ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ 42 Äðîáíîðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÐÀÑÑÌÀÒÐÈÂÀÞÒÑß ÇÀÄÀ×È, ÄÎÂÎËÜ- íî ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ. Ìû ïîäðîáíî ðàçáåðåì ðåøåíèå íåñêîëüêèõ òàêèõ çàäà÷. Çàäà÷à 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 5 2a + 1 1 − a 5a − 3 = 1+ . x−a x − a x − 3a + 1 b b gb gb g g Ðåøåíèå. Ïîñëå î÷åâèäíûõ âûêëàäîê ïîëó÷èì, ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ: b g 2 e j 2 F 4I = 4 − 2 = 2 GH 3 JK 3 3 x b1g = 1 − 2 = −1 − 4 − 2 a + 8a − 8 = b 2 = 9a − 36 a + 36 = 9 a − 2 1 Åùå âûäåëèì ñëó÷àé, êîãäà îáà êîðíÿ ñîâïàäàþò: D = 0 ⇔ a = 2 ⇒ x = 0. 1 4 Îòâåò: x1 = a − 2 , x2 = 4 − 2 a ïðè a ∈ 4 \ − ; 1; ; 2 ; 2 3 1 2 4 õ = 5 ïðè a = − ; õ = 1 ïðè a = 1; x = − ïðè a = ; õ = 2 3 3 = 0 ïðè à = 2. Âîò òåïåðü äëÿ ëþáîãî ïðåäúÿâëåííîãî íàì çíà÷åíèÿ à ìû ìîæåì ñðàçó óêàçàòü êîëè÷åñòâî ðåøåíèé è âû÷èñëèòü èõ ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé. ×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü, êàê óñòðîåíû ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1), ïîñòðîèì ãðàôèêè äëÿ âõîäÿùèõ â (1) ñîîòíîøåíèé íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè àÎõ (ðèñ.1). Ñàìîñòîÿòåëüíî ðàçáåðèòåñü â ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ðåøåíèÿ. 1. 1 + g 2 ≥ 0. b 3. 7 a + 3 + b gb e UV W 2 2 bg g 2. 3 + 2a − 3 bx − 2gbx + ag = 2 x + 2x − a + 2a $ = 2x + 9a + 10a + 5 x−a+2 . N # a - 2, - 2 a + 4, " (1) a, 3a - 1. ! (×àñòî àáèòóðèåíòû çàïèñûâàþò â îòâåò èìåííî ýòó ñèñòåìó, ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòèì ðåøåíèå çàâåðøåíî. Íî ýòî íå òàê. Ìîæíî ëè, ãëÿäÿ íà ýòó ñèñòåìó, ñðàçó îòâåòèòü íà âîïðîñ, ñêîëüêî ðåøåíèé áóäåò ïðè à = 1? Íåò.) Äëÿ êàæäîãî êîðíÿ íàéäåì, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à îí íå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ. Äëÿ íàãëÿäíîñòè ñâåäåì âû÷èñëåíèÿ â òàáëèöó: x1 = à 2 x2 = 2à + 4 à2à=0 2à + 4 à = 0 4 a= 3 ðåøåíèé íåò õ 3à + 1 = 0 j 2 òàê ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå õà=0 g 2a 9a − 1 x1 a = a − 2 , x2 a = 4 − 2 a , ì éx = ï ï ê ï ï ï êêë x = ï ï ï ï íx ¹ ï ï ï x ¹ ï ï ï ï ï î ï gb 2 a−1 a−2 a +1 = . x−a x − a x − a +1 Èòàê, ïðè ëþáîì çíà÷åíèè à êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò êîðíè bg æ 1ö æ 1ö x2 ççç- ÷÷÷ = -2 ççç- ÷÷÷ + 4 = 5 è 2ø è 2ø x1 Óïðàæíåíèÿ Ðåøèòå óðàâíåíèÿ è äàéòå ðåøåíèÿì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ: 2 2 ì ï ïx + a - 2 x - 2a - 8a = 0, í ï ï îx ¹ a, x ¹ 3a - 1. D= a−2 (Ìíîãèå àáèòóðèåíòû ïèøóò, ÷òî ïðè íàéäåííûõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. Ýòî íåâåðíî. Íàïðèìåð, ïðè à = 1 âòîðîé êîðåíü íóæíî îòáðîñèòü. Íî ïåðâûé êîðåíü ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò è èìååò çíà÷åíèå 1. Âåäü «çàïðåùåííîå» çíà÷åíèå à = 1 ïðèñóòñòâóåò òîëüêî âî âòîðîé êîëîíêå íàøåé òàáëèöû, íî íå â ïåðâîé.) Äëÿ «çàïðåùåííûõ» çíà÷åíèé à èç îäíîé êîëîíêè òàáëèöû âû÷èñëèì çíà÷åíèå êîðíÿ äëÿ äðóãîé êîëîíêè: RS T Ñ.