Тонкая и грубая энтропия в задачах статистической механики

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Том 151, № 1
апрель, 2007
c 2007 г.
В. В. Козлов∗ , Д. В. Трещев∗†
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ
В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Рассматриваются динамические системы с фазовым пространством Γ, сохраняющие меру µ. Разбиение Γ на куски конечной µ-меры порождает грубую
энтропию – функционал на пространстве вероятностных мер на Γ, обобщающий
обычную (тонкую) энтропию Гиббса. Изучаются аппроксимационные свойства
грубой энтропии при измельчении разбиения, а также свойства грубой энтропии
как функции времени.
Ключевые слова: инвариантная мера, энтропия Гиббса, грубая энтропия.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть (Γ, dist) – метрическое пространство с мерой µ, а ν – вероятностная мера
с измеримой плотностью ρ > 0:
Z
dν = ρ dµ,
ν(Γ) =
ρ dµ = 1.
Γ
В частности, ρ ∈ L1 (Γ, µ).
Пусть {Γj }j∈J – разбиение Γ на измеримые подмножества
γj = µ(Γj ),
0 < µ(Γj ) < ∞,
j ∈ J.
Множество J считается конечным или счетным. Величину
sup(diam Γj ) 6 ∞
j∈J
(диаметр берется в метрике пространства Γ) назовем диаметром разбиения {Γj }.
Положим
Z
X
λj
ρj =
,
λj =
ρ dµ,
λj = 1,
γj
Γj
j∈J
∗
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, Россия.
E-mail: kozlov@pran.ru
†
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия.
E-mail: treschev@mi.ras.ru
120
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
121
и рассмотрим новую плотность ρ̄ : Γ → R такую, что ρ̄|Γj = ρj , j ∈ J. Будем
называть ρ̄ грубой плотностью. Соответствующая мера ν̄, dν̄ = ρ̄ dµ, также является
вероятностной, поскольку
Z
XZ
X
ρ̄ dµ =
ρj dµ =
ρj γj = 1.
Γ
j∈J
Γj
j∈J
Определим функционал S такой, что для любой неотрицательной µ-измеримой
функции α : Γ → R
Z
S(α) = − α ln α dµ
Γ
при условии, что интеграл сходится к некоторой конечной или бесконечной величине. Как обычно, функцию α ln α доопределяем нулем при α = 0.
Определим тонкую энтропию s = S(ρ), а также грубую энтропию s̄ = S(ρ̄).
Выполнено равенство
X
X
X
s̄ = −
γj ρj ln ρj = −
λj ln λj +
λj ln γj .
(1.1)
j∈J
j∈J
j∈J
В частности, если все γj равны друг другу, имеем
s̄ = −
X
λj ln λj + ln γ,
γ = γj ,
j ∈ J,
j∈J
так что с точностью до аддитивной постоянной (зависящей только от γ) грубая энP
тропия совпадает с информационной энтропией − λj ln λj . Отметим, что формула
для энтропии вида (1.1) в случае дискретного распределения вероятностей используется в теории равновесных состояний (см., например, монографию [1]).
При фиксированных γj максимальное значение (1.1) достигается при
λj = P
γj
i∈J
γi
при условии µ(Γ) < ∞. Если мера µ фазового пространства бесконечна и все γj
ограничены, то sup s̄ = +∞.
Как установил Гиббс, справедливо неравенство
s 6 s̄.
(1.2)
Оно является простым следствием неравенства Йенсена для выпуклой функции
ρ ln ρ (см. поучительное обсуждение в монографии [2]).
2. ПРИМЕР ОТСУТСТВИЯ АППРОКСИМАЦИИ
Если µ(Γ) = ∞, то, вообще говоря, грубая энтропия не аппроксимирует тонкую,
даже если диаметр разбиения сколь угодно мал.
122
В. В. КОЗЛОВ, Д. В. ТРЕЩЕВ
Пример 1. Пусть Γ = R с мерой Лебега. Пусть {an }n∈N – последовательность
такая, что
∞
∞
X
X
0 6 an < 1,
an = 1,
an ln an = −∞.
n=1
n=1
1+ε
В качестве an можно взять, например, c/(n ln
n), 0 < ε < 1.
