3-21 А.И. Накорчевский, Б.И. Басок, Т.Г. Беляева Моделирование

УДК 536.242+662.995
МОДЕЛИРОВАНИЕ АККУМУЛИРОВАНИЯ–РАЗРЯЖЕНИЯ ТЕПЛОТЫ
В НЕОГРАНИЧЕННОМ ГРУНТОВОМ МАССИВЕ
А.И. Накорчевский, Б.И. Басок, Т.Г. Беляева
Институт технической теплофизики НАН Украины
Предложен
интегральный
метод
решения
задач
нестационарной
теплопроводности, позволивший выполнить математическое моделирование
динамики аккумулирования–разрядки теплоты в неограниченном грунтовом массиве с
помощью вертикально расположенных в грунте одиночных теплообменников и их
совокупности. Рассмотрено влияние длительных перерывов в работе, что характерно
для гелиоэнергетики. Установлена необходимость управления процессом.
Существенно улучшаются показатели при «кустовом» расположении системы
теплообменников. Представлен пример расчета для теплового обеспечения поселка на
6 тысяч жителей.
Ключевые слова
Теплообменники, грунт, аккумулирование, разрядка, моделирование.
Условные обозначения
A – параметр; a – коэффициент температуропроводности, м2/с; c – удельная
теплоемкость, Дж/(кг·К); Ei – энергия, Дж; G – расход, кг/с; H, h, Z – высота, м; L – шаг,
м; N – мощность внешнего источника, Вт; q – плотность теплового потока, Вт/м2; R –
радиус (длина) распространения теплоты, м; S – площадь теплообмена, м2; T –
температура, °С, К; t – время, с; V – объем, м3; x, y, z; r,z – координаты, м; α –
коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·К); λ – теплопроводность, Вт/(м·К); η – безразмерная
координата, коэффициент эффективности; ρ – плотность, кг/м3.
Индексы
0 – при r = R0; в – вода; з – закачка; и – исходный; к – конец; м – массив; н –
начало; нас – насос; о – основной; р – рабочий; с – при совместной работе; ст – на
внутренней стенке теплообменника; т – тепловой; e – экстремальный; s –
отсчитываемые от So.
Введение
Исчерпывание энергоресурсов Земли придает актуальность исследованиям по
нетрадиционной энергетике, в частности по тепловой гелиоэнергетике. Учитывая
сравнительно
небольшой
термодинамический
потенциал
промежуточных
теплоносителей, нагреваемых солнечными коллекторами (примерно 50 °С), наиболее
рационально использование такой энергии для коммунальных целей (отопление,
горячее водоснабжение), которым свойственна значительная годовая неравномерность
потребления.
Таким
образом,
возникают
задачи
длительных
сезонных
аккумулирования и разряжения теплоты. При выборе аккумуляторов, из–за их большой
емкости, следует ориентироваться на природные объекты. Одним из таких объектов
может быть естественный грунтовый массив с размещенными в нем теплообменными
устройствами.
2
Рис. 1. Схемы коаксиального и U–образного теплообменников
1. Постановка задачи
Типичные схемы теплообменников представлены на рис.1. Тепловое
взаимодействие с грунтом происходит на участке Z. Теплообменная поверхность с
наружным радиусом R0 на высоте H теплоизолирована. Основная часть энергии
аккумулируется в объеме V(t), верхняя отметка которого должна быть ниже отметки
поверхности массива. При использовании U–образных теплообменников, вследствие
противоточного движения в нисходящих и восходящих ветвях одного и того же
теплоносителя, существенно выравнивается его расчетная температура по высоте z.
Подобный эффект будет наблюдаться и в коаксиальном теплообменнике, если
термическое сопротивление разделительной стенки мало. Поэтому теплота в грунте
распространяется преимущественно в радиальном направлении, и основное уравнение
сохранения теплоты принимает вид
T
t
2
aм
T
r2
i 1 T
r
r
21, 3
(1)
в плоской, цилиндрической и сферической системах координат (в соответствии со
значением i). Запись (1) не исключает изменения температур по высоте вследствие
изменения по z граничных условий. Причем последние, в зависимости от режима
работы теплообменника, могут как угодно изменяться и даже претерпевать разрывы
(при прекращении или начале работы).
2. Расчетные соотношения
В настоящее время отсутствуют точные аналитические решения (1), удовлетворяющие
произвольным краевым условиям [1]. Поэтому задача состоит в нахождении
3
эквивалентной, или почти эквивалентной, уравнению (1) системы и в ее решении,
удовлетворяющем граничным условиям при аккумулировании–разряжении теплоты.
