РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ИНФОРМАЦИОНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ДЁГТЕВ А. Н., ПЛАТОНОВ М.Л.
АЛГЕБРА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ.
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ – 010100.62 «МАТЕМАТИКА»
ПРОФИЛЬ ПОДГОТОВКИ – «АЛГЕБРА, ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА»
«ВЕЩЕСТВЕННЫЙ,
КОМПЛЕКСНЫЙ
И
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ»
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ,
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ОПТИМАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ»
«ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
МАТЕМАТИКА
И
ИНФОРМАТИКА»
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
2011
ДЁГТЕВ А. Н., Платонов М.Л. «АЛГЕБРА». Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа дисциплины «Алгебра» для студентов очной формы обучения по направлению
подготовки 010100.62 «Математика» и профилям подготовки «Алгебра, теория чисел,
математическая логика», «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»,
«Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление»,
«Вычислительная математика и информатика». Тюмень, 2011, 17 стр.
Рабочая программа дисциплины «Алгебра» составлена в соответствии с
требованиями федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования и основной образовательной программы по
направлению подготовки 010100.62 «Математика» и профилям подготовки «Алгебра,
теория чисел, математическая логика», «Вещественный, комплексный и функциональный
анализ», «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное
управление», «Вычислительная математика и информатика».
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Алгебра» [электронный
ресурс]/Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к электронному изданию кафедрой алгебры и математической
логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и математической
логики Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2011
© Дёгтев А. Н., 2011
2
1.
Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи изучения дисциплины.
Предметом изучения дисциплины являются основные понятия и методы общей и
линейной алгебры.
Работа над материалом учебной дисциплины «Алгебра» позволяет реализовать
следующие цели и задачи:
1.1.1. Цели преподавания дисциплины.
Цели преподавания учебной дисциплины «Алгебра» можно
сформулировать следующим образом:






Обеспечение базовой математической подготовки специалистов в
соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования и учебному плану по направлению
010100.62 «Математика».
Обучение студентов фундаментальным понятиям и основным методам общей
и линейной алгебры;
Формирование теоретических знаний и практических навыков решения задач,
необходимых в дальнейшей учебной и последующей профессиональной
деятельности;
Формирование и развитие логического и аналитического мышления, опыта
творческой и исследовательской деятельности, необходимого для решения
научных задач теоретического и прикладного характера;
Повышение интеллектуального уровня;
Формирование научного мировоззрения, математического мышления,
представлений о значимости математики как части современной человеческой
культуры, в развитии цивилизации, о математике как форме описания и
методе познания действительности.
1.1.2. Задачи изучения дисциплины.
Основными задачами изучения дисциплины являются:






Изучить материал учебной дисциплины;
Усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения
материала учебной дисциплины;
Приобрести навыки самостоятельного решения теоретических и практических
задач различных видов и уровней сложности;
Выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов
и результатов;
Освоить средства приобретения, накопления и преобразование знаний,
широкому их использованию в практической и будущей профессиональной
деятельности.
Обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки;
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина «Алгебра» принадлежит к числу дисциплин общепрофессиональной
части профессионального цикла 3-ей части ФГОС ВПО подготовки по направлению
010100.62 «Математика».
Материал дисциплины «Алгебра» является обязательным материалом для
изучения при подготовке бакалавров по направлению 010100.62 «Математика» и
непосредственно связан с материалами других дисциплин математического и
естественнонаучного, профессионального циклов таких, как аналитическая геометрия,
дифференциальная геометрия и топология, физика, дифференциальные уравнения,
теория чисел, методы оптимизации, физика, дискретная математика.
Знания, умения и навыки, полученные студентами в результате усвоения
материала учебной дисциплины «Алгебра», могут быть использованы во всех видах
деятельности в соответствии с федеральным государственным образовательным
3
стандартом и основной образовательной программой высшего профессионального
образования по направлению подготовки 010100.62 «Математика».
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в
результате освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины “Алгебра” по направлению подготовки
010100.62 “Математика” с квалификацией (степенью) “бакалавр” в соответствии с целями
основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности,
указанными в ФГОС ВПО, должен обладать следующими компетенциями:
Общекультурными компетенциями:
 способностью применять знания на практике (ОК-6);
 способностью приобретать новые знания, используя современные
образовательные и информационные технологии (ОК-8);
 способностью понимать сущность и значение информации в развитии
современного
общества,
соблюдением
основных
требований
информационной безопасности, в том числе защиты государственных
интересов и приоритетов (ОК-9);
 фундаментальной подготовкой по основам профессиональных знаний и
готовностью к использованию их в профессиональной деятельности (ОК-11);
 навыками работы с компьютером (ОК-12);
 способностью к анализу и синтезу (ОК-14);
 способность к письменной и устной коммуникации на русском языке (ОК15).