Рассмотрим вероятностную меру ν с плотностью
ρ(x) =
(
1, если x ∈ [n, n + an ] для некоторого n ∈ N,
0
для остальных x.
Тонкая энтропия s такой меры, очевидно, равна нулю.
Для любого целого K > 0 рассмотрим разбиение
(j + 1)
j
6x<
,
Γj = x ∈ R :
K
K
j ∈ Z.
Диаметр разбиения {Γj } равен 1/K.
Предложение. Для любого целого K > 0 грубая энтропия s̄ равна +∞.
Доказательство. Имеем равенство
X 1
ρj ln ρj ,
s̄ = −
K
Z
(j+1)/K
ρj = K
ρ(x) dx 6 1.
j/K
j∈Z
Пусть N ∈ N таково, что для всех n > N выполнено неравенство an < 1/K. Тогда
для n > N получаем ρKn = Kan .
Так как ρj ln ρj < 0 для всех j ∈ Z, имеем оценку
s̄ > −
X 1
X
ρKn ln ρKn = −
an ln(Kan ) = +∞,
K
n>N
n>N
что и требовалось доказать.
Это утверждение опровергает расхожее представление о приближении грубой энтропии к тонкой при измельчении разбиения (ср. с [3], [4]). Стоит еще отметить, что
в случае µ(Γ) = ∞ грубая плотность, вообще говоря, не стремится к тонкой (в норме
L1 = L1 (Γ, µ)) при неограниченном уменьшении диаметра разбиения. Более того,
грубая плотность не стремится к тонкой даже в слабом смысле. Слабая сходимость
последовательности функций ρn из L1 к функции ρ ∈ L1 означает, что
Z
Z
ρn ϕ dµ →
ρϕ dµ
Γ
для любой пробной функции ϕ ∈ L∞ (Γ, µ).
Γ
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
123
3. АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ
3.1. Компактный случай. В компактном случае грубая энтропия (плотность),
как правило, приближает тонкую. Основным требованием здесь является согласованность на Γ структур метрического и измеримого пространств. А именно, мы
предполагаем, что пространство C 0 (Γ) непрерывных функций на Γ плотно в L1 (Γ, µ).
Теорема 1. Предположим, что пространство Γ компактно, µ(Γ) = 1, C 0 (Γ)
плотно в L1 (Γ, µ). Тогда при неограниченном уменьшении диаметра разбиения
{Γj } плотность ρ̄ с любой наперед заданной точностью аппроксимирует ρ в метрике L1 (Γ, µ).
Иначе говоря, при неограниченном уменьшении диаметра разбиения грубая плотность слабо сходится к тонкой плотности. Последнее свойство представляется существенным при переходе от микро- к макроописанию (к исследованию эволюции
средних значений динамических величин).
Доказательство теоремы 1 приведено в приложении (см. п. П.1).
Теорема 2. Предположим, что пространство Γ компактно, µ(Γ) = 1, C 0 (Γ)
плотно в L1 (Γ, µ) и |s| < ∞. Тогда при неограниченном уменьшении диаметра разбиения {Γj } энтропия s̄ с любой наперед заданной точностью аппроксимирует s.
Доказательство теоремы 2 опирается на две леммы.
Лемма 1. Теорема 2 верна при дополнительном предположении ρ < ∆ для некоторого ∆ > 1.
Пусть, как обычно, e – основание натурального логарифма.
Лемма 2. Теорема 2 верна при дополнительном предположении δ < ρ < ∆ для
некоторых δ ∈ (0, 1/e) и ∆ > 1.
Для доказательства теоремы 2 докажем
импликацию лемма 1 =⇒ теорема 2 (см. приложение, п. П.2),
импликацию лемма 2 =⇒ лемма 1 (см. приложение, п. П.3) и
лемму 2 (см. приложение, п. П.4).
Отметим, что в теоремах 1 и 2 условие supj∈J diam(Γj ) → 0 нельзя заменить более
слабым условием supj∈J µ(Γj ) → 0. Приведем простой пример. Пусть Γ – квадрат
{(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1},
µ – стандартная мера Лебега на Γ, ρ(x, y) = y, а измеримые куски Γj разбиения Γ –
полоски
j−1
j
6x6 , 06y61 ,
j = 1, . . . , N.
