Эффективное уравнение турбулентной диффузии. . . А.В

Эффективное уравнение турбулентной диффузии. . .
УДК 517.956.8
А.В. Зубкова, С.А. Саженков
Эффективное уравнение турбулентной
диффузии в трещиновато-пористой среде∗
A.V. Zubkova, S.A. Sazhenkov
Effective Equation of a Turbulent Diffusion in a
Cracky-Porous Medium
Изучается уравнение переноса массы в
трещиновато-пористой среде на микроскопическом уровне, т.е. на уровне пор. Проводится усреднение начально-краевой задачи для этого уравнения, как результат устанавливаются две модели,
описывающие предельные эффективные режимы
для различного вида конвекции.
The mass transfer equation in a cracky-porous
medium on a microscopic level, that is, on the pore
level, is considered. The homogenization procedure
for the initial-boundary value problem for this
equation is worked out. As results, two essentially
distinct effective regimes are established, depending
on characters of turbulence of velocity distributions.
Ключевые слова: конвекция-диффузия в пористых средах, метод усреднения, многомасштабные
модели геофизики.
Key words: convection-diffusion in porous media,
homogenization, multi-scale geophysical models.
Постановка
задачи.
Рассматривается
начально-краевая задача для уравнения переноса примеси в трещиновато-пористой среде с
учетом молекулярной диффузии и большой по
отношению к размерам трещин и пор скоростью
переноса массы. Считается, что трещиноватопористая структура является периодической.
Уравнение переноса примеси — это трехмерное линейное (по отношению к концентрации
примеси) параболическое уравнение, зависящее
от малого параметра. Малый параметр ε —
это отношение характерных размеров трещин
и
рассматриваемого
трещиновато-пористого
континуума в целом. Также ε — это отношение
характерных размеров пор и трещин. Отсюда,
естественно, следует, что отношение характерных
размеров пор и всего трещиновато-пористого
континуума имеет порядок ε2 .
В изучаемой задаче вектор скорости переноса
массы задан. Тот факт, что вектор скорости является большим по отношению к размерам трещин и пор, выражается в том, что конвективное слагаемое в уравнении диффузии-конвекции
представляет собой дробь с малым знаменателем
εk , k = 1, 2. Периодичность структуры означает,
что конвективное слагаемое — периодическая по
пространственным переменным вектор-функция.
Сейчас приведем точную формулировку задачи, продолжим обсуждение ее физического смысла и сделаем замечания о новизне и значимости
получаемых результатов.
Задача D–C. В пространственно-временном
цилиндре QT := Ω × (0, T ), где Ω ⊂ R3 —
ограниченная область с гладкой границей, T =
const > 0, требуется отыскать распределение концентрации примеси u = u(~x, t) в несущем фильтрующемся через трещиновато-пористую среду
потоке, удовлетворяющее уравнению диффузииконвекции
∗ Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №
10-01-00447 и Федеральной целевой программы «Научные
и научно-педагогические кадры инновационной России» на
2009–2013 годы (контракт 02.740.11.0617).
1 ε
~a · ∇x uε = D0 ∆x uε ,
εk
начальным данным
uεt +
uε |t=0 = u0 (~x),
0 ≤ u0 (~x) ≤ 1 п. в. в Ω
(2)
и однородному граничному условию
uε |∂Ω = 0.
(3)
В постановке задачи D0 — заданный постоянный положительный коэффициент молекулярной диффузии; ε — положительный малый параметр, смысл которого пояснен выше, перед фор1
мулировкой задачи D–C; k ~aε — вектор скорости
ε
фильтрации, в котором
~x ~x
ε
~a = ~a ~x, , 2 ,
(4)
ε ε
где ~a(~x, ~y, ~z ) — заданная гладкая (скажем, из
класса C 1 по совокупности переменных) вектор–
функция, являющаяся 1-периодической по переменным ~y и ~z, удовлетворяющая условиям соленоидальности
divx~a = divy~a = divz~a = 0
47
(1)
(5)
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Более того, это решение подчиняется следующим равномерным по ε оценкам:
1. имеет место принцип максимума
и условию однородности среднего значения по переменной ~z на периоде Z = (0, 1)3 :
Z
~a(~x, ~y , ~z ) d~z = 0.
