Òå÷åíèå æèäêîñòè â äåôîðìèðóåìîì çåðíèñòîì ñëîå ÓÄÊ 66.023:[532.5+536.2] Î.Í. Êàíäàóðîâ Течение жидкости в деформируемом зернистом слое Äàííîå èññëåäîâàíèå ìîæåò íàéòè ïðèìåíåíèå ïðè ðàñ÷åòå òå÷åíèÿ æèäêîñòè è ãàçà â äåôîðìèðîâàííûõ íåôòÿíûõ ïëàñòàõ, à òàêæå â óñòðîéñòâàõ, â êîòîðûõ æèäêîñòü ïðîòåêàåò ñêâîçü óïðóãî äåôîðìèðóåìóþ ïîðèñòóþ ñðåäó, êàæäàÿ ÷àñòèöà êîòîðîé ïðè äåôîðìàöèè íå ìåíÿåò ñâîåãî îáúåìà. Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ýòîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ìîäåëüþ, ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå 1. Âûÿñíèì çàâèñèìîñòü ðàñõîäà u íåñæèìàåìîé æèäêîñòè îò âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne, âûçûâàþùåãî óïðóãóþ äåôîðìàöèþ ïîðèñòîé çàñûïêè ïðè ãèäðàâëè÷åñêîì ïåðåïàäå äàâëåíèÿ ∆P. Vсвободного Vобщий ε= Ââèäó òîãî, ÷òî ïðè ñæàòèè ïëîùàäü íå ìåíÿåòñÿ, à ñæàòèå ïðîèñõîäèò òîëüêî çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ñâîáîäíîãî ïðîñòðàíñòâà ìåæäó ÷àñòèöàìè, ïîðèñòîñòü ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå: ∆L , L ε = ε0 − ãäå å0 – ïîðèñòîñòü çàñûïêè íå â ñæàòîì ñîñòîÿíèè. Îòñþäà ε = ε0 − 1 + e − Pvne E . (1.2) Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàñõîäà ñêâîçü ñæèìàåìóþ çàñûïêó âîñïîëüçóåìñÿ ïðàêòè÷åñêîé ôîðìóëîé, ðåçóëüòàòû êîòîðîé íàèáîëåå áëèçêè ê ýêñïåðèìåíòàëüíûì. Ýòî äâó÷ëåííàÿ ôîðìóëà óðàâíåíèÿ Ýðãàíà [1] ∆P (1 − ε) 2 µu 1 − ε ρu 2 = 150 + 1 . 75 , L0 ε 3d 2 ε3 d êîýôôèöèåíòû 150 è 1,75 â êîòîðîé ïîäîáðàíû íà îñíîâàíèè ìíîãî÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ðàçëè÷íûõ àâòîðîâ. Çäåñü L0 – âûñîòà ñëîÿ, ÷åðåç êîòîðûé ïðîèñõîäèò ïðîòåêàíèå æèäêîñòè; ∆P – ïåðåïàä äàâëåíèÿ æèäêîñòè; d – äèàìåòð ÷àñòèö â çàñûïêå; µ – âÿçêîñòü æèäêîñòè; ρ – ïëîòíîñòü æèäêîñòè; u – ðàñõîäíàÿ ñêîðîñòü ïîòîêà. Äëÿ íàøåé ìîäåëè L0 = L − ∆L , ò.å. Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü îò âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne Çàñûïêà âûïîëíåíà èç óïðóãèõ ÷àñòèö 1 îäèíàêîâîãî äèàìåòðà d è âûñîòîé L, êîòîðàÿ ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne ñïîñîáíû äåôîðìèðîâàòüñÿ. Ïðè ýòîì âûñîòà çàñûïêè ìåíÿåòñÿ íà ∆L . Ñêâîçü ýòîò ñëîé ïðîòåêàåò æèäêîñòü. Ïåðåïàä äàâëåíèÿ ∆P ïðè ïðîòåêàíèè æèäêîñòè ÷åðåç âíåøíèé ñëîé ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Äëÿ íàøåé ìîäåëè ïðè òàêîé íåëèíåéíîé äåôîðìàöèè çàêîí Ãóêà èìååò âèä: Pvne = E ln( L ), L − ∆L L0 = Le − Pvne E . (1.4) Ðåøèâ óðàâíåíèå (1.3) îòíîñèòåëüíî u è ïîäñòàâèâ â íåãî âûðàæåíèÿ (1.2) è (1.4) ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü u îò Pvne êàê ðåøåíèå êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ: (1.1) P Pvne − vne E (2 − ε − e E )2µ 0 ± P − vne (ε0 −1+ e E )3 − − ãäå E – ìîäóëü Þíãà äëÿ äåôîðìèðóåìîé çàñûïêè (âåùåñòâà). u= 150Le − 150Le ( Pvne E − (2 − ε0 − e − (ε0 −1+ e ∆L = E )2µ E )3d2 2 − ε0 − e − (ε0 −1 + e Pvne Pvne − 3.5Lρ Îòñþäà P − vne L − Le E (1.3) Pvne E − )2 + 7∆PLe − Pvne E ρ 2 − ε0 − e − ε0 −1+ e Pvne E Pvne E . (1.5) Pvne E )3d Ïîëüçóÿñü ôèçè÷åñêèì ñìûñëîì (ïðè óâåëè÷åíèè âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne ðàñõîä äîëæåí óìåíüøàòüñÿ), âìåñòî çíàêà ïëþñ-ìèíóñ â ôîðìóëå îñòàâëÿåì çíàê +. Ïðè ýòîì íå íóæíî çàáûâàòü, ÷òî Pvne ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ âû- . Ïîðèñòîñòü ïî îïðåäåëåíèþ åñòü îòíîøåíèå ñâîáîäíîãî îò ÷àñòèö îáúåìà êî âñåìó îáúåìó, ò.