НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ФРАГМЕНТАЦИИ ХРУПКИХ МАТЕРИАЛОВ В УСЛОВИЯХ САМОПОДОБИЯ Ю. П. Вирченко (Белгород, Россия ) Рассматривается система, состоящая из большого набора твердотельных фрагментов, которые имеют случайную форму и размер. Число фрагментов в каждый момент времени t случайно и его среднее значение определяется функцией N (t). В рамках подхода А.Н.Колмогорова, состояние каждого из фрагментов в каждый момент времени, описывается одним параметром r – "обобщенным размером". Состояние же всей системы в целом описывается плотностью g(r, t) распределения числа фрагментов по размерам. Изменение со временем плотности g(r, t) подчинено кинетическому уравнению Z∞ ġ(r, t) = K(r, r0 ; t)g(r0 , t)dr0 − µ(r, t)g(r, t) ≡ L[g](r, t) , r Zr где µ(r, t) = r−3 r03 K(r0 , r; t)dr0 . Это связь обеспечивает сохранение в среднем полного 0 объема всех фрагментов. Изучается автономный режим эволюции с самоподобным законом дробления K(r, r0 ; t) = γ(t)K(r/r0 )r0β−1 , β > 0, когда возможен переход к эффективной шкале времени ds = γ(t)dt. ∞ Z ∂ g(r, s) = rβ K(x−1 )xβ−1 g(xr, s)dx − µg(r, s) , ∂s 1 где β = 0 соответствует масштабно инвариантному дроблению, рассмотренному Колмогоровым. Вводится плотность распределения f (r, s) = g(r, s)/N (s) "вероятностей". Уравнение для этой плотности ∂ f (r, s) = (L[f ])(r, s) − f (r, s) ∂s Z∞ (L[f ])(r0 , s)dr0 0 уже не является линейным, в отличие теории А.Н. Колмогорова, и, поэтому, определяемое ею распределение вероятностей не соответствует марковскому процессу. Плотность обладает финальным поведением при s → ∞, которое имеет вид f (r, s) = ρ−1 (s)h(ρ−1 (s)r, s) , Z∞ где ρ(s) = rf (r, s)dr – средний размер фрагментов и плотность h(x, s) удовлетворяет 0 при s → ∞ уравнению ∂ h(x, s) + κ[xh(x, s)]0 = (L[h])(x, T ) − γh(x, s) , ∂s 33 (1) где постоянные κ, γ > 0 определяют тип асимптотики и при этом ρ(s) = (1 + βκs)−1/β . С помощью преобразования Меллина Z∞ xz−1 h(x, s)dx , M (z, s) = 0 которое подчиняется уравнению ∂ M (z, s) + [γ + κ(1 − z)]M (z, s) = M (z + β, s)(R(z) − µ) , ∂s Z∞ R(z) = K(y −1 )y −(z+1) dy 1 исследуются неподвижные точки уравнения (1), когда имеет место [γ + κ(1 − z)]M (z) = M (z + β)(R(z) − µ) , M (0) = 1 . Они определяют предельные плотности распределения h(x). Необходимым условием существования решений является равенство γ = 3κ. В случае степенного закона дробления K(x) = Kxσ , K, σ > 0, определены все решения этого уравнения · ¸1/β κβ(4 + σ) z−1 Γ ((z + σ)/β) , ν= , M (z) = ν Γ((1 + σ)/β) K ¡ ¢ h(x) = β[νΓ((1 + σ)/β)]−1 (x/ν)σ exp −(x/ν)β , представляющие неколмогоровские финальные законы распределения. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА РАДИАЦИОННО-КОНДУКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА В ПОЛУПРОЗРАЧНОМ ДИЭЛЕКТРИКЕ Ю. П. Вирченко, М. А. Сапрыкин (Белгород, Россия ) Рассматривается одномерная задача об изменении со временем распределения температуры T (x, t) в ограниченном образце с учетом радиационно-кондуктивного теплообмена. Эволюция T (x, t) описывается уравнением теплопроводности ∂P ∂ 2T − , ∂x2 ∂x где P (x, t) – поток энергии излучения, переносящего тепло. Решается задача о вычислении потока P (x, t), определяемого в виде √ µε P (x, t) = 2 ([E(x, t), H(x, t)])x , c где ε, µ – соответственно, электрическая и магнитная восприимчивость среды, E(x, t), H(x, t) – электрическая и магнитная составляющие излучения, которое переносит тепло. Поля E(x, t) и H(x, t) считаются стохастическими. Они подчинены уравнениям Максвелла в среде, Ṫ (x, t) = a2 4π ε j(x, t), rot H = Ė + γE + c c 34 µ rot E = − Ḣ, c (1)