1 Ââåäåíèå Ýëåìåíòàðíîé ïîâåðõíîñòüþ1 íàçûâàåòñÿ ãîìåîìîðôíûé îáðàç îòêðûòîãî êðóãà D2 â ïðîñòðàíñòâî R3 . Åñëè (u, v) äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû â D2 , à âåêòîð-ôóíêöèÿ ⃗r = ⃗r(u, v) òàêîâà ÷òî, ⃗r(u, v) ∈ C k (àíàëèòè÷åñêàÿ) è rg d⃗r(u, v) = 2 äëÿ âñåõ (u, v), òî ïîâåðõíîñòü, çàäàâàåìàÿ âåêòîð-ôóíêöèåé ⃗r íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé êëàññà C k (àíàëèòè÷åñêîé). Êîîðäèíàòû (u, v) íàçûâàþòñÿ êðèâîëèíåéíûìè êîîðäèíàòàìè ïîâåðõíîñòè. Åñëè (x, y, z) - äåêàðòîâû êîîðäèíàòû â R3 , òî âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè ⃗r = ⃗r(u, v) ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ òðåõ ôóíêöèé: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v). Ýòî ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè. Ðåãóëÿðíîñòü êëàññà C k (àíàëèòè÷íîñòü) ïîâåðõíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî âñå òðè óêàçàííûå ôóíêöèè ïðèíàäëåæàò êëàññó C k (àíàëèòè÷åñêèå), à òàê æå ( ∂x ∂y ∂z ) rg ∂u ∂x ∂v ∂u ∂y ∂v ∂u ∂z ∂v =2 Åñëè â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ ïîâåðõíîñòè âûáðàíû äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (x, y) ïëîñêîñòè XoY â R3 , òî ïîâåðõíîñòü çàäàåòñÿ îäíîé ôóíêöèåé z = z(x, y). Òàêîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ÿâíûì, à ïîâåðõíîñòü - ÿâíî çàäàííîé. Ê îïðåäåëåíèþ ïîâåðõíîñòè ìîæíî ïîäõîäèòü è ñ äðóãîé òî÷êè çðåíèÿ, à èìåííî êàê ê ãåîìåòðè÷åñêîìó ìåñòó òî÷åê (ã.ì.ò.) â R3 , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåêîòîðîìó óñëîâèþ. Ôîðìàëüíî ýòî óñëîâèå âûðàæàåòñÿ â âèäå ôóíêöèè îò êîîðäèíàò (x, y, z), çíà÷åíèå êîòîðîé äëÿ òî÷åê ðàññìàòðèâàåìîãî ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà ïîñòîÿííî: M (x, y, z) ∈ (ã.ò.ì.) ⇐⇒ f (x, y, z) = 0. Òàêîå çàäàíèå ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ íåÿâíûì. Íåÿâíî çàäàííàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé êëàññà C k (àíàëèòè÷åñêîé), åñëè f ∈ k C (àíàëèòè÷íà) è ãðàäèåíò ∇f ̸= 0 äëÿ âñåõ (x, y, z) èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ f . Ëîêàëüíî âñå ïåðå÷èñëåííûå ñïîñîáû çàäàíèÿ ðåãóëÿòíîé ïîâåðõíîñòè ýêâèâàëåíòíû.  äàëüíåéøåì íàì áóäåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ äðóãèìè îáîçíà÷åíèÿìè äëÿ ïàðàìåòðîâ: u ←→ u1 , v ←→ u2 , à òàêæå ïðàâèëîì ñóììèðîâàíèÿ ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ âåðõíèì è íèæíèì èíäåêñàì2 Ïóñòü ⃗r = ⃗r(u1 , u2 ) âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè. Òàê êàê rg d⃗r = 2 äëÿ âñåõ (u1 , u2 ), òî â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè âåêòîðû ∂1⃗r = ∂ ⃗r ∂u1 è ∂2⃗r = ∂ ⃗r ∂u2 ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îáðàçóþò áàçèñ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå3 . Âåêòîð ⃗ = ∂1⃗r × ∂2⃗r N îðòîãîíàëåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì íîðìàëè. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ïîâåðõíîñòè èìååò âèä: ( ) ⃗ − ⃗r(u1 , u2 ), ∂1⃗r, ∂2⃗r = 0; R ⃗ R(t) = ⃗r(u1 , u2 ) + t∂1⃗r × ∂2⃗r Åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà íåÿâíî â âèäå f (x, y, z) = c, òî ïîëå íîðìàëåé ïîâåðõíîñòè ñî⃗ = ∇f . ñòàâëÿåò ïîëå ãðàäèåíòà ôóíêöèè f , òî åñòü N ⃗ îáðàçóþò ïåðåìåííûé áàçèñ Âäîëü âñåé ïîâåðõíîñòè òðîéêà âåêòîðíûõ ïîëåé ∂1⃗r, ∂2⃗r, N 3 (ïîäèæíûé ðåïåð) â R . Êàæäûé êàñàòåëüíûé ê ïîâåðõíîñòè âåêòîð ⃗a ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå 1 Ðàññìàòðèâàåìûå â êóðñå ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè ëîêàëüíî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè, ÷òî äàåò ïðàâî èññëåäîâàòü òîëüêî ýëåìåíòàðíûå ïîâåðõíîñòè. 2 Íàïðèìåð, g bi ak ik 3 Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé îçíà÷àåò ∑n i k i,k=1 gik b a . ∂1 ⃗ r è ∂2 ⃗ r- òî÷êè çðåíèÿ Íàïðèìåð n áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ èç êîíòåêñòà. êàñàòåëüíûå âåêòîðû ê êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì âåòñòâåííî 1 u1 è u2 ñîîò- ⃗a = a1 ∂1⃗r + a2 ∂2⃗r. Åñëè ⃗b = b1 ∂1⃗r + b2 ∂2⃗r, òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ⃗a è ⃗b êàê âåêòîðîâ, ëåæàùèõ â R3 , âûðàçèòñÿ â âèäå áèëèíåéíîé ôîðìû íà êàñàòåëüíûõ âåêòîðàõ ê ïîâåðõíîñòè: ( ) < ⃗a, ⃗b >= a1 b1 < ∂1⃗r, ∂1⃗r > + a1 b2 + a2 b1 < ∂1⃗r, ∂2⃗r > +a2 b2 < ∂2⃗r, ∂2⃗r > . Ïðè ⃗a = ⃗b ýòà ôîðìà ïðèíèìàå âèä êâàäðàòè÷íîé è íàçûâàåòñÿ ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè. Ôóíêöèÿ gik =< r⃗i , r⃗k > íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, à ìàòðèöà G = (gik )-ìàòðèöåé ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè. Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàë ðàäèóñà-âåêòîðà d⃗r = ∂1⃗rdu1 + ∂2⃗rdu2 êàê áåñêîíå÷íî ìàëûé âåêòîð, èìåþùèé â ïîäâèæíîì áàçèñå {∂1⃗r, ∂2⃗r} êîîðäèíàòû {du1 , du2 }. Åãî äëèíà 2 2 2 |d⃗r| = g11 (du1 ) + 2g12 du1 du2 + g22 (du2 ) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ýëåìåíòîì ïîâåðõíîñòè è îáîçíà÷àåòñÿ ds2 . Âûðàæåíèå ds2 = gik dui duk íàçûâàþò òàêæå ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè. Åñëè u1 è u2 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà t, òî âñå òî÷êè êðèâîé ( ) ρ ⃗(t) = ⃗r u1 (t), u2 (t) ëåæàò íà ðàññìàòðèâàåìîé ïîâåðõíîñòè. Óðàâíåíèÿ u1 = u1 (t), u2 = u2 (t) íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé ( ) ρ ⃗(t) = ⃗r u1 (t), u2 (t) . Âåêòîðíîå ïîëå du1 du2 d⃗ ρ = ∂1⃗r + ∂2⃗r dt dt dt { 1 } du2 ñîñòàâëÿåò ïîëå êàñàòåëüíûõ êðèâîé è èìååò êîîðäèíàòû du , îòíîñèòåëüíî êàñàòåëüdt dt íîãî áàçèñà ïîâåðõíîñòè. Äëèíà îòðåçêà êðèâîé íà ïðîìåæóòêå [t1 , t2 ] âûðàçèòñÿ ôîðìóëîé l[t1 ,t2 ] ∫t2 ∫ t2√ dρ dui duk = dt = gik dt dt dt dt t1 t1 { } { } u1 = u1 (t) u1 = v 1 (τ ) Ïóñòü γ1 è γ2 äâå êðèâûå íà ïîâåðõíîñòè, èìåþùèå îáùóþ u2 = u2 (t) u2 = v 2 (τ ) òî÷êó u10 = u1 (t0 ) = v 1 (τ0 ), u20 = u2 (t0 ) = v 2 (τ0 ) Óãîë ìåæäó ýòèìè êðèâûìè â îáùåé òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ êàê óãîë ìåæäó èõ êàñàòåëüíûìè â ýòîé òî÷êå.  