(6)
0 ≤ uε (~x, t) ≤ 1
п. в. в QT ;
(8)
Z
2. имеет место энергетическое неравенство
Показатель степени k равен 1 или 2 в зависимости от масштаба турбулентности. С физической
точки зрения, при k = 1 имеем большие колебания поля скоростей на уровне трещин, в то время
как на уровне пор движение происходит в относительно регулярном режиме. При k = 2 существенно турбулентный режим возникает уже на уровне
пор.
Для того чтобы сформулировать понятие обобщенного решения и результат о корректности задачи D–C, введем определения пространств обобщенных функций согласно [1].
Через V2 (QT ) обозначим банахово пространство, состоящее из элементов соболевского пространства финитных на границе ∂Ω функций из
W20,1 (QT ), имеющих конечную норму
||uε ||V2 (QT ) ≤ cT · ||uε (~x, 0)||2,Ω ≤ c∗ ,
где c∗ и cT — это константы, не зависящие
от ε.
Утверждение 1 констатирует корректность задачи о переносе массы на микроскопическом
уровне, т.е. на уровне, на котором различаются
в пространстве отдельные поры и трещины. С
практической точки зрения этот результат не является удовлетворительным, поскольку размеры
пор и трещин весьма малы по сравнению с размерами, которые имеют интерес в технологических
процессах. С точки зрения технологических процессов, невозможно адекватное численное моделирование на микро- или мезоскопических уровнях даже на суперкомпьютерах, потому что размеры пор и трещин измеряются в милли-, микрои нанометрах (см., например: [2, p. 2.4.2]), а размеры трещиновато-пористых сред, как то: подземных углеводородных пластов, артезианских бассейнов — имеют размеры порядка сотен метров и
километров.
В связи с этим наблюдением нами рассматривается и решается следующий вопрос: «Каким является предельный режим, возникающий в задаче
D–C при стремлении ε к нулю?».
Это означает, что решается задача гомогенизации, иными словами, задача нахождения эффективных механических характеристик, описывающих изучаемый континуум на макроскопическом
масштабе.
Точные результаты гомогенизации для задачи
D–C будут сформулированы далее.
Отметим, что уравнения вида (1) давно вызывают интерес специалистов в области математической физики и, в частности, в теории усреднения. Данное исследование является продолжением работ Вейнана [3] и Маклафлина, Папаниколау
и Пиранно [4], в которых изучаются
ти
уравнение
1
~x
и задача
па (1) с конвективным членом ~a ~x,
ε
ε
гомогенизации для такого уравнения. Работы [3]
и [4] хорошо согласуются с теорией фильтрации
на двух масштабах, с физической точки зрения
на масштабах пор и всего континуума. Задача гомогенизации в них решена, т. е. построены предельные уравнения, описывающие поведение эффективной концентрации ū = lim uε . Для иссле-
kukQT = ess supku(·, t)k2,Ω + k∇x uk2,QT .
0≤t≤T
Через V20,1 (QT ) обозначим подпространство
V2 (QT ), состоящее из функций, имеющих значения на сечениях Ω × {t} в смысле следов из
подпространства L2 (Ω), и при этом отображения
t 7→ u(·, t) являются непрерывными отображениями отрезка [0, T ] в пространство L2 (Ω).
Определение 1 Обобщенным решением uε =
uε (~x, t) задачи D–C называется функция из пространства V20,1 (QT ), удовлетворяющая интегральному равенству
Z
D0 ∇x uε · ∇x Φ d~x dt+
QT
+
1
εk
Z
(~aε · ∇x uε )Φ d~x dt =
QT
=
Z
QT
uε Φt d~x dt +
Z
(9)
u0 (~x)Φ(~x, 0) d~x, (7)
Ω
при любых Φ ∈ C 1 (QT ), обращающихся в нуль в
окрестности сечения {t = T } и границы ∂Ω.
