ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 156. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА МЕТОДОМ ИСТЕЧЕНИЯ ИЗ КАПИЛЯРА.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 156.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА МЕТОДОМ ИСТЕЧЕНИЯ ИЗ КАПИЛЯРА.
Цель и содержание работы
Целью работы является изучение явления вязкости газов и одного из методов определения коэффициента вязкости газов. Содержание работы состоит в определении коэффициента динамической вязкости воздуха, а также вычисления длины свободного пробега молекул, коэффициента диффузии воздуха и числа Рейнольдса по полученным данным.
Краткая теория.
Вязкость (внутреннее трение) – свойство газов, жидкостей и твердых тел сопротивляться их течению, возникающему под действием внешних сил. Количественной характеристикой этого свойства является коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего трения).
Вязкость газов согласно молекулярно-кинетической теории объясняется следующим образом.
При направленном движении газа (например, в трубе) молекулы газа участвуют одновременно в двух движениях: хаотическом тепловом и направленном. Молекулы, оказавшиеся вблизи
стенки, сталкиваются со стенкой, теряют свою энергию и замедляются.
За счет теплового движения они пе-
r
P1
реходят в близлежащие слои газа и замед-
P2

v
ляют их. Вследствие этого скорости направленного движения молекул оказывается различными в разных точках поперечного сечения трубы (см. рис. 1.)
Рис. 1. Распределение скоростей
по сечению трубы.
При ламинарном течении поток газа движется как бы слоями, не перемешивающимися друг с другом, и в пределах слоя скорость направленного движения остается постоянной.
Для цилиндрической трубы круглого сечения на некотором расстоянии от конца трубы устанавливается стационарное распределение скоростей v по параболическому закону (вывод
формулы см. лит. [1]):
v
где
P 2
(R r 2 ) ,
4 l
(1)
P – перепад давления на концах трубы, l – длина трубы, R – ее радиус, r – радиаль-
ная координата (рис. 1),
– коэффициент динамической вязкости.
Физический смысл коэффициента динамической вязкости можно определить из закона
Ньютона для силы внутреннего трения:
F
dv
S,
dr
(2)
где F – модуль силы взаимодействия между двумя соседними слоями с площадью соприкосновения, S – величина
dv
, называемая градиентом скорости для одномерного случая,
dr
показывает изменение скорости течения на единице длины при переходе от слоя к слою в радиальном направлении (рис. 2). Из формулы (2) можно выразить коэффициент динамической
вязкости:
F
dv
S
dr
(измеряемый в Н·с/м2=Па·с), откуда следует, что коэффициент динамической вязкости численно равен силе взаимодействия между слоями газа, действующей на единицу площади их
соприкосновения при градиенте скорости, равном единице.
r

v
 dr 
v dv

F
S

F
0
Рис.2. Сила внутреннего трения.
Если перепад давления увеличивается, скорость течения растет, и движение газа из
ламинарного переходит в турбулентное, при котором скорости частиц изменяются беспорядочным образом, слои перемешиваются, образуются завихрения (рис. 3).
Рис. 3. Турбулентное движение.
Для оценки изменения характера движения газа (жидкости) используют безразмерную
величину, называемую числом Рейнольдса:
vd
Re
где
vd
,
(3)
– плотность среды, v – средняя скорость течения, d – характерный размер (для круг-
лой трубы – диаметр),
– коэффициент динамической вязкости,
– коэффициент ки-
нематической вязкости. При движении газа в круглой трубе течение является ламинарным,
если число Рейнольдса Re 1000 .
Если газ считать идеальным, то из молекулярно-кинетической теории можно получить
выражение для коэффициента динамической вязкости (лит. [1]):
1
3
Здесь:
vар
.
(4)
– средняя длина свободного пробега молекул, то есть среднее расстояние, которое
проходит молекула между двумя последовательными столкновениями с другой молекулой;
vар
8RT
– средняя арифметическая скорость теплового движения молекул, R – униM
версальная газовая постоянная, M – молярная масса газа, T – абсолютная температура газа.
При ламинарном течении газа по цилиндрической трубе круглого сечения поток газа,
называемый также расходом Q
dV
, то есть объем газа, протекающего через поперечное
dt
сечение трубы в единицу времени, равен, согласно формуле Пуазеля (вывод см. лит. [1]):
Q
dV
dt
R4 P
.
8 L
(5)
В данной работе в баллон объемом V0 заканчивается воздух, затем открывается кран,
и воздух из баллона вытекает через капилляр в атмосферу. При этом давление в баллоне
уменьшается, и перепад давления
P
P Pатм на концах капилляра также непрерывно убы-
вает. Таким образом, перепад давления зависит от времени t истечения воздуха из капилляра.
