О теории больших упругопластических деформаций материалов

Вестник ДВО РАН. 2006. № 4
Л.В.КОВТАНЮК, А.В.ШИТИКОВ
О теории больших
упругопластических деформаций
материалов при учете температурных
и реологических эффектов
Описаны главные принципиальные моменты в создании теории больших упругопластических деформаций,
основанной на разделении деформаций на обратимые и необратимые путем формулирования для последних
соответствующих дифференциальных уравнений изменения (переноса). Сформулированы следующие из опытных наблюдений гипотезы, позволяющие конкретизировать потоки и источники в уравнениях переноса. Обсуждаются возможности учета проявления теплофизических и вязких свойств материалов как на стадии
пластического течения, так и на предшествующей стадии. Указаны модельные краевые задачи, решения которых получены в рамках разрабатываемой теории.
On the theory of finite elastoplastic deformations of materials taking into account temperature and reological
effects. L.V.KOVTANYUK (Institute for Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok), A.V.SHITIKOV
(The Russian State Professional-Pedagogical University, Ekaterinburg).
Basic principal moments in creation of the theory of finite elastoplastic deformations on the basis of division of
deformations into convertible and irreversible components by way of formulation for the latter ones of corresponding
differential equations of change (carry) are described. The basic hypotheses based on experimental supervision, which
allow us to concretize streams and sources in the equations of carry, are formulated. Opportunities for registration of
display of thermal-physical and viscous properties of materials, both at the stage of plastic flow and at the preceding
stage, are discussed. Modeling boundary value problems, which solutions were obtained in the network of the elaborated
theory, are specified.
Каждое реальное тело при воздействии на него приобретает обратимые и/или необратимые деформации. Первые принято называть упругими, вторые – пластическими. Если
нас интересуют прежде всего прочностные эксплуатационные свойства конструкции, следует позаботиться о недопустимости пластических деформаций. Если же определяющим расчетным интересом оказывается технологический процесс интенсивного формоизменения
(прокатка, штамповка и др.), то пренебрежимо малыми могут быть упругие деформации.
Таким образом, механику деформирования составляют два основных раздела: теория упругости и теория пластичности. Это наиболее развитые теории со своим специально разработанным математическим аппаратом и многочисленными инженерными приложениями. Однако есть эффекты, определяемые взаимовлиянием обратимого (упругого) и необратимого
(пластического) деформирования. Значение их для инженерной практики может оказаться
весомым. Например, остаточные напряжения, возникающие в изделиях после интенсивной
термомеханической обработки металлов, могут существенно снижать эксплуатационные характеристики металлоконструкций. Технологическая практика имеет в своем распоряжении
КОВТАНЮК Лариса Валентиновна – кандидат физико-математических наук (Институт автоматики и процессов
управления ДВО РАН, Владивосток), ШИТИКОВ Александр Васильевич – кандидат физико-математических
наук (Российский государственный профессионально-педагогический университет, Екатеринбург).
87
ряд приемов (отпуск, отжиг, закаливание, ковка и др.) снижения уровня остаточных напряжений, но в настоящее время совершенствование режимов этих процессов основывается главным образом на натурных экспериментах. Поэтому необходимы средства математического
моделирования как для расчета оптимальных параметров процесса интенсивного деформирования, так и для понимания его качественных особенностей. Таким образом, развитие теории упругопластичности диктуется не только внутренней логикой развития механики, но и
насущными потребностями инженерной практики.
Классическая модель упругопластического деформирования (тело Прандтля–Рейса)
основана на гипотезе о малости деформаций. Данная гипотеза вполне уместна в прочностных расчетах конструкций, эксплуатируемых в условиях допуска малых необратимых деформаций, что убедительно было продемонстрировано Л.А.Галиным [9]. Но уже в задачах,
моделирующих технологии обработки металлов давлением, эта гипотеза неприменима, так
как деформации, особенно необратимые, здесь считать малыми нельзя. Создание же математической модели больших упругопластических деформаций оказалось совсем непростой задачей. Связано это с решением двух, по своему существу кинематических, проблем:
1) каким способом разделить опытно измеряемые деформации материала на обратимую и
необратимую составляющие, не поддающиеся экспериментальным измерениям; 2) что следует назвать скоростями изменения необратимых деформаций.