Согласно известной теории начально–краевых
задач для линейных параболических уравнений
2–го порядка [1] справедливо следующее
Утверждение 1 (Разрешимость задачи D–
C. Равномерные оценки). При любом фиксированном ε > 0, при любой заданной функции
u(~x, 0) = u0 (~x), удовлетворяющей оценке (2), задача D–C имеет единственное обобщенное решение uε (~x, t).
ε→0
дования применены метод формальных асимптотических разложений [5] и метод многомасштабной сходимости Аллера–Бриана [6]. Также стоит
48
Эффективное уравнение турбулентной диффузии. . .
Завершая этот параграф, сделаем очевидное
наблюдение: в случае k = 1 доминирует диффузионный процесс, конвективные члены отсутствуют.
Случай k=2. Формулировка результата.
Приступим к изучению случая k = 2, который весьма нетривиален. Для этого воспользуемся методом формальных асимптотических разложений, описанным в книге Бенсуссана, Лионса,
Папаниколау [5]. Рассмотрим uε в виде:
отметить статьи Аллера, Панкратовой и Пятницкого [7] и [8]. В них метод ф.а.р. применяется к
уравнению вида (1) с k = 1 и ~a, не зависящим от ~z,
при том, что условия соленоидальности поля скорости и равенства нулю среднего значения поля
скоростей на микроскопическом масштабе не накладываются. Получен ряд качественных результатов, в том числе выведены уравнения для главного члена асимптотического разложения.
В нашем исследовании одновременно использовались методы ф.а.р. и многомасштабной сходимости Аллера-Бриана. В итоге получены две
гомогенные модели, существенно различные при
k = 1 и k = 2.
Случай k=1. Результат в случае k = 1 достигается приложением метода Аллера-Бриана, изложенного в работе [6], посвященной исследованиям многомасштабных моделей. В теории АллераБриана имеет место следующая [6, следствие 3.4]
~x ~x
~x ~x
(1)
u(~x, t) = ū ~x, , 2 , t + εu
~x, , 2 , t +
ε ε
ε ε
~x ~x
~x ~x
3 (3)
2 (2)
~x, , 2 , t +
~x, , 2 , t + ε u
+ε u
ε ε
ε ε
~x ~x
+ ε4 u(4) ~x, , 2 , t + . . . , (12)
ε ε
где ū, u(i) — 1-периодические по ~y , ~z.
Самый важный результат работы — это
∞
Лемма 1 Для любых ψ ∈ Cper
(R3 ) семейство
отображений
~x ~x
~x
1 ε
~
x
,
,
ψ
a
,
~x 7→
i
2
2
ε
ε ε
ε
Теорема 1 Главный член ū формального асимптотического разложения (12) является решением задачи Б.
Задача Б. Требуется найти усреднённое (эффективное) распределение концентраций ū =
ū(~x, t), удовлетворяющее эффективному уравнению баланса массы
i = 1,2,3, равномерно по ε ограничено в H −1 (Ω).
Как обычно, через H −1 (Ω) обозначается сопряженное к H01 (Ω) пространство функционалов.
При любой достаточно гладкой функции φ из
леммы 1 следует, что
ūt + w
~ · ∇x ū − D0 ∆x ū + A : ∇2x ū = 0
с краевыми и начальными условиями
Z
1 ε ε
ε ~a u · ∇x φ d~xdt ≤
QT
1 ε
ε
≤ ε
ε2 ~a −1 · ku kH 1 · k∇x φkC ≤
H
ū|t=0 = ū0 (~x),
ε→0
В силу этого предельного соотношения немедленно выводим, что эффективное распределение
концентрации u∗ = w- lim uε служит решением
ε→0
следующей задачи.
Задача А. Требуется найти u∗ ∈ V20,1 (QT ),
удовлетворяющую уравнению
(10)
u∗ |∂Ω = 0.
(14)
Теорема 2 Матрица диффузии = D0 I − A(~x)
является строго положительно определенной с
гладкими компонентами. И компоненты вектора эффективной скорости конвекции w(~
~ x) также
гладкие.
