Рациональные приближения действительных чисел и решения уравнения

Рациональные приближения действительных чисел и решения уравнения
Пелля
Базарбаев С.К, 4 курс, Жумалиева А.Ж. 3 курс,
Научный руководитель: Алданов Е.С.
Актюбинский региональный государственный университет имени К.Жубанова
АБСТРАКТ
В этой работе рассмотрены вопросы рационального приближения действительных
чисел с помощью непрерывных дробей. Исследованы решения уравнения Пелля на основе
теоремы Дирихле. Данная теорема дает четкий алгоритм нахождения решения уравнения
Пелля с помощью цепных дробей.
Rational approximations of real numbers and the solution of Pell equation
Bazarbaev S.K., 4th year student, Zhumalieva A.Zh., 3th year student,
Scientific adviser: Aldanov E.S.
ABSTRACT
In this paper we study the rational approximations of real numbers by continued
fractions. Rassmotrenyy the solution of Pell based on Dirichlet's theorem. This theorem gives a
clear algorithm for finding the solution of Pell's equation using continued fractions.
АБСТРАКТ
Бұл жұмыста диофант теңдеулері болып табылатын –Пелл теңдеулері жəне оны
шешудің рационал жуықтау əдісі зерттеледі. Бұл əдістің негізінде Дирихленің жуықтау
туралы теоремасы жатыр. Зерттеу нəтижесінде теңдеудің дербес түрі үшін жуық
бөлшектер мен белгілі Фибоначчи сандарының арасындағы байланыс анықталып отыр.
1 УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ И ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ О ЕДИНИЦАХ
1.1 Уравнения Пелля
Определение. Уравнение вида
x 2  Ay 2  1 ,
(1.1)
где A  N, A  u 2 , называется уравнением Пелля.
График уравнения Пелля гипербола (Рис.1), асимптоты которого y  
x
.
A
Рисунок 1-График уравнения Пелля
При любом A график гиперболы проходит через точки (1,0) , симметрично
относительно обеих координатных осей.
Рассмотрим вопрос о разрешимости в целых числах данного уравнения.
В силу симметричности задачи ограничимся случаем, когда х  0 и y  0 .
Заметим, что существует очевидное решение ( x0 ; y0 )  (1; 0) . Кроме того, легко увидеть,
что если ( x ; y ) и ( x1 ; y1 ) – два неотрицательных решения уравнения, причем x  x1 , то
тогда и y  y1 .
Под неотрицательным (положительным) решением уравнения Пелля будем
понимать такую упорядоченную пару ( x0 ; y 0 ) , что х0  0 и y 0  0 ( х0  0 и y 0  0) .
Пусть ( x1 ; y1 ) – наименьшее положительное решение уравнения x 2  Ay 2  1 .
Замечание. Доказательство существования такого наименьшего положительного
решения опирается на теорию цепных дробей и очень громоздко.
Совершим ряд преобразований.



x12  Ay12  1  x1  y1 A  x1  y1 A  1 ,
отсюда
x  y
1
1
A
 x  y
2
1
A
1

2
1,
или
( x
2
1


 Ay12 )  2 x1 y1 A  ( x12  Ay12 )  2 x1 y1 A  1 .



Обозначив x12  Ay12  х2 , 2 x1 y1  y 2 , получим x2  y 2 A  x2  y 2 A  1 . Таким
образом, после возведения в квадрат, пара ( x 2 ; y 2 ) оказалась положительным решением
уравнения
x  y

x 2  Ay 2  1 .
Аналогичные

выводы
можно
сделать,
возводя
A  x1  y1 A  1 в куб (тогда пара ( x3 ; y3 ) будет положительным решением), в
четвертую и т.д. степени.
Итак, если ( x1 ; y1 ) – наименьшее положительное решение уравнения x 2  Ay 2  1
1
1

и x n  y n A  x1  y1 A
данного уравнения.

n
, то ( xп ; y п ) также является положительным решением
Теорема. Других положительных решений нет.
Доказательство. Заметим, что для последовательности х1 , х2 ,  , хп ,  (как и
для последовательности у1 , у 2 ,  , у п ,  ) решений уравнения x 2  Ay 2  1 , получаемых


n
по формуле xn  y n A  x1  y1 A , где п  N и ( x1 ; y1 ) – наименьшее положительное
решение данного уравнения, выполняется условие монотонного возрастания при п   .
Пусть (и ; v ) – произвольное решение уравнения x 2  Ay 2  1 , тогда хп  и  xn1 ,
yп  v  yn1 . Предположим, что хп  и  xn1 , yп  v  yn1 , и придем к противоречию.
Действительно, тогда xn  y n A  u  v A  xn1  y n1 A . Разделим это двойное
неравенство на xn  y n A (или, что то же самое, умножим это неравенство на xn  y n A
), получим
1  ( x n  y n A )  (u  v A )  x1  y1 A 
 1  (ux n  Avyn )  (vxn  uy n ) A  x1  y1 A .
Заметим, что пара (uxn  Avyn ; vxn  uyn ) является решением уравнения
x 2  Ay 2  1
Если теперь мы покажем, что
ux n  Avy n  0 ,
,