Разрешение этих вопросов зависит от произвола исследователя, конструирующего математическую модель. Поэтому-то и представляется невозможным окончательное решение одной из основных фундаментальных проблем современной механики – создание математической модели больших упругопластических деформаций. Заметим, что при использовании гипотезы о малости деформаций (тело Прандтля–Рейса) отмеченные проблемные
вопросы не возникают.
Первую попытку составить математическую модель больших упругопластических деформаций предпринял Л.И.Седов [19], предложивший в векторе перемещений выделить
обратимую и необратимую составляющие. На математическую некорректность такого подхода было указано сразу же после выхода книги из печати (1962 г.). Поэтому временем
начала разрешения рассматриваемой фундаментальной проблемы механики принято считать 1969 г., когда появилась публикация Е.Ли [21]. Основополагающей в ней явилась гипотеза о взаимнооднозначном соответствии каждому деформированному состоянию единственного разгрузочного состояния. На первый взгляд это предложение вполне разумно;
оно продолжает непосредственно в область больших деформаций основные положения
модели Прандтля–Рейса и, следовательно, хорошо укладывается в рамки сложившихся воззрений. Но представим, что тело было интенсивно и неоднородно деформировано, после
чего нагрузка снята. Это разгрузочное состояние? Простейший опыт говорит, что нет. Если
это «разгруженное» тело разделить на две части, то, оказывается, их невозможно сложить,
чтобы снова получить исходное целое. Что же тогда является разгрузочным состоянием?
А.Д.Чернышов [20] предлагает для каждой частицы тела считать таковым предельное состояние при неограниченном измельчении разгруженного тела. Несмотря на возражения
оппонентов, предложение Е.Ли нашло многочисленных последователей [15, 16, 22 и др.].
Следует заметить, что выше обсуждался лишь подход в построении теории пластичности,
называемый теорией течения. Данная математическая модель неупругого деформирования
во многом определила прогресс в XX в. не только теории пластичности, но и механики в
целом. Другой подход, называемый либо теорией упругопластических процессов А.А.Ильюшина, либо деформационной теорией пластичности [17], принципиально отличен от теории течения и здесь не рассматривается.
Основы теории, в которой используется подход, изначально отличный от гипотезы
разгрузочного состояния Е.Ли, были предложены учеными-дальневосточниками Г.И.Быковцевым, В.П.Мясниковым и А.А.Бурениным. Авторам данной статьи посчастливилось
88
участвовать в обсуждении принципиальных предложений этих лидеров механики, проделать некоторые необходимые вычисления [4, 5, 7, 12], решить в рамках созданной модели ряд краевых задач теории [1, 3, 6, 11, 13, 14], провести обобщения на случай учета
температурных эффектов [12]. В настоящей статье изложим наше современное видение
разрабатываемой математической модели и укажем возможность учета в ее рамках вязких свойств материалов.
1. Первые следствия формализма неравновесной термодинамики. Первое начало термодинамики (закон сохранения энергии) предстает для сплошной деформируемой теплопроводной среды в форме уравнения баланса плотности распределения внутренней энергии
ρ de / dt + q j , j = σ ij ε ij .
