5. Диагонализация

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, îñåíü 2015
Ëåêöèÿ 5: òåõíèêà äèàãîíàëèçàöèè
Êðàòêîå ñîäåðæàíèå
Òåõíèêà äèàãîíàëèçàöèè. Òåîðåìà îá èåðàðõèè ïî âðåìåíè. Ïðèìåð ôóíêöèè,
íå êîíñòðóèðóåìîé ïî âðåìåíè. Ïîñòðîåíèå ïîäîáíîé ôóíêöèè, äëÿ êîòîðîé íåâåðíà òåîðåìà îá èåðàðõèè. Òåîðåìà Ëàäíåðà î ñóùåñòâîâàíèè NP-ïðîìåæóòî÷íûõ
çàäà÷. Âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì. Ðåëÿòèâèçàöèÿ ñëîæíîñòíûõ êëàññîâ. Òåîðåìà
ÁåéêåðàÄæèëëàÑîëîâýÿ î íåðåëÿòèâèçóåìîñòè óòâåðæäåíèÿ P = NP. Ñëó÷àéíûå îðàêóëû.
Òåõíèêà äèàãîíàëèçàöèè, âîñõîäÿùàÿ ê Ãåîðãó Êàíòîðó, ìîùíûé èíñòðóìåíò, ïîçâîëÿþùèé äîêàçàòü ìíîãèå ôàêòû â ìàòåìàòèêå è ëîãèêå. Òàê, ñ å¼ ïîìîùüþ äîêàçûâàþòñÿ íåñ÷¼òíîñòü ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû ñàìîïðèìåíèìîñòè, ñóùåñòâîâàíèå âû÷èñëèìîé íåïðîäîëæàåìîé ôóíêöèè è äðóãèå óòâåðæäåíèÿ, à òàêæå ïîëó÷àþòñÿ íåêîòîðûå ëîãè÷åñêèå ïàðàäîêñû. Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà
ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû â áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé òàáëèöå âçÿòü äèàãîíàëü, èçìåíèòü å¼
â êàæäîé òî÷êå è ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â òàáëèöå îòñóòñòâóåò. Íà ýòîé ëåêöèè ìû èçó÷èì ïðèìåðû èñïîëüçîâàííèÿ ýòîé òåõíèêè ê ñëîæíîñòè
âû÷èñëåíèé, íî òàêæå è óâèäèì ãðàíèöû å¼ ïðèìåíèìîñòè.
1
Èåðàðõèÿ ïî âðåìåíè
 òåîðèè ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèé èìååòñÿ ìíîæåñòâî ðàçðûâîâ ìåæäó ñëîæíîñòíûìè
êëàññàìè, ïðî êîòîðûå íåëüçÿ íè äîêàçàòü, íè îïðîâåðãíóòü èõ ñòðîãîñòü. Òåì èíòåðåñíåå ñëó÷àè, êîãäà òàêîé ðàçðûâ ìîæíî îáîñíîâàòü ñòðîãî. Îäèí èç èíñòðóìåíòîâ,
ïîçâîëÿþùèé äîêàçàòü, íàïðèìåð, P ( E ( EXP ýòî òåîðåìà îá èåðàðõèè ïî âðåìåíè. Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, òåîðåìà îá èåðàðõèè ãëàñèò, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ g(n) ðàñò¼ò
ñóùåñòâåííî áûñòðåå, ÷åì f (n), òî çà âðåìÿ g(n) ìîæíî ðàñïîçíàòü áîëüøå ÿçûêîâ, ÷åì
çà âðåìÿ f (n). Òî÷íàÿ ôîðìóëèðîâêà òàêàÿ:
(îá èåðàðõèè ïî âðåìåíè). Ïóñòü f : N → N è g : N → N ñòðîãî ìîíîòîííûå êîíñòðóèðóåìûå ïî âðåìåíè ôóíêöèè, òàêèå ÷òî f (n) log f (n) = o(g(n)). Òîãäà
DTIME(f (n)) ( DTIME(g(n)).
Òåîðåìà 1
Äîêàçàòåëüñòâî. Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïåðåáèðàòü âñå âîçìîæíûå
àëãîðèòìû, ðàáîòàþùèå íå áîëüøå O(f (n)), è ïîñòåïåííî ñòðîèòü ÿçûê òàê, ÷òîáû âñå
ýòè àëãîðèòìû îøèáàëèñü. Ïðè ýòîì ñàìî ïîñòðîåíèå ðàáîòàåò çà âðåìÿ, íå ñèëüíî
áîëüøåå, ÷åì f (n).
Áîëåå ôîðìàëüíî, ðàññìîòðèì êîíñòðóèðóåìóþ ïî âðåìåíè ôóíêöèþ h(n), òàêóþ
÷òî f (n) = o(h(n)) è h(n) log
p h(n) = o(g(n)). (Òàêàÿ òî÷íî åñòü: íàïðèìåð, ìîæíî ðåøèòü
óðàâíåíèå h(n) log h(n) = f (n) log f (n)g(n) ). Çàíóìåðóåì âñå ìàøèíû Òüþðèíãà, òàê
÷òîáû êàæäàÿ ìàøèíà èìåëà áåñêîíå÷íî ìíîãî íîìåðîâ, è ïî ÷èñëó n ìîæíî áûëî
1
ïîñòðîèòü ìàøèíó Mn çà âðåìÿ O(n).1 Ðàññìîòðèì ÿçûê D = {n | ìàøèíà Mn èëè íå
îñòàíàâëèâàåòñÿ íà n çà âðåìÿ h(n), èëè îñòàíàâëèâàåòñÿ è âûäà¼ò 0}. Ïîêàæåì, ÷òî
D ∈ DTIME(g(n)) \ DTIME(f (n)).