N
N
Тогда limN →∞ µ(Γj ) = 0, однако диаметр Γj к нулю не стремится. Легко показать,
что для типичной (в любом разумном смысле) плотности ρ(x, y)
lim ρ̄ 6= ρ,
N →∞
lim s̄ 6= s.
N →∞
124
В. В. КОЗЛОВ, Д. В. ТРЕЩЕВ
3.2. Некомпактный случай. Если плотность ρ достаточно быстро стремится
к нулю на бесконечности, грубая энтропия аппроксимирует тонкую и в некомпактном случае. Чтобы сформулировать точный результат, нам потребуются некоторые
определения.
Определение 1. Пространство (Γ, µ, dist) имеет тип n, если существует последовательность компактов K0 , K1 , . . . таких, что
а) K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Γ;
S∞
б) Γ = l=0 Kl ;
в) µ(K0 ) < ∞, µ(Kl+1 \ Kl ) 6 Cln−1 для некоторой постоянной C > 0;
г) для любых точек x ∈ Kl , y ∈ Ks неравенство dist(x, y) < 1 возможно лишь
в случае |l − s| 6 1.
Простейшим примером пространства типа n является Rn с мерой Лебега и евклидовой метрикой. В качестве компактов Kj здесь можно взять шары радиусов j
с общим центром.
Теорема 3. Предположим, что
1) пространство (Γ, µ, dist) имеет тип n;
2) C 0 (Kl ) плотно в L1 (Kl , µ) для всех l = 0, 1, . . . ;
3) ρ|Kl < cρ l−n−δ , l = 0, 1, . . . , где cρ и δ – положительные постоянные;
4) |s| < ∞.
Тогда при неограниченном уменьшении диаметра разбиения {Γj } энтропия s̄
с любой наперед заданной точностью аппроксимирует s.
Доказательство теоремы 3 приведено в приложении (п. П.5).
4. ПРОБЛЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ ПЛОТНОСТИ
Пусть теперь Γ – фазовое пространство динамической системы, задаваемой потоком (однопараметрической группой преобразований) g t , t ∈ R, сохраняющим меру µ.
Рассмотрим вероятностную меру ν = ν t с µ-измеримой плотностью ρ = ρt > 0;
dν t = ρt dµ. По определению для любого t ∈ R и любого измеримого множества
D⊂Γ
ν t (D) = ν 0 (g −t (D)).
Тогда ρt = ρ0 ◦ g t . Если Γ – гладкое многообразие, а g t – поток, задаваемый векторным полем v, то в локальных координатах ρt удовлетворяет уравнению Лиувилля1)
∂ρt
− div(ρt v) = 0.
∂t
Грубая плотность ρ̄t определяется следующим образом:
Z
1
ρ̄t |Γj = ρj (t) =
ρt dµ.
γj Γj
1) Традиционно в уравнении Лиувилля перед вторым слагаемым стоит знак плюс. Уравнение,
используемое здесь, получается из стандартного уравнения Лиувилля в результате замены t 7→ −t.
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
125
В первую очередь нас будут интересовать гамильтоновы системы, хотя многие
результаты справедливы и для систем более общего вида. В гамильтоновом случае
µ – инвариантная мера Лиувилля – элемент объема фазового пространства. Для
натуральных систем, конечно, µ(Γ) = ∞, но ограничение µ на уровень энергии
может оказаться конечной мерой.
В конструкциях, связанных с энтропией Гиббса, важную роль играет существование пределов
lim ρt ,
lim ρt .
(4.1)
t→+∞
t→−∞
Указанные пределы следует понимать в смысле слабой сходимости в одном из функциональных пространств, важнейшими из которых в данном контексте являются
пространства L1 (Γ, µ) и L2 (Γ, µ). Существование аналогичных пределов для грубых плотностей ρ̄t также представляет значительный интерес.
Хорошо известно, что плотность ρt , вообще говоря, не имеет предела при t → ∞.
Это обстоятельство является основным препятствием к обоснованию “нулевого” начала термодинамики в теории ансамблей Гиббса. Одна из попыток преодоления этой
трудности состоит во введении грубой плотности ρ̄t , порожденной разбиением {Γj }
фазового пространства. Гиббс пытался доказать (см. монографию [5], гл. XII), что
в типичном случае грубая плотность ρ̄t сходится при t → ∞ к некоторой функции,
зависящей лишь от полной энергии гамильтоновой системы. “Пытаться доказать
это утверждение почти безнадежно; оно является более сильным, чем эргодическая
теорема. Известные доводы самого Гиббса (основанные на аналогиях с перемешиванием жидкостей), даже если отбросить содержащиеся в них существенные ошибки,
служат в лучшем случае указанием на правдоподобность этой “теоремы” ” (см. монографию [2], гл. III).
