Открытое соревнование по решению математических задач

реклама
Otkrytoe sorevnovanie po rexeni» matematiqeskih
zadaq
22 fevral 2004 g.
Mladxa gruppa
VremÂ, otvodimoe dl rexeniÂ: 5 qasov.
Vernoe i dostatoqno obosnovannoe rexenie ka¼do$
i zadaqi daet 7 ballov.
Pol~zovat~s kal~kulÂtorom ne razrexaetsÂ.
1. Dany 100 natural~nyh qisel, summa kubov kotoryh delits na 3 . Mo¼no
li tverdo utver¼dat~, qto
a) summa dannyh qisel delits na 3 ;
b) summa kvadratov dannyh qisel delits na 3 ?
2. Na planete Lgunov god sostoit iz 2004 dne$
i i u ka¼dogo ¼itel planety
vse dni goda podeleny na dni pravdy i dni l¼i: v dni pravdy on govorit
tol~ko pravdu, v dni l¼i — tol~ko lo¼~(qislo dne$
i pravdy ili dne$
i l¼i
¼itel mo¼et byt~ i 0 ). V teqenii odnogo goda trem ¼itelÂm planety
ka¼dy$
i den~ zadavali vopros “Skol~ko dne$
i v godu vy l¼ete?” V pervy$
i
den~ goda pervy$
i ¼itel~ otvetil, qto on l¼et rovno 1 den~ v godu, vtoro$
i
otvetil, qto on l¼et ne menee qem 1 den~ v godu, a treti$
i otvetil, qto
on l¼et ne bolee qem 1 den~ v godu. Vo vtoro$
i den~ goda pervy$
i ¼itel~
otvetil, qto on l¼et rovno 2 dn v godu, vtoro$
i, qto ne menee qem 2
dn v godu, a treti$
i, qto ne bolee qem 2 dn v godu, i t.d., nakonec v
posledni$
i, 2004 den~ goda pervy$
i ¼itel~ otvetil, qto on l¼et rovno
2004 dn v godu, vtoro$
i, qto ne menee qem 2004 dn v godu, a treti$
i,
qto ne bolee qem 2004 dn v godu. Skol~ko dne$
i v godu l¼et ka¼dy$
i iz
opraxivaemyh na samom dele?
3. Na$
idets li takoe natural~noe qislo, 33 - stepen~ kotorogo ÂvlÂetsÂ
33 -znaqno$
i?
4. Okru¼nosti c1 i c2 , centrami kototryh Âvl»ts sootvetstvenno toqki
O1 i O2 , pereseka»ts v toqkah A i B , priqem centr ka¼do$
i iz
okru¼noste$
i nahodits vne drugo$
i okru¼nosti. PrÂma O1 A peresekaet
okru¼nost~ c2 vo vtoro$
i raz v toqke P2 , a prÂma O2 A peresekaet okru¼nost~ c1 vo vtoro$
i raz v toqke P1 . Dokazat~, qto toqki O1 , O2 , P1 , P2
i B raspolo¼eny na odno$
i okru¼nosti.
5. Andre$
i, Dima i Paxa sorevnovalis~ me¼du sobo$
i v raznyh disciplinah,
v tom qisle v matematike i v ly¼nyh gonkah. Pobeda v ka¼do$
i discipline davala x , vtoroe mesto y i tret~e mesto z oqkov, gde x, y, z
polo¼itel~nye celye qisla i x > y > z ; dva uqastnika ni razu ne delili
odno i to ¼e mesto. Andre$
i poluqil vsego 20 , Dima 10 i Paxa 9 oqkov.
Kto zanÂl vtoroe mesto v ly¼nyh gonkah, esli v matematike vtoroe mesto
zanÂl Andre$
i?
Otkrytoe sorevnovanie po rexeni» matematiqeskih
zadaq
22 fevral 2004 g.
Starxa gruppa
VremÂ, otvodimoe dl rexeniÂ: 5 qasov.
Vernoe i dostatoqno obosnovannoe rexenie ka¼do$
i zadaqi daet 7 ballov.
Pol~zovat~s kal~kulÂtorom ne razrexaetsÂ.
1. Dany 13 polo¼itel~nyh celyh qisel, summa kotoryh ravna 2004 . Kakovo
maksimalnoe vozmo¼noe znaqenie naibol~xego obxego delitel ®tih 13
qisel?
2. Na$
iti vse takie funkcii f , kotorye opredeleny dl polo¼itel~nyh de$
istvitel~nyh qisel, prinima»t de$
istvitel~nye znaqeni i
udovletvor»t to¼destvu
f (x)f (y) = f (xy) +
1
1
+
x y
pri l»byh polo¼itel~nyh de$
istvitel~nyh qislah x i y .
3. Na okru¼nosti raspolo¼eno N lamp, kotorye po qasovo$
i strelke pronumerovany qislami ot 1 do N . Snaqala ni odna iz lamp ne gorit. Zatem
dl ka¼dogo polo¼itel~nogo delitel d qisla N (vkl»qa 1 i N ) postupa»t sledu»wim obrazom: naqina s lampy 1 i dvigaÂs~ po qasovo$
i
strelke, izmen»t sostoÂnie ka¼do$
i d -$
i lampy, t.e. lampu za¼iga»t,
esli ona ne gorit, ili tuxat, esli ona gorit, dela ®to rovno N raz.
(Naprimer, pri N = 6 i d = 3 posledovatel~no za¼iga»t ili tuxat
lampy 3, 6, 3, 6, 3, 6 .)
Pri kakom znaqenii N v konce, kogda opisanna procedura proizvedena
dl vseh delitele$
i d qisla N , vse lampy budut goret~?
4. Na opisanno$
i okolo treugol~nika ABC okru¼nosti berut toqku P tak,
qto provedenny$
i iz toqki P k prÂmo$
i AC perpendikulÂr peresekaet
okru¼nost~ vo vtoro$
i raz v nekotoro$
i toqke Q , provedenny$
i iz toqki
Q k prÂmo$
i AB perpendikulÂr peresekaet okru¼nost~ vo vtoro$
i raz v
nekotoro$
i toqke R , a provedenny$
i iz toqki R k prÂmo$
i BC perpendikulÂr peresekaet okru¼nost~ vo vtoro$
i raz v naqal~no$
i toqke P . Pust~ O
centr ®to$
i okru¼nosti. Dokazat~, qto 6 P OC = 90◦ .
5. Snaqala v kvadrate, sostoÂwem iz n × n kletok, zakraxiva»t zelenym
cvetom nekotorye k kletok. Ka¼dym sledu»wim hodom mo¼no zakrasit~
zelenym cvetom odnu taku» kletku, u kotoro$
i po kra$
ine$
i mere dve sosednie kletki (t.e. kletki, ime»wie s ne$
i obwu» storonu) u¼e zelenye. Pri
kakom naimen~xem znaqenii k mo¼no vybrat~ zakraxivaemye snaqala k
kletok tak, qto posledu»wimi hodami mo¼no zakrasit~ zelenym cvetom
ves~ kvadrat?
Скачать