Профессиональными компетенциями:
 умением формулировать результат (ПК-3);
 умением строго доказать утверждение (ПК-4);
 умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
 умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
 знанием корректных постановок классических задач (ПК-9);
 пониманием корректности постановок задач (ПК-10);
 пониманием того, что фундаментальное знание является основой
компьютерных наук (ПК-12);
 выделением главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16);
 владением методами математического и алгоритмического моделирования
при решении прикладных задач (ПК-20);
 владением методами математического и алгоритмического моделирования
при анализе теоретических проблем и задач (ПК-21);
 владением проблемно-задачной формой представления математических
знаний (ПК-22);
 умением самостоятельно математически корректно ставить естественнонаучные и инженерно-физические задачи (ПК-25);
 возможностью преподавания физико-математических дисциплин и
информатики в средней школе и средних специальных образовательных
учреждениях на основе полученного фундаментального образования (ПК29).
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате освоения материала учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел»
студент должен
знать:
4



сущность основных понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
основные формулировки понятий и результатов, изучаемых в дисциплине;
основные методы решения задач алгебры и теории чисел, целые и комплексные
числа, многочлены над произвольным полем, вычисление корней многочлена,
алгебраические уравнения, определители, общую теорию систем линейных
уравнений, действия над матрицами, квадратичные формы, дробно-рациональные
функции, основы теории групп, векторные пространства, линейные отображения и
операторы, евклидовы и унитарные пространства, алгебры.
уметь:
 самостоятельно использовать теоретические и практические знания для решения
задач различных типов и различных уровней сложности, как в рамках изучаемой
дисциплины, так и в других дисциплинах, использующих материалы данной
дисциплины;
анализировать полученные результаты.

владеть:
 символикой изучаемой дисциплины;
 терминологией изучаемой дисциплины;
 навыками практического использования математического аппарата дисциплины

2.
для решения различных задач, возникающих в дальнейшей учебной и
профессиональной деятельности;
навыками научного творчества.
Трудоёмкость дисциплины.
Таблица 1.
Виды занятий
Аудиторные занятия, всего
В том числе:
Лекционные занятия (ЛЗ)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (СРС), всего
Вид промежуточной аттестации (зачёт,
экзамен)
Общая трудоёмкость дисциплины
Всего (часов)
288
144
144
252
часов
зач. ед.
540
15
1
72
Семестр
2
144
3
72
36
36
63
Зачёт
Экзамен
135
3,75
72
72
126
Зачёт
Экзамен
270
7,5
36
36
63
Зачёт
Экзамен
135
3,75
5
3.
Тематический план.
Таблица 2.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
Модуль 1.1.
Основные алгебраические системы
Матрицы и определители
Всего по модулю 1.1.
Модуль 1.2.
Линейные пространства
Системы векторов, базис, ранг матриц
Решение систем линейных уравнений
Всего по модулю 1.2.
Модуль 1.3.
Кольцо многочленов
Корни многочленов
Всего по модулю 1.3.
Итого (часов, баллов) по 1 семестру:
Из них часов в интерактивной форме:
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2.3.1.
2.3.2.
3.
3.1.
3.1.1.
3.1.2.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.3.
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
Модуль 2.1.
Линейные преобразования
Теория Жордана
Всего по модулю 2.1.
Модуль 2.2.
Унитарные пространства
Билинейные формы
Всего по модулю 2
Модуль 2.3.
Аффинные пространства
Проективная плоскость
Всего по модулю 3
Итого (часов, баллов) по 2 семестру:
Из них часов в интерактивной форме:
Модуль 3.1.
Группы и фактор-группы
Конечные абелевы группы
Всего по модулю 2.1.
Модуль 3.2.
Коммутативные кольца
Симметрические многочлены и рациональные
дроби
Всего по модулю 2
Модуль 3.3.
Поля и их расширеня
Конечные и совершенные поля
Основная теорема о поле комплексных чисел
Всего по модулю 3
Итого (часов, баллов) по 3 семестру:
Из них часов в интерактивной форме:
Итого по дисциплине
3
4
1 семестр
Итого количество
баллов
Из них в активной
интерактивной формах
Итого часов по теме
2
Самостоятельная
работа
1
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
Практические
занятия
Тема
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в час.
Лекционные занятия
№
недели семестра
Тематический план дисциплины.
