Уравнения высших порядков и системы уравнений 0) )( ,...`,,( = n

Лекция 2.2.14. Уравнения высших порядков и системы уравнений. Связь уравнений высшего порядка с системами
уравнений первого порядка. Нормальная форма системы уравнений первого порядка. Линейные уравнения. Свойства
линейных однородных уравнений
Уравнения высших порядков и системы уравнений
Уравнения высших порядков имеют вид:
F ( x, y, y ' ,... y
( n)
) = 0 или y
( n)
= f ( x, y, y ' ,... y
(n−1)
).
(3.1.40)
Начальные условия:
x(0)=x0; y=y0; y’=y’0…y(n-1)=y0(n-1).
(3.1.41)
Теорема существования и единственности: начальные значения определяют одно и
только одно решение, если при этих значениях функция f(х,у,у’,…у(n-1)) непрерывна и имеет
конечные производные первого порядка по у, у’, …у(n-1). Общий интеграл уравнения имеет
вид:
Φ( x, y, c1 , c 2 ...c n ) = 0 .
(3.1.42)
Одним из способов интегрирования, особенно нелинейных дифференциальных
уравнений, является метод понижения порядка, т.е. переход к равносильному уравнению
низшего порядка. Как правило, чем ниже порядок, тем проще решается уравнение.
Случаи понижения порядка будем рассматривать, для простоты, на примере,
уравнения второго порядка общего вида:
F ( x, y, y ' , y '' ) = 0 .
(3.1.43)
1. Пусть в уравнении отсутствует у:
F ( x, y ' , y '' ) = 0 .
(3.1.44)
Введя обозначение у’=Р; у’’=Р’, получим уравнение первого порядка F ( x, P, P ' ) = 0 ,
решая его относительно Р, получим P=φ(x,c1); y’= φ(x,c1);
y = ∫ ϕ ( x, c )dx + c .
1
2
2. Пусть в уравнение отсутствует х:
F ( y, y ' , y '' ) = 0 .
(3.1.45)
Обозначим у’=Р и рассмотрим Р как функцию от у; тогда
y '' =
d ( y ' ) dP dP dy
dP
.
=
=
=P
dx
dx dy dx
dy
Итак, уравнение F ( y, y ' , y '' ) = 0 приводится к виду F ( y, P, P
dP
) = 0 , т.е. к уравнению
dy
первого порядка, решая которое получим
P = ϕ( y, c1 ) ⇒
dy
dy
= dx ⇒ ∫
= x + c2 .
ϕ( y, c1 )
ϕ( y, c1 )
1
Лекция 2.2.14. Уравнения высших порядков и системы уравнений. Связь уравнений высшего порядка с системами
уравнений первого порядка. Нормальная форма системы уравнений первого порядка. Линейные уравнения. Свойства
линейных однородных уравнений
3. Пусть функция F ( x, y, y ' , y '' ) однородна относительно y, y ' , y '' , т.е.
F(x,λy,λy' , λy'' ) = λk F(x,y,y' , y'' ) .
Замена
(3.1.46)
y'
= U ( x) = U понижает порядок. Действительно:
y
y ' = Uy; y '' = U ' y + Uy ' = U ' y + UUy = (U ' + U 2 ) y.
Тогда
F ( x, y, y ' , y '' ) = F ( x, y, y ' , y (U ' + U 2 )) = 0 .
Отсюда по условию однородности при λ = y −1 =
1
имеем:
y
y y' y
F ( x, , , (U ' + U 2 )) = F ( x,1,U ,U ' + U 2 ) = 0 .
y y y
Получим уравнение первого порядка и, решая его относительно U, находим y:
dy
dy
U = ϕ ( x , c ); y ' =
= ϕ ( x, c ) y; ∫
= ∫ ϕ ( x , c ) dx + ln c ;
1
1
1
2
dx
y
ln
y
∫ ϕ ( x , c1 )dx
= ∫ ϕ ( x, c1 )dx; y = c2 e
.
c2
Связь уравнений высшего порядка с системами уравнений первого
порядка.
Обозначим: у=у1, у’=у2,…у(n-1)=уn. Тогда с учетом F ( x, y, y ' ,... y n ) = 0 , имеем:
y1' = y 2 ;
y '2 = y 3 ;
y 'n −1 = y n ;







