7.2. закон индукции фараде

7.2. Закон электромагнитной индукции Майкла Фарадея
Пусть прямолинейный проводник
длиной l перемещается с постоянной
r
скоростью v в однородном магнитr
ном поле с индукцией B . За время Δt
проводник перемещается пересекая
поле на площади
(7.1)
ΔS = lvΔt ,
при этом изменение магнитного потока составляет
ΔΦ m = BΔS .
(7.2)
Рассмотрим бесконечно малое перемещение проводника за время dt,
когда магнитный поток изменяется на
величину dФm, при этом будет совершаться работа, величина которой с
учётом правила Ленца запишется следующим образом
δA = − I инд dΦ m .
Рис. 7.3. Замкнутый контур в магнитном поле [3]
(7.3)
Поскольку в уравнение работы входит величина индукционного тока, то очевидно, что
она связана с перемещением носителей зарядов. Движение зарядов может возникать только
при возникновении внутри проводника электрического поля. Для рассматриваемого случая
справедливо соотношение
ε i I инд dt = −I инд dΦ m .
(7.4)
Разделим уравнение (7.4) на I инд dt
dΦ m
.
(7.5)
dt
Уравнение (7.5) представляет собой математическое выражение закона электромагнитной индукции Майкла Фарадея.
Рассмотрим причины возникновения ЭДС индукции на микроуровне
с позиций классической теории электропроводности металлов. На свободные электроны, хаотически движущиеся в межкристаллическом пространстве при наличии магнитного
поля действует сила Лоренца
FL = evB .
(7.6)
Под действием силы Лоренца
произойдёт перемещение зарядов, так
что на концах проводника возникнет
некоторая разность потенциалов Δϕ.
При этом возникшее электрическое
r
поле E будет препятствовать переРис. 7.4. Возникновение ЭДС индукции [3]
движению зарядов. Их перемещение
εi = −
262
r
r
прекратится когда сила со стороны индуцированного электрического поля FE = eE уравняет
силу Лоренца, т.е.
eE = evB, ⇒ E = vB .
(7.7)
С другой стороны Δϕ = Еl, откуда Е = Δϕ/l, что позволяет записать уравнение
Δϕ = vBl .
(7.8)
Представим скорость как v = dx dt
dx
Bl .
(7.9)
Δϕ =
dt
Сделаем в последнем уравнении ещё одну замену: dx⋅dl = dS, тогда
BdS dΦ m
.
(7.10)
Δϕ =
=
dt
dt
Сравнивая уравнения (7.10) и (7.5) можно видеть, что разность потенциалов на концах
разомкнутого проводника равняется ЭДС электромагнитной индукции. В уравнение ЭДС
электромагнитной индукции не вошли конкретные механические параметры движения, потому что всё определяется только скоростью изменения магнитного потока, причём способ
этого изменения не имеет принципиального значения. Можно перемещать контур, можно
его деформировать, меняя площадь, а можно просто увеличивать или уменьшать величину
магнитной индукции, во всех случаях в контуре будет возникать ЭДС индукции.
Рассмотрим далее замкнутый проводящий контур, помещённый в магнитное поле. При
фиксированной площади контура его пронизывает магнитный поток Фm. Предположим, что
поток уменьшается до нуля. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется законом
Фарадея, тогда, применяя закон Ома для контура можно записать уравнение
1 dΦ m
,
(7.11)
ii = −
r dt
где r − полное электрическое сопротивление цепи. Электрический заряд прошедший за время изменения потока через контур определится как
1 0
Φ
q = ∫ i i dt = − ∫ dΦ m = m .
(7.12)
r Φm
r
Закон Фарадея применим не только к единичных контурам, но может использоваться
при вычислении ЭДС индукции катушек, содержащих N витков. Катушки можно рассматривать как серию круговых контуров включенных последовательно
k=N
dΦ m
dΦ m
dψ
εi = −∑
= −N
=−
.
(7.13)
dt
dt
k =1 dt
где ψ = ∑ Φ mk = NΦ m − потокосцепление или полный магнитный поток.
263