5
7
8
9
10
1 -3
4-6
6
6
12
4
8
12
6
12
18
16
26
42
2
2
4
0-4
0-30
0-34
7-8
9-10
11-12
4
4
4
12
3
3
6
12
5
5
11
21
12
12
21
45
2
2
2
6
0-1
0-2
0-30
0-33
13-15
16-18
6
6
12
6
6
12
12
12
24
24
24
48
4
4
8
0-15
0-18
0-33
36
6
2 семестр
36
12
63
135
18
0-100
1-3
4-6
12
12
24
10
14
24
16
26
42
38
52
90
4
4
8
0-20
0-26
0-46
7-10
11-12
14
10
24
12
12
24
26
30
56
52
52
104
4
4
8
0-20
0-26
0-46
12
12
24
72
12
3 семестр
14
10
24
72
12
18
10
28
126
44
32
76
270
4
4
8
24
0-4
0-4
0-8
0-100
13-15
16-18
1-3
4-5
6
4
10
4
4
8
6
4
10
16
12
28
4
2
6
0-12
0-8
0-20
6-9
8
4
10
22
4
0-10
10-11
4
8
19
31
2
0-30
12
12
29
53
6
0-40
12-14
15-17
8
4
8
8
12
12
28
24
4
4
0-20
0-20
17-18
2
14
36
12
144
16
36
8
144
24
63
2
54
135
8
20
0-40
0-100
252
540
62
0-300
6
Таблица 3.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля. 1 семестр.
Устный опрос
№ семестра, модуля, темы
собеседование
Письменные работы
коллоквиум
контрольная работа
Итого количество
баллов
0-30
0-30
0-4
0-30
0-34
0-30
0-30
0-1
0-2
0-30
0-33
0-15
0-15
0-30
0-90
0-15
0-18
0-33
0-100
1 семестр
Модуль 1.1.
1.1.1.
1.1.2.
0-2
Всего
Модуль 1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
0-2
0-2
0-2
0-1
0-2
Всего
0-3
Модуль 1.3.
1.3.1.
1.3.2.
Всего
Итого за 1 семестр
Модуль 2.1.
2.1.1.
2.1.2.
0-5
0-3
0-3
0-5
2 семестр
Всего
0-3
0-3
0-3
0-3
0-20
0-20
0-40
0-20
0-26
0-46
Всего
0-3
0-3
0-3
0-3
0-20
0-20
0-40
0-20
0-26
0-46
Всего
Итого за 2 семестр
0-2
0-2
0-4
0-10
0-2
0-2
0-4
0-10
3 семестр
0-80
0-4
0-4
0-8
0-100
Модуль 2.2.
2.2.1.
2.2.2.
Модуль 3
2.3.1.
2.3.2.
Модуль 3.1.
3.1.1.
3.1.2.
0-2
Всего
Модуль 3.2.
3.2.1.
3.2.2.
Всего
Модуль 3
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
Всего
Итого за 3 семестр
Итого по дисциплине
0-10
0-2
0-8
0-8
0-5
0-5
0-10
0-12
0-8
0-20
0-10
0-30
0-40
0-5
0-5
0-30
0-30
0-5
0-5
0-20
0-10
0-20
0-20
0-5
0-12
0-27
0-5
0-18
0-33
0-30
0-70
0-240
0-40
0-100
0-300
7
Таблица 4.
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
Модули и темы
обязательные
дополнительные
1 семестр
Модуль 1.1.
Основные алгебраические
системы
Матрицы и определители
Проработка лекций
Работа с основной литературой
Решение типовых задач
Работа с дополнительной
литературой
Работа с интернет-ресурсами
1–3
6
0-4
4– 6
12
0-30
18
0-34
Всего по модулю 1.1.:
1.2.
1.2.1
1.2.2.
1.2.3.
Модуль 1.2.
Линейные пространства
Системы векторов, базис,
ранг матриц
Решение систем линейных
уравнений
Проработка лекций
Работа с основной литературой
Решение типовых задач
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
7-8
5
0-1
9-10
5
0-2
11-12
11
0-30
21
0-33
13-15
12
0-15
16-18
12
0-18
24
63
0-33
0-100
1-3
16
0-20
4-6
26
0-26
42
0-46
7-10
26
0-20
11-12
30
0-26
56
0-46
13-15
18
0-4
16-18
10
0-4
28
126
0-8
0-100
6
0-12
Всего по модулю 1.2.:
1.3.
Модуль 1.3.
1.3.1.
Кольцо многочленов
1.3.2.
Корни многочленов
2.
2.1.
Модуль 2.1.
2.1.1.
Линейные преобразования
2.1.2.
Теория Жордана
2.2.
Модуль 2.2.
2.2.1.
Унитарные пространства
2.2.2.
Билинейные формы
2.3.
Модуль 2.3.
2.3.1.
Аффинные пространства
2.3.2.
Проективная плоскость
3.
3.1.
Модуль 3.1.
3.1.1.
Группы и фактор-группы
3.1.2.
Конечные абелевы группы
3.2.
Модуль 3.2.
3.2.1.
Коммутативные кольца
3.2.2.
Симметрические
многочлены и
рациональные дроби
3.3.
Модуль 3.3.
