Лекция 8 Файл

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
ЛЕКЦИЯ 8
Термодинамика сверхпроводников. Критическое термодинамическое магнитное поле. Энтропия сверхпроводника. Скачок
теплоемкости, формула Рутгерса. Квантование магнитного потока. Сверхпроводники II рода. Абрикосовские вихри.
Термодинамика сверхпроводников. Критическое термодинамическое магнитное поле
Пусть длинный сверхпроводящий цилиндр из сверхпроводника первого рода помещен в однородное продольное внешнее магнитное поле H0 .
Найдем то значение этого поля, при котором произойдет разрушение
сверхпроводимости, т. е. найдем Hcm .
H0
Рис. 1: Цилиндр из сверхпроводника в продольном магнитном поле.
Если H0 < Hcm , то существует эффект Мейсснера, т. е. B = H +
4πM = 0. Из уравнения Максвелла
rot H = 0
(1)
следует сохранение тангенциальных компонент вектора H. Следовательно, в сверхпроводнике H = H0 . Поэтому, магнитный момент единицы
объема сверхпроводящего цилиндра M равен
H0
.
(2)
4π
При изменении внешнего поля H0 на величину dH0 источник магнитного
поля совершит работу над единицей объема сверхпроводника, равную
M=−
−M · dH0 = H0 · dH0 /4π.
1
(3)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
Следовательно при изменении поля от 0 до H0 источник поля совершит
работу
ZH0
H2
− M · dH0 = 0 .
(4)
8π
0
Эта работа запасена теперь в свободной энергии сверхпроводника, находящегося в магнитном поле H0 .
Таким образом, если плотность свободной энергии сверхпроводника Fs
в отсутствие магнитного поля равна Fs0 , то плотность свободной энергии
сверхпроводника в магнитном поле равна
H02
FsH = Fs0 +
.
(5)
8π
Эта энергия (работа) пошла на вытеснение магнитного поля из объема
сверхпроводника.
Переход сверхпроводника в нормальное состояние произойдет тогда,
когда свободная энергия FsH поднимется до уровня плотности свободной
энергии нормального металла
FsH = Fn
(6)
при H0 = Hcm . Это означает, что
2
Hcm
Fn − Fs0 =
.
8π
(7)
Отсюда следует, что критическое поле массивного материала является
мерой того, насколько сверхпроводящее состояние является энергетически более выгодным, чем нормальное, т. е. насколько свободная энергия
сверхпроводящего состояния меньше свободной энергии нормального состояния. Поэтому, поле Hcm часто называют критическим термодинамическим магнитным полем.
Энтропия сверхпроводника
Как известно из термодинамики, энтропия определяется из свободной
энергии
µ
¶
∂F
S=−
.
(8)
∂T V
Воспользуемся этой формулой, чтобы вычислить разность удельных энтропий нормального и сверхпроводящего состояния. Дифференцируя (7),
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
получим
Hcm
Ss − Sn =
4π
µ
∂Hcm
∂T
Лекция 8
¶
.
(9)
V
Эта формула позволяет получить важные физические следствия. Напомним сначала зависимость Hcm (T ) — рис. 2. Тогда нетрудно заклю-
H cm (T)
H cm (0)
1
N
S
1
T
_
Tc
Рис. 2: Зависимость критического магнитного поля от температуры.
чить:
1. По теореме Нерста энтропия при T = 0 обращается в ноль. Поэтому,
∂Hcm /∂T = 0, таким образом кривая Hcm (T ) — горизонтальна при
T = 0.
2. Из эксперимента следует, что Hcm (T ) — монотонно спадающая с увеличением температуры функция, т. е. ∂Hcm /∂T < 0. Следовательно,
во всем интервале температур ниже критической
Ss < S n .
(10)
3. Так как при T = Tc поле Hcm = 0, то Ss = Sn при T = Tc .
Отсюда можно сделать важные выводы:
1. Сверхпроводящее состояние является чем-то более упорядоченным,
чем нормальное, т. к. его энтропия меньше — рис. 3.
2. Переход при T = Tc происходит без поглощения или выделения
скрытой теплоты, т. к. Ss = Sn при T = Tc . Таким образом, это
— фазовый переход второго рода.
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
Ss - S n
Tc
T
Рис. 3: Зависимость энтропии сверхпроводника от температуры.