Соответственно, задача Б является корректной начально-краевой задачей для линейного
уравнения конвекции–диффузии с гладкими коэффициентами.
начальным и граничным условиям
u∗ |t=0 = u0 (~x),
ū|∂Ω = 0.
E (D0 I − A) — матрица диффузии; Aij =
D Здесь
(1)
— коэффициент турбулентной дифai U j
Y ×Z *
+
(1)
∂Uk
— эффективное поле
фузии; wk = ai
∂xi
Y ×Z
скоростей.
(1)
Uj — поле скоростей на микроскопическом
уровне. Оно находится из задачи на ячейке C, которая вводится ниже посредством формул (35)—
(37).
Следующее утверждение устанавливает корректность задачи Б.
≤ εc1 c2 k∇x φkC → 0.
u∗t = D0 ∆x u∗ ,
(13)
(11)
Задача А — это начально-краевая задача
для линейного уравнения теплопроводности с
постоянными коэффициентами. Ее корректность
утверждается классической теорией уравнений
математической физики.
49
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Случай
k=2.
теорем 1 и 2. Обозначим
3
X
∂
+
A =
∂t i=1
ε
Приравнивая соответствующие коэффициенты при степенях ε, получим иерархическую систему уравнений
Доказательство
1
∂
∂2
a
−
D
i
0
ε2 ∂xi
∂x2i
(15)
.
ε−4 :
В силу формулы взятия производной сложной
функции справедливы тождества
~x ~x
∂
Φ ~x, , 2 , t =
∂xi
ε ε
∂
1 ∂
=
+
+
∂xi
ε ∂yi
1 ∂ 
+ 2
Φ(~x, ~y, ~z , t)
~x , (16)
~x
ε ∂zi
~
y = , ~z = 2 
ε
ε
~x ~x
∂2
Φ
~
x
,
,
t
=
,
∂x2i
ε ε2
∂2
1 ∂2
=
+
+
2
∂xi
ε ∂xi ∂yi
1 ∂2
1 ∂2
1 ∂2
+ 3
+
+ 2 2+ 2
ε ∂yi
ε ∂xi ∂zi ε ∂yi ∂zi
1 ∂2 + 4 2 Φ(~x, ~y , ~z, t)
~x , (17)
~x
ε ∂zi
~y = , ~z = 2
ε
ε
ε−3 :
~a · ∇y ū + ∇z u(1) =
= D0 ∇z · ∇y ū + ∇z u(1) ; (26)
ε−2 :
~a · ∇x ū + ∇y u(1) + ∇z u(2) =
= D0 ∇y · ∇y ū + ∇z u(1) +
+ D0 ∇z · ∇x ū + ∇z u(2) ; (27)
~a · ∇x u(1) + ∇y u(2) + ∇z u(3) =
= D0 ∇y · ∇x ū + ∇y u(1) +
+ D0 ∇z · ∇x u(1) + ∇y u(2) + ∇z u(3) ; (28)
ε−1 :
ε0 :
Ввиду этих выражений можем представить
оператор Aε следующим образом:
Aε = ε−4 A1 + ε−3 A2 + ε−2 A3 + ε−1 A4 + A5 , (18)
ūt + ~a · ∇x u(2) + ∇y u(3) + ∇z u(4) =
= D0 ∆x ū + D0 ∇y · ∇x u(1) + ∇y u(2) +
+ D0 ∇z · ∇x u(2) + ∇y u(3) + ∇z u(4) ; (29)
εk
где
3 X
A1 =
i=1
3 X
A2 =
2
ai
i=1
A3 =
3 X
i=1
A4 =
ai
∂
∂2
ai
− D0 2 ,
∂zi
∂zi
−
3
X
D0
i=1
A5 =
∂
∂t
−
P3
(20)
ū — 1–периодическая по ~z.
Это эллиптическое уравнение в силу классического результата теории эллиптических уравнений [9, гл. III, §1, т. 1.3] имеет единственное решение ū = ū(~x, ~y , t).
Выберем u(1) в виде
, (21)
∂2
,
∂xi ∂yi
i=1
....
