Дифференциальные уравнения. Материалы к коллоквиуму. I

Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ìàòåðèàëû ê êîëëîêâèóìó.
I. Òåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû.
1. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïîëå íàïðàâëåíèé.
Ìåòîä èçîêëèí ïîñòðîåíèÿ êà÷åñòâåííîé êàðòèíû ðåøåíèé.
2. Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Îáùåå ðåøåíèå. Îñîáûå ðåøåíèÿ. Çàäà÷à Êîøè.
3. Ïðîñòåéøèå ôèçè÷åñêèå çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì: ðàñïàä ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà, îñòûâàíèå òåëà, ïåðåìåøèâàíèå ðàñòâîðîâ, äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè â ñèëîâîì ïîëå.
4. Îäíîðîäíûå è êâàçèîäíîðîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
5. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè.
6. Óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü.
7. Ëîìàíûå Ýéëåðà. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî
ïîðÿäêà â ôîðìå Ïåàíî.
8. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà â ôîðìå
Îñãóäà.
9. Ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ Ïèêàðà ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî
ïîðÿäêà.
10. Óñëîâèÿ Ëèïøèöà. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà â ôîðìå Ïèêàðà (áåç äîêàçàòåëüñòâà).
11. Ìåòîäû ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, íå ðàçðåøåííûõ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé.
12. Îñîáûå ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà
êðèâûõ.
13. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Òèïû íåâûðîæäåííûõ èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åê.
14. Òèïû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîðÿäêà âûøå ïåðâîãî, äîïóñêàþùèõ ïîíèæåíèå ïîðÿäêà.
15. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ
ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðè ïîìîùè ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû.
16. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ
ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
17. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèé
n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè.
18. Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèé
n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
â ñëó÷àå, êîãäà ñâîáîäíûé ÷ëåí åñòü êâàçèìíîãî÷ëåí.
1
19. Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ
ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðè ïîìîùè óïîðÿäî÷åííîé ýêñïîíåíòû.
20. Äâèæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïîä äåéñòâèåì âûíóæäàþùåé ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû.
Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé. Ðåçîíàíñ. Ó÷åò ñèëû òðåíèÿ.
21. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.
22. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé ñèñòåìû îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ.
23. Ñâåäåíèå óðàâíåíèÿ
ñòâî óðàâíåíèÿ
n-ãî
n-ãî ïîðÿäêà ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ôàçîâîå ïðîñòðàíïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè. Ñâåäåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà ñ
ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.
24. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
n-ãî
ïîðÿäêà. Îïðå-
äåëèòåëü Âðîíñêîãî. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ.
25. Ïîñòðîåíèå ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïî ñèñòåìå ðåøåíèé.
26. Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ äëÿ íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
27. Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ äëÿ íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
n-ãî
ïîðÿäêà.
28. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè äëÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà (áåç äîêàçàòåëüñòâà).
29. Òåîðåìà î ñâîéñòâàõ çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îò ïàðàìåòðîâ (áåç äîêàçàòåëüñòâà). Ñâîéñòâà çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
30. Óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïî Ëÿïóíîâó. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü. Ïðèìåðû.
31. Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ.
32. Ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà. Ïðèëîæåíèå ê óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ.
33. Ôàçîâàÿ ïðîñòðàíñòâî àâòîíîìíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ðàñøèðåííîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî. Òèïû òî÷åê ïîêîÿ äâóìåðíûõ ëèíåéíûõ ñèñòåì.
34. Àâòîíîìíûå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà è âåêòîðíûå ïîëÿ.
Ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ è ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè.
35. Òåîðåìû î âûïðÿìëåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ.
2
II. Òåîðåòè÷åñêèå çàäà÷è. ×àñòü 1
1. Äîêàæèòå, ÷òî
EA
- îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, åñëè
A
- êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ.