При этом необходимо учитывать специфические особенности уравнения (1) и области
определения функций. Во–первых, классические решения (1) находятся в форме
бесконечных рядов, приводящим к громоздким зависимостям. Во–вторых, областью
определения функций является бесконечное пространство. В–третьих, скорость
распространения температурных возмущений согласно (1) бесконечно велика, хотя в
действительности она все же конечна. Эти особенности можно назвать проблемами
«трех бесконечностей». Проблема «первой бесконечности» была успешно преодолена в
работе [2] введением высокоточного универсального однопараметрического
интерполяционного семейства функций распределения температур в телах стандартных
форм – пластине, цилиндре, шаре. Можно воспользоваться этим методом и для
преодоления второй и частично третьей проблем, присвоив функциям на конечном
расстоянии R(t,z) их значения на бесконечности:
r: T
R
r: T
R
q0
T
r
T ;
(2)
2
T
r
Tм ;
;
м
T
;
.
r2
Tм
0 . Согласно (2) имеем универсальное
t
( единое для i = 1, 2, 3) однопараметрическое семейство функций:
Последнее условие в (2) следует из (1) при
У
м
м
0
м
rR
0
R
0
,м
A
3
(3)
3
qR
R
м
0
м
T
0в
T ст .
(4)
Из параметра Ам можно выделить критерий Био:
Biм
R
Bi
(5)
м
0
м
Физический смысл Ам – отношение градиента температур в грунте при r = R0 к его
среднему значению в аккумулирующем массиве. Зависимость (3) справедлива для
области - ∞ ≤ Ам ≤ +4. Для установления формул типа (3), когда Ам > +4, замечаем, что
при
A
T
мм
A
T
мм
0
м
0
м
3
1
Aм
1
Aм
,
(6)
4
.
4
а)
б)
Т
М
Т
М
М
0
-80
при Ам
М
0
0,8
8,0
0
0,6
6,0
1
0,4
2
3
4,0
0,2
4
2,0
-40
-30
-20
-10
0
10
0,0
0
0,0
0,2
при Ам
-70
-60
-50
0,4
0,6
0,8 h
rR
0,0
0
0,0
0
R
0
0,2
0,4
0,6 h
r0
0,8 R
R
R
Рис 2. Распределение температур в грунтовом массиве при аккумулировании (а) и при
разрядке (б)
Напрашивается рекурентное продолжение (3):
T
Aм
м
1
,
(7)
м
0
если +4 < Ам ≤ +∞. Зависимость (7) удовлетворяет условиям (2). Графики функций (3),
(7) для случаев аккумулирования (0 ≤ Ам ≤ + ∞) и разрядки (- ∞ ≤ Ам ≤ 0) представлены
на рис.2. При разрядке распределение (3) имеет максимум на отрезке 0 ≤ η ≤ 1.
Исследование (3) на экстремум приводит к результату:
Aм
T
,
Aм 12
Tм
T0 Tм
e
3
3 e
Aм e .
(8)
Согласно (8) ηe монотонно зависит от Aм. Радиус Re, соответствующий Т = Тe, будет
R R
R ,
(9)
а область определения ηe: 0 ≤ ηe ≤ 0.25. При r > Re происходит преимущественно
распространение теплоты в положительном направлении r, а при r < Re – приток
теплоты к теплообменнику. Таким образом, величина Te(Re) влияет на оба процесса и в
определенном смысле является определяющей.
Согласно (3) (7) при заданных Tм(z), λм(z) для решения задачи аккумулирования
необходимо найти следующие шесть функций:
в
t , z ),
T ст ( t , z ),
T ( t , z ),
R( t , z ),
( t , z ),
A м ( t , z ).