Âíà÷àëå äîêàæåì, ÷òî D ∈ DTIME(g(n)). Àëãîðèòì ìîæíî ïîñòðîèòü íåïîñðåäñòâåííî: ñíà÷àëà çà âðåìÿ O(n) íóæíî ïîëó÷èòü ïðîãðàììó Mn , ïîòîì âû÷èñëèòü h(n)
(çà âðåìÿ O(h(n))), çàòåì çàïóñòèòü Mn íà òàêîå ÷èñëî øàãîâ è ïîñìîòðåòü, âûïîëíåíî
ëè óñëîâèå.
Òåïåðü ïóñòü D ∈ DTIME(f (n)). Ïóñòü T ìàøèíà, ðàñïîçíàþùàÿ D, ðàáîòàþùàÿ
âðåìÿ Cf (n). Íàéä¼ì k , òàêîå ÷òî T = Mk è ïðè ýòîì Cf (k) < h(k). ×åìó ìîæåò áûòü
ðàâíî Mk (k)? Åñëè k ∈ D, òî Mk (k) = 1. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Mk (k) íå îñòàíàâëèâàåòñÿ
çà âðåìÿ h(k) èëè îñòàíàâëèâàåòñÿ è âûäà¼ò 0, ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè æå k 6∈ D, òî Mk (k) =
0, è òîãäà âåðíî, ÷òî Mk (k) îñòàíàâëèâàåòñÿ çà h(k) øàãîâ è âûäà¼ò 0. Íî òîãäà k ∈ D,
ñíîâà ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, D 6∈ DTIME(f (n)), ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Òåîðåìà îá èåðàðõèè ïîçâîëÿåò äîêàçàòü, ÷òî íå âñå ôóíêöèè êîíñòðóèðóåìûå.
Òåîðåìà 2.
Ñóùåñòâóþò ôóíêöèè, íå êîíñòðóèðóåìûå ïî âðåìåíè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå îá èåðàðõèè ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî S èç EEXP \ EXP.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ t(n) = 2n + χS (n), ãäå χS (n) ïîíèìàåòñÿ êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ
ôóíêöèÿ S , ïðèìåí¼ííàÿ ê äâîè÷íîé çàïèñè n. Åñëè áû t(n) áûëà âû÷èñëèìà çà âðåìÿ
t(n), òî è χS (n) áûëà áû âû÷èñëèìà çà âðåìÿ t(n), òî åñòü çà âðåìÿ, ýêñïîíåíöèàëüíîå
îò äëèíû äâîè÷íîé çàïèñè n. Íî â òàêîì ñëó÷àå S ∈ EXP, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó
S.
Äëÿ ïîñòðîåííîé ôóíêöèè òåîðåìà îá èåðàðõèè âåðíà: ýòà ôóíêöèÿ ðàâíà ëèáî 2n,
ëèáî 2n + 1 (ìû âçÿëè èìåííî 2n, ÷òîáû ôóíêöèÿ áûëà ìîíîòîííîé). Îäíàêî â îáùåì
ñëó÷àå òåîðåìà îá èåðàðõèè äëÿ ôóíêöèé, íå êîíñòðóèðóåìûõ ïî âðåìåíè, ìîæåò áûòü
íåâåðíîé. Áîëåå òîãî, âåðíà òàêàÿ òåîðåìà:
Äëÿ ëþáîé âñþäó îïðåäåë¼ííîé âû÷èñëèìîé ôóíêöèè g(n) > n ñóùåñòâóåò âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ âû÷èñëèìàÿ ôóíêöèÿ t(n), òàêàÿ ÷òî DTIME(g(t(n))) =
DTIME(t(n)).
Òåîðåìà 3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èäåÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: êàæäàÿ âñþäó îïðåäåë¼ííàÿ ìàøèíà ðàñïîçíà¼ò íåêîòîðûé ÿçûê çà íåêîòîðîå âðåìÿ. Ìû áóäåì ñòðîèòü t(n) òàê, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî åñëè ìàøèíà íå îñòàíîâèëàñü çà t(n), òî îíà ïðîðàáîòàåò õîòÿ áû g(t(n)).
Åñëè áû ìàøèí áûëî êîíå÷íîå ÷èñëî, ýòî íå ñîñòàâèëî áû òðóäà. Ìû áóäåì ñ êàæäûì
øàãîì ðàññìàòðèâàòü âñ¼ áîëüøå è áîëüøå ìàøèí, è àñèìïòîòè÷åñêè ýòî áóäåò âåðíî
äëÿ âñåõ.
Îïèøåì êîíñòðóêöèþ áîëåå ôîðìàëüíî. Îïðåäåëèì ÷åðåç timeM (n) ìàêñèìàëüíîå
âðåìÿ ðàáîòû ìàøèíû M íà âõîäàõ äëèíû n (åñëè íà êàêîì-òî âõîäå M íå îñòàíàâëèâàåòñÿ, òî ∞). Äàëåå, îïðåäåëèì t(n) òàê:
t(n) = min{k > t(n − 1) | ∀i 6 n timeMi (n) < k èëè timeMi (n) > ng(k)}.
1 Äîñòàòî÷íî,
÷òîáû êàæäàÿ ïðîãðàììà èìåëà õîòÿ áû îäèí íîìåð, òàê ÷òî ìîæíî äîïèñûâàòü
íåäîñòèæèìûå êîìàíäû, ïîêà íå áóäåò äîñòèãíóò íóæíûé ðàçìåð.
