УДК 532.529:534.2 ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ РАЗНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ГАЗОВЗВЕСЯХ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ Д.А. Губайдуллин, А.А. Никифоров, Е.А. Терегулова gubajdullin@mail.knc.ru, anikiforov1@yandex.ru, teregulova@inbox.ru Исследовано распространение плоских, сферических и цилиндрических акустических волн в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров с фазовыми превращениями. Учтены нестационарные и неравновесные эффекты межфазного обмена импульсом, массой и теплом. Представлена система дифференциальных уравнений движения смеси, выведено дисперсионное соотношение. Получены и проанализированы высоко- и низкочастотные асимптотики коэффициента затухания. С помощью метода быстрого преобразования Фурье выполнены расчеты по распространению импульсных возмущений в рассмотренных двухфракционных дисперсных системах. Введение Интерес к изучению многофазных сред связан с их широким распространением в природе и технике и диктуется промышленными и экологическими потребностями. Из многообразия гетерогенных сред могут быть выделены дисперсные смеси, представляющие собой смесь нескольких фаз, одной из которых являются различные включения (капли, твердые частицы) – аэрозоли, газовзвеси и т.д. Различные проблемы механики и теплофизики рассмотрены в известной монографии [1]. Приведены основные уравнения механики и теплофизики многофазных сред различной структуры, рассмотрены методы описания межфазного взаимодействия. Монография [2] представляет собой введение в механику дисперсных смесей пузырьков, капель и твердых частиц с газом или жидкостью. Для их описания используется единый подход, подробно изложены методы описания движения включений с учетом межфазного обмена импульсом и теплом. Особое внимание уделено задачам затухания и дисперсии акустических волн, обсуждаются несколько основных точек зрения. Основы развитой теории распространения плоских акустических волн в смесях газа с паром и каплями жидкости с единых позиций механики многофазных сред изложены в монографии [3]. Основное внимание уделяется изучению влияния фазовых превращений на процессы дисперсии и диссипации возмущений. Предложены математические модели, выведены наиболее общие дисперсионные соотношения, проанализированы некоторые частные случаи, рассмотрены области применимости. В работе [4] проведено сравнение нелинейной и линейной теорий для описания дисперсии и диссипации звука в разбавленных суспензиях. Показано, что значительные различия между линейной и нелинейной теорией существуют при больших значениях частот возмущений. Установлено, что воздействие нелинейных эффектов на дисперсию и диссипацию возмущений за счет вязкого вклада больше, чем за счет теплопроводности. Впервые динамика импульсных волн малой амплитуды в монодисперсных парогазокапельных смесях исследована в [5]. Получены и проанализированы эволюционные уравнения типа волновых, описывающие распространение линейных волн в монодисперсных взвесях с фазовыми переходами. В [6] изучен аномальный эффект немонотонной зависимости диссипации слабых гармонических и импульсных возмущений от массовой концентрации капель m в монодисперсных аэрозолях с тепломассообменом. Установлено, что в некотором диапазоне изменения m и частот возмущений наблюдается уменьшение затухания возмущений с увеличением