Впрочем, как замечает сам Гиббс, для линейных гамильтоновых систем грубая
плотность ρ̄t осциллирует и вообще не имеет предела при неограниченном возрастании времени. С другой стороны, предположение Гиббса заведомо справедливо для
гамильтоновых систем с перемешиванием на изоэнергетических поверхностях. Это
наблюдение принадлежит Крылову [3], однако он не заметил важного обстоятельства: для систем с перемешиванием пределы грубой плотности ρ̄t при t → −∞ и
t → +∞ совпадают. Такая симметрия прошлого и будущего (вытекающая из обратимости натуральных гамильтоновых систем) противоречит традиционным представлениям об однонаправленности приближения изолированной системы к состоянию теплового равновесия.
Ниже мы обсуждаем предположение Гиббса о приближении к тепловому равновесию (в несколько ослабленной формулировке) квазиоднородных гамильтоновых
систем. Напомним, что гамильтонова система
ẋj =
∂H
,
∂yj
ẏj = −
∂H
,
∂xj
j = 1, . . . , n,
(4.2)
называется квазиоднородной, если существуют вещественные постоянные (веса́ квазиоднородности) α, β, γ, α + β + 1 = γ, такие, что для всех λ > 0
H(λα x, λβ y) = λγ H(x, y).
126
В. В. КОЗЛОВ, Д. В. ТРЕЩЕВ
Иначе говоря, уравнения Гамильтона инвариантны при подстановках
t 7→
t
,
λ
x 7→ λα x,
y 7→ λβ y.
Как обычно, в качестве инвариантной меры µ берется мера Лиувилля, имеющая
единичную плотность в координатах (x, y).
Приведем два примера.
Пример 2. Системы с однородным потенциалом
H=
1X 2
yj + Vm (x),
2
где m – степень однородности потенциальной энергии Vm . Здесь
α=
2
,
m−2
β=
m
,
m−2
γ=
2m
.
m−2
В частности, сюда относится задача n тел с ньютоновым потенциалом (α = −2/3,
β = 1/3, γ = 2/3).
Исключительный случай m = 2 соответствует линейным системам, которые не
являются квазиоднородными.
Пример 3. Движение по инерции:
H=
1X
ajk (x)yj yk ,
2
x ∈ M,
где M – гладкое риманово многообразие. Здесь α = 0, β = 1, γ = 2. Сюда же
относятся бильярдные системы, в которых M – многообразие с краем, и отражение
от края упругое.
Теорема 4. Пусть гамильтонова система (4.2) квазиоднородна, начальная
плотность ρ – функция из Lp (Γ, µ), 1 6 p 6 ∞. Тогда пределы (4.1) существуют (в смысле слабой Lp (Γ, µ)-сходимости) и совпадают.
Сделаем несколько замечаний.
1. Теорема 4 получена в работе [6]. Она справедлива для более общего класса
динамических систем (не обязательно гамильтоновых) – слоистых потоков, введенных в работе [7].
2. Пусть Ak – класс систем гладкости k, в которых пределы (4.1) существуют
для любой плотности ρ ∈ Lp (Γ, µ).
Гипотеза. Для любого достаточно большого k (включая k = ∞ и k = ω) множество Ak состоит из систем общего положения в пространстве систем гладкости k.
По поводу справедливости этой гипотезы известно довольно мало. Если на (Γ, µ)
имеется перемешивающая гиперболическая система (система Аносова), то внутренность Ak в C k -топологии не пуста. В самом деле, гиперболические перемешивающие
системы, очевидно, лежат в Ak и, как известно, являются структурно-устойчивыми.
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
127
К сожалению, не следует ожидать, что условие общности положения в гипотезе
можно понимать в том смысле, что Ak открыто и всюду плотно при k < ω. Причина
состоит в том, что согласно работе [8] гладкую систему с гомоклиническим касанием
можно как угодно точно в C ∞ -топологии приблизить системой, имеющей инвариантное множество, на котором динамика является жестким поворотом. Для такой
системы пределы (4.1) не существуют для большинства начальных плотностей ρ.
