Глава 3. Закон сохранения импульса

37
Глава 3. Закон сохранения импульса
Задача 1. Тело массой 2 кг свободно падает без начальной скорости с высоты
5 м на горизонтальную поверхность и отскакивает от нее со скоростью 5 м/с. Найдите абсолютную величину изменения импульса тела при ударе. g = 10 м/с2.
В проекции на ось, направленную вертикально вверх, получаем

p  py  p2y  p1y  mv2  (mv1)  m(v2  v1)  30 кгм/с,
где v2 = 5 м/с — скорость отскока, а v1  2gh = 10 м/с — скорость падения.
Задача 2. Мячик массой 200 г летел со скоростью 20 м/с. После удара о
стенку он отскочил под прямым углом к прежнему направлению со скоростью
15 м/с. Найдите модуль изменения импульса мячика при ударе.
Изобразив на рисунке начальный и конечный импульсы и вектор их разности, получаем

p  (mv1 ) 2  (mv 2 ) 2  5 кгм/с.
Задача 3. Стальной шарик массой 0,1 кг падает на горизонтальную плоскость с высоты 0,2 м и отскакивает после удара снова до высоты 0,2 м. Найдите
среднюю силу давления шарика на плоскость при ударе, если его длительность
0,04 с. g = 10 м/с2.
Среднюю силу, действующую на шарик, можно выразить через изменение
импульса


p
Fcp 
t
В проекции на ось, направленную вертикально вверх,
F 
cp y

py
t

mv  (mv) 2mv 2m 2gh


 10 Н.
t
t
t
Мы нашли среднее значение равнодействующей силы, которая складывается из
реакции плоскости и силы тяжести: Fср = Nср  mg, откуда Nср = Fср + mg = 11 Н. Из
3-го закона Ньютона следует, что сила давления шарика на плоскость равна силе
реакции плоскости.
Задача 4. Стальной шарик массой 40 г, летящий горизонтально со скоростью 20 м/с, ударяется о наклонную
плоскость, составляющую угол 30° с горизонтом. Считая
удар абсолютно упругим, найдите среднюю силу взаимодействия шарика с наклонной плоскостью. Продолжительность удара 0,01 с. Действием силы тяжести за
38
время удара пренебречь.
Поскольку действием силы тяжести за время удара пренебрегаем, средняя сила, с которой плоскость при ударе действует на шарик, равна


p
.
Fcp 
t



Изменение импульса p  mv2  mv1 можно
найти графически. Поскольку отражение происходит с той же скоростью под тем же углом к

наклонной плоскости, вектор p (а значит, и

Fср ) перпендикулярен к наклонной плоскости.

Из рисунка получаем p = 2mvsin, откуда
Fср = (2mvsint = 80 Н.
Замечание. Можно решать задачу не графически, а в проекциях. Видно, что в
проекции на ось x импульс не меняется (что понятно и при анализе сил: в пренебрежении силой тяжести на шарик действует только сила нормальной реакции).

Значит, p = py = = mv sin   (mv sin ) = 2mv sin .
Задача 5. Какова средняя сила давления на плечо при стрельбе из автомата,
если масса пули 10 г, а скорость пули при вылете 300 м/с? Автомат делает 300
выстрелов в минуту.
Рассмотрим систему, состоящую из автомата и пуль. Изменение импульса
этой системы за произвольный интервал времени t равно импульсу внешней силы
F, с которой плечо стрелка действует на автомат (равной силе давления автомата
на плечо)
Ft = N(mv  0),
где N — число пуль, вылетевших за это время. Произвольно выбранный интервал t
сокращается, поскольку N = nt, где n — "скорострельность", т.е. число пуль, вылетающих за секунду (по условию n = 300 мин1 = 5 с1). Получаем
F = nmv = 15 Н.
Задача 6. Ракета массой 2 т неподвижно висит над землей, выбрасывая вниз
реактивную струю со скоростью 1250 м/с. Какая масса газов выбрасывается в
струе за 1 с? g = 10 м/с2.
На выбрасываемые газы действует со стороны ракеты сила, равная скорости
изменения их импульса. Такая же сила действует на ракету со стороны газов (ее
называют реактивной силой). Запишем закон изменения импульса газов за малый
промежуток времени t
39
Fрt = m·u,
где m — масса газов, выброшенных за время t, u — скорость выброса газов.
Поскольку m = t, где  — масса газов, выбрасываемых за 1 с (расход топлива),
получим
Fр = u,
откуда найдем расход топлива:  = Fр/u = mg/u = 16 кг. Мы учли, что в данном примере ракета покоится, и 2-ой закон Ньютона для нее имеет вид: Fрmg = 0.
Замечание. Если ракета движется с ускорением, формула для реактивной силы
имеет такой же вид. Проще всего убедиться в этом, перейдя в систему отсчета, в
которой ракета в данный момент покоится.
Задача 7. Тонкую мягкую цепочку массой 200 г удерживают за один конец
так, что другой ее конец касается стола. Цепочку отпускают, и она падает на
стол. Считая, что все элементы цепочки, находящиеся в воздухе, падают свободно, найдите силу давления на стол в тот момент, когда в воздухе находится половина цепочки. g = 10 м/с2.
Рассмотрим момент времени, когда верхний конец цепочки опустился на h.
Силу реакции стола N можно разбить на две части. Одна часть N1 уравновешивает
силу тяжести лежащей на столе части цепочки длиной h: N1 = (m/l)hg, где m —
масса цепочки, l — ее длина. Другая часть N2 возникает при ударе падающих элементов цепочки на стол, она равна скорости изменения их импульса. Чтобы вычислить N2, рассмотрим малый интервал времени t. За это время в соприкосновение с
плоскостью придет элемент цепочки длиной vt и массой m = (m/l)vt. Изменение
его импульса в проекции на ось y, направленную вертикально вверх, равно
py = 0  (m·v) = m·v,
откуда N2y = py/t = mv2/l. Поскольку при свободном падении цепочки v2 = 2gh, то
N = N1 + N2 = 3mg
h
,
l
что при h = l/2 дает 1,5mg = 3 Н.
Задача 8. Конькобежец катил груженные сани по льду со скоростью 5 м/с, а
затем толкнул их вперед и отпустил. С какой скоростью (в см/с) покатится конькобежец непосредственно после толчка, если скорость саней возросла до 8 м/с?
Масса саней 90 кг, масса человека 60 кг. В ответе укажите модуль скорости.
В пренебрежении силой трения система (человек + сани) замкнутая. Направим