концентраций капель, являющихся источником и основной причиной диссипации волн. Распространение сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями впервые рассмотрено в [7]. В [8] изучено распространение акустических волн различной геометрии в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров без учета фазовых превращений. В настоящей работе рассматривается распространение плоских, сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в дисперсных системах, представляющих собой смеси газа с паром, каплями и частицами разных размеров и веществ, когда одна из фракций участвует в фазовых переходах. Линеаризованные уравнения возмущенного движения с учетом межфазного массо- и теплообмена Линеаризованная система дифференциальных уравнений возмущенного движения парогазокапельной смеси с твердыми частицами в системе координат, относительно которой невозмущенная среда покоится, записывается аналогично [1, 7], но с учетом различия в составе дисперсной фазы и имеет вид ∂ρV′ v′ v′ ∂ρ1′ ∂v′ ∂v′ + ρ10 1 + θ 1 = −n0l jVΣ , + ρV 0 1 + θ 1 = −n0l jVΣ , r r ∂t ∂t ∂r ∂r ∂ρ′2l v′ ∂ρ′2a v′ ∂v′ ∂v′ + ρ 20l 2l + θ 2l = n0l j Σ , + ρ 20a 2a + θ 2a = 0 , ∂t r ∂t r ∂r ∂r v′ − v′ v′ − v′ ∂v1′ 1 ∂p1′ + + ml 1 ∗ 2l + ma 1 ∗ 2 a = 0 , ∂t ρ10 ∂r τ vl τ va ∂v ′2l v1′ − v2′ l ∂v 2′ a v1′ − v 2′ a = , = , ∗ ∗ ∂t ∂ t τ vl τ vl ∂T1′ 1 ∂p1′ T1′ − TΣ′ l T1′ − TΣ′ a − o + + = 0, (1) ∂t ρ10 c p1 ∂t τ T∗ 1l τ T∗ 1a ∂T2′l T2′l − TΣ′ l ∂T2′a T2′a − TΣ′ a + = 0 , + = 0, ∗ ∗ ∂t ∂ t τ T 2l τ T 2a c p1 g 0 T1′ − TΣ′ l T2′l − TΣ′ l + c g = −l 0 j Σ , 2l 0 ∗ ∗ ml τ T 1l τ T 2l T′−T′ T′ −T′ c p1 1 ∗ Σa + ma c 2 a 2a ∗ Σa = 0 , τ T 1a τ T 2a ′ C12 (ρ1′ + ∆R (ρV′ − kV ρ1′ )) + p10 T1 , p1′ = γ1α10 T0 CV2 T′ p1′ = ρV′ + pV 0 1 , γV α10 T0 l0ρVo 0 ′ = TΣ′ a pVS , T0 j Σ = jVΣ . Система уравнений (1) при значениях параметров θ = 0 описывает плоские волны в декартовой системе координат, при θ = 1 – цилиндрические волны в цилиндрической системе координат, при θ = 2 – сферические волны в сферической системе координат. Интенсивность межфазного взаимодействия зависит от частоты колебаний в соответствии с соотношениями [1, 3] ′ mlo pV′ − pV′ Σ mlo pV′ Σ − pVS jΣ = g0 , jVΣ = g 0 , ∗ τβ p10 p10 τ k1 ρ ρ 4 g 0 = πδl3ρo20l , kV = V , k G = G , kV + k G = 1 , 3 ρ1 ρ1 ρ 20 j ρ o2 j 4 3 o α1 + ∑ α 2 j = 1 , α 2 j = πδ j n j , m j = , mj = o , 3 ρ ρ1 j = a ,l 10 ρ1 = ρV + ρ G , p1 = pV + pG , R1 = kV RV + k G RG , R − RG R 1 2 π γ1CV δl ∆R = V , RV = V , τβ = , λ1 = kV λV + k G λ G , R10 R10 3 γV βC12 τ 1 µ 1 = kV µ V + k G µ G , c p1 = kV c pV + k G c pG , τ∗k1 = RV (1 − kV ) d , 3 1+ y ρ1 = α1ρ1o , −1 2 ρ o2 j δ 2j 1 1 1 − 1− i δ i 2 ∗ l (ωτ d ) 2 , τ d = , τ vj = τ vj 1 + ωτ µ1 j 2 , τ vj = , y= D1 9 µ1 2 2 δ 2j ρ1o δ 2j 1 α10 τ λ1 j λ ∗ τ µ1 j = , τT1 j = , τ λ1 j = , y1 = o 1 , µ1 y1 3 α 20 j 1 + z1 j ρ1c p1 ( z1 j 1− i = ωτ λ1 j 2 ( ) 1 y2 j = 2, τT∗ 2 j λ2 j ρo2 j c2 j ) [3 z 2 j − (3 − z22 j )th( z 2 j )] δ 2j 1 = τλ2 j , τλ2 j = , y2 j 3 z 22 j th( z 2 j ) − z2 j , z2 j = ( 1− i ωτ λ 2 j 2 ( ) ) 1 2, ( j = a, l ) . Переменные с индексом 1 относятся к несущей фазе, а с индексом 2 – к дисперсной, с индексом V – паровой составляющей несущей фазы, с индексом G – газовой составляющей несущей фазы. Штрихи вверху используются для обозначения возмущения параметров, индекс 0 соответствует начальному невозмущенному состоянию. Переменные с индексом а