'
F( x, y1, y 2 ,...y n , y n ) = 0.
(3.1.47)
Получим систему n уравнений первого порядка. В более общей форме эта система
имеет вид:
F ( x, y , y ,...y n , y ' , y ' ,...y 'n ) = 0; 
1
1 2
1 2


'
'
'
F ( x, y , y ,...y n , y , y ,...y n ) = 0;
2
1 2
1 2

−−−−−−−−−−−−−−−−−− 

F ( x, y , y ,...y n , y ' , y ' ,...y 'n ) = 0. 
3
1 2
1 2

(3.1.48)
2
Лекция 2.2.14. Уравнения высших порядков и системы уравнений. Связь уравнений высшего порядка с системами
уравнений первого порядка. Нормальная форма системы уравнений первого порядка. Линейные уравнения. Свойства
линейных однородных уравнений
Обратно, из данной системы можно перейти к одному уравнению n-го порядка с одной
неизвестной функцией, например y1. Решение системы имеет вид:
y = ϕ ( x, c , c ,...cn ); y = ϕ ( x, c , c ,...cn ); ... y n = ϕ n ( x, c , c ,...cn ) . (3.1.49)
1
1
1 2
2
2
1 2
1 2
Для перехода необходимо систему продифференцировать (n-1) раз и из полученных
уравнений, совместно с системой исключить
( n) ( n)
y , y ,... y n ; y ' , y ' ,... y n' ;... y ``,.. y n``,.. y ,.. y n . .
2 3
2 3
2
2
Нормальная форма системы уравнений первого порядка
Нормальная система первого порядка имеет вид:
y1' = f1 ( x, y1, y 2 ,...y n ); 

y '2 = f 2 ( x, y1, y 2 ,...y n ); 

