210 8. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìàòðèâàåìûå â ïðîñòðàíñòâå, ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà F (x, y ) = 0 , óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåò çàäàíî óðàâíåíèåì F (x, y, z ) = 0 , (8.1) ãäå F (x, y, z ) - íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè îò x, y, z . Èç-çà îòñóòñòâèÿ âðåìåíè ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü êðàòêèì îïèñàíèåì âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà. Íà÷í¸ì èçó÷åíèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íàèáîëåå ïðîñòîãî ñëó÷àÿ, êîãäà óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè (8.1) íå ñîäåðæèò îäíîé èç êîîðäèíàò, ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ýòî áóäåò êîîðäèíàòà z . Äîãîâîðèìñÿ, î òîì, ÷òî â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÏÑÊ). 8.1. Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè Èòàê, ìû ðàññìàòðèâàåì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà (8.1) F (x, y, z ) = 0 , êîãäà ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8.1) íå çàâèñèò îò z .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (8.1) ïðèíèìàåò âèä (8.2) F (x, y ) = 0 . Ïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà M 0 (x0 , y0 , z0 ) ïðèíàäëåæèò ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ïîâåðõíîñòè (8.2). Î÷åâèäíî, ÷òî âñå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè x0 , y0 , z ïðè ëþáûõ z òîæå ïðèíàäëåæàò ïîâåðõíîñ- òè (8.2). Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî âñå òî÷êè âèäà x0 , y0 , z îáðàçóþò ïðÿ- 211 ìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ïëîñêîñòè Oxy . Ðàññìîòðèì äâå òî÷- êè ïîâåðõíîñòè (8.2) - M 0 (x0 , y0 , z0 ) è M (x0 , y0 , z ) , è ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.35) èëè x0 − x0 y0 − y0 z − x0 = = l m n x = x 0 , y = y0 . (5.37) Ìû èìååì ïðÿìóþ ïàðàëëåëüíóþ îñè àïïëèêàò z îñè Oz . Òàêèì îáðàçîì ìû M 0 (x0 , y0 , z0 ) âèäèì, ÷òî âìåñòå ñ òî÷êîé M 0 (x0 , y0 , z0 ) íà ïîâåðõíîñy M (x, y, z ) òè (8.2) ëåæèò (ðèñ. 8.1) è ïðÿìàÿ (5.37), ïðîõîäÿùàÿ O ÷åðåç òî÷êó M 0 (x0 , y0 , z0 ) ïàðàëëåëüíî îñè Oz . Ðèñ. 8.1. x Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïàðàëëåëüíûõ çàäàííîìó íàïðàâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè öèëèíäðîì, à ïðÿìûå ëèíèè - å¸ îáðàçóþùèìè. Ëèíèþ, ëåæàùóþ íà ïîâåðõíîñòè è ïåðåñåêàþùóþ âñå îáðàçóþùèå íàçîâ¸ì íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé. Èòàê, ïîâåðõíîñòè íå ñîäåðæàùèå îäíîé èç êîîðäèíàò, îïðåäåëÿþò öèëèíäð ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè ñîîòâåòñòâóþùåé îñè êîîðäèíàò. Îïðåäåëåíèå 8.1 ãîâîðèò î òîì, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ïîâåðõíîñòè, íàïðàâëÿþùèå ëèíèè êîòîðûõ, åñòü ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìîòðåííûå â ï. 7.1: ýëëèïñ, ìíèìûé ýëëèïñ, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ãèïåðáîëà, äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ïàðàáîëà, äâå äåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå. 14* 212 Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Òèï [1]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.2) ïðèíàäëåæàò ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a 2 + y2 b 2 =1, a ≥ b > 0 . z y (8.3) O Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè öèëèíäðà (8.3), íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè è ïðè a ≠ b äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè íåò. x Ðèñ. 8.2. Òèï [2]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.3) ïðèíàäëåæàò ìíèìûå ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2 + y2 b2 z y = −1 , a ≥ b > 0 . (8.4) O x Ýòî ïîâåðõíîñòè íå èìåþùèå âåùåñòâåííûõ òî÷åê. Òèï [3]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.4) ïðèíàäëåæàò äâå ìíèìûå (êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå) ïåðåñåêàþùèåñÿ ïî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2 + y2 b2 =0, a2 z y (8.5) ãäå a > 0 , b > 0 è, êðîìå òîãî, 1 Ðèñ. 8.3. + 1 b2 =1. Âåùåñòâåííûå òî÷êè êàæäîé òàêîé ïîâåðõíîñòè ñîñòàâëÿþò ïðÿìóþ. O x Ðèñ. 8.4. 213 Òèï [4]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.5) ïðèíàäëåæàò ãèïåðáîëè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2 − y2 b2 =1, a > 0 , b > 0 . z y O x (8.6) Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò öèëèíäð (8.6) ïî ãèïåðáîëå, èìåþùåé â ÏÑÊ Oxy êàíîíè÷åñêèé âèä (8.6). Ðèñ. 8.5. z Òèï [5]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.6) ïðèíàäëåæàò äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2 − y2 b2 =0, y O x (8.7) ãäå a > 0 , b > 0 è, êðîìå òîãî, 1 a2 + 1 b2 =1. Ðèñ. 8.6. z Òèï [6]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.7) ïðèíàäëåæàò ïàðàáîëè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà O y 2 = 2 px , p > 0 . (8.8) Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò öèëèíäð (8.8) ïî ïàðàáîëå, èìåþùåé â ÏÑÊ Oxy êàíîíè÷åñêèé âèä (8.8). y x Ðèñ. 8.7. Òèï [7]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.8) ïðèíàäëåæàò äâå ðàçëè÷íûå äåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà 214 z z z O y y y O x x Ðèñ. 8.8. Ðèñ. 8.9. y2 = b2 , b > 0 . O x Ðèñ. 8.10. (8.9) Òèï [8]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.9) ïðèíàäëåæàò äâå ðàçëè÷íûå ìíèìûå (êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå) ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà y 2 = −b 2 , b > 0 . (8.10) Òèï [9]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.10) ïðèíàäëåæàò äâå ñîâïàäàþùèå äåéñòâèòåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà y2 = 0 . (8.11) 8.2. Êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà Îïðåäåëåíèå 8.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðîéêè ÷èñåë (x, y, z ) è (λx, λy, λz ), ãäå λ - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé æå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, è, êðîìå òîãî, äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî s F (λx, λy, λz ) = λs F (x, y, z ) . (8.12)  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ F áóäåì íàçûâàòü îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñòåïåíè s . Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü S , îïðåäåëÿåìóþ â íåêîòîðîé ÏÑÊ óðàâíåíèåì âèäà 215 F (x, y, z ) = 0 , ãäå F - îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà åñëè òî÷êà M (x, y, z )∈ S , òî ïðè ëþáîì z λ â ñèëó (8.12) òî÷êà N (λx, λy, λz )∈ S . l N M y Ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê (ðèñ. 8.11) áóäóò êîëëèíåàðíû, â ñèëó ÷åãî òî÷êà N áóx äåò ëåæàòü íà ïðÿìîé OM . O Ðèñ. 8.11. Îïðåäåëåíèå 8.3. