Тема 2. Момент инерции. Сохранение момента импульса. П.1. Момент инерции тела П.2.Моменты инерции некоторых тел. П.3.Теорема Штейнера. П.4.Закон сохранения момента импульса. П.5.Примеры использования законов сохранения момента импу 1 П.1. Момент инерции тела Проблема: Как вычислять характеристику инертных свойств при вращательном движении – момент инерции АТТ? Известно: Для одной МТ: I i=mi r 2i . N Тело есть СМТ, для которой: I =∑ I i =∑ mi r 2i . i=1 Для тела макроскопических размеров удобно использовать другую модель - «сплошная среда» - и представлять это тело в качестве совокупности физически малых объемов dV. ТЕСТ 2 dV V V =∑ d V , V =∫ dV dm ρ= . V V dV dm = ρ⋅dV – элементарная масса (масса элементарного т.е. физически малого объема). Плотность есть отношение элементарной массы к величине элементарного объема, в котором эта масса содержится. Замечание 1. Физически малый объем не бесконечно мал, он мал физически. Он мал настолько, что внутри объема можно считать плотность вещества неизменной (ρ = const), но не слишком мал, в нем должно быть очень много атомов. Замечание 2. При вращении АТТ все точки элементарного объема должны двигаться по окружностям одного радиуса. 3 Элементарный момент инерции равен массе элементарного объема, умноженной на квадрат радиуса окружности, по которой движется элемент. dI = dm⋅r2. Для тела I =∫ ρr2 dV - формула расчета момента инерции тела. V 4 П.2.Моменты инерции некоторых тел. Задача 1. Найти момент инерции тонкого однородного стержня с осью, проходящей через его конец, причем ось ⊥ стержню. Длина стержня – L, масса – m, плотность ρ=const . r dr r L Т.к. ρ = const, то dV = S dr, m m ρ= = . V SL 5 dr S dV dm dm = ρ dV. Вычисляем: L L 3 r I =∫ dI =∫ dm⋅r 2=∫ ρ Sdr⋅r 2 = ρS ∫ r 2 dr= ρS ∣0L= 3 V V 0 0 L3 03 L3 = ρS − = ρS ⇒ 3 3 3 mL I= 3 2 - ответ. 6 Задача 2. Найти момент инерции однородного обруча (тонкого кольца) массы m, радиуса R. Вид сверху h R ∆R Ширина кольца ∆R << R . Элементарный объем есть объем кольца (все его элементы движутся по окружностям одного и того же радиуса): dV = VКОЛЬЦА , dm = mКОЛЬЦА , r = R , I = mКОЛЬЦАR² - ответ. 7 Задача 3. Найти момент инерции однородного цилиндра (диска) массы m , радиуса R. Плотность ρ=const. dr Элементарный объем – кольцо. Развернем этот объем: r R dr dV = 2πr⋅hdr. R R h L = 2πr R I =∫ ρdV r 2 = ρ∫ dV r 2 = ρ∫ 2πr⋅hdr r 2 0 0 0 8 R 4 4 r R = ρ2πh∫ r 3 dr =2 πρ h ∣0R=2πhρ . 4 4 0 Учтем, что m m ρ= = 2 , V πR h тогда mR I= 2 2 - ответ. Задача 4. Найти момент инерции однородной трубы массы m с внешним радиусом R1 и внутренним – R2. R1 R1 2 I =∫R ρ⋅dV r =2πhρ∫R r dr = 2πhρ 2 3 2 m m ρ= = , тогда Учтем, что 2 2 V πh R −R 1 ТЕСТ 2 ТЕСТ R41 4 − R42 4 4 . 4 m R1 −R2 I= 2 R12−R22 9 - ответ. П.3.Теорема Штейнера. Проблема: Как связаны моменты инерции относительно разных осей вращения? Пусть ось ОО проходит через центр инерции, O’ O d а ось О`О` сдвинута на расстояние d. С• h i d R i С’ • Обозначим I0 момент инерции тела при его вращении вокруг этой оси. Тогда 2 R'i •mi I 0=∑ mi Ri . • r i ц.и. O d ⊥ hi . O’ Найдем момент инерции тела I` при его вращении вокруг оси О’О’ , сдвинутой на d. ' ' 2 2 Ri = d Ri , Ri = R i d . 10 ' 2 2 2 I =∑ m i Ri =∑ m i Ri ∑ 2 d⋅m i Ri d ∑ m i . ' r −d⋅ r ⇒ d⋅ Ri =d r i− hi =d⋅ hi = d⋅ i i =0, т. к . d ⊥ hi ∑ 2 d⋅mi Ri =2 d ∑ mi r i =2 d⋅m R Ц . И .