ÓÄÊ 519.716 Ñ. Ñ. Ìàð÷åíêîâ, Â. Ñ. Ô¼äîðîâà ÐÅØÅÍÈß ÑÈÑÒÅÌ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÌÍÎÃÎÇÍÀ×ÍÎÉ ËÎÃÈÊÈ 1 êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîé êèáåðíåòèêè ôàêóëüòåòà ÂÌèÊ, e-mail: mathcyb@cs.msu.su) ( Ðàññìàòðèâàþòñÿ îáùèå âîïðîñû, îòíîñÿùèåñÿ ê ðåøåíèÿì ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè: çàâèñèìîñòü ðåøåíèé îò ôóíêöèîíàëüíûõ êîíñòàíò, âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ñ çàäàííûì åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì èëè çàäàííûì ìíîæåñòâîì ðåøåíèé. Îäèí èç ñòàíäàðòíûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ ôóíêöèé è ìíîæåñòâ ôóíêöèé â ìàòåìàòèêå çàäàíèå ñ ïîìîùüþ ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðè îïðåäåëåíèè ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûå è èíäèâèäíûå ïåðåìåííûå, à òàêæå ðàçëè÷íûå ôóíêöèîíàëüíûå è èíäèâèäíûå êîíñòàíòû è, âîçìîæíî, ôóíêöèîíàëû è îïåðàòîðû. Íåìàëî ïîäîáíûõ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî íàéòè è â òåîðèè ôóíêöèé ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè (îñîáåííî â òåîðèè áóëåâûõ ôóíêöèé). Òàê, ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî îïðåäåëÿòü ìíîæåñòâà ìîíîòîííûõ, ñàìîäâîéñòâåííûõ, ëèíåéíûõ è ìíîãèõ äðóãèõ ôóíêöèé.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåä¼ì ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå max(ϕ(x1 , . . . , xn ), ϕ(max(x1 , y1 ), . . . , max(xn , yn )) = = ϕ(max(x1 , y1 ), . . . , max(xn , yn )), êîòîðîå îïðåäåëÿåò (â êëàññå Pk ) ìíîæåñòâî âñåõ n-ìåñòíûõ ôóíêöèé, ìîíîòîííûõ îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãî ïîðÿäêà íà Ek .  íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû ðàññìàòðèâàåì ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè. Öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå îáùèõ âîïðîñîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðåøåíèÿì ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ýòîãî âèäà: çàâèñèìîñòü ðåøåíèé îò ôóíêöèîíàëüíûõ êîíñòàíò, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ, âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ñ çàäàííûìè åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì èëè ìíîæåñòâîì ðåøåíèé. Àíàëîãè÷íûå èññëåäîâàíèÿ áûëè íà÷àòû íàìè â ðàáîòå [1], ãäå ðàññìàòðèâàëèñü ðåøåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ áóëåâûõ óðàâíåíèé. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ áóëåâûõ àëãåáð ïîõîæèå çàäà÷è ðàññìàòðèâàëèñü íåñêîëüêèìè àâòîðàìè [24]. Ïðè ýòîì èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäèëèñü äëÿ óðàâíåíèé ñ åäèíñòâåííîé 1 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ, ïðîåêò 09-01-00701 îäíîìåñòíîé ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé (äëÿ ôóíêöèé, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ â áóëåâîé àëãåáðå), à â êà÷åñòâå îïåðàöèé äîïóñêàëèñü âñå îïåðàöèè áóëåâîé àëãåáðû. Ââåä¼ì íåîáõîäèìûå ïîíÿòèÿ. Ïóñòü k ≥ 2, Ek = {0, 1, . . . , k − 1}, Pk ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé íà Ek (ìíîæåñòâî ôóíêöèé k -çíà÷íîé ëîãèêè). Åñëè Q ⊆ Pk è n ≥ 1, òî ÷åðåç Q(n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ n-ìåñòíûõ ôóíêöèé èç Q.  