å. 97 ÔÈÇÈÊÀ Ðàñõîäíàÿ ñêîðîñòü ïîëíåíèÿ çàêîíà Ãóêà è, ñîîòâåòñòâåííî, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 0 ≤ ε ≤ ε 0 , à òàêæå âíåøíåå äàâëåíèå, âûçûâàþùåå äåôîðìàöèþ çàñûïêè, äîëæíî áûòü ìíîãî áîëüøå äàâëåíèÿ æèäêîñòè îêàçûâàåìîãî íà çàñûïêó. Ðàññìàòðèâàÿ êðèòåðèé Ðåíîëüäñà, âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àÿõ èìååì âÿçêèé õàðàêòåð òå÷åíèÿ, ò.å. êâàäðàòè÷íûì ÷ëåíîì â äâó÷ëåííîé ôîðìóëå (1.3) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà çàâèñèìîñòü u îò Pvne áóäåò èìåòü áîëåå ïðîñòîé âèä: u= ∆ P (ε 0 − 1 + e 150 Le − Pvne E − Pvne E )3 d 2 (2 − ε 0 − e − Pvne E )2 µ . (1.6) Ïðèìåíèâ ýòó ôîðìóëó, ïîñòðîèì ãðàôèê äëÿ îäíîãî èç ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ. Çåðíèñòûé ñëîé òîëùèíîé 0,01 ì, ñîñòîÿùèé èç ðåçèíîâûõ øàðèêîâ îäèíàêîâûõ äèàìåòðîâ d = 0.002 ì ñ ìîäóëåì Þíãà Å = 108 , ñæèìàåòñÿ ðåøåòêàìè. ×åðåç íåãî ïðîòåêàåò âîäà òåìïåðàòóðû 20 0Ñ. Ïåðåïàä äàâëåíèÿ æèäêîñòè ïîñòîÿíåí è ðàâåí ∆P = 105. Ê ðåøåòêàì ïðèêëàäûâàåòñÿ âíåøíåå äàâëåíèå â äèàïàçîíå Pvne îò 2*105 äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ïðè êîòîðîì ïîðèñòîñòü äåôîðìèðîâàííîãî ñëîÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ, ýòî íàõîäèòñÿ èç ôîðìóëû (1.1) ïðè ∆L=å 0L. Äëÿ ðåøåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì, ÷òî õàîòè÷íî óïàêîâàííàÿ ñòðóêòóðà èç øàðîâ îäèíàêîâîãî äèàìåòðà èìååò ïîðèñòîñòü ε = 0.4.  íàøåì ñëó÷àå ýòî ε0. Ïîëó÷èâøèéñÿ ãðàôèê, ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå 3, èëëþñòðèðóåò ðåçóëüòàò çàäà÷è.  ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ ðàñ÷åòîâ èññëåäîâàíà çàâèñèìîñòü ðàñõîäà ñêâîçü óïðóãî ñæèìàåìûé çåðíèñòûé ñëîé. Ñëåäóåò îòìåòèòü íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû (1.6). Âî-ïåðâûõ, òå÷åíèå äîëæíî áûòü âÿçêèì, à ýòî íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà ïðåäåëüíûå ðàñõîäíûå ñêîðîñ- Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ðàñõîäà u ñêâîçü çåðíèñòûé ñëîé îò âíåøíåãî äàâëåíèÿ Pvne òè. À åñëè âñå-òàêè òå÷åíèå èìååò øèðîêèé äèàïàçîí ÷èñåë Ðåíîëüäñà, ò.å. â îäíîì ñîñòîÿíèè ìàêñèìàëüíîå âîçäåéñòâèå íà òîðìîæåíèå ïîòîêà îêàçûâàþò ñèëû âÿçêîñòè, à â äðóãîì ñèëû èíåðöèè èëè îäíîâðåìåííî, òî ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (1.5). Âî-âòîðûõ, ïîòîê äîëæåí áûòü îáÿçàòåëüíî èçîòåðìè÷åñêèì. Âòðåòüèõ, êàê óæå áûëî ñêàçàíî âûøå, ðàññìîòðåíî âëèÿíèå óïðóãîé äåôîðìàöèè çåðíèñòîãî ñëîÿ, ïðè êîòîðîé äîëæåí ñîáëþäàòüñÿ çàêîí Ãóêà.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòîò äèàïàçîí ìîæåò óìåíüøàòü ïîðèñòîñòü âñåãî íà íåñêîëüêî ïðîöåíòîâ, íî â óñòðîéñòâàõ ïðè ïðèìåíåíèè çåðíèñòîãî ñëîÿ èç óïðóãèõ ýëàñòè÷íûõ ÷àñòèö ïîðèñòîñòü ìîæåò äîñòèãàòü íóëåâûõ çíà÷åíèé. À ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàñõîäíûå ñêîðîñòè ìîãóò ìåíÿòüñÿ â øèðîêîì äèàïàçîíå è äîñòèãàòü íóëåâûõ çíà÷åíèé, ÷òî èëëþñòðèðóåò ãðàôèê ðèñóíêå 2, ïîñòðîåííûé äëÿ ñëîÿ, ñîñòîÿùåãî èç ðåçèíîâûõ øàðèêîâ. Ýòîò ýôôåêò ìîæåò øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ â òåõíèêå. Ëèòåðàòóðà 1. Ergun S., Îrning A.A. Ind. Eng. Chem., 1949. V. 41. P. 1179. 2. Chem. Eng. Progr., 1952. V. 48. P. 227. 98