2
Çàìåòèì, ÷òî timeM (n) íå âû÷èñëèìà: èç-çà íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû îñòàíîâêè íåâîçìîæíî ïîíÿòü, ðàâíà îíà êàêîìó-íèáóäü êîíå÷íîìó ÷èñëó èëè áåñêîíå÷íîñòè. Îäíàêî
ïðåäèêàò ¾timeM (n) < k èëè timeM (n) > ng(k)¿ ðàçðåøèì: äîñòàòî÷íî çàïóñòèòü M íà
âñåõ âõîäàõ äëèíû n íà g(k) øàãîâ (à g âû÷èñëèìà ïî óñëîâèþ). Ïîýòîìó ðàçðåøèì è
ïðåäèêàò ∀i 6 n timeMi (n) < k èëè timeMi (n) > ng(k). Áîëåå òîãî, îí âåðåí äëÿ áåñêîíå÷íî ìíîãèõ k , èç-çà òîãî, ÷òî timeMi (n) ïðèíèìàåò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé
äëÿ i îò 1 äî n. Çíà÷èò, ôóíêöèÿ t(n) êîððåêòíî îïðåäåëåíà êàê ìèíèìóì íåïóñòîãî
ìíîæåñòâà è âû÷èñëèìà.
Äîêàæåì, ÷òî t(n) èñêîìàÿ. Ïóñòü íåâåðíî, ÷òî DTIME(g(t(n))) = DTIME(t(n)).
Ïîñêîëüêó g(n) > n, ýòî âîçìîæíî, òîëüêî åñëè íàéä¼òñÿ S èç DTIME(g(t(n))) \
DTIME(t(n)). Ïóñòü S ðàñïîçíà¼òñÿ ìàøèíîé Mq . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå n > q . Ïî
îïðåäåëåíèþ t(n) äëÿ ëþáîãî i 6 n âûïîëíåíî timeMi (n) < t(n) èëè timeMi (n) > g(t(n)).
 ÷àñòíîñòè, timeMq (n) < t(n) èëè timeMq (n) > ng(t(n)). Íî âòîðîå íåâîçìîæíî, ò.ê.
S ∈ DTIME(g(t(n))). Çíà÷èò, timeMq (n) < t(n) ïðè âñåõ n > q . Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî
S ∈ DTIME(t(n)), ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò, DTIME(g(t(n))) = DTIME(t(n)), ÷òî è
òðåáîâàëîñü.
2
Ñóùåñòâîâàíèå
NP-ïðîìåæóòî÷íûõ
çàäà÷
Äëÿ áîëüøèíñòâà çàäà÷ èç NP èçâåñòåí ëèáî ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì, ëèáî äîêàçàòåëüñòâî NP-ïîëíîòû. Îäíàêî èçâåñòíî íåñêîëüêî çàäà÷, ïðî êîòîðûõ íå èçâåñòíî
íè òîãî, íè äðóãîãî. Ïðåæäå âñåãî, ýòî çàäà÷à îá èçîìîðôèçìå ãðàôîâ, çàäà÷à î ðàçëîæåíèè ÷èñëà íà ìíîæèòåëè è çàäà÷à äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìèðîâàíèÿ. Ðàçóìååòñÿ, â
ñëó÷àå P = NP âñå ýòè çàäà÷è ðåøàþòñÿ çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Îäíàêî íè ïðî
îäíó èç íèõ íåò òåîðåìû î òîì, ÷òî îíà èìåííî NP-ïðîìåæóòî÷íàÿ â ñëó÷àå P = NP.
Ïîäîáíàÿ òåîðåìà äîêàçàíà ïðî íåêîòîðóþ î÷åíü èñêóññòâåííóþ çàäà÷ó, ê êîòîðîé ìû
ñåé÷àñ è ïåðåõîäèì.
(Ëàäíåðà). Åñëè P 6= NP, òî ñóùåñòâóåò ÿçûê èç NP, íå ëåæàùèé â P
è íå NP-ïîëíûé.
Òåîðåìà 4
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì äîêàçàòåëüñòâî â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåìì. Âíà÷àëå ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå. Ïóñòü H : N → N íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà SATH =
H(n)
{ψ01n
: ϕ ∈ SAT è |ψ| = n}. ßñíî, ÷òî äëÿ ïîëèíîìèàëüíî (îò n) âû÷èñëèìîé H
çàäà÷à SATH áóäåò ëåæàòü â NP: ñíà÷àëà ïîëèíîìèàëüíûì àëãîðèòìîì ìîæíî ïðîâåH(n)
ðèòü, èìååò ëè ñëîâî âèä ψ01n
, ãäå |ψ| = n, à ïîòîì ïðîâåðèòü âûïîëíèìîñòü ψ ïðè
ïîìîùè ñåðòèôèêàòà. Íà÷í¼ì èçëîæåíèå äîêàçàòåëüñòâà, âíà÷àëå äîêàçàâ óòâåðæäåíèå, âåðíîå äëÿ ëþáéî H .
Åñëè H âû÷èñëèìà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ, limn→∞ H(n) = ∞ è SATH
ÿâëÿåòñÿ N P -ïîëíûì ÿçûêîì, òî SAT ∈ P.
Ëåììà 5.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ïðè èçâåñòíîì n ìîæíî çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ ïðîH(n)
âåðèòü, èìååò ëè ñëîâî x âèä ψ01n
. Åñëè íå èìååò, òî òî÷íî x 6∈ SATH , èíà÷å
x 6∈ SATH ⇔ ψ ∈ SAT. Åñëè SATH ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíûì, òî SAT ñâîäèòñÿ ê SATH
íåêîòîðîé êîíêðåòíîé ôóíêöèåé, óâåëè÷èâàþùåé äëèíó â íåêîòîðîå ïîëèíîìèàëüíîå
3
÷èñëî ðàç nc . Åñëè n íàñòîëüêî áîëüøîå, ÷òî H(n) > 2c, òî ïîñëåäîâàòåëüíîå ñâåäåíèå
SAT
√ ê SATH , à ïîòîì îáðàòíî ê SAT ïðåâðàòèò ôîðìóëó äëèíû n â ôîðìóëó äëèíû
n. Ïîðÿäêà log log n òàêèõ îïåðàöèé äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ôîðìóëó êîíñòàíòíîé äëèíû, âûïîëíèìîñòü êîòîðîé ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî.
 äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
H(n) = min{log log n, min{d < log log n :
∀x ∈ {0, 1}6log n Md (x) = SATH (x) è ðàáîòàåò 6 d|x|d øàãîâ}}.
Ïîÿñíèì, ÷òî èìååòñÿ â âèäó. Âíåøíèé ìèíèìóì íóæåí òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæåñòâî ïîä âíóòðåííèì ìèíèìóìîì ïóñòîå, è îòòîãî âíóòðåííèé ìèíèìóì ðàâåí ∞.
Ïîä çàïèñüþ SATH (x) ìû ïîíèìàåì çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè. Òàêèì îáðàçîì, óòâåðæäåíèå â âòîðîé ñòðî÷êå ãîâîðèò, ÷òî ìàøèíà Md ïðàâèëüíî ðàñïîçíà¼ò
SATH äëÿ âñåõ êîðîòêèõ x è ïðè ýòîì ðàáîòàåò çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ (âïðî÷åì, ñòåïåíü ýòîãî ïîëèíîìà ðàâíà íîìåðó ìàøèíû, ò.å. äîñòàòî÷íî âåëèêà). Çàìåòèì, ÷òî ýòî
îïðåäåëåíèå ðåêóðñèâíî, íî ïðè ýòîì ðåêóðñèÿ ðàñêðûâàåòñÿ êîððåêòíî: çíà÷åíèå íà n
çàâèñèò òîëüêî îò çíà÷åíèé íà âõîäàõ íå áîëüøå log n. Íåïîñðåäñòâåííîé ðåàëèçàöèåé
ìîæíî ïîëó÷èòü àëãîðèòì, âû÷èñëÿþùèé H(n) çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.2 Ïåðåéä¼ì
ê ñëåäóþùèì ëåììàì.
Ëåììà 6.
Åñëè SATH ∈ P, òî H îãðàíè÷åíà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè SATH ∈ P, òî SATH ðàñïîçíà¼òñÿ íåêîòîðîé
ìàøèíîé Mc çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî c íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî
ýòîò ïîëèíîì ìåíüøå c|x|c : íóæíî âçÿòü ýêâèâàëåíòíóþ ìàøèíó ñ äîñòàòî÷íî áîëüøèì
c
íîìåðîì.  òàêîì ñëó÷àå äëÿ n > 22 èìååì H(n) 6 c, îòêóäà H îãðàíè÷åíà.
Ñëåäóþùàÿ ëåììà ïîêàçûâàåò, ÷òî âåðíî è îáðàòíîå: åñëè H îãðàíè÷åíà, òî SATH ∈
P. Ìû äîêàæåì å¼ äëÿ áîëåå îáùåé ïîñûëêè, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì ðàññóæäåíèè.
Ëåììà 7.
Åñëè H ïðèíèìàåò íåêîòîðîå çíà÷åíèå áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç, òî SATH ∈ P.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü H(n) = k äëÿ áåñêîíå÷íî ìíîãèõ n.  òàêîì ñëó÷àå Mk ðàñïîçíà¼ò SATH çà âðåìÿ k|x|k äëÿ âñåõ x äëèíû íå áîëüøå log n, è ïðîèñõîäèò ýòî äëÿ
áåñêîíå÷íî ìíîãèõ n. Òàê êàê n ðàñò¼ò íåîãðàíè÷åííî, òî è log n ðàñò¼ò íåîãðàíè÷åííî,
çíà÷èò, Mk ðàñïîçíà¼ò SATH çà âðåìÿ k|x|k ïðîñòî äëÿ âñåõ x. À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî
SATH ∈ P.
2 Äîêàæåì,
âû÷èñëÿòü çà
d|x|d
îò
âñå
x
O(n2 ).
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ âû÷èñëåíèÿ
äëèíû íå áîëüøå
øàãîâ. Âñåãî çàïóñêîâ áóäåò ïîðÿäêà
4
log n
H(n)
íóæíî ïå-
Md (x) íà
n log log n, à êàæäûé çàïóñê çàéì¼ò ïîðÿäêà (log n)log log n
1+ε
øàãîâ, ò.å. îáùåå êîëè÷åñòâî øàãîâ áóäåò ïîðÿäêà n
. Òàêæå íóæíî áóäåò âû÷èñëÿòü SATH (x) äëÿ
âñåõ x êîðî÷å log n. Äëÿ ýòîãî íóæíî çíàòü H(1), . . . , H(log n). Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé âåðíî ïðåäïîëî2
æåíèå èíäóêöèè, ò.å. êàæäîå èç íèõ ìîæíî âû÷èñëèòü çà O(log n). Çíà÷èò, èõ âñå ìîæíî âû÷èñëèòü
3
çà O(log n). Òàêæå íóæíî ðåøàòü çàäà÷ó SAT äëÿ ôîðìóë äëèíû ïîðÿäêà log n. Ýòî ìîæíî äåëàòü
ïîëíûì ïåðåáîðîì çà âðåìÿ ïîðÿäêà n. Òàêèì îáðàçîì, âñå SATH (x) òàêæå âû÷èñëÿþòñÿ çà âðåìÿ
O(n1+ε ). Îñòàëîñü ñðàâíèòü âñå Md (x) è SATH (x), ÷òî äåëàåòñÿ çà òàêîå æå âðåìÿ. Òàêèì îáðàçîì,
2
âðåìåíè n çàâåäîìî õâàòèò.
ðåáðàòü âñå
d
H(n) ìîæíî
1 äî log log n,
÷òî
è äëÿ êàæäîé ïàðû çàïóñòèòü
Íàêîíåö, ïîñëåäíÿÿ ëåììà:
Ëåììà 8.