2. Äîêàæèòå ôîðìóëó Àäàìàðà:
1
eA BE −A = B + [A, B] + [A, [A, B]] + · · ·
2
⇔
AdeA = eadA
3. Äîêàæèòå ñâîéñòâà ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû:
CeA C −1 = eCAC
−1
det eA = etrA ,
,
4.∗ Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà
ìÿùååñÿ ê
π
ïðè
eA+B 6= eA eB
ẍ + sin x = 0
èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå, ñòðå-
t→∞
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = c(x) îñòàåòïåðåìåííîé x è ëèíåéíîé çàìåíîé y 7→
5. Äîêàæèòå, ÷òî ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
ñÿ ëèíåéíûì ïðè ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé çàìåíå
α(x)y + β(x)
ïåðåìåííîé
y,
ïðè÷åì ïåðâûé òèï çàìåí ïåðåâîäèò îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ â
îäíîðîäíûå. Ïðèâåäèòå êàæäîé èç ýòèõ çàìåí óðàâíåíèå ê âèäó, íå ñîäåðæàùåìó
6. Ïóñòü
y(x)
- ðåøåíèå îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
Äîêàæèòå, ÷òî ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ
Ðèêêàòè
y
y0.
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = 0.
óäîâëåòâîðÿåò ïðèâåäåííîìó óðàâíåíèþ
v 0 + v 2 + a(x)v + b(x) = 0.
7.∗ Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå äðîáíî-ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå
v 7→
α(x)v + β(x)
γ(x) + δ(x)v
v 0 + a2 (x)v 2 + a1 (x)v + a0 (x) = 0
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè
ïåðåâîäèò åãî â ðåøåíèå
(äðóãîãî) óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè.
8. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå êîîðäèíàò
ëþáîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû îäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ
x1 /x2
óðàâíåíèé
(
ẋ1 = a(t)x1 + b(t)x2
ẋ2 = c(t)x1 + d(t)x2
óäîâëåòâîðÿåò íåêîòîðîìó óðàâíåíèþ Ðèêêàòè
v 0 + a2 (x)v 2 + a1 (x)v + a0 (x) = 0.
9.∗ Äîêàæèòå, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè
v 0 + a2 (x)v 2 + a1 (x)v + a0 (x) = 0
åñòü
ôóíêöèÿ, äðîáíî-ëèíåéíî çàâèñÿùàÿ îò ïàðàìåòðà.
10.∗ Çíàÿ òðè ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ
y1 = 1, y2 = x, y3 = x2
óðàâíåíèÿ Ðèêêàòè, íàïèñàòü åãî îáùåå
ðåøåíèå.
11. Äîêàæèòå, ÷òî èíòåãðàë
y=
åñòü ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
óðàâíåíèÿ y (n) (x)
1
(n − 1)!
y(x0 ) =
y 0 (x
x
Z
0)
(x − τ )n−1 f (τ )dτ
x0
= . . . = y (n−1) (x0 ) = 0
äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî
= f (x).
12. Âûâåäèòå îáùóþ ôîðìóëó ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû íåîäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
ẋ = Ax + b,
Çäåñü
A -n × n -
ìàòðèöà,
x , x0 , b
x(0) = x0
- âåêòîð-ñòîëáöû.
3
13. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé
R → R,
óäîâëåòâîðÿþùèõ êàêîìó-ëèáî ëèíåéíî-
ìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì
ïðîñòðàíñòâîì. Óêàæèòå êàêîé-íèáóäü áàçèñ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå.
14. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
a1 , a2 , . . . , ak ,
{yn }
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî-ðåêóððåíòíîé, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà
÷òî äëÿ âñåõ
n>k
âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå
yn = a1 y1 + . . . + ak yn−k .
Ïîêà-
æèòå, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíî-ðåêóððåíòíûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÿâëÿåòñÿ
ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Óêàæèòå êàêîé-ëèáî áàçèñ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå.
15. Ñîñòàâüòå ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèÿ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé ñòåïåíè, ðåøåíèÿìè êîòîðîãî áóäóò ôóíêöèè
a) äëÿ
xa1 , xa2 , · · · xan
n = 2, 3
á) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
n.
16. Ðåøèòå ñëåäóþùèå çàäà÷è Êîøè
(a) Ẋ = AX,
X(0) = M,
(b) Ẋ = XA,
X(0) = M,
(c) Ẋ = AX − XA,
ãäå
- ìàòðèöû
X(t), A, M
17. Ïðè êàêèõ
a
è
b
n×n
âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
18. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ
y(0) =
1, y 0 (0)
=0
a
x → ∞?
q(x) > 0
y 00 + q(x)y = 0
x
îòíîøåíèå
íà èíòåðâàëå, ãäå
y(x) 6= 0.
q(x) ≤ 0 âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ y 00 + q(x)y = 0 ñ ïîëîæèòåëüíûìè
y(x0 ) > 0, y 0 (x0 ) > 0 îñòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ïðè âñåõ x > x0 .