~a(~x, ~y, ~z ) · ∇z ū(~x, ~y , ~z, t) = D0 ∆z ū(~x, ~y, ~z, t), (30)
∂2
∂2
+
∂yi2
∂xi ∂zi
(k ≥ 1) :
Рассмотрим уравнение (25), где ~x и ~y — параметры:
(19)
∂
∂
,
− D0
∂yi
∂yi ∂zi
∂
− D0
∂xi
(25)
~a · ∇z ū = D0 ∆z ū;
2
∂
D0 ∂x
2.
(22)
u(1) (~x, ~y, ~z, t) =
(23)
=
i
3
X
(1)
Uk (~x, ~y, ~z )
k=1
С учетом представлений (12) и (19)—(23) уравнение (1) примет вид:
∂ ū(~x, ~y, t)
+ Ũ (1) (~x, ~y ). (31)
∂yk
Тогда из (26) следует
3
X
ε−4 A1 ū + ε−3 (A2 ū + A1 u(1) ) + ε−2 (A3 ū+
+ A2 u(1) + A1 u(2) ) + ε−1 (A4 ū + A3 u(1) +
i=1
+ A2 u(2) + A1 u(3) ) + (A5 ū + A4 u(1) +
+ A3 u(2) + A2 u(3) + A1 u(4) ) = 0. (24)
50
3
ai
(1)
∂ ū X ∂Uk ∂ ū
+
∂yi
∂zi ∂yk
k=1
3
X
∂
= D0
∂z
i
i=1
!
3
=
(1)
∂ ū X ∂Uk ∂ ū
+
∂yi
∂zi ∂yk
k=1
!
. (32)
Эффективное уравнение турбулентной диффузии. . .
Это равенство можно переписать в эквивалентном виде
" 3
!#
3
(1)
X
∂Uk
∂ ū X
ai δik +
=
∂yk i=1
∂zi
k=1
"
#
3
3
(1)
X
X
∂ 2 Uk
∂ ū
=
D0
. (33)
∂yk
∂zi2
i=1
то получим
Z A2 u(1) + A3 ū d~z =
Z
Z X
3 3 (1)
X
∂Uk ∂ ū
∂ ū
+
+
ai
=
∂xi
∂yi ∂yk
i=1
k=1
Z
k=1
2
∂ ū
∂ Ũ (1)
−
+
+
∂yk ∂yi
∂yi
! 3
(1)
∂ 2 ū X ∂ ∂Uk ∂ ū
d~z = 0.
+
∂yi2
∂yi
∂zi ∂yk
(1)
Uk
Оно гарантированно будет выполняться при
любых значениях ū в том случае, если функции
(1)
(1)
(1)
U1 , U2 и U3 служат решениями уравнений
− D0
k=1
3
X
(1)
∂Uk
δik +
∂zi
ai
i=1
!
= D0
3
(1)
X
∂2U
i=1
k
∂zi2
(40)
,
Имеем
k = 1, 2, 3. (34)
Следуя стандартной в теории гомогенизации
процедуре, сформулируем проблемы отыскания
(1)
функций Uk (k = 1, 2, 3) в виде задач на ячейке.
Задача С.
(1)
ak + ~a · ∇z Uk
(1)
Uk
(1)
k = 1, 2, 3,
(35)
— 1–периодическая по ~z,
D
E
(1)
Uk
= 0.
(36)
= D0 ∆z Uk ,
Z
Z
ai
∂ ū
∂ ū
d~z = hai iZ
= 0,
∂xi
∂xi
Z
ai
∂ Ũ
∂ Ũ
d~z = hai iZ
= 0,
∂yi
∂yi
Z
D0
Z
Z
∂
∂yi
Z
(1)
∂Uk ∂ ū
∂zi ∂yk
= 0.
Следовательно,
(37)
3
X
Согласно теореме [9, гл. III, §1, т. 1.3] мы можем утверждать следующее.
i=1
Лемма 2 Задача (35)–(37) имеет единственное
(1)
решение Uk ∈ C 2+α (Z).