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó O , íàçûâàåòñÿ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè êîíóñîì. Ïðÿìûå ëèíèè íàçûâàþòñÿ å¸ îáðàçóþùèìè, òî÷êà O - âåðøèíîé êîíóñà. Ëèíèÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó êîíóñà è ïåðåñåêàþùàÿ âñå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé. Èòàê, ïîëàãàÿ â (8.12) s = 2 ìû ðàññìîòðèì êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà F (x, y, z ) = 0 . Òèï [10]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.12) ïðèíàäëåæàò äåéñòâèòåëüíûå êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè èìåz þùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 =0, ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 , 1 a 2 (8.13) + 1 b 2 + 1 c2 =1. Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè êîíóñà (8.13), à íàx ÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè. Ïåðåñå÷¸ì êîíóñ (8.13) ïëîñêîñòüþ z = h , ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxy . Çäåñü h - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.  ïåðåñå÷åíèè (ðèñ. 8.12) ïîëó÷èòñÿ ëèíèÿ O y Ðèñ. 8.12. 216 x2 a2 + y2 b2 − h2 c2 = 0, z = h , ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ïëîñêîñòü Oxy äà¸òñÿ óðàâíåíèåì x2 a2 + y2 b2 − h2 c2 = 0 èëè x2 a2 Ðàçäåëèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà x2 a2h2 c2 a c + y2 b2h2 c2 =1 èëè + y2 b2 h2 c2 = h2 c2 . ïîëó÷èì x2 y2 + = 1, a′ 2 b′ 2 b c ãäå a′ = ⋅ h , b′ = ⋅ h - ïîëóîñè ýëëèïñà. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) ïëîñêîñòüþ z = h åñòü ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìè a′ è b′ , ñ öåíòðîì íà îñè Oz . Ëþáîé òàêîé ýëëèïñ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé êîíóñà (8.13).  ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü a = b ìû ïîëó÷èì ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ x 2 + y2 − k 2z2 = 0 , ãäå k = (8.14) a . c Ïåðåñåêàÿ ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ (8.14) ïëîñêîñòÿìè z = h , h ≠ 0 , ìû áóäåì ïîëó÷àòü îêðóæíîñòè x2 + y2 = k 2h2 ðàäèóñà R = k ⋅ h ñ öåíòðàìè íà îñè OZ . Ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñå÷¸ò êîíóñ (8.14) ïî òî÷êå O , à ïëîñêîñòè x = 0 è y = 0 ïåðåñåêóò êîíóñ ïî îáðàçóþùèì. Ïëîñêîñòè x = h è y = h ïðè h ≠ 0 ïåðåñåêóò êîíóñ (8.13) ïî ãèïåðáîëàì (ðèñ. 8.13à) ñ ïîëóîñÿìè 217 z z O O y y x x á à Ðèñ. 8.13. c b c a ⋅ h , ⋅ h è ⋅ h , ⋅ h , a a b b à êîíóñ (8.14) ïî ãèïåðáîëàì ñ ïîëóîñÿìè c c ⋅ h , h è ⋅ h , h . a b Ïëîñêèìè ñå÷åíèÿìè è íàïðàâëÿþùèìè êîíóñà (8.13) ÿâëÿþòñÿ è ïàðàáîëû (ðèñ. 8.13á). Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ c x + h , ïðè h ≠ 0 . a Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå z â (8.13) ïîëó÷èì z= 2 c x + h 2 2 x y a =0 + 2 − 2 2 a b c èëè 218 z y2 h h2 = + x 2 , ac b2 c2 èëè y2 = 2 hb 2 ha . x + ac c (8.15) y Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ïàðàáîëû ñ O ha âåðøèíîé â òî÷êå − c ,0 . Çàìåòèì, áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) è (8.14) ïëîñêîñòüþ ñ íåáîëüøèì óãëîì íàêëîíà ê ïëîñêîñòè Oxy ìû â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èì îêðóæíîñòü, à âî âòîðîì (ðèñ. 8.14) ñëó÷àå - ýëëèïñ. x Ðèñ. 8.14. Òèï [11]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.15) ïðèíàäëåæàò ìíèìûå êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 z =0, (8.16) O y x 1 1 1 ãäå a ≥ b ≥ c > 0 , 2 + 2 + 2 = 1 . a b c Åäèíñòâåííîé âåùåñòâåííîé òî÷êîé ìíèìîãî êîíóñà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà O(0,0,0) . Ðèñ. 8.15. 8.3. