Линейные уравнения с одной переменной

Л
Ли
иннеей
йнны
ыее уур
раав
вннеенни
ияя сс о
од
днно
ой
й ппеер
реем
меенннно
ой
й
Никита Саруханов – 7й класс
Введение
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи
уравнений.
Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных,
зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над
искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению
одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с
помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре
изучаются общие свойства действий над величинами.
Понятие равенства и уравнения
Два математических выражения, соединенные знаком равенства (=),
образуют равенство. Если это числовое равенство, оно может быть
истинным или ложным.
Например: 9+16=25 - истинное равенство, а 7=8 - ложное.
Если равенство содержит величины, обозначенные буквами, то оно
может быть истинным при одних допустимых значениях, входящих в него
букв, и ложным - при других.
Если равенство является истинным при всех допустимых значениях,
входящих в него букв, оно называется тождеством.
Например: равенство
есть тождество при всех a ≠ 1.
Если же равенство, содержащее переменную величину, (которую обычно
обозначают одной из последних букв латинского алфавита, например x)
является истинным не при всех допустимых значениях этой переменной,
оно называется уравнением (с одним неизвестным).
Например: равенство 2х+1=3 является уравнением. Оно истинно лишь
при одном значении х=1.
Корнем уравнения, называется всякое значение неизвестного х, при
подстановке которого в обе части уравнения получается истинное
числовое равенство.
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что
корней нет.
Областью допустимых значений (для краткости ОДЗ) уравнения
называется множество всех значений неизвестного х, при которых
математические выражения, входящие в обе части уравнения, имеют
смысл (т.е. все те значения х, при которых можно выполнить действия,
указанные в этих выражениях).
Решая уравнение, мы применяем к нему некоторые преобразования:
упрощаем выражения, входящие в уравнение, переносим слагаемые из
одной части равенства в другую, умножаем или делим обе части
уравнения на выражение, содержащее х, возводим обе части уравнения
в степень, и т.п., т.е. так или иначе заменяем исходное уравнение другим.
Два основных свойства уравнений:
1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части равенства
в другую, сменив его знак на противоположный, то получится уравнение
равносильное исходному.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не
равное нулю число (или даже выражение, содержащее х, которое в ОДЗ
не обращается в ноль), то новое уравнение будет равносильно
исходному.
Конечно, при решении уравнений лучше всего каждый раз переходить к
равносильному. Однако это удается далеко не всегда. Если все корни
первого уравнения являются корнями второго, то второе уравнение
называется следствием первого.
Если в результате преобразований мы заменим исходное уравнение
следствием, то при решении нового уравнения мы можем получить корни,
не являющиеся корнями исходного уравнения, т.е. посторонние корни.
Однако, это не страшно, так как от посторонних корней, как правило,
можно легко избавиться с помощью проверки.
Таким образом, при решении уравнений мы должны, в первую очередь,
следить за тем, чтобы в результате преобразований исходного
уравнения не происходила потеря корней, т.е. чтобы новое уравнение
было следствием исходного или равносильно ему.
Классификация уравнений
Если выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения,
составлены лишь с помощью операций сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в целую степень, то уравнение называется
рациональным. Рациональное уравнение называется целым, или
алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее х.
К целым уравнением относятся, например, линейные и квадратные
уравнения. Если в рациональном уравнении есть деление на выражение,
содержащее х, то уравнение называется дробно-рациональным.
Линейные уравнения
Уравнением первой степени с одним неизвестным, или линейным
уравнением, называется уравнение вида ax+b=0. При a ≠ 0 оно имеет
единственное решение х=-b/a.
Алгоритм решения линейных уравнений
1) Избавиться (если это необходимо) от дробных множителей
(слагаемых), умножив обе части уравнения на наименьший общий
знаменатель всех дробей, входящих в уравнение.
2) Раскрыть скобки в каждой части уравнения (если нужно),
учитывая, что ели перед скобками стоит знак (-), то знаки
слагаемых в скобках изменятся на противоположные или.