20. Äîêàæèòå, ÷òî â ñëó÷àå
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
x1 è x2 äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ẍ + x = 0, ñ
x1 (0) = 0, ẋ1 (0) = 1, x2 (0) = 1, ẋ2 (0) = 0. Âûâåäèòå, èñõîäÿ èç ýòîãî
òðèãîíîìåòðè÷åñêèå òîæäåñòâà (sin2 t + cos2 t = 1, (sin t)0 = cos t ).
sin t
è
óñëîâèÿìè
äëÿ ëþáîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
y 0 (x)/y(x) óáûâàåò ïðè âîçðàñòàíèè
21. Îïðåäåëèì
y 00 + ay + by = 0 ñ íà÷àëüíûìè
x → ∞ ìàêñèìàëüíî áûñòðî?
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
19. Äîêàæèòå, ÷òî â ñëó÷àå
y 00 + ay + by = 0
−∞ < x < ∞?
à) îãðàíè÷åíû íà âñåé ÷èñëîâîé îñè
á) ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè
X(0) = M,
cos t
êàê ðåøåíèÿ
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
îïðåäåëåíèÿ,
22. Îïðåäåëèì
ch t êàê ðåøåíèÿ x1 è x2 äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ẍ = x, ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x1 (0) = 0, ẋ1 (0) = 1, x2 (0) = 1, ẋ2 (0) = 0. Âûâåäèòå, èñõîäÿ èç ýòîãî
2
2
îïðåäåëåíèÿ, òîæäåñòâî ch t − sh t = 1.
sh t
è
23. Óðàâíåíèå Ýéëåðà
xn y (n) + an−1 xn−1 y (n−1) + . . . + a0 y = 0
ãäå
a0 , . . . , an−1 - äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðèâåñòè çàìåíîé ïåðåìåííîé ê ëèíåéíîìó îäíîðîä-
íîìó óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí
ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ è åãî îáùåå ðåøåíèå.
24. Ïóñòü
M (x, y)
è
N (x, y)
- îäíîðîäíûå ôóíêöèè ñòåïåíè
m.
æèòåëü äëÿ óðàâíåíèÿ
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
4
Íàéäèòå èíòåãðèðóþùèé ìíî-
25. Íàéäèòå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû



A=


Äîêàæèòå, ÷òî ó îïåðàòîðà â
n
0
1
0
...
0
0
0
1
...
0
... ... ... ... ...
... ... ...
0
1
a1 a2 . . . an−1 an






- ìåðíîì êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìàòðèöåé
A
÷èñëî
ðàçëè÷íûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ
âåêòîðîâ è ñ ÷èñëîì æîðäàíîâûõ êëåòîê â æîðäàíîâîé ôîðìå ìàòðèöû.
26. Ïóñòü y0 (x) - ðåøåíèå ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y (n) + an−1 (x)y (n−1) +· · ·+
a0 (x)y = 0. Äîêàæèòå, ÷òî ïîäñòàíîâêà y = z · y1 (x) ïîçâîëÿåò ïîíèçèòü ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ.
27. Íàéäèòå ôóäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé è îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî äëÿ ñèñòåìû
ẋi =
n
X
aj (t)xj ,
i = 1, . . . , n
j=1
28. à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êàæäîå ðåøåíèå ëèíåéíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
t → ∞,
òî íóëåâîå ðåøåíèå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
á) Òîò æå âîïðîñ äëÿ ñèñòåìû ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
29. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ó ëèíåéíîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò íåîãðàíè÷åííîå ïðè
∞
t→
ðåøåíèå, òî íóëåâîå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî.
30. Äîêàæèòå, ÷òî
−1
Z t
Z
Z
X
n
=E+
P exp
A(τ )dτ
(−1)
···
0
A(τ1 )A(τ2 ) · · · A(τn )dτ1 · · · dτn
0≤τ1 ≤τ2 ≤···≤τn ≤n
n>0
31.∗ Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå ôîðìóëó Àäàìàðà äëÿ óïîðÿäî÷åííîé ýêñïîíåíòû
III. Òåîðåòè÷åñêèå çàäà÷è. ×àñòü 2
1. Ê âåðòèêàëüíîé ïðóæèíå, âåñîì êîòîðîé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîäâåøåí ãðóç, óäëèíÿþùèé
åå íà âåëè÷èíó l. Îòòÿíóâ ãðóç íà äëèíó
a
âíèç, åãî îñòàâëÿþò ñâîáîäíî êîëåáàòüñÿ. Íàéòè
çàêîí äâèæåíèÿ ãðóçà.
