Движение тела-точки в центральном потенциальном поле

Диссертация на соискание
академической степени магистра
направление 010800
“Механика и математическое моделирование”
Движение тела-точки в центральном
потенциальном поле
Выполнил:
Бублий Илья
Руководитель:
Е. А. Иванова. д.ф.-м.н., проф. каф. ТМ СПбГПУ
Актуальность и цель работы
В конце 20го века П. А. Жилин ввел в рассмотрение тело-точку
общего вида:
1
1
K =m
v·v+Bv·ω+ Jω·ω
2
2
и показал, что траектория свободного
движения такого объекта представляет
собой винтовую линию и совпадает с траекторией заряженной материальной точки, движущейся в однородном магнитном
поле с постоянной по модулю скоростью.
- Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики.
Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГПУ,
2003. 340 с.
Актуальность и цель работы
Известно, что материальная точка в центральном силовом поле
движется в плоскости. В то же время экспериментальные
данные показывают, что орбита Луны (в системе Земля - Луна)
выходит из плоскости. Согласно квантово-механическим
представлениям электронные орбитали атомов представляют
собой пространственные области.
Цель работы: исследовать задачу о движении тела-точки
общего вида в центральном силовом поле (гравитационном или
кулоновском), для того, чтобы проверить наличие
пространственных траекторий и установить условия, при
которых они возникают.
Содержание
1. Постановка задачи
2. Численный анализ в зависимости от параматров задачи
3. Сравнение траектории с орбитой Луны
4. Сравнение области, заполняемой траекторией частицы, с
электронной орбиталью атома водорода
5. Заключение
Постановка задачи
Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного
гравитационного центра и тела-точки с кинетической энергией
1
1
v·v+Bv·ω+ Jω·ω
K =m
2
2
Тело-точка обладает количеством движения и собственным
кинетическим моментом вида:
K1 = m (v + B ω) ,
K2 = m (B v + J ω) ,
Уравнения движения частицы:
dK1
= F,
dt
dKQ
2
=0
dt
Здесь A = const и KQ
2 = K = const.
KQ
2 = R × K1 + K2
Обезразмеривание системы уравнений
Для численного исследования система уравнений движения
тела-точки была преобразована, обезразмерена и приняла вид:
(
r
r00 + Ω0 = − 3
r
r00 + J∗ Ω0 = Ω × r0
Здесь r, r - безразмерные вектор и модуль радиуса-вектора
соответственно, Ω - безразмерная угловая скорость, штрихом
обозначена производная по безразмерному времени τ . Эти
величины и константа J∗ связаны с размерными параметрами
выражениями:
r
r
B3 m
A
J
τ,
R = B r,
ω=
Ω,
J∗ = 2
t=
3
A
B m
B
Результаты численных расчетов
Ω0 , v0 , r0 взаимно ортогональны. Траектории тела-точки:
Результаты численных расчетов
Проекции векторов количества движения (вверху) и
собственного кинетического момента (внизу) на плоскость
перпендикулярную полному кинетическому моменту системы:
Анализ поведения проекции количества движения на плоскость
перпендикулярную полному кинетическому моменту при
увеличении параметра (слева - направо)
• Период одного витка, угол на который поворачивается
«эллипс» после каждого витка, сжатие «эллипса» вдоль
одной из его осей увеличиваются;
Анализ поведения проекции вектора собственного
кинетического момента на плоскость, перпендикулярную
вектору полного кинетического момента, при увеличении
параметра (слева - направо)
Число вершин циклоиды, угол поворота витка, период витка,
а также площадь, охватываемая графиком, увеличиваются.