относятся к твердым частицам радиуса δ a , с индексом l – к каплям радиуса δl , Σ – к поверхности раздела. Здесь ρ – приведенная плотность, ρo – истинная плотность, v – скорость, α – объемное содержание, p – давление, C1 – скорость звука в газе, c p – теплоемкость при постоянном давлении, Т – температура, m – массовое содержание дисперсной фазы, τT – время релаксации температур, τ v – время релаксации скорости, µ1 – коэффициент динамической вязкости несущей среды, β – коэффициент аккомодации, D1 – коэффициент бинарной диффузии, jVΣ – диффузионный поток пара к поверхности капли, j Σ – интенсивность конденсации на поверхности отдельной капли, kV и kG – концентрации пара и газа в несущей фазе смеси, R –газовая постоянная, λ – коэффициент теплопроводности, g – масса отдельной капли, n – число включений в единице объема. Записанная система уравнений замкнута и может быть использована для исследования распространения акустических возмущений в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами. Дисперсионное соотношение для плоских, цилиндричеких и сферических возмущений малой амплитуды Исследуем решения системы уравнений (1), имеющих вид прогрессивных волн [3] для возмущений φ′ (φ′ = ρ1′ , ρV′ , ρ′2a , ρ′2l , p1′ , pV′ , T1′,...) φ′ = Aφ exp[i ( K ∗ x − ωt )] – для плоских возмущений, φ′ = Aφ H 0(1) ( K ∗r ) exp[−iωt ] – для цилиндрических возмущений, (2) 1 φ′ = Aφ exp[i ( K ∗r − ωt )] – для сферических возмущений, r K * = K + iK ** , C p = ω / K , σ = 2 πK ∗∗ / K . Здесь K∗ – комплексное волновое число, K∗∗ – линейный коэффициент затухания, C p – фазовая скорость, σ – декремент затухания на длине волны, ω – частота возмущений, Aφ – амплитуда возмущения параметра φ , H 0(1) ( z ) – функция Ханкеля, являющаяся комбинацией функций Бесселя первого и второго родов нулевого порядка J 0 ( z ) и Y0 ( z ) ( H 0(1) ( z ) = J 0 ( z ) + iY0 ( z ) ). Из условия существования у системы линейных уравнений (1) нетривиального решения в виде (2) можно получить следующее дисперсионное соотношение 2 C1 K ∗ (3) = V (ω)D(ω) , ω ml ma V (ω ) = 1 + + , ∗ ∗ 1 − iωτ vl 1 − iωτ va (γ − 1)(1 − t ea e1a )m2l [H 2 − γ1kV RV (c1 RV H 3 − 2l0 H1 ) − M 1l Λ] D(ω ) = 1 + 1 + (1 − t ea e1a )[1 + m2l (H 2 − BH 3 − M 2l Λ)] + m2a e1a (1 − M 2l H 3 ) m2a e1a (γ1 − 1)(1 − M 1l H 3 ) + , (1 − t ea e1a )[1 + m2l (H 2 − BH 3 − M 2l Λ)] + m2a e1a (1 − M 2l H 3 ) H 1 = eZ , H 2 = (e1l − Le )Z , H 3 = e(1 − e1l t el )Z , Λ = LH 12 + H 2 H 3 , c2 j 1 1 Z= , e= , e = , 1j ∗ o ∗ 1 − t el (e1l − Le ) iω τ β + τ k1 m j c p1 1 − iωτ T 2 j ( t ej = iωτ ∗Σ1 j , τ ∗Σ 1 j = B = RV (1 − kV RV ) , ) ( ) α 20l ∗ l τ T 1 j , l0 = 02 , L = l02 kV γ1 ( γ1 − 1) , α10 C1 1 c1 = , M1l = m1l c1 ( γ1 − 1 + kV RV ) , γ1 − 1 M 2l = m2l B , m1l = ml mlo RV , m2 j = m j m oj , ( j = a, l ) . Для двухфракционной смеси газа с твердыми частицами разных материалов и размеров без фазовых превращений дисперсионное соотношение (3) принимает вид [8] 2 C1K∗ (4) = V (ω)D (ω) , ω j = a,l ∗ (γ1 − 1) ∑ m j − iωτTl∗ ma − iωτTa ml D(ω) = 1 + 1+ ∑ m j c2 j j = a ,l ∗ τTj = τT∗ 2 j + ∗ ∗ ∗ ∗ − iωτTl (1 + ma ) − iωτTa (1 + ml ) − ω2 τTa τTl c p1 m j c2 j c p1 τT∗ 1 j , mj = m j c2 j c p1 , ( j = a, l ) . Равновесная и замороженная скорости звука. Асимптотики коэффициента затухания. Анализ дисперсионных кривых Выражения для равновесной Сe и замороженной Cf скоростей звука в