Проработка лекций, работа с
литературой, решение
типовых задач
Всего по модулю 1.3.:
Итого по 1 семестру:
2 семестр
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернкт-ресурсами
Проработка лекций, работа с
основной литературой, решение
типовых задач
Всего по модулю 2.1.:
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
Проработка лекций, работа с
основной литературой, решение
типовых задач
Всего по модулю 2.2.:
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет ресурсами
Проработка лекций, работа с
литературой, решение
типовых задач
Всего по модулю 2.3.:
Итого по 2 семестру:
3 семестр
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
Проработка лекций, работа с
основной литературой, решение
типовых задач
Всего по модулю 3.1.:
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
Проработка лекций, работа с
основной литературой, решение
типовых задач
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет ресурсами
1-3
4-5
4
0-8
10
0-20
6-9
10
0-10
10-11
19
0-30
29
0-40
12-14
12
0-20
16-17
12
0-20
24
63
252
0-40
0-100
0-300
Всего по модулю 3.2.:
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
Количество баллов
№
Объём часов
Виды СРС
Неделя семестра
Планирование самостоятельной работы студентов.
Поля и их расширения
Конечные и совершенные
поля
Основная теорема о поле
комплексных чисел
Проработка лекций, работа с
литературой, решение
типовых задач
Всего по модулю 3.3.:
Итого по 2 семестру:
Итого по дисциплине
Работа с дополнительной
литературой, работа с
интернет-ресурсами
17-18
8
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
Темы дисциплины необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Наименование дисциплины
1
2
3
4
5
6
Аналитическая геометрия
Функциональный анализ
Математический анализ
Комплексный анализ
Дифференциальные уравнения
Методы вычислений
5.
1.1.1.
1.1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.2.2.
1.3.1.
1.3.2.
2.1.1.
2.1.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.1.
2.3.2.
3.1.1.
3.1.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.3.1.
3.3.2.
3.3.3.
№
п/п
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + +
+
+ + + + +
+ + + + + +
+ +
+
+ +
+
+
+
+
+ + +
+ +
+
+
Содержание дисциплины.
ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
МОДУЛЬ 1.1.
Тема № 1.1.1. Основные алгебраические системы.
Операции и отображения. Сравнение множеств по мощности. Теорема
Кантора. Принцип математической индукции. Группы, кольца, поля.
Тема № 1.1.2. Матрицы и определители..
Алгебра матриц. Понятие определителя и его свойства. Теорема Лапласа и
два следствия. Теоремы о произведении определителей. Обратной
матрице. Правило Крамера.
МОДУЛЬ 1.2.
Тема № 1.2.1. Линейные пространства.
Аксиоматика линейных пространств над произвольным полем. Теорема об
изоморфизме. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств.
Теоремы о размерностях пересечения, суммы и прямой суммы
подпространств.
Тема № 1.2.2. Системы векторов, базис, ранг матриц.
Леммы о линейно независимых системах векторов и порождающих.
Теоремы о базисах и ранге матриц.
Тема № 1.2.3. Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных уравнений.
Нахождение фундаментальной системы решений СЛОУ.
МОДУЛЬ 1.3.
Тема № 1.3.1. Кольцо многочленов.
Деление многочленов с остатком, следствие Безу. Алгоритм Евклида и два
следствия. Основная теорема о поле комплексных чисел (без
доказательства) и обобщённые формулы Виета для многочленов из
комплексного поля.
Тема № 1.3.2. Корни многочленов.
Теорема Штурма и существование систем Штурма. Леммы Гаусса и о
неразложимых многочленах из кольца целых чисел. Критерий
Эйзенштейна. Метод Горнера, нахождение целых и рациональных корней
целочисленных многочленов.
ВТОРОЙ СЕМЕСТР
МОДУЛЬ 2.1.
9
Тема № 2.1.1. Линейные преобразования.
Линейные преобразования и их матрицы. Вывод формул связи координат векторов
в разных базисах, связи координат образов и прообразов векторов, связи матриц
линейного преобразования, характеристических корней и собственных значений.
Теоремы о ранге и дефекте и Гамильтона-Кэли.
Тема № 2.1.2. Теория Жордана.
Элементарные преобразования лямбда-матриц. Теоремы о каноническом виде и
НОДах. Связь инвариантных делителей лямбда-матриц с их НОДами. Дав условия
эквивалентности. Элементарные делители клеточно-диагональной лямба-матрицы.
Критерий подобия матриц. Теорема Жордана.
МОДУЛЬ 2.2.
Тема № 2.2.1. Унитарные пространства.
Унитарные и евклидовы пространства. Неравенства Коши-Буняковского,
треугольника, Бесселя и равенство Парсеваля. Метод ортогонализации ГрамаШмидта. Описание линейных функций и свойства сопряжённых преобразований.