vxn  uy n  0 ;
то получим противоречие с тем, что ( x1 ; y1 ) – наименьшее положительное решение
данного уравнения.
Действительно, uxn  Avy n  1  Av 2  1  Ay n2  Avy n (так как из u 2  Av 2  1 ,
xn2  Ayn2  1 следует u  1  Av 2 , xn  1  Ayn2 ), но 1  Av 2  Av 2 , 1  Ayn2  Ayn2 .
Поэтому uxn  Avyn  0 .
Далее,
xn2  1
u 2 1
vxn  uy n 
 xn  u 
,
A
A
т.к. из
u 2  Av 2  1 , xn2  Ayn2  1
следует
u 2 1
v
, yn 
A
xn2  1
.
A
Для доказательства
x 2 1
u 2 1
 xn  u  n
0,
A
A
надо показать, что
(u 2  1)  x n2  u 2  ( xn2  1) .
Последнее неравенство равносильно xn  u , а это и было предположено.
Таким образом, vxn  uyn  0 . Противоречие.
Итак, u  xn , v  y n .
1.2 Цепные и подходящие дроби
Любое не целое число
  0 
где,
1
,
1
 0    наибольшее целое число не превосходящая  , а 1  1 и является
обратным числом дробной части, если оно не целое, т.е. в свою очередь
1   2 
1
,
3
где  2   1  и  3  1 и т.д. Таким образом, продолжая эти рассуждения получаем
следующее представления числа  :
  0 
1
1 
(1.2)
1
2 
1
n
Представление (2.2) называется цепной дробью.
Таким же образом можно представлять все числа, включая и иррациональное. В
том случае, когда  иррациональное число, процесс будет идти бесконечно, и цепная
дробь обозначается  0 ,  1 ,  2 ,..., а в случае рационального  процесс будет конечным
и обозначается

0
,  1 ,...,  n .
Если бесконечной цепной дроби

0
,  1 ,  2 ,... представленной в виде
  0 
1
1 
1
2 

отбросит все звена кроме первых n так, чтобы получить обобщенную конечную цепную
дробь
  0 
1
1 
1
2 


то она представляет некоторое рациональное число
1
n
pn
. Такая дробь будем считать
qn
несократимой, и называется подходящей дробью.
Построение цепной дроби числа  связано нахождением целых точек
находящихся близко к прямой заданной уравнением y  x .
10
(Рис.2). Это означает,
7
что прямая проходит через начало координат O(0,0) и точку M (7,10) .
Рассмотрим на плоскости прямую y  x , пусть

Рисунок 2-Поиск точек близко лежащих к заданной прямой
Алгоритм нахождения целых точек близко лежащие к заданной прямой
следующий: e1 , e2  единичные векторы координатных осей. Строим вектор e3  e1  e2 ,
затем к вектору
e2 прибавляем вектор e3 до тех пор, пока не пересечем заданную
 0 , что e3  e1   0 e2 , далее e4  e2  1 e3 , где
10
1 целое число, такое что вектор e4 не пересекает прямую y  x и т.д. Алгоритм
7
прямую. Т.е. надо найти такую целую
достигнет цели когда конец последнего вектора суммы имеет целые координаты, которая
является координатами точки на заданной прямой.
Определение 1. Иррациональное число 
называется квадратично
иррациональным, если оно является корнем многочлена второй степени с целыми
коэффициентами. А второй корень этого многочлена  называется сопряженным к  .
Алгоритм нахождения целых точек близко лежащие к заданной прямой
следующий: e1 , e2  единичные векторы координатных осей. Строим вектор e3  e1  e2 ,
затем к вектору
e2 прибавляем вектор e3 до тех пор, пока не пересечем заданную
 0 , что e3  e1   0 e2 , далее e4  e2  1 e3 , где
10
1 целое число, такое что вектор e4 не пересекает прямую y  x и т.д. Алгоритм
7
прямую. Т.е. надо найти такую целую
достигнет цели когда конец последнего вектора суммы имеет целые координаты, которая
является координатами точки на заданной прямой.
Определение 1. Иррациональное число 
называется квадратично
иррациональным, если оно является корнем многочлена второй степени с целыми
коэффициентами. А второй корень этого многочлена  называется сопряженным к  .
Определение 2. Если для достаточно больших n и для фиксированного l
выполняется  n   n l , то цепная дробь  0 ,  1 ,  2 ,... называется периодичной с
периодом l .
Теорема 2.1. Цепная дробь периодична (т.е. последовательность ее элементов,
начиная с некоторого места, повторяет себя) тогда и только тогда, когда число
представленное этой дробью число квадратическая иррациональность, число вида
a  b c , где числа a, b, c рациональные числа.
Определение 3. Квадратичное число
 1    0.
 называется приведенным, если   1 и
Для доказательства существования решений уравнения Пелля нам поможет
теорема Дирихле о приближении.
Рассмотрим уравнение Пелля
x 2  qy 2  1 , где q  N, q  u 2 .
Для начало докажем следующую теорему:
Теорема 1. Для любого q  u 2 и целого m  1 существуют целые a, b такие, что
1
0 b m и ab q  .
m
Доказательство: Рассмотрим m  1 иррациональное число
q ,2 q ,3 q ,..., m  1 q .
Для любого числа вида k q , k  1,2,3,..., m  1 возьмем натуральное a k такое, что
0  ak  k q  1 .
Далее разобьем интервал 0,1 на m частей, так чтобы длина каждой части была
1
равна на
:
m
1
1 
 1 1