+
*
3
(1)
∂Uk
∂ ū
∂ 2 ū X
ai
+
−D0 2 +
∂yi
∂yi
∂yk
k=1
Z
!
3 D
E
X
∂ 2 ū
(1)
+
ai U k
= 0. (41)
Z ∂yk ∂yi
k=1
Подставим выражение (31) в (27), получим
3
X
Лемма 3 Уравнение (41) имеет эллиптический
тип.
3 (1)
2
X
∂Uk ∂ ū
∂ ū
(1) ∂ ū
ai
+
+ Uk
+
∂xi
∂yi ∂yk
∂yk ∂yi
i=1
k=1
∂u(2)
∂ Ũ (1)
=
+
+
∂yi
∂zi
3 3
(1)
X
∂
∂ ū X ∂Uk ∂ ū
D0
=
+
+
∂yi ∂yi
∂zi ∂yk
i=1
k=1
∂
∂u(2)
∂ ū
+
. (38)
+
∂zi ∂xi
∂zi
Доказательство. Рассмотрим
E
D
(1)
.
Aij
=
D
δ
−
a
U
0
ij
i
1
j
Z
Из (35) следует
Z (1)
ak + ~a · ∇z Uk
φ d~z+
Z
В терминах Aj :
A2 u(1) + A3 ū = −A1 u(2) .
+
(39)
Z
(1)
D0 ∇z Uk · ∇z φ d~z = 0,
Z
где φ — 1–периодическая по ~z.
(1)
Возьмем φ := Uj . Получим
Интегрируем по ~z.
Так как
Z
A1 u(2) d~z =
D
Z
Z X
3 ∂ 2 u(2)
∂u(2)
− D0
d~z = 0,
=
ai
∂zi
∂zi2
i=1
(1)
ai U j
E
Z
=−
Z
(1)
Z
Z
51
d~z−
Z
−
Z
(1)
(~a · ∇z Ui )Uj
(1)
D0 ∇z Ui
(1)
· ∇z Uj
d~z.
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Тогда из (27) следует
Тогда
Aij
1 = D0 δij +
Z
(1)
(1)
3
X
d~z+
~a · ∇z Ui Uj
Z
+
Z
i=1
(1)
D0 ∇z Ui
(1)
· ∇z Uj
d~z.
+
Z
3
X
k=1
Возьмем ξ~ ∈ R3 . Имеет место цепочка равенств
3
X
∂ ū
∂ Ũ (1)
+
+
∂xi
∂yi
ai
(2)
3
X
=
i,k=1
Aij
1 ξi ξj =
!!!
=
∂ Ũ (1)
∂ ū
+
∂xk
∂yk
!
∂ ū
∂ Ũ (1)
+
∂xk
∂yk
∂Uk
∂zi
(2)
∂ 2 Uk
D0
∂zi2
, (45)
i,j=1
~2+
= D0 |ξ|
3 Z
X
i,j=1 Z
+
3 Z
X
(1)
~a · ∇z Ui ξi
(1)
(1)
Uj ξj
(1)
D0 ∇z Ui ξi · ∇z Uj ξj
i,j=1 Z
~2+
= D0 |ξ|
3 Z
X
3
X
d~z+
i=1
=
d~z =
Z
(~a · ∇z Ψ) Ψ d~z+
~ 2 , (42)
D0 |∇z Ψ|2 d~z ≥ D0 |ξ|
(2)
ak + ~a · ∇z Uk
в которой обозначено Ψ :=
3
P
(~a · ∇z Ψ)Ψ d~z =
Z
Z
(2)
Uk
(1)
Uk ξk и учтено,
k=1
Ψ2
d~z =
2
Z
Ψ
= − (divx~a) = 0,
2
k = 1, 2, 3,
(47)
— 1–периодическая по ~z,
D
E
(2)
= 0.
Uk
(48)
(49)
Система (47)—(49) является задачей на ячейке
Z. Она точно совпадает с задачей на ячейке C.
Подставим (43) и (44) в (28):
3
X
!
(1)
∂ Ũk
∂ ū
+
+
ai
∂xk
∂yk
i,k=1
!