(Строго говоря, результаты работы [8] получены для отображений, но не вызывает
сомнений возможность применения аналогичных методов и в случае потоков.)
Таким образом, общность положения в гипотезе, по-видимому, следует понимать
в том смысле, что Ak является подмножеством второй категории Бэра.
3. Если гамильтонова система эргодична на изоэнергетических многообразиях,
то состояние статистического равновесия, задаваемое стационарной инвариантной
мерой dν ∞ = ρ∞ dµ, будет микроканоническим (плотность ρ∞ зависит лишь от
полной энергии). Этому свойству мера ν̄ ∞ , вообще говоря, не удовлетворяет: она
даже не инвариантна относительно фазового потока.
4. В случае дискретных динамических систем конструкции аналогичны. В самом
деле, пусть g : Γ → Γ – автоморфизм (или эндоморфизм) измеримого пространства
(Γ, µ), т.е. для любого µ-измеримого множества D ⊂ Γ
µ(D) = µ(g −1 (D)).
Как обычно, g −1 (D) – полный прообраз D при отображении g.
Если ρ0 : Γ → R – плотность вероятностной меры ν 0 , dν 0 = ρ0 dµ, то при целых
n > 0 имеем меру ν n :
dν n = ρn dµ,
ρn = ρ0 ◦ g n .
Тогда для любого µ-измеримого множества D ⊂ Γ
ν n (D) = ν 0 (g −n (D)).
5. СТАБИЛИЗАЦИЯ ГРУБОЙ ПЛОТНОСТИ
Гиббс пытался доказать, что грубая энтропия s̄t возрастает с возрастанием времени. Однако его рассуждения также оказались некорректными (их анализ содержится в монографии [3], где имеются другие ссылки). Интересно отметить, что поначалу этот неверный результат многими авторами воспринимался всерьез. Например,
Пуанкаре [4] пишет о нем как о хорошо известном факте. Грубую энтропию следует
отличать от энтропии Больцмана, связанной со статистикой в µ-пространстве.
Некоторую информацию о поведении грубой плотности ρ̄t при t → ∞ дает следующая теорема.
Теорема 5. Пусть гамильтонова система (4.2) квазиоднородна, начальная
плотность ρ – функция из Lp (Γ, µ), 1 6 p 6 ∞, и {Γj } – разбиение фазового пространства на куски конечной меры Лиувилля. Тогда limt→+∞ ρj (t) и limt→−∞ ρj (t)
существуют в смысле слабой Lp -сходимости и совпадают.
128
В. В. КОЗЛОВ, Д. В. ТРЕЩЕВ
Теорема 5 легко выводится из теоремы 4. Действительно, пусть g t – фазовый
поток системы (4.2). Тогда ρt = ρ ◦ g t ∈ Lp (Γ, µ) при всех t ∈ R. Пусть ϕj –
характеристическая функция измеримой области Γj . Так как ρt слабо сходится
к ρ∞ при t → ±∞ и ρ∞ ∈ Lp (Γ, µ), то
Z
Z
1
1
ρj (t) =
ρt ϕj dµ →
ρ∞ ϕj dµ.
(5.1)
γj Γ
γj Γ
R
R
Остается заметить, что Γ ρ̄∞ dµ = Γ ρ∞ dµ и ρ̄∞ ∈ Lp (Γ).
Как показано в работе [7], если уровни энергии квазиоднородной гамильтоновой
системы компактны, то ρ∞ – плотность некоторой вероятностной меры:
Z
ρ∞ dµ = 1.
Γ
Следовательно, в этом случае функция ρ̄∞ из теоремы 5 также задает вероятностную меру.
Рассмотрим квазиоднородную гамильтонову систему (4.2) на инвариантном куске
Γ = {(x, y) : h1 6 H(x, y) 6 h2 },
h1 < h2 .
(5.2)
Пусть Γ компактно. Так как C 0 (Γ) плотно в L1 (Γ, µ) (µ – мера Лиувилля dn x dn y),
то из теорем 1 и 5 вытекает
Следствие. Пусть начальная плотность ρ : Γ → R – функция из L1 (Γ, µ) и
{Γj } – разбиение множества (5.2). Тогда при sup(diam Γj ) → 0 плотность ρ̄∞
с любой наперед заданной точностью аппроксимирует слабый предел ρ∞ в метрике
L1 (Γ, µ).