áàçèñå {∂1{ ⃗r, ∂2⃗r} êàñà} òåëüíûå âåêòîðû ðàññìàòðèâàåìûõ êðèâûõ èìåþò êîîðäèíàòû ñîîòâåòñòâåííî: { 1 } dv dv 2 , . Ñëåäîâàòåëüíî, dτ dτ cos(γ1ˆγ2 ) = ãäå α1 = √ i duk gik du dt dt , α2 = √ i dv k gik dv dτ dτ . 1 dui dv k gik , α1 α2 dt dτ 2 du1 du2 dt , dt è Ïëîùàäü σ çàìêíóòîé îáëàñòè D íà ïîâåðõíîñòè, ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîì çàìêíóòîé îáëàñòè D′ îòíîñèòåëüíî âåêòîð-ôóíêöèè ⃗r, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ∫∫ √ σ= det(gik )du1 du2 . D′ Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïîëå åäèíè÷íûõ íîðìàëåé ⃗n = ∂1⃗r × ∂2⃗r . |∂1⃗r × ∂2⃗r| Òîãäà {∂1⃗r, ∂2⃗r, ⃗n} ïî-ïðåæíåìó îáðàçóþò ïîäâèæíûé ðåïåð â êàæäîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäíûå ýòèõ âåêòîðîâ âûðàæàþò ñíîâà ÷åðåç âåêòîðû ïîäâèæíîãî ðåïåðà 4 : ∂ r = ∂11⃗r = Γ111 ∂1⃗r + Γ211 ∂2⃗r + b11⃗n, ∂u1 ∂1⃗ ∂ r ∂u2 ∂1⃗ = ∂ ∂u1 r2 ∂ r ∂u2 ∂2⃗ = ∂22⃗r = Γ122 ∂1⃗r + Γ222 ∂2⃗r + b22⃗n, = ∂12⃗r = Γ112 ∂1⃗r + Γ212 ∂2⃗r + b12⃗n, ∂ n ∂u1 ⃗ = ∂1⃗n = −a11 ∂1⃗r − a21⃗r2 , ∂ n ∂u2 ⃗ = ∂2⃗n = −a12 ∂1⃗r − a22 ∂2⃗r, Ïåðâûå òðè ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ãàóññà, à âòîðûå äâå - ôîðìóëàìè Âåéíãàðòåíà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ñîãëàøåíèåì îá èíäåêñàõ ñóììèðîâàíèÿ, ýòè ôîðìóëû âûïèñûâàþòñÿ â ñëåäóþùåé ëàêîíè÷íîé ôîðìå: ∂ik ⃗r = Γsik ∂s⃗r + bik ⃗n ∂i⃗n = −asi ∂s⃗r (ôîðìóëû Ãàóññà) (ôîðìóëû Âåéíãàðòåíà) Êîýôôèöèåíòû íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè Êðèñòîôåëÿ âòîðîãî ðîäà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî < ∂ik ⃗r, ⃗rj >= Γsik gsj Ôóíêöèè Γik,j =< ∂ik ⃗r, ⃗rj > íàçûâàþòñÿ ñèìâîëàìè Êðèñòîôôåëÿ ïåðâîãî ðîäà. Òàêèì îáðàçîì Γik,j = gsj Γsik è îáðàòíî Γjik = g sj Γik,s ãäå G−1 = (g sj ) -ìàòðèöà îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå G = (gik ) Ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ ìîãóò áûòü âûðàæåíû òîëüêî ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû: 1 Γij,k = (∂j gik + ∂i gkj − ∂k gij ) 2 i Ìàòðèöà A = (ak ) èç ðàçëîæåíèÿ Âåéíãàðòåíà îïðåäåëÿåò ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè. 2 2 Ëåãêî âèäåòü, ÷òî bik =< ∂ik ⃗r, ⃗n > . Òàê êàê d2⃗r = ∂11⃗r(du1 ) + +2∂12⃗rdu1 du2 + ∂22⃗r(du2 ) , 2 2 òî ôîðìóëà < d2⃗r, ⃗n >= b11 (du1 ) + 2b12 du1 du2 + b22 (du2 ) , ñ îäíîé ñòîðîíû, åñòü âåëè÷èíà ïðîåêöèè âåêòîðà d2⃗r íà íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè, à ñ äðóãîé - îïðåäåëÿþò êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ñ ìàòðèöåé B = (bik ) íà êàñàòåëüíûõ âåêòîðàõ ê ïîâåðõíîñòè. Ýòà ôîðìà íàçûâàåòñÿ âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè, à ôóíêöèè bik - êîýôôèöèåíòàìè âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Òàê êàê < d2⃗r, ⃗n >= − < d⃗r, d⃗n > ,òî èç ôîðìóëû Ãàóññà-Âåéíãàðòåíà ñëåäóåò ÷òî −aik = −g is bks ; â ìàòðè÷íîé çàïèñè ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùóþ ñâÿçü: A = G−1 B 4 Ââèäó åäèíè÷íîñòè âåêòîðà ïëîñêîñòè. Çíàê aik ⃗ n eãî ïðîèçâîäíûå âåêòîðû ∂i ⃗ n âûáèðàåòñÿ èç íèæåñëåäóþùèõ ñîîáðåæåíèé. 3 îðòîãîíàëüíû, à çíà÷èò ëåæàò êàñàòåëüíî Ïóñòü γ -ïðîèçâîëüíàÿ êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè. Òîãäà åå âåêòîð êðèâèçíû5 k⃗ν ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî âåêòîðàì ïîäâèæíîãî ðåïåðà: k⃗ν = kn⃗n + kg ⃗τ , ãäå τ -åäèíè÷íûé âåêòîð, ëåæàùèé â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè; kn -íîðìàëüíàÿ êðèâè÷ýð ûøýøø, kg -åå ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà. Î÷åâèäíî, ÷òî kn = k cos θ,ãäå θ -óãîë ìåæäó ãëàâíîé íîðìàëüþ êðèâîé è íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè(òåîðåìà Ìåíüå). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî kn íå çàâèñèò îò âûáîðà êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè, à ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò êàñàòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ â êàæäîé òî÷êå. Åñëè ⃗τ = τ 1 r⃗1 + τ 2⃗r2 êàñàòåëüíîå íàïðàâëåíèå, òî bik τ i τ k kn (⃗τ ) = . gik τ i τ k Çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà Kn (⃗τ ) íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ⃗τ . Ýêñòðåìóìû ýòîãî ôóíêöèîíàëà íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè êðèâèçíàìè ïîâåðõíîñòè, à ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëåíèÿ -ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè. Ãëàâíûå êðèâèçíû ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè îïåðàòîðà Âåéíãàðòåíà, à ñîîòâåòñâóþùèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè íàïðàâëåíèÿìè. Ãàóññîâîé K è ñðåäíåé H êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè â äàííîé òî÷êå íàçûâàþòñÿ ïðîèçâåäåíèå K1 K2 è ïîëóñóììà 12 (k1 + k2 ) ãëàâíûõ êðèâèçí ïîâåðõíîñòè â ýòîé òî÷êå. Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ìàòðèöû À èíòåðïðåòèðóåòñÿ äâóìÿ ñïîñîáàìè: x(λ) = det(A − λE) = λ2 − traceAλ + detA, x(λ) = λ2 − 2Hλ + K, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî K = detA = detB , detG 1 1 traceA = trace(G−1 B). 2 2 Ãàóññîâà êðèâèçíà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà áåç ïðèâëå÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (Òåîðåìà Ãàóññà): R1212 , K= detG ãäå R1212 êîìïîíåíòà (åäèíñòâåííàÿ äëÿ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé) òåíçîðà êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé H= R1212 = ∂Γ22,1 ∂Γ12,1 − + Γs12 Γ12,s − Γs22 Γ11,s . ∂u1 ∂u2 Ïîâåðõíîñòè, äëÿ êîòîðûõ H ≡ 0,íàçûâàþòñÿ ìèíèìàëüíûìè. Åñëè k1 k2 > 0, -òî÷êà íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé, åñëè k1 k2 < 0, -ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè k1 k2 = 0;, -ïàðàáîëè÷åñêîé, åñëè k1 = k2 , -îìáèëè÷åñêîé. Ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû, åñëè â êàæäîé ñâîåé òî÷êå îíà êàñàåòñÿ ãëàâíîãî íàïðàâëåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ëèíèé êðèâèçíû èìååò âèä (du2 )2 −du1 du2 (du1 )2 g11 g12 g22 = 0 b11 b12 b22 5k -êðèâèçíà êðèâîé γ êàê êðèâîé â R3 , à ⃗ ν - åå âåêòîð ãëàâíîé íîðìàëè. 