0
,

,
2


...


m

1


,1
 m   m

m 
m 
Тогда по принципу Дирихле из них найдется хотя бы один интервал который
содержит хотя бы два из m  1 следующих чисел:
0, a1  q , a 2  2 q , a3  3 q ,..., a m 1  m  1 q ,1 .
1
Следовательно, разность между ними меньше, чем m .
Пример: Пусть
q  2, m  4. Рассмотрим m  1  4  1  3
следующие
иррациональные числа: c1  2 , c2  2 2 , c3  3 2 . Подберем для них соответственно
a 1  2, a 2  3, a 3  5 такие, что все числа
c1  a1  b1 q  2  2 ,
c2  a2  b2 q  3  2 2 ,
c3  a3  b3 q  5  3 2
такие, что для всех ci , i  1,2,3 выполняется условие
0  ci  1 .
Разобьем 0,1 на m  4 равных частей:
 1  1 1 1 3 3 
0, 4    4 , 2    2 , 4    4 ,1 .
Теперь не трудно проверить, что все приведенные выше числа ci , i  0,1,2,3, 4 ,
где c0  0, c4  1 , удовлетворяют условию теоремы, т.е. найдется такие целые a, b такие,
что 0  b  m и a  b q 
Для
a, b
из
1
.
m
данного
a  c0  0, b  c2  3  2 2 ,
так
набора
как
чисел
подходит
3  2 2  0,2 
1
,
4
две
а
пары:
значит
 1
a  c3  5  3 2 , b  c4  1 , так как
c0  0; c2  3  2 2  0,  , а также
4


3
3
c3  5  3 2  0,7573 т.е.  5  3 2  1 , и c3  5  3 2 ; c4  1   ,1 . Абсолютная
4
4 
величина разности чисел составляющие каждую их этих пар удовлетворяет условию


теоремы, т.е. 0  3  2 2 


1
1
и 5  3 2  1  0, 2426  .
4
4
Теорема 2 (теорема Дирихле о приближениях). Для любого иррационального
числа  существует бесконечно много рациональных чисел
взаимно простые, таких что
a
где,
b
a, b   1, т.е.
1
a
  2 .
b
b
Доказательство. Применяем результат первой теоремы: обе стороны неравенства
a  b 
a
1
1
1
делим на b , и тогда
 
 2 , так как b  m.
m
b
mb b
Теорема 3. Если x 2  y 2   1 , то пара чисел  X , Y    x  2 y , x  y 
удовлетворяют уравнению X 2  2Y 2  1 . Кроме того уравнение x 2  y 2   1
имеет решение только  X , Y    x  2 y , x  y  полученные с помощью тривиального
решение (0,1).
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. – М.: Наука, 1972.
Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. Делимость чисел и решение
уравнений в целых числах (теория и задачи с решениями). – М.: МГИЭТ(ТУ), 1999.
Бенуа Д.Г., Михайлов А.Б. Делимость целых чисел. – СПб.: ГДТЮ
(лаборатория непрерывного математического образования), 1998.
Болтянский В.Г., Левитас Г.Г. Делимость чисел и простые числа //В кн.
«Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8»//. – М.: Просвещение, 2-е
издание, 1974, с. 5 – 69.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Учпедгиз, 1960.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972.
Воробьев Н.Н. Признаки делимости (популярные лекции по математике). – М.:
Наука, 1980.
Галкин Е. Задачи с целыми числами. – М.: «Математика», 1999 – 2000.
Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. –
М.: изд-во МГУ, 2-е издание, 1995.
Гельфанд А.О. Решение уравнений в целых числах (популярные лекции по
математике). – М.: Наука. 1983.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. – М.: Наука, 1965.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: Просвещение, 2-е издание,
1967.
Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. – М.: Просвещение, часть 1,
1974.
Малинин В. Решение уравнений в натуральных и целых числах. – М.:
«Математика», 2001, №№ 21 – 22.
Молдаванский Д.И. Целые числа. Основы теории делимости. – Иваново: изд-во
Ивановского областного института повышения квалификации и переподготовки
педагогических кадров, 2001.
Оре О. Приглашение в теорию чисел (библиотечка «Квант»). – М.: Наука, 1980.
Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ
элементарных функций. – М.: Наука, 1980.
Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма. – Соросовский
образовательный журнал, 1998, № 2, с. 135 – 138.
Федотов М.В., Хайлов Е.Н. Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ.
Задачи устного экзамена по математике. – М.: ВМиК МГУ, 2002.
Хассе Г. Лекции по теории чисел. – М.: И.Л., 1953.
Шмидт Р.А. Задачи по алгебре. – СПб.: 1991.