле точечного заряда,
гравитационное поле, поле магнитной напряженности и так далее.
При математическом описании поле величины u определяется функцией
переменных x , y и z :
u
f ( x, y , z )
u
f ( x, y, z )
(скалярное поле, числовая функция),
P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
(векторное поле).
В случае зависимости от двух переменных поле называют плоским. Понятие нестационарного поля предполагает наличие дополнительной переменной – времени t :
u
f ( x, y , z , t ) .
При изучении полей базовое значение имеет теория функций нескольких
переменных. Рассмотрим скалярное поле, заданное функцией u
f ( x, y , z ) .
Наглядное представление скалярного поля получается с помощью поверхностей уровня, в точках которых величина u принимает постоянное значение и
которые имеют уравнения f ( x, y, z )
поля является вектор градиента
279
C
const . Важной характеристикой
u
i
x
gradu
u
j
y
u
k.
z
(6.1)
Как известно вектор gradu направлен по нормали к поверхности уровня
в сторону наибольшего возрастания функции f ( x, y, z ) . Через градиент выражается
скорость
изменения
величины
u
в
направлении
вектора
e(cos ,cos ,cos ) по формуле
u
e
u
cos
x
u
cos
y
u
cos
z
( gradu, e) .
(6.2)
Наглядное представление о векторном поле u дают векторные линии, которыми называют кривые, в точках которых касательные направлены в сторону
вектора u . Если r (t ) – радиус-вектор линии, то вектор r (t ) направлен по касательной к ней. Тогда вектор d r
r (t )dt
(dx, dy, dz ) также направлен по
касательной к векторной линии. Это значит (по определению векторной линии),
что вектора d r и u ( P, Q, R) параллельны и поэтому будет
dx
P
dy
Q
dz
.
R
(6.3)
Равенства (6.3) представляют собой систему дифференциальных уравнений и дают возможность определить векторные линии поля.
Пример. Скалярное поле u
x
y 2 имеет gradu
векторного поля градиента из соотношений (6.3) получим
dx
1
откуда
dz
0
или
Z
C1
dy
2y
dz
,
0
const ;
280
i 2 y j 0 k . Для
из уравнения dx
1
ln y C2 . Таким образом векторное поле
2
dy
находим x
2y
gradu имеет векторные линии, которые получаются при пересечении цилинд1
ln y C2 плоскостями Z
2
рических поверхностей x
C1 .
2. Поток векторного поля
Пусть в некоторой части пространства происходит течение несжимаемой
жидкости со скоростью v . Тем самым задаётся векторное поле v( P, Q, R) скоростей жидкости. Поставим задачу по определению объёма жидкости П , протекающей через поверхность S в единицу времени.
В простейшем случае течения с постоянной скоростью v , когда поверхность S представляет собой часть плоскости, решение данной задачи получается следующим образом. Через плоскость S пройдут только те частицы, которые отстоят от неё на расстояние не более чем v cos
(см. рис.6.1.). Поэтому
искомый объём жидкости будет равен объёму параллелепипеда, показанного на
рисунке.
ni
v
vi
n
Рис. 6.1.
Рис. 6.2.
Находим
П
v cos
S
(v, n ) S ,
где n вектор единичной длины нормальный к поверхности S .
281
В общем случае векторного поля v
P( x, y, z )i Q( x, y, z) j R( x, y, z )k и
произвольной кусочно-гладкой поверхности S разбиваем её на малые участки
Si . При малых размерах участки можно считать плоскими, а скорость течения
жидкости – постоянной и равной v i (см. рис. 6.2.). Таким образом, малый участок поверхности подходит под предыдущий случай и объём жидкости, протекающий через него, определим по формуле
Пi
(vi , ni )
Si .
Складывая объёмы по всем участкам, в пределе получим объём жидкости, протекающей в единицу времени через всю поверхность S
П
n
Пi
lim
n
Si
n
(v i , n i )
lim
n
0 i 1
Si
Si
0 i 1
(v, n) dS .
(6.4)
S
Применительно к векторному полю v произвольной природы интеграл
(v, n) dS называют потоком векторного поля. Поток будет величиной скаS
лярной. Его наглядный смысл заключается в том, что поток пропорционален
числу векторных линий, проходящих через поверхность S .