(1.1)
В (1.1) ρ – плотность среды, e – массовая плотность распределения внутренней энергии, q j , σ ij , ε ij – компоненты вектора теплового потока, тензора напряжений Эйлера–Коши
и тензора скоростей деформаций соответственно. Для компонент последнего имеем
ε ij = 1 / 2 (vi , j + v j ,i ) ,
vi = ∂ui / ∂t + ui , j v j ,
ui , j = ∂ui / ∂x j ,
(1.2)
где ui, νi – компоненты векторов перемещений и скорости в рассматриваемой прямоугольной
декартовой системе координат x1, x2, x3. Согласно (1.1) и (1.2) выбран Эйлеров способ описания
движения деформируемой среды и xi – пространственные координаты. При рассмотрении квазистатических процессов деформирования в качестве термоупругого потенциала удобнее выбирать не плотность распределения внутренней энергии e (x1, x2, x3, t), а плотность распределения свободной энергии ψ = ψ ( x1 ,x2 ,x3 ,t ) = e ( x1 ,x2 ,x3 ,t ) − T ( x1 ,x2 ,x3 ,t ) s ( x1 ,x2 ,x3 ,t ) . Здесь
T – абсолютная температура, s – массовая плотность распределения энтропии. Термоупругий потенциал ψ задает консервативную составляющую механизма деформирования, диссипативная же составляющая определяется особо уравнением баланса энтропии, которое
является следствием (1.1). Считаем, что ψ = ψ (T ,eij ) . При этом тензор обратимых деформаций eij обязан определяться при записи для него уравнения изменения (переноса)
Deij / Dt = χ ij + Г ijk ,k ,
(1.3)
где χ ij – источник обратимых деформаций, Г ijk – их поток, символ D / Dt обозначает
объективную производную тензора по времени в смысле Коттера–Ривлина. Для необратимых деформаций pij следует постулировать аналог (1.3)
Dpij / Dt = κ ij + Bijk ,k .
(1.4)
Определить обратимые и необратимые деформации означает указать конкретный вид
как тензоров источников χ ij и κ ij , так и тензоров потоков Г ijk и Bijk . Известно лишь, что
тензоры eij и pij каким-то способом составляют тензор полных деформаций Альманси
dij , для которого
Dd ij / Dt = dd ij / dt + d ik vk , j + vk ,i d kj = ε ij .
(1.5)
Заметим, что составляющие eij и pij тензора dij , компоненты которого измеримы в
опытах, экспериментально не определяются. Они являются нашим произволом и всецело
зависят от него. Введение их диктуется только удобством в осмыслении столь сложного
89
явления, как необратимое деформирование, поэтому и определение их обязано быть связанным с дополнительными гипотетическими соображениями, разделяющими деформации на обратимую и необратимую составляющие.
2. Кинематика больших упругопластических деформаций. Заметим, что если тело движется как жесткое целое (без деформирования), то в (1.5) ε ij ≡ 0 и
ddij / dt = dik w jk + wik d kj ,
wik = − wki = 1 / 2 (vi ,k − vk ,i ) = э ijk w j .
(2.1)
Здесь э ijk – компоненты кососимметричного тензора, составленного из символов Леви–
Чивита, wj – компоненты угловой скорости вращения недеформируемого тела. Считаем,
что если компоненты тензора меняются по закону (2.1), то тензор неизменен. При задании
движения среды в переменных Эйлера ai = ai ( x1 ,x2 ,x3 ,t ) , где ai – материальные координаты Лагранжа. Пусть
ai , j = Yik (δ kj − mkj ) ,
gij = am ,i am , j = (δ ik − mik ) (δ ks − 2 pks ) (δ sj − msj ) .
(2.2)
Соотношения (2.2) вводят в рассмотрение новые тензоры mij , pij , Yij , но этими соотношениями они однозначно не определены. Для тензоров mij и pij следуют уравнения их
изменения
dmij / dt = vi , j − bij − mik vk , j + bik mkj ,
dpij / dt = 1 / 2 (bij + b ji ) − pik bkj − bki pkj ,
bij = −Yik−1 dYkj / dt.
(2.3)
Дальнейшая конкретизация тензоров mij и pij связана с требованием их симметрии.
