Высшая математика» по разделу - Полоцкий государственный

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Полоцкий государственный университет»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ К ЭКЗАМЕНУ ИЛИ
ЗАЧЕТУ
по разделу «Дифференциальные уравнения»
Составление
Ф.Ф. Яско,
О.В. Скоромник, И.В. Инц, Д.В. Инц
общая редакция
Ф.Ф. Яско
кафедра высшей математики
Новополоцк 2013
СОДЕРЖАНИЕ
РАЗДЕЛ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА РАЗДЕЛ………………………………………..…3
Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»……...……….4
Вопросы к экзамену по разделу «Дифференциальные уравнения»………...6
Основная и дополнительная литература………………………..…………….7
I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.…...….8
II. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка и приводящиеся к ним………………………………………...……………...11
III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и
уравнение Бернулли……………………………………………………15
IY. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Решение задач прикладного содержания..................................................18
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Дифференциальные уравнения первого порядка»……………………………………………..…………..22
Y. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка…………………………………………………….32
YI. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами…………………………………..…….……36
YII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных……………………………………………………..……………..40
YIII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью..…...46
IX. Решение систем дифференциальных уравнений.………………51
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Дифференциальные уравнения высших порядков»……………………………………………………….57
ГЛОССАРИЙ………………………………………………………………….71
ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
2
ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения
Теорема
о
структуре
общего
решения
Со специальной
правой частью
3
Системы
дифференциальных уравнений
и другие
Линейные
Допускающие
понижение
и другие
ДУ в полных дифференциалах
Линейные ДУ и уравнение Бернулли
Однородные ДУ и приводящиеся к ним
ДУ с разделенными переменными и приводящиеся к ним
Дифференциальные уравнения
Метод вариации произвольных постоянных
Линейные
с постоянными коэффициентами
и другие
Информационная таблица «Дифференциальные уравнения»
1. y   f  x   g  x  или X1  x   Y1  y  dx  X 2  x   Y2  y  dy  0 - уравнения с разделяющимися переменными. Решаются путём разделения переменных и интегрированием.
Уравнение вида y   f  ax  by  c  подстановкой z  ax  by  c сводится к дифференциальному уравнению (ДУ) с разделяющимися переменными.
2. ДУ y   f  x, y  называется однородным, if f  x, y  – однородная функция нулевого порядка  f  tx, ty   f  x, y  t  0  . Сводится к ДУ с разделяющимися переменными с помощью замены
 ax  by  c 
y  ux , y   u x  u . Уравнение вида y   f 

 a1x  b1 y  c1 
заменой x  u   , y  v   сводится либо к однородному ДУ (когда
уравнению с разделяющимися переменными (если
3. y  p  x  y  g  x  – линейное ДУ I
порядка;
a b
 ), либо к
a1 b1
a b
 ).
a1 b1
y  p  x  y  g  x  y 
   0,
  1
Общее решение может быть получено с помощью подстановки
– ДУ Бернулли.
y  uv , y  u v  uv .
4. ДУ P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0 называется уравнением в полных дифференциалах,
если  u  x, y  , что du  x, y   P  x, y  dx  Q  x, y  dy . Необходимое и достаточное условие
P Q

. Общий интеграл u  x, y   C , u  x, y  можно найти по одной из формул:
y x
y
x
u  x, y  

x0
P  x, y  dx 
y
x
 Q  x0 , y  dy ,
u  x, y  
y0

x0
P  x, y0  dx 
 Q  x, y  dy .
y0
M 0  x0 , y0  - любая точка из области -я решения, чаще всего М0(0, 0).
5. Уравнения, допускающие понижение порядка
 n
в) F  y, y, y   0 — уравнение, не
а) y  f  x  . Решается n-кратным
содержащее явно x : полагая y   p  y  ,
интегрированием.
б) F  x, y, y    0 — уравнения, явно
dp dy dp
y  


 p , получим ДУ I поdy dx dy
не содержащие искомой функции y(x).
Полагая y   p  x  , y  p  x  , получим

dp 
рядка F  y, p, p    0 .
dy 
ДУ I порядка F  x, p, p   0 .

6. ДУ y  py  gy  0 называется линейным однородным ДУ II порядка с постоянными коэффициентами
y  C1 y1  C2 y2 – структура общего решения, где
y1 , y2 – линейно независимые решения, которые находятся, исходя из корней характеристического уравнения
k 2  pk  g  0 :
(1)
4
if
D > 0, k1, k2 – корни (1), то y  C1ek1x  C2e k2 x ;
if
D = 0, k1  k2 - корни (1), то y  ek1x  C1  C2 x  ;


if D < 0, k1,2    i i  1 - корни (1), то y  e x  C1 cos x  C2 sin  x  .
7. ДУ y   py   gy  f  x  называется линейным неоднородным ДУ II порядка с
y  yодн  yч – структура общего решения, где
постоянными коэффициентами,
уодн – общее решение соответствующего однородного ДУ; уч – частное решение неоднородного ДУ.
If функция f  x  имеет специальный вид:
f  x   e ax  Pn  x  , где Pn  x  — многочлен степени n ,
а)
1) yч  eaxQn  x  ,
if a  k1, a  k2 ;
2) yч  x  e axQn  x  ,
3) yч  x 2  e axQn  x  ,
if a  k1 или a  k2 ;
f  x   eax  Pn  x  cos bx  Qm  x  sin bx  ,
б)
то
1) yч  eax  S N  x  cos bx  TN  x  sin bx 
if a  k1  k2 .
то
2) yч  xeax  S N  x  cos bx  TN  x  sin bx  ,
,
if a  bi  k1 , a  bi  k2
if a  bi  k1, a  bi  k2 ,
N  max  n, m 
8. Если известно общее решение линейного однородного ДУ y  C1 y1  C2 y2 , то частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных:
C  y  C  y  0,
 1 1
2 2
yч  C1  x  y1  C2  x  y2 . 
- система для нахождения C1 , C 2 , а за

C1 y1  C2 y2  f  x 
тем путем интегрирования C1  x  и C2  x  .
9. Системы ДУ. Могут решаться методом исключения неизвестных, т.е. приведением
к ДУ высших порядков.
y   a y  a y ,

11 1
12 2
Линейная однородная система с постоянными коэффициентами  1
 y2  a21 y1  a22 y2
может
также
решаться
составлением
характеристического
уравнения
a11   a12
 0 , нахождением его корней и соответствующих собственных вектоa21
a22  
ров.
5
Вопросы к экзамену (зачету) по разделу дифференциальные уравнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача
Коши.
Дифференциальные уравнения I порядка. Теорема Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и
приводящиеся к ним.
Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.
Линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнения Бернулли.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Модели решения прикладных задач с применением дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие общего и частного решений.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков (общая теория, понятие линейной зависимости и независимости решений, вронскиана).
Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков (структура общего решения, теорема о «накладке» решений).
Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного
решения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и со «специальной» правой
частью.
Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключения неизвестных при решении систем дифференциальных уравнений.
Решение систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью характеристического уравнения.
6
Основная и дополнительная литература
1. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
Функции комплексного переменного. / Я.С.Бугров, С.М.Никольский –
М.: Наука, 1980.
2. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике. / А.А. Гусак,
Г.М.Гусак – Мн.: Навука и тэхника, 1991.
3. Жевняк, Р.М. Высшая математика. Ч.3 / Р.М.Жевняк, А.А.Карпук 
Мн.: Вышэйшая школа, 1985.
4. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев Мн.: Вышэйшая школа, 1974.
5. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Ч.2. /
Н.С.Пискунов – М.: Наука, 1978.
6. Пономарев, К.К. Составление дифференциальных уравнений /
К.К.Пономарев  Мн.: Вышэйшая школа, 1973.
7. Берман, Г.М. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г.М.Берман – М.: Наука, 1985.
8. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2 /
П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова – М.: Высшая школа, 1980.
9. Сборник задач по математике для втузов: Специальные разделы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.  М.:
Наука, 1981.
10. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч.2. / Под
общей редакцией А.П. Рябушко  Мн.: Вышэйшая школа, 1991.
7
I. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
1. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 . Проверить подстановкой, что функция
sin x
есть решение дифференциального уравнения xy  y  cos x .
x
sin x
cos x  x  sin x cos x sin x
Решение. Имеем y 
, y 

 2 . Умx
x
x2
x
ножив у и y , соответственно, на 1 и х и сложив полученные выражеsin x sin x
ния, получим xy  y  cos x 

 cos x , что и требовалось докаx
x
зать.
О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 2 . Показать, что функция y  Cx3 есть
общее решение дифференциального уравнения xy  3 y  0 . Найти частное
решение, удовлетворяющее условию y 1  1 . Нарисовать интегральную
линию, проходящую через точку M 0 1;1 .
Решение. Найдя y  3Cx 2 и подставив у и y в дифференциальное уравнение, при любом значении С получим
3
у
y  x3
M0
1
3
тождество 3Cx  3Cx  0 . Это означает,
что y  Cx3 будет общим решением данного дифференциального уравнения. Положив х = 1, у = 1, получим 1 = С1 
0
1
х
С = 1, т.е. y  x3 – искомое частное решение. Иначе говоря, интегральной кривой, проходящей через точку M 0 1;1 ,
является кубическая парабола y  x3 .
2. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 3 . Найти частное решение дифференциального уравнения  x  xy  dy   y  xy  dx  0 , y 1  1 .
Решение. Вынесем общие множители при dy и dx, тогда в левой
части уравнения x 1  y  dy  y 1  x  dx  0 при dy и dx стоят произведения функций, зависящих только от х, на функции, зависящие только от у,
т.е. уравнение вида M1  x  N1  y  dx  M 2  x  N 2  y  dy  0 . Для того чтобы
8
разделить переменные, разделим обе части уравнения на ху (предполагая
x, y  0 ), так как х не нужен при dy, а у не нужен при dx. Тогда
x 1  y  dy  y 1  x  dx
 0 . Отсюда, разделив почленно, получаем диффеx y
1 y
1 x
ренциальное уравнение
dy 
dx  0 с разделенными переменныy
x
ми. Тогда
1

1


  y  1 dy    x  1 dx  C
ln y  y  x  ln x  C . Под-


ставляя начальные условия у = 1 при х=1, получим С = 0.
Ответ:
y  x  ln xy  0 – искомый частный интеграл.
Замечание.
х = 0 и у = 0 тоже будут решениями данного
уравнения, но они не удовлетворяют заданному начальному условию.
3. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 4 . Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально пройденному пути. В начальный момент
движения тело находилось на расстоянии 5 м. от начала отсчета пути и
имело скорость v0 = 20 м/сек. Определить пройденный путь и скорость тела через 10 сек. после начала движения.
Решение. Пусть t – время, S – путь, пройденный телом. Из механического смысла производной следует, что скорость движения есть производная пути по времени. Тогда по условию задачи
dS k
 ,
dt S
где k – коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные и интегрируя, получим
2
S
 kt  C  S 2  2  kt  C  
SdS  kdt   SdS   kdt  C 
2
S  2 kt  C .
Используем начальное условие S(0) = 5:
25
5  2 C  25=2С  C  .
2
Используем второе начальное условие v(0) = 20:
1 k
k
; 20 
 20  25  k  k=100.
v  S  2
25
25
2 kt 
2
2
2
9
25
 S  200t  25 ,
2
1  200
100
.
v  S 

2 200t  25
200t  25
Таким образом, S  2 100t 
Тогда через 10 сек. S  2000  25  45 (м.),
100
100 20
(м./сек.)
v


9
2000  25 45
Вопросы и задания
C 1
1. Является ли функция y  
решением дифференциального
x C
1
уравнения xy  y   0 ?
Ответ: нет.
y
2. Является ли функция y  y  x  , заданная неявно уравнением
y
x
e
 Cy , интегралом дифференциального уравнения xyy  y 2  x 2 y ?
Ответ: да.
3. Решить уравнения:
а)
б)
ln cos ydx  x tg ydy  0 .
yy
 e y  0 , y(1) = 0,
x
в)
y  e
г)
y 
x y
e
x y
, y(0) = 0.
cos y  sin y  1
.
cos x  sin x  1
Ответ: y  arccos eCx .
Ответ: 2e
y
 y  1  x2  1 .
 x  
Ответ: y  ln tg  e   1 .
4 

y
y 
x

Ответ: tg  C 1  tg 1  tg  .
2
2 
2

6  2 x  3 y  1
 6x  C .
2
4. Решить задачу: В цеху, где температура 20С, некоторое тело
остыло за 20 мин. от 100С до 60С. Найти закон охлаждения тела, а также
через сколько минут оно остынет до 30С? Повышением температуры в
цеху пренебречь.
У к а з а н и е . В силу закона Ньютона (скорость охлаждения проdT
порциональна разности температур)
 k T  20  , где Т – температура
dt
д)
2
y   2 x  3 y  1 .
Ответ: arctg
10
тела в любой момент времени t. Из условия задачи следует, если t = 0, то
Т = 100С; если t = 20, то Т = 60С.
t
 1  20
Ответ: T  20  80   
2
, тело остынет до 30С через t = 60 мин.
II. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка и
приводящиеся к ним
1. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
 t  0 , подстановкой y  zx ,
y  f  x, y  , где f  tx, ty   f  x, y 
y  zx  z , всегда приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Отметить, что дифференциальное уравнение
вида
P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0
будет однородным, если P  x, y  и Q  x, y  – однородные функции одного
k
k
порядка, т.е. P  tx, ty   t P  x, y  и Q  tx, ty   t Q  x, y   t  0 .
2. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 .