(10)
5
Для их установления располагаем:
1) уравнением сохранения энергии теплоносителя
T
z
ст
2 Rст
;
(11)
ст в
2) уравнением теплопередачи через стенку теплообменника
ст в
T ст
ст
T
,pст 0
pст
ст
ст
;
R
Rст ln 0
R ст
(12)
3) уравнением изменения температуры массива грунта при r = R0, вытекающим
из фундаментального уравнения (1), формул (3) и (7)
T0
T0
Aм (i
R0
6
м2
aм 0
t
R
0R
0
, при
;A
4
м
(13)
(i
м
aм 0
t
R
1) Aм
0R
0
) Aм
;A при
R0
м
4
4) уравнением сохранения аккумулированной грунтом энергии Ei(t)
t
Z
Z
dt
0
R q dz
R
dz
0
0
c T
T м rdr
R0
(R0)
(14)
(RZ )
T
c
T м r 2 dr
R
c T
T м r 2 dr
,
R
где (T - Tм) определяется согласно (3) или (7), а плотность теплового потока q0 при r =
R0 – по последней формуле (4);
5) выражением (4) для Ам;
6) коэффициентом теплоотдачи αст, действующим по стенке с r = Rст, и его
эквивалентным значением на поверхности с r = R0
0
Rст
ст
R0
i 1
,
(15)
устанавливаемым при совместном решении тепловой и гидродинамической задач с
использованием известных зависимостей для теплообменников рассматриваемых
типов.
Таким образом, система интегральных, дифференциальных, алгебраических
уравнений замкнута и постановка краевых условий в форме:
6
.(
T
, r)
(T
t, )
T м( z ),
R( , z )
T м( z ),
T0 ( t , R )
R0 ;
T ( t , z ),
T
rR
r
0
0
t ,z)
(16)
м
позволяет найти решение.
При разрядке, помимо перечисленных в (10) функций, подлежат нахождению
еще Te(t, Re) и Re(t, z). Первая величина определяется уравнением
Te
м
0
(17)
e
aм
R2
0
t
2 6
1 2
м
выведенным по методу, примененому выше при получении уравнения (13), а вторая –
первым уравнением (8) и формулой (9). Причем, здесь нет необходимости в
использовании первого уравнеия (13), так как при известном Тe величина T0
вычисляется по второй формуле (8). Таким образом, и при решении задач разрядки
располагаем замкнутой системой уравнений. Подчеркнем, что в этом пункте работы
плотность теплового потока трактуется как вектор.
Для повышения температурного потенциала извлеченной из грунта энергии
используются тепловые насосы. «Качество» полученной энергии определяется
холодильным коэффициентом ε. При работе насоса по циклу Карно
Tв
273
нас
,
(18)
в
где Тнас – температура теплоносителя на выходе из насоса, принятая здесь 55 °С.
Эффективность разрядки определяется соотношением
т
Ei к
,
Ei и
(19)
где Eij – избыточная исходная энергия массива (j = и) и конечная величина извлеченной
энергии (j = к).
3.Особенности задачи
Аккумулирование солнечной энергии сопряжено с неизбежными регулярными
перерывами в работе солнечных батарей, и учет перерывов приводит к разрывности
всех, кроме R(t, z), искомых функций (10). Прекращение подачи теплоты в грунт
характеризуется значением q0 = 0, которому отвечает распределение температур (3) при
Aм = 0. Поскольку перестройка температурного профиля происходит быстро, то
неизменность R и Ei до и после перестройки однозначно выявляет новое значение T0.
Темп падения T0 при последующем «дрейфе» теплоты находится согласно (13) при Aм =
0, а постоянство аккумулированной к началу «дрейфа» энергии Ei позволяет согласно
(14) подсчитывать изменения R. Возобновление «закачки» энергии приводит к быстрой
перестройке
температурного
профиля,
отвечающему
гидравлическим
и
теплопереносным параметрам теплоносителя (Tв, αст, Tст, T0) и параметру Aм.
7
F
F
100
100
1
1
80
80
60
60
2
3
40
2
40
4
20
20
5
3
4
0
0
0,0
0
0,3
0,6
0,9
1,2
час
Рис. 3. Динамика запуска в работу
коаксиального теплообменника 1 при
q0 = 1.3 кВт/м2 = const.
F соответствуют:
6
1 – Ei, 10 Дж; 2 – Тв, °С; 3 – Т0, °С; 4 – Ам,
5 – R, 0.1 м
0
20
40
60
80 100 120 сут
Рис. 4. Изменение параметров управляемого аккумулирования теплоты при
непрерывной работе. F cоответствуют:
1 – Ei, 108 Дж; 2 – Т0, °С;
3 – q0 ,10 Вт/м2; 4 – Ам
Ниже при проведении расчетов принят следующий декадный режим
аккумулирования энергии. В течение 8 непрерывно следующих суток солнечные
коллекторы работают по 8 ч в сутки с 16-и часовым перерывом. Последующие двое
суток – нерабочие. Три декады составляют месяц, 18 декад – сезонный цикл работы.