Таким способом из (2.3) следует тензорное уравнение для bij [4, 5, 7, 12]. Оказалось, такое
уравнение имеет решение
bij = rij + (δ ik − mik ) tkj ,
rij = wij + K ij (ε ij ,mij ) ,
K ij = − K ji .
(2.4)
В (2.4) tij – произвольный симметричный тензор; конкретное выражение для нелинейной составляющей K ij кососимметричного тензора вращения rij здесь приводить не будем, оно имеется в [4, 5, 7, 12]. Важно, что при tij ≡ 0 из (2.3) следует, что компоненты
тензора pij изменяются так же, как если бы тело вращалось без деформаций. Естественно такой процесс отождествить с разгрузкой среды, а тензор pij считать тензором
необратимых деформаций. Тогда обратимое деформирование естественно связывается с
изменением тензора mij . Закон сохранения энергии позволяет указать связь напряжений
с обратимыми деформациями (формула Мурнагана) и получить уравнение баланса энтропии как в случае обратимого деформирования и разгрузки, так и для случая накопления необратимых деформаций. При таком подходе, так же как и в теории Прандтля–Рейса, напряжения в среде полностью определяются только обратимыми деформациями, а
результат разгрузки не зависит от его пути в пространстве напряжений. Упругие деформации вычисляются вычитанием из mij теплового расширения: eij = mij − αθδ ij
90
( θ = ( T − T0 )T0−1 ; T0 – комнатная температура). Дифференциальные уравнения (2.3) вместе с (2.4) позволяют установить термодинамически корректные и конкретные значения
источников и потоков в (1.3) и (1.4). Приведем окончательный вид уравнений изменения
тензоров pij и mij .
dpij / dt = ε ijp − pis rsj − pis ε sjp − rsi psj − ε sip psj ,
dmij / dt = ε ij − ε ijp + wij − rij − mik ε kj − mik wkj + rik mkj + ε ikp mkj ,
(2.5)
dij = mij + pij − 1 / 2mik mkj − mik pkj − pik mkj + mik pkm mmj .
При равенстве нулю необратимых деформаций полные равны обратимым, тогда тензором обратимых деформаций следует назвать тензор mij − 1 / 2mik mkj . Заметим, что на таком
пути не возникает проблемы «выбора» объективной производной в определении скоростей
пластических течений, так как первое равенство из (2.5) как раз и связывает pij с ε ijp .
3. Конкретизация моделей. Для окончательной конкретизации модели необходимо указать консервативный механизм деформирования, т.е. конкретизировать зависимость
ψ = ψ (T ,eij ) и диссипативный механизм деформирования, т.е. задать пластический потенциал. Напряжения связываются с обратимыми деформациями формулой Мурнагана,
которая следует из (1.1) и в которой ψ (T ,eij ) играет роль потенциала напряжений [12].
Из (1.1) также следует [12] уравнение баланса энтропии, источником которой выступает
диссипативная функция. Возможно построение модели и классическим способом. Действительно, второе начало термодинамики выполнимо, принимая условия принципа максимума Мизеса
(σ
ij
− σ ij∗ ) ε ijp ≥ 0,
(3.1)
где σ ij∗ – статически допустимое напряжение. Полагаем, что существует поверхность нагружения
f ( σ ij , ε ijp , ξ i ,T ) = 0.
(3.2)
Тогда из (3.1) следует ассоциированный закон пластического течения
(
)
ε ijp = λ∂f / ∂σ ij , λ ε ijp , p ij , ξ i > 0, ξi = Aijξ j .
(3.3)
В простейшем случае с целью учета вязких свойств материала при его пластическом
течении можно принять обобщение поверхности нагружения Мизеса
(τ
ij
)(
)
− ηε ′ij p τ ji − ηε ′jip = 8 / 3k 2 ,
ε ′ij p = ε ijp − 1/ 3ε kkp δ ij .
