МАТЕМАТИЧСЕКИЕ МОДЕЛИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ

Занятие 2
МАТЕМАТИЧСЕКИЕ МОДЕЛИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ
Химические реакторы – аппараты, в которых осуществляется химическое
превращение с целью получения определенного вещества в рамках одного
технологического процесса.
В химической и смежных областях промышленности применяют всевозможные
типы реакторов, имеющие существенные различия. Тем не менее установлены признаки,
по которым все множество реакторов можно классифицировать. В качестве таких
признаков (критериев) наиболее часто принимаются: фазовое состояние реагентов,
характер операций питания реагентами и удаления продуктов реакции, режим движения
реакционной среды, тепловой режим, конструктивные особенности.
1) В зависимости от фазового состояния реагирующих веществ реакторы могут
быть:
а) гомогенными;
б) гетерогенными.
2) По характеру операций питания (загрузки) реагентами и удаления (выгрузки)
продуктов реакции различают реакторы:
а) периодического действия. В реакторы периодического действия реагенты
загружаются одновременно перед началом процесса, а через определенное время,
необходимое для достижения заданной степени превращения, выгружается продукт
реакции. Основные параметры химического процесса (состав, температура, давление) в
них изменяются во времени. Продолжительность реакции может быть измерена
непосредственно. Такие реакторы просты по конструкции и оснащаются небольшим
вспомогательным оборудованием. Они используются главным образом для проведения
опытных работ по изучению химической кинетики, в малотоннажных производствах или
для переработки относительно дорогостоящих веществ.
б) непрерывного действия. Реакторы непрерывного действия (или с
установившимся потоком) имеют непрерывное питание реагентами и непрерывное
удаление продуктов реакции. В этом случае вместо продолжительности реакции, которая
не может быть непосредственно замерена, пользуются величиной времени пребывания
(контакта). Реакторы с установившимся потоком являются наиболее экономичными для
переработки больших количеств продуктов или при реакциях, протекающих с высокими
скоростями. Они требуют специального вспомогательного оборудования (мешалки,
барботеры, инжекторы, теплообменники и т. п.), но зато позволяют надежно управлять
качеством целевых продуктов.
в) полупериодического действия. Реакторы полупериодического действия (или
с неустановившимися потоками) характеризуются различными вариантами питания и
удаления продуктов реакции (например, реагенты подаются периодически при
непрерывном удалении продуктов реакции, или один реагент поступает периодически, а
другой непрерывно). Реакциями, протекающими в этих аппаратах, легко управлять за
счет подачи реагирующих веществ, поэтому они широко используются в лабораторных
условиях.
3) По режиму движения реакционной среды, или по структуре потоков вещества,
реакторы подразделяют на аппараты:
а) идеального перемешивания;
б) идеального вытеснения;
в) вытеснения с продольным перемешиванием;
1
г) вытеснения с продольным и радиальным перемешиванием;
д) с комбинированной структурой потока.
4) По тепловому режиму реакторы разделяют на:
а) изотермические. Изотермические реакторы имеют одну постоянную
температуру во всех точках реакционного пространства; скорость реакции в них зависит
только от состава реакционной среды. Изотермический режим редко достигается без
вспомогательных устройств для отвода (подвода) тепла. Обычно для соблюдения
изотермических условий нужны теплоноситель, способный передать (отобрать)
необходимое количество тепла, и соответствующая поверхность теплообмена.
б) адиабатические. Адиабатические реакторы характеризуются тем, что они не
должны иметь обмена с внешней средой. Это практически достигается хорошей
тепловой изоляцией.
в) политропические. В реальных реакционных аппаратах не всегда удается
обеспечить изотермический или адиабатический режимы, и процесс протекает
политропически.
5) По конструктивным признакам реакторы можно отнести к таким типам
аппаратов:
а) трубчатые;
б) емкостные;
в) полочные;
г) комбинированные.
Описанная классификация свидетельствует о том, что реальные химические
реакторы существенно отличаются друг от друга и, следовательно, задача построения
математических моделей таких аппаратов должна решаться в каждом конкретном случае
с учетом особенностей процесса и конструктивного оформления. При этом необходимо
использовать модели определяющих «элементарных» процессов (например, для
реакторов непрерывного действия – модели движения потоков веществ и химического
превращения) и присоединить к ним уравнения, описывающие тепловой режим,
изменение фазового состояния реагентов, конструктивные и другие особенности.
1 Математическая модель реактора идеального смешения
Уравнение такой модели записывают в виде математического выражения,
характеризующего изменение концентрации в реакционной среде во времени, которое
обусловливается, во-первых, движением потока (гидродинамический фактор) и, вовторых, химическим превращением (кинетический фактор). Поэтому указанную модель
следует строить на основе типовой модели идеального перемешивания с учетом
скорости химической реакции, т.е. записать изменение концентрации как
алгебраическую сумму:
dC υ
= (Cвх − C) + ωr ,
dt V
(1)
где ωr – скорость химической реакции.
Аналогичных уравнений записывают столько, сколько веществ участвует в
реакции. Тогда переменная С будет концентрацией соответствующего i-го вещества (СA,
CB, ...) и ωr – скоростью реакции по тому же i-му веществу. Система указанных
уравнений будет математической моделью рассматриваемого реактора идеального
перемешивания с учетом изменения Ci во времени (динамическая модель).
2
Cвх
Если принять, что исходным является вещество А, и заменить величины
= С A 0 , C вых = С A , ωr = ωrA (вещество А убывает), а также представить время
пребывания как отношение реакционного объема к объемной скорости τ =
уравнение (1) примет вид:
(
)
dCA 1
= C A 0 − C A − ωrA .
τ
dt
V
то
υ
(2)
При установившемся режиме работы реактора, который характеризуется
dC
= 0 ,уравнение (2) можно записать так:
соблюдением условия
dt
(
)
1
CA 0 − CA = ωrA .
τ
(3)
Уравнение (3) является статической моделью химического реактора идеального
перемешивания в общем виде.
Решая системы из уравнений (3) можно найти основные параметры,
характеризующие работу и экономичность химических реакторов данного типа: время
пребывания исходного вещества в реакторе τ, от величины которого зависит объем
аппарата (чем меньше τ, тем меньше V); изменение концентрации исходного вещества во
времени; а также концентрации целевых и побочных продуктов.
Для учета теплового режима в реакторах идеального вытеснения используется
уравнение:
dT
υ0ρ 0 C P 0 Tвх − υρC P T + V ∑ (Q Tj ⋅ rj ) ± k T F(T − Tтн ) = VС pρ
,
14243 123
4 43
4
424
3 142
dt
j 1
подвод
где ρ –
СP –
Твх –
Т –
QTj –
rj –
kТ –
F –
Tтн –
отвод
тепло реации
(4)
теплопередача
плотность реакционной среды, кг/м3;
теплоемкость потока, Дж/(кг·К);
температура потока на входе в аппарат, К;
температура на выходе из аппарата, К;
тепловой эффект j-той реакции, Дж/моль;
скорость j-ой реакции, моль/(м3·с);
коэффициент теплопередачи, Дж/(м2·с·К);
поверхность теплопередачи, м2;
температура теплоносителя, с которым идет теплообмен, К.
Для установившегося режима при условии равенства скорости входящего потока
скорости выходящего потока υ0 = υ, и незначительно изменении теплоемкости и
плотности (что возможно, если диапазон изменения температур Твх–Т невелик),
уравнение (4) будет иметь вид:
1
(Tвх − T ) + 1 ∑ (Q Tjrj ) ± k T F (T − Tтн ) = 0.
τ
C pρ j
VC pρ
3
2 Математическая модель реактора идеального вытеснения
Данную модель записывают в виде дифференциального уравнения, которое
описывает распределение вещества в реакционной среде как за счет гидродинамических
факторов, так и за счет химического превращения.
Следовательно, в общем виде такое математическое описание, построенное на
основе типовой модели идеального вытеснения с учетом влияния скорости химической
реакции, должно быть представлено алгебраической суммой:
∂C
∂C
+ ωr ,
= −u
∂z
∂t
(5)
Аналогичные уравнения записывают для всех участвующих в реакции веществ. В
результате получим математическое описание процесса в реакторе вытеснения с учетом
изменения переменной С (концентрация i-го вещества) во времени, т. е. динамическую
модель.
∂C
= 0 , уравнение (5)
Для установившегося режима работы реактора, когда
∂t
описывает статику процесса химического превращения и после замены ωr = −ωrA
(исходное вещество А убывает) принимает такой вид:
u
dCA
= −ωrA .
dz
Если учесть, что линейная скорость u =
(6)
υ
dV
, а элемент длинны dz =
, то
sB
sB
уравнение (6) примет вид:
dCA
ω
= − rA .
dV
υ
Теловой режим в реакторе идеального вытеснения описывается уравнением:


