С ПОВЕРХНОСТЬЮ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ

УЧЕНЫЕ
т о он
удк
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
.мб
1972
11/
533.6.011.8:533.722
РАСЧЕТ СТОЛКНОВЕНИЯ АТОМА ГАЗА
С ПОВЕРХНОСТЬЮ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
А. И. Ерофеев, А. В. Жба"ова
Численно решается задача о столкновении атома газа с поверх­
ностью для различных моделей твердого тела - полубесконечной ре­
шетки
упруго
связанных атомов,
модели
независимых гармонических
осцилляторов,
модели
свободных
атомов. Приведены резу лыаты
расчетов коэффициентов аккомодации, характеризующих обмен энер­
гией и импульсом между потоком разреженного газа и твердым те­
лом,
в
модели
зависимости
твердого
от параметров задачи. Рассматривается влияние
тела на процесс
взаимодействия
атома газа с по­
верхностью.
Сложность описания коллективного взаимодействия на гра­
нице фаз приводит к тому, что для решения подобных задач
прибегают к моделированиlО явления упрощенными схемами, об­
ласти применения которых ограничены определенными интервалами
изменения параметров. В работе [1] на примере одномерной задачи
были получены оценки для границ применимости модели свобод­
ных атомов для случая,
когда
время
с
взаимодействия
характерного
z
атома
газа
поверхностью 'с много меньше
ния
времени
атомов в решетке
колеба­
твердого
тела Т. Влияние связей между
атомами
твердого
цесс столкновения
поверхностью
тела
на про­
атома
газа с
рассматривалось
в ряде работ, например [2, 3],
для конечного блока атомов
_~ твердого тела. Представляется
целесообразным провести срав­
нение
газа
(1.,-1 )
( 8,-1)
Фиг.
40
1
с
взаимодействия
поверхностью
для
атома
упро­
щенных моделей твердого тела
и для модели, наиболее полно
учитывающей силы, действую­
щие между атомами в
решетке.
В
качестве
такой
"эталонной"
модели
взята
полубесконечная
трехмерная решетка, ближайшие атомы которой связаны упругими
силами.
Численный расчет. Рассмотрим
газа
с
поверхностью
сначала
твердого тела,
взаимодействие атома
моделируемого
полубеско­
нечной трехмерной простой кубической решеткой, при следующих
предположениях [4]:
между ближайшими атомами решетки действуют
и нецентральные силы
с
упругими
)(
постоянными
центральные
и
А)(
со ответ­
.ственно;
тепловое
т.
движение
е. температура
атомов
в
атом газа взаимодействует
ных
атомов,
Лен нарда
-
и
это
шем
r-
с
теле
некоторой
взаимодействие
Джонса
и (г) = 4е
где
твердом
не
учитывается,
твердого тела принимается равной нулю;
[( ; )
группой
описывается
поверхност­
потенциалом
12_ ( ; У] .
расстояние между частицами, е, ::7-параметры. В дальней­
ограничимся
случаем,
когда
атом
газа падает
на
поверхность
по нормали (фиг. 1).
При этих предположениях задача сводится к решению следую­
щих уравнений (в безразмерном виде):
6е
..:+
1
,., ......
Г о =--"","
f1.
t
X 1k (t) = X 1k (О) -
ff/k;
ik
~
S i'~k' rpxi' k' (t -
6е !
i'k'
-с) gxik
(t) dt;
о
t
J
У ik (t) = Yik (О) - 6е 1 i~
Zlk
(t) =
Zik
(О) -
SL
6;1
начальными
условиями для
х О (О)
=
хо ,
-с) g~i:' (t) dt;
(t -
t
о
с
<Pyi' k'
<pzi' k' (t-
-с) g~i:'
атома
газа
ZO
(О)
(t) dt
I
;2
l' k'
Уо (О) = Уо,
(1)
н,
=
хО (О) = Уо (О) = О, Zo (О) = - -{2
И
для
атомов
(2)
решетки
R1k (О) = aNik • R/k (О) = О.