2 (1)
∂ Ũ (2)
∂u(3)
(2) ∂ Ũk
+ Uk
=
+
+
∂yk ∂yi
∂yi
∂zi
"
3
3
(2) X
∂Uk
∂ 2 Ũ (1) X ∂
∂ ū
+
+
D0
=
2
∂yi
∂zi
∂yi
∂xk
i=1
k=1
!
#!!
(1)
2 (1)
∂ Ũk
∂u(3)
(2) ∂ Ũk
+
+ Uk
. (50)
+
∂yk
∂yk ∂yi
∂zi
Z
Z
(2)
= D0 ∆z Uk ,
Z
~a · ∇z
Z
!
где k=1,2,3.
Последнее равенство гарантированно выпол(2)
няется при каждом k = 1, 2, 3, если Uk — решение системы
Z
что
Z
3
X
i=1
i,j=1 Z
+
!
(2)
∂Uk
· ai δik +
=
∂zi
!
!
(2)
∂ 2 Uk
∂ ū
∂ Ũ (1)
· D0
+
, (46)
∂xk
∂yk
∂zi2
∂ Ũ (1)
∂ ū
+
∂xk
∂yk
D0 |∇z Ψ|2 d~z ≥ 0.
Z
Следовательно, A1 > 0.
В силу 1-периодичности ū по ~y задача (41) имеет единственное решение [9, гл. III, §1, т. 1.3]
ū = ū(~x, t).
(1)
(2)
∂Uk
∂ Ũk
+
∂xi
∂yi
В терминах операторов Aj (см. формулу (18)):
Тогда
u(1) (~x, ~y , ~z, t) = Ũ (1) (~x, ~y ).
A2 u(2) + A3 u(1) = −A1 u(3) − A4 ū.
(43)
Так как
Выберем u(2) в виде:
u(2) (~x, ~y, ~z, t) =
3
X
(2)
Uk (~x, ~y , ~z )
k=1
∂ Ũ (1) (~x, ~y)
+
∂yk
(51)
!
Z
∂ ū(~x, t)
+
∂xk
A1 u(3) d~z =
Z
Z X
3 ∂u(3)
∂ 2 u(3)
=
ai
− D0
d~z = 0,
∂zi
∂zi2
i=1
+ Ũ (2) (~x, ~y). (44)
Z
52
Эффективное уравнение турбулентной диффузии. . .
Z Z
Y
Z Z
A4 ū d~y d~z =
Z
Y
=−
Z Z X
3
Y
то
Z
D0
i=1
∂ ū
d~y d~z = 0,
∂xi ∂yi
=−
(A2 u(2) + A3 u(1) ) d~z = 0.
Z Z
С учетом того, что
Z
Z
∂ Ũ (2)
∂ Ũ (1)
d~z = ai
d~z = 0,
ai
∂xi
∂yi
Y
Z
Z
(1)
∂ Ũk
(2)
∂Uk
∂
∂zi
∂ ū
+
∂xk
∂yk
∂yi
Z
Z
D0
(2)
∂Uk
∂zi
2
!!
A1 u
Y
∂
d~z = 0.
∂yk ∂yi
Z Z X
3 (2)
2
∂U
∂ ū
(2) ∂ ū
ai k
+ ai U k
+
∂xi ∂xk
∂xk ∂xi
Z i,k=1
Y
(2)
Aij
2
= D0 δij −
D
(2)
ai U j
∂ 2 Uk ∂ ū
∂ Ũ (2)
∂ 2 Ũ (2)
− D0
− D0
−
2
∂xi
∂yi ∂xk
∂yi2
(2)
∂ 2 Uk ∂ ū
∂ 2 ū
− D0
+ ūt − D0 2 d~y d~z = 0. (60)
∂xi ∂zi ∂xk
∂xi
+ ai
E
Z
строго положительно определена согласно преды(2)
дущим рассуждениям, так как уравнение для Uj
(1)
такое же, как для Uj .
Следовательно, в силу 1–периодичности Ũ (1)
по ~y
˜ (1) (~x).