υCP ρTdt − [υCP ρ (T + dT )]dt + Fdl ∑ QTj r j dt ± [kT F (T − Tтн )]dtdl = ρCP dTFdl.
 j

Уравнение теплового баланса для установившегося режима после преобразований
υC PT − υC P (T − dT ) + Vэ ∑ QTj r j ± kT F (T − Tтн ) =
j
dT
.
dl
3 Математическая модель каскада реакторов идеального смешения
В промышленной практике по технологическим соображениям нередко требуется
обеспечить полное перемешивание и такую степень завершения процесса, которую в
единичном реакторе достигнуть невозможно. В подобных случаях используют цепочку
последовательно соединенных реакторов идеального перемешивания, или каскад
реакторов.
В общем виде математическое описание каскада РИС можно представить как
систему обычных дифференциальных уравнений:
4
r1
 dC1 n
C
C
(
)
=
−
+
,
0
1
 dt τ
τ

 dC2 = n (C − C ) + r2 ,
1
2
τ
 dt τ
....................................

 dCn = n (C − C ) + rn .
n
 dt τ n −1
τ
Так, например, для ячеечной модели, состоящей из трех ячеек одинакового
объема (рисунок 1) при стационарных условиях мат. описание имеет вид:
v
ri1
Ci0
VA/3
ri2
Ci1
Ci2
VA/3
ri3
Ci3
VA/3
Рисунок 1 - Схема ячеечной модели
VA

υ (Ci 0 − Ci1 ) + ri1 3 = 0,

VA

= 0,
υ (Ci1 − Ci 2 ) + ri 2
3

VA

(
)
υ
C
−
C
+
r
= 0.
i2
i3
i3

3

5