в соотношениях
(1)
и
(2)
введены следующие обозначения:
;Ik= [2 (/_1 )12_ (_1 )6]
Г О /k
r Oik
где ГО ik -
расстояние
между
атомом газа
~
rOik
и
,
атомом
(i, k)
поверх­
нос ти;
r де
т,
атома
ЕО -
масса
твердого
и
начальная
энергия
атома
газа,
М
-
масса
тела;
41
g~'i:' (t) = (2~)3
sj}
i')6xHcos(k - k')6 y] л
+ cos6z)[cOS (i -
(1
Х sin Axt d6 d6 dO
Ах
х
i' k'
И аналогичные выражения для
А II =
sln 2
~a + Л
gyik
JI
(t),
::
i'k'
gzik
(t),
~ + sin 2 ~) «(1,~, 1 = Х, у,
(SIn 2
z).
В начальные условия для координат атомов поверхности вхо­
дит параметр а
l/o, где l - расстояние между ближайшими ато-
=
->
мами решетки, и вектор
поверхностных
N ik ,
определяющий положение равновесик
атомов.
Решение сформулированной
мерных параметров tJ-,
131' 132'
ординаты точек цепи, т.
ющейся продолжением
е.
выше
задачи
зависит
от
безраз­
Л, а, Хо, Уо, Н. Параметры Хо, уо
начальной
траектории
атома
газа,
ко­
-
координаты пересечения прямой,
явля­
с
пло­
скостью, проведенной через положения равновесия поверхностных
атомов. Начальное положение атома
выбирается та к, чтобы ~ fzik (z
=
газа
н);::::; О,
над
где
поверхностью
fZik -
сила,
Н,
дейст-
ik
вующая между атомом газа и атомом (i, k) поверхности.
Выше было сделано предположение о том, что атом газа
взаимодействует
с
конечным
блоком
поверхностных
атомов.
е учетом результатов
работ
[2, 5]
был выбран
блок
из
девяти
поверхностных атомов, непосредственно взаимодействующих с ато­
мом газа. Влияние остальных атомов решетки на атом газа можно
было бы учесть через фоновый потенциал, как это делал ось
в работе [6J, но так как в настоящей работе основное внимание
уделялось качественному сравнению различных моделей, то такой
потенциал не вводился. При учете нецентральных сил в дальней­
шем ограничимся случаем л = 1. Тогда движение девяти выделен­
ных атомов поверхности будет зависеть лишь от
трех функций­
причем индекс указывает величину ji-i'l +Ik - k'!.
Уравнения (1) решались следующим образом. ДИфФеренциаль­
ные уравнения решались методом Адамса с постоянным шагом
go (t), gl (t), g2 (-:),
по трехточечной схеме,
интегралы вычислялись по методу прямо­
угольников, функции gi (t) табулировались в интервале О ~ t ~ 30
с шагом dt = 0,2; за единицу шага интегрирования уравнений при­
нималась величина h o = 0,2, однако фактический шаг интегрирова­
ния изменялся в пределах h o
h>- h o/16.
В качестве выходных параметров были взяты коэффициенты
>-
аккомодации
заданных
энергии
начальных
(1е
И
нормального
значений
Хо,
Уо
импульса (1м
определялись
которые
для
следующим
образом:
(3)
Здесь V N о, Ео - нормальная скорость и энергия атома газа до вза­
имодействия, а V nj' E j - по окончании взаимодействия, т. е. тогда,
когда атом газа находится на достаточно большом расстоянии
от поверхности, так что силой взаимодействия с атомами твердого
тела можно пренебречь. Если атом газа пролетал внутрь решетки
42
или при
отражении
от
поверхности
альный барьер, то принималось (Хе
=
не
мог
(ХN =
преодолеть
потенци­
1.
Коэффициенты аккомодации, осредненные
по координатам то­
чек цели, обозначим через ;Хе и ~. Для получения ;Хе и ;n коорди­
наты точек цели выбирались в квадрате,
построенном
около
атома (0,0) поверхности, и являлись узлами гауссовой сетки по
обеим координатам. КОЛичtСТВО узлов n по одной координате
изменялось от 3 до 10 в зависимости
от параметров задачи.
В большинстве случаев число узлов равнялось 6-7. Наиболее
неудобные с точки зрения осреднения случаи возникают тогда,
когда осредняемая функция имеет разрывы. Такие ситуации воз­
никали
при значении параметра Е2, близком к единице, когда
атомы
при
газа пролетали
малых
Е 2 (Е 2 ~
внутрь
решетки,
когда
0,001),
и
в
некоторых
происходил
захват
В табл. 1 дана
зависимость ;Хе от числа узлов
Е1
1; 0,1; 0,01.