3. При T < Tc переход из сверхпроводящего состояния в нормальное
происходит под действием магнитного поля. Так как Ss < Sn , то
при переходе происходит поглощение скрытой теплоты. Наоборот,
при переходе из нормального состояния в сверхпроводящее скрытая
теплота выделяется. Это напоминает переходы: твердое тело → жидкость (при нагреве) или жидкость → твердое тело (при охлаждении).
Следовательно, все переходы в магнитном поле при T < Tc являются
фазовыми переходами 1 рода.
Как видите, нам понадобилось всего несколько формул термодинамики и экспериментальная зависимость Hcm (T ) для того, чтобы сделать
эти довольно важные выводы. От понимания того, что сверхпроводящее
состояние характеризуется большим порядком (меньшей энтропией), чем
нормальное, приходит понимание того, что сверхпроводящее состояние
— это состояние с согласованным когерентным поведением электронов.
Скачок теплоемкости. Формула Рутгерса
Как известно из термодинамики, удельная теплоемкость определяется
формулой
∂S
(11)
C=T
∂T
(мы не будем сейчас различать CP и CV , т. к. при низких температурах
они примерно одинаковы). Здесь S — удельная энтропия. Поскольку
µ
¶
Hcm ∂Hcm
Ss − Sn =
,
(12)
4π
∂T V
то дифференцируя эту формулу, получаем
"µ
#
¶2
2
∂Hcm
T
∂ Hcm
.
Cs − Cn =
+ Hcm
4π
∂T
∂T 2
4
(13)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
При T = Tc критическое поле Hcm = 0. Следовательно
µ
¶2
Tc ∂Hcm
Cs − Cn =
.
4π
∂T T =Tc
(14)
Эта формула носит имя Рутгерса. Поскольку из экспериментальных данных следует, что в точке перехода ∂Hcm /∂T |T =Tc 6= 0 это значит, что
теплоемкость в точке перехода испытывает скачок — рис. 4.
скачок
C
Cn
Cs
Tc
T
Рис. 4: Скачок теплоемкости в точке сверхпроводящего перехода.
Формула Рутгерса дает величину этого скачка. Выше Tc теплоемкость
линейно зависит от температуры, как это бывает у нормальных металлов (электронная теплоемкость). Поскольку зависимость C(T ) вблизи от
T = Tc похожа на греческую букву λ, температуру при которой происходит этот фазовый переход иногда называют лямбда точкой (сокращенно λ-точкой).
Квантование магнитного потока
Возьмем сверхпроводящее кольцо с толщиной гораздо больше длины
проникновения λ и посмотрим что получится, если мы сначала приложим к нему магнитное поле, затем охладим кольцо до сверхпроводящего
состояния, а затем выключим магнитное поле. Последовательность этих
событий изображена на следующих рисунках — рис. 5.
В нормальном состоянии в теле кольца имеется магнитное поле. Когда
кольцо становится сверхпроводящим, поле, как мы знаем, выталкивается
из толщи кольца. Но тогда, как видно из рисунка, остается некоторый поток магнитного поля сквозь отверстие кольца. Если теперь убрать внеш5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
I=0
T>Tc
T<Tc H 0 = 0
H0 = 0
I=0
T<Tc H 0 = 0
Рис. 5: Сверхпроводящее кольцо в магнитном поле.
нее поле, то те линии поля, которые прошли внутрь отверстия кольца,
будут заморожены. Силовые линии магнитного поля не могут пересечь
границ кольца, т. к. магнитное поле внутрь сверхпроводника проникнуть
не может.
По другому это можно объяснить так. По закону электромагнитной
индукции имеем
I
1 ∂Φ
−
= E · dl,
(15)
c ∂t
L
где интеграл берется по контуру L, проходящему внутри кольца. Но там
электрическое поле E = 0, следовательно Φ = const. Таким образом
6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
при выключении магнитного поля, по кольцу начинает течь сверхпроводящий ток, цель которого — сохранить магнитный поток через кольцо
неизменным. Все эти токи будут течь по поверхности кольца в слое толщиной λ.
С классической точки зрения величина захваченного кольцом магнитного потока может быть какой угодно, в том числе и сколь угодно малой. Однако, последовательное квантомеханическое рассмотрение этой
задачи (ведь помните, что сверхпроводимость — это квантовое явление,
причем в макроскопических масштабах) показывает, что существует минимальный (отличный от нуля) магнитный поток, который может пронизывать кольцо. Это так называемый квант магнитного потока. Он
равен
π~c hc
Φ0 =
=
(h = 2π~).