Найти общее решение (интеграл)

2
уравнения x  2 xy dx  xydy  0 .
Решение.
2
Здесь P  x, y   x  2 xy , Q  x, y   xy . Обе функции – од2
нородные функции второго порядка, так как P  tx, ty    tx   2tx  ty 
t
2
x
2

2
 2 xy  t P  x, y  ,
Q  tx, ty   tx  ty  t
2
 xy   t 2Q  x, y  .
Сделаем
подстановку y  zx , откуда dy  xdz  zdx . Тогда уравнение принимает вид
x
2
2

 2 x z dx  z  x
2
1  z 2 dx  zxdz  0 .
 xdz  zdx   0 , или  x 2  2 x 2 z  z 2 x2  dx  zx3dz  0
Разделяя
переменные
и
интегрируя,

имеем
dx
 z  1  1 dz  C  ln x  ln z  1  1  C 
dx
zdz
,



0
x 
x 
z 1
1  z 2
 z  12
1
 C . Возвращаясь к прежней неизвестной функции
z 1
y
x

C.
 z   , получаем общий интеграл ln x  y 
x
x y

ln x  z  1 
11
у
3. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 2 . Найти форму зеркала, собирающего
все параллельные лучи в одну точку.
Решение. Очевидно, что зеркало должно иметь форму поверхности
вращения, ось которой параллельна направлению падающих лучей. Примем эту ось за ось Ох и найдем
уравнение кривой y  f  x  , вращеT1
Y
нием которой образуется искомая
M
поверхность.
К
Начало координат поместим в
точку, в которой собираются отраженные лучи. Обозначим падающий
N
луч через КМ, а отраженный – через

МО. Проведем касательную ТТ1 и
0
T
нормаль MN в точке М(х, у) искоX
мой кривой. Тогда OMT – равнобедренный с вершиной в точке 0 (так
как
OMT  KMT1  OTM   ).
Следовательно, OM  OT , но OM  x 2  y 2 , а OT найдем из уравнеy
ния касательной Y  y  y  X  x  , полагая Y=0; имеем X  x  , откуда
y
y
OT  X   X   x  .
y
Таким
образом,
получаем
дифференциальное
уравнение
y
y
y
2
2
2
2
 y 
, а это одx  y   x  , или x  y  x 
2
2
y
y
x x  y
нородное
дифференциальное
ty
f  tx, ty  
 f  x, y  .
2 2
2 2
tx  t x  t y
уравнение,
так
x  x2  y 2
1
Так как y  , то уравнение принимает вид x 
x
y
2
как

 x
x
x
x      1 и его удобнее решать подстановкой z 
 x=zy,
y
y
 y
dz
2
x  zy  z . Тогда имеем: zy  z  z  z 2  1


y  z 1
dy
12
dz
z2 1

dy
y


dz

сюда y  C z  1  z
z2  1
2

dy
2
 ln C  ln y  ln z  z  1  ln C . Отy
 , или, возвращаясь к первоначальным переменным
x
y2
x2 
2
2
х и у, y  C   1  2   x  x  y 
.
y

C
y


Преобразуем последнее уравнение:
2
y2
2
2
x y 
 x  C x 2  y 2  y 2  Cx  C 2 x 2  y 2  y 2  Cx

C
2 2
2 2
4
2
2 2
2 2
2
4
2
2
C x  C y  y  2Cxy  C x  C y  2Cxy  y  y  2Cx  C
C

2

y  2C  x   .
2

Искомая кривая является параболой, а зеркало имеет форму параболоида вращения.

 

4. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 3 . Найти общий интеграл уравнения
 2 x  y  1 dx   x  2 y  1 dy  0 .
Решение. Это дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному. Пусть x = u + , y = v +   dx = du, dy = dv. Тогда
2 u     v    1
dv
2x  y  1
уравнение y  
принимает вид

, или
x  2y 1
du
u    2v    1
2u  v   2    1
dv

.
du
u  2v     2  1
Для того, чтобы уравнение стало однородным положим:
1 2
  2  1  0,
. Так как
 3  0 , то система имеет единственное ре
2




1

0.
2
1

dv
2u  v
шение  = 1,  = 1. Тогда x = u1, y = v+1, а уравнение

du
u  2v
2tu  tv
является однородным, так как f  tu , tv   
 f  u, v  .
tu  2tv
v
2u  zu
Пусть
z
 v = zu, v  zu  z
и
zu  z  

u
u  2 zu
dz
2  z  z  2z2
2 z
2 z
u
zu  z  
 zu  
z 

1  2z
1  2z
du
1  2z
13
1  2z
du
dz


u
2 z2  z  1

1
ln z 2  z  1  ln C  ln u
2







2
1 d z  z 1
du


 ln C


2
u
z2  z  1
z2  z  1 
C
u

u z2  z  1  C 

 v2 v

u 2  2   1  C 2

u

u


2
2
2
v  uv  u  C . Возвращаясь к х и у (u = x+1, v = у1), получим
u
2

2

2
z  z 1  C .
Так как
v
z ,
u
 x  12   x  1 y  1   y  12  C 2
то
 общий интеграл исходного уравне-
ния.
5. Решить самостоятельно следующие примеры:
1)  x  y  2  dx   2 x  2 y  1 dy  0 .
Ответ: x  2 y  5ln x  y  3  C .
2) Найти интегральную кривую дифференциального уравнения
x y2
, проходящую через точку M 0 1,1 .
y 
yx4
Ответ: x 2  y 2  2 xy  4 x  8 y  6  0 .
Вопросы и задания
1. Решить уравнения:
а)
б)
в)
г)
y
y
xy sin  x  y sin .
x
x
y

xy  y  x tg , y 1  .
x
2
 x  y  4  dy   x  y  2  dx  0 .
2  x  y  dy   3 x  3 y  1 dx  0 ,
cos
Ответ: Cx  e
Ответ: y  x  arcsin x .
Ответ: x 2  2 xy  y 2  4 x  8 y  C .
у (0) = 2.
Ответ: 3 x  2 y  4  ln x  y  1  0 .
2. Решить задачу: Найти кривую, проходящую через точку А(0, 1), для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к
кривой в произвольной ее точке и радиусвектором точки касания, – равнобедренный
(причем, основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).
14
y
x.
у
N
А
М(х, у)
0
х
У к а з а н и е : Согласно условию
ON  OM .
Ответ:
2
x  4 1  y  .
III. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
и уравнение Бернулли
1. Линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли
можно решать одним и тем же методом – либо методом подстановки (Бернулли), либо методом вариации произвольного постоянного (Лагранжа).
y  p  x  y  f  x   линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка,
y  p  x  y  f  x  y
n
(n  0, 1)  дифференциальное уравнение Бернулли.
2. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 . В любой момент времени t скорость
v точки превышает среднюю скорость за время t с начала движения на
величину t 2 . Найти закон движения, если при t = 0 S = S0, v = 0.
dS
Решение. Скорость в момент времени t будет v 
. Средняя
dt
S  S0
скорость за время t с начала движения vср 
. По условию задачи
t
v  vср  t 2 . Отсюда дифференциальное уравнение движения
dS S  S0 2
dS 1
S

t ,
или
 S  t2  0 .
dt
t
dt t
t
Получили линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка
 S   p  t  S  q  t   . Решим его методом вариации произвольного постоянного (Лагранжа). Для этого сначала решим однородное дифференциальное
dS 1
уравнение, соответствующее полученному, т.е. уравнение
 S  0.
dt t
Так как линейное однородное дифференциальное уравнение в то же
время является уравнением с разделяющимися переменными, легко полуdS S
dS dt
dS
dt
чаем



 
   ln C  ln S  ln t  ln C 
dt t
S
t
S
t
S  Ct – общее решение однородного уравнения. Применяя метод вариации произвольного постоянного, общее решение неоднородного уравнения
15
ищем
в
виде
S  C t  t ,
1
S
C t  t  C  t   C t  t  t 2  0
t
t
S   C t  t  C t 
тогда
t  C t   t 2 

S0
t
и

t 2 S0
 dC  t    tdt  S0  t 2  C1  C  t   2  t  C1 .
Общим решением неоднородного дифференциального уравнения будет
функция  S  C  t  t 
dt
 t2 S

S    0  C1  t ,
2

t


или
1
S  t 3  C1t  S0 .
2
dS
 0 . Дифференцируя общее решеdt
dS 3 2
3
ние, получаем
 t  C1 , откуда 0   02  C1  С1 = 0.
dt 2
2
1
Таким образом, S  S0  t 3 – искомый закон движения.
2
Начальное условие: t = 0, v 
О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 2 . Проинтегрировать уравнение
y  xy  y ln y .
Решение. Это уравнение не является линейным относительно у и
y . Но его легко решить, если поменять в нем ролями х и у: принять за
1
аргумент
у, а за неизвестную функцию
х. Так как y  , то
x
1
x  ln y
1
ln y
y   x  ln y   x 
 x  x 
– линейное диффеx
y
y
y
ренциальное уравнение относительно х и x . Решим его методом подстановки Бернулли, т.е. общее решение ищем в виде x  u  y   v  y 

x  u v  uv . Тогда uv  uv 

1  ln y
1
ln y
 uv  u  v  v  
.
uv 
y
y
y
y


Выберем v(y) таким образом, чтобы v 
чаем систему:
  v
v  y  0,

uv  ln y .

y
16
1
v  0 . В результате полуy
Решая первое уравнение, получим

dv v

dy y
dv dy

v
y


dv
dy
(берем С=0)  ln v  ln y  v=y.

v
y
Подставим v = y во второе уравнение системы
du 
ln y
y

2
u
1
1
  ln y   C
y
y
ln y
y2
u1  ln y;
dy  C 
(применена
du1 
dy
;
y
формула
dv1 
du
ln y
y
dy
y

dy
y2
1
dy
  ln y   2  C 
y
1
y
v1  
y
интегрирования
по
частям
 udv  uv   vdu ).

1
1
Так как x  u  y   v  y  , то x  y  C  ln y   , т.е. x  Cy  1  ln y –
y
y

искомое общее решение.
3. Решить следующие два примера:
а)
б)
1  x  y  y  arctg x .
y  x  y   y .
2
Ответ: y  arctg x  Ce  arctg x  1.
2
Ответ: x  Cy  y 2 .
4. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 3 . Решить уравнение y 
Решение.
Это уравнение Бернулли
1
y  x2 y4 .
x
n
( y  p  x  y  q  x  y ), где
n = 4. Разделим обе части уравнения на y 4 , или умножим на y 4 :
1
y 4  y   y 3  x 2 .
x
Пусть z  y 3  z   3 y 4  y (так как у = у(х) – функция). Умножив
обе
части
последнего
уравнения
на
(-3),
получим:
1
3
3 y 4  y  3 y 3  3 x 2  z  z  3x 2 является линейным диффеx
x
ренциальным уравнением относительно z и z .
17
Решение уравнения довести самостоятельно до конца, не забывая
вернуться к неизвестной функции у, подставляя вместо z  y 3 .
Ответ: y 
5. Решить дифференциальное уравнение y 

Ответ: y  1  x
2
 arctg
2
2 xy
1  x2
xC

4
1
C
x 3 3ln
x
y
1 x
2
.
arctg x
– общее решение.
Вопросы и задания
1. Решить уравнения:
а)
y 1  x 2  y  arcsin x , у(0) = 0.
б)
 2 xy  3 dy  y 2dx  0 .
в)
ydx  x  x y dy  0 .

2 2

Ответ: y  e  arcsin x  arcsin x  1 .
1
Ответ: x  Cy 2  .
y
1
Ответ: x 
.
y y  C
2. Решить задачу:
Скорость v, путь S и время t связаны
уравнением v cos t  S sin t  1 . Найти закон движения, если при t = 0, S =
2.
Ответ: S  sin t  2cos t .
3. Решить задачу, приводящую к уравнению Бернулли. Среднее
геометрическое координат точки касания равно отношению отрезка, отсекаемого касательной на оси ординат, к удвоенной ординате точки касания.
Найти уравнение кривой, если она проходит через точку (1,1).
y  x  y
Ответ: дифференциальное уравнение имеет вид xy 
, его
2y
2
частное решение ху=1 и x  y  x  2   0 .
18
IY. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Решение задач прикладного содержания
1. Дифференциальное уравнение вида P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0 называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если
существует функция двух переменных u  x, y  , что ее полный дифференциал du  x, y   P  x, y  dx  Q  x, y  dy . Тогда уравнение принимает вид
du  x, y   0  u  x, y   C – его общий интеграл.
Необходимым и достаточным условием  u  x, y  является тождество
P Q
.

y x
Неизвестную функцию u  x, y  можно найти по одной из двух формул:
y
x
u  x, y  
 P  x, y  dx   Q  x0 , y  dy ,
x0
y0
y
x
u  x, y  
 P  x, y0  dx   Q  x, y  dy ,
x0
y0
где точка M 0  x0 , y0  – произвольная точка из области существования решения данного дифференциального уравнения. Чаще всего M 0  0,0  .
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1 . Найти общий интеграл уравнения
 x  y  1 dx   e y  x  dy  0 .
Q
P
 1,
 1,
x
y
 данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
y
Здесь P  x, y   x  y  1 , Q  x, y   e  x ,
Решение.
y
x
u  x, y     x  y  1 dx  
0
0
x

 x2

y y
e  0 dy     y  1 x   e 
 2

0

0
y

2
x

  y  1 x  e y  1 .
2
Можно сделать проверку правильности нахождения функции

y

u  x, y  . du   x  y  1 dx  e  x dy , т.е.
19
u
u
y
dx  dy   x  y  1 dx  e  x dy .
x
y
u
u
y
Должны выполняться равенства
 x  y 1 и
 e  x . Проверим, так
x
y
ли это?

du  x, y  


u  x 2
y
    y  1 x  e  1  x  y  1 ;

x  2
x
 
u  x 2
y
    y  1 x  e  1  x  e y .

y  2
y
2
Значит, функция u  x, y  найдена верно и
x
  y  1 x  e y  C есть об2
щий интеграл данного уравнения.
Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах можно решить и другим способом, рассмотрим его на примере.
О б у ч а ю щ и й п р и м е р 2 . Найти общий интеграл уравнения
e
Решение.
x
Здесь



x
 y  sin y dx  e  x  x cos y dy  0 .
x
P  x, y   e  y  sin y ,
x
Q  x, y   e  x  x cos y ,
Q
P
 1  cos y . Следовательно, левая часть есть полный
 1  cos y ,
x
y
дифференциал некоторой функции u  x, y  , т.е.
u
 e x  y  sin y ;
dx
u
Проинтегрируем
по х:
dx

x

u
y
 e  x  x cos y .
y
x
u   e  y  sin y dx  C  y   e  yx  x sin y  C  y  (С(у) может зависеть
C  y 
 0 ). Из последнего выражения находим
x
u
u
y
 x  x cos y  C   y  и приравниваем ее к
 e  x  x cos y по услоy
y
вию. В результате, имеем:
от
у, так как
x  x cos y  C   y   x  x cos y  e
y
20
 C  y   e
y
y
 C  y   e  C1 .
x
y
Таким образом, u  x, y   e  yx  x sin y  e  C1 , а общий интеграл исходного уравнения имеет вид e x  yx  x sin y  e y  C (С1 включена в С).
2. Решить любым способом следующие примеры.
2
 x2

x
ln y  y  x  1  C ;
а)  y  x ln y  dx  
 x  1  dy  0 .
Ответ:
 2y

2


 y

 y
x 
x
y
б)  2

y
dx

e

x

dy

0
.
Ответ:
arctg
 xy  e  C .