Теоремы о нормальных преобразованиях в унитарном и евклидовом
пространствах. Основные результаты об унитарных (ортогональных), эрмитовых
(симметрических) и кососимметрических преобразованиях.
Тема № 2.2.2. Билинейные формы.
Билинейные формы, приведение билинейных к каноническому виду. Алгоритм
Лагранжа. Закон инерции. Теоремы о распадающихся и положительно
определённых квадратичных формах. Критерий Сильвестра.
МОДУЛЬ 2.3.
Тема № 2.3.1. Аффинные пространства, аффинные преобразования и
движения.
Аксиомы Вейля аффинного пространства., следствия. Системы координат,
плоскости и параллелепипеды. Геометрически независимые системы точек,
барицентрические координаты и симплексы. Системы уравнений. Аффинные
преобразования и условия их задания. Теорема о движениях и их классификация.
Теория гиперплоскостей в аффинном пространстве и их классификация.
Тема № 2.3.2. Проективная плоскость.
Проективная плоскость, однородные координаты и принцип двойственности.
ТРЕТИЙ СЕМЕСТР
МОДУЛЬ 3.1.
Тема № 3.1.1. Группы и фактор-группы.
Группы, порождающие. Описание циклических групп и их подгрупп. Теоремы
Фраттини, Лагранжа и Кэли. Определение фактор-группы., теоремы о гоморфизмах
и коммутанте.
Тема № 3.1.2. Конечные абелевы группы..
Теоремы Прюфера и основная о конечных абелевых группах.
МОДУЛЬ 3.2.
Тема № 3.2.1. Коммутативные кольца.
Кольца, идеалы, фактор-кольца. Теоремы о гоморфизмах, простых и максимальных
идеалах, о кольцах главных идеалов. Критерий факториальности и теоремы о
евклидовых кольцах.
Тема № 3.2.2. Симметрические многочлены и рациональные дроби.
Теоремы рациональных дробях и симметрических многочленах.
МОДУЛЬ 3.3.
Тема № 3.3.1. Поля и их расширения.
Описание простых, конечных, нормальных расширений полей и простых полей.
Теоремы о степенях, о кратных корнях.
10
Тема № 3.3.2. Конечные и совершенные поля.
Теоремы о совершенных полях ,о конечных полях и их мультипликативных группах.
Теорема о примитивном элементе.
Тема № 3.3.3. Основная теорема о поле комплексных чисел.
Построение поля комплексных чисел. Основная теорема о поле комплексных
чисел.
6.
Перечень тем практических занятий.
6.1.
Основные алгебраические системы. Решение практических
заданий по теме № 1.1.1.
Операции. Инъективные, сюръективные отображения. Взаимнр однозначные
соответствия. Счётность множества рациональных чисел, равномощность [0,+∞) и
[0,1), несчётность множества действительных чисел. Примеры частично
упорядоченных множеств. Доказательства по индукции.
6.2.
Матрицы и определители. Решение практических заданий по
теме № 1.1.2.
Вычисление определителей. Решение матричных уравнений. Правило Крамера.
6.3.
Тема № 1.2.1. Линейные пространства. Решение практических
заданий по теме № 1.2.1.
Аксиоматика линейных пространств над произвольным полем. Изоморфизм
линейных пространств. Пересечение, сумма и прямая сумма подпространств.
Размерности пересечения, суммы и прямой суммы подпространств.
6.4.
Тема № 1.2.2. Системы векторов, базис, ранг матриц. Решение
практических заданий по теме № 1.2.2.
Линейно независимые системы векторов и порождающих. Базис и ранг матриц.
6.5.
Тема № 1.2.3. Решение систем линейных уравнений. Решение
практических заданий по теме № 1.2.3.
Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных уравнений. Нахождение
фундаментальной системы решений СЛОУ.
6.6.
Тема № 1.3.1. Кольцо многочленов. Решение практических
заданий по теме № 1.3.1.
Деление многочленов с остатком, следствие Безу. Алгоритм Евклида. Обобщённые
формулы Виета для многочленов из комплексного поля.
6.7.
Тема № 1.3.2. Корни многочленов. Решение практических
заданий по теме № 1.3.2.
Теорема Штурма и существование систем Штурма. Леммы Гаусса и о
неразложимых многочленах из кольца целых чисел. Критерий Эйзенштейна.
Метод Горнера, нахождение целых и рациональных корней целочисленных
многочленов.
6.8.
Тема № 2.1.1. Линейные преобразования.
практических заданий по теме № 2.1.1.
Решение
Линейные преобразования и их матрицы. Вывод формул связи координат векторов
в разных базисах, связи координат образов и прообразов векторов, связи матриц
линейного преобразования, характеристических корней и собственных значений.
Ранг и дефект.
6.9.
Тема № 2.1.2. Теория Жордана. Решение практических заданий
по теме № 2.1.2.