P
ln( P )
P0
ln( P0 )
Рис.4. Зависимость
t
P от t
Экспериментальная зависимость
Рис. 5. Логарифмическая
зависимость ln( P ) от t
t
P от t имеет вид, показанный на рис.4. Эту кри-
вую можно описать формулой вида:
P
где
P0 e
t
,
(6)
P0 – перепад давления в начальный момент времени (t
0) , а
– некоторая величина,
смысл которой будет описан ниже.
Логарифмируя (6), получим уравнение:
ln( P) ln( P0 )
t
,
(7)
из которого следует, что график зависимости ln( P ) от t – прямая линия (см. рис. 5.).
Выясним, что собой представляет величина
в формуле (6). По размерности – это
время, так как отношение в показателе степени должно быть безразмерной величиной. Если
t
, то отношение
разом,
P0 / P
e (e
2,72 – основание натуральных логарифмов). Таким об-
– это время, за которое начальный перепад давления
P0 убывает в е раз. Величину
называют временем релаксации.
Продифференцировав (6) по времени, найдем:
d( P )
dt
d
( P0e
dt
t
)
1
P0e
t
P
.
(8)
Чтобы вычислить коэффициент динамической вязкости из формулы (5) , нужно связать между собой расход Q
dP
dV
и
.
dt
dt
Истечение воздуха из баллона через капилляр можно рассматривать как процесс изотермического расширения газа с постоянной массой. Тогда согласно уравнению МенделееваКлайперона PV
const . Продифференцировав это уравнение по времени, получим:
P
dV
dP
V
dt
dt
0
или
dV
dt
Подставим в уравнение (9)
Pатм
const ),
V dP
.
P dt
d( P)
dV
из (5), и, учтя, что
dt
dt
(9)
d( P Pатм )
dt
dP
(так как
dt
dP
из (8), приняв что V V0 , так как объем капилляра много меньше объема
dt
баллона, а P
Pатм (при этом погрешность составит не более 20%).
Таким образом, получим выражение для расчета коэффициента динамической вязкости:
R 4 Pатм
.
8LV0
(10)
Приборы и принадлежности
М
Б
Кр
Ш2
Ш1
С
Т
Рис. 6
На рис. 6. показан общий вид установки, используемой в данной работе.
Здесь: Б:– баллон, в который закачивают воздух с помощью резиновой груши.
М – дифференциальный манометр, который измеряет не само давление P в баллоне, а разность (перепад) давлений в баллоне и окружающей среде Pатм , т.е. показывает
P
P Pатм ;
Кр – кран, открывающий доступ воздуха из баллона в капилляр; Ш1 – штуцер для подсоединения шланга с капилляром, Ш2 – штуцер для соединения баллона с манометром с помощью
дополнительного шланга; С – секундомер для измерения времени истечения воздуха из баллона, Т – мультиметр; с помощью которого можно измерить температуру.
Секундомер имеет многофункциональное применение, но в данной работе используется только для измерения времени. Секундомер показан на рис. 7.
Перед началом работы следует научиться работе с секундомером. Прежде всего, надо проверить, мигают или нет
mode
alt/set
date/up
буквы в верхней части секундомера. Если не мигают, нажать
левую кнопку «mode», и секундомер будет готов к работе.
Если буквы уже мигают, следует добиться нулевого отсчета
«0:00,00», нажав на среднюю кнопку «alt». После этого следует
Рис. 7. Секундомер
нажать правую кнопку «date», и секундомер начнет отсчитывать время. Для остановки отсчета повторно нажать на пра-
вую кнопку. Для временной остановки отсчета используется средняя кнопка «alt». При ее нажатии в процессе отсчета время фиксируется на экране, но сам отсчет продолжается. При повторном нажатии на эту кнопку текущие показания времени снова появятся на экране. Для
полной остановки отсчета используется правая кнопка «date».
Порядок выполнения работы
Данную работу следует выполнять вдвоем или с помощью лаборанта. При этом один
человек наблюдает за показаниями манометра и секундомера и называет их, а второй человек
записывает данные в заранее подготовленную таблицу 1.
1. Наденьте шланг с грушей на один из штуцеров, укрепленных в пробке баллона. На другой
штуцер в пробке наденьте дополнительный шланг (имеется в работе), второй конец этого
шланга наденьте на штуцер Ш2 на стенде (см. рис. 6). Капилляр, помещенный в защит-
ную трубку, соедините с еще одним свободным шлангом, а второй конец этого шланга
наденьте на штуцер Ш1 на стенде. Снимите защитный колпачок с трубки с капилляром.
2. Закройте (завинтите по часовой стрелке) кран К (рис. 6.). Накачайте с помощью резиновой
груши воздух в баллон до перепада давления примерно 200 мм рт.ст.
3. Откройте (отвинтите против часовой стрелки) кран К и наблюдайте за показаниями манометра. Секундомер должен быть готов к работе, т.е. показывать «00:0, 00». Когда манометр
покажет перепад давления 160 мм рт.ст., включите отсчет времени, нажав на правую
кнопку секундомера («Date»). Второй человек при этом запишет в таблицу (второй столбец), t1
0.