(16)
e
2e
Все допустимые значения магнитного потока выражаются затем формулой
Φ = nΦ0 , n = 0, 1, 2, ....
(17)
Величина кванта магнитного потока очень мала
Φ0 ∼ 2 · 10−7 Гс·см2 .
(18)
Чтобы представить себе эту величину, вообразите тонкий цилиндрик
толщиной в 0.1 мм. Магнитное поле внутри него, если оно обеспечивает такую величину потока, составит около 0.5% магнитного поля Земли.
С помощью чувствительных магнитных измерений такой малюсенький
поток можно зарегистрировать.
Физически квантование магнитного потока имеет то же происхождение, что и квантование орбит электронов в атоме. Поскольку, с
точки зрения квантовой механики электрон — это волна, длина которой
определяется соотношением де-Бройля
h
(19)
λB = ,
p
где p = mv — импульс электрона, то условие квантования магнитного
потока получается из условия, что на замкнутом контуре, по которому
вращается электрон, укладывается целое число длин волн де-Бройля
h
(20)
2πr = n ,
p
где r — радиус этого контура (окружности). Дополним теперь это соотношение вторым законом Ньютона для движения электрона по окружности
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
в магнитном поле
e
v2
vH = m .
(21)
c
r
Решая эти два уравнения, мы получаем, что величина магнитного потока Φ = Hπr2 , пронизывающего окружность, действительно равна целому кратному от кванта магнитного потока Φ0
hc
.
(22)
2e
При n = 1, т. е. наименьшем отличном от нуля значении потока, момент
количества движения вращающегося по окружности электрона
Φ = nΦ0 = n
erH
er2 H
e πr2 H
e
e hc
h
J =r·p=r·
=
=
= Φ0 =
=
= ~, (23)
c
c
c π
πc
πc 2e
2π
т. е. оказывается равным постоянной Планка. Это находится в соответствии с правилами квантования момента количества движения, которые
мы уже разбирали при изучении магнитных явлений. Согласно этим
правилам орбитальный момент количества движения квантуется (точнее квантуется его проекция на некоторую ось) и величина кванта равна
~. Допустимое значение J = n~.
Квантование магнитного потока наблюдалось экспериментально в 1961
году Дивером и Фейрбэнком. Они изготовили сверхпроводящий цилиндрик с помощью электроосаждения тонкого слоя олова (сверхпроводник
с Tc = 3.8 K) на кусочек медной проволоки диаметром 1.3 · 10−3 см (длиной 1 см). Ниже 3.8 К олово становится сверхпроводником, а медь остается нормальным металлом. Проволока помещалась в небольшое регулируемое магнитное поле и температура снижалась до тех пор, пока олово не
стало сверхпроводником. Затем убрали внешний источник поля. Однако, как вы понимаете, это вызвало возникновение сверхпроводящего тока
в цилиндрике, т. е. цилиндрик приобрел магнитный момент, пропорциональный захваченному им магнитному потоку. Этот магнитный момент
измеряли, для чего водили этой проволочкой вверх и вниз (как иглой
в швейной машине, но со скоростью 100 раз в секунду) внутри пары
маленьких катушек, помещенных вблизи концов оловянного цилиндрика. Мерой магнитного момента было наводимое в катушках напряжение.
Дивер и Фейрбэнк обнаружили, что поток действительно квантуется и
величина кванта магнитного потока равна Φ0 .
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
Сверхпроводники II рода. Абрикосовские вихри
Явление квантования магнитного потока играет большую роль в сверхпроводниках II рода. Как мы помним, это сверхпроводники, у которых лондоновская длина проникновения λ значительно больше длины
когерентности ξ. Вследствие этого поверхностная энергия на границе
сверхпроводящей и нормальной фаз при определенных условиях может
стать отрицательной. Тогда ясно, что в сверхпроводящей фазе должны появиться очень измельченные N (нормальные) области, т. к. выгодна именно обширная поверхность раздела. При заданном потоке на
бесконечности N области будут иметь форму тонких цилиндрических
трубочек, через которые и проходят силовые линии магнитного поля —
рис. 6. По периферии такой трубочки течет незатухающий сверхпроводящий ток. Такую вот трубочку и называют вихрем. Абрикосовским
вихрем, поскольку Абрикосов 1 был первый, кто догадался о существовании таких вихрей в сверхпроводниках II рода (и вообще понял, что в
природе существует два типа сверхпроводников).