îïðåäåëåíèè ÿçûêà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèäåðæèâàåìñÿ òåðìèíîëîãèè ðàáîòû [5]. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ èç Pk èìååò èíäèâèäóàëüíîå îáîçíà÷åíèå. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ n-ìåñòíûõ ôóíêöèé (n) èç Pk èñïîëüçóåì ñèìâîëû fi , êîòîðûå íàçûâàåì . Íàðÿäó ñ ôóíêöèîíàëüíûìè êîíñòàíòàìè ðàññìàòðèâà(n) åì , äëÿ êîòîðûõ èñïîëüçóåì ñèìâîëû ϕi (n) ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé Pk . Êðîìå ôóíêöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ èñïîëüçóåì îáû÷íûå èíäèâèäíûå ïåðåìåííûå x1 , x2 , . . . ñ îáëàñòüþ çíà÷åíèé Ek . Ïóñòü Q ⊆ Pk . Îïðåäåëèì ïîíÿòèå . Âñÿêàÿ èíäèâèä(n) íàÿ ïåðåìåííàÿ åñòü òåðì íàä Q. Åñëè t1 , . . . , tn òåðìû íàä Q, fi (n) ôóíêöèîíàëüíàÿ êîíñòàíòà, ñëóæàùàÿ îáîçíà÷åíèåì ôóíêöèè èç Q, ϕj ôóíêöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ, òî âûðàæåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûìè êîíñòàíòàìè ôóíêöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå òåðìà íàä Q (n) (n) fi (t1 , . . . , tn ), ϕj (t1 , . . . , tn ) ñóòü òåðìû íàä Q. Ðàâåíñòâîì íàä Q íåíèÿìè íàä Q íàçûâàåì ëþáîå âûðàæåíèå âèäà t1 = t2 , ãäå t1 , t2 òåðìû íàä Q. Ðàâåíñòâà íàä Q ñ÷èòàåì òàêæå (n ) (n ) . Ïóñòü ϕi1 1 , . . . , ϕimm âñå ôóíêöèîíàëüíûå ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå t1 = t2 . t1 = t2 íàçûâà(n ) (n ) åì ñèñòåìó {fj1 1 , . . . , fjmm } ôóíêöèé èç Pk , êîòîðàÿ ïîñëå çàìåíû êàæ- ôóíêöèîíàëüíûìè óðàâÐåøåíèåì óðàâíåíèÿ (n ) (n ) äîé ïåðåìåííîé ϕis s ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèîíàëüíîé êîíñòàíòîé fjs s ïðåâðàùàåò óðàâíåíèå t1 = t2 â òîæäåñòâî (îòíîñèòåëüíî âñåõ âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå èíäèâèäíûõ ïåðåìåííûõ). Åñëè Ξ êîíå÷íàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, òî Ξ íàçûâàåì ñèñòåìó ôóíêöèé èç Pk , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êàæäîãî óðàâíåíèÿ, âõîäÿùåãî â ñèñòåìó Ξ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñ ïîìîùüþ ðåøåíèé ñèñòåì óðàâíåíèé îïðåäåëÿòü íåêîòîðûå ìíîæåñòâà ôóíêöèé (îò îäíîãî è òîãî æå ÷èñëà ïåðåìåííûõ), âûäåëèì îäíó èç ôóíêöèîíàëüíûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìû Ξ, êîòî(n) ðóþ íàçîâ¼ì ñèñòåìû Ξ. Ïóñòü ϕi (n) ãëàâíàÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ïåðåìåííàÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Ξ è F ⊆ Pk . Ãîâîðèì, ÷òî ìíîæåñòâî ôóíêöèé ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé ãëàâíîé ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé F îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé 2 Ξ, åñëè F ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âñåõ òåõ n-ìåñòíûõ ôóíêöèé, êîòîðûå (n) âõîäÿò â ðåøåíèÿ ñèñòåìû Ξ â êà÷åñòâå êîìïîíåíòû ïî ïåðåìåííîé ϕi . Èíîãäà äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ êîíñòàíò ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîëû g, h (ñ èíäåêñàìè èëè áåç íèõ), à òàêæå ñèìâîëû yi , zj äëÿ îáîçíà÷åíèÿ èíäèâèäíûõ ïåðåìåííûõ. Ñ÷èòàåì, ÷òî íà ìíîæåñòâå Pk çàäàíà îïåðàöèÿ [6]. Ïîíÿòèÿ ïîëíîòû, çàìêíóòîãî è ïðåäïîëíîãî êëàññîâ îòíîñÿòñÿ ê îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè. ñóïåðïîçèöèè Ïóñòü Q çàìêíóòûé êëàññ ôóíêöèé èç Pk è äëÿ ëþáîãî , ëþáîãî íàáîðà (a1, . . . , an) ∈ Ekn íàéäóòñÿ òàêèå ôóíêöèè èç è òàêîé ýëåìåíò b ∈ Ek , ÷òî Ò å î ð å ì à 1. k ≥ 2, n≥1 g1 , . . . , gn Q(1) ∪ {x} (a1 , . . . , an ) = (g1 (b), . . . , gn (b)). Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g(x1, . . . , xm) ∈ Q ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íàä Q(1) ñ îäíîé ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé, åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì êîòîðîé ñëóæèò g. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî óñëîâèþ, äëÿ ëþáîãî íàáîðà (a1 , . . . , am ) ∈ Ekm , ñîîòâåòñòâóþùèõ åìó ôóíêöèé g1 , . . . , gm èç Q(1) è ýëåìåíòà b èç Ek âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî g(a1 , . . . , am ) = g(g1 (b), . . . , gm (b)). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ g ìîæåò áûòü êîððåêòíî îïðåäåëåíà ñèñòåìîé âñåõ k m óðàâíåíèé âèäà ϕ(g1 (x), . . . , gm (x)) = f (x), ãäå ÷åðåç f (x) îáîçíà÷åíà ôóíêöèÿ g(g1 (x), . . . , gm (x)) èç Q(1) , à íàáîð ôóíêöèé (g1 , . . . , gm ) ñîîòâåòñòâóåò íàáîðó (a1 , . . . , am ). (Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íå îáÿçàòåëüíî ñîñòîèò â òî÷íîñòè èç k m óðàâíåíèé, ïîñêîëüêó äëÿ ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ (a1 , . . . , am ) íàáîðû ôóíêöèé (g1 , . . . , gm ) ìîãóò, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîâïàäàòü.) Òåîðåìà äîêàçàíà. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿì òåîðåìû 1 óäîâëåòâîðÿåò, íàïðèìåð, ëþáîé çàìêíóòûé êëàññ, ñîäåðæàùèé âñå ôóíêöèè-êîíñòàíòû; â ýòîì ñëó÷àå âìåñòî ìíîæåñòâà Q(1) ìîæíî âçÿòü ìíîæåñòâî {0, 1, . . . , k − 1} âñåõ êîíñòàíò. Ê òàêèì êëàññàì îòíîñÿòñÿ, â ÷àñòíîñòè, êëàññ Pk è âñå ïðåäïîëíûå â Pk êëàññû, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ëþáûìè ïðåäèêàòàìè ñåìåéñòâ O,E,L,B è íåîäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè ñåìåéñòâà C (îáîçíà÷åíèÿ ñåìåéñòâ ïðåäèêàòîâ ñì. â [7] èëè [8]). Óñëîâèÿì òåîðåìû 1 óäîâëåòâîðÿþò 3 òàêæå âñå ïðåäïîëíûå â Pk êëàññû, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ëþáûìè ïðåäèêàòàìè ñåìåéñòâà P è îäíîìåñòíûìè ïðåäèêàòàìè ñåìåéñòâà C. Íàïîìíèì, ÷òî òåðíàðíûé äèñêðèìèíàòîð p îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè: z, åñëè x = y, p(x, y, z) = x â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Åñëè a, b ∈ Ek è a < b, òî ïóñòü max(x, y), åñëè x, y ∈ {a, b}, maxab (x, y) = x â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Tk ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé èç Pk , êîòîðûå ñîõðàíÿþò ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ek (ëþáîé ïðåäèêàò âèäà x ∈ E , ãäå E ⊆ Ek ). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî Tk ñîäåðæèò ôóíêöèþ p, âñå ôóíêöèè âèäà maxab è çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè. Ïóñòü π ïåðåñòàíîâêà íà ìíîæåñòâå Ek è f ∈ Pk . Ôóíêöèÿ π f (x1 , . . . , xn ) = π −1 (f (π(x1 ), . . . , π(xn ))) íàçûâàåòñÿ ê ôóíêöèè f îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè π . Ôóíêöèÿ, äâîéñòâåííàÿ ñåáå îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè π , íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè π . Ôóíêöèÿ f èç Pk íàçûâàåòñÿ , åñëè f ñàìîäâîéñòâåííà îòíîñèòåëüíî ëþáûõ ïåðåñòàíîâîê íà Ek . Ìíîæåñòâî âñåõ îäíîðîäíûõ ôóíêöèé èç Pk îáîçíà÷èì ÷åðåç Hk . Èçâåñòíî (ñì. [9] èëè [10]), ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ èç Hk ñîõðàíÿåò ëþáîå l-ýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî èç Ek (l = 1, 2, . . . , k − 2). Íàçîâ¼ì íàáîðû (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) , åñëè äëÿ ëþáûõ i, j (1 ≤ i, j ≤ n) âûïîëíÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü äâîéñòâåííîé ñàìîäâîéñòâåííîé îäíîðîäíîé îäíîòèïíûìè (ai = aj ) ⇔ (bi = bj ). Ó ò â å ð æ ä å í è å 1. {p, max01 , max02 , . . . , maxk−2,k−1 } Ïðè ëþáîì k ≥ 2 ñèñòåìà ôóíêöèé ïîëíà â êëàññå Tk . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ g(x1 , . . . , xn ) èç êëàññà Tk . Åñëè n = 1, òî, î÷åâèäíî, g(x1 ) = x1 .  ýòîì ñëó÷àå èìååì, íàïðèìåð, g(x1 ) = max01 (x1 , x1 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n ≥ 2. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ Ekn , èç êîòîðûõ õîòÿ áû îäèí ñîäåðæèò íå ìåíåå äâóõ ýëåìåíòîâ, íàáîðû (a1 , . . . , an , max01 (a1 , a2 ), max01 (a1 , a3 ), . . . , max01 (an−1 , an ), . . . 4 . . . , maxk−2,k−1 (a1 , a2 ), maxk−2,k−1 (a1 , a3 ), . . . , maxk−2,k−1 (an−1 , an )), (b1 , . . . , bn , max01 (b1 , b2 ), max01 (b1 , b3 ), . . . , max01 (bn−1 , bn ), . . . . . . , maxk−2,k−1 (b1 , b2 ), maxk−2,k−1 (b1 , b3 ), . . . , maxk−2,k−1 (bn−1 , bn )) (1) ñîñòîÿùèå êàæäûé èç k(k − 1)n(n − 1)/4 ýëåìåíòîâ, íå îäíîòèïíû. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íàáîð (a1 , . . . , an ) ñîäåðæèò íå ìåíåå äâóõ ýëåìåíòîâ. Âûáåðåì òàêèå ÷èñëà i, j (1 ≤ i, j ≤ n), ÷òî ai < aj è (ai , aj ) 6= (bi , bj ). Íåïîñðåäñòâåííûì ïåðåáîðîì âàðèàíòîâ óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî íàáîðû (ai , aj , maxai aj (ai , aj )), (bi , bj , maxai aj (bi , bj )) íå îäíîòèïíû. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîäíîòèïíûìè áóäóò è íàáîðû (1). Êàê èçâåñòíî (ñì. [9] èëè [10]), ôóíêöèÿ p îáðàçóåò áàçèñ ïî ñóïåð(m) ïîçèöèè â êëàññå Hk . Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ëþáóþ ôóíêöèþ èç Hk ìîæíî ïîëíîñòüþ îïðåäåëèòü çíà÷åíèÿìè íà ìàêñèìàëüíîì (ïî ÷èñëó ýëåìåíòîâ) ìíîæåñòâå ïîïàðíî íå îäíîòèïíûõ íàáîðîâ èç Ekm . Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî â êëàññå Hk ìîæíî âûáðàòü òàêóþ ôóíêöèþ h îò k(k − 1)n(n − 1)/4 + n ïåðåìåííûõ, ÷òî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ òîæäåñòâî g(x1 , . . . , xn ) = h(x1 , . . . , xn , max01 (x1 , x2 ), max01 (x1 , x3 ), . . . , max01 (xn−1 , xn ), . . . . . . , maxk−2,k−1 (x1 , x2 ), maxk−2,k−1 (x1 , x3 ), . . . , maxk−2,k−1 (xn−1 , xn )). Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïóñòü g n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ èç Pk . ôóíêöèè g íàçîâ¼ì óïîðÿäî÷åííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âñåõ ôóíêöèé âèäà g(xi1 , . . . , xin ), ãäå i1 , . . . , in ∈ {1, . . . , k}. Ïðèíöèï óïîðÿäî÷åíèÿ ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì: Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ðÿäîì g(x1 , . . . , x1 ), g(x1 , . . . , x1 , x2 ), . . . , g(xk , . . . , xk , xk−1 ), g(xk , . . . , xk ). Ïóñòü {g1 (x1 , . . . , xk ), . . . , gkn (x1 , . . . , xk )} õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ðÿä ôóíêöèè g , ãäå äëÿ åäèíîîáðàçèÿ âñå ôóíêöèè ñ÷èòàåì çàâèñÿùèìè îò ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xk . Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ðÿä ôóíêöèè ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò äàííóþ ôóíêöèþ. Äåéñòâèòåëüíî, íàáîð (g1 (0, . . . , k − 1), . . . , gkn (0, . . . , k − 1)) åñòü âåêòîð çíà÷åíèé ôóíêöèè g , ïðèíèìàåìûõ åþ íà âñåõ k n íàáîðàõ èç Ekn . Ïóñòü k ≥ 2, n ≥ 1, F ⊆ Pk(n) è F 6= ∅. Òîãäà ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ôóíêöèîíàëüíûìè êîíñòàíòàìè p,max01, max02, . . . , maxk−2,k−1, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâî F. Ò å î ð å ì à 2. 5 Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îïðåäåëèì â êëàññå Tk (k n + k + 2)-ìåñòíóþ ôóíêöèþ h. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g èç F ïóñòü h(x1 , . . . , xk , y1 , y2 , g1 (x1 , . . . , xk ), . . . , gkn (x1 , . . . , xk )) = y1 (2) h(x1 , . . . , xk , y1 , y2 , z1 , . . . , zkn ) = y2 (3) è äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé z1 , . . . , zkn . Ôóíêöèÿ h ïðèíàäëåæèò êëàññó Tk , ïîñêîëüêó å¼ çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè ïåðåìåííûõ y1 , y2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n-ìåñòíàÿ ôóíêöèÿ g 0 íå âõîäèò â ìíîæåñòâî F . Òîãäà ðàâåíñòâî (2) äëÿ ôóíêöèè g 0 íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xk .  ñàìîì äåëå, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè h, íàïðèìåð, äëÿ çíà÷åíèé x1 = 0, . . . , xk = k−1 ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ g ∈ F , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (0, . . . , k − 1, g10 (0, . . . , k − 1), . . . , gk0 n (0, . . . , k − 1)) = = (0, . . . , k − 1, g1 (0, . . . , k − 1), . . . , gkn (0, . . . , k − 1)). (4) Îäíàêî, êàê îòìå÷åíî âûøå, âåêòîð ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ g 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî (4) ïðîòèâîðå÷èò ñîîòíîøåíèÿì g 0 ∈ / F, g ∈ F . (n) Èç äîêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ g èç Pk ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó F òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòíîøåíèå (2) âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî ïî ïåðåìåííûì x1 , . . . , xk , y1 , y2 . Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü èñêîìóþ ñèñòåìó ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïåðåìåííûìè. Èìåííî, ñíà÷àëà â ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì 1 ñòðîèì ñèñòåìó ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé Ξ1 ñ îäíîé ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé ϕ1 è ôóíêöèîíàëüíûìè êîíñòàíòàìè {p, max01 , max02 , . . . , maxk−2,k−1 }, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ôóíêöèþ h. Çàòåì ââîäèì íîâóþ (ãëàâíóþ) ôóíêöèîíàëüíóþ ïåðåìåííóþ ϕ2 è â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàâåíñòâîì (2) äîáàâëÿåì ê ñèñòåìå Ξ1 óðàâíåíèå (g10 (0, . . . , k − 1), . . . , gk0 n (0, . . . , k − 1)) ϕ1 (x1 , . . . , xk , y1 , y2 , ϕ2 (x1 , . . . , x1 ), ϕ2 (x1 , . . . , x1 , x2 ), . . . . . . , ϕ2 (xk , . . . , xk , xk−1 ), ϕ2 (xk , . . . , xk )) = y1 , â êîòîðîì ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xk ïîä çíàêîì ôóíêöèîíàëüíîé ïåðåìåííîé ϕ2 ñîîòâåòñòâóåò èõ ðàñïðåäåëåíèþ ïðè ïîëó÷åíèè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ðÿäà ôóíêöèè g â ðàâåíñòâå (2). (Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèîíàëüíóþ ïåðåìåííóþ ϕ1 èñïîëüçîâàòü â äîêàçàòåëüñòâå íå îáÿçàòåëüíî å¼ ìîæíî çàìåíèòü ñîîòâåòñòâóþùèì òåðìîì, ïîñòðîåííûì èç ôóíêöèîíàëüíûõ êîíñòàíò p, max01 , . . . , maxk−2,k−1 .) Òåîðåìà äîêàçàíà. 6 Îòìåòèì, ÷òî ïðè k = 2 (ñëó÷àé áóëåâûõ ôóíêöèé) ôóíêöèÿ max01 åñòü äèçúþíêöèÿ, à ôóíêöèþ p â òåîðåìå 2 ìîæíî çàìåíèòü êîíúþíêöèåé. Ó ò â å ð æ ä å í è å 2. Ïóñòü k ≥ 2, π ïåðåñòàíîâêà íà ìíîæåñòâå Ek , Q ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç Pk , ñàìîäâîéñòâåííûõ îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâêè π, è ìíîæåñòâî ôóíêöèé F îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðîé ñèñòåìîé ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íàä Q. Òîãäà ìíîæåñòâî F âìåñòå ñ êàæäîé ôóíêöèåé f ñîäåðæèò òàêæå äâîéñòâåííóþ ôóíêöèþ f π . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ñèñòåìà ôóíêöèé {fi1 , . . . , fim } ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé Ξ íàä Q. Åñëè t1 , t2 òåðìû íàä ìíîæåñòâîì ôóíêöèé Q ∪ {fi1 , . . . , fim } è ðàâåíñòâî t1 = t2 âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ èíäèâèäíûõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â òåðìû t1 , t2 , òî â ñèëó ñàìîäâîéñòâåííîñòè ôóíêöèé èç Q è ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè äëÿ ôóíêöèé ìíîãîçíà÷íîé ëîãèêè ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ èíäèâèäíûõ ïåðåìåííûõ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî tπ1 = tπ2 , ãäå òåðìû tπ1 , tπ2 ïîëó÷àþòñÿ èç òåðìîâ t1 , t2 çàìåíîé ôóíêöèé fi1 , . . . , fim ñîîòâåòñòâóþùèìè äâîéñòâåííûìè ôóíêöèÿìè fiπ1 , . . . , fiπm . Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìå óðàâíåíèé Ξ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìà ôóíêöèé {fiπ1 , . . . , fiπm }. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïóñòü k ≥ 2, n ≥ 1 è F íåïóñòîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç , êîòîðîå äëÿ ëþáîé ïåðåñòàíîâêè π íà ìíîæåñòâå Ek íàðÿäó ñ ëþáîé ôóíêöèåé f ñîäåðæèò äâîéñòâåííóþ ôóíêöèþ f π . Òîãäà ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ åäèíñòâåííîé ôóíêöèîíàëüíîé êîíñòàíòîé p, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ìíîæåñòâî F. Ò å î ð å ì à 3. (n) Pk Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê æå, êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2, îïðåäåëèì â êëàññå Hk ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâ (2) è (3) (k n + k + 2)-ìåñòíóþ ôóíêöèþ h. Ïî ïîñòðîåíèþ, ôóíêöèÿ h ñîõðàíÿåò ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ek . Ïîýòîìó ÷òîáû óñòàíîâèòü âêëþ÷åíèå h ∈ Hk , äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ îäíîòèïíûõ íàáîðîâ (a01 , . . . , a0k , b01 , b02 , c01 , . . . , c0kn ) (a1 , . . . , ak , b1 , b2 , c1 , . . . , ckn ), (5) èç ðàâåíñòâà h(a1 , . . . , ak , b1 , b2 , c1 , . . . , ckn ) = b1 (6) ñëåäóåò ðàâåíñòâî h(a01 , . . . , a0k , b01 , b02 , c01 , . . . , c0kn ) = b01 . Îäíàêî èç îäíîòèïíîñòè íàáîðîâ (5) âûòåêàåò, ÷òî íàéä¼òñÿ ïåðåñòàíîâêà π , êîòîðàÿ ïåðåâîäèò ïåðâûé èç íàáîðîâ (5) âî âòîðîé, ò.