Линейные дифференциальные уравнения 1

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
Линейные дифференциальные уравнения
1-го порядка. Уравнение Бернулли
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.9(07)
Л 591
Рецензент
доктор физико-математических наук, профессор
кафедры физики имени профессора В. М. Финкеля
Громов В.Е.
Л 591 Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Уравнение Бернулли : метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т ; сост.
В. А. Рыбянец. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 12 с.
Изложена краткая теория, рассмотрены примеры решения уравнений, приведены примеры для самостоятельного решения.
Предназначены для студентов всех специальностей и
направлений подготовки.
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
Теоретические сведения
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее независимую переменную, ее функцию и
производные (или дифференциалы) этой функции.
Наивысший порядок производной от искомой функции, входящий в уравнение, называется порядком этого уравнения. В соответствии со сказанным, уравнение первого порядка имеет вид
(1)
F ( x, y, y)  0.
Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной записывается так:
dy
 f ( x, y ).
dx
(2)
dx
1

.
dy f ( x, y )
(3)
Наряду с этим уравнением можно рассматривать перевернутое
уравнение
Во многих случаях оказывается целесообразным вместо уравнений (2) и (3) рассматривать одно равносильное им дифференциальное
уравнение
(4)
dy  f ( x, y) dx  0.
Обе переменные x и y входят в это уравнение уже равноправно,
и любую из них можно принять за независимую переменную.
Решением дифференциального уравнения называется такая
дифференцируемая функция y   ( x) , которая при подстановке в
уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Задача нахождения решения дифференциального уравнения,
удовлетворяющего условию y  x0   y0 , называется задачей Коши, а
условие y  x0   y0 называется начальным условием этой задачи.
Функция y  f ( x, C ) называется общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка, если выполняются условия: 1) функция y  f ( x, C ) является решением уравнения при любых допустимых
значениях произвольной постоянной C ; 2) существует единственное
3
значение постоянной C  C0 при котором функция y  f  x, C0  удовлетворяет любому допустимому начальному условию y  x0   y0 .
Всякое решение y  f ( x, Co ) , получающееся из общего решения
при конкретном значении C  Co , называется частным решением.
Решение, которое нельзя получить из общего решения называется особым решением.
Общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка, называется общее решение, выраженное в неявной форме
  x, y, C   0 .
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида
(5)
y   P ( x ) y  Q( x )
Если Q( x)  0 , то уравнение называется линейным неоднородным, а
если Q( x)  0 - линейным однородным.
Общее решение однородного уравнения y  P( x) y  0 легко получается разделением переменных:
dy
dy
  P( x) dx; 
   P( x) dx; ln | y |   P( x) dx  ln C ,
y
y
или
 P ( x ) dx
y  Ce 
,
где C - произвольная постоянная.
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно
найти исходя из общего решения соответствующего однородного
уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную,
т.е. полагая
 P ( x ) dx
y  C ( x)e 
,
где C ( x) - некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая
функция от x .
Для нахождения C ( x) нужно подставить y в исходное уравнение, что приводит к уравнению
 P ( x ) dx
C ( x)e 
 Q( x).
Отсюда
C ( x )   Q ( x )e 
4
P ( x ) dx
dx  C ,
где C - произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
 P ( x ) dx 
 P ( x ) dx dx  C  .
ye 
Q
(
x
)
e
 

Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать
также методом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки y  u , где u и  - две неизвестные функции,
исходное уравнение преобразуется к виду
u  u   P( x)u  Q( x) или u    P( x)   u  Q( x).
Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например,  )
может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение u должно удовлетворять исходному уравнению), за 
принимают любое частное решение уравнения
   P( x)  0
(например,   e 
), обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при u в последнем уравнении.
Тогда предыдущее уравнение примет вид
 P ( x ) dx
u  Q( x), u  
Q( x)
Откуда

, или u  Q( x)e 
u  C   Q( x)e 
P ( x ) dx
P ( x ) dx
.
dx.
Общее решение исходного уравнения находится умножением u
на  :
 P ( x ) dx
ye 


 Q( x)e
P ( x ) dx

dx  C .
Уравнение (нелинейное) вида
y   P ( x ) y  Q( x ) y n ,
где n  0, n  1, называется уравнением Бернулли. Его можно преобразовать в линейное уравнение, производя замену неизвестной функции
при помощи подстановки z 
1
, в результате чего исходное уравy n1
нение преобразуется к виду
1
z   P( x) z  Q( x).
1 n
5
При интегрировании конкретных уравнений Бернулли их не
надо преобразовывать в линейные, а сразу применять либо метод
Бернулли, либо метод вариации произвольной постоянной.
Примеры решения задач на практическом занятии
Пример 1. Проинтегрировать уравнение xy  2 y  2 x 4 .
Решение. Это линейное уравнение. Решим его методом Лагранжа.
Интегрируем сначала соответствующее однородное уравнение
xy  2 y  0,
разделив переменные, получим
dy
dx
 2 ; ln | y | 2ln | x |  ln C; y  Cx 2 .
y
x
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде
y  C ( x) x 2 ,
где C ( x) - неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение
y  C ( x) x 2 и y  C ( x) x 2  2C ( x) x , придем к уравнению
C ( x)  2 x,
откуда
C ( x )  x 2  C.
Таким образом, получаем общее решение данного уравнения:
Ответ: y  x 2  x 2  C  .
y  x2  x2  C .
Пример 2. Проинтегрировать уравнение
y  x( y  x cos x).
Решение. После преобразования исходного уравнения к виду
y 
1
y  x cos x ,
x
в нем без труда можно увидеть линейное неоднородное уравнение.
Решим его методом Бернулли. Полагая y  u , имеем
1 
1