4 Íàïðàâëåíèÿ p⃗ = {p1 , p2 } è ⃗q = {q 1 , q 2 } â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè, åñëè îíè ñîïðÿæåíû îòíîñèòåëüíî âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû bik pi q k = 0.  îêðåñòíîñòè íå îìáèëè÷åñêîé òî÷êè ëèíèè êðèâèçíû ìîæíî ïðèíÿòü â êà÷åñòâå êîîðäèíàòíûõ.  ïîëó÷åííîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìàòðèö G è B îäíîâðåìåííî ïðèíèìàþò äèàãîíàëüíûé âèä ( ) ( ) 1 0 k1 0 G= , B= , 0 1 0 k2 ãäå k1 è k2 ãëàâíûå êðèâèçíû. Âûðàæåíèå íîðìàëüíîé êðèâèçíû ïðèíèìàåò âèä: 2 kn (⃗τ ) = k1 (τ 1 ) + k2 (τ 2 ) 2 2 (τ 1 ) + (τ 2 ) 2 = k1 cos2 φ + k2 sin φ (Ôîðìóëà Ýéëåðà) à ôîðìóëû Âåéíãàðòåíà ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäó: ⃗n1 = −k1⃗r1 , ⃗n2 = −k2⃗r2 (ôîðìóëû Ðîäðèãà) Ñàìîñîïðÿæåííûå íàïðàâëåíèÿ íàçûâàþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè. Ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé, åñëè â êàæäîé ñâîåé òî÷êå îíà êàñàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî íàïðàâëåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé, î÷åâèäíî, èìååò âèä bik dui duk = 0 Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå îçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ êðèâèçíà àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè â êàæäîé òî÷êå ðàâíà íóëþ, à ñëåäîâàòåëüíî, åå âåêòîð êðèâèçíû ëåæèò â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè. Ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, à åñëè â êàæäîé òî÷êå åå ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà kg = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åå âåêòîð êðèâèçíû íàïðàâëåí ïî íîðìàëèè ê ïîâåðõíîñòè, à åå íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà ðàâíà êðèâèçíå ëèíèè. Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè ÿâëÿþòñÿ êðàò÷àéøèìè ìåæäó äâóìÿ äîñòàòî÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè ïîâåðõíîñòè. Ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, ïàðàìåòðèçèðîâàííûå íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì S , ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè (íåëèíåéíîé) ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: j k d2 ui i du du + Γ =0 jk ds2 ds ds 2 (i = 1, 2) Ñïîñîáû çàäàíèÿ ïîâåðõíîñòåé 1. Äëÿ òîãî ÷òîáû â êàæäîé òî÷êå íåêîòîðîé îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ u è v âåêòîð ⃗r(u, v) áûë îðòîãàíàëåí âåêòîðàì ∂u⃗r è ∂v ⃗r, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû |⃗r(u, v)| = const. Äîêàæèòå. 2. Ïóñòü ⃗r = ⃗r(u, v) - âåêòîð-ôóíêöèÿ êëàññà C 1 . Äëÿ òîãî ÷òîáû âåêòîð ⃗r(u, v)èìåë ïîñòîÿííîå íàïðàâëåíèå,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû â îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðîâ u è v âåêòîð ⃗r(u, v) áûë êîëëèíåàðåí âåêòîðó ∂u⃗r è âåêòîðó ∂v ⃗r. Äîêàæèòå. 3. Äëÿ òîãî ÷òîáû îáðàç ãëàäêîé âåêòîð-ôóíêöèè ⃗r = ⃗r(u, v), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèþ ∂u⃗r ̸∥ ∂v ⃗r, ïðèíàäëåæàë íåêîòîðîé ïëîñêîñòè,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òîáû âåêòîðû ∂u⃗r è ∂v ⃗r áûëè ïàðàëëåëüíû ýòîé ïëîñêîñòè. Äîêàæèòå. 5 4.  ïëîñêîñòè xOz çàäàíà ëèíèÿ x = f (u), z = g(u),íå ïåðåñåêàþùàÿ îñüOz. Íàéäèòå ïàðàìåòðèçàöèþ ïîâåðõíîñòè ïðè âðàùåíèè ýòîé ëèíèè âîêðóã îñè Oz. 5. Íàïèøèòå óðîâíåíèå êàòèíîèäà,êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèå öåïíîé ëèíèè x = a ch( ua ), y = 0, z = uâîêðóã îñè Oz. 6. Íàïèøèòå óðàâíåíèå ïñåâäîñôåðû,êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè èðàùåíèè òðàêòðèñû x = a sin u, y = 0, z = a(ln tg u2 ) + cos u)âîêðóã îñèOz 7. Íàïèøèòå óðàâíåíèå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè,äëÿ êîòîðîé ëèíèÿ ρ ⃗=ρ ⃗(u) ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëÿþùåé, à îáðàçóþùèå ïàðàëëåëüíû âåêòîðó ⃗e. 8. Íàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, îáðàçóþùèå êîòîðîé ïàðàëëåëüíû âåêòîðó ⃗a = {1, 2, 3}, à íàïðàâëÿþùàÿ çàäàíà óðàâíåíèÿìè x = u, y = u2 , z = u3 . 9. Íàïèøèòå íåÿâíîå óðàâíåíèå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé x = cos u, y = sin u, z = 0 è ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè,ïàðàëëåëüíûìè âåêòîðó ⃗a = {−1, 3, −2}. 10. Äàíà ïîâåðõíîñòü x = 3u + v 2 + 1, y = 2u + v 2 − 1, z = −u + 2v : (a) ïîêàæèòå, ÷òî ýòà ïîâåðõíîñòü öèëèíäðè÷åñêàÿ; (b) íàïèøèòå óðàâíåíèå êàêîé-íèáóäü åå íàïðàâëÿþùåé ëèíèè; (c) íàéäèòå ïðÿìîëèíåéíóþ îáðàçóþùóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó M(u=2, v=3). 11. Çàäàíà òî÷êà M(a,b,c) è ëèíèÿ L. x = f (u), y = φ(u), z = ψ(u). Íàïèøèòå â ïàðàìåòðè÷åñêîì è íåÿâíîì âèäå óðàâíåíèÿ êîíóñà ñ âåðøèíîé â Ì è ñ íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé L. 12. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå êîíóñà, îáðàçóåìîãî ïðÿìûìè,ðïîõîäÿùèìè ÷åðåç òî÷êó M(a,b,c) è ïåðåñåêàþùèìè ïàðàáîëó y 2 = 2px , z = 0. 13. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå êîíóñà, èìåþùåãî âåðøèíó â òî÷êå Ì(-1,0,0) è îïèñàííîãî îêîëî ïàðàáîëîèäà 2y 2 + z 2 = 4x. 14. Íàïèøèòå ïàðàìåòðè÷åñèå óðàâíåíèÿ ôèãóðû, îáðàçîâàííîé êàñàòåëüíûìè ê äàííîé ëèíèè ρ ⃗=ρ ⃗(u). 15. Îêðóæíîñòü ðàäèóñà a ïåðåìåùàåòñÿ òàê, ÷òî åå öåíòð äâèæåòñÿ ïî çàäàííîé ëèíèè ρ ⃗=ρ ⃗(s) , à ïëîñêîñòü, â êîòîðîé îíà ðàñïîëîæåíà, ÿâëÿåòñÿ â êàæäûé ìîìåíò íîðìàëüíîé ïëîñêîñòüþ ýòîé ëèíèè.Ñîñòàâòå óðàâíåíèå ôèãóðû,îïèñûâàåìîé îêðóæíîñòüþ (ïîâåðõíîñòü òàêîãî âèäà íàçûâàåòñÿ òðóá÷àòîé). 16. Ïîâåðõíîñòü, äîïóñêàþùàÿ ïàðàìåòðèçàöèþ âèäà ⃗r = ⃗r1 (u) + ⃗r2 (v), ãäå ⃗r1 , ⃗r2 - ãëàäêèå âåêòîð-ôóíêöèè, íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ïåðåíîñà. Ïîêàæèòå, ÷òî ïîâåðõíîñòü ïåðåíîñà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïîñòóïàòåëüíûì ïåðåìåùåíèåì íåêîòîðîé ëèíèè. 17. Ïîêàæèòå, ÷òî ýëèïòè÷åñêèé è ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèäû ÿâëÿþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè ïåðåíîñà. 