ось x вдоль начальной скорости v , тогда и проекция конечной скорости саней
будет положительной: u1x = u1. Направление скорости человека заранее не известно, но и не надо пытаться его угадать: найдя u2x, мы определим и величину, и направление скорости. Закон сохранения импульса в проекции на ось x имеет вид
40
(m1 + m2)v = m1u1 + m2u2x,
откуда
u2x =
(m1  m2 )v  m1u1
= 0,5 м/с = 50 см/с.
m2
Поскольку ответ положительный, то человек движется в прежнем направлении.
Задача 9. Три лодки массами 100 кг каждая идут одна за другой с одинаковыми скоростями. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю бросают
горизонтально со скоростью 2,2 м/с относительно лодки грузы массой 10 кг каждый. Найдите величину относительной скорости (в см/с) передней и задней лодок
после попадания в них грузов.
Решение задачи выглядит проще всего в системе отсчета, в которой все три
лодки вначале покоятся. После переброски грузов средняя лодка останется на месте, а крайние лодки приобретут одинаковые скорости u, направленные в противоположные стороны. Величину этой скорости найдем из закона сохранения импульса для системы (груз + лодка)
mv гp  (m  M )u .
Разность скоростей крайних лодок в этой системе отсчета равна
u  (u)  2u 
2mv гp
m+ M
 40 см/с.
Это и есть ответ к задаче, так как относительная скорость двух тел не зависит от
выбора поступательно движущейся системы отсчета.
Задача 10. От поезда, идущего с постоянной скоростью 64 км/ч, отделяется пятая часть состава. Через некоторое время скорость отделившихся вагонов
уменьшилась в 2 раза. Считая, что сила тяги при разрыве не изменилась, найдите
скорость (км/ч) головной части поезда в этот момент. Сила трения пропорциональна весу.
Так как по условию полная сила, действующая на обе части состава, не меняется (остается равной нулю), то импульс системы сохраняется
mv 
m v 4m

u,
5 2 5
где u — скорость головной части поезда. Получаем u = (9/8)v = 72 км/ч.
Задача 11. Снаряд, летящий с некоторой скоростью, распадается на два осколка. Скорость большего осколка по величине равна начальной скорости снаряда
и направлена перпендикулярно к ней. Скорость другого осколка по величине в 5 раз
больше первоначальной. Найдите отношение масс осколков.
Запишем закон сохранения импульса в векторной форме
41




(m1  m2 )v  m1u1  m2u2 ,

где v — начальная скорость снаряда, u1 — ско-

рость большего осколка, u2 — меньшего. Изо-
бразив это векторное равенство на рисунке, по 
лучим прямоугольный треугольник ( u1v ), стороны которого связаны теоремой Пифагора
(m1  m2)2v2  m12u12  m22u22 .
Подставив сюда u1 = v и u2 = 5v, получим уравнение, связывающее между собой
массы осколков
2
m12  mm
1 2 12m2  0 .
Разделив это уравнение на m22 , получим квадратное
уравнение для искомой величины x = m1/m2
x2  x  12  0. .
Сохраняя только положительный корень, получаем x = 3.
Задача 12. Снаряд массой 50 кг, летящий под углом 30° к вертикали со скоростью 600 м/с, попадает в платформу с песком и застревает в ней. Найдите
скорость платформы после попадания снаряда. Масса платформы 950 кг. Трением между платформой и рельсами пренебречь.
Система (снаряд + платформа) не является замкнутой — на нее действует как
сила тяжести, так и сила реакции со стороны рельсов. В результате импульс системы при ударе меняется, но это изменение касается только вертикальной проекции
импульса (она обращается в ноль). В горизонтальном направлении система является замкнутой (проекция внешних сил на это направление равна нулю — по условию трение о рельсы отсутствует), и мы можем записать закон сохранения проекции полного импульса на ось x
m1v1 sin   (m1  m2 )u ,
откуда находим искомую конечную
скорость
u
m1v1 sin 
 15 м/с.
(m1  m2 )
Задача 13. В ящик с песком массой 9 кг, соскальзывающий с гладкой наклонной плоскости, попадает горизонтально летящее ядро массой 3 кг и застревает в
нем. Найдите скорость ящика сразу же после попадания ядра, если непосредст-
42
венно перед попаданием скорость ящика равнялась 6 м/с, а скорость ядра 12 м/с.
Угол наклона плоскости к горизонту 60°.
Полный импульс системы (ящик + ядро) не сохраняется. Важно правильно
определить направление, в проекции на которое можно записать закон сохранения
импульса. Ответ можно дать только в предположении, что время соударения очень
мало (стремится к нулю). Тогда можно пренебречь изменением импульса за счет