парогазокапельной смеси с твердыми частицами могут быть получены из дисперсионного соотношения (3) при предельных переходах соответственно ω→0 и ω→∞, и имеют следующий вид 1 γe 2 Ce = C1 C f = C1 , , m γ 1 1 m j c2 j RV (1 − kV RV ) ∑ − 1 − L j = a,l c p1 , m1 = 1 + γe = m j c2 j RV 2l0 kV RV ( γ1 − 1) − L − + RV ∑ γ1 j = a , l c p1 Низкочастотная асимптотика K∗∗ имеет вид K ∗0∗ ( ) 1 m1a2D + aV2 a0D 2 (ω) = ω , D 2C1 ma 1 0 a0D = 1 + (γ1 − 1) ma c2a c p1 , ma c2a c p1 m2l B1 + M1l b1 + M 2l ∑mj . j = a ,l m2l B1 + M1l ma c2a η1 c p1 γ1 − 1) ( D a2 = ζ − , ma c2a 1 ma c2 a b1 + M 2l b1 + M 2l c p1 c p1 c2 a ma c2 a ma c2 a ζ1 = m2l B2 + m2l τ B + M τ − B3 , λ 1 a 1 1 l λ 2 a o 15 c c 3ma c p1 p1 p1 c τ m c m c η1 = b2 + 2 a λo1a + M 2l a 2 a τ λ 2 a − a 2 a b3 , 15c p1 c p1 3ma c B1 = 2l0 kV RV γ1 − L − kV RV2 γ1c1 + M1l o2l , ml c p1 c τ c c τ B2 = M1l 2l oλ 2l − B4 o2l − kV RV2 γ1c1 2l o λ1l , 15ml c p1 ml c p1 3ml c p1 m c b1 = M 2l l 2l − 1 − m2l L, c p1 c ml c2l 1 ml c2l 2l b2 = B4 1 − τ λ1l + τ λ 2l , + Lτ λ1l − M 2l o c p1 3 15c p1 3ml c p1 1 c τ 1 b3 = B4 + Lτ λ1l − M 2l 2l o λ1l , B4 = τβ + RV (1 − kV )τ d . 3 3 3ml c p1 1 c τ B3 = B4 + Lτ λ1l − M1l 2l o λ1l , 3 3ml c p1 На диссипацию низкочастотных возмущений существенное влияние оказывают как эффекты межфазного трения, так и межфазный тепломассообмен. Высокочастотная асимптотика K∗∗ имеет вид a1 a2 K∗∞∗ = ω+ , 2C1 2C1 2a1 1 1 a1 = (ζ1 − η1 )2 , a2 = (ζ1 − η1 )η2 + ζ 2 − (ζ1 + η1 )2 , 2 2 m τ µ1l ma τµ1a m τµ1l ma τ µ1a + 1 − , + ζ1 = l , ζ 2 = l 1 − τ vl 2 τ va 2 τ vl τ vl τ va τ va 3m j c2 j ( γ1 − 1) c2 j η1 = ∑ 1− o m j c p1 j = a , l c p1 2 τ λ 2 j b2 c τ λ1a η2 = (γ1 − 1) + 2b1η1 , b0 = 1 − o2a b0 τ ma c p1 λ 2a ( ) c τ λ1a + τ λ 2 a 3ma c2 a b1 = 2 a − o c p1 2 τ λ 2 a 2 m c p1τ λ 2 a a ( −1 τ λ1 j , τλ2 j 1 − c2l o ml c p1 τ λ1l τ λ 2l τ λ1a 1 − c2a mao c p1 τ λ 2 a −1 + −1 ) , c c2l τ λ1l L τ λ1l 2l τ λ1l + τ λ 2l 1− o , + + o 3 τ 2 τ 2 τ m c m c β λ 2l l p1 λ 2l l p1 c2 a τ λ1a 3ml c2l c2a τ λ1a + τ λ 2a − + b2 = m2l q1 1 − o o ma c p1 τ λ 2a c p1 τ λ 2l m c τ a p1 λ 2 a L τ λ1l 3ma c2a c2l τ λ1l 3ma c2a c2l τ λ1l + τ λ 2l 1− , + − + o c p1τ λ 2a mloc p1 τ λ 2l c p1 τ λ 2a 3 τ m c τ β l p1 λ 2l 3c2l c2l τ λ1l 1 2 q1 = o + L + kV RV γ1c1 1 − o − 2l0 kV RV γ1 . ml c p1 τ λ 2l ml c p1τ λ 2l τβ Затухание высокочастотных возмущений ωτ v >>1 в газовзвесях как с фазовыми превращениями, так и без фазовых превращений пропорционально массовому содержанию дисперсной фазы m [3]. Для газовзвесей двухфракционного состава дисперсной фазы асимптотическая зависимость затухания для высоких частот ωτ va , ωτ vl >>1 также прямо пропорциональна массовому содержанию капель ml и частиц ma . При распространении высокочастотных возмущений в двухфракционных газовзвесях среди диссипативных доминируют эффекты межфазного трения. Далее, на примере смеси воздуха с паром и каплями воды и частицами песка выполнен анализ полученных асимптотик и дисперсионных кривых. Зависимости относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты ( ( ) ) колебаний ωτ va построены с помощью дисперсионного соотношения (3). (а) (б) Рис. 1. Зависимость относительной скорости звука (а) и декремента затухания на длине волны (б) от безразмерной частоты колебаний На рис. 1 расчеты выполнены для смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка с массовым содержанием частиц