N
S
Рис. 6: Проникновение магнитного поля в сверхпроводник II рода.
Структура абрикосовского вихря выглядит следующим образом — рис. 7.
В центре вихря имеется сердцевина, размером порядка длины когерентности ξ — кор вихря, где плотность сверхпроводящих электронов равна
нулю, т. е. там сверхпроводимость разрушена и кор вихря образует собой нормальную фазу N . На бо́льших расстояниях вещество находится
Алексе́й Алексе́евич Абрико́сов (род. 25 июня 1928, Москва) — советский и американский физик,
лауреат Нобелевской премии по физике (2003), академик РАН, доктор физико-математических
наук. Основные работы сделаны в области физики конденсированных сред. Смотри также:
http://ufn.ru/ufn08/ufn08_6/Russian/rper086.pdf, http://www.jjew.ru/index.php?cnt=8211.
1
9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
в сверхпроводящем состоянии, причем вокруг кора вихря циркулирует незатухающий сверхпроводящий ток I, амплитуда которого убывает
вглубь S области и сходит на нет на расстоянии от кора порядка λ.
ns
B
x
l
r
r
B
S
N
I
x
l
Рис. 7: Структура абрикосовского вихря.
А при чем здесь квантование магнитного потока? А притом, что поток
магнитного поля через абрикосовский вихрь в точности равен кванту
магнитного потока Φ0 = hc/2e. Каждый абрикосовский вихрь несет в
себе квант магнитного потока Φ0 . Пользуясь этим, можно оценить при
каком магнитном поле в сверхпроводнике появится первый вихрь. Ответ
Φ0
.
(24)
λ2
При меньших полях магнитное поле не проникает в сверхпроводник II
рода, а начиная с H = Hc1 начинается его проникновение в виде абрикосовских вихрей. Поле Hc1 называют первым критическим полем. Оно,
Hc1 ∼
10
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
как можно показать, значительно меньше термодинамического поля Hcm
ξ
<< Hcm
(25)
λ
Фазовая диаграмма для сверхпроводника II рода выглядит следующим
образом — рис. 8. Состояние сверхпроводника с абрикосовскими вихрями
Hc1 = Hcm
H
нет сверхпроводимости
N фаза
H c3
H c2
поверхностная
сверхпроводимость
фаза Шубникова
абрикосовские вихри
H c1
полный эффект Мейсснера
T
Tс
Рис. 8: Фазовая диаграмма сверхпроводника II рода.
называется фазой Шубникова или смешанным состоянием. В поле Hc2
нормальные области (центры вихрей) начинают перекрываться, и весь
сверхпроводник переходит в нормальное состояние. Остается только тонкий сверхпроводящий приповерхностный слой, который разрушается в
поле Hc3 .
Для V3 Ga:
Hc1 = 200 Гс
Hcm = 6000 Гс
Hc2 = 600000 Гс
В большинстве случаев Hc3 ≈ 1.7Hc2
Вихри «небезразличны» друг другу: текущие в них токи создают взаимные помехи, поэтому параллельные вихри отталкиваются. Они стараются держаться подальше друг от друга, но когда их много, то отталкивание идет со всех сторон. Подобно атомам кристалла, вихри (в достаточно чистом сверхпроводнике) образуют правильную решетку. Если
смотреть в направлении магнитного поля, как бы с торца цилиндриков
вихрей, то, как правило, получается картина треугольной решетки. Ее
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
удалось наблюдать экспериментально приблизительно теми же способами, что и промежуточное состояние сверхпроводников I рода, но, конечно, с помощью микроскопа.
Алексей Абрикосов
Алексей Абрикосов родился 25 июня 1928 года в семье видных патологоанатомов
— заведующего кафедрой патологической анатомии Второго Московского государственного университета (с 1930 года — I Московский медицинский институт) академика Алексея Ивановича Абрикосова и ассистента кафедры, прозектора Кремлёвской больницы Фани Давидовны Вульф.
После окончания школы в 1943 году он начал изучать энерготехнику, но в 1945
году перешёл к изучению физики. После получения диплома в 1948 году написал
под руководством Л.Д. Ландау кандидатскую диссертацию на тему «Термическая
диффузия в полностью и частично ионизированных плазмах» и защитил её в 1951
году в Институте физических проблем в Москве. В это же время его родители были
отстранены от работы в Кремлёвской больнице в ходе кампании против так называемых врачей-вредителей. После защиты он остался в институте и защитил в 1955
году докторскую работу по квантовой электродинамике высоких энергий. В 1965 году он возглавил факультет теоретической физики сплошных сред в новооснованном
институте теоретической физики.