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû è ïàðàáîëîèäû Òèï [12]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.16) ïðèíàäëåæàò ýëëèïñîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà 219 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 =1, (8.17) ãäå a ≥ b ≥ c > 0 - ïîëóîñè ýëëèïñîèäà. Çàìåòèì, ÷òî èç óðàâíåíèÿ ýëëèïñîèäà (8.17) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿz þòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà, à íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè. O Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a , b è c íàçûâàþòñÿ ïîëóîñÿìè ýëëèïñîèäà. Ýëëèïñîèä ëåæèò âíóòðè ïðÿ- x y ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà − a ≤ x ≤ a , −b ≤ y ≤ b , −c ≤ z ≤ c , Ðèñ. 8.16. ò.å. ýëëèïñîèäû ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè ïîâåðõíîñòÿìè è âñå ïëîñêèå ñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè êðèâûìè âòîðîãî ïîðÿäêà - ýëëèïñàìè. Ïóñòü a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 . Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäà (8.17) ñ ïëîñêîñòüþ z = h ïðè h < c . Ïîäñòàâëÿÿ z = h â (8.17) ïîëó÷èì x2 + a2 y2 b2 = 1− h2 c2 èëè x2 2 a 1− h c2 + y2 2 b 1− h c2 =1 . (8.18) Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïëîñêîñòü z = h ïðè h < c ïåðåñåêàåò ýëëèïñîèä (8.17) ïî ýëëèïñó ñ ïîëóîñÿìè a 1− h2 c2 , b 1− h2 c2 , êîòîðûå äîñòèãàþò ìàêñèìóìà ïðè h = 0 è ìîíîòîííî óáûâàþò 220 äî íóëÿ ïðè h → c . Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåñåêàÿ ýëëèïñîèä (8.17) ïëîñêîñòÿìè y = h è x = h ïðè h > b è h > a ìû ïîëó÷èì â ñå÷åíèÿõ ýëëèïñû ñ ïîëóîñÿìè h2 a 1− b2 , c 1− h2 b2 è h2 b 1− a2 , c 1− h2 a2 . Åñëè â ýëëèïñîèäå (8.17) a = b ≠ c , òî åãî ïåðåñå÷åíèå ñ ïëîñêîñòüþ z = h äàñò íàì îêðóæíîñòü x2 a2 + y2 a2 = 1− h2 c2 ðàäèóñà rh = a 2 c − h2 . c Ñàì ýëëèïñîèä â ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 8.17) ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì ýëëèïñà x2 a2 + z2 c2 =1, y = 0 âîêðóã îñè Oz . Òàê êàê c < a , òî âðàùåíèå ýëëèïñà ïðîèñõîäèò âîêðóã åãî ìåíüøåé îñè è ìû èìååì â ýòîì ñëó÷àå òàê íàçûâàåìûé z ñæàòûé ýëëèïñîèä. Åñëè a > b = c , òî ñå÷åíèå ýëëèïñîèäà ïëîñêîñòüþ x = h äà¸ò y íàì îêðóæíîñòè y2 b2 + z2 b2 = 1− h2 a2 x Ðèñ. 8.17. 221 z z y x O y Ðèñ. 8.18. x Ðèñ. 8.19. ðàäèóñà rh = b 2 a − h2 . a Ñàì ýëëèïñîèä â ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 8.18) ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì ýëëèïñà x2 a2 + z2 b2 = 1, y = 0 âîêðóã îñè Ox . Ïîëó÷åííûé ýëëèïñîèä íàçîâ¸ì âûòÿíóòûì ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ. Åñëè a = b = c ýëëèïñîèä (ðèñ. 8.19) ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé ðàäèóñà a . Òèï [13]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.20) ïðèíàäëåæàò ìíèìûå ýëëèïñîèäû ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = −1 , z O (8.19) ãäå a ≥ b ≥ c > 0 . Îíè âåùåñòâåííûõ òî÷åê íå èìåþò. y x Ðèñ. 8.20. Òèï [14]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.21) ïðèíàäëåæàò äâóïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà 222 x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 z = −1 , (8.20) ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 . Âèä óðàâíåíèÿ (8.20) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà. Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 8.21 ïëîñêîñòü z = h x O y ïðè h < c íå ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëîèä, ïðè h = c èìååò ñ ãèïåðáîëîèäîì òî÷êè êàñà- íèÿ (0,0, c ) è (0,0,−c ) . Ïðè h > c ïëîñêîñòü Ðèñ. 8.21. z = h ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëîèä (8.20) ïî ýëëèïñó x2 a 2 + y2 b 2 = h2 c2 −1 ñ ïîëóîñÿìè a h2 c2 −1 è b h2 −1 , c2 ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò íóëÿ äî +∞ êîãäà h âîçðàñòàåò îò c äî +∞ . Êàæäàÿ ïëîñêîñòü y = h ïåðåñåêàåò ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ãèïåðáîëîèä ïî ãèïåðáîëå z2 c2 − x2 a2 = 1+ h2 b2 ñ ïîëóîñÿìè c 1+ h2 b2 è a 1+ h2 b2 , ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò c è a äî +∞ ïðè âîçðàñòàíèè h 223 îò íóëÿ äî +∞ . Êàæäàÿ ïëîñêîñòü x = h ïåðåñåêàåò íàø ãèïåðáîëîèä ïî ãèïåðáîëå z2 c 2 − y2 b 2 = 1+ h2 a2 ñ ïîëóîñÿìè c 1+ h2 a2 è b 1+ h2 a2 , ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò c è b äî +∞ ïðè âîçðàñòàíèè h îò íóëÿ äî +∞ . Òàêèì îáðàçîì, ôîðìà äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà íàìè ïîëíîñòüþ âûÿñíåíà è ìû âèäèì, ÷òî îí ñîñòîèò äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ÷àñòåé (ïîë), ðàñïîëîæåííûõ ñîîòâåòñòâåííî â ïîëóïðîñòðàíñòâàõ z ≥ c è z ≤ −c . Òèï [15]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.22) ïðèíàäëåæàò îäíîïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 =1, ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 . Âèä óðàâíåíèÿ (8.21) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà. Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò (ðèñ. 8.22) îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä ïî ýëëèïñó x2 a2 ñ ïîëóîñÿìè + y2 b2 z (8.21) = 1+ y x h2 c2 Ðèñ. 8.22. 224 a 1+ h2 c2 è b 1+ h2 c2 , ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò a äî +∞ , åñëè h âîçðàñòàåò îò íóëÿ äî +∞ . Ïðè h = 0 ìû ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìûé ãîðëîâîé ýëëèïñ x2 a 2 + y2 b2 =1. (8.22) Åñëè a = b ðàññìîòðåííûå âûøå ñå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè, à ãèïåðáîëîèä (8.21) íàçûâàåòñÿ îäíîïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì âðàùåíèÿ. Êàæäàÿ ïëîñêîñòü y = h ïðè h < b ïåðåñåêàåò ðàññìàòðèâàåìûé íàìè îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä (8.21) ïî ãèïåðáîëå x2 a 2 − z2 c 2 = 1− h2 (8.23) b2 ñ ïîëóîñÿìè a 1− h2 b2 è c 1− h2 b2 , ìîíîòîííî óáûâàþùèìè îò a è c äî íóëÿ, êîãäà h âîçðàñòàåò îò íóëÿ äî b . Ïëîñêîñòü y = h = b ïåðåñåêàåò (ðèñ.8.23) ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ãèïåðáîëîèä, êàê ýòî ñëåäóåò èç (8.23), ïî ïàðå ïðÿìûõ x2 a 2 − z2 c2 = 0, à ïðè h > b - ïî ãèïåðáîëå ñ ïîëóîñÿìè c h2 b 2 −1 è a h2 b2 −1 , Ðèñ. 8.23. 225 ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò íóëÿ äî +∞ , êîãäà h âîçðàñòàåò îò b äî +∞ . Ìíèìûå (äåéñòâèòåëüíûå) (ðèñ. 8.24) z îñè ãèïåðáîë, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè h > b , ïàðàëëåëüíû äåéñòâèòåëüíûì (ìíèìûì) îñÿì ãèïåðáîë, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè h < b . Ñëó÷àé ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîëîèäà (8.21) ïëîñêîñòüþ x = h àíàëîãè÷åí ðàññìîòðåííîìó âûøå ïåðåñå÷åíèþ ãèïåðáî- y ëîèäà ñ ïëîñêîñòüþ y = h . Îäíèì èç çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ îä- x íîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå öåëèêîì íà í¸ì ëåæàùèõ ïðÿìûõ (ñì. ðèñ. 8.23). Îïðåäåëåíèå 8.4. Ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ l -êðàòíî ëèíåé÷àÐèñ. 8.24. òîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ÷åðåç ëþáóþ å¸ òî÷êó ïðîõîäèò l è òîëüêî l ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ, öåëèêîì íà íåé ëåæàùèõ. Ýòè ïðÿìûå íàçûâàþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè. Ñôîðìóëèðóåì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) äëÿ îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà (8.21) ñëåäóþùåå Ïðåäëîæåíèå 8.1. Îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä ÿâëÿåòñÿ äâàæäû ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ.  ïîëüçó ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ñëóæèò òîò ôàêò, ÷òî ïðè ïåðåñå÷åíèè ãèïåðáîëîèäà ïëîñêîñòÿìè y = h = b è x = h = a ìû ïîëó÷àåì ïàðû ïåðåñåêàþùèõñÿ â òî÷êàõ ïðèíàäëåæàùèõ ãîðëîâîìó ýëëèïñó ïðÿìûõ. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ ïëîñêîñòü êàñàòåëüíàÿ ê îäíîïîëîñòíîìó ãèïåðáîëîèäó â òî÷êàõ ãîðëîâîãî ýëëèïñà áóäåò ïåðåñåêàòü åãî ïî ïàðå ïðÿìûõ. Òàêèì îáðàçîì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êàæäàÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ îäíîïîëîñòíîãî ãè15 À.À. Êèðñàíîâ 226 ïåðáîëîèäà ïåðåñåêàåò åãî ãîðëîâîé ýëëèïñ. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M 0 (x0 , y0 ) ãîðëîâîãî ýëëèïñà, èìåþò âèä x = x0 − u a y0 t , b y = y0 + u b x0t , a z = ct , (8.24) ãäå u = ±1 . Äâå ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà áóäåì íàçûâàòü îäíîèì¸ííûìè, åñëè èì ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òî æå çíà÷åíèå u . Òàêèì îáðàçîì âñå îáðàçóþùèå ðàçáèâàþòñÿ íà äâà êëàññà, êîòîðûå îáû÷íî íàçûâàþòñÿ ñåìåéñòâàìè ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ãèïåðáîëîèäà (8.21). Òèï [16]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.25) ïðèíàäëåæàò ýëëèïòè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 y2 + = 2z , p q ãäå p ≥ q > 0 . Âèä óðàâíåíèÿ (8.25) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà. Ïðè p ≠ q äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè ó íåãî íåò. Ïëîñêîñòü z = h ïðè h < 0 íå ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä, ïðè h = 0 èìååò ñ ïàðàáîëîèäîì åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó O(0,0,0) è ïðè h > 0 ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä ïî ýë- (8.25) z x O y Ðèñ. 8.25. 227 ëèïñó x2 y2 + = 2h p q ñ ïîëóîñÿìè 2hp è 2hq , ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè âìåñòå ñ h îò íóëÿ äî +∞ . Ïëîñêîñòè y = h è x = h ïåðåñåêàþò íàø ïàðàáîëîèä ïî ïàðàáîëàì ñ ôîêàëüíûìè ïàðàìåòðàìè p è q , ñ âåðøèíàìè ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ 2 2 0, h, h h, 0, h 2q è 2 p è ñ ðîãàìè íàïðàâëåííûìè â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ z . Òèï [17]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.26) ïðèíàäëåæàò ãèïåðáîëè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 y2 − = 2z , p q ãäå p > 0 , q > 0 . Âèä óðàâíåíèÿ (8.26) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà. Äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè ó íåãî íåò. x Èç âñåõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ñàìàÿ òðóäíàÿ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïîâåðõíîñòü. Ïëîñêîñòü z = h ïðè h < 0 ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä (8.26) ïî ãèïåðáîëå x2 y2 − = −2h p q 15* (8.26) z y O Ðèñ. 8.26. 