песка ma = 0,3 и капель ml = 0,1 (линии I), для монодисперсной смеси воздуха с частицами песка с массовым содержанием ma = 0,3 (линии II) и смеси воздуха с паром и каплями воды при массовом содержании капель ml = 0,1 (линии III). Радиус частиц песка составлял δ a = 10 −5 м, капель воды δl = 10 − 6 м. (а) (б) Рис. 2. Зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты колебаний Двухфракционность состава и различие теплофизических параметров фракций приводит к возникновению характерного перегиба для зависимости относительной скорости звука в области частот обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз τ va и τ vl (рис. 1(а)). Как показано на рис. 1(б), различие размеров включений и теплофизических параметров фракций приводит к возникновению двух максимумов для зависимости декремента затухания на длине волны на характерных значениях безразмерных частот ωτ va , ωτ vl = 1 . На рис. 2 показана зависимость коэффициента затухания от безразмерной частоты колебаний ωτ va при различном массовом содержании капель и частиц (кривые I соответствуют значениям (а) (б) Рис. 3. Зависимость относительной скорости звука (а) и декремента затухания на длине волны (б) от безразмерной частоты колебаний при разных m ma = ml = 0,3 , II – ma = ml = 0,5 , III – ma = ml = 0,7 ) и низкочастотная и высокочастотная асимптотики (штриховые линии). Из рис. 2(а) видно, что низкочастотная асимптотика хорошо приближает на частотах ωτ va < 0.3 . Как показано на рис. 2(б), высокочастотная асимптотика является хорошим приближением на частотах ωτ va > 103 . На рис. 3 проиллюстрировано влияние массового содержания капель и частиц на вид зависимостей относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний ωτ va (кривые I соответствуют значениям ma = ml = 0,3 , II – ma = ml = 0,4 , III – ma = ml = 0,6 ). Из рис. 3(а) видно, что при увеличении массового содержания капель и частиц, относительная скорость звука на низких частотах уменьшается, а при высоких – стремится к скорости звука в чистом газе. Декремент затухания на длине волны при увеличении массового содержания увеличивается практически для всех частот возмущений. На рис. 3(б) показана область не очень высоких значений частот в области ωτ va ≥ 10 соответствующая значениям 0,1 < ωτ vl < 1, где затухание в основном определяется межфазным тепломассобменом. Эта область реализуется для не очень больших значений ml , ее размер зависит от kV [3]. Импульсные возмущения малой амплитуды в двухфракционных парогазокапельных смесях с твердыми частицами Исследуем особенности распространения плоских, цилиндрических и сферических импульсных возмущений малой амплитуды в двухфракционной парогазокапельной смеси с твердыми частицами при наличии фазовых превращений. Расчеты проводились с помощью дисперсионного соотношения (3), при использовании подпрограмм быстрого преобразования Фурье [9]. На рис. 4, 5 показано влияние двухфракционности состава дисперсной фазы и геометрии процесса на эволюцию импульса давления в смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка с массовым содержанием частиц песка ma = 0,3 и капель воды ml = 0,1 (линии I) и для монодисперсной смеси воздуха с частицами песка (линии II) и смеси воздуха с паром и каплями (линии III) при одинаковом массовом содержании частиц m = 0,4 . Радиус частиц песка составлял δ a = 10 − 6 м, капель воды δl = 10 −5 м. Расчетные