2
2
 x  y2


y
x y 



3. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 . Источник света помещен в точке О.
Какова должна быть форма зеркала, чтобы отраженные от него лучи были
параллельны оси Ох?
Решение. Воспользуемся решением обучающей задачи 2 из пункта
II. Там мы при решении этой же задачи получили дифференциальное уравy
нение y 
, которое решали, как однородное. Покажем, что
2
2
x x  y
его можно решить как дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Для этого уравнение преобразуем следующим образом:

y x  x2  y2
y 
y 
d

x 
2
x y
2
x2  y 2  x
y
2
x y
2

 x 

1 

2
x y

y x  x2  y 2
2

 y 
y  y  x  x 2  y 2
2
2
x x y


2
x  y  y
2
x y
2

1 
C

2
x 2  y 2  x  C , или y  2C  x   .
2

Вопросы и задания
1. Решить уравнения:
2
а)
 x  sin y  dx   x cos y  sin y  dy  0 .
x
 x sin y  cos y  C ;
Ответ:
2
 x

x

б)  ln  5 y 2 sin 5 x  dx    2 y cos5 x  dy  0 , у(0) = е.
 y

y

21
Ответ: x ln y  y 2 cos5 x  e 2 ;

в) e
x y
2


 3x dx  e
x y
3

Ответ: e x  y  x3  y 4  1 .
 4 y dy  0 . у(0) = 0.
2. Доказать, что уравнение P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0 , которое одновременно является и однородным, и уравнением в полных дифференциалах, имеет общий интеграл x P  x, y   y Q  x, y   C .
У к а з а н и е . Воспользоваться теоремой Эйлера об однородных
P
P
функциях x
y
 t P  x, y  , где t – показатель однородности функdx
dy
ции P  x, y  и Q  x, y  .
Трехуровневые тестовые задания к разделу
«Дифференциальные уравнения первого порядка»
Уровень I
Вариант 1
Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения
x 3 y
3y
Ответ: e
dy  xdx .

 3 C  xe
1.
e
2.
 xy  x y  y  1  y .
Ответ: Cx 
3.
y
y  xy  x sec .
x
Ответ: sin
4.
 x  1 y  4 xy  3 ,
x  3x 

Ответ: y 
;
 x  1
3
2
x
e
x
;
1  x 1  y  ;
2
2
y
C
 ln ;
x
x
3
2
y 0  0 .
2
2
2
5.
y  y  x y .
x
 x

2
2
Ответ: y   xe  2e  C  e  x ;




22
6.
dS
 S sin t  sin tecos t .
dt
cos t
Ответ: S  e
 C  cos t  .
Вариант 2
Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения
 x
1. y sin x  y ln y .
Ответ: ln y  C tg   ;
2
y
2.
7
y x
Ответ: 7
 3.
 3  7  x  C ln 7 ;
2
3.
y
 3x dy  2 xydx  0 .
Ответ: y 2  x 2
4.
y  y tg x  sec x , y  0   0 .
Ответ: y  sin x ;
2
2

y
2
5.
ydx  2 xdy  2 y x sec ydy .
6.
1  y  y  xy  axy
2
2
 0.


2 3
 Cx y ;
2
y tg y  ln cos y  C 

Ответ: x 
;
y2

2

Ответ: C 1  x  a y  1 .
Вариант 3
Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения
2
1.
y   2 x  1 ctg y .
2.
2
y  xy  2 1  x y .
Ответ: y 
3.
 x  2 y  dx  xdy  0 .
Ответ: y  Cx 2  x ;

Ответ: ln cos y  x  x  C ;

23
Cx
2;
2x  1
4.
1  x  y  y   e x , y  0   0 .
Ответ: y  e x ln
5.
2 x
y  2 y  y e .
Ответ: y 
6.
2
 y2
1

1
x

 dy  0 .
  dx   
  x  y 2 x 
 y  x  y 2 




1
;
1 x
1
Ce
2x
 ex
Ответ: ln
;
y
xy

C.
x x y
Вариант 4
Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения
1.
2
2
sec x tg ydx  sec y tg xdy  0 . Ответ: C  tg y tg x ;
2.
y  xy  1  x y .
Ответ: y 
3.
 x  y  dx   x  y  dy  0 .
y 1 y2  x2
C
Ответ: arctg  ln
 ln ;
2
x 2
x
x
4.
4
xy  2 y  2 x , y 1  0 .
Ответ: y  x 4  x 2 ;
5.
y  y cos x  y tg x .
6.
2 3xy  2 x dx  3 2 x y  y dy  0 .
2
4

2
3


Ответ: y 
2
2

Cx
 1;
 x  1
1
;
cos x 3 C  4 tg x
Ответ: x 4  3 x 2 y 2  y 3  C .
Вариант 5
Найти общее решение (общий интеграл) или частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения
1.
1  e  ydy  e dx  0 .
Ответ: e
2.
 x  4  dy  xydx  0 .
Ответ: y 
x
y
24
y
 y  1  ln
C  ex
 x  4
4
;
ex
ex  1
C ;
3.
y
4.
y  2 x x  y , y  0   0 .
5.
xydy  y  x dx .
6.
2

2
 2 xy dx  x dy  0 .
Ответ:
y
 Cx ;
x y
2

2

Ответ: y  e

2

1

Ответ: y  x 2  C   ;
x

xdx   2 x  y  dy
 x  y 2
 0.
x
 x2  1;
Ответ: ln  x  y  
x
C.
x y
Уровень II
Вариант 1
1.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
1  x  dy   x  y  2  dx  0 .
Ответ: ln x  1 
2.
y 1
C .
x 1
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(0, 2), k = 3.
Ответ: y  2e3 x .
3.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала
координат. А(0, 4).
1
Ответ: y   x 2  4 .
16
4.
Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально
пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на
расстоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить
пройденный путь и скорость тела через время Т после начала движения.
S0 = 5 м., v0 = 20 м/сек., Т = 10 сек.
25
Ответ: 45 м.;
20
м/сек.
9
Вариант 2
1.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
 2 x  y  1 dx   2 y  x  1 dy  0 .
Ответ: x 2  xy  y 2  x  y  C .
2.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(0, 5), k = 7.
7x
Ответ: y  5e .
3.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала
координат. А(0, -8).
x2
 8.
Ответ: y 
32
4.
Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально
пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на
расстоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить
пройденный путь и скорость тела через время Т после начала движения.
S0 = 10 м., v0 = 20 м/сек., Т = 2 сек.
20
Ответ: 30 м.;
м/сек.
3
Вариант 3
1.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
 y  2  dx   2 x  y  4  dy  0 .
2
Ответ: x  y  1  C  y  2  .
26
2.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(-1, 3), k = 2.
2 x2
Ответ: y  3e
.
3.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала
координат. А(0, 1).
2
x
Ответ: y    1 .
4
4.
Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально
пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на
расстоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить
пройденный путь и скорость тела через время Т после начала движения.
S0 = 25 м., v0 = 10 м/сек., Т = 10 сек.
10
Ответ: 75 м.;
м/сек.
3
Вариант 4
1.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
 x  y  1 dx   2 x  2 y  1 dy  0 .
Ответ: x  2 y  3ln x  y  2  C .
2.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(-2, 4), k = 6.
6 x 12
Ответ: y  4e
.
3.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала
координат. А(0, -3).
27
2
x
 3.
Ответ: y 
12
4.
Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально
пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на
расстоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить
пройденный путь и скорость тела через время Т после начала движения.
S0 = 35 м., v0 = 40 м/сек., Т = 50 сек.
Ответ: 375,8 м.; 3,7 м/сек.
Вариант 5
1.
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
x  y  2  1  x  y  0 .
Ответ: ln x  1 
2.
y 1
C .
x 1
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  , если
известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в k раз. А(-2, 1), k = 5.
5 x 10
Ответ: y  e
3.
.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку A  x0 , y0  и об-
ладающей следующим свойством: длина перпендикуляра, опущенного из
начала координат на касательную к кривой, равна абсциссе точки касания.
А(2, 3).
2
13 
169

Ответ:  x    y 2 
.
4
16

4.
Скорость движущегося тела возрастает обратно пропорционально
пройденному пути. В начальный момент движения тело находилось на
расстоянии S0 от начала отсчета пути и имело скорость v0. Определить
пройденный путь и скорость тела через время Т после начала движения.
S0 = 20 м., v0 = 15 м/сек., Т = 10 сек.
Ответ: 80 м.; 3,75 м/сек.
28
Уровень III
1.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку (3; 2) и обладающей следующим свойством: отрезок, который касательная в любой
точке кривой отсекает на оси Оу, равен квадрату абсциссы точки касания.
7
Ответ: y  x  x 2 .
3
2.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(16; 0), если
известно, что отрезок, отсекаемый касательной к кривой на оси ординат,
равен полусумме координат точки касания.
Ответ: y  4 x  x .
3.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(2; 2), если
известно, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, любой
касательной к кривой и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 3.
2 x2
Ответ: y   .
x 4
4.
В резервуаре первоначально содержится А кг. вещества, растворенного в В литрах воды. Затем каждую минуту в резервуар поступает М
литров воды и вытекает N литров раствора (M > N), причем концентрация
сохраняется равномерной путем перемешивания. Найти количество вещества в резервуаре через Т минут после начала процесса.
N
M
 N

B
Ответ: x  T   A 

 B   M  N T 
.
5.
Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через
сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?
Ответ: через 1575 лет.
6.
Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур
тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры Т от времени t, если тело, нагретое до Т0 градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам.
Ответ: T  a  T0  a  e
29
 kt
.
7.
Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости,
пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться
со скоростью 5 об/сек, по истечении двух минут вращается со скоростью 3
об/сек. Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/сек?
t
 3 120
Ответ:   5    об/сек; через 6 мин. 18 сек.
5
8.
В помещении цеха вместимостью 10800 м3 воздух содержит 0,12%
углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04%
углекислоты в количестве 1500 м3/мин. Предполагая, что концентрация углекислоты во всех частях помещения в каждый момент времени одна и та
же, найти содержание углекислоты через 10 мин. после начала работы вентиляторов.
Ответ: 0,06%.
Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и наdi
пряжением U удовлетворяет уравнению L  Ri  U . Найти силу тока i
dt
в момент времени t, если U  E sin t и i = 0 при t = 0 (L, R, E,   постоянные).
R

 t
E
 R sin t  L cos t  Le L  .
Ответ: i  2
2 2

R L 

9.
10. Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см.) защищен изоляцией толщиной 10 см.; величина коэффициента теплопроводности
k=0,00017. Температура трубы равна 1600, температура внешнего покрова
300. Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество теплоты, отдаваемой 1 м. трубы.
Ответ: T  591,8  431,8lg x .
количество теплоты, отдаваемое в течение суток, равно 1730000 кал.
У к а з а н и е : Если тело находится в стационарном тепловом состоянии и температура Т в каждой его точке есть функция только одной координаты х, то, согласно закону теплопроводности Фурье, количество теплоdT
ты, испускаемое в секунду, Q   kF  x 
 const , где F(x) – площадь сеdx
чения тела на расстоянии х, k – коэффициент теплопроводности.
30
Найти решение уравнения x 2 y  sin 2 y  1 , удовлетворяющее усло
вию y  11 при x   .
4
2x
Ответ: y  arctg
.
2 x
11.
12.
 y
 
y
x
Найти общий интеграл уравнения y     .
x
 y
  
 x
 y
x
Ответ:     Ce .
 x
13. Пусть
у1
и
у2 – два различных решения уравнения
y  p  x  y  f  x  . Доказать, что y  y1  C  y2  y1  является общим решением этого же уравнения.
14.