228 èëè y2 x2 − =1 2hq 2hp ñ ïîëóîñÿìè − 2hq è − 2hp , ìîíîòîííî óáûâàþùèìè îò +∞ äî íóëÿ, êîãäà h âîçðàñòàåò îò −∞ äî íóëÿ. Äåéñòâèòåëüíàÿ îñü ýòîé ãèïåðáîëû ïàðàëëåëüíà îñè Ox , à ìíèìàÿ - îñè Oy . Ïðè h = 0 ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñåêàåò (ðèñ. 8.27) ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðå ïðÿìûõ z y x2 y2 − =0. p q x Ïðè h > 0 ïëîñêîñòü z = h ïåðåO ñåêàåò íàø ïàðàáîëîèä ïî ãèïåðáîëàì x2 y2 − = 2h p q Ðèñ. 8.27. ñ ïîëóîñÿìè 2hp è 2hq , ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè âìåñòå ñ h îò íóëÿ äî +∞ . Äåéñòâèòåëüíàÿ îñü ýòîé ãèïåðáîëû ïàðàëëåëüíà îñè Oy , à ìíèìàÿ - îñè Ox . Ïëîñêîñòü y = h ïðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðàáîëå x2 h2 = 2z + p q èëè 229 h 2 x 2 = 2 p z + 2q h 2 − 0 h , , ñ ïàðàìåòðîì p è âåðøèíàìè 2q , íàïðàâëåííîé ðîãàìè ââåðõ. Ïëîñêîñòü x = h ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðàáîëå h2 y2 = −2z + q p èëè h 2 y 2 = −2q z − 2 p 2 h, 0, h q ñ ïàðàìåòðîì , âåðøèíàìè 2 p , íàïðàâëåííîé ðîãàìè âíèç. Ïëîñêîñòè y = 0 è x = 0 ïåðåñåêàþò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ãëàâíûì ïàðàáîëàì: íåïîäâèæíîé ïàðàáîëå x 2 = 2 pz , y = 0 (8.27) è ïîäâèæíîé ïàðàáîëå y 2 = −2qz , x = 0 , (8.28) îáðàù¸ííûå ðîãàìè â ðàçíûå ñòîðîíû. Ïðåäëîæåíèå 8.2. Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ÿâëÿåòñÿ äâàæäû ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ. Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè h = 0 ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñåêàåò (ðèñ. 8.27) ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðå ïðÿìûõ x2 y2 − =0 p q 230 èëè x y x y + ⋅ − =0. (8.29) p p q q Ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñÿêàÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà (8.26) ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü z = 0 èëè ðàñïîëîæåíà â íåé. Ïóñòü M 0 (x0 , y0 , z 0 ) - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà (8.26) è ïóñòü ïðÿìàÿ x = x0 + tl , y = y0 + tm , z = z 0 + tn , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M 0 , öåëèêîì ëåæèò íà ïàðàáîëîèäå. Êîîðäèíàòû ðàññìàòðèâàåìîé ïðÿìîé äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (8.26) (x0 + tl )2 − (y0 + tm )2 = 2(z 0 + tn ) , p q êîòîðîå ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ìîæíî çàïèñàòü òàê l 2 m2 lx my + 2t 0 − 0 − n = 0 . t 2 − p q p q Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âîçìîæíî ïðè l 2 m2 − =0 p q (8.30) è lx0 my0 − −n=0. p q Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî (8.31) 231 l m = =λ, ( u = ±1 ) p u q èëè l:m = p :u q . Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå ðàâåíñòâî çíà÷åíèÿ l = λ p è m = λu q , ïîëó÷èì x y λ 0 − u 0 = n , p q îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè (8.30) è (8.31) èìåþò äâà è òîëüêî äâà ðåøåíèÿ: x y p :u q : 0 − u 0 . p q Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äâå ïðÿìûå ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè l :m:n = l= p, m=u q , n= x0 p −u y0 q öåëèêîì ëåæàò íà ãèïåðáîëè÷åñêîì ïàðàáîëîèäå (8.26). Ïðÿìûå ñ u = 1 îáðàçóþò îäíî ñåìåéñòâî îáðàçóþùèõ (ðèñ. 8.28), à ñ u = −1 - äðóãîå.  çàêëþ÷åíèå ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî êëàññèôèêàöèÿ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ïîëíîñòüþ èñ÷åðïûâàåòñÿ ïåÐèñ. 8.28. 