ËÀÂÐÅÍΠ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ à 2 3à + 1 = 0 1 a=− 2 ` ` " ! `! ` ` 2à + 4 3à + 1 = 0 a=1 Ðèñ. 1 `! ! " = 2 x + 5a . x+a ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Òåïåðü ðàçáåðåì åùå îäíó çàäà÷ó. 2 j b 2 g − 1 x + 4 a − 10 x − 21 = 0 , x + 4 ≠ 0 , ax + 1 ≠ 0 . 2 Ïðè a = 1 óðàâíåíèå íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì, ïðè à = 3 = 1 ïîëó÷àåì −4 − 10 x 21 = 0, ò.å. õ = − , ïðè÷åì 2 3 3 3 − ≠ 4 , − ≠ −1. Èòàê, x = − ïðè à = 1. 2 2 2 7 Åñëè à = 1, àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî õ = − . Èòàê, 2 7 ïðè à = 1. = − x 2 2 Åñëè a − 1 ≠ 0 , ò.å. a ≠ ±1 , èìååì b D îòñþäà 4 g b = 2a − 5 bg 3a + 3 x1 a = 2 a −1 g = 2 e j b 2 + 21 a − 1 = 5a − 2 3 a −1 bg , x2 a = g −7 a + 7 2 a −1 2 ≥ 0, =− 7 a +1 àõ + 1 = 0 3a a −1 3 a−1 x2 = − + 1 = 0, a = − 1 − 4 FG 3 IJ = 3 = −12 H 4K 3 − 1 x2 4 x1 7 a +1 7 a +1 7 a +1 + 4 = 0, a = + 1 = 0, a = 3 4 1 6 FG 1 IJ = − 7 = − 28 H 4K 1 + 1 5 4 6 Îáà êîðíÿ ñîâïàäàþò ïðè D = 0, ò.å. ïðè a = FG 2 IJ = 3 = −5 . H 5K 2 − 1 5 ∈4\ 1 ; 6 3 a= ; 4 a= x1 = 3 x2 = − 2 5 , òîãäà 7 ïðè a∈ a −1 a +1 1 1 2 3 3 18 ïðè −1; ; ; ; ; 1 ; x = − ïðè à = 1; x = − 2 5 6 4 5 4 28 1 2 ïðè a = ; õ = 5 ïðè a = ; õ = 12 ïðè x=− 5 4 5 7 x = − ïðè à = 1. 2 Îòâåò: RS T ax + 4 , UV W Óïðàæíåíèÿ 4. Äàéòå ðåøåíèþ çàäà÷è 2 ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. 5. Ðåøåíèå çàäà÷è 2 íåìíîãî óïðîñòèòñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü çàìåíó õ = 1/u. Èñïûòàéòå åå. ax − 2 = x +1 . Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå x +1x-7 =ax-2ax +4,ax +4 ¹0, ax + 4 ¹ 0, x ¹ -1. (2) Óðàâíåíèå ñèñòåìû ïðèâîäèòñÿ ê âèäó ea 2 j b 2 g − 1 x + 2 a + 3 x − 1 = 0. 2 Ïóñòü ñíà÷àëà a − 1 = 0 ⇔ a = ±1 . Êàê è ðàíüøå, ïîëó÷à1 1 åì, ÷òî x = ïðè à = 1, x = ïðè à = 1. 4 8 2 Ïðè a ≠ 1 èìååì 4 b = a+3 g + ea 2 x1,2 = F 1 I = 3 = − 18 GH 6 JK 1 5 −1 x = x1 x−7 D Âñå ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ à îòëè÷íû îò ±1 . Âû÷èñëèì äëÿ íèõ çíà÷åíèÿ êîðíåé: x1  ñëåäóþùåé çàäà÷å êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ «ïëîõî» âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû, ÷òî ñîçäàåò íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè. Çàäà÷à 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå ò.å. 1 3 + 4 = 0, a = a −1 4 õ+4=0 ax + 8 x+2 = . x −1 ax + 5 . Ñîñòàâèì òàáëèöó: x1 = 43 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå Çàäà÷à 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå ax + 3 x+6 . = x+4 ax + 1 Ðåøåíèå. Ïîñëå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ea ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ 2 j e j 2 − 1 = 2 a + 3a + 4 > 0 , b g 2 − a + 3 ± 2a + 6 a + 8 . (3) 2 a −1 (Êàòàñòðîôà! Åñëè ïîäñòàâèòü ýòè êîðíè â ñîîòíîøåíèå àõ + 4 = 0, òî ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì óðàâíåíèå 4-é ñòåïåíè. Ê ñ÷àñòüþ, åñòü äðóãîé ìåòîä îòáîðà êîðíåé.) Ïîäñòàâèì çíà÷åíèÿ õ, íå âõîäÿùèå â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ, â óðàâíåíèå (2) è îïðåäåëèì, ðåøàÿ ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå, êàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à èì ñîîòâåòñòâóþò. 