=0,0001
и Е2 =
Таблица
n
I
0,831
0,903
0,877
0,884
0,896
0,889
0,899
0,901
3
4
5
6
7
8
9
10
Из
I
0.1
0,744
0,690
0,723
0,725
0,703
0,729
0,713
0,710
та§лицы
0,253
0,253
0,253
что
при
Е2
ае ,
но
Vn/
n> 5
= 0,1
достигает
газа.
= 0,5,
n,
(J. =
I
I
0,638
0,713
0,630
0,712
0,594
0,426
0,216
0,0818
0,683
0,710
0,594
0,426
0,216
0,0818
0,0350
составляет
Z
h. равных
h o/4
h o/8
максимальное
и
0,594
колебание
примерно
4%.
1. Различие в величине Vnf~
следует
количественные
числа узлов несколько больше,
значений
ho/Z
0,745
0,593
0,427
0,217
0,0821
0,0350
0.316
0,1
0,0316
0,01
0,00316
0,001
обусловленное ~ислом узлов
величине
ho
0,254
Аналогично положение и для
в
Значения а е при
$2
0,01
видно,
(J.
Т а б л и ца
значений (Х е имеет место при
и
n для
1
I Значения ае при "2, равных
1
случаях
атома
тем же
тенденциям,
расхождения
так что
для
максимальное
что.
разного
колебание
] 0%, при этом максимальное колебание
коэффициента аккомодации нормального импульса в силу опреде­
ления
(3)
существенно меньше.
Влияние
траекторий.
шага интегрирования проверялось для
В качестве примера в табл. 2 показано
на (Хе для (J. = 1, Е 1 = 0,0001, Х О
О, Уо = 0,25.
=
отдельных
влияние h
Как отмечалось выше, шаг интегрирования выбирался в преде­
лах ho';;? h ';;? ho/16 так, чтобы отличия в (Х е при дальнейшем дробле­
нии шага в два
раза
не
превышали
2%
при
наибольших
значе­
ниях 6'2' в большинстве же случаев это отличие не превышало
[%.
Влияние области определения функций реакции решетки gj ('t)
на результаты расчетов коэффициентов аккомодации проверялось
для двух случаев:
Оказалось, что
1) gj ('t) == О
скорости
при "с>
отраженных
10
и
2) gt ('t) == О
частиц
и
(Хе
В
при 't
> 30.
этих
двух
43
случаях различаются на 1-2% при С2=0,001, при с 2 >0,001 разли­
чия не превышают 1 % и уменьшаются при увеличении С 2 • Поэтому
при
при
проведении
основных
t> 10.
При
взаимодействии
расчетов
атома
гармонических осцилляторов,
полагалось,
газа
с
ансамблем
моделирующих
Х
2
м
где х -
упругая
случае,
вятью
постоянная
принимал ось,
2
что
поверхностными
,
Х
2
oot"=OOy=
-и
.
(1+4"-),
решетки. Как
атом
газа
атомами.
=
О
независимых
твердое
тело,
собст­
описанном
выше
венная частота осцилляторов принимал ась равной
OOz =
gi (t)
что
[1]
(2+31.),
и
в
взаимодействует
Уравнения
лишь с де­
движения
решались
численно методом Адамса по трехточечной схеме с постоянным
шагом. Контроль за точностью вычислений осуществлялся по за­
кону сохранения энергии, причем
таким,
чтобы
соответствующее
шаг
интегрирования
соотношение
грешностью не более 1 %. Осредненные значения ~,
так же, как и в рассмотренной
выбирался
выполнялось
выше задаче.
с по­
получены
CJ. n
Результаты расчетов. Результаты расчетов ае , а n представлены
на фиг.
2-5
(сплошные кривые
взаимодействие атома газа с полу­
-
бесконечной решеткой, пунктирные
гармонических
осцилляторов;
взаимодействие
-
звездочками
с ансамблем
отмечены
результаты
расчетов для модели свободных атомов).
отметим качественные особенности
зависимости
коэффициен­
тов аккомодации от параметров задачи. Зависимость ~e ОТ С2 рас­
сматривалась ранее
[4].