å. a01 = π(a1 ), . . . , a0k = π(ak ), b01 = π(b1 ), b02 = π(b2 ), c01 = π(c1 ), . . . , c0kn = π(ckn ) (7). 7 Äàëåå, èç ðàâåíñòâà (6) è îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè h (ñì. ðàâåíñòâî (2)) ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè g èç ìíîæåñòâà F âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ c1 = g1 (a1 , . . . , ak ), . . . , ckn = gkn (a1 , . . . , ak ). Çíà÷èò, ñ ó÷¼òîì ðàâåíñòâ (7) âòîðîé èç íàáîðîâ (5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (π(a1 ), . . . , π(ak ), π(b1 ), π(b2 ), π(g1 (a1 , . . . , ak )), . . . , π(gkn (a1 , . . . , ak ))). Îäíàêî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ äâîéñòâåííîñòè èìååì −1 π(gi (a1 , . . . , ak )) = giπ (π(a1 ), . . . , π(ak )) (1 ≤ i ≤ k n ). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè îïðåäåëåíèè ôóíêöèè h ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (2) âòî−1 ðîé èç íàáîðîâ (5) ïîÿâèòñÿ äëÿ ôóíêöèè g π . Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî −1 ïî óñëîâèþ òåîðåìû ôóíêöèÿ g π ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó F . Òðåáóåìàÿ ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé äàëåå ñòðîèòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ñèñòåìå èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2. Òåîðåìà 3 äîêàçàíà.  ñëó÷àå áóëåâûõ ôóíêöèé ôóíêöèîíàëüíóþ êîíñòàíòó p â òåîðåìå 3 ìîæíî íå èñïîëüçîâàòü. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ìàð÷åíêîâ Ñ.Ñ., Ô¼äîðîâà Â.Ñ. Î ðåøåíèÿõ ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíûõ áóëåâûõ óðàâíåíèé // Äèñêðåòíûé àíàëèç è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé. 2008. 15. 6. Ñ. 4857. 2. Ekin O., Foldes S., Hammer P.L., Hellerstein L. Equational characterizations of Boolean function classes // Discrete Mathematics. 2000. 211. P. 2751. 3. Foldes S. Equitional classes of Boolean functions via the HSP Theorem // Algebra Universalis. 2000. 44. P. 309324. 4. Pippenger N. Galois theory for minors of nite functions // Discrete Mathematics. 2002. 254. P. 405419. 5. Ìàð÷åíêîâ Ñ.Ñ. Ýêâàöèîíàëüíîå çàìûêàíèå // Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà. 2005. 17. Âûï. 2. Ñ. 117-126. 6. ßáëîíñêèé Ñ.Â. Ââåäåíèå â äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó. Ì.: Íàóêà, 1986. 7. Rosenberg I.G. Über die funktionale Vollständigkeit in den mehrwertigen Logiken // Rozpravy Československe Akad. Věd. Řada Math. Přir. Věd. Praha. 1970. 80. S. 393. 8 8. Ìàð÷åíêîâ Ñ.Ñ. Ôóíêöèîíàëüíûå ñèñòåìû ñ îïåðàöèåé ñóïåðïîçèöèè. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004. 9. Ganter B., Plonka J., Werner H. Homogeneous algebras are simple // Fund. Math. 1973. 79. 3. P. 217220. 10. Ìàð÷åíêîâ Ñ.Ñ. Îäíîðîäíûå àëãåáðû // Ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè, âûï. 39. Ì.: Íàóêà, 1982. Ñ. 85-106. 9