Рис. 9: Алексей Абрикосов (Россия, США), 1928.
С 1975 года — почётный доктор Университета Лозанны.
В 1991 году принял приглашение Аргоннской национальной лаборатории в Иллинойсе и переселился в США, в 1999 году принял американское гражданство. Абрикосов является членом различных научных учреждений, в числе которых Национальная академия наук США, Российская академия наук, Лондонское королевское
общество и Американская академия наук и искусств.
Помимо научной деятельности Алексей Алексеевич также преподавал:
• до 1969 года — в МГУ,
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
• в 1970—1972 годах — в Горьковском государственном университете,
• в 1972—1976 годах заведовал кафедрой теоретической физики в МФТИ,
• в 1976—1991 годах — кафедрой теоретической физики в МИСиСе в Москве.
• В 1988 году Абрикосов издал учебное руководство «Основы теории металлов»,
написанное на основе его лекций в МГУ, МФТИ и МИСиС.
• В США он преподавал в университете Иллинойса (Чикаго) и в университете
штата Юта. В Англии он преподавал в университете Лафборо.
Алексей Алексеевич Абрикосов женат, воспитал двоих сыновей и дочь.
Научные достижения
Абрикосов совместно с Николаем Заварицким, физиком-экспериментатором из Института физических проблем, обнаружил при проверке теории Гинзбурга-Ландау новый класс сверхпроводников — сверхпроводники второго рода. Этот новый тип сверхпроводников, в отличие от сверхпроводников первого рода, сохраняет свои свойства
даже в присутствии сильного магнитного поля (до 25 Тл). Абрикосов смог объяснить
такие свойства, развивая рассуждения своего коллеги Виталия Гинзбурга, образованием регулярной решетки магнитных линий, которые окружены кольцевыми токами.
Такая структура называется «вихревой решёткой Абрикосова».
Также Абрикосов занимался проблемой перехода водорода в металлическую фазу
внутри водородных планет, квантовой электродинамикой высоких энергий, сверхпроводимостью в высокочастотных полях и в присутствии магнитных включений (при
этом он открыл возможность сверхпроводимости без полосы запирания) и смог объяснить сдвиг Найта при малых температурах путём учета спин-орбитального взаимодействия. Другие работы были посвящены теории не сверхтекучего He и вещества
при высоких давлениях, полуметаллам и переходам металл-диэлектрик, эффекту
Кондо при низких температурах (при этом он предсказал резонанс Абрикосова —
Сула) и построению полупроводников без полосы запирания. Прочие исследования
касались одномерных или квазиодномерных проводников и спиновых стёкол.
В Аргонской национальной лаборатории он смог объяснить большинство свойств
высокотемпературных сверхпроводников на основе купрата и установил в 1998 году
новый эффект (эффект линейного квантового магнитного сопротивления), который
был впервые измерен ещё в 1928 году П. Капицей, но никогда не рассматривался в
качестве самостоятельного эффекта.
В 2003 году, совместно с В.Л. Гинзбургом и Э. Леггетом, получил Нобелевскую
премию по физике за «основополагающие работы по теории сверхпроводников и
сверхтекучих жидкостей».
Член редакционных коллегий журналов «Теоретическая и математическая физика», «Обзоры по высокотемпературной сверхпроводимости», был членом редакционной коллегии библиотечки «Квант» (издательство «Наука»).
Награды
• Член-корреспондент Академии наук СССР (ныне Российская академия наук) с
1964 г.
• Ленинская премия, 1966 г.
13
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика Сверхпроводимость
Лекция 8
• Почётный доктор университета Лозанны, 1975
• Орден «Знак Почёта»
• Орден Трудового Красного Знамени
• Государственная премия СССР, 1982 г.
• Академик Академии наук СССР (ныне Российская академия наук) с 1987 г.
• Премия Ландау, 1989
• Премия Джона Бардина, 1991
• Иностранный почётный член Американской академии наук и искусств, 1991
• Член Национальной академии наук США, 2000
• Иностранный член Лондонского королевского общества, 2001
• Нобелевская премия по физике, 2003
Задачи
1. Выведите формулу (?)
14