Подходящей заменой уравнение yy sin x  cos x sin x  y
2
 свести к
линейному и найти его общий интеграл.
Ответ: y 
15.
1
2 3
sin x  C .
sin x 3
Проинтегрировать уравнение Лагранжа y  2 xy  y2 .
2
2C  p 3
Ответ: x  2  p , y 
.
3
3p
3p
C
16.
Проинтегрировать уравнение Клеро y  x  y  y .
Ответ: y  Cx  C .
17.
Доказать, что функция у = 1 является особым решением дифферен-
циального уравнения y  1  y 2 .
18. Доказать, что кривая, у которой угловой коэффициент в любой точке
пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.
31
19. Докажите, что если все интегральные линии некоторого дифференциального уравнения подобны между собой с центром подобия в начале
координат, то это уравнение однородное.
20. Решить комплексное дифференциальное уравнение z  z , где
z  x  iy – комплексная неизвестная функция действительного переменного t, а     i – комплексное число.
 x  r  et cos  t    ,
Ответ: 
t
 y  r  e sin   t    .
Y. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
1. Будем различать дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка, трех видов:
а) вида y
 n
 f  x  , решается n-кратным интегрированием;
у,
б) не содержащее в явном виде неизвестную функцию

F x, y
k 
,y
 k 1
,..., y
n
  0 . Замена
zy
k
, z  z  x  , понижает порядок
уравнения до  n  k  .
в) не содержащее в явном виде независимую переменную, замена
y  p  y  понижает порядок на единицу.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения y 
ln x
x2
,
удовлетворяющее начальным условиям:
у(1)=0, y 1  1 , y 1  2 .
x
3
1
Ответ: y   ln 2 x  x 2  2 x  .
2
2
2
3. Решить пример:
x
y  x  e , у(0)=1, y  0   0 .
Ответ: y   x  2  e
x
 x  1.
4. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 . Пуля входит в брус толщиной 12 см.
со скоростью 200 м./сек., а вылетает, пробив его, со скоростью 60 м./сек.
Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату
скорости движения. Найти время движения пули через брус.
32
На основании второго закона динамики F  ma . По ус-
Решение.
2
ловию задачи сила F  kv (она направлена против движения пули). Составляя уравнение, получим ma  kv 2 .
Так
как
dS
v
,
dt
dv d 2 S
a

,
dt dt 2
2
2
2
то
d S
 dS 
m 2  k  
 dt 
dt
2

2
2
k
k  dS 
d S
 dS 
.
Тогда
,
где


, т.е. мы получили не







2
2
m
m
dt
dt
 
 
dt
dt
полное дифференциальное уравнение вида y  f  y  , решим его методом
d S
понижения порядка путем введения новой искомой функции.
dS
d 2 S dp
 p t  , 2 
. Наше уравнение примет вид
dt
dt
dt
Разделяя переменные p и t, получим
dp
dp
1


dt

 2    dt  C1   p
2
p
p
dS
dt
Подставим p 
, тогда 
  t  C1 
dt
dS
S
1 d   t  C1 
 C2 
   t  C1
S
dp
 p 2 .
dt
 t  C1 .
dS 

1
ln  t  C1  C2 .

Используем начальные условия: при t = 0, S = 0 и
Так как
dt
 t  C1
dS
=200 м./сек.
dt
dS
1

, то имеем систему
dt  t  C1
1

1
1


C


,
C


,
1
1
0   ln C1  C2 ,


200
200
 
 

1
1
1
C   ln
C  1 ln 200.
 200   .
.
2
C1

 2 

 200
В результате получаем частное решение, изображающее уравнение
движения в условиях задачи
1
1
1
1 
1 
 1
S  ln  t 
 ln 200  ln    t 
 200   ln  200 t  1 .

200 
 
200 
 
Решим уравнение S 
1
ln  200 t  1 относительно t.

33
e S  1
S  ln  200 t  1  200 t  1  e
 t
.
200
Неизвестный коэффициент  определим из дополнительного услоdS
вия: при S = h = 12 см. = 0,12 м.
= 60 м./сек.
dt
S
e S  1
dS 1
1
200
t

 
 200 
. Подставим
, тогда
dt  200 t  1
200 t  1
200
dS
200
200
200

 S
 S .
S
dt
e 1
e 11 e
200 
1
200
Подстановка дополнительного условия приводит к равенству
10
ln
10
200
0,12 10

 0,12  ln
   3  10,03 .
60  0,12  e
3
3
0,12
e
eS  1 e10,030,12  1 3,3321  1
Таким образом, имеем t 


 0,00116 сек.
200
200  10,03
2006
Итак, время прохождения пули через брус равно 0,00116 сек. (немногим более тысячной доли секунды).
а)
5. Решить уравнения:
y
y 
 x  x  1 , y  2   1 , y  2   1 .
x 1
1
Ответ: y 
3x 4  4 x3  36 x 2  72 x  8 .
24
y  x  1  y  0 , y  2   2 , y  2   1 , y  2   1.

б)
Ответ: y 

1 3
x  3x2  6 x  4 .
6


6. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 2 . Решить уравнение
2
y  yy  yy .
Решение. Это дифференциальное уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную
х. Положим y  p  y 

y 
dp dy dp


 p . Тогда уравнение принимает вид:
dy dx dy
34


dp
dp
p  y  p  p p  y
 y  0.
dy
dy


dp
dp 1
Полагая p  0 , получим p  y
 y0 
 p  1 , т.е. получили
dy
dy y
линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, решаем его методом
Бернулли. p  u  y  v  y  
p  u  yv y

p  uv  uv , тогда
2
p  y
  1
v  v  0,
y
Решаем пер
uv  1.


1 
1
uv  uv  uv  1  uv  u  v  v   1 
y
y 

вое уравнение системы v 
ln v   ln y
 v
1
v0
y
dv
v

dy
y

dv
dy

v
y

1
. Тогда второе уравнение системы принимает вид
y
2
du 1
 1
dy y
du  ydy


 y 2  2C2
1  y2
p  u  y  v y  
 C2  
.

y  2
2
y

dy y 2  2C2

dx
2y

2 ydy

2
y  2C2
 dx

y
u
 C2 .
2
Теперь
dy
,
dx
поэтому
p
Но


d y 2  2C2
2
y  2C2

 dx  ln 2C1

2
y
 C1e x  C2 – общий
ln y  2C2  ln e  ln 2C1  y  2C2  2C1e 
2
интеграл данного дифференциального уравнения.
Замечание.
Это уравнение можно проинтегрировать более простым способом, так как его левая часть y2  yy   yy  , т.е. уравнение
2
x
принимает вид
2
 yy  y  y ,
или
x
d  yy 
 dx
yy
 ln  yy   x  ln C1

2
x
x
y  y  C1e , т.е ydy  C1e dx 
y
 C1e x  C2 .
2
а)
7. Решить примеры:
2
Ответ: y  C2eC1x .
y  y  y  0 .
б)
y  2  y  1 ctg x .
2
Ответ: 2 y  C1 cos 2 x  1  2C1  x  C2 x  C3 .
35
в)
y
IY

8
5
 x  3
.
Ответ: y 
1
 C1x3  C2 x 2  C3 x  C4 .
3  x  3
Вопросы и задания
1. Решить следующие примеры:
а)
2
2
x y  y .
б)
y 
1
2
.
2
2
Ответ: 2 y  C1 x  2C1  x  C1  ln x  C1  C2 x  C3 .
Ответ: y   C1  arctg x  x  ln 1  x 2  C2 .
1 x
в) y  e2 y , y  0   0 , y  0   1 . Ответ: y   ln x  1 .
2. Решить задачу:
С высоты падает тело массы m с начальной
скоростью v  0   0 . Найти скорость тела v  v  t  в любой момент времени
t, если на него, кроме силы тяжести P  mg , действует сила сопротивления
воздуха, пропорциональная скорости v(t) с коэффициентом пропорциональности k=1,5.
t

1,5 
2
Ответ: v  mg 1  e m  .


3


3. Решить задачу:
Кривая, проходящая через точки А(5, 7) и
В(6, 6), имеет радиус кривизны R = 5. Найти уравнение этой кривой.
Указание:
радиус кривизны кривой y  f  x   R 
2
3
2 2
y
1  
y
.
2
Ответ:  x  2    y  3  25 .
YI. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
1. Рассмотрим дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка
y  py  qy  0 ,
где p и q – постоянные действительные числа. Для решения такого
уравнения составляется характеристическое уравнения k 2  pk  q  0 , в
зависимости от корней которого могут быть следующие три случаи:
36


p2
а) D>0  D 
 q  , тогда y  C1e k1x  C2e k2 x , где k1  k 2 ;


4


p

kx
б) D=0  k1  k2    , тогда y  e 1  C1  C2 x  ;
2

в) D<0 k1,2    i , тогда y  e
x
 C1 cos x  C2 sin x  .
2. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 . Найти закон движения и определить
период Т математического маятника длиной l при малых отклонениях.
Решение. Силу тяжести P в точке O
М разложим на две составляющие: N по
l
направлению нити и F – по касательной к

траектории. Сила N уравновешивается сопротивлением нити и, таким образом, вся
M
система сил эквивалентна силе F .
S
F  P sin   mg sin  ,

N
где m масса маятника, g – ускорение си- A
F
лы тяжести.
Так как для положительных углов 
P
касательная составляющая F направлена в
отрицательную сторону, то F  mg sin   mg  (при малых отклонениях нити sin   ).
Ввиду очевидного равенства  
S
составляющая
l
F 
mg
S.
l
Здесь S  
AM – длина пройденного шариком криволинейного пути. На
основании второго закона динамики F  ma .
mg
d 2S g
S
,
или
 S  0.
2
2
l
l
dt
dt
Для решения последнего уравнения составим и решим характериm
d 2S

стическое уравнение k 2 
i 

1 .  = 0,  
g
g
 0  k2  
l
l
 k1,2  
g
g
 1  
i
l
l
g
.
l
Общее решение имеет вид
S  C1 sin
37
g
g
t  C2 cos
t.
l
l
Используем начальные условия: при t = 0, S = а и
dS
0.
dt
dS
g
g
g
g
 C1
cos
t  C2
sin
t . Получаем систему:
dt
l
l
l
l
 a  C2 ,
C1  0,




g
.
C2  a.
0  C1
l

Подставляя эти значения в общее решение, получим
S  a cos
g
t,
l
где а – амплитуда колебания.
Движение математического маятника представляет собой гармоническое колебание с периодом
cos
g
l
l
, так как
g
T  2

 g

g
l 
t  2   cos
t.
 t  2
  cos 
g
l
l




а)
б)
3. Решить примеры:
y  y  2 y  0 .
y  25 y  0 .
Ответ: y  C1e 2 x  C2e  x ;
Ответ: y  C1 cos5 x  C2 sin5 x ;
в)
y  3 y  0 , y  0   1 , y  0   2 .
Ответ: y 
1
5  2e 3 x .
3


4. Найти решения уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

а)
б)
в)
1


y  2 y  10 y  0; y    0, y    e 6 . Ответ: y   e x cos3x .
3
6
6

y  9 y  0; y  0   0, y    1 .
Ответ: y  2 sin 3 x .
4
1

y  y  0; y  0   1, y    0 .
Ответ: y  sin x 
cos x .
3
3
5. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 2 . Найти интегральную кривую дифференциального уравнения y  y  0 , касающуюся в точке О(0, 0) прямой у = х.
38
k 2 1  0
Решение.

k2 1 
k1,2  1 , y  C1e  x  C2e x –
общее решение. Из условия задачи следуют начальные условия: y  0   0 ,
y  0   1 ( y  k  tg   1 для прямой у = х и касательной в точке О(0, 0)
к искомой кривой).
0  C1  C2 ,
Найдем y  C1e x  C2e x . Тогда имеем 
 2C2  1
1


C

C
.

1
2
1
1
1
1
 C2  , C1   . Итак, y   e x  e x – искомое частное решение.
2
2
2
2
6. О б у ч а ю щ и й п р и м е р 1 .
y
IY
Найти общее решение уравнения
 4 y  3 y  0 .
k 4  4k 2  3  0 – характеристическое уравнение. Пусть
Решение.
k2  
 2  4  3  0


1  3 ,  2  1. Тогда k 2  3

k1,2   3 i ; k 2  1  k3,4   i . Имеем
y  C1 cos 3 x  C2 sin 3 x  C3 sin x  C4 cos x – общее решение.
7. Решить примеры:
IY
 2 y  y  0 .
а)
y
б)
y  8 y  16 y   0 .
Ответ: y  C1  C2 x   C3  C4 x  e
x
.
Y
Ответ: y  C1  C2 cos 2 x  C3 sin 2 x  x  C4 cos 2 x  C5 sin 2 x  .
в)
y
YI
Y
 2y  y
IY
2
3
 0 . Ответ: y  C1  C2 x  C3 x  C4 x  e
x
 C5  C6 x  .
Вопросы и задания
1. Решить следующие примеры:
а)
б)
y  6 y  13 y  0 .
4 y  4 y  y  0 .
в)
3 y  2 y  8 y  0 .
г)
y
YI
Y
 2y  3y
IY
Ответ: y  e
3 x

Ответ: y  e
x
2
Ответ: y  C1e
 C1 cos 2x  C2 sin 2 x  .
 C1  C2 x  .
2x
 C2
4
 x
e 3 .
 4 y   3 y   2 y   y  0 .
x
Ответ: y   C1  C2 x  e   C3  C4 x  cos x   C5  C6 x  sin x .
39
2. Решить задачу: Найти интегральную кривую дифференциального уравнения y  4 y  3 y  0 , касающуюся в точке М(0, 2) прямой
2x  2 y  9  0 .
5
1
Ответ: y  e x  e3 x .
2
2
3. Решить задачу:
Определить закон колебания маятника в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости качания v.
mg
У к а з а н и е . Кроме восстанавливающей силы F  
S матемаl
тического маятника (см. обучающую задачу 1) здесь действует еще сила
сопротивления
F1  bv .
Равнодействующая
этих
сил
 mg