Здесь отметим лишь, что появление мини-
мума в зависимости а: (сз) связано со следующим обстоятельством:
с одной стороны. при уменьшении начальной
скорости атома газа
(или энергии С2) увеличивается время взаимодействия и столкнове­
ние стремится к адиабатическому почти без обмена энергией;
с другой стороны, атом газа
при
отражении
должен
преодолеть
потенциальный барьер и при уменьшении 102 этот фактор стано­
вится все более существенным.
Увеличение 101> т. е. энергетического пара метра в потенциале
взаимодействия атом газа
-
атом твердого тела приводит к увели­
чению потенциального барьера для атомов газа, и, следовательно,
к увели~ению ае . Однако при С2 d: 0,1 в ряде случаев (а
личину
~
решетки
существенное
при
некоторых
влияние
оказывает
значениях
лО,
УО,
пролет
= 1)
атомов
причем
для
на ве­
внутрь
меньших
значений параметра С! вероятность пролета внутрь больше, так
как меньшему значению cl соответствует меньший эффективный
радиус взаимодействия атома
газа
и
атома
решетки
при
данном
d:
значении параметра а. В этих случаях дЛЯ С2
0,1 коэффициент
аккомодации энерг!::и уменьшается с увеличением С!' Влияние пара­
метров
С!
и
С2
на
(J..n
соответствует
влиянию
этих
параметров
на
коэффициент аккомодации энергии.
Как видно из фиг. 2-5, влияние параметра а на коэффициенты
аккомодации
достаточно
велико,
причем
оно проявляется двояким
образом: во-первых, уменьшение а привuдит к тому, что при боль­
ших
значениях
внутрь
102 уменьшается
возможность
потенциального барьера для отраженных
44
пролета
решетки; во-вторых, уменьшение а приводит
атомов
атомов
к
газа.
газа
увеличению
Благодаря
первому обстоятельству а. е уменьшается в некоторых случаях
при 62> 0,1, в других же случаях определяющим является увели­
чение потенциального барьера. Таким образом, влияние параметра а
на коэффициент аккомодации энергии до некоторой степени ,анало­
гично влиянию энергетического параметра 61' Влияние же пара­
метра а на аn сложнее. По-видимому, здесь сказывается не только
"энергетическое" влияние, но и изменения в индикатриссе рассеяния.
Результаты, приведенные на фиг. 2-5, свидетельствуют о том,
что для двух моделей твердого тела (полубесконечная решетка
упруго
связанных
атомов
и
ан-
самбль независимых гармонических осцилляторов)
качественная
зависимость
коэффициентов
ак-
11
J
,
J- ~
Е,=
J
/1,1
,
г
i'IO..
[,.,;
= 1111111
~~
- .....
1l,1111111~
~
~
,""J
~
..... '~
1u '"1
5, =Il,lIlIl ~
1 fz
\
[\
'"
,","
... 1/
1/
f'...
-]
~-
1/ l/
~ 1/.
~
~
... !;7 /
/
~
~
-;;;;
FJ.
....... :.....
-
-;;;;
..,
/
~
V
V
V
V
10~
-
~
" К t--- i--
~
t---
11,/10/
Фиг.
4
IЕ
./
о.::
n
-
/' 7
./
v .- -.;;/
~'
р=1
E,-1l,00/11
jX..
~
1Z=1<' IZ=II,!\..,
/
t,.f
"'"
.:s:~
~
&?
............
~
/:,=/1,110/
-..;;;
~
......
r--...
~ :---- г-. ~
........
А
//
-1
10
2
"''''
--....:
-
11'
L/ V
11,11/101
1--. ]:s ~
/
~
..... ......
Фиг.
:5
-"
1/1l11111 7
l,....
V
V
./
r--. ~
/
V
Е -~I111111
.......
г---. t-- ~ Е I =
i
V
"-
1--
~IIIII1!
111
\
'\.
j.- 1-1-
o'~
1u -;
Jl =1
3
P=Il,.fjIZ= 1
n
IP l? 1/
1- 1.-- ~ /
.... 1.../
J1\
J
L.-
jq r)
.... 1,..-
1-1-
-
-
111 J
*
L--~ t:""
1/ IS( j,e.