=0 , т . к . R Ц . И .=0 Окончательно I ' =I 0d 2 m - теорема Штейнера. ТЕСТ 11 Задача: Найти момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр инерции. 2 ' mL . Известно: I = O 3 O’ d L По теореме Штейнера: · ' 2 I =I 0d ⋅m . O’ L Т.к. d = , 2 O 2 2 mL L mL 2 I = I −d m= − m= то 0 3 4 12 ' ТЕСТ 12 2 - ответ. Задача 2. Найти момент инерции диска относительно оси, параллельной оси симметрии и отстоящей от нее на некоторую часть радиуса: d = kR. 2 mR . Известно: I 0= O d = kR O’ 2 O O’ 2 mR 1 2 2 2 I =I 0d m= k R m= k 2 mR2 2 2 ' ТЕСТ - ответ. 13 П.4.Закон сохранения момента импульса. d L = M сум dt - динамическое уравнение для момента импульса (вращательного движения АТТ). Здесь =[ r ; F ] M сум сум Закон сохранения момента импульса: Момент импульса сохраняется, если сумма моментов всех внешних сил равна 0. ∑ M = M M . . . . .=0 . i ТЕСТ 1 2 ТЕСТ 14 Частный случай Проекция на Z: LZ сохраняется (LZ=const), если ∑(Mi)Z= 0. Проекция момента импульса тела на некоторую ось сохраняется, если равна нулю сумма проекций на эту ось моментов всех сил. *СРС ½ стр. Найти скорость поступательного и вращательного движения изначально покоящейся гантели, с которой упруго сталкивается шар, движущийся со скоростью V0 и имеющий ту же массу, что и один шар гантели. V 0 m V m ТЕСТ ω m 15 П.5.Примеры использования законов сохранения момента импульса. Задача 1. На закрепленной оси вращается с угловой скоростью ω1 диск, имеющий момент инерции I1. По оси без трения скользит шайба, имеющая момент инерции I2. Найти угловую скорость ω, после того, как шайба прилипнет к диску. Объекты: диск, с закрепленный осью I1 I2 (АТТ), шайба (АТТ). ω ω1 X Процесс: столкновения шайбы с диском (модель – абсолютно неупругий удар). Окружение – гравитационное поле Земли (однородное) и подшипники (идеальные, без трения). 16 Выбор основных законов: Используем закон сохранения проекции момента импульса для оси Х: LX= const, т.к. MX= 0. ДО ДО ПОСЛЕ L1Х L2Х =L1Х Для данной задачи: отсюда ω=ω1 I1 I 1I 2 ПОСЛЕ L2Х I 1 ω1 0=I 1 ωI 2 ω , - ответ в общем виде. ВЫВОД: Угловая скорость вращения уменьшится и часть кинетической энергии выделится в виде тепла. ТЕСТ 17 Задача 2. Человек массы mЧ стоит на краю неподвижной платформы радиуса R и массы mП, которая имеет форму диска и может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Человек ловит мяч массы mМ, летящий горизонтально со скоростью vМ , перпендикулярно оси диска (платформы) по касательной. Найти ω системы после задержания мяча. Объекты: m О Ч mM 1) Платформа – АТТ, 2) Мяч – МТ. V M mП Процесс: человек ловит мяч (абсолютно неупругий R удар). О Окружение: гравитационное поле Земли (однородное) и подшипник, который удерживает ось платформы18(идеальный). ДО ПОСЛЕ Z ω mП • r M R mM • mЧ mM+mЧ V M 19 Выбор основных законов: ДО ПОСЛЕ закон сохранения проекции момента импульса L Z =L Z 2 i , определение Li =[ r i ; p i ]=I i ω I ДИС = m ДИС R ДИС 2 . до до после после после Для нашей задачи: Lдо L L =L L L 1Z 2Z 3Z 1Z 2Z 3Z || || || || || || [ r м ; p м ] + 0 + 0 = I1ω + I2ω + I3ω 2 2 r ; p =m r ; v =ω⋅ m R m R [ М М ] м[ М М ] М Ч m П R2 2 20 =mRv M . . После вычислений получаем ответ ω= mМ v М R m М mЧ mП 2 . ТЕСТ 21