Поток выражается через интеграл, который называют поверхностным интегралом второго рода. Вычисление данного интеграла сводится к двойному
интегрированию. Пусть поверхность S задана уравнением Z
( x, y )
и
D , где D – проекция поверхности S на плоскость ХОУ. В этом случае
нормаль
к
( v, n )
Z
P
x
поверхности
имеет
координаты
n
Z
,
x
Z
,1
y
и
Z
Q R . После подстановки в формулу (6.4) получим
y
П
D
где Z
x, y
Z
P
x
x, y .
282
Z
Q R dxdy ,
y
(6.5)
Примеры. 1. Требуется определить поток векторного поля
v ( x 3z ) i ( x 2 y z ) j (4 x
через часть плоскости x
y) k
y z - 2 0 , лежащую в первом октанте.
nВ
v1
Рис. 6.3.
Рис. 6.4.
Из уравнения плоскости находим:
Z
Z
x
2- x - y,
Z
y
1,
1,
n (1;1;1) .
Согласно формуле (6.5) запишем
П
x 3(2 x
y) x 2 y (2 x
y) 4 x
y dxdy
D
2
8 x 5 y 4 dxdy
D
2 x
dx
0
28
.
3
(8 x 5 y 4)dy
0
Расстановка пределов интегрирования произведена в соответствии с рисунком 6.3.
2. При вычислении потока векторного поля v
xi
y j zk через по-
верхность цилиндра, показанного на рис. 6.4, разбиваем интеграл в формуле
(6.4) на три части
П
(v, n) dS
S
(v, n) dS
Sб
(v, n) dS
SВ
283
(v, n) dS ,
SН
(6.6)
где Sб , S В , S H – соответственно боковая поверхность, верхнее и нижнее основание цилиндра. Так как n
1, то скалярное произведение v, n равно проекции
вектора v (радиус-вектор точек поверхности) на направление нормали. Имеем
v, n
R – для точек боковой поверхности,
v, n
H – верхнего основания,
v, n
O – нижнего основания цилиндра.
После подстановки в формулу (6.6) получим
П
R dS
H dS
Sб
SВ
O dS
R 2 RH
H
R2 .
SН
3. Дивергенция векторного поля
Рассмотрим поток векторного поля через замкнутую поверхность S . Для
определённости будем считать данное векторное поле, полем скоростей движущейся жидкости. Через часть поверхности S1 (см. рис. 6.5.) жидкость втекает, а
через поверхность S2 вытекает из объёма, заключённого внутри поверхности S .
Рис. 6.5
Если принять направление нормали наружу поверхности S , то для точек
поверхности S1 будет
1
2
и поэтому v1 , n1
284
0 ; в случае же поверхности
S2 имеем
2
2
и v 2 , n2
0 . Отсюда получаем правило знаков для потока
векторного поля:
П 0 , когда v, n
П
0 , при v, n
0 – (жидкость втекает),
0 – (жидкость вытекает).
Обозначим через П S , П S1 и П S2 потоки через поверхности S ,
S1 , S2 . Имеем П (S )
1) П S
П (S1 ) П (S2 ) . Возможны варианты:
0 (изнутри поверхности вытекает столько же жидкости
сколько и втекает в неё);
2) П S
0 (вытекает больше чем втекает);
3) П S
0 (втекает больше чем вытекает).
В случае варианта 2 говорят, что внутри поверхности S содержатся источники поля, а в варианте 3 – стоки поля. Векторное поле, в котором нет ни
источников, ни стоков и для которого П S
0 для любой замкнутой поверх-
ности S , называют соленоидальным.
Дадим количественную характеристику источникам векторного поля. С
этой целью выделим в нём малое тело K , ограниченное замкнутой поверхностью S и имеющей объём V . Найдём отношение потока через поверхность S к
величине объёма V :
1
V
(v, n)ds .
S
Это отношение характеризует среднюю плотность источников или стоков
в единице объёма. Его предел при V
M
0 , когда тело стягивается в точку
K называют дивергенцией векторного поля в точке М
(v, n)ds
div( M )
lim
V 0
K M
285
S
V
.
(6.7)
Таким образом, вводится понятие дивергенции, которое является количественной характеристикой источников и стоков векторного поля.