11
Элементарные преобразования лямбда-матриц. Теоремы о каноническом виде и
НОДах. Связь инвариантных делителей лямбда-матриц с их НОДами. Дав условия
эквивалентности. Элементарные делители клеточно-диагональной лямбаматрицы. Критерий подобия матриц. Теорема Жордана.
6.10. Тема № 2.2.1. Унитарные пространства. Решение практических
заданий по теме № 2.2.1.
Унитарные и евклидовы пространства. Неравенства Коши-Буняковского,
треугольника, Бесселя и равенство Парсеваля. Метод ортогонализации ГрамаШмидта. Описание линейных функций и свойства сопряжённых преобразований.
Теоремы о нормальных преобразованиях в унитарном и евклидовом
пространствах. Основные результаты об унитарных (ортогональных), эрмитовых
(симметрических) и кососимметрических преобразованиях.
6.11. Тема № 2.2.2. Билинейные формы. Решение практических
заданий по теме № 2.2.2.
Билинейные формы, приведение билинейных к каноническому виду. Алгоритм
Лагранжа. Закон инерции. Теоремы о распадающихся и положительно
определённых квадратичных формах. Критерий Сильвестра.
6.12. Тема № 2.3.1. Аффинные пространства, аффинные
преобразования и движения. Решение практических заданий
по теме № 2.3.1.
Аксиомы Вейля аффинного пространства. Системы координат, плоскости и
параллелепипеды. Геометрически независимые системы точек, барицентрические
координаты и симплексы. Системы уравнений. Аффинные преобразования и
условия их задания. Теорема о движениях и их классификация. Теория
гиперплоскостей в аффинном пространстве и их классификация.
6.13. Тема № 2.3.2. Проективная плоскость. Решение практических
заданий по теме № 2.3.2.
Проективная плоскость, однородные координаты и принцип двойственности.
6.14. Тема № 3.1.1. Группы и фактор-группы. Решение практических
заданий по теме № 3.1.1.
Группы, порождающие. Описание циклических групп и их подгрупп. Теоремы
Фраттини, Лагранжа и Кэли. Определение фактор-группы., теоремы о гоморфизмах
и коммутанте.
6.15. Тема № 3.1.2. Конечные абелевы
практических заданий по теме № 3.1.2.
группы.
Решение
Теоремы Прюфера и основная о конечных абелевых группах.
6.16. Тема № 3.2.1. Коммутативные кольца. Решение практических
заданий по теме № 3.2.1.
Кольца, идеалы, фактор-кольца. Теоремы о гоморфизмах, простых и максимальных
идеалах, о кольцах главных идеалов. Критерий факториальности и теоремы о
евклидовых кольцах.
6.17. Тема № 3.2.2. Симметрические многочлены и рациональные
дроби. Решение практических заданий по теме № 3.2.2.
Рациональные дроби и симметрические многочлены.
6.18. Тема № 3.3.1. Поля и их расширения. Решение практических
заданий по теме № 3.3.1.
Описание простых, конечных, нормальных расширений полей и простых полей.
Теоремы о степенях, о кратных корнях.
12
6.19. Тема № 3.3.2. Конечные и совершенные поля. Решение
практических заданий по теме № 3.3.2.
Теоремы о совершенных полях ,о конечных полях и их мультипликативных группах.
Теорема о примитивном элементе.
6.20. Тема № 3.3.3. основная теорема о поле комплексных чисел.
Решение практических заданий по теме № 3.3.3.
Построение поля комплексных чисел. Основная теорема о поле комплексных
чисел.
7.
Темы лабораторных работ (лабораторный практикум).
Учебным планом не предусмотрены.
8.
Темы курсовых работ.
8.1. Выяснить структуру подгрупп группы D(2,Z7) диагональных матриц порядка 2
8.2.
8.3.
8.4.
9.
над полем Z7 и представить её в виде прямого произведения её
циклических 2-подгрупп.
Описать структуру подгрупп по включению группы GL(2,Z3).
Описать структуру подгрупп по включению группы T(2,Z5).
Описать структуру кольца всех матриц порядка 2 над полем Z3.
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов. Оценочные средства для текущего контроля
успеваемости, промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
a. Текущая аттестация:
 Контрольные работы. По завершении каждого модуля проводятся
контрольные работы, содержащие задания различных типов и уровней
сложности и способствующие контролю практической составляющей
материала дисциплины (во время аудиторных занятий).
 Коллоквиумы. По завершении каждого модуля проводятся
коллоквиумы, содержащие вопросы различных типов и уровней
сложности и способствующие контролю теоретической составляющей
материала дисциплины (во время внеаудиторных занятий).