Разрядка обычно происходит непрерывно и осуществляется с постоянной
плотностью теплового потока q0.
Параметры взаимодействующих систем:
а) грунт – ρм = 1.84·103 кг/м3; λм = 1.42 Вт/(м·К); см = 1.15·103 Дж/(кг·К); Тм = 10°С;
б) коаксиальный теплообменник 1 – R0 = 0.054 м; Rст = 0.050 м; rст = 0.040 м; λст = 17.5
Вт/(м·К); Z = 50 м; Gв = 5.0 кг/с;
в) коаксиальный теплообменник 2 – R0 = 0.110 м; Rст = 0.100 м; rст = 0.074 м; λст = 17.5
Вт/(м·К); Z = 100 м; Gв = 0.33 кг/с.
Режим работы первого коаксиального теплообменника турбулентный, а второго –
вязкостно–гравитационный.
4. Работа одиночных теплообменников
Результаты расчета запуска в работу коаксиального теплообменника 1 при
постоянной плотности теплового потока q0 = 1.3 кВт/м2 представлены на рис. 3.
Обращает внимание резкое увеличение R – от 7.24 м при t = 1.50 ч до 17 596 м при t =
1.57 ч. При t > 1.57 ч компьютер не в состоянии идентифицировать значения R и Ам
числами, отличными от бесконечности. Эти результаты полностью согласуются как с
уравнением (1), так и с физикой процесса. Дело в том, что сравнительно малый
исходный термодинамический потенциал (Тв – Тм) ~ 40 °С при большом тепловом
сопротивлении грунтового массива (aм < 10-6 м2/с) почти полностью «срабатывается» за
8
F
F
50
15
1
40
10
30
1
2
3
5
5
20
2
10
6
4
0
0
20
40
60
80
6
0
3
5
100 120
сутки
Рис. 5. Изменение параметров разрядки при
q0 = -1 Вт/м2.
F cоответствуют:
1 – - Ам; 2 – Тe, °С; 3 – T0, °C; 4 – R, м;
5 – ε; 6 – Re, м
4
7
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9 - q0
Рис. 6. Конечные параметры разрядки.
F cоответствуют: 1 – Тe, °С; 2 – T0, °C;
3 – R, м;
4 – длительность, декада;
5 – ηт, %; 6 – Re, м; 7 – - Ам·10-3
малый промежуток времени (t ~ 1 час) в малой окрестности (R* ~ 1 м), примыкающей к
теплообменнику. Последующее восприятие теплоты грунтом возможно только с
конечным потенциалом, почти не отличающимся от исходной температуры грунта Тм,
что, при строгом соблюдении условия сохранения энергии, приводит к тенденции R →
∞. С практической точки зрения, снижение исходного термодинамического потенциала
закачиваемой энергии от Тв ~ 50 °С до Тм = 10 °С с ее «размазыванием» по бесконечно
протяженной области бессмысленно. Следовательно, должна быть поставлена и решена
задача управляемого ограничения R и максимально возможного повышения потенциала
аккумулированной энергии.
В рамках системы уравнений (3), (4), (7), (11)
(16) разработан алгоритм
управления аккумулированием, обеспечивающий R ≈ const при «закачке» теплоты.
Однако, естественный неуправляемый «дрейф» теплоты в нерабочее время приводит к
регулярному расширению области аккумулирования и, следовательно, к
существенному понижению конечного потенциала энергии.
Рассчитан вариант с введением суточных водяных аккумуляторов (с удельным
объемом ~ 0.35 м3/кВт), позволяющими непрерывно осуществлять «закачку» энергии и
поддерживать условие R ≈ const. Получить максимально наполненный температурный
профиль (Ам → 0) можно только при снижении плотности теплового потока. Изменение
во времени параметров работы при таком решении дано на рис. 4. Конечные
показатели на 144 сутки оказались следующими: Т0 = 49.998 °С, R = 1.997 м, Ам =
0.2162, q0 = 6.3206 Вт/м2, Ei = 0.11217·1011 Дж. И такие показатели следует считать
предельно возможными. Причем, даже при наибольшей наполненности температурного
профиля (Ам = 0), среднеинтегральное значение ΔŤ = (Ť - Tм) в грунтовом массиве
9
аккумулирования, подсчитанное согласно (3), не может превышать 0,2(Т0 - Тм). В
условиях рассматриваемого здесь примера это приводит к ΔŤ = 8 °С, в то время как (Т0
- Тм) = 40 °С. Итак, аккумулирование, осуществляемое одиночным теплообменником в
неограниченном грунтовом массиве, неэффективно.
