Основные формулы и примеры решения задач

ГЛАВА
9
Электростатика
Основные законы и формулы
Закон сохранения электрического заряда в замкнутой сис­
•
теме
~Qi
= const.
t
Закон Кулона
•
F = _1_
4пе 0
IQ1llQ2I
(в вакууме),
2
r
1
F = -4ттЕ 0
er 2
(в среде)
сила взаимодействия двух точечных зарядов
[F -
расстояние между зарядами; Ео =
r -
IQ1llQ2I
рическая постоянная; Е
-
8,85 ·
10- 12 Ф/м
Q 1 и Q2 ;
- элект­
диэлектрическая проницаемость сре­
ды].
Напряженность электростатического поля
•
~
Е= Е_
Qo
---->
[F ряд Q 0 ,
помещенный в данную точку поля].
Напряженность электростатического поля точечного заряда
•
Q
сила, действующая на точечный положительный за-
на расстоянии
E=-1_Q
4пе 0 r2
•
заряда
•
Принцип суперпозиции электростатических полей
__,
Е=
п
~
1: Е.l
i= 1
напряженность поля, создаваемого зарядом
[Ei -
•
r от
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной
бесконечной плоскостью,
(J
Е=-
2е0 ·
122
QJ.
•
Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными па­
раллельными разноименно заряженными плоскостями,
cr
Е=
•
-.
Ео
Плотность зарядов линейная,
поверхностная и объемная,
т. е. заряд, приходящийся соответственно на единицу длины,
поверхности и объема:
р=
•
dv·
Потенциальная энергия заряда
r от
стоянии
W
п
•
dQ
Q0
в поле заряда
Q
на рас­
него
= _1_ QQo
4nE 0
r ·
Потенциал электростатического поля
[W п
заряда
потенциальная энергия
-
Q0 ;
А 00
-
пробного положительного
работа по перемещению единичного положи­
тельного заряда при удалении его из данной точки в бесконеч­
ность].
•
Потенциал электростатического поля точечного заряда на
расстоянии
1
<р = 41tEo
•
r
от заряда
Q
r•
Работа, совершаемая силами электростатического поля при
перемещении заряда
•
Q0
из точки
1в
точку
2,
Разность потенциалов между двумя точками
1
и
2
электро­
статического поля
123
•
Принцип
суперпозиции
(наложения)
электростатических
полей
п
<р =1:
i
=
<р
i
потенциал поля, создаваемого зарядом
[<pi -
•
1
QJ.
Электроемкость уединенного проводника
С=~
<р
заряд, сообщенный проводнику; <р
[Q -
потенциал про­
-
водника].
•
Электроемкость шара радиусом
R
С= 4rtE 0 ER.
•
Электроемкость конденсатора
Q
-
С=-­
<р1
заряд,
[Q (<р 1 -<р 2 ) -
•
<р2
накопленный
на
обкладках
конденсатора;
разность потенциалов между обкладками].
Электроемкость плоского конденсатора
E0 ES
С=~
площадь каждой пластины конденсатора;
[S -
d -
рас­
стояние между пластинами].
•
Электроемкость системы конденсаторов соответственно при
последовательном и параллельном соединении
1
1
п
- = L
с
i=1
ci
п
и
С=
L с.
i=1
l
электроемкость i-го конденсатора; п
[Ci -
-
число конден­
саторов].
•
Энергия уединенного заряженного проводника
_
С<р2
_ Q<p _ Q2
w-2-2•
2с·
Энергия заряженного конденсатора
W = С(Л<р)2 = QЛ<р = Q2
2
2
2С
124
[Q -
заряд конденсатора; С
его электроемкость; Лq>
-
-
разность потенциалов между обкладками].
•
Энергия электростатического поля плоского конденсатора
E0 ES И 2
Е 0 ЕЕ
W= -2-Sd=
2
[S -
2d
Е 0 ЕЕ 2
-2-V
=
площадь одной пластины; И - разность потенциалов
V = Sd - объем конденсатора].
между пластинами;
•
Объемная плотность энергии электростатического поля
Е 0 ЕЕ 2
w= -2-·
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
D Два одинаковых шарика одинаковой массы и заряда, подве­
шенные на нитях равной длины, опускают в трансформаторное
масло, плотность которого р
проницаемость е =
2,2.
= 0,94
г/см 3 и диэлектрическая
Определите плотность р 1 материала ша­
риков, если углы расхождения нитей в воздухе и в масле оказа­
лись одинаковыми.
= 0,94 г/см 3 =
= 0,94 · 103 кг;мз
t
= 2,2
l1 = l2 = l
а = а =а
1
2
р
Решение. До
погружения
в
жидкий
диэлектрик, т. е. в воздухе, на каждый
шарик (рис. 69, а) действуют сила тя­
жести тg, кулоновская сила F и сила
натяжения нити Т. При равновесии шариков
Р1-?