 Тестирование (письменное или компьютерное) по темам и модулям
дисциплины.
b. Промежуточная аттестация:
 Тестирование по дисциплине;
 Зачёты и экзамен (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после
решения всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной
работы. Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно,
удовлетворительно, хорошо, отлично в соответствии с интервальной
шкалой перевода 100-балловой системы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балловой) и традиционной (4-балловой)
систем оценок.
Темы контрольных работ:
Контрольная работа № 1.
1. Вычислить определитель.
2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
13
3. Решить матричное уравнекние.
Контрольная работа № 2.
1. Найти фундаментальную систему решений СЛОУ.
2. Вычислить ранг матрицы.
3. Найти НОД двух многочленов.
Контрольная работа № 3.
По матрице линейного преобразования найти:
(a) Собственные значения и собственные векторы;
(b) Жорданову матрицу данного преобразования.
Контрольная работа № 4.
Для данных двух матриц линейных преобразований найти ортонормированные
базисы, в которых матрицы будут иметь диагональную форму.
Контрольная работа № 5.
Данную квадратичную форму привести к каноническому виду с помощью:
(a) Алгоритма Лагранжа;
(b) Ортогонального преобразования.
Контрольная работа № 6.
1. Правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших.
2. Симметрический многочлен представить в виде многочлена от
элементарных многочленов.
Контрольная работа № 7.
В поле Z5 решить:
(a) Систему линейных уравнений;
(b) Матричное уравнение;
(c) Найти НОД двух многочленов.
Промежуточный экзамен № 1 (1 семестр).
Доказать две теоремы из списка:
(a) О произведении определителей;
(b) О методе Крамера;
(c) О ранге матрицы;
(d) О порождающих и линейно независимых системах векторов;
(e) О базисах;
(f) О решении СЛОУ;
(g) О размерности суммы двух подпространств;
(h) Кронекера-Капелли.
Промежуточный экзамен № 2 (1 семестр).
Доказать две теоремы из списка:
(a) О делении двух многочленов с остатком;
(b) Алгоритм Евклида;
(c) Об обобщённых формулах Виета;
(d) Об описании неразложимых многочленов над полем действительных чисел;
(e) О существовании системы Штурма;
(f) О поле комплексных чисел;
(g) О неразложимых многочленах над полем рациональных чисел;
(h) Критерий Эйзенштейна;
(i) О рациональных корнях целочисленных многочленов.
Промежуточный экзамен № 1 (2 семестр).
Доказать две теоремы из списка:
14
(a) О связи координат векторов в разных базисах;
(b) О прообразе и образе (x и φ(x));
(c) О матрице линейного преобразования;
(d) О канонической ламбда-матрице;
(e) О НОДах эквивалентных ламба-матриц;
(f) Два критерия эквивалентности ламда-матриц;
(g) О системе элементарных делителей распавшейся ламба-матрицы;
(h) Теорема Жордана.
Промежуточный экзамен № 2 (2 семестр).
Доказать две теоремы из списка:
(a) Неравенство Коши-Буняковского и треугольника;
(b) Об ортогональных суммах и дополнениях;
(c) Об унитарных, эрмитовых и кососимметричесих преобразованиях;
(d) Закон инерции;
(e) О положительно определённых и распадающихся квадратичных формах.
Промежуточный экзамен № 1 (3 семестр).
Доказать две теоремы из списка:
(a) Лагранжа и Кэли;
(b) О циклических группах и их подгруппах;
(c) О гомоморфизмах групп;
(d) Прюфера и основная теорема о конечных абелевых группах;
(e) О максимальных и простых идеалах колец;
(f) О кольцах главных идеалов.
10. Образовательные технологии.
a. Аудиторные занятия:
 лекционные и практические занятия (коллоквиумы, семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях контроль
осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В
течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем
к каждому практическому занятию.
 активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме,
компьютерные
симуляции,
компьютерное
моделирование
и
практический
анализ
результатов,
работа
студенческих
исследовательских
групп,
вузовские
и
межвузовские
видеоконференции).
b. Внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного
типа и уровня сложности, подготовка к аудиторным занятиям,
подготовка к коллоквиумам, изучение отдельных тем и вопросов
учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом,
составлении конспектов, подготовка индивидуальных заданий:
рефератов по темам: выяснить структуру подгрупп группы D(2,Z7)
диагональных матриц порядка 2 над полем Z7 и представить её в виде
прямого произведения её циклических 2-подгрупп, описать структуру
подгрупп по включению группы GL(2,Z3), описать структуру подгрупп по
включению группы T(2,Z5), описать структуру кольца всех матриц
порядка 2 над полем Z3.; решение задач, выполнение самостоятельных и
15
контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний:
текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации);
 индивидуальные консультации.
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и
проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями
обучения (различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного
оборудования).
При проведении практических занятий применяются технологии проблемного
обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также
современные информационные технологии обучения (самостоятельное изучение
студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами
электронных практикумов, различные демонстрации с использованием проекционного
мультимедийного оборудования).