3) Неизвестные собрать в левой части уравнения, известные в
правой части уравнения. (При переносе слагаемых из одной части
уравнения в другую знак «+» меняем на “ –“, а знак “ – “ на «+».)
4) В каждой части уравнения привести подобные слагаемые.
5)Корень уравнения (если корень есть) найти, как неизвестный
множитель (произведение разделить на известный множитель).
6)Выполнить проверку, подставив значение корня в уравнение.
Если получится верное равенство, то записать полученное
значение корня в ответ.
Пример 1. Раскрытие скобок.
Решить уравнение: -5(х + 2) = 20
Решение:
1) Раскроем скобки в левой части. Учитывая знак «-» перед скобкой, знак
внутри скобок изменится на противоположный – действительно для всех
чисел внутри скобок.
Получим следующее уравнение: -5х – 10 = 20
2) Перенесем все члены, содержащие х в левую часть равенства, а все
члены, не содержащие х, - в правую, и приведем подобные:
-5х = 20 +10
3) Приведѐм подобные слагаемые:
-5х = 30
5) Находим неизвестное значение х, разделив произведение на
известный множитель (-5):
х = 30 :(- 5)
Получим: х = - 6
6) Проверяем: -5(-6 +2) = 20. Записываем значение корня уравнения в
ответ.
Ответ: -6.
Пример 2. Перенос из одной части в другую.
Решить уравнение:
.
Решение:
1) Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель
дробей, входящих в это уравнение (число 10 является наименьшим
знаменателем, кратным числам 2 и 5). Мы получим:
10x + 5(2x - 7) - 2(3x + 1) = 50 - 5(x + 6)
2)Раскроем скобки и приведем подобные в обеих частях равенства:
14x – 37 = 20 – 5х
3)Принесем все члены, содержащие х в левую часть равенства, а все
члены, не содержащие х - в правую, и приведем подобные:
19х = 57
Последнее уравнение равносильно исходному. Его корень х=3.
4) Ответ: 3.
Пример 3. Уравнение, не имеющее корней
Решить уравнение: 2(х + 1) – 1 = 3 - (1 - 2х)
Решение:
1)Упростим обе части уравнения, раскрыв скобки:
2х + 2 – 1 = 3 – 1 + 2х
2) Перенесѐм неизвестные слагаемые влево, известные – вправо:
2х + 1 = 2 + 2х
2х - 2х = 2 – 1
0х = 1
3) Это уравнение не имеет корней, т.к. левая часть 0х равна 0 при любом
х, и, значит, не равна 1.
Действительно, чтобы найти корень уравнения, надо делить на
известный множитель, а делить на нуль нельзя!
Ответ: нет корней.
Пример 4. Уравнение с бесконечным множеством корней.
Решить уравнение: 3(1 – x) + 2 = 5 – 3x
Решение:
3 – 3х + 2 = 5 – 3х
-3х + 3х = 5 – 3 – 2
0х = 0
Это уравнение имеет бесконечное множество корней, т.к. левая часть 0х
равна 0 при любом х, и правая часть также равна 0 (а = b = 0).
Пример 5. Уравнение с несколькими корнями.
Решить уравнение: (x – 1)(x + 3) = 0
Решение:
1)Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен
нулю. Получим:
х-1=0 или х+3=0
2)Уравнение имеет два корня: x = 1 и x =- 3.
Проверим: При корне х = 1 уравнение имеет следущее решение
(1 – 1)(1 – 3) = 0
0=0
При корне х = 3 уравнение имеет следущее решение
(3 - 1)(3 – 3) = 0
0=0
Решение задач с помощью уравнений
Пример 1: Были купленны яблоки и груши на сумму 420 рублей. Сколько
килограммов яблок было купленно, если яблоки стоят 30 рублей за
килограмм, а груши – 120 рублей?