тg+F+ т= о.
После погружения в жидкий диэлектрик (в трансформатор­
ное масло) на каждый шарик (рис.
69,
б) действует сила тяжес-
1
а
Q
1
т
а
r
Q
1
r
Q
тg
Рис.
69
125
~,
---)>
ти тg, кулонов~кая сила
F,
-+
выталкивающая сила
FА
и сила на-
тяжения нити Т 1 • При равновесии шариков
тg + F' + Fл + 'i\ =О.
Кулоновская сила отталкивания шариков в воздухе (из тре­
угольника на рис.
69,
а)
F=
тgtga;
(1)
кулоновская сила в диэлектрике
F'
=
(mg- F л) tg а
(2)
(учли выталкивающую (архимедову) силу). В диэлектрике ку­
лоновская сила уменьшается в Е
1
раз, так что
F' = !_.
(3)
Е
Тогда
F
Е
Поделив выражение
(4)
!
Е
=(mg-Fл)tga.
на выражение
(1),
= mg - F А = 1 _ F А
тg
(4)
получим
•
(5)
тg
Согласно закону Архимеда,
FA = pVg,
где р
g р1 -
-
плотность жидкого диэлектрика,
V -
p1V,
где
плотность материала шарика. Подставив последние два
выражения в формулу
(5),
получим
! =1-_е_
Е
Р1'
откуда искомая плотность материала шарика
~
~
Ответ: р 1 =1,72 г/см 3 •
126
объем шарика,
ускорение свободного падения. Масса шарика т =
fJ Электростатическое поле создается двумя бесконечными па­
раллельными
именными
=4
мкКл/м
плоскостями,
зарядами
2
и
с
заряженными
поверхностными
равномерно
одно­
плотностями
cr 1 =
cr2 = 1 мкКл/м • Определите напряженность
1) между плоскостями; 2) за преде­
2
электростатического поля:
лами плоскостей.
cr 1 = 4 мкКл/м 2 = 4 • 10-6 Кл/м2
cr2 = 1 мкКл/м 2 = 10-6 Кл/м2
Е
-?
Решение. Согласно
принци­
пу суперпозиции,
Ё = Ё1 + Ё2,
причем
каждая
из
(1)
заряжен-
ных плоскостей создает электростатическое поле независимо от
наличия другой заряженной плоскости (рис.
Напряженность
электростатического
70).
поля,
создаваемого
каждой из бесконечных плоскостей в вакууме:
(2)
Между плоскостями линии вектора напряженности направ­
лены
в
противоположные
стороны,
следовательно,
суммарная
напряженность поля равна разности напряженностей полей,
создаваемых первой и второй плоскостями:
Е=Е1-Е2=
0'1 - 02
2
Ео
'
В пространстве за пределами плоскос­
тей
линии
вектора
направлены,
напряженности
следовательно,
со­
суммарная
напряженность поля равна сумме напря­
женностей
полей,
создаваемых
и второй плоскостями:
(j2
(jl--->
Ei
Е1
J....., -
.El
_..__ -.Е 2
-~
_....,,., -
_..__ -
-~
_...,..
-
_..__
-
_...... -
_..__
-
--.-
...,..._
-
.Е-~
2
первой
и
-~
-
_..
Рис.
70
127
(векторы Е за пределами плоскостей направлены в разные сто­
роны).
Кл/м 2
Н
[ Е] = Кл 2 / ( Н • м 2 )
Ответ:
1) Е = 169
кН/Кл;
-
Кл .
+ 282 кН/Кл.
2) Е =
IJ Две параллельные пластины площадью S
находящиеся
Q = 70
в
воздухе,
заряжены
= 100 см 2 каждая,
разноименными
чтобы раздвинуть пластины на расстояние Лх
Решение. Для
S = 100 см 2 = 10-2 м2
Q = 70 нКл = 7 • 10-8 Кл
Лх = 0,1мм=10- 4 м
=
О, 1 мм.
раздвижения
плас­
тин на расстояние Лх следует совер­
шить работу
А-?
А=FЛх,
(1)
F=QE,
(2)
где сила
-
заряд одной пластины, Е
Q -
зарядами
нКл. Определите работу А, которую следует совершить,
напряженность электростати­
ческого поля, создаваемого одной из пластин. Имеем
E=~=_!L
2Ео
где а = ~
(3)
2EoS'
поверхностная плотность заряда.