R  F  F1   
S  bv  .
 l

ah  ht 
p
b
g

Ответ: S  e  sin pt  cos pt  , где h 
, p  k 2  h2 , k 2  .
p
h
2m
l


YII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных
1. Следует отметить, что общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного
y  yодн  yч .
Не существует общих методов решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Однако, для линейных однородных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами метод нахождения общего решения существует, он рассмотрен в предыдущем пункте. В случае неоднородного
уравнения частное решение можно найти методом Лагранжа вариации
произвольных постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения. Пусть yодн  C1 y1  C2 y2 – общее решение
однородного
дифференциального
уравнения
второго
порядка
y  py  qy  0 , где у1 и у2 – линейно-независимые решения. Частное
40
решение неоднородного уравнения ищется в виде yч  C1  x  y1  C2  x  y2 .
Для нахождения C1  x  и C2  x  составляется и решается система:
C  y  C  y  0,
 1 1
2 2

C1 y1  C2 y2  f  x  .
C1  x  и C2  x  затем находятся интегрированием C1  x  и C2  x  .
2. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 . Свободно висящая на крюке однородная цепь соскальзывает с него под действием собственного веса (трением
можно пренебречь). Определить, за какое время соскользнет с крюка вся
цепь, если в начальный момент с одной стороны крюка висело 10 м., а с
другой 8 м., и скорость цепи равна нулю.
Решение. Пусть вес одного погонного метра цепи Рн. Обозначим
через х длину (в м.) большей части цепи, свешивающейся с крюка через t
сек. после начала движения. К центру тяжести цепи приложена сила
P
F  Px  18  x  P   2 x  18  P (Н.). Масса цепи равна 18 кг., ее ускореg
2
ние равно x м./сек. . Итак, приходим к уравнению движения центра тяg
P
жести цепи:
F  ma  18 x   2 x  18  P , или x  x   g .
9
g
Найдем общее решение этого уравнения. Составляем характеристи g
g
g
k,2 
ческое уравнение k 2   0

k2 


9
9
3
g
t
3
 g
t
3
e
xодн  C1e
 C2
.
Частное решение
xч  C1  t  e
вид
g
t
3
будем
искать
методом вариации в виде
 g

t
C1 x1  C2 x2  0,

3
 C2  t  e
. Тогда система
 имеет




C1 x1  C2 x2  f  t  .
g
 g


t
t
C e 3  C e 3  0,
C e
2
 1
1
 

g
 g
 g  3t
g  3 t

C
e

C2 e
  g.
 3 1
C1e
3
Сложим эти два уравнения: 2C1e
g
t
3
 3 g
41
g
t
3
 g
t
 C2e 3
 0,
g
t
3
 g
t
 C2e 3
 3 g .
 C1  1,5 g e
 g
t
3 .
C2 
Из первого уравнения системы
C1  1,5 g 
C2  1,5 g  e
 g
t
e 3 dt
g
t
3 dt
xч  C1x1  C2 x2 
4,5 g

e
g
4,5

 ge
g
 g
t
4,5e 3
e
 g
t
3
g
t
3
g
t
3

2 g
t
C1e 3
 1,5 g e
g
t
3 .
Теперь
 g
t
4,5e 3 .
 4,5e
g
t
3 .
g
t
3
 4,5e
Тогда
 g
t
e 3
 9.
 g
t
3
e
g
t
3
Итак, x  C1e
 C2
 9 – общее решение. Используем начальные условия: х = 10, v  x  0 при t = 0.
 g
g
t
t
g
g
x 
C1e 3 
C2e 3 .
3
3
10  C1  C2  9,
C1  C2 ,
1


 C1  C2  .


g
g
2
C1 
C2
C1  C2  1
0 
3
3

g
t
3
 g
t
e 3
g
t 9.
2
3
Время, за которое соскользнет вся цепь, определится из условия:
x
Значит,
e
18  9  ch
х = 18 при t = Т.
e
g
T
3

1
g
T
3
 18
e
2
y  18 y  1  0 
e
g
T
3
94 5 
 9 или x  ch

2 g
T
e 3
g
T
3
 18e
g
T
3
или
e
g
T
3
 g
T
e 3
2
 1  0 . Пусть e
g
T
3
9 
 y  0 , тогда
y1,2  9  81  1  9  80  9  4 5 .
g
T  ln 9  4 5 
3


T
3
ln 9  4 5  2,76 сек.
g


(корень 9  4 5 не удовлетворяет условиям задачи).
а)
3. Найти общие решения:
1
x
2 x
x
2 x
x
. Ответ: y  C1e  C2e  e  e
ln e  1 .
y  3 y  2 y  x
e 1

42
 

y  4 y  4 y  e
б)
2 x
ln x .
1 2
3 2  2 x

Ответ: y   C1  C2 x  x ln x  x  e .
2
4 

4. О б у ч а ю щ и й п р и м е р . Найти общее решение дифференциального уравнения
e2 x
y  2 y  y  2 y  x
.
e 1
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение
k 3  2k 2  k  2  0

k
2
 k  2   k  2  0
 k  2   k 2  1  0


k1,2  1 ,
k3  2  yодн  C1e x  C2e  x  C3e 2 x .
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
x
x
2x
yч  C1  x  e  C2  x  e  C3  x  e .
Система в общем виде для нахождения C1  x  , C2  x  , C3  x 
C  y  C  y  C  y  0,
2 2
3 3
 1 1
  
C1 y1  C2 y2  C3 y3  0,

C1 y1  C2 y2  C3 y3  f  x  .

нашем
примере
система
следующая
В
имеет

C1e x  C2e  x  C3e 2 x  0,


вид: C1e x  C2e  x  2C3e 2 x  0,

2x
C e x  C e  x  4C e 2 x  e .
2
3
 1
ex 1
ex
Ее главный определитель W  e x
ex
1
1
1
 1 1 2  e
0 0 3
мера.
2x
3
e x
e
x
e x
e2 x
2e
2x
4e 2 x
1
x
 e e
x
e
2x
1
1
1 1 2 =
1 1 4
1 1
2x
 6e  0 . Решим эту систему по правилу Кра1 1
43
0
1 
e
e
0
e
2x
e
ex  1
e
x
2  e
x
e
x
e
x
3  e
x
e
x
x
e
x
x
0
e
0
e
e
4e
2x
0
e
x
e
2e
4e
2x
0
e
x
1
1 1
e3 x
1 2  e  x
3 x
;
e  1 1 2
e 1
0
1
x
 e e
2x
2x
1
1
1
x
 e e
x
0
1
e2 x 1 1
e5 x
2  e  x
 x
;
e 1 1 2
e 1
2x
4
ex  1
1
0
1 1
1
4
3x
e2 x 1 1
e2 x
 x
 2 x
.
e  1 1 1
e 1
0
2x
ex  1
e2 x
1
0
e
1
x
ex  1
0
x
2x
e
2x
2x
x
e
e
2e
2x
2x
ex  1
2x
e
1
2x
ex  1
1
3e3 x
1 ex

C1 
 x
 x
,
W
2 e 1
e  1 6e 2 x



2
e5 x
1 e3 x

C2 
 x

,
W
6 ex  1
e  1 6e2 x

C3 


3
e2 x
1 1
 2 x

.
x
2x
W
3
e 1
e  1 6e



Интегрируя эти выражения, получаем:


x
1 ex
1 d e 1
1
C1    x
dx    x
dx   ln e x  1 ,
2 e 1
2 e 1
2
 
 e  1  1 de 
2x
1 e3 x
1 e2 x  e x
1
x
C2   x
dx   x
dx  
x
6 e 1
6 e 1
6
e 1
x
x
x
x



d
e
d
e
1
1  e 1 e 1
1
x
   e x  1 de x 
 
de

 ex  1  6  
 ex  1
x
6 
e 1








 

44


  


1  e2 x
 
 e x  ln e x  1
6  2




 ,




x
x
x


d e 1
1 dx
1 e 1  e
1
  1 x  ln e x  1 .
C3   x
 
dx

dx

dx


x
x
 3
3 e 1 3
3 
e 1
e 1


Записываем частное решение
1 x
1 x  1 2x x
 1 2x
x
x
x
yч   e ln e  1  e  e  e  ln e  1   e x  ln e  1 
2
6
2
 3
1 x 1 1 2x  1 x 1 x 1 2x 
x
 e   xe   e  e  e  ln e  1 .
12
6 3
2
3
6

Общее решение исходного уравнения имеет вид:
1
1
y  C1e x  C2e x  C3e 2 x 
4 xe2 x  e x  2  e x  3e x  2e 2 x ln e x  1 .
12
6









 
5. Решить следующие примеры:
1
а) y  y 
.
cos 2 x





 

Ответ: y  C1 cos x  C2 sin x 
1
1
1
2
cos x  ln cos x  cos x  
sin x  arcsin
2
2
2


2 sin x ;
б) y  4 y  ctg 2 x .
1
Ответ: y  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x  sin 2 x  ln tg x ;
4
в) y  y  tg x .
Ответ: y  C1  C2 cos x  C3 sin x  ln cos x  sin x  ln tg
 x
 .
4 2
Вопросы и задания
1. Применяя метод вариации произвольных постоянных, решить
следующие примеры:
ex
x x

2
а) y  2 y  y 
. Ответ: y   C1  C2 x  4  x  x arcsin  e ;
2

4  x2
2
б)
y  y  ctg x  0 .
в)
y
IY
Ответ: y  2  C1 cos x  C2 sin x  cos x ln tg
x
 y  8e , у(0)=0, y  0   2 , y  0   4 , y  0   6 .
Ответ: y  2 xe x .
45
x
;
2
YIII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами и со специальной правой частью
1. Отметим, что для некоторых специальных правых частей частное
решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно найти проще, чем методом вариации
произвольных постоянных, обходясь без интегрирования.
Различают, как правило, три вида правых частей:
x
I. f  x   e Pn  x  , где Pn  x  – известный многочлен степени п.
Частное решение в этом случае следует искать в виде
l x
yч  x e Qn  x  ,
где l – кратность , как корня соответствующего характеристического
уравнения, Qn  x  – неизвестный многочлен такой же степени, что и многочлен Pn  x  .
x
x
II. f  x   e P  x  cos x  e Q  x  sin x .
а) Если   i не являются корнями характеристического уравнения,
то частное решение следует искать в виде:
x
x
yч  e u  x  cos x  e v  x  sin x ,
где u(x) и v(x) – неизвестные многочлены одинаковой степени, равной
наибольшей из степеней многочленов P  x  и Q  x  , причем, если в правой
части отсутствует одно слагаемое, частное решение следует искать в полном виде (т.е., в виде суммы двух слагаемых).
б) Если   i являются корнями характеристического уравнения, то

x
x

yч  x e u  x  cos x  e v  x  sin x .
III. f  x   M cos  x  N sin  x .
Это частный случай предыдущего, однако рассмотрим его отдельно,
так как дифференциальные уравнения с такими правыми частями наиболее
часто встречаются в приложениях.
а)  i не являются корнями характеристического уравнения, частное решение следует искать в виде:
yч  A cos x  B sin x ;
б)  i являются корнями характеристического уравнения,
yч  x  A cos x  B sin  x  .
46
2. О б у ч а ю щ и й
пример
1.
Решить
уравнение
x
y  y  2 y  x  e .
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение
k 3  k 2  2k  0



2
k k k 2 0 
k1  0 , k2  2 , k3  1 , поэтому
общее решение однородного уравнения
2 x
x
yодн  C1  C2e  C3e .
Используя принцип наложения частных решений, правую часть раx
зобьем на две:
f1  x   x , f 2  x   e .
0 x
f1  x   x  e  P1  x    = 0 является однократным (l = 1) корнем характеристического уравнения, поэтому соответствующее частное
решение ищем в виде:
0 x
2
yч  xe Q1  x  , т.е y1  x  Ax  B  ,
или

y1  Ax  Bx
y1  2 Ax  B , y1  2 A , y1  0 . Тогда 0  2 A  4 Ax  2 B  x .
Приравниваем коэффициенты при х и х0 слева и справа:
1

A


,

x : 4 A  1,
1
 1
4


y

x

x



1

 , т.е.
0
1
4
4


x : 2 A  2 B  0.
B   .