Анализ поведения орта количества движения при увеличении
параметра (слева - направо)
• Ширина полосы, описываемой вершиной орта на единичной сфере
увеличивается
Результаты численных расчетов
Ω0 направлен вдоль v0 (вверху), Ω0 направлен вдоль r0 (внизу)
Анализ поведения проекции радиуса-вектора на плоскость
перпендикулярную полному кинетическому моменту при
увеличении параметра (слева - направо)
• Сжатие «эллипса», угол поворота витка, период витка, кратчайшее
расстояние между «эллипсом» и центром гравитации, а также
площадь охватываемая графиком увеличиваются
Анализ поведения орта количества движения при увеличении
параметра (слева - направо)
• Угол между плоскостями соседних витков траектории
конца орта и период одного витка увеличивается
Анализ поведения радиуса-вектора при увеличении
параметра (слева - направо)
•
•
Угол между плоскостями соседних витков траектории, период одного витка, амплитуда
колебаний модуля радиуса-вектора, сжатие тора в направлении полного кинетического
момента увеличиваются
Число витков, необходимое для оборота плоскости орбиты вокруг вектора полного
кинетического момента уменьшается
Зависимость характера траектории от параметра B
n
B = 10m
type 2
type 3
type 4
Рис.: type 1 - эллипс, type 5 - точка улетела или упала
Сравнение траектории с орбитой Луны
Расчеты проводились для параметров
задачи о движении Луны вокруг Земли.
Дополнительный параметр B ∗ = Bm
варьировался в широких пределах.
При значениях B ∗ порядка 1022 кг·м
траектория тела-точки напоминает
колебания угла наклона плоскости
орбиты Луны к плоскости
эклиптики и имеет вид:
-М. М. Дагаев. Солнечные и
лунные затмения. Изд-во «Наука»,
1978 210с.
Некоторые сведения об атоме водорода
• Известны энергетические характеристики. Они зависят от
главного квантового числа n = 1, 2, 3, ...
1
• Спин электрона s = ± в единицах ~.
2
• Орбитальное квантовое число l = 0, 1, 2, ..., n−1.
• Магнитное квантовое число m принимает значения
от −l до +l включая 0.
Частное решение задачи о движении тела-точки
вблизи центра притяжения
Рассматривается частное решение задачи, а именно случай
|K1 | = const. Начальные условия должны быть такими, что:
v0 · (v0 + Bω 0 ) =
A
,
m|R0 |
R0 · (v0 + Bω 0 ) = 0
В этом случае задача сводится к решению уравнения для |R|:
2 |K|2 +|K |2 −2J 2 |K |2
B
d 2 |R|2
B 2 |K1 |2
2JA
1
2
1
+ 2
|R|2 −
=
2
2
2
2
2
2
2
dt
m (J −B )
m(J −B ) |R|
m (J −B )
Начальные условия:
|R|
t=0
= |R0 |,
d|R| v0 · R0
=
dt t=0
|R0 |
Для частного решения доказаны следующие факты:
1. Если R0 · v0 = 0, траектория — окружность, |R| = const.
Если R0 · v0 6= 0, траектория — пространственная кривая.
При любых начальных условиях |R| =
6 const.
2. Пусть R0 · v0 6= 0. Введем обозначение cos β =
K1 · K2
.
|K1 ||K2 |
Из интеграла энергии следует:
1
1
2B|K1 ||K2 |
=
+
(cos β − cos β0 )
|R|
|R0 | Am(J −B 2 )
Тогда:
R1 ≤ |R| ≤ R2
где
1
1
2B|K1 ||K2 |
−
=
.
R1 R2
Am(J − B 2 )
Результаты численных расчетов
Траектории тела-точки, соответствующие различным
моментам времени:
Параметры задачи выбраны так, чтобы траектории тела-точки
находились в тонком концентрическом шаровом слое, подобном
электронному облаку в атоме водорода.
Результаты численных расчетов
Проекции радиус-вектора R на плоскость, ортогональную
вектору K, построенные в разные моменты времени:
Параметры задачи и значения моментов времени — такие же,
как для пространственных траекторий тела-точки.