-
Подставив формулы
(2)
и
(3)
в выражение
(1),
найдем иско­
мую работу
Q2
2e 0 S
А=-- Лх
[А]
Ответ: А=
IJ Три
Q2 = 3
в
2, 77
-
Кл 2 ·м
Кл 2 / ( Н
• м2) • м2
= Н
·м
мкДж.
точечных заряда Q 1 = 2 нКл,
Q 3 = -4 нКл расположены
нКл и
вершинах
равностороннего
ка со стороной а
= 10 см
(рис.
128
а
а
треугольни­
71).
Опреде­
лите потенциальную энергию этой систе­
мы.
=Дж.
Q1---~~a~~~ Qз
Рис.
71
Решение. Потенциальная энергия
Q 1 = 2 нКл = 2 • 10-9 Кл
Q 2 = 3 нКл = 3 • 10-9 Кл
Q3 = -4 нКл = -4·1О- 9 Кл
а= 10 см= 0,1 м
системы зарядов равна алгебраи­
ческой сумме энергий взаимодей­
ствия каждой из взаимодействую­
щих пар зарядов, т. е.
wп = wп12
U-?
+ wп13 + wп23'
(1)
где потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в
поле
другого
заряда
на
расстоянии
а
от
него,
соответственно
равны
W
п12
=
_1_ Q1Q2
41tEo -а-
;
W
1 Q1Q3
п13 = 47tEo -а-
W
;
п23
= _1_ • Q2QЗ
47tEo
а
(2)
Подставив формулы
(2)
в выражение
(1),
найдем искомую
потенциальную энергию системы зарядов
Кл 2
[Wп] = Кл2/(Н•м2)·м =Н•м=Дж.
Ответ: Wп
= -1,26
мкДж.
И Батарея из трех последовательно соединенных конденсато­
ров С 1 = 1 мкФ; С 2 = 2 мкФ и С 3 = 4 мкФ подсоединена к источ­
нику ЭДС. Заряд батареи конденсаторов Q = 40 мкКл. Опреде­
лите: 1) напряжения U 1 , U 2 и U 3 на каждом конденсаторе;
2) ЭДС
источника;
3) электроемкость батареи
Решение. При
С 1 =1мкФ=10- 6 Ф
С2
всех обкладок равны по модулю,
С 3 =4мкФ=4•1О- 6 Ф
поэтому
40мкКл=4·1О- 5 Кл
И1-?И2-?Из-?
€-?
с-?
последовательном
соединении конденсаторов заряды
= 2 мкФ = 2 • 1 о- 6 Ф
Q=
конденсаторов.
Ql = Q2 = Q.
Напряжения на конденсаторах
U 1 -_Q.
С1'
u-Q·
2 -
С2'
u-Q
з - Сз.
ЭДС источника равна сумме напряжений каждого из после­
довательно соединенных конденсаторов
S=U 1 +U 2 +U3 •
9 - 7165
129
При последовательном соединении суммируются величины,
обратные электроемкостям каждого из конденсаторов:
!С =_!_
+_!_ +_!_
С
С
С •
1
3
2
Таким образом, искомая электроемкость батареи конденса­
торов
Ответ:
3) С=
1)
0,571
U 1 =40B;
U 2 =20B;
2)
U 3 =10B;
6=70В;
мкФ.
mк пластинам плоского воздушного конденсатора приложена
разность потенциалов И 1
тора S
= 200
= 500
В. Площадь пластин конденса­
см 2 , расстояние между ними d 1
ны раздвинули до расстояния
d 2 = 15
= 1,5
мм. Пласти­
мм. Определите энергию
1 и W 2 конденсатора до и после раздвижения пластин, если
источник напряжения до раздвижения: 1) отключался; 2) не от­
W
ключался.
Решение.
И1
= 500 В
S = 200 см 2 = 2 • 10-2 м2
d 1 = 1, 5 мм = 1, 5 • 1 о-з м
d2 = 15 мм= 1,5. 10- 2 м
1)
Заряд
пластин
кон­
денсатора, отключенного от
точника
напряжения,
при
ис­
их
раздвижении не меняется, т. е.
Q 1 = Q 2 = Q = const.
l)W1 - ? W 2 -?
2)W1 - ? W 2 -?
Электроемкость
конденсатора
(1)
и
напряжение на нем соответственно
с учетом
(1):
до раздвижения пластин
E0 ES
с1 = -;г-;
(2)
1
после раздвижения пластин
(3)
Энергия заряженного конденсатора
W=cu2
2
130
'
(4)
откуда, учитывая формулу для С 1 , получаем
2
2
С i Иi
Eof.S И i
W1 = -2- =
Разделив почленно
(2)
на
(3),
И1
2d1
найдем
d2
И2 = di'
откуда
(5)
Тогда
[ W]-
2)
Кл 2 / ( Н • м 2 )
м2
•
м 2 • м • В 2 - Кл 2 • м • В 2 - (Дж) 2 • м
-
Н
• м2
-
Дж
•м
-Дж
-
·
Разность потенциалов на пластинах конденсатора, не от-
ключенного
от
источника
напряжения, остается постоян­
ной, т. е.