6 18. Ëèíåé÷àòîé íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòü, çàäàâàåìàÿ ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ⃗r(u, v) = ρ ⃗(u) + v⃗a(u), ãäå ρ ⃗=ρ ⃗(u) - âåêòîð-ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿ íåêîòîðóþ êðèâóþ, ⃗a = ⃗a(u) - âåêòîð-ôóíêöèÿ, çàäàþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè, îáðàçóþùèå êîòîðîé ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè y − z = 0 è ïåðåñåêàþò ïàðàáîëû y 2 = 2px, z = 0 è z 2 = −2px, y = 0. 19. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé ïðÿìûìè, ïåðåñåêàþùèìè êðèâóþ ρ ⃗ = {u, u2 , u3 }, ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòè xOy è ïåðåñåêàþùèìè îñü Oz. 3 Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü, íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè 1. Íà ïîâåðõíîñòè x = u + cos v , y = u − sin v , z = λu äàíà òî÷êà M (u = 1, v = π/2: (a) íàïèøèòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíûõ ïðÿìûõ è íîðìàüíûõ ïëîñêîñòåé ê ëèíèÿì u = 1, v = π/2 â òî÷êå Ì; (b) ïîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ â òî÷êå Ì ê ëèíèè u = sin v ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ëèíèè u = 1 â ýòîé æå òî÷êå. 2. Íàïèøèòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè x = u + v , y = u − v , z = uv â òî÷êå M (u = 2, v = 1). 3. Íàïèøèòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè â òî÷êå M (1, 3, 4) ïîâåðõíîñòè x = u, y = u2 − 2uv, z = u3 − 3u2 v. 4. Ñîñòàâòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïðÿìîìó ãåëèêîèäó x = u cos v, y = u sin v, z = av. Èññëåäóéòå ïîâåäåíèå íîðìàëè ïðè ñìåùåíèè å¼ âäîëü êîîðäèíàòíûõ ëèíèé. 5. Ïîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè f (x−az, y−bz) ïàðàëëåëüíà ôèêñèðîâàííîìó íàïðàâëåíèþ. 6. Äîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê òðóá÷àòîé ïîâåðõíîñòè (ñì. çàäà÷ó 15) ïàðàëëåëüíà ôèêñèðîâàííîìó íàïðàâëåíèþ. 7. Ïîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíûå ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè z = xφ(y/x) ïðîõîäÿò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. 8. Ïóñòü ïîâåðõíîñòü åñòü ÷àñòü ôèãóðû, îáðàçîâàííîé êàñàòåëüíûìè ê ëèíèè ⃗r = ⃗r(s). Íàïèøèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè.Èññëåäóéòå å¼ ïîâåäåíèå ïðè ñìåùåíèè òî÷êè êàñàíèÿ âäîëü ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ïîâåðõíîñòè. 9. Ïîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü, ïðîâåä¼ííàÿ â ëþáîé òî÷êå ëèíèè v = c íà ïîâåðõíîñòè x = u cos v, y = u sin v, z = f (v) + au, ïðîõîäèò ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ ïðÿìóþ. 10. Ïîâåðõíîñòü îáðàçîâàíà êàñàòåëüíûìè è êðèâîé L. Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ïîâåðõíîñòü âî âñåõ òî÷êàõ îäíîé è òîé æå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé L èìååò îäíó è òóæå êàñà òåëüíéþ ïëîñêîñòü. 7 11. Ïîâåðõíîñòü îáðàçîâàíà ãëàâíûìè íîðìàëÿìè êðèâîé L. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ïëîñêîñòè è íîðìàëè â ðîèçâîëüíîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè. 12. Ñîñòàâòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàíîé áèíîðìàëÿìè êðèâîé L. 13. Äîêàæèòå, ÷òî íîðìàëü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ ãëàâíîé íîðìàëüþ ìåðèäèàíà è ïåðåñåêàåò îñü âðàùåíèÿ. 14. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå íîðìàëè íîðìàëè ïîâåðõíîñòè ïåðåñåêàþò îäíó è òó æå ïðÿìóþ, òî òî ïîâåðõíîñòü áóäåò ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ. 15. Ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü (ñì. îïðåäåëåíèå â çàäà÷å 18) íàçûâàåòüñÿ ðàçâ¼ðòûâàþùåéñÿ , åñëè âî âñåõ òî÷êàõ ïðîèçâîëüíîé îáðàçóþùåé êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè îäíà è òà æå. Äîêàæèòå, ÷òî ëèíåé÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü ⃗r = ρ ⃗(u) + v⃗a(u) ÿâëÿåòüñÿ ðàçâ¼ðòûâàþùåéñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (ρ′ , α, a′ ) = 0. 16. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáàÿ ðàçâåðòûâàþùàÿñÿ ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü ðàçáèòà íà ñëåäóþùèå ÷àñòè: 1)÷àñòü ïëîñêîñòè; 2)÷àñòü öèëèíäðà; 3)÷àñòü êîíóñà; 4)÷àñòü ôèãóðû, îáðàçîâàíîé êàñàòåëüíûìè ê íåêîòîðîé íåïëîñêîé êðèâîé. 17. Íàéäèòå ïîâåðõíîñòü, çíàÿ, ÷òî âñå å¼ íîðìàëè ïåðåñåêàþòüñÿ â îäíîé òî÷êå. 4 Îãèáàþùàÿ ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé 1. Íàéäèòå îãèáàþùóþ ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé: x2 + y 2 + (z + C)2 − 1 = 0. 2. Íàéäèòå îãèáàþùóþ ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé: x + C 2 y + z − 2C = 0. 3. Íàéäèòå ðåáðî âîçâðàòà îãèáàþùåé ñåìåéñòâà ïîâåðõíîñòåé: x sin α − y cos α + z = bα. ãäå b = const, α−ïàðàìåòð. 4. Íàéäèòå îãèáàþùóþ ñåìåéñòâà ñôåð ïîñòîÿííîãî ðàäèóñà, öåíòðû êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû íà äàííîé ëèíèè ρ ⃗=ρ ⃗(s) (òðóá÷àòàÿ ïîâåðõíîñòü). 5. Íàéäèòå îãèáàþùóþ íîðìàëüíûõ ïëîñêîñòåé ïðîñòðàíñòâåííîé ëèíèè, å¼ õàðàêòåðèñòèêè è ðåáðî âîçâðàòà. 6. Íàéäèòå îãèáàþùóþ ñïðÿìëÿþùèõ ïëîñêîñòåé ïðîñòðàíñòâåííîé ëèíèè,å¼ õàðàêòåðèñòèêè è ðåáðî âîçâðàòà. 7. Íàéäèòå îãèáàþùóþ è ðåáðî âîçâðàòà ñåìåéñòâà ïëîñêîñòåé xα2 + yα + z = 0 ãäå α−ïàðàìåòð ñåìåéñòâà. 8. Íàéäèòå õàðàêòåðèñòèêè, îãèáàþùóþ è ðåáðî âîçâðàòà ñåìåéñòâà ïëîñêîñòåé < ⃗r, ⃗n > +D = 0, ⃗n = ⃗n(u), D = D(u), |⃗n| = 1. u−ïàðàìåòð ñåìåéñòâà. 8 5 I-ÿ è II-ÿ ôóíäàìåíòàëüíûå ôîðìû. Ãàóññîâà êðèâèçíà. 1. Íàéäèòå I êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïîâåðíîñòè âðàùåíèÿ 2 ïîðÿäêà. 2. Íàéäèòå ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ïðÿìîãî ãåëèêîèäà x = u cos v, y = u sin v, z = av 3. Âû÷èñëèòå ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ñëåäóþùèõ ïîâåðõíîñòåé: ⃗(s) + λ⃗e, ⃗e = const; (a) ⃗r = ρ (b) ⃗r = v⃗ ρ(s); (c) ⃗r = ρ ⃗(s) + λ⃗e(s), |⃗e(s)| = 1; (d) ⃗r = ρ(s) + ⃗ν (s) cos φ + β(s) sin φ; (e) ⃗r = (a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v ; (f) ⃗r = {v cos u, v sin u, ku}; (g) ⃗r = ρ ⃗(s) + λ⃗ν (s); ⃗ . ⃗(s) + λβ(s) (h) ⃗r = ρ 4. Ïîêàæèòå, ÷òî ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò âðàùåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ å¼ ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó ds2 = du2 + G(u)dv 2 . 