Бесперспективным оказалось и извлечение теплоты. На рис. 5 представлены
результаты расчета разрядки согласно (3), (4), (7), (8), (9), (11), (12), (14), (15), (17) при
q0 = -1 Вт/м2 для приведенного выше случая аккумулирования с суточными
аккумуляторами. Несмотря на низкое конечное значение Тe = 11.20 °С, увеличение в
процессе разрядки радиуса теплового массива от R = 2 м до R = 11.41 м позволило
извлечь только 1.71 % аккумулированной энергии. Монотонное изменение конечных
параметров разрядки при вариации q0 от -1 до -10 Вт/м2 (см. рис. 6) не дает оснований
для разработки алгоритма изменений во времени q0, который существенно бы улучшил
показатели процесса. Таким оброзом, как аккумулирование энергии одиночным
теплообменником, так и ее разрядку этим же теплообменником следует считать мало
эффективными.
5. Аккумулирование совокупностью теплообменников
Существенно улучшить характеристики аккумулированной энергии можно
только при организации встречно направленных тепловых потоков, разместив в
грунтовом массиве «куст» из k теплообменников, например, на прямоугольном участке
(k = m × n) с шагом L (рис. 7). До момента tc соприкосновения границ аккумулирования
теплоты, характеризуемого R(tc) = L/2, каждый из теплообменников работает
независимо. При t > tc начинается их совместная работа и встречные тепловые потоки
повышают термодинамический потенциал основной области аккумулирования куста Vo
= L2Z(m-1)(n-1), которая взаимодействует с окружающим грунтовым массивом
посредством буферной подобласти Vs(t), определяемой размером Rs(t), отсчитываемым
( m )( n 1) L ( m n 2) Z ,
по внешней нормали от поверхности
o
ограничивающей Vo (рис.8). Ниже приняты одинаковыми тепловые нагрузки всех k
теплообменников (q0 = idem).
Согласно расчетам п. 4, значение tc невелико – один–два часа от начала работы,
профиль температур крутой и термодинамический потенциал избыточной энергии,
направленной от периферийно расположенных теплообменников во внешнюю
относительно Vo область, ничтожен. Поэтому этой частью энергии можно пренебречь,
считая, что она компенсирует теплопотери вдоль ребер области Vo. Таким образом, уже
изначально тепловой к.п.д. «куста» есть величина
т.куст
1
1n
m
.
nm
(20)
С увеличением m и n значение ηт.куст повышается.
Следуя методике п.п. 2, 3, составим основные расчетные зависимости. При t > tc
профиль температур при теплопередаче от теплообменников в область Vo должен
отвечать условиям аналогичным условиям (2), кроме последнего, с пространственным
ограничением R = Rc = L/2, что приводит к выражениям
10
x,m
L
a)
Rs( t )
L
Vo
y,n
To
Vs(t )
1
1
1
R ®:
Rc
2
2
L
T ( t)
T (t )
c
Rc
R
s
V(t )
s
Tм
1
z
б)
Tо
1
T (t c)
Z
Tм
2
o
Рис. 7. План (а) и сечение по 1 – 1 (б)
«куста» теплообменников при аккуму–
лировании. 1 – граница распростране–
ния теплоты в момент tc, 2 – границы Vo
2
T
с
0
(
A
Aс
с
r0
R
A
3,
Aс
,
(21)
R )
,
T
)
0
с
м
0
) при 0
при
(qR с
с
с
2
Рис. 8. Сечение по 2 – 2 плана на рис. 7
и распределение температур в массиве
при t > tc. 1– внешняя граница Vs
(22)
а скорость изменения T0 будет:
dT 0
dt
dT 0
dt
T
aм
aм
с
0
A с
0
с
R0
с
с
с
46A
1
УA
с
с
с
при
с
(23)
при 3
с
R0
Тепловое взаимодействие области Vo с внешним грунтовым массивом происходит при
соблюдении условий, соответственно, на внутренней и внешней границах буферной
подобласти Vs:
11
:uT
u:T
R
s
Tс ,
T
u
T0м ,
T
u
,
2T
,
u2
(24)
(,u
x , y ).
Этим условиям удовлетворяет соотношение:
У
3
м
u
,(
3 ),
(
x , y ).