4 Ïóñòü àõ + 4 = 0. Çàìåòèì, ÷òî a ≠ 0 è x = − . Ïîäñòàâëÿÿ a 4 4 â (2), èìååì − + 1 − − 7 = 0 . a a 4 Åñëè − + 1 = 0 , òî à = 4; îòáðîñûâàåì êîðåíü õ = 1. a 4 4 Åñëè − − 7 = 0 , òî a = − ; îòáðàñûâàåì êîðåíü x = 7. a 7 Åñëè õ + 1 = 0, òî õ = 1. Ïîäñòàâëÿÿ â (2), ïîëó÷èì, ÷òî ïðè à = 2 è ïðè à = 4 íóæíî îòáðîñèòü êîðåíü õ = 1. 4 Èòàê, ïðè à = 2; − ; 4 îäèí èç êîðíåé, äàâàåìûõ 7 ôîðìóëîé (3), áóäåò îòáðîøåí, íî äðóãîé, âîçìîæíî, áóäåò îñòàâëåí. Ýòè êîðíè ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå (3), íî ïðîùå âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Âèåòà, òàê êàê îäèí èç êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ îòáðàñûâàåìûé íàì óæå 1 1 ⋅ . èçâåñòåí: x2 = 2 1 − a x1 1 1 1 ⋅ = . Ïðè à = 2 ïîëó÷èì x1 = −1 , x2 = 1 − 4 −1 3 7 4 . Ïðè a = − ïîëó÷èì x1 = 7 , x2 = 33 7 1 . Ïðè à = 4 ïîëó÷èì x1 = −1 , x2 = 15 FG H Îòâåò: x1,2 = IJ FG KH b IJ K g 2 − a + 3 ± 2a + 6 a + 8 2 a −1 ïðè a∈ 44 ÊÂÀÍT 2000/¹5 RS T UV W 1 1 1 2 3 1 ïðè à = 2; x = ïðè à = ; ; ; ;1 ; x = 3 4 6 4 5 4 1 7 4 1 =1; x = ïðè a = − ; x = ïðè à = 1; x = ïðè à = 4. 8 33 7 15 Ïðèåì, èñïîëüçîâàííûé ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 3, î÷åíü âàæåí è íàõîäèò øèðîêîå ïðèìåíåíèå â äðóãèõ çàäà÷àõ ñ ïàðàìåòðàìè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî ðåøèòü è ïåðâûå äâå çàäà÷è (ïîïðîáóéòå!). Ïîïûòàåìñÿ åãî îñìûñëèòü. Äàíî óðàâíåíèå f x, a = 0 è îãðàíè÷åíèå g x, a ≠ 0 . Ñïîñîá, êîòîðûì ìû ðåøèëè ïåðâûå äâå çàäà÷è, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Íàõîäèì äëÿ óðàâíåíèÿ f x, a = 0 êîðíè õ = = p1 a ,...,x = pn a . Ðåøàåì óðàâíåíèÿ g pi a , a = 0 è íàõîäèì ìíîæåñòâî Ai «çàïðåùåííûõ» çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ êîðíåé íà çàïðåùåííûõ çíà÷åíèÿõ äëÿ îäíîãî èç êîðíåé (åñëè òîëüêî ýòè çíà÷åíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ çàïðåùåííûìè è äëÿ äðóãèõ êîðíåé). È òàê ïåðåáèðàåì âñå êîðíè. À âîò ñïîñîá, êîòîðûì ìû ðåøèëè çàäà÷ó 3. Ðåøàåì óðàâíåíèå g x, a = 0 è íàõîäèì åãî êîðíè õ = rk a . Ðåøàåì óðàâíåíèå f rk a , a = 0 è íàõîäèì çíà÷åíèÿ akm . Äëÿ óðàâíåíèÿ f x, akm = 0 êîðåíü õ = rk akm ÿâëÿåòñÿ çàïðåùåííûì, òàê êàê îí îáðàùàåò â íîëü ôóíêöèþ g x, a . Íóæíî íàéòè îñòàëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ f x, akm = 0 è âûÿñíèòü, íå ÿâëÿþòñÿ ëè îíè çàïðåùåííûìè. Îáà ñïîñîáà îïèñàíû íàìè áåãëî è íå ñëèøêîì òî÷íî. Ïîñòðîéòå ñàìîñòîÿòåëüíî àëãîðèòìè÷åñêèå ñõåìû äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f x, a = 0 ñ îãðàíè÷åíèÿìè g m x, a ≠ 0 , ãäå f è gm ìíîãî÷ëåíû.  