5. Íàéäèòå óðàâíåíèÿ ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ ìåðèäèàíû ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ïîä ïîñòîÿííûì óãëîì α (ëîêñîäðîìû). Íàéäèòå óðàâíåíèå ëîêñîäðîì íà ñôåðå. 6. Åñëè ñåìåéñòâî ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè çàäàíî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì A(u, v)du+ B(u, v)dv = 0, òî óðàâíåíèå îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé, ò.å ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ çàäàííûå ëèíèè ïîä ïðÿìûì óãëîì, èìååò âèä (BE − AF )du + (BF − AG)dv = 0. Äîêàæèòå. Íàéäèòå îðòîãîíàëüíûå òðàåêòîðèè ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ êîíóñà. 7. Ñîñòàâòå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé ñåìåéñòâà ëèåèé φ(u, v) = const íà ïîâåðõíîñòè. (a) Íàéäèòå îðòîãîíàëüíûå òðàåêòîðèè ñåìåéñòâà ëèíèé u + v = const, ëåæàùèõ íà ñôåðå x = R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u; (b) íàéäèòå îðòîãîíàëüíûå òðàåêòîðèè ñåìåéñòâà ëèíèé u = Cev , ëåæàùèõ íà êîñîì ãåëèêîèäå x = u cos v, y = u sin v, z = u + v; (c) íà êðóãîâîì êîíóñå x = u cos v, y = u sin v, z = u ðàññìàòðèâàåòñÿ ñåìåéñòâî ëèíèé v = u2 + α, ãäå α - ïàðàìåòð. Íàéäèòå ñåìåéñòâî èõ îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé. 8. (a) Âûâåäèòå óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè äâóõ ñåìåéñòâ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì P (u, v)du2 + Q(u, v)dudv + R(u, v)dv 2 = 0. (b) Äîêàæèòå, ÷òî íà ïðÿìîì ãåëèêîèäå x = u cos v, y = u sin v, z = av äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå du2 − (u2 + a2 )dv 2 = 0 çàäàåò îðòîãîíàëüíóþ ñåòü. 9 9. (a) Äîêàæèòå, ÷òî ëèíèè, êîòîðûå â êàæäîé ñâîåé òî÷êå äåëÿò ïîïîëàì óãëû ìåæäó êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè, çàäàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíåèåì √ √ Edu ± Gdv = 0. (b) Íàéäèòå óðàâíåíèÿ ëèíèé íà ïðÿìîì ãåëèêîèäå x = u cos v, y = u sin v, z = av , äåëÿùèõ ïîïîëàì óãëû ìåæäó êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè. (c) Íàéäèòå óðàâíåíèÿ ëèíèé íà ñôåðå x = a cos u sin v, y = a sin u sin v, z = a cos v , äåëÿùèõ óãëû ìåæäó ïàðàëëåëÿìè è ìåðèäèàíàìè ïîïîëàì. 10. Íàéäèòå ïåðèìåòð èâíóòðåííèå óãëû êðèâîëèíåéíîãî òðåóãîëüíèêà u = ±av 2 /2, v = 1, ðàñïîëîæåííîãî íà ïîâåðõíîñòè, ó êîòîðîé ds2 = du2 + sh2 udv 2 11. Íàéäèòå óãîë ìåæëó ëèíèÿìè v = u + 1 è v = 3 − u íà ïîâåðõíîñòè x = u cos v, y = u sin v, z = u2 . 12. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà íà ïðÿìîì ãåëèêîèäå x = u cos v, y = u sin v, z = av , îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè u = 0, u = a, v = 0, v = 1. 13. Íàéäèòå II êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ïîâåðõíîñòåé âðàùåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà. 14. Ïîâåðõíîñòü s ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ôèãóðû, ñîñòîÿùåé èç êàñàòåëüíûõ ê ïðîñòðàíñòâåííîé ëèíèè. Íàéäèòå ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè s. 15. Íàéäèòå ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ è ãëàâíûå êðèâèçíû ïðÿìîãî ãåëèêîèäà x = u cos v, y = u sin v, z = av . Äîêàæèòå, ÷òî ãëàâíûå íàïðàâëåíèÿ ïðÿìîãî ãåëèêîèäà äåëÿò ïîïîëàì óãëû ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè îáðàçóþùåé è âèíòîâîé ëèíèè. 16. Ïîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè x = u cos v, y = u sin v, z = λu îäíî èç ãëàâíûõ íîðìàëüíûõ ñå÷åíèé åñòü ïðÿìàÿ. 17. Íà ïîâåðõíîñòè x = u2 + v 2 , y = u2 − v 2 , z = av äàíà òî÷êà P(u=1,v=1) : (a) âû÷èñëèòå ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè â òî÷êå P ; (b) íàéäèòå óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíûõ P T1 , P T2 ê ãëàâíûì íîðìàëüíûì ñå÷åíèÿì â óêàçàííîé òî÷êå; (c) âû÷èñëèòå êðèâèçíó íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ â òî÷êå P , ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç êàñàòåëüíóþ ê ëèíèè v = u2 . 18. (a) Íàéäèòå âûðàæåíèå ïîëíîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, îòíåñåííîé ê ïîëóãåîäåçè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ò.å ê òàêèì, â êîòîðûõ ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà èìååò âèä ds2 = du2 + G(u, v)dv 2 . (b) Íàéäèòå ïîëíóþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè, ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà êîòîðîé èìååò âèä ds2 = du2 + e2 udv 2 . 19. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ïåðâàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè èìååò âèä ds2 = du2 + 2 cos ωdudv + dv 2 . òî åå Ãàóññîâà êðèâèçíà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå K = 10 2 ∂uv ω sin ω . 20. Ïîâåðõíîñòü S åñòü ÷àñòü ôèãóðû, îáðàçîâàííîé ãëàâíûìè íîðìàëÿìè (áèíîðìàëÿìè) ïðîñòðàíñòâåííîé ëèíèè. Íàéäèòå ïîëíóþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòè S . 21. Ïîêàæèòå, ÷òî âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè x + y = z 3 ïàðàáîëè÷åñêèå. 22. Ïîêàæèòå, ÷òî òî÷êè îêðóãëåíèÿ ïîâåðõíîñòè x= u2 v2 + v, y = u + , z = uv 2 2 íàõîäÿòñÿ íà ëèíèÿõ u = v , u + v + 1 = 0. 23. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè îêðóãëåíèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàâåíñòâîì H 2 = K. 24. Äàíà êðèâàÿ ρ ⃗=ρ ⃗(u) ñ íàòóðàëüíûì ïàðàìåòðîì u, êðèâèçíîé k = k(u) è êðó÷åíèåì κ = κ(u) ̸= 0. Ïóñòü ⃗τ = ⃗τ (u) - îðò êàñàòåëüíîé ê ýòîé êðèâîé. Äëÿ ïîâåðõíîñòè êàñàòåëüíûõ ⃗r(u, v) = ρ ⃗(u) + v⃗τ (u), v > 0. Íàéäèòå: a)K ; b)H , 25. Âû÷èñëèòå Ãàóññîâó è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè: ⃗r = {3u + 3uv 2 − u3 , v 3 − 3v − 3u2 v, 3(u2 − v 2 )}. 26. Íàéäèòå ïîëíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé áèíîðìàëÿìè äàííîé êðèâîé. 27. Íàéäèòå ïîëíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé ãëàâíûìè íîðìàëÿìè äàííîé êðèâîé. 