4
1
y1   x  x  1 .
4
x
x
f 2  x   e  e  P0  x    = 1 является тоже однократным
(l = 1) корнем характеристического уравнения, поэтому второе частное
решение ищем в виде:
x
x
x
x
x
x
x
y  xe Q  x   Axe

y   A e  xe , y   A e  e  xe ,
2
0

2


2



x
x
x
y2  A 2e  e  xe . Тогда

A  3e
A 3e  xe
x
x
x
x
  A 2e
x
x
 xe
x
x
  2 Ae
x
 xe  2e  xe  2e  2 xe
1
y2   xe x .
3
Следовательно,
x
x
 xe
x
  e
общее
1
1
y  C1  C2e2 x  C3e x  x  x  1  xe x .
4
3
47
  e
x

x

3 A  1 
решение
исходного
1
A   , т.е.
3
уравнения
3. Чтобы сравнить методы нахождения частного решения, вернемся
к обучающей задаче 1 из предыдущего пукта YII.
О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 . Свободно висящая на крюке однородная цепь соскальзывает с него под действием собственного веса (трением
можно пренебречь). Составить и решить уравнение движения центра тяжести цепи, если в начальный момент с одной стороны висело 10 м., а с другой 8 м. цепи.
Решение. На усмотрение преподавателя студент у доски либо получает искомое дифференциальное уравнение заново, либо использует готовый результат из предыдущего практического занятия
g
 g
t
t
g
x  x   g ,
xодн  C1e 3  C2e 3 .
9
Для того, чтобы найти частное решение, будем считать, что правая
x
часть f  x    g  e P0  x  – специальная, где  = 0 не является корнем
характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде
g
x
xч  e Q0  x  , т.е. хч = А  xч  xч  0 . Поэтому   A   g 
9
А = 9 и x  C1e
а)
g
t
3
 C2
 g
t
e 3
 9 – искомое общее решение.
4. Решить следующие примеры:
2
y  6 y  8 y  3 x  2 x  1.
Ответ: y  C1e 4 x  C2e 2 x 
б)


2 4x
y  9 y  20 y  x e .
Ответ: y  C1e
в)
1
24 x 2  52 x  41 ;
64
5x
 C2 e
4x
 x3

   x2  2 x  e4 x ;
 3



4x
y  8 y  16 y  e , y  0   0 , y  0   1 .
4x
Ответ: y  0,5 x  x  2  e ;
г)
y
IY
2
 y  x  x .
2
x
x 2  2 x  12 .
Ответ: y  C1  C2 x  C3 cos x  C4 sin x 
12


5. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 2 . Определить закон движения материальной точки массы m, перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо
48
пропорциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопротивление среды отсутствует, но на точку действует внешняя сила F  A sin t .
d 2x
Решение. F  ma , a  x  2 ; F  kx  A sin t . 
dt
k
A
mx  kx  A sin t  x  x  sin t – линейное неоднородное дифm
m
ференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем и
решаем характеристическое уравнение.
k
k
k
k
2   0  2  
 1,2  
i (  0 по условию).
m
m
m
m
k
k
xодн  C1 cos
t  C2 sin
t.
m
m
A
Правая часть f  t   sin t . Рассмотрим два случая:
m
k
а)  
, тогда  i  i не являются корнями характеристичеm
ского уравнения, и частное решение следует искать в виде
xч  B cos t  C sin t .
2
2
Находим xч   Bsin t  C  cos t , xч   B cos t  C  sin t и подставляем в неоднородное уравнение
k
A
 B2 cos t  C 2 sin t   B cos t  C sin t   sin t .
m
m
Приравнивая коэффициенты при cos t и sin t слева и справа, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными В и С.
k

 B  0,
cos t :  B2  B  0, 
 B  0,



m
A
A  
   k
2


C

.
C

.
k
A
2


 m

2
sin t : C   C  .
m

k

m



m
m 
A
Таким образом, xч 
sin t , а общее решение
2
k  m
k
k
A
x  C1 cos
t  C2 sin
t
sin t .
2
m
m
k  m
k
, тогда  i  i являются корнями характеристического
m
уравнения, и частное решение следует искать в виде
xч  t  B cos t  C sin t  .
б)  
49
Найдем xч  B cos t  C sin t  t   B sin t  C cos t  ,


2 B sin t  2C  cos t  t B2 cos t  C 2 sin t 
k
t  B cos t  C sin t  
m
2
2
xч   Bsin t  C  cos t  B sin t  C cos t  t  B cos t  C sin t
и подставим в исходное уравнение


A
k
sin t  (т.к. 2  )
m
m
2 B sin t  2C  cos t  t 2  B cos t  C sin t   t2  B cos t  C sin t  
A
A
 sin t  2 B sin t  2C  cos t  sin t .
m
m
A 
A

sin t :  2 B  , 
,
B  
m   
2m
C  0.
cos t :
2C   0. 
A
Таким образом, xч  
t  cos t , а общее решение
2 m
k
k
A
x  C1 cos
t  C2 sin
t
t  cos t .
m
m
2m

6. Решить следующие примеры:
а) Найти решение дифференциального уравнения y  y  3sin x , удовле
 
творяющее краевым условиям y  0   y  0   0 , y    y    0 .
2
2
3
3
Ответ: y      2  cos x     2  sin x   x cos x ;
8
2
б) Решить уравнение
y  y  ch 2 x при начальных условиях
y  0   y  0   0 .
У к а з а н и е . yч  A ch 2 x  B sh 2 x , хотя можно решать, разбив
2x
2 x
e
1
1
функцию ch 2 x 
на две f1  x   e 2 x и f 2  x   e 2 x . ( = 2
2
2
2
не являются корнями характеристического уравнения).
1
1
1
Ответ: y  ch 2 x  sh 2 x  e x .
3
6
3
e
50
Вопросы и задания
1. Решить обучающую задачу 1 из предыдущего пункта YII с учетом
трения цепи о крюк, если сила трения равна весу 1 м. цепи.
3
ln 17  12 2 сек.
У к а з а н и е . Fтр   g  1 .
Ответ: T 
g
2. Решить задачу. Электрическая цепь состоит из последовательно
соединенных источника тока с э.д.с. e  t   E sin t , индуктивности L и
1
емкости С, причем  
(случай резонанса). Найти ток i в цепи как
LC
di
E
t
функцию времени t, если i t  0 
 0.
Ответ: i 
.
t  sin
dt t  0
2L
LC
У к а з а н и е . Дифференциальное уравнение цепи
d 2i 1
L 2  i  E cos t .
C
dt
3. Решить примеры:
1
а) y  5 y  6 y  13sin 3x . Ответ: y  C1e 2 x  C2e3 x   5cos3x  sin 3x  ;
6
x
x
б) y  y  2 x .
Ответ: y  C1  C2e  C3e  x 2 .

IX.

Решение систем дифференциальных уравнений
1. О б у ч а ю щ а я з а д а ч а 1 . Некоторое вещество А разлагается
на два вещества Р и Q. Скорость образования каждого из них пропорциональна количеству неразложенного вещества. Пусть х и у – количество веществ Р и Q, соответственно, образовавшихся к моменту времени
t. Определить закон их изменений, зная, что в начальный момент х = 0, у
3
1
= 0, а через 1 час x  a , y  a , где а – первоначальное количество ве8
8
щества А.
Решение. В момент времени t скорости образования веществ Р и
Q будут:
 dx
 dt  k1  a  x  y  ,

 dy  k  a  x  y  ,
2
 dt
51
так как к этому моменту количество неразложившегося еще вещества А
равно а х у. Решим получившуюся систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом исключения.
2
d x
 dx dy 
Дифференцируя первое уравнение, получим


k
1
  .
 dt dt 
dt 2
dy
Подставим сюда
 k2  a  x  y  , тогда
dt
d 2x
 dx

  k1   k2  a  x  y   . Подставим в это уравнение у, найденное
2
 dt

dt
1 dx
из первого уравнения системы,  y 
 x  a:
k1 dt
2
 dx
 dx k dx 


1 dx
d x
 k1   2  
 k1   k2  a  x 
 x  a  
2
2
k1 dt
dt
dt


 dt k1 dt 
 dt
d 2x
d 2x
dx
d 2x
dx


k

k


k

k
 0.




2
1
2
1
2
2
dt
dt
dt
dt
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение
2
имеет вид    k1  k2    0

    k1  k2   0

1  0 ,
dx
 k  k  t
  k  k t
 2    k1  k2   x  C1  C2e 1 2

   k1  k2  C2e 1 2 .
dt
1 dx
k k
 k  k  t
 k  k t
Тогда
y
 x  a  1 2 C2e 1 2  C1  C2e 1 2  a 
k1 dt
k1
k
k
 k  k  t
 k  k t
 k  k t
  k  k t
 C2e 1 2  2 C2e 1 2  C1  C2e 1 2  a  2 C2e 1 2  C1  a .
k1
k1
 x  C  C e  k1  k2 t ,
1
2

Таким образом, решение системы 
k2
  k1  k2 t
 C1.
 y  a  C2 e
k

1
Определим С1 и С2, используя начальные условия x  0   y  0   0 .
k1a

C

,
0  C1  C2 ,
1

k

k


1
2
 
k2

C   k1a .
0  a  k C2  C1.

1
 2
k1  k2
ka
  k  k t
x 1
1 e 1 2 ,
k1  k2


52
Тогда
k2 k1a
ka
 k  k  t
e 1 2  1 
k1 k1  k2
k1  k2
ka
k a
k a  k2a  k1a
k a
  k  k t
  k  k t
 a  1  2 e 1 2  1
 2 e 1 2 
k1  k2 k1  k2
k1  k2
k1  k2
k a
ka
k a
 k  k  t
 k  k t
 2  2 e 1 2  2
1  e 1 2 , т.е.
k1  k2 k1  k2
k1  k2
k1a
 k1  k2 t

,
x  k  k 1  e

1
2

 y  k2 a 1  e  k1  k2 t .

k1  k2
Неизвестные коэффициенты k1 и k2 найдем из дополнительных ус3
1
ловий задачи: при t = 1 x  a , y  a . Имеем
8
8
k1a
 k  k t
3
a

1 e 1 2 ,
8
k1  k2
k

Разделим первое уравнение на второе: 1  3

k2
 1 a  k2 a 1  e  k1  k2 t .
 8
k1  k2
ya










k1  3k2

и тогда из второго уравнения
a k2 a
4 k

1 e 2
8 4k 2



1 1
1
1
4 k
4 k
4 k
 1 e 2 
1 e 2  e 2 
 4k2   ln 2 
8 4
2
2
1
3
k 2  ln 2 .
Тогда k1  ln 2 .
k1  k2  ln 2 
ek1  k2  2 .
Далее
4
4
k1
3
k2
1
 ,
 . Поэтому
k1  k 2 4 k1  k 2 4
3
3 
1
1
1 
1
t
t
x  a 1  2  a 1  t  ,
y  a 1  2  a 1  t  .
4
4  2 
4
4  2 






2. Решить системы:
а)
 y   4 y  5 y  4 x  1,
 1
1
2
Решить задачу Коши 
y1  0   1, y2  0   2 .

 y2  y1  2 y2  x.
11  x 5 3 x 1
5

 y1  4 e  12 e  4  x  2   12  3x  2  ,
Ответ: 
 y  11 e x  1 e3 x  1  x  2   1  3x  2  .
 2 4
12
4
12
53
б)
Найти общее решение системы
x   x  x ,
1
3
 1
 
 x2  x1 ,

 x3  x1  x2 .

 x1  C1et  C2 cos t  C3 sin t ,

t
Ответ:  x2  C1e  C2 sin t  C3 cos t ,
 x  C cos t  sin t  C sin t  cos t .
 3

2
 3
3. О б у ч а ю щ и й п р и м е р . Решим пример б) другим способом.
Частные решения х1, х2, х3 будем искать в виде x1  1ekt , x2   2e kt ,
kt
x3   3e . Для нахождения k получим характеристическое уравнение.
1 k
0
1
k 0
1 k


1
0k
0 0
 0 1
0
1  k 
1  k
1 1
1
1 0  k
2
k 1  k    1  k   0 
1  k   k 2  1  0

k1 = 1, k2 = i, k3 = i.
При k1 = 1 для определения 1, 2, 3 получаем систему
0  1  0   2  3  0,
 3  0,
3  0,





1  1  1   2  0  3  0,
1   2  0,
1   2  0.
1    1    1    0.
      0.
2
3
2
3
 1
 1
3  0,

1   2  1.
По сути дела мы нашли собственный вектор (1, 1,0) для k1 = 1.
При  = i получаем систему уравнений.

3  1  i  1,

1  i  1  3  0,


1


1  i 2  0,
   2  1,
i

1   2  i3  0.
1

1  i 1  i 1  i  1  0.
54

3  1  i  1,
3  1  i  1,


  2  i1 ,
 Пусть 1 = 1, тогда
 2  i1,

  0  0.
2
 1
1 1  i  i  i  0.
2 = –i, 3 = 1– i.
Итак, имеем второй собственный вектор (1, i, 1i).
Значению k1 = 1 соответствуют решения x11  et , x21  et , x31  0 .
Значению  = i соответствуют решения (по формуле Эйлера

e

 i  x
 ex  cos x  i sin x  )
it
1  eit  cos t  i sin t , ie  i  cos t  i sin t   sin t  i cos t ,
1  i  eit  1  i  cos t  i sin t    cos t  i sin t   i  sin t  cos t  .
(При  = i получается аналогичный результат).
Отделяя действительные части, получим решения
x12  cos t ,
x22  sin t ,
x32  cos t  sin t .
Отделяя мнимые части, получим решения
x13  sin t ,
x23   cos t ,
x33  sin t  cos t .
 x1  C1et  C2 cos t  C3 sin t ,

t
Общее решение системы будет  x2  C1e  C2 sin t  C3 cos t ,
 x  C cos t  sin t  C sin t  cos t .
 3

2
 3
4. Решить примеры:
 x   7 x  3x ,
 1
1
2
а) 
 x2  6 x1  4 x2 .
1

t
10t
 x1   C1e  C2e ,
2
Ответ: 
 x  C et  C e10t .
 2
1
2
 y   7 y  y ,
 y1  e6 x  C1 cos x  C2 sin x  ,
 1

1
2
б) 
Ответ: 
6 x
 y2  2 y1  5 y2 .
 y2  e  C1  cos x  sin x   C2  cos x  sin x  .
Вопросы и задания
1. Найти общее решение, не пользуясь методом исключения
 dx1
 dt  8 x2  x1,

 dx2  x  x .
1
2
 dt
 x1  2C1e3t  4C2e 3t ,
Ответ: 
3t
3t
 x2  C1e  C2e .
55
2. Методом исключения найти общее решение следующей системы
1 2 x 7 x

4 x
7 x
y

2
C
e

C
e

e  e ,
 y   5 y  2 y  e x ,
1
1
2

 1
5
40
1
2
Ответ: 

 y2  y1  6 y2  e 2 x .
 y  C e 4 x  C e 7 x  3 e 2 x  1 e x .
1
2
 2
10
40
y   y ,
2
 1

3. Решить задачу Коши для системы  y2  y3 ,

 y3  y1.
y1  0   y2  0   y3  0   1 .
Ответ: y1  y2  y3  e x .
56
Трехуровневые тестовые задания к разделу
«Дифференциальные уравнения высших порядков»
Уровень I
Вариант 1
1.
Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить
значение полученной функции y    x  при x  x0 с точностью до двух
знаков после запятой.

2.
y  sin x , x0  ,
y  0  1 ,
y  0   0 , y  0   0 .
2
Ответ: 1,23.
3.
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающе2
го понижение порядка. 1  x y  xy  2 .

4.
б)
в)
5.