Ũ (1) (~x, ~y) = Ũ
Так как
Z Z
Z Z
∂ 2 Ũ (2)
∂ Ũ (2)
d~y d~z = 0,
D0
d~y d~z = 0,
ai
∂xi
∂yi2
Y
Y
Z
Значит,
˜ (1) (~x),
u(1) (~x, ~y, ~z, t) = Ũ
(53)
Y
∂ ū(~x, t)
(2)
Uk (~x, ~y , ~z )
∂xk
Y
A2 u
+ Ũ
∂ 2 Uk ∂ ū
d~y d~z = 0,
∂yi2 ∂xk
(2)
D0
∂ 2 Uk ∂ ū
d~z = 0,
∂xi ∂zi ∂xk
Z
то окончательно выводим
(~x, ~y). (54)
∂ ū
∂xk
d~y d~z =
*
(2)
∂U
ai k
∂xi
+
+
Y ×Z
E
∂ 2 ū D
(2)
ai U k
+
∂xk ∂xi
Y ×Z
+ ūt − D0
Z
Z Z X
3 ∂u(3)
∂ 2 u(3)
=
ai
− D0
d~y d~z = 0, (55)
∂yi
∂yi ∂zi
i=1
Y
Z
Y
Из (29), с учетом того, что
(3)
D0
Z Z
(2)
Z
(2)
Z Z
(~x, ~y, ~z, t) =
Z Z
(58)
2 (2)
Z Z X
3 ∂ u
∂ 2 u(2)
∂u(2)
+
− D0
+
ai
∂xi
∂yi2
∂xi ∂zi
Y Z i=1
∂ 2 ū
+ ūt − D0 2 d~y d~z = 0, (59)
∂xi
Матрица
k=1
Z
A3 u(2) + A5 ū d~y d~z = 0,
(1)
Ũk
+ *
(2)
∂Uk
∂ 2 Ũ (1)
∂ ū
−D0
+ ai
+
∂yi2
∂yi
∂xk
i,k=1
Z
!
!
D
E ∂ 2 Ũ (1)
∂ Ũ (1)
(2)
+ ai U k
= 0. (52)
+
∂yk
Z ∂yk ∂yi
=
i=1
˜ (1)
∂ 2 Ũ
d~y d~z = 0 (56)
∂xi ∂yi
Z Z X
3 ∂u(4)
ai
d~y d~z =
−
∂zi
i=1
Y Z
∂ 2 u(4)
− D0
d~y d~z = 0, (57)
∂zi2
Z Z 3
X
3
X
(4)
Z
d~z = 0,
имеем
u
Z
D0
получим
Z
(2)
Z Z X
3
Y
Z
D0
Z
2
и
Z
Z
A4 u(1) d~y d~z =
∂ 2 ū
= 0, (61)
∂x2i
т.е. искомое уравнение (13). Этим мы завершаем
доказательство теорем 1 и 2.
Z
53
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Библиографический список
1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М., 1973.
6. G. Allaire, M. Briane Multiscale convergence
and reiterated homogenisation // Proc. R. Soc.
Edinb. — 1996. — 126A.
2. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media.
— New York, 1988.
7. I. Pankratova, A. Piatnitski Homogenization
of convection-diffusion equation in infinite cylinder
// Networks and Heterogeneous Media. — 2011. — 6
(1).
3. Weinan E. Homogenization of linear and
nonlinear transport equations, Communications in
Pure and Applied Mathematics // Comm. on Pure
and Appl. Math. — 1992. — 45.
4. McLaughlin D. W., Papanicolaou G. C., and
Pironneau O. R. Convection of microstructure and
related problems // SIAM J. Appl. Math. — 1985.
— 45.
8. G. Allaire, I. Pankratova, A. Piatnitski
Homogenization and concentration for a diffusion
equation with large convection in a bounded domain
// to appear in Journal of Functional Analysis.
Internal report, CMAP, Ecole Polytechnique. — May,
2011. — n. 713.
5. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G.
Asymptotic analysis of periodic structures. — NH,
1978.
9. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М., 1973.
54