28. Ïóñòü S - íåêîòîðàÿ äàííàÿ ïîâåðõíîñòü. Îòëîæèì íà íîðìàëÿõ ê ïîâåðõíîñòè S â îäíîì íàïðàâëåíèè îòðåçêè ïîñòîÿííîé äëèíû. Êîíöû îòëîæåííûõ îòðåçêîâ îïèñûâàþò ïîâåðõíîñòü S ∗ , "ïàðàëëåëüíóþ"ïîâåðõíîñòè S . Åñëè óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè S åñòü ⃗r = ⃗r(u, v), òî óðàâíåíèå S ∗ , ρ ⃗ = ⃗r(u, v) + a⃗n(u, v), ãäå ⃗n- åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê S . Âûðàçèòå êîýôôèöèåíòû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïîâåðõíîñòè S ∗ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïîâåðõíîñòè S . 29. Âûðàçèòå ïîëíóþ êðèâèçíó K ∗ ïîâåðõíîñòè S ∗ ,"ïàðàëëåëüíîé"ïîâåðõíîñòè S , ÷åðåç ïîëíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè S . 30. Âûðàçèòå ñðåäíþþ êðèâèçíó H ∗ ïîâåðõíîñòè S ∗ , "ïàðàëëåëüíîé"ïîâåðõíîñòè S , ÷åðåç ïîëíóþ è ñðåäíþþ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè S . 31. Ïëîñêàÿ êðèâàÿ γ çàäàíà óðàâíåíèåì ρ ⃗=ρ ⃗(s), ãäå s - íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð, k(s) åå êðèâèçíà (0 < k < a1 ), ⃗ν îðò ãëàâíîé íîðìàëè ê γ , β⃗ îðò íîðìàëè ê ïëîñêîñòè êðèâîé γ . Íàéäèòå Ãàóññîâó, ñðåäíþþ êðèâèçíó è ëèíèè êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè, çàäàííîé ⃗ sin φ. óðàâíåíèåì ⃗r(u, v) = ρ ⃗(u) + a⃗v (u) cos φ + aβ 11 6 Ñïåöèàëüíûå ñåìåéñòâà ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè. 1. Íàéäèòå óñëîâèå ñîïðÿæåííîñòè äâóõ ñåìåéñòâ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îïðåäåëÿåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì P (u, v)du2 + Q(u, v)dudv + R(u, v)dv 2 = 0; 2. Ëèíèè v 2 du2 −u2 dv 2 = 0, ëåæàùèå íà ãåëèêîèäå x = u cos v , y = u sin v , z = av , îáðàçóþò ñîïðÿæåííóþ ñåòü. Äîêàæèòå. 3. Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè çàäàíî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì A(u, v)du + B(u, v)dv = 0. Íàéäèòå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñåìåéñòâà ëèíèé, ñîïðÿæåííûõ ñ äàííûìè. 4. Ñîñòàâüòå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñåìåéñòâà ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îáðàçóþùèõ ñîïðÿæåííóþ ñåòü ñ ñåìåéñòâîì ëèíèé φ(u, v) = const, 5. Íàéäèòå ëèíèè, ñîïðÿæåííûå ñ ñåìåéñòâîì ëèíèé u + v = C íà êîñîì ãåëèêîèäå x = u cos v , y = u sin v , z = u + v . 6. Íàéäèòå àññèìïòîòè÷åñêèå ëèíèè êàòåíîèäà x = cosh u cos v , y = cosh u sin v , z = u. 7. Eñëè â íåêîòîðîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè ñðåäíÿÿ êðèâèçíà ðàâíà íóëþ, òî àñèìïòîòè÷åñêèå íàïðàâëåíèÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.Äîêàæèòå. 8. Äîêàæèòå, ÷òî ëèíèÿ l ïîâåðõíîñòè è åå ñôåðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå l′ èìåþò â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ïåðïåíäèêóëÿðíûå êàñàòåëüíûå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà l åñòü àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ. 9. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè κ 2 = −K , ãäå κ êðó÷åíèå ëèíèè, K Ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè â òî÷êàõ ëèíèè. 10. Íàéäèòå êðó÷åíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé áèíîðìàëÿìèäàííîé êðèâîé. 11. Íàéäèòå êðó÷åíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, îáðàçîâàííîé ãëàâíûìè íîðìàëÿìè äàííîé êðèâîé. 12. Äîêàæèòå, ÷òî íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà îðòîãîíàëüíîé òðàåêòîðèè àñèìïòîòè÷åñêèõ ëèíèé ðàâíà ñðåäíåé êðèâèçíå ïîâåðõíîñòè. 13. Íàéäèòå ëèíèè êðèâèçíû ñëåäóþùèõ ïîâåðõíîñòåé: (a) ïðîèçâîëüíîé öèëèíäðè÷åñêîé; (b) ïðîèçâîëüíîé êîíè÷åñêîé; (c) ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ; (d) ïîâåðõíîñòè x = u2 + v 2 , y = u2 − v 2 , z = v. 14. Ïîêàæèòå, ÷òî êîîðäèíàòíûå ëèíèè ïîâåðõíîñòè x = 3u − u3 + 3uv 2 , y = v 3 − 3u2 v − 3v, z = 3(u2 − v 2 ) ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè êðèâèçíû. 12 15. Äîêàæèòå, ÷òî â îáëàñòè ãèïåðáîëè÷åñêèõ òî÷åê ïîâåðõíîñòè ëèíèè êðèâèçíû â êàæäîé òî÷êå äåëÿò ïîïîëàì óãëû ìåæäó àñèìïòîòè÷åñêèìè ëèíèÿìè. 16. Ïîêàæèòå, ÷òî ëèíèÿì êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè S íà ýêâèäèñòàíòíîé åé ïîâåðõíîñòè òàêæå ñîîòâåòñòâóþò ëèíèè êðèâèçíû. 17. Äîêàæèòå, ÷òî ëèíèÿ êðèâèçíû ïëîñêàÿ, åñëè ñîïðèêîñàþùàÿñÿ ïëîñêîñòü åå îáðàçóåò ïîñòîÿííûé óãîë ñ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ïîâåðõíîñòè. 18. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ ïðÿìàÿ íà ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèåé. 19. Äîêàæèòå, ÷òî ìåðèäèàíû ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèìè ëèíèÿìè. 20. Äîêàæèòå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ àññèìïòîòè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïðÿìàÿ. 21. Äîêàæèòå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ïëîñêàÿ. 22. Èçâåñòíî,÷òî ïîâåðõíîñòü ⃗r = ⃗r(u, v), u1 < u < u2 , v1 < v < v2 èìååò ïåðâè÷íóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ds2 = du2 + b2 (u, v) dv 2 . Íàéäèòå ïëîùàäü σ ∗ ñôåðè÷åñêîãî îáðàçà ýòîé ïîâåðõíîñòè. 7 Ðàçíûå çàäà÷è 1. Ïóñòü íà ñôåðå ðàäèóñà R0 äàí òðåóãîëüíèê T , ïëîùàäü êîòîðîãî σ à ñòîðîíû ÿâëÿþòüñÿ äóãàìè áîëüøèõ îêðóæíîñòåé. Íàéäèòå ñóììó âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà T . 2. Ïóñòü T -òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ãåîäåçè÷åñêèå ëèíèè, ïîñòðîåííûå íà ïîâåðõíîñòè ñ ïîñòîÿííîé ãàóññîâîé êðèâèçíîé K < −a2 < 0, Çíàÿ ïëîùàäü Σ òðåéãîëüíèêà T , íàéäèòå ñóììó åãî âíóòðåííèõ óãëîâ. 2 2 3. Ïîâåðõíîñòü S ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå íåêîòîðîãî èçãèáàíèÿ ÷àñòè ýëëèïñîèäà xa2 + yb2 + z2 c2 = 1, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâàìè x > 0, y > 0, z > 0, Íàéäèòå ïëîùàäü ñôåðè÷åñêîãî îáðàçà ïîâåðõíîñòè S . 4. Ïîâåðõíîñòü S çàäàíà âåêòîð-ôóíêöèåé âèäà ⃗r = ⃗r(U, V ), ïðèíàäëåæàùåé êëàññó C 2 , Ïðîâåðòå, ÷òî âåëè÷èíà d⃗n2 =< d⃗n, d⃗n >, ãäå ⃗n-îðò íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè S , ïðåäñòàâäÿåò ñîáîé êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îòíîñèòåëüíî äèôôåðåíöèàëîâ du, dv (òàê íàçûâàåìîÿ òðåòüÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè S ). Âûðàçèòå d⃗n2 ÷åðåç ïåðâóþ è âòîðóþ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ïîâåðõíîñòè S . 