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного
обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении части теоретического материала), дифференцированного обучения,
репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения
(системы поиска информации, работа с учебно-методическими материалами,
размещенными на сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и
интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное
практическое занятие, работа в малых группах, групповая дискуссия, практические
занятия в диалоговом режиме, самостоятельная работа с учебными материалами,
представленными в электронной форме.
11. Учебно-методическое
дисциплины.
и
информационное
обеспечение
Основная литература.
1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры - 2-е
изд., стер. – СПб.: «Лань», 2009.
2. ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976; СПб.: «Лань», 2003.
3. Дёгтев А. Н. Алгебра и логика. – Тюмень: из-во ТюмГУ, 2000.
4. Дёгтев А. Н. Алгебра, математическая логика и теория алгоритмов. –
Учебно-методический комплекс. Сборник индивидуальных контрольных
заданий для студентов спец-ти «Математика». – Тюмень: из-во ТюмГУ, 2010.
5. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учебник для вузов – М.: Физматлит,
2001.
6. Кострикин А. И. Введение в алгебру: учебник для ун-тов по
спец."Математика","Прикладная математика" / А. И. Кострикин. – М.:
Физматлит, 2000.
7. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. / Под ред. А.И. Кострикина:
Учебник для вузов. - изд. 3-е, испр. и доп. – М.: Физматлит, 2001.
8. Курош А. Г. Курс высшей алгебры: учебник для студ. вузов, обуч. по спец.
«Математика», «Прикладная математика»./ А. Г. Курош – 17-е изд., стер. –
СПб.: «Лань», 2008.
9. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры – 5-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2009.
10. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие для
вузов / И. В. Проскуряков – 10-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2007.
16
11. Фадеев Д. К., Лекции по алгебре – 5-е изд., стер. – СПб.: «Лань», 2010.
12. Фаддеев Д. К. Задачи по высшей алгебре: Учебное пособие для студ. вузов,
обуч. по мат. спец./. Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. – 16-е изд., стер.. –-СПб.:
«Лань», 2007. – 288 с. – (Учебники для вузов Математика). Шнеперман Л. Б.,
Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие. 3-е изд., стер. –
СПб.: «Лань», 2008 – 224 с. – (Учебники для вузов. Специальная литература).
Дополнительная литература
1. Апатенок Р. Ф., Маркина А. М., Хейнман В. Б. Cборник задач по линейной
алгебре и аналитической геометрии: учебное пособие для студ. инженернотехнических спец-ей вузов / под ред. В. Т. Воднева – Минск: «Вышейшая
школа», 1990.
2. Александров П. С. Введение в теорию групп. – М.: Наука, 1980.
3. Бутузов В. Ф. Линейная алгебра в вопросах и задачах: учеб. пособие для
студ. вузов / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, А. А. Шишкин; ред. В. Ф. Бутузов.
-2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2002.
4. Винберг Э. Б. Курс алгебры. – М.: «Факториал Пресс», 2002.
5. Воеводин В. В. Линейная алгебра: учеб. пособие / В. В. Воеводин. – 4-е изд.,
стер. – СПб.: «Лань», 2008.
6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: КДУ; Добросвет, 2007.
7. Икрамов Х. Д. Задачник по линейной алгебре: учеб. пособие / Х. Д. Икрамов;
ред. В. В. Воеводин. – 2-е изд., испр. – СПб.: «Лань», 2006. – 230 с. – (Лучшие
классические учебники. Математика).
8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.
9. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.
Учебник для вузов. – М.: Наука, 1970.
10. Кокс Д., Литтл Дж., О’Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. – М.:
«Мир», 2000.
11. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Учебник для вузов: в 3-х ч. – М.:
Физматлит, 2001.
12. Кострикин А. И. Введение в алгебру: учебник для ун-тов по
спец."Математика","Прикладная математика"/ А. И. Кострикин. – М.:
Физматлит, 2000.
13. Курош А. Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967.
14. Ленг С. Алгебра. – М.: 1968.
15. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1986.
16. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. – М.: «Наука», 1996.
17. Прасолов В. В. Многочлены. – М.: МЦНМО, 2000.
18. Математический энциклопедический словарь. – М.: Советская энциклопедия,
1988.
19. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. – М.: Мир, 1979.
20. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. – М.: Физматгиз, 1963.
21. Холл М. Теория групп. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
Программное обеспечение и интернет-ресурсы.
1. http://www.tmnlib.ru
2. http://lib.mexmat.ru
3. http://tonbext.tonb.ru
12. Технические
средства
и
материально-техническое
обеспечение дисциплины (модуля).
17
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том
числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к
компьютерам с пакетами прикладных программ Microsoft Office, Maple, Matlab,
MathCad.
18