232 ðå÷èñëåííûìè ñåìíàäöàòüþ òèïàìè ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íè äëÿ îäíîé ïîâåðõíîñòè íå ñóùåñòâóåò äâóõ ÏÑÊ, â êîòîðûõ îíà èìåëà áû ðàçëè÷íûå óðàâíåíèÿ ýòèõ òèïîâ. Òàêèì îáðàçîì âñå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èñ÷åðïûâàþòñÿ 1) ýëëèïñîèäàìè (äåéñòâèòåëüíûìè [12] è ìíèìûìè [13]) , 2) ãèïåðáîëîèäàìè (îäíîïîëîñòíûìè [15] è äâóïîëîñòíûìè [14]), 3) ïàðàáîëîèäàìè (ýëëèïòè÷åñêèìè [16] è ãèïåðáîëè÷åñêèìè [17]), 4) êîíóñàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíûìè [10] ìíèìûìè [11]), 5) öèëèíäðàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíûìè ýëëèïòè÷åñêèìè [1] è ìíèìûìè ýëëèïòè÷åñêèìè [2], ïàðàáîëè÷åñêèìè [6] è ãèïåðáîëè÷åñêèìè [4]), 6) ïàðàìè ïëîñêîñòåé (äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ [5], ìíèìûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ [3] è äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ è ðàçëè÷íûõ [7], ìíèìûõ ïàðàëëåëüíûõ [8], äåéñòâèòåëüíûõ ñîâïàäàþùèõ [9]). 233 Ëèòåðàòóðà 1. Àëåêñàíäðîâ Ï.Ñ. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. Ì.: Íàóêà, 1979. 2. Áåêëåìèøåâ Ä.Â. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2000. 3. Áåêëåìèøåâà Ë.À., Ïåòðîâè÷ À.Þ., ×óáàðîâ È.À. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.: Íàóêà, 1987. 4. Áîðåâè÷ Ç.È. Îïðåäåëèòåëè è ìàòðèöû. Ì.: Íàóêà, 1970. 5. Âåðíåð À.Ë., Êàíòîð Á.Å., Ôðàíãóëîâ Ñ.À. Ãåîìåòðèÿ, ÷.1., ÷.2. - ÑÏá.: Ñïåöèàëüíàÿ ëèòåðàòóðà, 1997. 6. Äàíêî Ï.Å., Ïîïîâ À.Ã. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà â óïðàæíåíèÿõ è çàäà÷àõ. ×. I. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1967. 7. Åôèìîâ Í.Â. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû è ìàòðèöû. Ì.: Íàóêà, 1967. 8. Åôèìîâ Í.Â. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. - Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1969. 9. Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1970. 10. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è âûñøåé àëãåáðå. Ë.: Èçäàòåëüñòâî ËÃÓ, 1986. 11. Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1968. 12. Êèðñàíîâ À.À. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. Ìàòðèöû. Äåòåðìèíàíòû. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2002. 13. Êèðñàíîâ À.À. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2002. 14. Ëàïòåâ Ã.Ô. Ýëåìåíòû âåêòîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1975. 15. Ìàòåìàòèêà â ñîâðåìåííîì ìèðå. Ì.: Ìèð, 1967. 16. Ìèëîâàíîâ Ì.Â. è äð. Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. × 1. Ìí.: Àìàëôåÿ, 2001. 17. Ìîäåíîâ Ï.Ñ., Ïàðõîìåíêî À.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Íàóêà, 1976. 234 18. Ìóñõåëèøâèëè Í.È. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1967. 19. Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Ëåêöèè ïî ãåîìåòðèè. Ñåìåñòð I. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1986. 20. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè. Ïîä ðåä. Â.Ò. Áàçûëåâà. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1980. 21. Øèëîâ Ã.Å. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Êîíå÷íîìåðíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà. Ì.: Íàóêà, 1969. Ê 435 Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷ Êèðñàíîâ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß È ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ I ñåìåñòð (êóðñ ëåêöèé) ISBN 5 -87854 -273 -0 9 785878 542739 Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ÈÄ ¹ 06024 îò 09.10.2001 ãîäà. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 24.07.2003 ã. Ôîðìàò 60õ90/16. Îáúåì èçäàíèÿ: 14,75 ó.ï.ë. Òèðàæ 300 ýêç. Çàêàç ¹ . Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã.Ïñêîâ, ïë.Ëåíèíà, 2. Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÈ èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã.Ïñêîâ, óë.Ñîâåòñêàÿ, 21, òåëåôîí 2-86-18.