И1
=U 2 =U=const.
Подставив в формулу
и учитывая
(6),
(4)
(6)
выражения для С 1 и С 2 из
(2)
и
(3)
найдем искомые энергии
•
1) W 1 = 14,8
W 2 = 1,48 мкДж.
Ответ:
9•
мкДж;
W 2 = 148
мкДж;
2) W 1 = 14,8 мкДж;
131
fJ Плоский
=4
воздушный конденсатор электроемкостью С 1 =
пФ заряжен до разности потенциалов И 1 =
ключения
конденсатора от
500
В. После от­
источника напряжения
расстояние
между обкладками конденсатора увеличили в три раза. Опреде­
лите:
1)
разность потенциалов И 2 на обкладках конденсатора
после их раздвижения;
2)
работу внешних сил по раздвижению
пластин.
С1
= 4 пФ= 4 • 10- 12 Ф
И 1 = 500 В
d2 = 3dl
1)
И2 -
2)А
Решение. Заряд обкладок конденсато­
ра после отключения от источника на­
пряжения не меняется, т. е.
Q = const.
Поэтому
?
?
-
(1)
где С 2 и И 2 соответственно электро­
емкость и разность потенциалов на обкладках конденсатора
после их раздвижения.
Учитывая, что электроемкость плоского конденсатора С
=
e0 eS
~,из формулы
(1) получим
=
искомую разность потенциалов
(2)
После отключения конденсатора от источника напряжения
систему двух заряженных обкладок можно рассматривать как
замкнутую, для которой выполняется закон сохранения энер­
гии: работа А внешних сил равна изменению энергии системы
(3)
где
W1
и
W
2 -
соответственно энергия поля конденсатора в на­
чальном и конечном состоянии.
Учитывая, что
лы
(3)
W1 =
Q2
2 1
С
и
W
=
Q2
2С2
(Q = const),
из форму-
получим искомую работу внешних сил
2
2
Q2
Q2
С 1И1
A=W2-W1 = 2С2 - 2С1 = -2[учли, что
132
2
Q=
С 1 И 1 и формулу
2
(
1
С2
(2)].
- Cl1)
=
С ~2И 1 (ИИ21 -
1)
J
Кл
[А] = Ф • В 2 = В
Ответ:
1)
И2
= 1,5
кВ; 2)А
·В
2
= Кл· В =Дж.
= 1 мДж.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
3.1.
Два маленьких шарика с зарядами Q 1
=
1 мКл и Q 2 =
= 9 мКл соответственно находятся в вакууме на расстоянии
r = 30 см. Шарики привели в соприкосновение. Определите, на
какое расстояние r 1 следует их развести, чтобы сила взаимодействия между шариками оказалась такой же.
[r 1 = 0,5 м]
Два одинаковых шарика массой т
3.2.
= 100 г
каждый, со­
прикасаясь между собой, подвешены в вакууме на нитях дли­
= 80 см.
шарики, если им сообщить заряд
r, на которое разойдутся
Q = 5 нКл. Угол отклонения
нити принять малым.
мм]
ной
l
F
=
[r = 30
3.4.
[r = 4,51
Два точечных заряда
3.3.
дящихся
лой
Определите расстояние
в
0,1
вакууме,
Н.
Q 1 = 1 мкКл и Q 2 = 3 мкКл, нахо­
взаимодействуют друг с другом с си­
Определите
расстояние
зарядами.
см]
Два маленьких шарика с одинаковым по модулю заря­
дом находятся на расстоянии
r
модействуют в вакууме с силой
ло
N нескомпенсированных
[N = 2,33 • 1013]
3.5.
между
=
F
50 см друг
= 50 мкН.
от друга и взаи­
Определите чис­
зарядов на каждом из шариков.
Два точечных заряда отталкиваются друг от друга
5) с силой F 1 =
отталкивания этих зарядов в ке­
в масле (диэлектрическая проницаемость е 1 =
100 мН.
росине (е 2
=
Определите силу
=
2),
F2
если они находятся на расстоянии, в три раза
меньшем, чем в масле.
[F 2 = 2,25
И]
3.б. Два одинаковых шарика массой т
=
100 г каждый на­
ходятся в вакууме на некотором расстоянии друг от друга. Оп­
ределите, какие одинаковые заряды следует сообщить шари­
кам, чтобы их взаимодействие уравновешивало силы тяготения.
[Q = 8,61
пКл]
133