3.6. уравнение теплопроводности

3.6. Уравнение теплопроводности [10]
Уравнение теплопроводности было впервые записано Фурье великим французским математиком и физиком, который придерживался, популярной в начале XIX века теории теплорода, поэтому уравнение в общем виде (3.52) было записано вначале на основе опытных
данных. Несмотря на необоснованность исходных предпосылок, в ряде частных случаев они
оказались достаточными для построения теории. Если рассматривались термодинамические
системы постоянного объёма, находящиеся при неизменном давлении, то явления теплопроводности протекают так, как если бы тепло было неким веществом, перемещаемым в пространстве со всеми истекающими очевидными последствиями. Никаких источников тепла и
стоков, только перемещение. При постоянстве объёма тепло уместно отождествлять с внутренней энергией вещества. Фурье полагал, при выводе уравнения, что тепло передаётся
только путём теплообмена, конвекция и лучеиспускание отсутствуют. Постоянство объёма
освобождало от рассмотрения перемещения вещества. Такие условия позволили рассматривать распространение тепла как течение жидкости, т.е. использовать методы, наработанные
к тому времени в гидродинамике, т.е. практически развивать механический подход.
По аналогии с течением сплошных сред было введено понятие плотности теплового поr
тока. Вектор плотности теплового потока j , совпадающий с направлением распространения
тепла по модулю равен количеству тепла, проходящего в единицу времени через единичную
площадь, перпендикулярную направлению распространения тепла.
Предположим, что в неограниченной однородной среде возникает одномерный поток
тепла, причём направление распространения совпадает с осью ох. Одномерность потока
предполагает изменение характеристик среды и параметров потока только во времени и в
направлении распространения тепла. Тепловой поток, таким образом, является функцией
r r
только двух переменных j = j(x , t ) .
Выделим в однородной среде (рис.
3.12) бесконечно протяжённую призму
или цилиндр площадью поперечного сечения s, параллельную выбранному направлению распространению тепла и рассмотрим бесконечно малую его толщину
dx. Количество тепла, поступающего в
выделенную область цилиндра, определится как
δQ x = j(x )sdt .
(3.60)
На выходе из области количество тепла
станет равным
δQ ( x +dx ) = j(x + dx )sdt .
(3.61)
r
Рис. 3.12. Поток тепла j
Отсутствие поступления теплоты через
боковые поверхности цилиндра позволяет количество тепла проходящего через выделенный
объём цилиндра за время dt представить следующим образом
⎛ ∂j ⎞
(3.62)
δQ = [ j(x ) − j(x + dx )]s dt = −⎜ ⎟s dx dt .
⎝ ∂x ⎠
Величину δQ можно выразить через массу рассматриваемого объёма, удельную теплоёмкость вещества с и изменение температуры dT
δQ = dm c dT = ρs dx c dT .
(3.63)
Приравняем далее левые части уравнений (3.62) и (3.63)
121
⎛ ∂j ⎞
ρ s dx c dT = −⎜ ⎟ s dx dt ,
⎝ ∂x ⎠
после очевидных сокращений и разделения переменных, получим
∂T
∂j
ρc
=− .
(3.64)
∂t
∂x
На качественном уровне понятно, что тепловой поток должен зависеть от разности температур, это следует из эмпирического уравнения (3.52). Из этого уравнения следует, что
поток тепла может возникать только в том случае, если температура изменяется от точки к
r
точке рассматриваемого объёма, причём вектор j направлен от точек с высшей температурой к точкам с низшей температурой. Вернёмся у уравнению (3.52)
δQ
T − T1
T − T1
T − T1
.
(3.65)
δQ = ksΔt 2
=k 2
, ⇒
, ⇒ j= k 2
x
s dt
x
x
Применительно к рассматриваемому случаю рассматриваемое уравнение перепишется следующим случаем
∂T
j=k
.
(3.66)
∂x
Уравнение (3.64) с учётом полученного значения потока тепла (3.66) перепишется следующим образом
∂T
j=k
.
(3.67)
∂x
Подставим значение теплового потока из уравнения (3.67) в уравнение (3.64)
∂T ∂ ⎛ ∂T ⎞
(3.68)
=
ρc
⎜k
⎟.
∂t ∂x ⎝ ∂x ⎠
Полученное уравнение (3.68) называется уравнением теплопроводности. В частном случае, если коэффициент теплопроводности k не зависит от температуры, уравнение упрощается
∂T
∂ 2T
(3.69)
ρc
=k 2 .
∂t
∂x
Если объединить физические параметры среды в одну величину
k
χ2 =
,
(3.70)
ρc
которая называется температуропроводностью, то уравнение (3.69) примет вид
∂T
∂ 2T
= χ2 2 .
(3.71)
∂t
∂x
Напомним, что полученные выше уравнения записаны в предположении отсутствия в
рассматриваемом объёме источников тепла, хотя на практике часто встречаются обратные
случаи. Например, при протекании тока или радиоактивном распаде в среде выделяется тепло. Обозначив через q количество тепла выделяемого внутренними источниками в единицу
времени в единичном объёме, уравнение теплопроводности можно представить так
∂T
∂j
∂T
∂ 2T
=χ 2 +q.
ρc
=−
+ q,
(3.72)
∂t
∂t
∂x
∂x
Если свойства среды и температура имеют объёмную зависимость, т.е. изменяются в
трёх направлениях, то уравнение теплопроводности усложнится
⎛ ∂j ∂j ∂j ⎞
∂T
ρc
= −⎜⎜ +
+ ⎟⎟ + q .
(3.73)
∂t
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
122
Аналитическое решение уравнения (3.73) получено только для самых простых случаев. На
практике, однако, часто встречаются задачи распространения тепла, обладающие сферической или цилиндрической симметрией. Получим уравнение теплопроводности для сферически симметричной задачи.
r
Вектор потока тепла j в этом случае направлении по радиусу цилиндра (рис. 3.13),
r
другими словами, j = f (r, t ) . Количество тепла поступающего за промежуток времени dt
в выделенную область меду сферами определится как
δQ r = j(r )4πr 2 dt .
(3.74)
Количество тепла, покидающего сферу
большего радиуса, запишется следующим
образом
2
δQ (r +dr ) = j(r + dr )4π(r + dr ) dt . (3.75)
Определим разность тепловых потоков
∂
δQ = −4π ( jr 2 )drdt .
(3.76)
∂r
С учётом соотношения (3.76) для количеРис.3.13. Сферическая симметрия
ства тепла втекающего за время dt в рассматриваемый сферический слой из окружающей среды уравнение теплопроводности можно представить по аналогии с уравнением (3.69) следующим образом
1 ∂
∂T
= − 2 ( jr 2 ) ,
ρc
r ∂r
∂t
(3.77)
123