u  u   u  x cos x , или u  u       x cos x .
x 
x

1
d dx
Полагаем      0, откуда
 ; интегрируя, находим
x

x
ln |  | ln | x |  ln C    x (пусть C  1 ).
6
Для определения u имеем уравнение
u  x cos x, или u  cos x ,
откуда находим
u   cos x dx  sin x  C.
Умножив u на  , получим общее решение исходного уравнения в
виде
y  x(sin x  C ).
Ответ: y  x(sin x  C ).
Пример 3. Проинтегрировать уравнение (sin 2 y  x ctg y) y  1.
Решение. Для решения этого уравнения его удобно переписать, относительно x
x  x ctg y  sin 2 y .
В получившемся уравнении легко увидеть линейное неоднородное
уравнение. Решаем это уравнение методом Лагранжа. Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение
x  x ctg y  0;
Ищем
dx
 ctg y dy  ln | x | ln | sin y |  ln C; x  C sin y.
x
решение исходного неоднородного уравнения в виде
x  C ( y)sin y, где C ( y ) - неизвестная функция. Подставляя в исходное
уравнение
x  C ( y)sin y и x  C( y)sin y  C ( y)cos y ,
придем к уравнению
C ( y)  sin y ,
откуда
C ( y)   cos y  C .
Общее решение исходного уравнения получаем в виде
x  sin y(C  cos y).
Ответ: x  sin y(C  cos y).
Пример 4. Проинтегрировать уравнение
( x2  1) y sin y  2 x cos y  2 x  2 x3 .
Решение. Перепишем уравнение следующим образом:
2 x(1  x 2  cos y)
y 
,
( x 2  1)sin y
7
откуда
(1  x 2  cos y )2 x dx
(cos y  ( x 2  1))d ( x 2  1)
sin y dy 
, или d (cos y) 
.
x2  1
x2  1
Введем замену u  cos y,   x 2  1, тогда придем к уравнению
(u   )
u
du 
d , или u    1 .


Получили линейное уравнение. Решим его методом Лагранжа. Сначала найдем решение однородного уравнения u 
u

 0:
du d

; ln | u | ln |  |  ln C; u  C.
u

Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде u  C ( ) ,
где C ( ) - неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение
u  C ( ) и u  C ( )  C ( ), придем к уравнению
1
C ( )  ,
откуда

C ( )  ln C.
Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде
u   ln C ,
или, переходя к старым переменным
cos y  ( x 2  1)ln C ( x 2  1), y  arccos ( x 2  1)ln C ( x 2  1)  .
Ответ: y  arccos ( x 2  1)ln C ( x 2  1)  .
Пример 5. Решить уравнение
x
y ( x)   y (t )dt  x  1.
0
Решение. Продифференцируем обе чести исходного уравнения по x ,
тогда
y( x)  y( x)  1.
Интегрируем получившееся уравнение, разделив переменные
dy
 dx; ln | y  1| x  ln C; y  1  Ce x  y ( x)  Ce x  1.
y 1
Подставив получившееся значение y ( x) в исходное уравнение, полу-
чим
8
x
Ce  1    Cet  1dt  x  1   Cet  1 |0x  x  1  C  2.
x
0
Окончательно
y  2e x  1.
Ответ: y  2e x  1.
Задания для самостоятельного решения
1. (2 x  1) y  4 x  2 y.
2. xy  ( x  1) y  3x 2e x .
y
.
3x  y 2
4. y  y 4 cos x  y tg x.
dy y
5.
  x;
dx x
dy 2 y
6.

 x3 ;
dx x
7. y 2 dx  (2 xy  3) dy  0 ;
dy y
8.
   xy 2 ;
dx x
dy
9. 2 xy  y 2  x  0 ;
dx
1


10.
y dx   x  x3 y  dy  0 ;
2


y
11.
y 
 y2  0 ;
x 1
2y 2 y
y 

12.
;
x cos 2 x
13.
y  e2x  e x y .
3. y 
Найти частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:
14.
xy  y  e x  0 , y(b)  a ;
15.
y  y tg x 
1
, y(0)  0 ;
cos x
9
Ответы
1. y  (2 x  1)(C  ln | 2 x  1|)  1.
2. xy  ( x3  C )e x .
3. x  Cy3  y 2 ; y  0.
4. y 3  C cos3 x  3sin x cos2 x; y  0.
5. y  Cx  x 2
1
6
C
x2
1
7. x  Cy 2 
y
6. y  x 4 
8. y( x 2  Cx)  1
9. y 2  x ln
C
x
1
y  Cy 2
10.
x2 
11.
y
12.
 C  ln cos x

y 
 tg x 
x


13.
y  Ce e  e x  1
14.
15.
1
(1  x)(C  ln 1  x )
2
x
e x ab  ea
y 
x
x
x
y
cos x
10
Библиографический список
1. Письменный Л.Т. Конспект лекций по высшей математике.
Полный курс. – М.: Айрис Пресс, 2006. – 608 с.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах :
учеб. для вузов. В 2 т. Т.1. / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова
– М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.
3. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике : учебное пособие / А.Д. Мышкис. – СПб.: Лань, 2007. – 688 с.
4. Дифференциальные уравнения : метод. указания / Сиб. гос.
индустр. ун-т ; сост. В.В. Варламов. – Новокузнецк : Изд. центр. СибГИУ, 2005. – 31с.
11
Учебное издание
Составитель
Рыбянец Валерий Александрович
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ 1-го ПОРЯДКА.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать
Формат бумаги 60  84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл.-печ. 0,70 л. Уч.-изд. 0,78 л. Тираж 50 экз. Заказ
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42
Издательский центр СибГИУ
12