Åñëè H îãðàíè÷åíà, òî SAT ∈ P.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò íåêîòîðîå çíà÷åíèå áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç, òî èç ïðåäûäóùåé ëåììû SATH ∈ P. Íî åñëè H(n) 6 M ïðè
H(|ψ|)
âñåõ n, òî ñâîäèìîñòü ψ 7→ ψ01|ψ|
áóäåò ïîëèíîìèàëüíîé, îòêóäà SAT 6p SATH
è SAT ∈ P.
Òåïåðü òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ òàê: åñëè SATH ∈ P, òî H îãðàíè÷åíà, à òîãäà SAT ∈ P
è P = NP, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Åñëè H íå ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè,
òî îíà ïðèíèìàåò íåêîòîðîå çíà÷åíèå áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç, è âñ¼ ðàâíî SATH ∈ P.
Åñëè H ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à SATH ÿâëÿåòñÿ NP-ïîëíîé, òî âíîâü SAT ∈ P è
P = NP. Îñòà¼òñÿ âàðèàíò, êîãäà H ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, íî SATH 6∈ P è SATH
íå NP-ïîëíà, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
3
3.1
Ðåëÿòèâèçàöèÿ óòâåðæäåíèÿ
P = NP
Âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì
 òåîðèè âû÷èñëèìîñòè èçâåñòíà êîíöåïöèÿ âû÷èñëåíèé ñ îðàêóëîì, êîãäà ìîæíî
äåëàòü çàïðîñû ê íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó èëè íåêîòîðîé ôóíêöèè. Íàëè÷èå îðàêóëà ìîæåò ðàñøèðèòü êëàññû âû÷èñëèìûõ ôóíêöèé è ðàçðåøèìûõ ìíîæåñòâ.  òåîðèè ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèé çàïðîñû ê îðàêóëó âûïîëíÿþòñÿ çà 1 øàã, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâåííî
óñêîðèòü âû÷èñëåíèå, äàæå åñëè îòâåòû îðàêóëà âû÷èñëèì. Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ
ñëåäóþùåé ìîäåëè:
Ìàøèíîé òüþðèíãà ñ îðàêóëîì A ⊂ {0, 1}∗ íàçûâàåòñÿ ìàøèíà, èìåþùàÿ ñïåöèàëüíóþ ëåíòó, íàçûâàåìîé îðàêóëüíîé è òðè âûäåëåííûõ ñîñòîÿíèÿ qask ,
qyes è qno . Åñëè ìàøèíà ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå qask , òî íà ñëåäóþùåì øàãå îíà ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå qyes èëè qno â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ëåæèò ëè ñîäåðæèìîå îðàêóëüíîé
ëåíòû â ìíîæåñòâå A. Èçíà÷àëüíî îðàêóëüíàÿ ëåíòà ïóñòà. Åñëè ïðè çàïðîñå íà íåé
çàïèñàíî íå äâîè÷íîå ñëîâî, òî îíà ïåðåõîäèò, íàïðèìåð, â ñîñòîÿíèå qno .
Îïðåäåëåíèå 9.
Åñëè ìàøèíà íåäåòåðìèíèðîâàííàÿ, òî îòâåòû îðàêóëà âñ¼ ðàâíî ïîëó÷àþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííî, à âîò çàïðîñû ê îðàêóëó ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè â çàâèñèìîñòè îò
íåäåòåðìèíèðîâàííîãî âûáîðà. Äëÿ ìàøèí ñ îðàêóëîì ìîæíî îïðåäåëÿòü ñëîæíîñòíûå
êëàññû:
Êëàññîì DTIMEA (T (n)) íàçûâàåòñÿ êëàññ ÿçûêîâ, êîòîðûå ðàñïîçíàþòñÿ íà äåòåðìèíèðîâàííîé ìàøèíå Òüþðèíãà ñ îðàêóëîì A çà âðåìÿ O(T (n)).
Êëàññîì NTIMEA (T (n)) íàçûâàåòñÿ êëàññ ÿçûêîâ, êîòîðûå ðàñïîçíàþòñÿ íà íå äåòåðìèíèðîâàííîé
ìàøèíå Òüþðèíãà ñ îðàêóëîì A çà âðåìÿ O(T (n)). Èñïîëüçóþòñÿ ñòàíäàðòíûå îáîçíàA
c
∞
c
÷åíèÿ PA = ∪∞
c=1 DTIME(n ) è NP = ∪c=1 NTIME(n ).
Îïðåäåëåíèå 10.
Òåîðåìà î ñåðòèôèêàòíîì îïðåäåëåíèè NP è âëîæåííîñòü P â NP òðèâèàëüíûì
îáðàçîì ïåðåíîñÿòñÿ íà àíàëîãè÷íûå äëÿ êëàññîâ ñ îðàêóëîì (êàê ãîâîðÿò, ðåëÿòèâèçèðóþòñÿ ). À âîò òåîðåìó ÊóêàËåâèíà òàê ïåðåíåñòè óæå íåëüçÿ: îòâåòû îðàêóëà íå
5
ìîäåëèðóþòñÿ áóëåâûìè ôîðìóëàìè. Áîëåå òîãî, ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî
íèêàêîé òåõíèêîé, ïåðåíîñÿùåéñÿ íà âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì, íåëüçÿ íè äîêàçàòü, íè
îïðîâåðãíóòü óòâåðæäåèíå P = NP.
3.2
Òåîðåìà ÁåéêåðàÄæèëëàÑîëîâýÿ
(Áåéêåð, Äæèëë, Ñîëîâýé) Äëÿ íåêîòîðîãî îðàêóëà A âûïîëíåíî PA =
NPA , à äëÿ íåêîòîðîãî äðóãîãî îðàêóëà B âûïîëíåíî PB 6= NPB .
Òåîðåìà 11.