Ответ: y  arcsin 2 x  C1 arcsin x  C2 .
Найти общее решение дифференциального уравнения
а) y  4 y  0 ;
y  10 y  25 y  0 ;
y  3 y  2 y  0 .
Найти общее решение дифференциального уравнения y  y  2 x  1 .
6.
Ответ: y  C1  C2e  x  x 2  3 x .
Найти частное решение дифференциального уравнения
y  2 y  y  12cos 2 x  9sin 2 x , y  0   2 , y  0   0 .
7.
Ответ: y  2e x  4 xe x  3sin 2 x .
Найти частное решение дифференциального уравнения
y  7 y  6 y  0 , y  0   0 , y  0   0 , y  0   30 .
Ответ: y  5  6e x  e6 x .
8.
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольex
ных постоянных:
y  y  x
.
e 1
 ex 1
 x  1

ex
x
Ответ: y     ln e  1  C1  e   ln x
 C2  e x .
 2 2

 2 e 1






9.

Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б) с помощью характеристического уравнения.
57
 x  2 x  y ,

 y   3 x  4 y.
 x  C1e5t  C2et ,
Ответ: 
5t
t
 y  3C1e  C2e .
Вариант 2
1.
Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить
значение полученной функции y    x  при x  x0 с точностью до двух
знаков после запятой.
1
1
y  , x0  2 , y 1  , y 1  y 1  0 .
x
4
Ответ: 0,38.
2.
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающе2
го понижение порядка.
2 xyy  y  1.
2
3
2
Ответ: 9C1  y  C2   4  C1 x  1 , y   x  C .
решение
дифференциального
уравнения
а) Найти
общее
y  y  2 y  0 ;
б) y  9 y  0 ;
в) y  4 y  4 y  0 .
3.
Найти общее решение дифференциального уравнения
x
y  2 y  5 y  10e cos 2 x .
1
Ответ: y  e x  C1 cos 2 x  C2 sin 2 x   e  x  cos 2 x  2sin 2 x  .
2
4.
Найти частное решение дифференциального уравнения
2
y  6 y  9 y  9 x  39 x  65 , y  0   1 , y  0   1 .
Ответ: y  6e3 x  22 xe3 x  x 2  3 x  5 .
5.
Найти частное решение дифференциального уравнения
IY
Y
y  9 y  0 , y  0   1 , y  0   1 , y  0   0 , y  0   0 , y  0   0
Ответ: y  1  x .
6.
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произволь1
ных постоянных:
y  4 y 
.
cos 2 x
1

1

Ответ: y   ln cos 2 x  C1  cos 2 x   x  C2  sin 2 x .
4

2

7.
Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
58
а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б) с помощью характеристического уравнения.
 x  x  y ,

 y  4 x  y.
 x  C1e3t  C2et ,
Ответ: 
3t
t
 y  2C1e  2C2e .
Вариант 3
1.
Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить
значение полученной функции y    x  при x  x0 с точностью до двух
знаков после запятой.

3
1

,
x

,
y
0

1
,
y
0

.
y 




0
3
5
cos 2 x
Ответ: 2,69.
2.
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающе3
2
го понижение порядка.
x y  x y   1 .
1
Ответ: y  C1 ln x   C2 .
x
3.
Найти общее решение дифференциального уравнения
а) y  4 y  0 ;
б) y  4 y  13 y  0 ;
в) y  3 y  2 y  0 .
4.
Найти общее решение дифференциального уравнения
y  2 y  8 y  12sin 2 x  36cos 2 x .
5.
Ответ: y  C1e 2 x  C2e 4 x  3cos 2 x .
Найти частное решение дифференциального уравнения
2
y  2 y  2 y  2 x  8 x  6 , y  0   1 , y  0   4 .
6.
Ответ: y  e  cos x  3sin x   x  2 x .
Найти частное решение дифференциального уравнения
y  y  0 , y  0   0 , y  0   0 , y  0   1 .
x
2
Ответ: y  1  x  e x .
7.
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольe2 x
y  4 y  5 y 
ных постоянных:
.
cos x
59
8.
2x
2x
Ответ: y   ln cos x  C1  e cos x   x  C2  e sin x .
Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б) с помощью характеристического уравнения.
 x   x  8 y ,

 y  x  y.
 x  C1e3t  C2e 3t ,

Ответ: 
1
1
3t
3t
 y  C1e  C2e .

2
4
Вариант 4
1.
Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить
значение полученной функции y    x  при x  x0 с точностью до двух
знаков после запятой.
6
y 1  5 , y 1  1 .
y  3 , x0  2 , y 1  0 ,
x
Ответ: 6,07.
2.
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.
y  y tg x  sin 2 x .
1
Ответ: y  C1 sin x  x  sin 2 x  C2 .
2
3.
Найти общее решение дифференциального уравнения
а) y  5 y  6 y  0 ;
б) y  3 y  0 ;
4. y  2 y  5 y  0 .Найти общее решение дифференциального уравнения
6x
y  12 y  36 y  14e .
5.
Ответ: y  C1e6 x  C2 xe6 x  7 x 2e6 x .
Найти частное решение дифференциального уравнения
y  6 y  25 y  9sin 4 x  24cos 4 x , y  0   2 , y  0   2 .
6.
Ответ: y  e  2cos 4 x  3sin 4 x   sin 4 x .
Найти частное решение дифференциального уравнения
y  4 y  0 , y  0   0 , y  0   2 , y  0   4 .
3x
Ответ: y  e 2 x  1 .
60
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольsin x
ных постоянных:
.
y  y 
cos 2 x
1
Ответ: y 
 C1   ln cos x  C2  cos x   x  tg x  C3  sin x .
cos x
8.
Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б) с помощью характеристического уравнения.
 x  2 x  3 y,

 y   x.
7.
 x  C1e 3t  C2et ,

Ответ: 
1
3t
t
 y  C1e  C2e .
3

Вариант 5
1.
Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить
значение полученной функции y    x  при x  x0 с точностью до двух
знаков после запятой.

y  4cos 2 x ,
x0  ,
y  0  1 ,
y  0   3 .
4
Ответ: 4,36.
2.
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. yx ln x  y .
Ответ: y  C1x  ln x  1  C2 .
3.
Найти общее решение дифференциального уравнения
а) y  2 y  10 y  0 ;
б) y  y  2 y  0 ;
в) y  2 y  0 .
4.
Найти общее решение дифференциального уравнения
x
y  3 y  2 y   34  12 x  e .
x
2x
x
5.
Ответ: y  C1e  C2e   4  2 x  e
Найти частное решение дифференциального уравнения
3
2
y  14 y  53 y  53 x  42 x  59 x  14 , y  0   0 , y  0   7 .
6.
Ответ: y  3e7 x sin 2 x  x 3  x .
Найти частное решение дифференциального уравнения
y  y  0 , y  0   0 , y  0   1 , y  0   1 .
61
.
Ответ: y  1  cos x  sin x .
7.
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произволь1
ных постоянных:
y  9 y 
.
sin 3 x
 1

1

Ответ: y    x  C1  cos3x   ln sin3x  C2  sin 3x .
 3

9

8.
Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б) с помощью характеристического уравнения.
 x  x  y ,

 y  4 x  4 y.
 x  C1  C2e5t ,
Ответ: 
5t
 y  C1  4C2e .
Уровень II
Вариант 1
1.
Решить дифференциальное уравнение
2
2
2xyy  y  a .
Ответ: y  C2 x  C3  4
C
1
5
2 2
xa

2
.
15C1
2.
Найти общее решение дифференциального уравнения
y  y  tg x .
Ответ: y  C1  C2 cos x  C3 sin x  ln cos x  sin x ln tg
3.
 x
 .
4 2
Найти частное решение дифференциального уравнения
IY
x
y  0   1 , y  0   0 , y  0   1 , y  0   0 .
y  y  8e ,
Ответ: y  e  x  3e x  cos x  2sin x  2 xe x .
4.
Найти общее решение дифференциального уравнения
IY
4
4 ax
y  a y  5a e sin ax .
ax
Ответ: y   C1  sin ax  e  C2e
5.
 ax
Решить систему дифференциальных уравнений
62
 C3 cos ax  C4 sin ax .
dx
 2y,
dt
dy
 2z ,
dt
dz
 2x .
dt

2t
t
 x  C1e  e C2 cos 3t  C3 sin 3t ,

1 t

2t
Ответ:  y  C1e  e
C3 3  C2 cos 3t  C2 3  C3 sin 3t ,
2

1 t

2t
z

C
e

e
C3 3  C2 cos 3t  C2 3  C3 sin 3t .
1

2












Вариант 2
1.
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
2
y

y 
6
y
 y 2 y ,
Ответ: x 
y 2  0 ,
y  2   1 ,
y  2   1.
y 1
1
2 y 1 1

arctg
 ln
2
.
2
3
3
3
6
3
y  y 1
Применяя метод вариации произвольных постоянных, найти общее
решение дифференциального уравнения y  3 y  3 y  y  e x .
2.

x3  x
2
Ответ: y   C1  C2 x  C3 x   e .

6 

3.
Найти общее решение дифференциального уравнения
IY
2
y  3 y  9 x .
Ответ: y  C1  C2 x  C3e
4.
3x
 C4 e 
3x
1
 x 4  x2 .
4
Найти общее решение дифференциального уравнения
IY
2
4
y  2a y  a y  8cos ax .
Ответ: y   C1  C2 x  cos ax   C3  C4 x  sin ax 
5.
x2
a2
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
63
cos ax .
 dx
 dt  6 x  12 y  z,

 dy
  x  3 y  z,
 dt
 dz
 dt  4 x  12 y  3 z.

 x  2C1et  7C2e 2t  3C3e3t ,

t
2t
3t
Ответ:  y  C1e  3C2e  C3e ,

t
2t
3t
 z  2C1e  8C2e  3C3e .
Вариант 3
1.
Решить дифференциальное уравнение
2
y   y  .
Ответ: y   C1  x   ln  C1  x   1  C2 x  C3 .
2.
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
3
15
x
x
y  2 y  5 y  3e  e tg 2 x , y  0   , y  0   .
4
4

1 


Ответ: y  e x  3  7sin 2 x  ln tg   x   cos 2 x  .
4 
4


3.
Найти общее решение дифференциального уравнения
S   2aS   a 2 S  et ,
 a  1 .
at
Ответ: S  C1e  C2te 
2
4.
Найти решение уравнения y  n y  h sin px
ряющее условиям у = а, y  C при х = 0.


 p  n ,
C n 2  p 2  hp
Ответ: y  a cos nx 
64

n n2  p2

sin nx 
et
at
 a  1
2
.
удовлетво-
h
n2  p2
sin px .
5.
 dx1
 dt   x1  x2  x3 ,

 dx2
Найти общее решение системы
 x1  x2  x3 ,

dt

 dx3
 dt  x1  x2  x3.

 x1  C1e t  C2e 2t  C3e 2t ,

t
2t
2 t
Ответ:  x2  C1e  C2e  3C3e ,

t
2t
 x3  C1e  2C2e .
Вариант 4
1.
Ответ: y 
2.
xy  y  x  1  0 .
Решить дифференциальное уравнение
1 3
x  6 x 2  C1x ln x  C2 x  C3 .
12


Найти частное решение дифференциального уравнения
4x
y  2 y  3 y  e ,
удовлетворяющее краевым условиям
y  ln 2   1 , y  2 ln 2   1 .
1 4 x 652  x 491 3 x
Ответ: y  e 
e 
e .
5
75
600
3.
Найти общее решение дифференциального уравнения
x
y  y  e .
1
Ответ: y  C1  C2 cos x  C3 sin x  e x .
2
4.
Найти общее решение дифференциального уравнения
x
y  y  e  6cos 2 x .
1
Ответ: y  C1  C2 cos x  C3 sin x  e x  sin 2 x .
2
5.
Найти общее решение системы
65
x   x  x  x ,
1
2
3
 1
 
 x2  x1  x2  x3 ,

 x3  2 x1  x2 .

 x1  C1et  C2e 2t  C3e t ,

t
t
Ответ:  x2  C1e  3C3e ,

t
2t
t
 x3  C1e  C2e  5C3e .
Вариант 5
1.
Решить дифференциальное уравнение
2
y  y  3 y  0 .
Ответ: x  C1 y 2  C2 y  C3 .
2.
Найти частное решение дифференциального уравнения
2
yy   y   yy  0 ,
y  0   1 , y  1  0 .
удовлетворяющее краевым условиям
e  e x
Ответ: y 
.
e 1
3.
Найти общее решение дифференциального уравнения
x
y  y  6 x  e .
Ответ: y  C1  C2 x  C3e  x  x 3  3 x 2  xe  x .
4.
Найти общее решение дифференциального уравнения
y
IY
x
 y  3 xe  sin 2 x .
Ответ: y  C1e x  C2e x  C3 cos x  C4 sin x 
5.
3 2
1
x  3x e x  sin 2 x .
8
15


 x   15 x  6 x  16 x ,
1
2
3
 1

Решить систему  x2  15 x1  7 x2  18 x3 ,

 x3  19 x1  8 x2  21x3 .

 x1  2C1e t  2  4C3  C2  cos t  2  4C2  C3  sin t ,


Ответ:  x2  2C1et  3  5C2  3C3  cos t  3  5C3  3C2  sin t ,

t
 x3  C1e   7C2  11C3  cos t   7C3  11C2  sin t.
66
Уровень III
1.
Показать, что общее решение дифференциального уравнения
2
y  m y  0 можно представить в виде y  C1 sh mx  C2 ch mx .
2.
Показать, что общее решение дифференциального уравнения