τ ij = σ ij − 1/ 3σ kk δ ij ,
(3.4)
Постоянная η задает вязкие свойства материала и называется коэффициентом вязкости
пластического течения. При построении теории несущей способности оболочек вращения
широкое распространение получили кусочно-линейные условия пластичности, что связано со значительным упрощением основных соотношений. Если взять условие Треска, то
при вязкопластическом течении в качестве условия пластичности можно принять одну из
следующих комбинаций [8, 10]
91
max σ i − σ j = 2k + 2η max ε kp − ε sp ,
max σ i − σ j = 2k + 2η ε kp ,
(σ
i
− ηε ip ) − (σ j − ηε jp ) = k ,
(3.5)
(3.6)
(3.7)
где σi, ε kp – главные значения тензоров напряжений и скоростей пластических деформаций. Соотношения (3.5) и (3.6) построены по аналогии с теорией изотропного упрочняющегося пластического тела, (3.7) представляет собой видоизмененную теорию трансляционного упрочнения [18].
Для того чтобы учесть вязкость на стадии деформирования, когда пластические свойства еще не проявляются, в простейшем случае для несжимаемой среды можно принять
τ ij + ξ1 Dτ ij / Dt = 2 µ qij + 2ξ 2 ε ij .
(3.8)
В (3.8) µ , ξ1 , ξ 2 – постоянные материала, q ij = d ij − 1/ 3d kk δ ij , D / Dt – оператор про-
изводной Яумана ( Dτ ij / Dt = dτ ij / dt − wik τ kj + τ ik wkj ). Для областей с накопленными необратимыми деформациями зависимость (3.8) перепишется в форме
τ ij + ξ1 Dτ ij / Dt = 2µ lij + 2ξ 2ε ij ,
lij = eij − 1/ 2eis esj − 1/ 3ekk δ ij + 1/ 6esk eksδ ij .
(3.9)
Зависимости (3.8) являются предельными при стремлении к нулю необратимых деформаций для соотношений (3.9). Последние следует использовать в расчетах не только областей необратимого деформирования, но и областей разгрузки.
В рамках данной математической модели больших упругопластических деформаций
была рассмотрена проблема расчета накопленных деформаций в окрестности микронеоднородности материала и вычисления уровня и распределения остаточных напряжений.
Оказалось, что возможен эффект возникновения повторного пластического течения при
продолжающейся общей разгрузке тела [2]. При идеальном характере пластического течения наблюдается эффект «приспособляемости» дефекта сплошности к эксплуатационным
нагрузкам по типу «нагрузка–разгрузка» [6], так что размеры дефекта, уровень и распределение остаточных напряжений оказываются одинаковыми после каждого такого цикла.
Для целей математического моделирования технологического способа обработки материалов и изготовления профилей, называемого волочением, была поставлена и решена аналитически краевая задача квазистатического деформирования упруговязкопластического
материала, допускающего большие деформации, при продавливании его сквозь жесткую
цилиндрическую матрицу [13]. Также было получено точное решение краевой задачи теории больших упруговязкопластических деформаций о продавливании упруговязкопластической пробки между жесткими коаксиальными цилиндрами [1].
С использованием зависимостей (3.8) и (3.9) было получено решение одномерной задачи о пластическом течении несжимаемого материала в окрестности длинной трещины
и последующей его разгрузке при учете вязких свойств материала на стадии деформирования, предваряющего пластическое течение [14]. Основное внимание уделялось расчету уровня и распределения остаточных напряжений, изменению геометрии дефекта. Отмечено, что, несмотря на принципиально отличный от случая идеальной пластичности
характер расчетов, модельный учет вязкости для исследуемого несжимаемого материала
не приводит к существенным различиям в закономерностях движения границ цилиндрических поверхностей и областей пластического течения, а также в итоговом распределении остаточных напряжений.