Äîêàçàòåëüñòâî.  êà÷åñòâå îðàêóëà A âîçüì¼ì ÿçûê EXPCOM = {(M, x, 1t ) | M (x) =
1 è M (x) ðàáîòàåò íå äîëüøå 2t øàãîâ}. Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, ýòîò îðàêóë ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü ýêñïîíåíöèàëüíûå âû÷èñëåíèÿ çà 1 øàã. Ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
EXP ⊂ PEXPCOM ⊂ NPEXPCOM ⊂ EXP. Ïåðâîå âëîæåíèå âûïîëíåíî, èñõîäÿ èç ñàìîé ñóòè îðàêóëà: åñëè A ∈ EXP è ïðèíàäëåæíîñòü ê A ðàñïîçíà¼òñÿ ìàøèíîé M
çà âðåìÿ 2p(n) , òî äîñòàòî÷íî çàïðîñèòü îðàêóë î òðîéêå (M, x, 1p(n) ). Âòîðîå âëîæåíèå
âûïîëíåíî äëÿ ëþáîãî îðàêóëà. Íàêîíåö, òðåòüå âëîæåíèå âûïîëíåíî, ïîñêîëüêó ýêñïîíåíöèàëüíîãî âðåìåíè õâàòèò êàê äëÿ ïåðåáîðà âñåõ âåòâåé àëãîðèòìà, òàê è äëÿ
íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ îòâåòîâ íà çàïðîñû ê îðàêóëó.
Ñ îðàêóëîì B êîíñòðóêöèÿ áóäåò íå òàêàÿ ÿâíàÿ. Èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü B ïîñòåïåííî, òàê ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü îøèáêó äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ àëãîðèòìîâ. Äëÿ íà÷àëà çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì B ÿçûê UB = {1n | B ∩ {0, 1}n 6=
∅} ëåæèò â NPB . Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî íåäåòåðìèíèðîâàííî âûáðàòü ñëîâî x ∈ {0, 1}n
è çàïðîñèòü îðàêóë î ïðèíàäëåæíîñòè ê íåìó ýòîãî ñëîâà. Ìû áóäåì ñòðîèòü B òàê,
÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü UB 6∈ PB .
Ïîñòðîåíèå ÿçûêà ðàçäåëèì íà ñòàäèè. Íà êàæäîé ñòàäèè îïðåäåëÿåòñÿ ïðèíàäëåæíîñòü ê B òîëüêî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëîâ. Áîëåå òîãî, ïîñëå êàæäîé ñòàäèè äëÿ êàæäîé
äëèíû ëèáî ïðî âñå ñëîâà èçâåñòíî, ëåæàò ëè îíè â B , ëèáî íè ïðî îäíî íå èçâåñòíî. Íà
ñòàäèè k âûáåðåì ìèíèìàëüíóþ äëèíó m, òàêóþ ÷òî ïðî ñëîâà ýòîé äëèíû åù¼ íè÷åãî
m
íå èçâåñòíî, è çàïóñòèì ìàøèíó Mk íà âõîäå 1m íà 210 øàãîâ. Åñëè â ïðîöåññå âûïîëíåíèÿ ìàøèíà äåëàåò çàïðîñû ê îðàêóëó ïðî ñëîâà, ïðèíàäëåæíîñòü êîòîðûõ óæå
óñòàíîâëåíà, îòâå÷àåì ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè îíà äåëàåò çàïðîñû ê îðàêóëó ïðî íîâûå
ñëîâà, îòâå÷àåì ¾íåò¿ è ïîìå÷àåì, ÷òî ýòè ñëîâà íå ëåæàò â B . Íàêîíåö, åñëè ìàøèíà
äà¼ò íåêîòîðûé îòâåò, äåëàåì òàê, ÷òîáû îíà îøèáëàñü: åñëè îòâåò ¾äà¿, òî ïîìå÷àåì,
÷òî âñå ñëîâà äëèíû m íå ëåæàò â B (ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ò.ê. ïåðåä çàïóñêîì íè îäíî íå
áûëî ïîìå÷åíî, à â ïðîöåññå çàïóñêà ìîãëî ïîìå÷àòüñÿ òîëüêî îòñóòñòâèå â B ), à åñëè
îòâåò ¾íåò¿, òî âûáèðàåì íåêîòîðîå ñëîâî äëèíû m, íå ðàññìîòðåííîå â õîäå çàïóñêà
m
(òàêîå åñòü, ïîñêîëüêó âñåãî ñëîâ 2m , à ìàøèíà çàïðîñèëà íå áîëüøå 210 ), è ãîâîðèì,
÷òî îíî ëåæèò â B . Äàëåå ïðî âñå íåðàññìîòðåííûå ñëîâà äëèíû m, à òàêæå âñåõ äëèí,
ïðî êîòîðûå ìàøèíà äåëàëà çàïðîñû, ãîâîðèì, ÷òî îíè íå ïðèíàäëåæàò B , è ïåðåõîäèì
ê ñëåäóþùåé ñòàäèè.
ßñíî, ÷òî â õîäå ýòîãî ïðîöåññà ïðî êàæäîå ñëîâî ðàíî èëè ïîçäíî áóäåò ñêàçàíî,
ëåæèò îíî â B èëè íåò (èìåííî äëÿ ýòîãî ìû âûáèðàëè ìèíèìàëüíóþ äëèíó m; òàêæå
çàìåòèì, ÷òî èç êîíñòðóêöèè ïîëó÷èëîñü, ÷òî m > k ). Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ïîëó÷åííîãî
B äåéñòâèòåëüíî UB 6∈ PB . Ïóñòü ýòî íå òàê, è UB ðàñïîçíà¼òñÿ íåêîòîðûì àëãîðèòìîì
çà âðåìÿ p(n). Ïîñêîëüêó ó êàæäîãî àëãîðèòìà áåñêîíå÷íî ìíîãî íîìåðîâ, âûáåðåì òàm
êîé íîìåð k , ÷òî 210 > p(m) ïðè âñåõ m > k .  òàêîì ñëó÷àå íà ñòàäèè k ïîñòðîåíèÿ
6
B ìû çàïóñòèì Mk íà 1m äëÿ íåêîòîðîãî m > k . Ïîñêîëüêó âðåìÿ ðàáîòû Mk ìåíüøå
âðåìåíè, íà êîòîðîå ìû å¼ çàïóñòèì, îíà äîëæíà âûäàòü íåêîòîðûé îòâåò. Íî B áûëî ïîñòðîåíî òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ýòîò îòâåò áûë íåïðàâèëüíûì. Çíà÷èò, íèêàêîãî
ïîëèíîìèàëüíîãî àëãîðèòìà äëÿ ðàñïîçíàâàíèÿ UB íåò, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Çàìåòèì, ÷òî àêêóðàòíûì àíàëèçîì è íåáîëüøèì óòî÷íåíèåì ïðåäëîæåííîé êîíñòðóêöèè ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïîñòðîåííûé ÿçûê B ëåæèò â EXP.