(25)
Rs
м
c
u
Здесь u отсчитывается от So во внешнюю область относительно Vo по нормали к So.
Тепловой баланс одной ячейки (L L Z) куста, приходящийся на единицу ее
высоты, будет:
qR L
Rc
dT
2
c
0 м
t
c
dt
м
R0
(cT
T ) rdr 2L
c
m
Z
L
1
1
1
n 1
s
(26)
где qs – плотность теплового потока, поглощаемого буферной подобластью Vs.
Интеграл в (26) легко вычисляется при использовании распределения (21). Подчеркнем,
что тепловой баланс (26) распространяется на любую, в том числе и угловую, ячейку,
поскольку выражение перед qs учитывает “долевое участие” каждой ячейки в Vо,
обеспечивающее равномерное распределение Tc по всей области Vo.
Теплосодержание буферной подобласти, приходящееся на единицу площади So,
согласно (25) определяется выражением:
Rs
c (T
Ei s
T м ) du
.
c (T c T м )Rs .
(27)
0
При неизменном Eis получаем соотношение
dR
dt
R
(c
T
dT c
.
T м ) dt
(28)
В свою очередь, согласно (25) и (1) имеем выражение, аналогичное (13) при Ам = 0:
dT c
dt
T
(
12aм
c
Tм )
R s2
.
(29)
Подставляя (29) в (28) и выполняя интегрирование, получаем:
s
24 м ( t t c ) .
(30)
12
Поскольку функция Тс изменяется от Тм до Т0 на протяжении годового сезона
аккумулирования и соответственно медленно изменяется Eis, то выражением (30)
можно пользоваться в первом приближении без каких–либо ограничений. В таком
случае, после дифференцирования (27) имеем формулу, определяющую qs(t):
s
( T ) м
T
c 12aм с
Rs
40
dT
Rs
c
dt
(31)
.
Подстановка (31) в (26) позволяет однозначно найти изменение Tc(t) в зависимости от
плотности теплового потока теплообменников q0, а формула (30) – величину Rs(t) при
“закачке” энергии.
Если работа теплообменников прекращается (q0=0), то, поскольку профиль
температур в буферной подобласти максимально наполнен, его перестройка не
происходит. Темп изменения Тс(t) определяется уравнением (29). Условие
неизменности аккумулированной энергии имеет вид:
Rs
t
T
о
T м ) du V о ( T c T м )
(32)
0.
0
Подстановка (25) в (32), выполнение интегрирования по u с последующим
дифференцированием по t позволяет с учетом (29) найти уравнение для Rs(t):
dR s
dt
12aм
R s2
Rs
Vо
,
S.о
(33)
квадратура которого будет
2
s( t к.з
)
о
2
R ( t к.з )
s
l о2 ln
s
о
t к.з ) l о
12 м t t к.з ) ,
(34)
где lo = Vo/(0.4So), tк.з – момент завершения предыдущей закачки. Поскольку величина
Ei(tк.з) не изменяется при «дрейфе» теплоты, то (32) позволяет получить уравнение для
Tc(t):
t ) cT
(T
м
Ei( t к.з )
(cV о
. S о R s ( t ))
(35)
и тем самым завершить определение всех параметров и этой части задачи.