2
2
y  2y     y  0
ye
3.
x
можно
представить
в
виде
 C1 ch x  C2 sh x  .
если y1  x  есть частное решение линейного од-
Доказать теорему:
нородного
y  p  x  y  q  x  y  0 ,
уравнения
 p  x  dx
y2  x   y1  x   e 
dx
2
y1
x
то
функция
тоже является решением этого уравнения.
Используя результат задачи 3, найти общее решение уравнения
sin x
xy  2 y  xy  0 , если
есть его частное решение.
x
cos x
sin x
Ответ: y  C1
 C2
.
x
x
4.
5.
Используя результат задачи 3, найти общее решение уравнения
1  x  y  2 xy  2 y  0 , если функция y  x есть его частное решение.
2
1
 1 1 x

Ответ: y  C1x  ln
 1   C2 x .
 2 1 x

6.
Известно частное решение y1  ekx линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Дискриминант соответствующего характеристического уравнения равен нулю. Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y  0   y  0   1 .
kx
Ответ: yч  e 1  1  k  x  .
67
Показать, что общее решение дифференциального уравнения
7.
2
d x
2
  2 x  0 может быть представлено в виде x  A sin  t    или
dt
x  A cos  t    , где А и  - произвольные постоянные.
2
8.
Показать, что функции 1, x, x ,..., x
бом интервале  a, b  .
n 1
линейно-независимые на лю-
9.
Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейным при преобразовании искомой функции y    x  z    x  , где z –
новая функция; (х) и (х) – произвольные, достаточное число раз дифференцируемые, функции.
10.
Дана система функций y1  x  , y2  x  , , yn  x  , причем на некотором
интервале вронскиан W  x   0 . Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, для которого эта система является фундаментальной системой решений.
y
y1  x 
y2  x  
yn  x 
y

Ответ:
y
n
y1  x 

n
y1
 x
y2  x  
 
y n  x 
0.

 n
 n
y2
 x
 yn
 x
11. Радиус кривизны в произвольной точке кривой равен кубу длины
нормали в этой точке. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(0, 1) и в этой точке параллельной оси абсцисс.
Ответ: y 2  x 2  1 .
12. Кривая, проходящая через точки А(5, 7) и В(6, 6), имеет радиус кривизны R=5. Найти уравнение этой кривой.
2
2
Ответ:  x  2    y  3  25 .
13. В точке (1, -2) кривая параллельна оси абсцисс. В любой точке радиус кривизны R равен квадрату абсцисс этой точки. Найти уравнение
этой кривой.
Ответ: 6 y
68
3
 (2 x  1) 2
 13 .
14. Электровоз движется по горизонтальному железнодорожному пути
со скоростью 72 км./час. Машинист включает тормоз и сопротивление
движению после начала торможения равно 0,2 веса электровоза. Найти
время от момента включения тормоза до полной остановки электровоза и
расстояние, пройденное за это время.
Ответ: электровоз остановится через 10,2 сек.,
пройдя после начала торможения расстояние 102 м.
15. Балка на двух опорах длиной l прогибается под действием равномерно распределенной нагрузки, общий вес которой Р. Определить уравнение упругой линии и прогиб в середине пролета.
P  2 2 4
Ответ: y 
 3lx  x  ,
48EJ 
l 
где Е – модуль упругости;
J – момент инерции;
5 Pl 3
h
.
8 48EJ
16. К вертикальной пружине, силой тяжести которой пренебрегаем, подвешен груз Р, удлиняющий ее на величину l. Оттянув груз на длину а
вниз, его оставляют свободно колебаться. Найти закон этого движения,
пренебрегая побочными сопротивлениями.
Ответ: x  a cos
g
t – закон гармонического колебания
l
с периодом T  2 
l
.
g
17. На левом конце стержня (при х = 0) постоянная температура 0. В
точках стержня, лежащих на разных расстояниях х от левого конца, устанавливается температура  = (х). Найти температуру в точке с абсциссой
х.
kC
Ответ:   0e px ; p 2 
,

где  – поперечное сечение стрежня;
С – длина окружности поперечного сечения;
 – коэффициент теплопроводности;
k – коэффициент пропорциональности.
69
18. Определить закон и период колебаний маятника в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости качания.
Ответ: S 
l
ah
 ht
,
e sin  pt    , T  4m
p cos 
4m2 g  lb 2
где b  коэффициент силы сопротивления f1  bv ;
h
b
 коэффициент сопротивления;
2m
g
k 2   коэффициент упругости;
l
P  k 2  h2 ;
dS
при t = 0 S = a,
0;
dt
P
tg   .
h
19. Моторная лодка движется по озеру со скоростью v0 = 20 км/час. Через 40 сек. после включения ее мотора скорость лодки уменьшается до
v1 = 8 км/час. Определить скорость лодки через 2 мин. после выключения
мотора. (Сила сопротивления воды движению лодки пропорциональна ее
скорости).
Ответ: 1,28км./час.
20. С высоты 18 м. над уровнем Земли брошено вертикально вверх тело
со скоростью 30 м./сек. Найти высоту, на которой тело находится в момент
времени t, как функцию времени. Определить наибольшую высоту подъема тела.
1
Ответ: S  h   gt 2  30t  18 , hнаиб.=63,9 м.
2
70
ГЛОССАРИЙ
№
Новые понятия
п/п
1
2
1.
Дифференциальное
уравнение (ДУ)
Содержание
3
уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков.
Общий вид

F x, y, y, y,..., y
2.
3.
4.
5.
6.
7.
n
  0.
порядок старшей производной, входящей в
это уравнение.
если неизвестная функция зависит от одной
Обыкновенное ДУ
переменной: y  y  x  .
ДУ с частными про- если искомая функция зависит от нескольких переменных.
изводными
Решение ДУ
функция y  y  x  , определенная и непрерывнодифференцируемая n раз в  a, b  , называется решением ДУ в этом интервале,
если она обращает данное уравнение в тождество.
Интегральная линия график решения ДУ.
(кривая) ДУ
называется уравнение, связывающее незавиДУ первого порядка
симую переменную, искомую функцию этой
переменной и ее производную. Общий вид:
F  x, y , y   0 , либо y  f  x, y  , откуда
dy  f  x, y  dx  0 , или в более общем виде
Порядок ДУ
P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0 .
8.
Общее решение ДУ
первого порядка
9.
Общий интеграл ДУ
10.
Частное решение
ДУ
11.
Частный
ДУ
называется функция y    x, C  , где С –
произвольная постоянная, обращающая
данное уравнение в тождество.
общее решение   x, y , C   0 , заданное в
неявном виде.
решение, полученное из общего решения
при фиксированном значении С:
y    x, C0  , где С0 – число.
интеграл   x, y , C0   0 – частное решение, заданное
в неявном виде.
71
1
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
2
Задача Коши
3
найти решение y  f  x  ДУ первого порядка, удовлетворяющее начальному условию
y  y0 при x  x0 . Другими словами, найти
интегральную кривую этого уравнения,
проходящую через точку M 0  x0 , y0  .
решение ДУ, в каждой точке которого наОсобое решение
рушается единственность решения задачи
Коши.
ДУ с разделенными
уравнение вида P  x  dx  Q  y  dy  0 , где
переменными
Р(х) – функция только от х, Q(y) – функция
только от у.  P  x  dx  Q  y  dy  C – общий
интеграл этого уравнения.
ДУ с разделяющими- уравнение вида
ся переменными
P1  x  Q1  y  dx  P2  x  Q2  y  dy  0 , где Р1(х)
и Р2(х) – функции только от х, Q1(y) и Q2(y)
– функции только от у. Приводится к ДУ с
разделенными переменными и интегрируется.
ДУ, приводящиеся
уравнение вида y  f  ax  by  C  , привок уравнению
дится к ДУ с разделяющимися переменными
с разделяющимися
подстановкой z  ax  by  C .
переменными
Однородные ДУ
уравнение вида y  f  x, y  называется однородным, если f(x, y) – однородная функция
нулевого
измерения,
т.е. f  tx, ty   f  x, y  t  0 . Подстановкой
y  ux , y  ux  u приводится к ДУ с разделяющимися переменными.
ДУ, приводящиеся
 ax  by  C 

уравнение
вида
y

f

 . С пок однородным
a
x

b
y

C
 1
1
1
мощью преобразования x  u   , y  v  
за счет выбора  и  приводится к однородa b
ному ДУ, если
 , и к ДУ с разделяюa1 b1
a b
щимися переменными, если
 .
a1 b1
72
1
19.
20.
21.
2
3
Линейное ДУ первого уравнение вида y  p  x  y  q  x  , т.е. уравпорядка
нение, содержащее в первой степени у и у.
Решается подстановкой y  u  x  v  x  , либо
методом вариации произвольной постоянной.
Уравнение Бернулли уравнение вида y  p  x  y  q  x   y  , где
ДУ в полных дифференциалах
0,1 – действительное число. Оно сводится
к линейному с помощью подстановки
1
u  y . Можно сразу применять подстановку y  u  x  v  x  , или метод вариации.
уравнением в полных дифференциалах называется
уравнение
вида
P  x, y  dx  Q  x, y  dy  0 , левая часть которого является полным дифференциалом некоторой функции U  x, y  , т.е.
P  x, y  dx  Q  x, y  dy  dU  x, y  .
Необходимое и достаточное условие
P Q
, общий интеграл U  x, y   C .

y dx
x
U  x, y  
y
 P  x, y  dx   Q  x0 , y  dy ,
x0
где
y0
M 0  x0 , y0  – произвольная точка из области
-ия решения.
73
1
22.
2
ДУ высших порядков, допускающие
понижение порядка
3
частные случаи ДУ высших порядков, в которых отсутствуют либо х, либо у и у; соответствующими подстановками сводятся к
ДУ более низкого порядка.
 n
а) y  f  x  , решается n-кратным интегрированием;
б) y  f  x, y  , подстановкой y  p  x  ,
y  p  x  сводится к ДУ первого порядка
p  f  x, p  ;
в) y  f  y , y , подстановкой
y  p  y  ,
2
d y
dp
p сводится к ДУ первого порядка.
dy
dx
уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных. ДУ второго
порядка
имеет
вид
y  a1  x  y  a2  x  y  f  x  . Если f  x   0 ,
то ДУ называется неоднородным; если
f  x   0 , ДУ называется однородным.
y  yодн  yч , где уодн – общее решение соответствующего однородного ДУ, уч – любое частное решение неоднородного уравнения.
два решения y1  x  и y2  x  называются ли2
23.
Линейные неоднородные ДУ высших
порядков
24.
Структура общего
решения линейного
неоднородного ДУ
25.
Линейно зависимые
и линейно независимые решения

нейно независимыми на  a, b  , если для всех
y1  x 
 0 , в противном
y2  x 
случае они называются линейно зависимыми.
точек этого отрезка
74
1
26.
2
Вронскиан
3
y1 y2
 W  y1, y2  наy1 y2
зывается определителем Вронского или
вронскианом, составленным из двух решений у1 и у2.
Если у1 и у2 – линейно зависимы, то
W  y1, y2   0 ;
если у1 и у2 – линейно независимые решения
на  a, b  , то для всех точек этого отрезка
W  y1, y2   0 .
yодн  C1 y1  C2 y2 , где у1 и у2 – линейно независимые частные решения этого уравнения.
Для ДУ n-го порядка общее решение
y  C1 y1  C2 y2  ...  Cn yn
определитель вида
27.
Структура общего
решения линейного
однородного ДУ
W  y1, y2 ,..., yn   0  .
28.
Линейные однородные ДУ
с постоянными коэффициентами
Не существует общих методов нахождения
частных решений линейных однородных (а,
значит, и неоднородных) ДУ с переменными
коэффициентами.
уравнения вида y  py  qy  0 , где p и q –
постоянные числа. Его частное решение надо искать в виде y  e kx . Для нахождения k
получается уравнение k 2  pk  q  0 . Если
1)
D>0, yодн  C1e k1x  C2e k2 x ;
2)
D=0,
3)
D<0,
k
1,2
kx
yодн  e 1  C1  C2 x  ;
yодн  e
x

   i, i  1 .
75
 C1 cos x  C2 sin x  ,
1
29.
2
Метод вариации
произвольных постоянных
3
применяется для нахождения частного решения линейного неоднородного ДУ в виде
yч  C1  x  y1  C2  x  y2 , если известно общее решение соответствующего однородного уравнения yодн  C1 y1  C2 y2 . Производные C1  x  и C2  x  находятся из системы
C  y  C  y  0,
 1 1
2 2
.





C1 y1  C2 y2  f  x 
Сами функции C1  x  и C2  x  находятся ин30.
Специальная правая
часть
тегрированием C1  x  , C2  x  .
специальной правой частью называются некоторые виды функции f(x) в правой части
линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами.
x
I. f  x   e Pn  x  , где Pn  x  - многочлен
степени n. Частное решение неоднородного
ДУ следует искать в виде:

x
yч  x  e Qn  x  , где  - кратность , как
корня характеристического уравнения соответствующего однородного ДУ, Qn  x  - искомый многочлен тоже степени n.
x
x
II. f  x   e P  x  cos x  e Q  x  sin x .
а) если   i не являются корнями характеристического уравнения, то
x
x
yч  e u  x  cos x  e v  x  sin x ;
где u(x) и v(x) – искомые многочлены степени, равной наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x).
б) если   i являются корнями характеристического уравнения, то

x
x

yч  x e u  x  cos x  e v  x  sin x .
76
1
31.
2
Системы ДУ
32.
Нормальная система ДУ
Системы линейных
ДУ с постоянными
коэффициентами
33.
3
называется совокупность ДУ от нескольких
неизвестных функций от одной переменной
и производных от этих функций.
если каждое ДУ решено относительно производной, система называется нормальной.
однородная и неоднородная системы ДУ с
постоянными коэффициентами. Решаются
сведением к ДУ высших порядков методом
исключения неизвестных. Однородную систему можно решить также составлением характеристического уравнения, нахождением
собственных значений и векторов матрицы,
составленной из коэффициентов при неизвестных.
77