3.3
Ñëó÷àéíûé îðàêóë
Õîòÿ èç ïðåäûäóùåãî äîêàçàòåëüñòâà ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî íàéòè îðàêóë, ïðè êîòîðîì PB 6= NPB ñëîæíåå, ÷åì îðàêóë, ïðè êîòîðîì PA = NPA , ýòî íå ñîâñåì òàê. Äëÿ
ñëó÷àéíîãî îðàêóëà ïî÷òè íàâåðíÿêà PB 6= NPB . Ìû äîêàæåì ýòó òåîðåìó äëÿ äâóõ
ðàñïðåäåëåíèé:
Ïóñòü C ñëó÷àéíûé ÿçûê, ïîëó÷åííûé ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: äëÿ
êàæäîé äëèíû n ñ âåðîÿòíîñòüþ 21 , íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ äëèí, â C íåò íè îäíîãî
ñëîâà ýòîé äëèíû, à ñ âåðîÿòíîñòüþ åù¼ 12 ðîâíî îäíî ñëîâî, ðàâíîâåðîÿòíî ñðåäè
âñåõ 2n ñëîâ.  òàêîì ñëó÷àå ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 âûïîëíåíî PC 6= NPC .
Òåîðåìà 12.
Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ÿçûê UC íå ñîäåðæèòñÿ â PC . Èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîé äëèíû m ïîëèíîìèàëüíûé
àëãîðèòì ñìîæåò çàïðîñèòü îðàêóë î íåáîëüøîé äîëå ñëîâ äëèíû m, ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ ïîëó÷èò îòâåò ¾íåò¿ ïðî âñå ýòè ñëîâà è íå ñìîæåò ïîíÿòü, åñòü ëè â ÿçûêå
êàêîå-íèáóäü ñëîâî òàêîé äëèíû. Ëþáîé åãî îòâåò áóäåò îøèáî÷íûì ñ âåðîÿòíîñòüþ,
áëèçêîé ê 12 , óæ òî÷íî áîëüøå 13 . Ïîñêîëüêó ýòî ïðîèñõîäèò â áåñêîíå÷íîì ÷èñëå äëèí
íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, õîòü ãäå-íèáóäü áóäåò îøèáêà ïî÷òè íàâåðíÿêà.
(ÁåííåòàÄæèëëà) Ïóñòü C ñëó÷àéíûé ÿçûê, â êîòîðîì êàæäîå
ñëîâî ñîäåðæèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 12 íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ.  òàêîì ñëó÷àå ñ
âåðîÿòíîñòüþ 1 âûïîëíåíî PC 6= NPC .
Òåîðåìà 13.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû áóäåì äîêàçûâàòü, ÷òî NPC 6= coNPC ñ âåðîÿòíîñòüþ 1. Êàê
ñëåäñòâèå, PC 6= NPC : òåîðåìà î òîì, ÷òî P = NP âëå÷¼ò NP = coNP, âûïîëíÿåòñÿ è
äëÿ âû÷èñëåíèé ñ îðàêóëîì.
×åðåç C(x) áóäåì îáîçíà÷àòü õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îðàêóëà C . Ðàññìîòðèì
ôóíêöèþ ξC : {0, 1}∗ → {0, 1}∗ , çàäàííóþ ñîîòíîøåíèåì ξC (x) = C(x1)C(x10)C(x100) . . . C(x10|x|−1 ).
Ýòà ôóíêöèÿ ñîõðàíÿåò äëèíó è ëåãêî âû÷èñëèìà ïðè äîñòóïå ê îðàêóëó C .  ÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâî RANGEC = {y | ∃x y = ξC (x)} ëåæèò â NPC : äîñòàòî÷íî íåäåòåðìèíèðîâàííî óãàäàòü x è ïðîâåðèòü ξC (x) = y . Ìû äîêàæåì, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îíî
íå ëåæèò â coNPC : èíòóèòèâíî, ÷òîáû äîêàçàòü, ÷òî y íå ëåæèò â îáëàñòè çíà÷åíèé
ôóíêöèè, íóæíî å¼ âû÷èñëèòü íà âñåõ âõîäàõ, à èõ ýêñïîíåíöèàëüíîå ÷èñëî.
Ïîñêîëüêó îðàêóë C ñëó÷àåí, äëÿ ôèêñèðîâàííûõ x è y äëèíû n ñîáûòèå ξC (x) = y
ïðîèñõîäèò ñ âåðîÿòíîñòüþ 21n . Áîëåå òîãî, âñå ýòè ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû: äëÿ ðàçíûõ x
áåðóòñÿ çíà÷åíèÿ îðàêóëà íà ðàçíûõ âõîäàõ. Ïî òåîðåìå Ïóàññîíà ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êîëè÷åñòâà ïðîîáðàçîâ ó êàæäîãî ñëîâà áóäåò ïóàññîíîâñêèì ñ ïàðàìåòðîì 1.
7
Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî y
lim PrC [y èìååò ðîâíî k ïðîîáðàçîâ ïîä äåéñòâèåì ξC ] =
n→∞
1
.
ek!