В качестве расчетного примера выберем случай, приближающийся к реальным
условиям. Поскольку изначальный тепловой к.п.д. “куста” (20) увеличивается с ростом
числа теплообменников k = m × n, наиболее эффективно применение грунтового
аккумулирования теплоты для отопления и горячего водоснабжения поселка в
несколько тысяч жителей. В таком поселке обычно имеется школьный или поселковый
стадион, территорию футбольного поля которого порядка 100 × 100 м2 можно исполь-
13
F
1
70
60
50
2
40
30
3
20
2,3
6
4
10
0
0 0
5
24
48
72
6
96 120 144 168 192 216 час
Рис. 9. Изменение параметров аккумулирования теплоты «кустом»
теплообменников при q0 = 360 Вт/м2. F соответствуют:
1 – Ei, 1011 Дж; 2 – Tв, °С; 3 – Тc, °С; 4 – ηо 10; 5 – Rs, м; 6 – -qs, 10 Вт/м2
зовать для подземного размещения теплообменников. Ординарные солнечные
коллекторы позволяют получить температуру рабочей воды не выше 60 °С. Поэтому
при аккумулировании максимально достижимая температура в основной области Vo,
будет порядка Тс,max ~ 50 °С. Если учесть значительное тепловое сопротивление
типичного грунтового массива, характеристика которого приведена выше в п. 3, то
приходится ориентироваться на плотность теплового потока при аккумулировании
порядка q0 ~ 300 ÷ 400 Вт/м2 в начале процесса с постепенным понижением,
обеспечивающим конечный потенциал массива Тс ≈ 50 °С. Поскольку лимитирующим
звеном теплопередачи является сопротивление грунта, то нерационально поддержание
высоких значений α0 ~ 105 Вт/м2 и необходим переход от турбулентного к вязкостно–
гравитационному режиму течения промежуточного теплоносителя. Положительная
сторона последнего решения в значительном уменьшении расхода воды в
циркуляционном контуре. Учитывая изложенное выше, ориентируемся на
коаксиальный теплообменник 2 (см. п. 3). Параметры «куста» теплообменников на
площадке 100 × 100 м2: m = n = 51; L = 2.0 м; ηт.куст = 0.961. Теплофизические свойства
грунта соответствуют приведенным в п. 3. Аккумулирование теплоты при q0 = (380 20·dec) Вт/м2 (здесь dec – номер декады, dec = {1,2,…,18}), привело к изменению
температуры Тв теплоносителя от 37.07 °С (в начале первой декады) до 50.87 °С (в
конце восемнадцатой декады) при максимальном значении 56.99 °С, приходящемся на
десятую декаду. На рис. 9 представлена динамика процесса в первую декаду
аккумулирования. Показатели в конце 18 декады: линейный параметр Rs =26.55м,
температура Тс = 49.24 °С; количество аккумулированной энергии Ei =0.1361·1015 Дж.
Следует помнить, что Rs определяет величину H (см. рис.1). Проведенное численное
моделирование однозначно свидетельствует о предпочтительности «кустового»
аккумулирования по сравнению с «одиночным».
14
x,m
Vo
L
y,n
T(t)
c
Rs(t)
Vs(t)
T0
Rc
So
Rc
Rs
So
L
1
L
Tм
Vs (t)
1
Рис. 10. План и сечение по 1 – 1 «куста» теплообменников при разрядке
Основные преимущества состоят в следующем:
а) отпадает необходимость в суточных аккумуляторах;
б) не нужно “жесткое “ управление процессом;
в) существенно повышается “качество” аккумулированной энергии, поскольку
величина
o
Ei o
Ei o
(36)
Ei s
может достигать значений 0.4 ÷ 0.5 и больше, тогда как при “одиночном” всегда ηо = 0.
Здесь Eij – энергия,аккумулированная в основной области (j = o) и в буферной
подобласти (j = s).
6. Разрядка совокупностью теплообменников
При разрядке теплового массива “куста”, с целью поддержания равномерного
распределения температур в Vo, периферийные тепообменники не эксплуатируются и
число работающих с одинаковой тепловой нагрузкой (q0 = idem) будет
р
n
m
n
.
(37)
В выкладках этого пункта будем считать q0 положительной величиной, определяемой
ее модулем.
Как и при аккумулировании, в течение первых одного–двух часов работы
“куста” произойдет соприкосновение радиусов теплового действия теплообменников,
и, начиная от этого момента, извлечение теплоты из Vo будет происходить при R = Rc =
const (см. рис. 10). Профили температур и основные расчетные соотношения будут
теми же, что и при аккумулировании – (21), (22), (23), (25), (28), (29), (31), а тепловой
баланс основной области теплового массива лучше представить в форме:
15
F
60
50
40
30
20
10
0
00
1
2
3
4
5
30
60
90
120
150 сутки
Рис. 11. Изменение параметров разрядки «кустом» теплообменников.
F соответствуют: 1 – - qs, Вт/м2; 2 – Rs, м; 3 – Тc, °С; 4 – Tв, °С; 5 – ε
d
c
2 мT
dt c
Rc
м
о
T V
kрZ
м cм
T с T rdr
S оqs
k р R Zq .
(38)
R0
Располагая распределением (21), интеграл в (38) выражается в квадратурах.
Убеждаемся, что представленная выше система уравнений замкнута и при заданном q0,
известных начальных условиях, данных о грунте и теплообменниках позволяет найти
Tc(t), T0(t), Rs(t), qs(t), а также другие параметры процесса, определяемые этими
функциями.