2. Íàéòè ôîðìó ðàâíîâåñèÿ îäíîðîäíîé òÿæåëîé íåðàñòÿæèìîé íèòè ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè.
3. Íàéòè ôîðìó ðàâíîâåñèÿ îäíîðîäíîé ïðóæèíû ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè, ó êîòîðîé íàòÿæåíèå â êàæäîì ìåñòå ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
4. Âû÷èñëèòå àìïëèòóäó âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà ìàññû ïîä äåéñòâèåì
âíåøíåé ñèëû
ðàâåí
F = sin ωt,
åñëè êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ðàâåí
k2 ,
à êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
a.
5. Öåïü äëèíîþ
l
öåïè, ñ äðóãîé -
ìåòðîâ ïåðåáðîøåíà ÷åðåç áëîê. Ñ îäíîé ñòîðîíû ñâèñàåò
b=8
ìåòðîâ. ×åðåç êàêîå âðåìÿ öåïü ñîéäåò ñ áëîêà?
5
a = 10
âåòðîâ
6. Öåïü äëèíîé 4 ì ñîñêàëüçûâàåò ñ ãëàäêîãî ãîðèçîíòàëüíîãî ñòîëà.  íà÷àëüíûé ìîìåíò äâèæåíèÿ ñâèñàë êîíåö öåïè äëèíîé 0.5 ì. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéòè âðåìÿ ñîñêàëüçûâàíèÿ
âñåé öåïè.
7. Ïóëÿ âõîäèò â áðóñ òîëùèíîé 12 ñì ñî ñêîðîñòüþ 200 ì/ñåê, âûëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ 60
ì/ñåê. Áðóñ ñîïðîòèâëÿåòñÿ äâèæåíèþ ïóëè ñ ñèëîé, ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó ñêîðîñòè
äâèæåíèÿ. Íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ ïóëè ÷åðåç áðóñ.
8. Ìàññà ðàêåòû ñ ïîëíûì çàïàñîì òîïëèâà ðàâíà M, áåç òîïëèâà m, ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ïðîäóêòîâ ãîðåíèÿ èç ðàêåòû ðàâíà c, íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàêåòû ðàâíà íóëþ. Íàéòè ñêîðîñòü
ðàêåòû ïîñëå ñãîðàíèÿ òîïëèâà, ïðåíåáðåãàÿ ñèëîé òÿæåñòè è ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà.
9. Ïóñòü
- âûïóêëàÿ äèôôåðåíöèèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ñåìåéñòâî êà-
y = f (x)
ñàòåëüíûõ ê ãðàôèêó ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿåò íåêîòîðîìó óðàâíåíèþ Êëåðî
ϕ(y 0 ).
 îáðàòíóþ ñòîðîíó, ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Êëåðî îáðàçóþò ñåìåéñòâî ïðÿìûõ è åãî
îãèáàþùàÿ.t
>0
10.∗ Íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ (x
= 0)
ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ òåìïåðàòóðà
ñòåðæíÿ, ëåæàùèõ íà ðàçíûõ ðàññòîÿíèÿõ
τ (x).
y = xy 0 +
Íàéòè çàâèñèìîñòü
τ0 .  òî÷êàõ
x îò ëåâîãî êîíöà, óñòàíàâëèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà
τ (x).
11. Íåêîòîðîå âåùåñòâî À ðàçëàãàåòñÿ íà äâà âåùåñòâà P è Q. Ñêîðîñòü îáðàçîâàíèÿ êàæäîãî
èç íèõ ïðîïîðöèîíàëüíà êîëè÷åñòâó íåðàçëîæåííîãî âåùåñòâà. Ïóñòü
x
è
y
- êîëè÷åñòâà
âåùåñòâ P è Q, îáðàçîâàâøèõñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè t. Îïðåäåëèòü çàêîí èçìåíåíèÿ
çíàÿ, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè
x = y = 0,
à ÷åðåç 1 ìèíóòó
x=
3
8 c,
y=
x
è
1
8 c, ãäå
y,
c-
ïåðâîíà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà.