 ÷àñòíîñòè, âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî y èìååò íè îäíîãî ïðîîáðàçà èëè ðîâíî îäèí ïðîîáðàç, ñòðåìÿòñÿ ê 1e . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè n > 5 îíè áóäóò çàêëþ÷åíû ìåæäó 0.36 è
0.37. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Dn,0 ìíîæåñòâî âñåõ îðàêóëîâ C , äëÿ êîòîðûõ ñëîâî 0n íå èìååò
ïðîîáðàçîâ, à ÷åðåç Dn,1 ìíîæåñòâî âñåõ îðàêóëîâ, äëÿ êîòîðûõ îíî èìååò ðîâíî îäèí
ïðîîáðàç, ïðè ýòîì îòëè÷íûé îò 0n . Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, âåðîÿòíîñòè ýòèõ ìíîæåñòâ
ñòðåìÿòñÿ ê 1e (ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå íå âëèÿåò íà àñèìïòîòèêó è ââåäåíî â òåõíè÷åñêèõ
öåëÿõ). Äàëüíåéøàÿ èäåÿ òàêîâà: ìû äîêàæåì, ÷òî âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ìàøèíà ïðèìåò 0n â êàæäîì èç ýòèõ ìíîæåñòâ, áëèçêè äðóã ê äðóãó. Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü îøèáêè
äëÿ êàæäîé ìàøèíû îòäåëåíà îò íóëÿ. À ïîñêîëüêó â ñóùåñòâåííî ðàçíûõ äëèíàõ ðåçóëüòàòû äðóã îò äðóãà íå çàâèñÿò, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îøèáêà ñëó÷èòñÿ õîòü ãäå-òî,
ðàâíà åäèíèöå.
Ïóñòü ôèêñèðîâàíà íóìåðàöèÿ âñåõ íåäåòåðìèíèðîâàííûõ ìàøèí Òüþðèíãà: M1 , M2 , . . .
2n
Îáîçíà÷èì ÷åðåç αn,i,0 óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìàøèíà Mi ïðèìåò 0n çà 6 100
øàãîâ, îáðàùàÿñü ê îðàêóëó C ∈ Dn,0 . ×åðåç αn,i,1 îáîçíà÷èì àíàëîãè÷íóþ âåðîÿòíîñòü
ïðè óñëîâèè C ∈ Dn,1 . Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìàøèíà Mi äàñò íåâåðíûé îòâåò íà 0n ,
áóäåò íå ìåíüøå (1 − αn,i,0 ) Pr [C ∈ Dn,0 ] + αn,i,1 Pr [C ∈ Dn,1 ] > 0.36(1 + αn,i,1 − αn,i,0 ).
Ìû äîêàæåì, ÷òî αn,i,1 ≈ αn,i,0 , îòêóäà âåðîÿòíîñòü îøèáêè Mi íà 0n áóäåò áîëüøå 13 .
Èäåÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû èçìåíèòü C ∈ Dn,0 íà C 0 ∈ Dn,1 , òàê ÷òîáû ìàøèíà ñ
áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ äàëà òîò æå îòâåò. Ïðè ýòîì ýòà çàìåíà áóäåò ñîõðàíÿòü ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü îòâåòà áóäåò òàêàÿ æå, êàê íà ñëó÷àéíîì
C ∈ Dn,1 . Áîëåå ïîäðîáíî, çàìåíà áóäåò òàêîé: âûáåðåì ñëó÷àéíîå z 6= 0n äëèíû n è
èñêëþ÷èì èç C ñëîâà z1, z10, . . . , z10n−1 .  ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, ξC 0 (z) = 0n . Ïðè
ýòîì íèêàêîãî w 6= z , òàêîãî ÷òî ξC 0 (w) = 0n , áûòü íå ìîæåò, èíà÷å è ξC (w) = 0n . Çíà÷èò, C 0 ∈ Dn,1 . Ïðè ýòîì C 0 ìîãó ïîëó÷èòüñÿ èç 2n − 1 ðàçëè÷íûõ C , à êàæäûé C ìîã
ïðåâðàòèòüñÿ â 2n − 1 ðàçíûõ C 0 . Ïîýòîìó ïðåîáðàçîâàíèå C 7→ C 0 ñîõðàíÿåò ìåðó.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìàøèíà Mi â ïðîöåññå ðàáîòû âäîëü ïðèíèìàþùåé âåòâè íè ðàçó
íå çàïðîñèò îðàêóë íè ïðî îäíî ñëîâî èç õîòÿ áû 99% öåïî÷åê (z1, z10, . . . , z10n−1 ). Çíà÷èò, ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøå 99% îíà íà ýòîé âåòâè äàñò îäèíàêîâûé ïîëîæèòåëüíûé
îòâåò äëÿ C è C 0 . Íî ýòîò îòâåò áóäåò èñòèííûì äëÿ C 0 è ëîæíûì äëÿ C . Îòñþäà è
ïîëó÷èòñÿ αn,i,1 > 0.99αn,i,0 .
Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî îøèáî÷íîòü Mi íà 0n è îøèáî÷íîñòü Mj íà 0m ïðè m > 2n íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ. Ïîñêîëüêó êàæäàÿ ìàøèíà îøèáàåòñÿ íà êîíêðåòíîé äëèíå ñ
âåðîÿòíîñòüþ õîòÿ áû 13 , êàæäàÿ ìàøèíà âñòðå÷àåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè áåñêîíå÷íî
2n
ìíîãî ðàç è êàæäàÿ ïîëèíîìèàëüíàÿ ìàøèíà îñòàíàâëèâàåòñÿ çà 6 100
ïðè äîñòàòî÷íî
áîëüøèõ n, ñ åäèíè÷íîé âåðîÿòíîñòüþ êàæäàÿ ìàøèíà îøèá¼òñÿ õîòÿ áû ãäå-òî.
8