А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
кривые второго порядка
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
1 / 18
Окружность
Определение
Окружностью называется ГМТ плоскости, равноудаленных от одной и той же
точки этой плоскости.
Уравнение окружности с центром в точке (x0 ; y0 ) и радиусом R имеет вид:
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
2 / 18
Общее уравнение кривой второго порядка
Алгебраическая линия второго порядка определяется уравнением
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,
где коэффициенты a11 , a12 , a22 не равны нулю одновременно.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
3 / 18
Эллипс I
Определение
Эллипсом называется ГМТ плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть
величина постоянная, равная 2a.
Каноническое уравнение эллипса:
y2
x2
+
= 1, (b2 = a2 − c2 ).
a2
b2
где координаты фокусов эллипса F (c; 0) и F1 (−c; 0).
Расстояние между фокусами эллипса равно 2c. Точки пересечения эллипса
с осями координат (вершины):
A(a; 0), A1 (−a; 0), B(0; b), B1 (0; −b).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
4 / 18
Эллипс II
Определение
Отрезки AA1 = 2a, BB1 = 2b называются осями эллипса.
Определение
Эксцентриситет эллипса
e=
c
< 1.
a
.
Определение
Расстояния r и r1 точки M (x; y) эллипса до его фокусов называются
фокальными радиусами этой точки и определяются формулами
r = a − ex,
r1 = a + ex.
.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
5 / 18
Эллипс III
Определение
Две прямые P Q и P1 Q1 , параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на
a
расстоянии , называются директрисами эллипса:
e
a
a
x= , x=− ,
e
e
или
a2
a2
x=
, x=− .
c
c
Свойство
Отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и соответствующей
директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса:
r
= e,
d
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
r1
= e.
d1
2013г.
6 / 18
Эллипс IV
Уравнение эллипса с осями, параллельными координатным осям:
(y − y0 )2
(x − x0 )2
+
= 1,
a2
b2
где (x0 ; y0 ) – координаты центра эллипса.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(b2 = a2 − c2 ).
2013г.
7 / 18
Гипербола I
Определение
Гиперболой называется ГМТ плоскости, для каждой из которых абсолютное
значение разности расстояний до двух данных точек той же плоскости,
называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.
Каноническое уравнение гиперболы:
y2
x2
− 2 = 1, (b2 = c2 − a2 ).
2
a
b
где координаты фокусов гиперболы F (c; 0) и F1 (−c; 0).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
8 / 18
Гипербола II
Расстояние между фокусами гиперболы равно 2c.
Точки пересечения гиперболы с осью абсцисс (действительные вершины):
A(a; 0), A1 (−a; 0).
Отрезок AA1 = 2a называется действительной осью гиперболы.
Точки плоскости с координатами
B(0; b), B1 (0; −b),
называются мнимыми вершинами. Отрезок BB1 = 2b называется мнимой осью
гиперболы.
Определение
Эксцентриситет гиперболы
e=
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
c
> 1.
a
2013г.
9 / 18
Гипербола III
Определение
Расстояния r и r1 точки M (x; y) гиперболы до его фокусов называются
фокальными радиусами этой точки и определяются формулами
r = ex − a,
r1 = ex + a,
если точка лежит на правой ветви;
r = −(ex − a),
r1 = −(ex + a),
если точка лежит на левой ветви.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
10 / 18
Гипербола IV
Определение
Две прямые P Q и P1 Q1 , параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от
a
нее на расстоянии , называются директрисами гиперболы:
e
a
a
x= , x=− ,
e
e
или
a2
a2
, x=− .
x=
c
c
Свойство
Отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей
директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы:
r
= e,
d
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
r1
= e.
d1
2013г.
11 / 18
Гипербола V
Определение
Прямые RS и R1 S1 , определяемые уравнениями
y=
b
x,
a
b
y = − x,
a
называются асимптотами гиперболы.
Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным осям:
(x − x0 )2
(y − y0 )2
−
= 1,
2
a
b2
где (x0 ; y0 ) – координаты центра гиперболы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(b2 = c2 − a2 ).
2013г.
12 / 18
Гипербола VI
Определение
Две гиперболы, выраженные уравнениями
y2
x2
− 2 = 1,
2
a
b
называются сопряженными.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
−
x2
y2
+ 2 = 1,
2
a
b
2013г.
13 / 18
Гипербола VII
Определение
Если оси гиперболы равны, т. е. a = b, то гипербола называется равнобочной или
равносторонней:
x2 − y 2 = a2 ;
её асимптотами служат биссектрисы координатных углов.
Свойство
Если за оси координат принять асимптоты равносторонней гиперболы, то её
уравнение примет вид
a2
xy =
.
2
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
14 / 18
Парабола I
Определение
Параболой называется ГМТ плоскости, равноудалённых от данной точки –
фокуса и данной прямой – директрисы.
Каноническое уравнение параболы:
y 2 = 2px,
где p – расстояние от фокуса до директрисы; вершина параболы находится в
начале координат, осью симметрии служит ось абсцисс. Координаты фокуса
p
F ( ; 0).
2
Определение
Уравнение директрисы P Q параболы:
p
x=− .
2
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
15 / 18
Парабола II
Определение
Фокальный радиус точки M (x; y):
r =x+
p
.
2
Свойство
Отношение расстояний любой точки параболы до фокуса и директрисы есть
величина постоянная, равная эксцентриситету параболы:
r
= e = 1.
d
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
16 / 18
Парабола III
Определение
Если осью симметрии параболы служит ось ординат, то уравнение параболы
имеет вид:
x2 = 2py;
уравнение директрисы в этом случае
p
y=− .
2
Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной одной из
координатных осей, имеет вид:
(y − y0 )2 = 2p(x − x0 ),
или
(x − x0 )2 = 2p(y − y0 ).
где (x0 ; y0 ) – координаты вершины параболы.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
17 / 18
Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных
координатах I
Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
имеют вид
ρ=
p
,
1 − e cos ϕ
где e – эксцентриситет кривой: для эллипса e < 1, для гиперболы e > 1, для
параболы e = 1; p – фокальный параметр для эллипса и гиперболы находится по
b2
формуле p = .
a
Для параболы p имеет то же значение, что и в уравнении
y 2 = 2px.
Замечание
При этом полюс расположен для эллипса в левом фокусе, для гиперболы – в
правом фокусе.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
18 / 18