5. Äîêàæèòå, ÷òî íà ìèíèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñóììà êâàäðàòîâ êðèâèçíû è êðó÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè ðàâíà −k . 6. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîñêîñòü è êàòåíîèä ÿâëÿþòüñÿ åäèíè÷íûìè ìèíèìàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè âðàùåíèÿ. 7. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ëèíåé÷àòûõ ïîâåðõíîñòåé ìèíèìàëüíûìè ÿâëÿþòüñÿ ïëîñêîñòü è ïðÿìîé ãåëèêîèä. 13 8. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ñðåäíåé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî ôîðìóëà dσ − dσ ∗ , a→0 2aσ ãäå dσ è dσ ∗ -ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ïëîùàäè ýêâèäèñòàíòíûõ ïîâåðõíîñòåé S è S ∗ . H = lim 9. Äîêàæèòå, ÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà ìåòðèêè ds2 = f (u, v)(du2 + dv 2 ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå 1 K = − ∆ ln f 2f ãäå ∆ = ∂2 ∂u2 + ∂2 ∂v 2 -îïåðàòîð Ëàïëàñà. 10.  êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè â òî÷êå Ì ïîâåðõíîñòè ïðîâåäåíî n ïðÿìûõ, îáðàçóþùèõ ìåæäó ñîáîé ðàâíûå óãëû π/n.Ïîêàæèòå, ÷òî ( ) 1 1 1 1 + + ··· + =H , n r1 r2 rn ãäå 1/ri -íîðìàëüíûå êðèâèçíû ëèíèé íà ïîâåðõíîñòè, êàñàþùèõñÿ äàííûõ ïðÿìûõ. 11. ×åðåç âåðøèíó Ì ýëèïñîèäà âðàùåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî íåìó âñåâîçìîæíûå ëèíèè.Íàéäèòå ôèãóðó, ñîñòîÿùóþ èç öåíòðîâ êðèâèçíû ýòèõ ëèíèé â òî÷êå Ì. 12. Äîêàæûòå, ÷òî ëèíèÿ l ïîâåðõíîñòè è åå ñôåðè÷åñêîå îòîáðàæåíèå l' èìåþò â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ïåðïåíäèêóëÿðíûå êàñàòåëüíûå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà l åñòü àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ. 13. Äîêàæèòå, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âäîëü ëþáîé ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå ρ cos µ = c , ãäå ρ-ðàññòîÿíèå òî÷êè ãåîäåçè÷åñêîé îò îñè âðàùåíèÿ, µ-óãîë ìåæäó ãåîäåçè÷åñêîé è ïàðàëëåëüþ,c-ïîñòîÿííîå äëÿ äàííîé ãåîäåçè÷åñêîé ÷èñëî (òåîðåìà Êëåðî). 14. Âåðíà ëè îáðàòíàÿ òåîðåìà,ò.å. ñëåäóåò ëè èç âûïîëíåíèÿ óêàçàííîãî ñîîòíîøåíèÿ âäîëü íåêîòîðîé ëèíèè íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ýòà ëèíèÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ? 15. Ïóñòü S ïîâåðõíîñòü îáðàçîâàíà êàñàòåëüíûìè ïðÿìûìè ê äàííîé êðèâîé ñ êðèâèçíîé k . Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êðèâàÿ èçãèáàåòñÿ ñ ñîõðàíåíèåì S , òî è ïîâåðõíîñòü S ñîõðàíÿåò ìåòðèêó. 16. Ïóñòü P ýëëèïòè÷åñêàÿ òî÷êà íà ïîâåðõíîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç V îáúåì, çàêëþ÷åííûé ìåæäó êàñàòåëüíîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå P è ïàðàëëåëüíîé åé ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé íà ðàññòîÿíèè h îò êàñàòåëüíîé. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ Ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâî K(P ) = lim (πh2 /V )2 , h→+0 17. Ïóñòü P ýëëèïòè÷åñêàÿ òî÷êà íà ïîâåðõíîñòè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Σ ïëîùàäü ÷àñòè ïîâåðõíîñòè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó êàñàòåëüíîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå P è ïàðàëëåëüíîé åé ñåêóùåé, ïðîâåäåííîé íà ðàññòîÿíèè h îò êàñàòåëüíîé. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ Ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå ðàâåíñòâî K(P ) = lim (2πh/Σ)2 . h→+0 14 18. Ïóñòü γ -çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà çàìêíóòîé âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè S . Äîêàæèòå, ÷òî ñôåðè÷åñêèé îáðàç êðèâîé γ äåëèò ãàóññîâó ñôåðó íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè. 8 Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ ⟨ ⟩ 3. Óêàçàíèå: ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ f (u, ϑ) = ⃗r(u, ϑ) − ⃗r0 , ⃗n è ïîêàçàòü, ÷òî f (u, ϑ) = const. 4. x = f (u) cos ϑ, y = f (u) sin ϑ, z = g(u). 5. x = a ch(u/a) cos ϑ, y = a ch(u/a) sin ϑ, z = u. 6. x = a sin u cos ϑ, y = a sin u sin ϑ, z = a(ln tan u2 + cos u) 7. ⃗r = ρ ⃗(u) + ϑ⃗l, 8. x = u + ϑ, y = u2 + 2ϑ, z = u3 + 3ϑ. 9. (x − z/2)2 + (y + 32 z)2 = 1. 10. á) Íàïðèìåð, x = ϑ2 + 1, y = ϑ2 − 1, z = 2ϑ, â) − x−16 = 3 y−12 2 = z−4 −1 . 11. x − a = ϑ(f (u) − a), y − b = ϑ(φ(u) − b), z − c = ϑ(ψ(u) − c) Èñêëþ÷àÿ u è ϑ, íàéäåì íåÿâíîå óðàâíåíèå. ( ) x−a y−b F , = 0. z−c z−c 12. (bz − cy)2 = 2p(z − c)(az − cx), 13. (x + 1)2 = 2y 2 + z 2 14. ⃗r = ρ ⃗(u) + v⃗ ρ ′ (u) 15. ⃗r = ρ ⃗(s) + a ( ¨ ρ ⃗ |⃗ ρ| cos α + ¨ ρ ⃗˙ ×ρ ⃗ sin α |ρ ⃗˙ ×⃗¨ ρ| ) , ãäå α -óãîë ìåæäó ãëàâíîé íîðìàëüþ ëèíèè è ðàäè- óñîì îêðóæíîñòè, èäóùèì â ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ïîâåðõíîñòè òðóáêè. 18. Ïàðàìåòðè÷åñêîå: ⃗r = { } { 2 } { 2 } u2 u u , u, o + v , u, u = (1 + 2u), (1 + v)u, uv 2p p 2p Íåÿâíîå: y 2 − z 2 = 2px. 19. ⃗r = uv, u2 v, u3 20. (a) Êàñàòåëüíûå ïðÿìûå: y = 0, z = λ x−1 y z−λ = = ; 1 1 λ (b) Íîðìàëüíûå ïëîñêîñòè: x − 1 = 0, (x − 1) + y + λ(z − λ) = 0. 15 21. 3x − y − 2z − 4 = 0, 22. 6x + 3y − 2z − 7 = 0, x−3 3 = x−1 6 y−1 −1 = = y−3 3 z−2 −2 = z−4 −2 23. xa sin v − ya cos v + zu − auv = 0 x − u cos v y − u sin v z − av = = . a sin v −a cos v u ⃗ − ⃗r(s), ⃗r˙ (s), ⃗r¨(s)) = 0. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü íåèçìåííà âäîëü îáðàçóþùåé s = s0 27. (R 28. Âñå ïëîñêîñòè ïðîõîäÿò ÷åðåç ïðÿìóþ y = x tg α, ax cos c + ay sin c − z + f (c) = 0. ⃗ − λk β⃗ − λκ⃗τ ) >= 0. Íîðìàëü: R ⃗ −ρ ⃗ =ρ 29. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü: < (R ⃗ − λ⃗ν ), (β ⃗ + λ⃗ν + ⃗ − λκ⃗τ ). ξ(β ⃗ (⃗ν +λκ⃗τ ) >= 0. Íîðìàëü: R ⃗ ⃗ ρ−λβ), ⃗ =ρ 30. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü: < (R−⃗ ⃗+λβ+ξ(⃗ ν +λκ⃗τ ) = 0. 33. Óêàçàíèå. Ïóñòü ⃗a íàïðàâëÿþùèé âåêòîð óêàçàííîé ïðÿìîé, ⃗r-ðàäèóñ-âåêòîð ïîâåðõíîñòè. Ïîêàæèòå,÷òî < ⃗r, ⃗ru >< ⃗a, ⃗rv > − < ⃗r, ⃗rv >< ⃗a, ⃗ru >= 0 è ïðèíÿòü âåêòîð ⃗a çà íàïðàâëåíèå îñè Oz ñèñòåìû êîîðäèíàò. 36. Ñôåðà èëè åå ÷àñòü. 37. x2 + y 2 = 1 êðóãîâîé öèëèíäð. 38. xy + yz = 1 ãèïåðáîëè÷åñêèé öèëèíäð. 