Динамика непрерывной разрядки (при q0 = 53 Вт/м2 = const) ранее
аккумулированного теплового массива, расчетные показатели которого представлены в
п. 5, приведена на рис. 11. Разность (Тс – Тв) была в пределах 4 °С и температура
теплоносителя понизилась от 45.32 °С до 5.88 °С. Параметр Rs при разрядке увеличился
на 4 м и досиг значения 30.91 м. “Качество” полученной энергии, характеризуемое
холодильным коэффициентом ε теплового насоса, оказалось высоким. Обращает
внимание 100% извлечения аккумулированной энергии.
Если исходить из отопительной нормы на единицу жилой площади 60 Вт/м2
(внутрипольная система отопления), плотности проживания 20 м2/чел и расхода
энергии на горячее водоснабжение 250 Вт/чел, то накопленной, а затем извлеченной
солнечной энергии в количестве Ei = 0.1361·1015 Дж достаточно для покрытия
потребностей поселка с численностью 6 тысяч человек в течение 180 суток.
Приведенные здесь данные свидетельствуют о несомненной перспективности
“кустового” решения аккумулирования–разряжения по сравнению с одиночной работой
тепловых устройств.
7. Сопоставление методов решения
В заключение представим сопоставление предложенного здесь способа решения
задач нестационарной теплопроводности с классическими решениями. Для
пространственно ограниченных тел оно дано в [2] и свидетельствует об
эквивалентности в математическом плане обоих подходов. Сравним эти методики для
16
Рис. 12. Распределения температур при импульсном нагреве стержня.
1 – по предложенной методике, 2 – по классическому решению.
T(t,0) определялось по (42)
случаев неограниченно протяженных объектов. Правда, ожидать полного
количественного совпадения результатов, как в [2], не приходиться. Главным образом,
из–за введенного здесь конечного радиуса R(t) распространения теплоты, что
представляется более корректным с физической точки зрения, чем R → ∞, но
вступающим в противоречие со свойствами фундаментального уравнения
теплопроводности. По этой причине, при строгом соблюдении энергетического
баланса, наполненность профиля температур при конечном R(t) должна быть большей,
чем при R → ∞. И все же ниже представлено такое сопоставление на примере задачи об
импульсном нагреве в ε–окрестности сечения с x0 = 0 (на участке –ε < x0 < +ε)
неограниченного стержня с постоянным поперечным сечением и с боковой
теплоизоляцией. Классическое решение, как известно, имеет вид:
(T
t,x )
02
T
( ,0) 2 x( )
exp
2
м
,
4 м
(39)
где (x0 – ε) < ξ < (x0 + ε), –∞ < x < +∞. По предложенной методике будет:
,(x )
eT 0 )
(1
8 ( )
)3 (1 3 ),
(40)
s
где ψ = x/Rs, (x0 – Rs) ≤ x ≤ (x0 + Rs) и согласно (30) Rs = 24 м . Принимаем, как
практикуется в классических решениях, ε → 0, Т(0, 0) → ∞ и 2εТ(0, 0) = 1. Затем
преобразуем (39), выделив в нем комплекс, соответствующий выражению для Rs(t), и
получим эквивалентное зависимости (39) выражение
17
,( )
1
.0724R
exp( 6 2 ),
y
,
(41)
s
тогда как формула (40) будет:
y
,( )
1
.08R
1(
) 3 (1 3y ),
0 y
1.
(42)
s
Прежде всего отметим структурную сходственность обеих зависимостей.
Предэкспоненциальный множитель в (41) и соответствующий ему коэффициент в (42)
дают значение Т(t,0), которое при классическом решении в 0.8 / 0.724 = 1.106 раза
больше, чем по предложенной методике. Сопоставление (41) и (42) на отрезке 0 ≤ ψ ≤ 1
дано на рис. 12 и полностью согласуется со сделанным выше прогнозом.
Выводы
Предложенный метод позволяет рассчитывать динамику процессов
аккумулирования и разрядки теплоты в неограниченном грунтовом массиве
одиночными теплообменниками и их совокупностью. Установлена высокая
эффективность «кустового» решения аккумулирования–разрядки по сравнению с
работой одиночных теплообменников.
Литература
1. Лыков А.В. Тепломассообмен :Справочник. М.: Энергия, 1971. 560 с.
2. Накорчевский А.И. Сопряженные задачи нестационарной тепломассопроводности
при переменных внешних условиях // ИФЖ.. 1999. Т. 72, № 4. С. 782 - 791.