ВОПРОСЫ 1. Дайте определение коэффициента расширения

ВОПРОСЫ
1. Дайте определение коэффициента расширения (уплотнения) орбит и
раскройте физический смысл данной величины.
2. Получите выражение, связывающее коэффициент расширения орбит, с
коэффициентом, характеризующим дисперсию частот обращения при
малых отклонениях импульса частицы от синхронного значения.
Раскройте физический смысл последней величины.
3. Получите уравнение, описывающее изменение местного возмущения
орбиты с азимутом.
4. Покажите,
что
для
слабофокусирующего
синхротрона
местное
возмущение орбиты обратно пропорционально квадрату частоты
радиальных бетатронных колебаний.
5. Получите условия возникновения резонансов вследствие ошибок
величины поля или юстировки магнитов.
6. Получите условия возникновения резонансов вследствие ошибок
показателя спада магнитного поля.
7. Получите условия возникновения резонансов вследствие линейной
связи между радиальным и аксиальным движением.
8. Получите условия возникновения резонансов вследствие нелинейной
связи между радиальным и аксиальным движением.
9. Получите
поправку
на
показатель
спада
магнитного
поля,
обусловленную собственными полями пучка.
10. Покажите, что учет сил пространственного заряда накладывает
ограничение на предельное число инжектируемых частиц.
11. Покажите, что максимальное число инжектируемых частиц возрастает
с увеличением энергии инжекции.
12. Покажите, что если в синхротроне магнитное поле в течении цикла
ускорения меняется по линейному закону, то приращение энергии на
каждом обороте одинаково.
13. Найдите связь между отклонением частицы по энергии и ее
отклонением по импульсу в случае движения в синхротроне.
14. Получите систему уравнений, описывающую продольное движение
частиц в циклических ускорителях.
15. Получите законы изменения максимальных отклонений по фазе и
энергии при ускорении в циклических ускорителях.
16. Получите законы изменения максимальных отклонений в радиальном
и аксиальном направлениях при ускорении в циклических ускорителях.
17. Показать, что в синхротронах амплитуда бетатронных колебаний
убывает в течении цикла ускорения.
ПРИМЕРЫ
Пример №1. Получить выражение для коэффициента уплотнения орбит в
кольцевом ускорителе со слабой фокусировкой.
Пусть частица с импульсом p движется по орбите радиуса r и длиной
L=2πr. Частица с импульсом p+dp будет двигаться по окружности радиуса
r+dr. Так как p=qBr, то dp/p=dB/B+dr/r. Воспользовавшись определением
показателя
спада
dp
dr
 1  n 
p
r
и
магнитного
поля,
коэффициент
получаем
пространственного
Откуда
dB/B=-ndr/r.
уплотнения
орбит
  1  n  .
1
Пример №2. Получить выражение для коэффициента уплотнения орбит в
синхрофазотроне с прямолинейными промежутками.
Для частицы с импульсом p длина орбиты L=2πr+Ns, где s – длина
каждого прямолинейного промежутка, а N – их количество. Для частицы с
импульсом p+dp длина орбиты L+dL=2π(r+dr)+Ns. Тогда
dL dr
1
,

L
r 1  s m 
где m - длина каждого магнита. Повторяя рассуждения из примера 1
получаем   1  n 
1
1  s m 
1
.
Пример №3. Получить выражение для коэффициента уплотнения орбит в
синхрофазотроне с прямолинейными промежутками и нулевым градиентом.
В ускорителях данного типа фокусировка осуществляется за счет
скошенных краев магнита, что приводит к изменению длины орбиты. Обе
орбиты заворачиваются в магнитном поле на один и тот же угол (рис. 2),
причем центры кривизны орбит не совпадают. Пусть φ=π/N половина угла,
на который поворачивает каждый из N магнитов, а θ – угол скоса края
магнита.
Тогда
из
соотношения
dr  dsctg  dsctg  N , откуда ds=Kdr, где K 
r+dr-y=r-g
1
.
ctg  ctg  N
получаем
Рис.2. Движение заряженной частицы в магните со скошенными краями.
Для частицы с импульсом p длина орбиты L=2πr+Ns, а для частицы с
импульсом
p+dp
длина
орбиты
L+dL=2π(r+dr)+N(s+2ds),
откуда
dL 2 dr  2 Nds 1  NK 


dr . Поскольку N=2πr/m и магнитное поле не
L
2 r  Ns
1  Ns 2
зависит от радиуса
окончательно имеем  
Пример
№4.
получаем

1 s m
.
1  NK 
1 s m
1  N   ctg  ctg  N  
Определить
критическое
1
После
подстановки
K
.
значение
показателя
спада
магнитного поля, при котором в классическом циклотроне возникнет
нелинейный резонанс связи.
В спиральном циклотроне частота бетатронных колебаний зависит от
энергии частицы по закону  x  E m0c 2 , а  z в районе инжекции находится
вблизи нуля. Следовательно, необходимо обеспечить выполнение условия
0  z  x 2 .
ЗАДАЧИ
Задача №1. Вычислите местное возмущение в радиальном направлении
орбиты синхротрона со слабой фокусировкой, если показатель спада
магнитного поля равен 0.6. Средняя длина орбиты составляет 150 м, а
кривизна траектории в поворотных магнитах 10 м.
Задача №2. Докажите, на частицу, находящуюся внутри пучка влияние
оказывают только те частицы, которые лежат к оси ближе, чем данная.
Задача №3. Определите максимальное возможное число инжектируемых в
синхротрон со слабой фокусировкой протонов, если радиус пучка 1 см, длина
орбиты 150 м, энергия инжекции 40 МэВ. Показатель спада магнитного поля
0.73.
Задача №4. Известно, что протон с энергией 200 МэВ при своем движении в
синхротроне движется по окружности со средним радиусом 200 м.
Определите энергию частицы, импульс которой отличается на 5% от данной.
Задача №5. Оценить приращение скорости протонов за один оборот в
протонном синхротроне, если магнитное поле изменяется по линейному
закону со скоростью 2 Тл/с. Найти количество оборотов и максимально
допустимое нарастание амплитуды поперечных колебаний вследствие
резонансов, если размер вакуумной камеры 10см×15см. Считать, что
инжектируемого пучка пренебрежимо мал.