Решение:
1)Пусть х – кол-во купленных яблок, тогда кол-во купленных груш - (х + 1);
Получаем, что 30х – сумма, уплаченная за яблоки, тогда 120(х + 1) –
сумма, уплаченная за груши.
2)Составим таблицу для краткой записи условия задачи:
Величины Цена, р. Кол-во, кг Стоимость, р.
I яблоки
30
х
30х
II груши
120
х+1
120(х + 1)
На 1 кг
Всего: 420
3)Составим и решим уравнение:
30х + 120(х + 1) = 420.
4)Раскроем скобки, неизвестные собираем в левой части уравнения,
известные в правой части уравнения
30х + 120х + 120 = 420
150х + 120 = 420
150х = 420 - 120
150х = 300
х = 300 : 150
х = 2.
Ответ: было купленно 2кг яблок
Пример 2: Используя данные прошлой задачи можно поставить и другие
вопросы, например: сколько денег было заплачено за груши?
Решение:
Мы знаем, что 1 кг груш стоит 120 рублей. Пусть х – сумма, заплаченная
за груши, тогда кол-во купленных груш – (х / 120);
Также известно, что 30 рублей стоит кг яблок. Пусть ((х / 120) – 1) – колво купленных яблок (выраженное через груши), тогда уплаченная за
яблоки сумма равна: 30((х :120) - 1).
Составим таблицу
Величины Цена, р. Кол-во, кг Стоимость, р.
I яблоки
30
II груши
120
(х:120) - 1 30((х :120) - 1)
х :120
На 1 кг
х
Всего: 420
Теперь можно составить и решить уравнение:
30((х / 120) - 1) + х = 420
30х / 120 - 30 + х = 420
(х / 4) - 30 + х = 420
5х / 4 - 30 = 420
5х / 4 = 420 + 30
5х / 4 = 450
х = 360.
– открываем скобки и перемножаем
– приводим подобные слагаемые
– (5х / 4 получили из: х ¼ + х (полных 4/4))
– ((450 / 5) • 4))
Ответ: За груши заплатила 360 рублей.
Пример 3: Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего отнять 54, а к меньшему прибавить 72, то получатся равные результаты.
Чему равны эти числа?
Решение:
Пусть 4,5х – первое число, тогда х – второе число
Составим таблицу
Число I Число II
Было
4,5х
Стало 4,5х – 54
х
х + 72
Соответственно данным задачи конечные результаты равны, значит:
4,5х – 54 = х + 72 - Неизвестные собираем в левой части уравнения,
известные в правой части уравнения.
4,5х – х = 72 + 54
3,5х = 126
х= 126 : 3,5
х = 36 – число II
Значит 36 • 4,5 = 162 – число I
Ответ: I число - 162; II число - 36.
Пример 4: По шоссе идут две автомашины с одной и той же скоростью.
Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит на 10 км/ч,
то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой
скоростью идут автомашины?
Решение:
Пусть х – первоначальная скорость машин, тогда (х + 10) – скорость
первой машины, а (х – 10) – скорость второй машины.
Расстояние для первой машины можно выразить как: 2(х + 10)
Расстояние для первой машины можно выразить как: 2(х - 10)
Составим таблицу
Величины Перв. скор. Скор. по условию Время Расстояние
I машина
х
х + 10
2
2(х + 10)
II машина
х
х - 10
3
3(х – 10)
Так как по условию задачи первая машина прошла за 2 часа столько же,
сколько вторая за 3 часа, составим уравнение:
2(х + 10) = 3(х - 10)
2х + 20 = 3х – 30
2х – 3х = -30 – 20
-х = -50
х = 50
- Расскрываем скобки
- Неизвестные переносим влево, известные
вправо
- Чтобы избавиться от отрицательных знаков,
умножаем обе стороны на (-1)
- Первоначальная скорость обоих машин
Скорость первой машины = 50 + 10 = 60 км/ч
Скорость второй машины = 50 – 10 = 40 км/ч
Ответ: 60 км/ч – машина I; 40 км/ч – машина II