Установим для дивергенции более удобное выражение чем (6.7). Для этого воспользуемся формулой Остроградского - Гаусса
P
x
(v, n) dS
S
где v
K
Q
y
R
dxdydz ,
z
(6.8)
Pi Q j Rk , V – объём, ограниченный замкнутой поверхностью S . С
учетом формулы (6.8) получим
div( M )
1
0 V
M
P
x
lim
V
K
K
Q
y
R
dxdydz
z
P
x
Q
y
R
z
. (6.9)
M
Выражение (6.9) позволяет достаточно просто вычислить значение дивергенции, а затем по её знаку определить наличие источников или стоков в точках
поля:
div( M )
0 - в точке М нет ни источников, ни стоков,
div( M )
0 - имеется источник поля,
div( M ) 0 - присутствует сток.
4. Циркуляция и ротор векторного поля
Циркуляцией C векторного поля v
Pi Q j Rk по замкнутому кон-
туру L называют криволинейный интеграл
C
(v, ds)
L
Pdx Qdy Rdz .
(6.10)
L
Если v – вектор силы, то циркуляция равна работе этой силы по замкнутому контуру L . (см. раздел 2)
Пример. Определим циркуляцию векторного поля v
линии пересечения цилиндра x
2
y2
1 с плоскостью x
286
yi x j zk по
y z
0.
В цилиндрических координатах заданный контур имеет уравнения:
x cos , y sin , z
x
cos . Согласно формуле (6.10) на-
y sin
ходим
2
C
ydx xdy
zdz
L
sin
d (cos ) cos
d (sin )
0
2
(sin
cos ) d (sin
cos )
(cos 2
1) d
0
sin 2
2
2
2 .
0
Для криволинейного интеграла имеет место формула Стокса
C
Pdx Qdy Rdz
L
Q
x
S
R
y
Q
dydz
z
P
z
R
dzdx
x
P
dxdy,
y
(6.11)
в которой S – поверхность, краем которой является контур L .
Правая часть равенства (6.11) является потоком вектора
rotv
R
y
Q
i
z
P
z
R
j
x
Q
x
P
k.
y
(6.12)
Данный вектор называют ротором векторного поля v . Выражение для
rotv просто запомнить, если воспользоваться символической формулой
rotv
i
j
k
x
P
y
Q
z
R
.
(6.13)
Для того, чтобы выяснить физический смысл ротора, рассмотрим поле
скоростей v тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг некоторой оси.
Пусть r
xi
y j zk – радиус-вектор точки тела, w (wx , wy , wz ) . Тогда
287
v
w, r
i
j
k
wx
x
wy
y
wz
z
( wx y wy x) k
( wy z wz y ) i ( wx z wz x ) j
Pi Q j
Rk .
Из выражения (6.12) находим
rotv (wx
wx ) i (wy
wy ) j (wz
wz ) k
2w.
Таким образом, ротор поля скоростей v равен удвоенной угловой скорости вращения точки.
Векторное поле v называется потенциальным в некоторой области V ,
если в этой области rotv
0. Из определения ротора условия потенциальности
поля можно записать в виде
R
y
Q
;
z
P
z
R
;
x
Q
x
P
.
y
(6.14)
Отсюда следует, что координаты вектора v являются частными производными некоторой функции u
P
и таким образом v
u
;
x
u ( x, y , z )
u
;
y
Q
u
z
R
gradu.
Важное свойство потенциальных полей заключается в том, что в потенциальном поле циркуляция равна нулю по любому замкнутому контуру L . Это
свойство следует из формулы Стокса (6.11).
5. Оператор Гамильтона
Введём символический вектор
x
i
y
j
z
k , который называют
оператором Гамильтона. С помощью оператора Гамильтона рассмотренные ха-
288
рактеристики поля получают выражение в виде результатов действий над векторами:
grad f
f
divu
,u ,
rotu
,u .
(6.15)
В качестве примеров использования оператора Гамильтона установим
следующие соотношения:
1. rot grad f
, f
0 (векторное произведение параллельных век-
,u
0 (скалярное произведение параллельных век-
торов равно нулю);
2. divrotu
,
торов равно нулю);
3. dif grad f
2
f
x2
Оператор
2
f
y2
, f
2
f
z2
x
f
x
y
f
y
z
f
z
f.
называют оператором Лапласа. Данный оператор использу-
ется в математической физике.
289