профили построены на расстоянии 4м и 8м от места инициирования импульса соответственно. Рис. 4. Эволюция плоского импульсного возмущения гауссовой формы Рис. 5. Эволюция импульсного возмущения прямоугольной формы для случая цилиндрических волн Учет межфазного массообмена приводит как к более сильному затуханию, так и к более значительному изменению формы импульсов давления, в силу большей дисперсии скорости звука и диссипации волн. Так для одного и того же общего массового содержания частиц в монодисперсной газовзвеси с частицами песка затухание импульса будет меньше, чем в парогазокапельной среде (линии II и III). В смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка с общим массовом содержании частиц m = 0,4 затухание импульса будет больше, чем для монодисперсной газовзвеси с частицами песка при m = 0,4 и меньше, чем для смеси воздуха с паром и каплями воды при m = 0,4 . Для смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка так же, как и для смеси пара и газа с каплями наблюдается значительное изменение формы импульса из-за дисперсии скорости звука и диссипации возмущений. Таким образом, наличие загрязняющих примесей (например, частиц песка) существенно влияет на динамику слабых волн в воздушных туманах. Заключение Представлена замкнутая система линейных дифференциальных уравнений движения для двухфракционной смеси газа с паром, каплями и твердыми частицами, когда одна из фракций участвует в межфазных превращениях. Получено единое дисперсионное соотношение, определяющее распространение как плоских, так и сферических и цилиндрических возмущений малой амплитуды. Получены равновесная и замороженная скорости звука, высокочастотная и низкочастотная асимптотики коэффициента затухания. Проанализировано влияние фазовых превращений и параметров дисперсной фазы на дисперсию и диссипацию гармонических возмущений и эволюцию слабых импульсов давления. Установлено, что наличие загрязняющих примесей (например, частиц песка) существенно влияет на динамику слабых волн в воздушных туманах, что необходимо учитывать при развитии методов акустической диагностики двухфазных сред. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ЛИТЕРАТУРА Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с. Temkin S. Suspension acoustics: An Introduction to the Physics of Suspensions. New York: Cambridge University Press, 2005. 398 p. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Казань: Изд-во Казан. мат. общества, 1998. 153 с. Kandula M. Dispersion of sound in dilute suspensions // Journal of the Acoustical Society of America. 2010. V. 127. N. 3. P. EL115-EL120. Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Динамика импульсных волн малой амплитуды в парогазокапельных системах // ПМТФ. 1991. № 2. С. 106-113. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин Д.А. Эффект немонотонной зависимости диссипации звука от концентрации капель в акустике газовзвесей // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316. № 3. C. 601-605. Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 5. С. 85-94. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А., Уткина Е.А. Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров // Изв. ВУЗов. Проблемы энергетики. 2009. № 1-2. С. 25-33. Гапонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Препринт № 14−76. Новосибирск: Изд-во ИТФ СО АН СССР, 1976. 19 с.