92
Полученные точные решения в рамках построенной модели больших упругопластических деформаций, предложенные вычислительные методы и практически важные результаты вычислений, предоставляющие возможность качественно сформулировать ответы на
вопросы технологической практики, позволяют говорить о создании на Дальнем Востоке
России теории, предназначенной для моделирования и оптимизации режимов таких технологических приемов обработки материалов, как штамповка, прокат, волочение и др., а также для моделирования особенностей упрочнения материалов изделий (ковка, закаливание,
отпуск и др.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Антиплоское квазистатическое движение упруговязкопластического материала между жесткими коаксиальными цилиндрическими поверхностями // Современные проблемы механики и
прикладной математики: сб. тр. междунар. школы-семинара. Ч. 1. Воронеж: Воронеж. гос. ун-т, 2005. С. 72–74.
2. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Возможность повторного пластического течения при общей
разгрузке упругопластической среды // Докл. АН. 2000. Т. 375, № 6. С. 767–769.
3. Буренин А.А., Гончарова М.В., Ковтанюк Л.В. О пластическом течении материала около сферического
концентратора напряжений при конечных обратимых и необратимых деформациях // Механика твердого тела.
1999. № 4. С. 150–156.
4. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк Л.В. Об одной простой модели для упругопластической среды
при конечных деформациях // Докл. АН. 1996. Т. 347, № 2. С. 199–201.
5. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В. Об одном варианте несжимаемого упругопластического тела, допускающего
большие деформации // Проблемы естествознания и производства. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1995. С. 5–9.
6. Буренин А.А., Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Формирование одномерного поля остаточных напряжений в
окрестности цилиндрического дефекта сплошности упругопластической среды // Прикл. математика и механика. М., 2003. Т. 67, вып. 2. С. 316–325.
7. Быковцев Г.И., Шитиков А.В. Конечные деформации упругопластических сред // Докл. АН СССР. 1990.
Т. 311, № 1. С. 59–62.
8. Быковцев Г.И., Семыкина Т.Д. О вязко-пластическом течении круглых пластин и оболочек вращения
// Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. № 4. С. 68–76.
9. Галин Л.А. Плоская упругопластическая задача // Прикл. математика и механика. 1946. Т. 10, вып. 3.
С. 367–386.
10. Знаменский В.А., Ивлев Д.Д. Об уравнениях вязко-пластического тела при кусочно-линейных потенциалах // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. № 6. С. 12–16.
11. Ковтанюк Л.В., Полоник М.В. Задача Ламе о равновесии толстостенной трубы, изготовленной из несжимаемого упругопластического материала // Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций: сб.
науч. тр.: к 60-летию со дня рождения Г.И.Быковцева. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 94–113.
12. Ковтанюк Л.В. Моделирование больших упругопластических деформаций в неизотермическом случае //
Дальневост. мат. журн. Владивосток, 2004. Т. 5, № 1. С. 107–117.
13. Ковтанюк Л.В. О продавливании упруговязкопластического материала через жесткую круговую цилиндрическую матрицу // Докл. АН. 2005. Т. 400, № 6. С. 764–767.
14. Ковтанюк Л.В., Мурашкин А.В. Остаточные напряжения при учете вязкоупругих свойств среды // Дальневост. школа-семинар им. акад. Е.В.Золотова: тез. докл. Владивосток, 2003. C. 116–117.
15. Кондауров В.И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями // Прикл.
математика и техн. физика. 1982. № 4. С. 133–139.
16. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наук.
думка, 1987. 232 с.
17. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы,
приложения. М.: Наука, 1982. 112 с.
18. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз, 1958. 136 с.
19. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М: Физматгиз, 1962. 284 с.
20. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Механика твердого тела. 2000. № 1. С. 109–128.
21. Lee E.H. Elastic-plastic deformations at finite strains // Trans ASME: J. Appl. Mech. 1969. Vol. 36, N 1. P. 1–6.
22. Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformations elastoplastisity // Int. J.
Solids and Structure. 1979. Vol. 15, N 2. P. 155–166.
93