Приближенное решение для частного случая
|K1 | = const:
Поскольку R1 ≤ |R| ≤ R2 и начальные условия можно выбрать
так, что |R2 − R1 | |R0 |, решение можно искать в форме:
|R| = |R0 | 1 + ξ(t) ,
|ξ(t)| 1
Уравнение для ξ(t) имеет вид:
d 2ξ
+ Ω2 ξ = 0,
dt 2
Доказано:
Ω2 =
B 2 |K1 |2
AJ
+
2
2
m (J −B ) m(J −B 2 )|R0 |3
K · K2
1
|R0 |2 |K1 |2 ξ(t)
=
−
|K|2 +|K2 |2 −|R0 |2 |K1 |2
2 |K|2 +|K2 |2 −|R0 |2 |K1 |2
Аналог спина:
K · K2
1
|K|2 +|K2 |2 −|R0 |2 |K1 |2 ≈ ± 2
Заключение
• Исследованы зависимости радиуса-вектора, количества
движения и собственного кинетического момента от
начальных условий и параметра J∗ . Построено множество
пространственных траекторий движения тела-точки вблизи
центра притяжения.
• Возможно движение, при котором угол наклона плоскости
орбиты тела-точки к плосткости, ортогональной вектору
полного кинетичего момента, совершает колебания,
подобные колебаниям угла наклона плоскости орбиты
Луны к плоскости эклиптики.
• Существуют траектории, лежащие в сферическом слое,
аналогичном электронной орбитали вокруг атома водорода
в невозбужденном состоянии. Найдены параметры,
регулируя которые можно менять толщину этого слоя.
Спасибо за внимание!
Тело-точка общего вида
По определению тела-точки, его кинетическая энергия —
квадратичная форма трансляционной и угловой скоростей:
K =m
1
1
v·v+v·B·ω+ ω·J·ω
2
2
Важный факт. У твердого тела: B = −BT . У тела-точки
общего вида: тензор B может быть произвольным!
Количество движения и собственный кинетический момент:
K1 =
∂K
= m (v + B · ω) ,
∂v
Кинетический момент,
вычисленный относительно
опорной точки Q:
K2 =
∂K
= m (B · v + J · ω)
∂ω
KQ
2 = (R − RQ ) × K1 + K2
Движение тела-точки вблизи центра притяжения
Доказано, что задача сводится к решению системы уравнений
относительно переменных |R| и |K1 |2 :
2 2
B2
B2
d 2 |R|2
3 d|K1 |
−
|R|
+
|R|2 |K1 |2 −
dt 2
4A2 m2 (J − B 2 )2
dt
m2 (J −B 2 )2
B 2 |K|2 +|K2 |2 +JD
2AJ
1
−
=
,
m(J −B 2 ) |R|
m2 (J −B 2 )2
2
d
AJ
AD
3 d|K1 |
|R|
+
|K1 |2 = −
.
2
dt
dt
m(J − B )
m(J − B 2 )
Константа D имеет вид:
D=
m2 (J − B 2 )2 |v0 |2 − B 2 |K2 |2 2Am(J − B 2 )
−
J
|R0 |
Движение тела-точки вблизи центра притяжения
После того, как найдены величины |R| и |K1 |2 , можно найти
вектор K1 . Для этого надо представить K1 в полярной системе
координат и воспользоваться уравнениями:
Am(J −B 2 )
J|K1 |2 − D
−
,
K1 · K1 = |K1 |2 ,
2B
B|R|
dK1
A
m2 (J −B 2 )2 d 2 |R|2 AmJ(J −B 2 )2
2 JD
K · K1 ×
=
|K| + 2 −
+
dt
|R|3
B
2B 2
dt 2
B 2 |R|
K · K1 =
После того, как найден вектор K1 , можно найти векторы R, K2 , v и ω:
R=−
|R|3 dK1
,
A dt
K2 = K−R×K1 ,
v=
JK1 −BK2
,
m(J −B 2 )
ω=
K2 −BK1
m(J −B 2 )