ñëåäóþùåé çàäà÷å ìû òîëüêî íàìåòèì ðåøåíèå, îñòàâëÿÿ çàïîëíåíèå ïðîáåëîâ ÷èòàòåëþ. Çàäà÷à 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå ∈ 4 \ −1; b g bg b g b g c bg h bg b g c bg h c h c h bg c h b g b g b g ax + 3 x +1 = x+3 ax + 2 Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå a 2 2 - 1 x2 + 5a - 4 x + 3 = 0, x ¹ -1, x ¹ - . a (4) 2 Ïðè a − 1 ≠ 0 íàõîäèì b gb FG 14 ; 2IJ , ðåøåíèé íåò. H 13 K Äàëåå, D = 0 ïðè à = =− 13 3 14 13 è ïðè à = 2. Åñëè à = 14 13 , òî õ = ; åñëè à = 2, òî õ = 1 è ðåøåíèé ó èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ FG H IJ b g K 5 a − 4 ± b a − 2gb13 a − 14 g = . 2e1 − a j íåò. 14 7 2; ∞ è Ïðè D > 0 èìååì a ∈ −∞; 13 x1,2 Ïîäñòàâëÿÿ x = − 2 2 è õ = 1 â óðàâíåíèå (4), âûÿñíèì, ÷òî a 2 ïðè à = 2; 3 íóæíî îòáðîñèòü êîðåíü õ = 1, à ïðè à = 3 êîðåíü õ = 3. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Âèåòà, ïîëó÷àåì, ÷òî õ = 3 9 2 ïðè à = , ïðè à = 2 ðåøåíèé íåò, õ = − ïðè à = 3. = 8 5 3 5 a − 4 ± a − 2 13 a − 14 Îòâåò: x1,2 = ïðè 2 2 1− a b e gb j g à= 3 à = 3. ; õ = 3 ïðè à = 1; õ = − 3 Óïðàæíåíèå 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå ïðè à = 13 ;õ= − 8 ïðè ax + 2 x +1 = . x−5 ax − 1 Çàäà÷à 5. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî òî÷åê M a, b , äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå b g 2a − b + 1 x 2a + b − 1 x+2 + 2b x +1 =0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Èñõîäíîå óðàâíåíèå ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå x2 + 2 a + 1 x + 2a - b + 1 = 0, x ¹ -2;-1;0 Ðàññìîòðèì ñëó÷àè, êîãäà óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ïåðâàÿ âîçìîæíîñòü: D = 0, íî x ≠ −2 ; 1; 0. Òîãäà b = 2 2 = −a , õ = à 1. Èç ãðàôèêà ïàðàáîëû b = −a íóæíî èñêëþ÷èòü òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ à 1 = 2, ò.å. à = 1; à 1 = 1, ò.å. à = 0, è à 1 = 0, ò.å. à = 1. Âòîðàÿ âîçìîæíîñòü: êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ, íî îäèí èç íèõ ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû, à äðóãîé íåò. Ïîäñòàâèì çàïðåùåííûå êîðíè â êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì: åñëè õ = 0, òî b = 2à + 1; åñëè õ = 1, òî b = 0; åñëè õ = 2, òî b = 2à + 1. Ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ > òðåõ ïðÿìûõ, èç êîòîðûõ íàäî èñêëþ÷èòü òî÷êè èõ ïåðåñå÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ñëó ÷àþ, êîãäà îáà êîðíÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ` íå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ýòî = ` ` 1 1 ;0 òî÷êè − ; 0 , 2 2 ` è 0; 1 . FG b gH g 2 D = 13a − 40a + 28 = 13a − 14 a − 2 . Ïðè D < 0, ò.å. a ∈ IJ 7 b2; 3g 7 b3; ∞g . g FGH 23 IJK 7 FGH 23 ;1IJK 7 FGH1; 14 13 K 1 9 F 14 I ïðè à = 1; õ = ïðè Ïðè a ∈ G ; 2J ðåøåíèé íåò; õ = 3 5 H K 13 2 14 13 3 b a ∈ −∞; − 1 7 −1; IJ FG IJ K H K Îòâåò èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 2. ` Ðèñ. 2 Óïðàæíåíèå 8. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî òî÷åê M a, b , äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå b g 2−b a b =0 − + x x +1 x −1 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.