[\
!:/
~ F-
8
-*
/L = 1lO97
t'
I~ v
Фиг.
111'-2
Q= 1J,t!
v
I~
../
v
,- r1t'
....-: ~
V
/
25- :..-
f/,/1/1/
1l,/1/1/1/ "'::::. ~ V
~
\
~
I
Q= I
Jl = 11,.7"
\
=1
~ =
о.:: е
w'
'-.1
Фиг.
"'"
-1
llJ'~2
.......
1
5
45
комодации
от
параметров
задачи
одинаковая,
но
количествен­
ные
расхождения
могут
быть
значительными.
Эти
различия
проявляются в большей степени при уменьшении начальной ско­
рости атома газа, т. е.
и
при
при увеличении времени взаимодействия,
отношения
масс.
Результаты,
полученные
скоростях и [J. -+ 1, показывают, что В этом слу­
увеличении
при больших
чае справедливо положение,
высказанное ранее
одномерного
что
случая,
о
том,
не
кратного столкновения, хотя в трехмерном
является менее сильно,
в пределе при больших
[1, 7]
выполняется
для
квази­
условие
одно­
случае этот факт про­
чем в квазиодномерном. Напомним, что
начальных скоростях для квазиодномер­
ной задачи однократное столкновение атома газа и атома поверх­
<
ности происходит при [J.
?- *, а величина f.L * зависит от модели
твердого тела. Так, при взаимодействии с линейным гармониче­
-ским осциллятором
f.L* =0,697, а для модели полубесконечной
решетки упруго связанных атомов при л
1 величина 1-1-* = 0,84.
Отсюда следует, что при нарушении условия [J.
р.* при больших
скоростях атома газа связи атомов в решетке будут оказывать
=
влияние на взаимодействие, а так как
эти
мых
то
моделях
твердого
тела
различны,
чественным расхождениям в величинах
ции при f.L -+ 1.
<
связи
это
и
в
рассматривае­
приводит
коэффициентов
К
коли­
аккомода­
Величина f.L* для квазиодномерной задачи является границей
применимости по [J. модели свободных атомов при больших скоро­
стях. Результаты расчетов для трехмерного случая для модели
-свободных атомов, представленные на фиг. 2-5 линиями со звез­
дочками, также показывают, что при f.L
0,7 и больших начальных
<
скоростях величины С%е'
а при
[J. ~
-сравнение
можности
скоростях
1
полученные для трех моделей, близки,
расхождение
показывает,
что
применения
атома
газа
в
в
результатах
достаточно
велико.
Это
трехмерном
случае
оценки
воз­
модели
можно
свободных
пользоваться
для
при
больших
результатами,
атомов
получен­
ными для квазиодномерной задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Е Р о Ф е е в А. И. О взаимодействии быстрых частиц с по­
верхностью твердого тела .• Ученые записки ЦАГИ", т. 1, .N2 4, 1970.
2 П я Р н п у у А. А. Модели взаимодействия разреженного
газа с поверхностью. В сб. "Численные методы в теории разрежен­
ного газа". Изд. ВЦ АН СССР, 1968.
3_ О m а n R. А., В о g а пА., L I С. Н. Theoretfcal predlction of
momentum and energy accomodation for hyperve!oclty gas partic!es оп
ап idea! crystaJ surface. Rarefled Gas Dynamics. уо!. 1, ]967.
4. G о о d m а n F. О. Оп the theory of accomodation coefficients
V. C]asslca] theory of tllerma! accomodation and trapping. Rarefied Gas
Dynamics, уо!. 1, 1967.
5. Oman R. А., Bogan А., Weiser С. Н., Li С. Н. !nteractlon of gas mo!ecu]es wlth ап idea! crysta! surface. AIAA J, уо!. 2,
No 10. 1964.
6. Е р о Ф е е в А. И. Об обмене энергией и импульсом между
атомами и молекулами
газа
и
поверхностью твердого
тела. ПМТФ,
1967, .N2 2.
7. G о о d m а n Р. О. ТЬе dynamlcs of а simpJe сиЫс Jattics. 1. Ар­
plicalion 10 (Ье Iheory of therma] accomodatlon coefficlents. J. Phys. Chem.
Solids, уо!. 23, No 9, 1962.
Рукопись поступила
J7jX!l 197/
г