12. Îäèí ãðàìì âåùåñòâà
A
ïðåâðàùàåòñÿ ïîñòåïåííî â ïðîìåæóòî÷íîå âåùåñòâî
äàëåå ïðåâðàùàåòñÿ â âåùåñòâî
C.
Íàéòè êîëè÷åñòâî âåùåñòâà
íè. Ñêîðîñòü ïðåâðàùåíèÿ âåùåñòâà
ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
A
â âåùåñòâî
B
C
B,
êîòîðîå
â ëþáîé ìîìåíò âðåìå-
ïðîïîðöèîíàëüíà ñ êîýôôèöèåíòîì
k1 êîëè÷åñòâó èìåþùåãîñÿ íà äàííûé ìîìåíò âåùåñòâà A, ñêîðîñòü
B â âåùåñòâî C ïðîïîðöèîíàëüíà ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüèìåþùåãîñÿ íà äàííûé ìîìåíò âåùåñòâà B .
ïðåâðàùåíèÿ âåùåñòâà
íîñòè
k2
êîëè÷åñòâó
13. Ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åíû ñîïðîòèâëåíèå R, èíäóêòèâíîñòü L, è êîíäåíñàòîð åìêîñòè C,
çàðÿä êîòîðîãî ïðè
t > 0,
t=0
ðàâåí
q.
Öåïü çàìûêàåòñÿ ïðè
ñ÷èòàÿ, ÷òî îíà ðàâíà íóëþ ïðè
t = 0.
Íàéòè ñèëó òîêà â öåïè ïðè
t = 0.
14. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç äâóõ êîíòóðîâ ÀÂÑÄ è BCMN ñ îáùèì ó÷àñòêîì BC. Íà
ó÷àñòêå À ðàçìåùåíî ñîïðîòèâëåíèå R, íà ó÷àñòêå MN - èíäóêòèâíîñòü L, íà ó÷àñòêå
ÂÑ - åìêîñòü Ñ, à íà ó÷àñòêå AÄ ðàñïîëîæåí èñòî÷íèê òîêà ñ íàïðÿæåíèåì
E = V sin ωt.
ω èëà òîêà
Íàéòè ñèëó òîêà íà ó÷àñòêå À â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå. Ïðè êàêîé ÷àñòîòå
íàèáîëüøàÿ?
15. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ôèëüòð ñîñòîèò èç äâóõ êîíòóðîâ ÀÂÑÄ è BCMN ñ îáùèì ó÷àñòêîì BC.
Íà ó÷àñòêàõ À è BM ðàçìåùåíû îäèíàêîâûå èíäóêòèâíîñòè L, , íà ó÷àñòêå MN - ñîïðîòèâëåíèå R, íà ó÷àñòêå ÂÑ - åìêîñòü Ñ, à íà ó÷àñòêå AÄ ðàñïîëîæåí èñòî÷íèê òîêà
ñ íàïðÿæåíèåì
E = V sin ωt.
Íàéòè ñèëó òîêà íà ó÷àñòêå ÑÄ è ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà
ñîïðîòèâëåíèè â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå (âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ).
16.∗ Íàéäèòå ïåðèîäû ìàëûõ êîëåáàíèé âîêðóã ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â
ïîòåíöèàëå
U (x) = x2 (a2 (x − 1)2 + b2 ).
Äâèæåíèå òî÷êè îïèñûâàåòñÿ çàêîíîì Íüþòîíà
ẍ +
dU (x)
=0
dx
6
17.∗  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è âûðàçèòå â êâàäðàòóðàõ (ò.å., èíòåãðàëàõ îò ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé) âðåìÿ äâèæåíèÿ îò òî÷êè
ïðè äâèæåíèè ðàâíà
x1
äî òî÷êè
x2
ïðè óñëîâèè, ÷òî ïîëíàÿ ýíåðãèÿ òî÷êè
E.
Ëèòåðàòóðà.
1. Ïåòðîâñêèé È.Ã. Ëåêöèè ïî òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
2. Ñòåïàíîâ Â.Â. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
3. Àðíîëüä È.Â. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.
4. Ôèëèïïîâ À.Ô. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.
5. Ýëüñãîëüö Ë.Ý. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå.
6. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.
7