4. Когда перепад упадет до 150 мм рт.ст. Первый человек нажимает на секундомере среднюю
кнопку «alt» (приостанавливает отсчет времени) и быстро говорит 2-му: «150» и называет
время так, как показывает секундомер (в минутах, секундах и долях секунды, например:
00:57,25), и сразу же снова нажимает кнопку «alt». Второй человек записывает эти данные
в таблицу 1.
5. Аналогичным образом записывается время при перепаде 140 мм рт.ст, затем при 130 и т.д.
с интервалом в 10 мм рт.ст. Последний отсчет производится при перепаде 140 мм рт.ст.,
затем при 130 и т.д. с интервалом в 10 мм рт.ст. Все данные записываются во второй
столбец таблицы в том виде, как показывает экран секундомера.
6. Нажав на среднюю кнопку секундомера один (или два) раза, получите нулевой отсчет
«00:00,00». И повторите все измерения (п.п. 2–5) еще два раза. Время записывайте в 3-й и
4-й столбцы таблицы 1.
Обработка результатов измерений.
1. Найдите средние значения времени для перепада давления 160, 150,…в мм.рт.ст. и запишите в таблицу 1 в секундах.
2. Вычислите величины ln( P ) , занесите в таблицу 1.
3. Постройте график зависимости ln( P ) от t и убедитесь, что он представляет собой прямую линию (рис. 5)
Если на графике будет наблю-
ln( P )
даться излом (рис.8), это означает, что
а
при высоких перепадах
ln( P0 )
в
Р режим тече-
ния турбулентный (участок “а”).
Так как формулы, используемые в данной работе, применимы только при ламинарном течении, то в дальнейших рас-
t0
четах следует использовать только
t
данные участка “в”.
Рис. 8. Зависимость при изменении
режима течения воздуха
4. Постройте график зависимости
P от времени t (для ламинарного течения, см. п. 3). По
графику найдите время релаксации
Занесите значение
, соответствующее перепаду давления
P
P0 e .
в таблицу 2.
5. Вычислите коэффициент динамической вязкости по формуле (10.) Радиус капилляра R ,
его длина l и объем баллона V0 указаны на установке. Запишите данные в таблицу 2. При
вычислении
все величины следует выражать в СИ. Атмосферное давление принять
равным 750 мм рт.ст. (1 мм рт.ст.=133,3 Па).
6. Вычислите коэффициент кинематической вязкости
, приняв плотность воздуха
1,3 кг/м3. Занесите в таблицу 2.
7. Вычислите число Рейнольдса, используя формулу (3):
Re
vd
,
где d – диаметр капилляра, а v – средняя скорость течения, которую можно найти, разделив
расход Q (см. формулу 5) на площадь поперечного сечения капилляра:
v
Q
S
R2 P0
8 l
Тогда для числа Re получим выражение:
Re
Величину Re занести в таблицу 2.
R3 P0
4 2l
8. Вычислить по формуле (4) среднюю длину свободного пробега молекул
R 8,31 Дж/(моль·К), M
.
0,029 кг/моль.
9. Комнатную температуру измерить с помощью мультиметра М (рис.6). Записать значение
температуры в Кельвинах в таблицу 2.
Таблица 1
показания секундомера,
c
Р
мм рт.ст
160
t ,с
t1
t2
t3
00:00,00
00:00,00
00:00,00
ln( P )
150
140
…
30
Таблица 2
Радиус
Длина
капилляра. капилляра
R, м
l, м
,с
, мкПа·с
, (мм)2/с
,м
Re
Контрольные вопросы.
1. Что называют вязкостью (внутренним трением)? коэффициентом динамической
матической
вязкости? Покажите, что
и кине-
измеряется в м2/с.
2. Какое течение газа (жидкости) называется ламинарным?
3. Напишите формулу параболического распределения скоростей при течении газа в круглой
трубе. Нарисуйте годограф скоростей. Поясните все величины, входящие в формулу.
4. Что такое число Рейнольдса? Напишите формулу для его определения, поясните все величины, входящие в неѐ.
5. Нарисуйте схему установки, используемой в данной работе.
Поясните ход эксперимента.
6. Что такое средняя длина свободного пробега молекул? Как она связана с коэффициентом
динамической вязкости для идеального газа?
7.Что называют расходом газа? Напишите формулу Пуазейля, поясните все величины, входящие в неѐ. При каких условиях она применима?
8. Нарисуйте график зависимости перепада давления на концах капилляра от времени истечения воздуха из капилляра. Какой формулой можно описать эту зависимость? Как проверить выполнимость формулы?
9. Поясните, какой смысл имеет величина
, входящая в формулу (6).
10. Получите формулу (10) для вычисления коэффициента динамической вязкости, используя
формулы (5) и (8). Укажите, какие приближения вводятся при выводе формулы.
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики Т.1