− − − − − − − − − − − − − −

y 'n = f n ( x, y1, y 2 ,...y n ); 
(3.1.50)
Линейные уравнения
Уравнения вида:
a ( x) y
0
( n)
+ a ( x) y
1
(n−1)
+ ... + an ( x) y = f ( x)
(3.1.51)
называется, линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка.
Если f(x)=0, то линейное уравнение называется однородным.
Рассмотрим, для простоты, линейное однородное уравнение второго порядка:
z '' + P ( x) z ' + g ( x) z = 0 .
(3.1.52)
L( z ) = z '' + P ( x) z ' + g ( x) z .
(3.1.53)
Обозначим
Тогда уравнение перепишется в виде:
L( z ) = 0 .
(3.1.54)
Выражение L(z) представляет собой линейный оператор. Действительно:
L( z1 + z 2 ) = ( z1 + z 2 ) '' + P( x)( z1 + z 2 ) '' + g ( x)( z1 + z 2 ) = ( z1'' + P( x) z1' + g ( x) z1 ) +
+ ( z 2'' + P( x) z 2' + g ( x) z 2 ) = L( z1 ) + L( z 2 ).
Аналогично получим: L(cz ) = cL( z ) .
3
Лекция 2.2.14. Уравнения высших порядков и системы уравнений. Связь уравнений высшего порядка с системами
уравнений первого порядка. Нормальная форма системы уравнений первого порядка. Линейные уравнения. Свойства
линейных однородных уравнений
Свойства линейных однородных уравнений
1
Сумма решений будет решением того же уравнения.
Пусть z1 и z2 – два таких решения, т.е. L(z1)=0 и L(z2)=0. Тогда
L(z1+z2)=L(z1)+ L(z2)=0, т.е. z1+z2- так же решение.
2
Если решение уравнения помножить на константу, то получится решение того же
уравнения.
Пусть z- решение, т.е. L(z)=0. Но L(cz)=cL(z)=0, т.е. cz- тоже решение.
Объединив эти свойства получим, что линейная комбинация решений линейного
однородного уравнения будет так же решением того же уравнения, т.е. если z1(x) и z2(x)решение, то и z=c1z1(x)+c2z2(x)- тоже будет решением.
3 Тождественно нулевая функция удовлетворяет линейному однородному уравнению.
4
Если известно ненулевое решение выше указанного уравнения, то его порядок можно
понизить на единицу.
Действительно, пусть z1(x)- решение, сделаем замену z=z1. И, где U=U(x) - новая
неизвестная функция. Получим:
(z1'' U + 2z1' U ' + z1 U '' ) + P(z1' U + z1 U ' ) + gz1 U = 0 ;
т.е.
z1 U '' + (2z1' + Pz 1 ) U ' + (z1'' + Pz 1' + gz1 ) U = 0 ;
но L(z1)=0, тогда:
z1U '' + (2 z1' + Pz1 )U ' = 0 .
Замена U’=V, дает: z1V ' + (2 z1' + Pz1 )V = 0 .
Отсюда:
2 z ' + Pz1
dV
=− 1
dx1 ;
V
z1
c ∫ P( x )dx
e
ln | V |= −2 ln | z1 | − ∫ P( x )dx + ln c 2 ; V = 22 e
⇒ U = c2 ∫
z1
z = c1 z 1 + c 2 z 1 ∫
e
∫ P( x )dx
z12
∫ P( x )dx
z12
dx + c1 ;
dx + c1 ;
Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:
z=c1z1+c2z2.
Где с1,с2- произвольные постоянные, z1,z2- два частных решения этого уравнения.
Здесь в качестве z1, z2 могут быть взяты только два линейно независимых решения, а не
любая пара решений.
4
Лекция 2.2.14. Уравнения высших порядков и системы уравнений. Связь уравнений высшего порядка с системами
уравнений первого порядка. Нормальная форма системы уравнений первого порядка. Линейные уравнения. Свойства
линейных однородных уравнений
Несколько функций называются линейно независимыми друг от друга, если одна из
них является линейной комбинацией остальных. В частности z1 и z2 зависимы линейно, если
z2(x)=cz1(x). В этом случае общее решение имеет вид:
z = c1 z1 + c 2 z 2 = c1 z1 + cc 2 z1 = (c1 + c 2 c)z1 = bz1 ( x ) ,
где b- произвольная постоянная. Итак в этом случае получается по сути дела одно
решение.
Все выше сказанное справедливо и для уравнения:
z ( n ) + P( x) z ( n −1) + ... + s ( x) z = 0 ,
(1.1.55)
только для него общее решение будет иметь вид:
z = c1 z1 ( x) + c 2 z 2 ( x) + ... + c n z n ( x) ,
(1.1.56)
где с1,…сn- произвольные постоянные, z1(x),…zn(x)- какие-либо линейно независимые
решения уравнения (1.1.55).
Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного уравнения nого порядка называется фундаментальной системой решений. Итак, общее решение
линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений из фундаментальной
системы с произвольными коэффициентами. Или по другому- совокупность всех решений
данного уравнения образует n-мерное линейное пространство; фундаментальная система
решений это базис в этом пространстве.
Пример: у’’+12у=7у’.
Решение:
y ' = P; y '' = P
U=
dP
dP
dP
y
; P
+ 12 y = 7 P;
= 7 − 12 ;
dy
dy
dy
P
P
dP
dU
12
; P = Uy;
= U y' y + U ;
y = 7 − −U;
y
dy
dy
U
dU
dy
= ;
12
y
7 − −U
U
∫
UdU
= ln | y | + ln c .
− U + 7U − 12
2
Интегрируя найдем U затем P=Uy и решая y’=P найдем y=f(x,c1,c2). Такой подход
приводит к большой затрате времени. Решение таких уравнений проводится другим
методом, о котором будет сказано ниже.
5