39. Âèíòîâàÿ ëèíèÿ x = b cos α, y = b sin α, z = bα. ⃗ −ρ ⃗ =ρ ⃗(s))2 = (⃗a)2 , Óðàâíåíèå äèñêðèìèíàíòû R ⃗+ 40. Óêàçàíèå: óðàâíåíèå ñåìåéñòâà (R ⃗ a(β cos α + ⃗ν sin α) 41. Äèñêðèìèíàíòà çàäàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé: { ⟨ ⟩ ⃗ − ⃗r(s), τ (s) = 0, R ⟨ ⟩ ⃗ − r(s), ν(s) k(s) − 1 = 0. R Õàðàêòåðèñòèêè ïàðàëëåëüíû áèíîðìàëÿì è ïðîõîäÿò ÷åðåç öåíòðû êðèâèçíû ëèíèè. ⃗ ⃗ = ⃗r + 1 ⃗ν + 1 β Ðåáðî âîçâðàòà R k kκ . 42. Äèñêðèìèíàíòà çàäàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé: ⟩ ⟨ ⃗ − r(s), ν(s) = 0, R ⟨ ⟩ ⃗ ⃗ − r(s), κ β(s) R − kτ (s) = 0. Õàðàêòåðèñòèêè íàïðàâëåíû ïî âåêòîðàì Äàðáó. Ðåáðî âîçâðàòà ⃗ = ⃗r + R kκ k2 ⃗ ⃗ τ + β. kκ ′ − k ′ κ kκ ′ − k ′ κ 43. Îãèáàþùàÿ: y 2 = 4xz ,ðåáðî âîçâðàòà- òî÷êà (íà÷àëî êîîðäèíàò). 16 ′ ′ 44. Îãèáàþùàÿ: ⃗r = −D⃗n − D|⃗n⃗n′ | +λ⃗n ×⃗n ′ ,õàðàêòåðèñòèêè-ïðÿìûå u = const, ðåáðî âîçâðàòà: ⃗r = D⃗ n′ ∗⃗ n′′ ∗D ′ ⃗ n′′ ∗D ′′ ⃗ n∗⃗ n′ (⃗ n,⃗ n′ ,⃗ n′′ ) 45. ds2 = (f ′2 + g ′2 )du2 + f 2 dv 2 46. ds2 = du2 + (u2 + a2 ) dv 2 47. (a) ds2 + 2 < ⃗τ , ⃗e > ds dα + dα2 (b) v 2 ds2 + 2v < ⃗τ , ρ ⃗ > ds dv + ρ ⃗2 dv 2 (c) (⃗τ + λ ⃗e′s )2 ds2 + 2 < ⃗e, ⃗τ > ds dλ + dλ2 (d) {(1 − r cos φ)2 + κ 2 }ds2 + 2κds dφ + dφ2 (e) (a + b cos v)2 du2 + b2 dv 2 (f) (v 2 + k 2 )du2 + dv 2 (g) {(1 − λk)2 + κ 2 λ2 }ds2 + dλ2 (h) (1 + λ2 κ 2 )ds2 + dλ2 49. Óðàâíåíèå ëîêñîäðîì: v ctgα = ± Íà ñôåðå: v ctg = ± ln tg(π/4 + ∫u √du , ãäå G(u) âûáðàíî, êàê â çåäà÷å h. u0 u 2k ). G(u) 50. Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå êîíóñà â âèäå ⃗r = v · ⃗e(u), |⃗e(u)| = 1, ïîëó÷àåì: ∫ tgα · ln v = |e−1 (u)|du, 51. (Eφv − F φu )du + (F φv − Gφu )dv = 0. (a) v − tg u = const (b) u2 + u + 1 = C1 e−v , C1 = const (c) v = 1 u2 +λ 52. (a) ER + F Q + GP = 0 √ 53. (b) ln(u + u2 + a2 ) ± v = const. (c) u ± ln tg v2 = const. 54. p = 10 3 a, cos α = 1, cos β = 32 , cos γ = 23 . 55. cos α = 2/3. √ 2 √ 56. S = a2 [ 2 + ln(1 = 2)]. 58. Åñëè óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè çàïèñàòü â âèäå ⃗r = p⃗(s) + t⃗τ (s), òî k1 = 0, k2 = κ/vk , ãäå k è κ -êðèâèçíà è êðó÷åíèå êðèâîé ρ ⃗(s). √ a du u 2 = a2 . 59. k1 = −k2 = u2 +a 2 , dv = ± 61. (a) k1 = 1 √ , 2 5 (b) x − 2 = 0, z − 1 = 0, x−2 y = (c) kn = z−1 2 ,y = 0, 2√ 49 5 17 √ √ 62. (a) k = −( G)uu / G, (b) k = −1. 64. Êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ãëàâíûõ íîðìàëåé K=− κ2 . [(1 − vk)2 + vκ 2 ]2 Êðèâèçíà ïîâåðõíîñòåé áèíîðìàëåé K=− κ2 , [1 + v 2 κ 2 ]2 ãäå k è κ êðèâèçíà è êðó÷åíèå èñõîäíîé êðèâîé. 68. (a) K = 0, κ (b) H = . 2kv 69. K = − 4 , 9(u2 + v 2 + 1)4 ⃗ 70. ⃗r = ρ ⃗(s) + uβ(s), 71. K = − H=0 K=− k + kκ 2 u2 − uκ ′ κ2 , H = (1 + u2 ∗ κ 2 )2 (1 + u2 κ 2 )3/2 κ2 u2 (k ′ κ − kκ ′ ) = uκ ′ , H= 2 2 2 2 [(1 − ku) + u κ ] 2[(1 − ku2 )2 + u2 κ 2 ]3/2 72. (a) E ∗ = (E − 2aL + a2 (2HL − EK)), (b) F ∗ = ((1 − a2 K)F + 2a(aH − 1)M ), (c) G∗ = ((1 − a2 K)G + 2a(aH − 1)N ), (d) L∗ = (aEK + (1 − 2aH)L), (e) M ∗ = (M − a(2M H − F K)), (f) N ∗ = (N − a(2N H − GK)), ãäå E, F, G, L, M, N - êîýôôèöèåíòû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïîâåðõíîñòè S; K, H - ãàóññîâà è ñðåäíÿÿ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè S. 73. K ∗ = K 1 − 2aH + a2 K 74. H ∗ = H − aK 1 − 2aH + a2 K 75. 1)K = − k cos φ a(1 − ak cos φ 2) H = −(1 − ak cos φ)2 3) u = const, φ = const. 76. (a) LR − M Q + N F = 0. 77. (LB − M A)du + (M B − N A)dv = 0, (Lφv − M φu )du + (M φv − N φu )dv = 0, v = arctg u + C. 78. u ± v = const. ⃗ = ±⃗n. Âûáðàòü íà ïîâåðõíîñòè êîîðäèíàòíóþ 81. Óêàçàíèå.Íà àñèìïòîòè÷èñêîé ëèíèè β îñü èç ëèíèé êðèâèçíû è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Ðîäðèãà. 18 κ . 1 + u2 κ 2 κ 83. . (1 − ku)2 + u2 κ 2 82. 85. a) Ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþøèå è èõ îðòîãîíàëüíûå òðàåêòîðèè,êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïëîñêèìè ñå÷åíèÿìè; b) ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþøèå è ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ñôåð ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â âåðøèíå êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ; c) ïàðàëëåëè è ìåðåäèàíû; d) êîîðäèíàòíûå ëèíèè. 94. σ ∗ = ∫v2 u ∫2 dv v1 |Buv (u, v)| du u1 96. π + σ/R02 . 97. π − a2 σ. 98. σ ∗ = π 2. 99. d⃗n2 = 2H < ⃗n, d2⃗r > −Kds2 . 100. Óêàçàíèå. Ïóñòü ⃗n -åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè. Äîêàçàòü,÷òî âäîëü ëþáîé êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè ( d⃗n ds )2 = 2H · II − K · I, ãäå I è II ïåðâàÿ è âòîðàÿ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû, H è K -ñðåäíÿÿ è ãàóññîâà êðèâèçíû. Äàëåå âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî âäîëü ãåîäåçè÷åñîé ⃗n = ⃗ν è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Ôðåíå. 103. Óêàçàíèå. Ââåñòè íà ïîâåðõíîñòè S êîîðäèíàòíóþ ñåòü èç ëèíèé êðèâèçíû è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Ðîäðèãà. 104. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ãàóññà-Áîííå. 105. Óêàçàíèå. Çàïèñàòü ôîðìóëó Ýéëåðà â âèäå: R1 + R2 R1 − R2 i−1 1 = − cos 2 (φ + π) ri 2R1 R2 2R1 R2 n ãäå 1 1 R1 , R2 -ãëàâíûå êðèâèçíû (i = 1, . . . , n). 106. Ñôåðà. 108. Óêàçàíèå.Ïðîâåðèòü,÷òî ρ cos µ = (⃗e, ⃗r, ⃗τ ) ,ãäå ⃗e - îðò îñè âðàùåíèÿ, ⃗r - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè íà ãåîäåçè÷åñêîé, ⃗τ - åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ãåîäåçè÷åñêîé. 19 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Ìèùåíêî À.Ñ., Ñîëîâüåâ Þ.Ï., Ôîìåíêî À.Ò., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè.- Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1981.- 184 c. [2] Íîâèêîâ Ñ.Ï., Ìèùåíêî À.Ñ., è äð. Çàäà÷è ïî ãåîìåòðèè. - Ì.: Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1978. - 164 ñ. [3] Ôåäåíêî À.Ñ., è äð. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè.- Ì.: ÃÐ.ÔÌË, 1979. - 272 c. [4] Ãþíòåð Í.Ì., Êóçüìèí Ð.Î., Ñáîðíèê çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå. - Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1957. 20