силы тяжести: mg t  0 . Единственной внешней силой, действием которой пренебречь нельзя, остается
сила нормальной реакции со стороны наклонной плоскости. Если направить ось x вдоль плоскости, то проекция силы реакции на эту ось обратится в ноль, т.е. проекция импульса системы на это направление сохраняется
mv
1 1  m2v2 cos   (m1  m2 )u. .
Отсюда находим конечную скорость: u = 3 м/с.
Задача 14. Небольшое тело массой 190 г лежит на вершине гладкой полусферы радиусом 90 см. В тело попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально, и застревает в нем. При какой минимальной скорости пули тело после этого
сразу оторвется от поверхности полусферы? g = 10 м/с2.
Траектория тела в верхней точке должна максимально близко примыкать к
поверхности полусферы радиусом R, но сила реакции должна сразу после попадания пули обратиться в ноль, т.е. должна действовать только сила тяжести. 2-ой
закон Ньютона в проекции на радиус имеет вид
(M  m)g 
(M  m)u2
,
R
где u — скорость тела с пулей сразу после удара. Начальную скорость пули найдем
из закона сохранения импульса
mv = (m + M)u.
Получаем v  (1  M m) gR  60 м/с.
Задача 15. Тележка стоит на гладких рельсах. Человек переходит с одного
ее конца на другой параллельно рельсам. На какое расстояние относительно земли переместится при этом тележка? Масса человека 60 кг, масса тележки
120 кг, ее длина 6 м.
Закон сохранения импульса связывает скорости человека и тележки в каждый
момент времени
m1v1  m2v2 = 0.
43
Умножая это равенство на время движения, найдем связь между величинами перемещений
m1(l  s2)  m2s2 = 0,
где l — длина тележки, s2 — ее перемещение,
(l  s2 ) — перемещение человека. Решая уравнение,
находим
s2 
m1
l 2 ì .
m1  m2
Замечание. Можно решить эту задачу, опираясь на
свойства центра масс системы. Поскольку система
замкнутая, то скорость ее центра масс не меняется, т.е. в данном случае остается равным нулю. Приравняем к нулю перемещение центра масс
sцx 
m1s1x  m2 s2x
.
m1  m2
Учитывая, что s1x = s1 = (ls2), s2x = s2, получим m1(l  s2)  m2s2 = 0. При этом подходе видно, что результат не зависит от того, как человек движется.
Задача 16. На стол поставили в вертикальном положении тонкую палочку
длиной 80 см и отпустили. На сколько сантиметров сместится нижний конец
палочки к тому моменту, когда она будет составлять с поверхностью стола угол 60°? Трением пренебречь.
В отсутствие трения палочка представляет собой систему,
замкнутую в горизонтальном направлении. Значит, горизонтальная проекция скорости центра масс остается равной нулю, т.е.
центр палочки перемещается только по вертикали. Из рисунка
находим
x=
l
cos  = 20 см.
2
Задача 17. Веревку длиной 80 см и массой 200 г положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг одного из концов с угловой скоростью 10 рад/с. Чему равна сила натяжения веревки в середине ее длины?
Рассмотрим движение внешней половины веревки. На нее
действует только одна горизонтальная внешняя сила — сила натяжения в середине веревки. Центр масс этого участка веревки
движется по окружности радиусом (3/4)l (l — длина веревки), его
масса равна половине массы веревки. Из уравнения движения центра масс
F
находим F = 6 Н.
m 2 3l

2
4
44
Задача 18. Два шарика массой 250 г каждый, соединенные нитью длиной 1 м,
движутся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент один из
шариков неподвижен, а скорость другого равна 4 м/с и направлена перпендикулярно нити. Чему равна сила натяжения нити?
Поскольку система замкнута, центр масс системы (находящийся в середине
нити) движется равномерно и прямолинейно. Его скорость можно найти из движения шариков в данный момент времени: она параллельна скорости движущегося
шарика и равна половине его скорости. Перейдем в инерциальную систему отсчета,
движущуюся поступательно со скоростью центра масс. В этой СО центр масс неподвижен, а шарики движутся по окружностям радиусом l/2 со скоростью v/2. Получаем
F m
v 22
l 2

mv 2
= 2 Н.
2l