Действительно, правая часть предельного соотношения (5.1) совпадает с (ρ̄∞ )j .
Таким образом, плотность ρ̄∞ получается из плотности ρ∞ усреднением по ячейкам
разбиения Γ = ∪Γj .
6. ТЕОРЕМА О ВОЗРАСТАНИИ ГРУБОЙ ЭНТРОПИИ
Пусть ρ∞ – слабый предел плотности ρt при t → ±∞ (ρ0 = ρ). Тогда (как
установлено в работе [7]) имеет место неравенство
S(ρ∞ ) > S(ρ).
(6.1)
Оказывается, что, вопреки распространенному мнению (высказанному впервые Гиббсом и поддержанному Пуанкаре), грубая энтропия не всегда возрастает. Это показывает простой пример.
Пример 4. Рассмотрим вертикально расположенный отрезок длины l в поле сил
тяжести и ансамбль частиц, которые упруго отражаются от его концов. Если квадрат скорости частицы превосходит 2gl (g – ускорение свободного падения), то частица периодически сталкивается с обоими концами отрезка. Пусть начальная
плотность ρ постоянна в прямом произведении Γ отрезка 0 6 x 6 l и области
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
129
V = {v : 2gl 6 v 2 6 c, c = const} на оси скоростей. Рассмотрим разбиение Γ на
два одинаковых куска
l
l
,
Γ1 =
6x6l .
Γ1 = 0 6 x 6
2
2
Начальная энтропия вычисляется по формуле (1.1), в которой λ1 = λ2 = 1/2 и
γj = µ(Γ1 ) = µ(Γ2 ). Легко понять, что в стационарном состоянии (когда плотность ρt заменяется слабым пределом) бо́льшая часть частиц из ансамбля будет
расположена в верхней половине отрезка (поскольку в этой половине частицы движутся с меньшей скоростью). Следовательно, при ρ = ρ∞ в формуле (1.1) уже
λ1 6= λ2 . Но тогда, как известно, S(ρ∞ ) < S(ρ). Легко понять, что тот же вывод
справедлив и в более общем случае, когда разбиение Γ порождается разбиением
отрезка на n > 2 равных частей.
Чтобы указать достаточные условия возрастания грубой энтропии, снова рассмотрим квазиоднородную систему уравнений Гамильтона (4.2), ограниченную на
компактную инвариантную область (5.2).
Теорема 6. Пусть начальная плотность ρ : Γ → R – функция из L1 (Γ, µ) и
{Γj } – разбиение Γ. Если неравенство (6.1) строгое, S(ρ̄∞ ) < ∞, то при достаточно малых sup(diam Γj ) справедливо неравенство S(ρ̄∞ ) > S(ρ̄).
Это утверждение сразу доказывается с помощью следствия, приведенного в предыдущем разделе, и аппроксимационной теоремы 2: так как в нашем случае C 0 (Γ)
плотно в L1 (Γ, µ) и S(ρ) < S(ρ∞ ) < ∞, то при sup(diam Γj ) → 0 разности S(ρ̄) и
S(ρ), а также S(ρ̄∞ ) и S(ρ∞ ) сколь угодно малы.
7. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим интегрируемую по Лиувиллю гамильтонову систему с компактными совместными уровнями первых интегралов. В области, не содержащей критических интегральных уровней, такая система может быть записана в переменных
“действие–угол”:
ẋ = ω(y),
ẏ = 0,
Tn = {x = (x1 , . . . , xn ) mod 1},
y ∈ D ⊂ Rn .
Если зависимость частот ω от действий y невырожденна (т.е. det(∂ω/∂y) 6= 0), то
по крайней мере локально ω можно взять вместо y в качестве фазовых координат.
Тогда система принимает вид
ẋ = ω,
ω̇ = 0.
(7.1)
Отметим, что (7.1) – квазиоднородные уравнения Гамильтона: xj , ωj – сопряженные
канонические переменные, а H = (ω12 + · · · + ωn2 )/2 – функция Гамильтона.
К уравнениям (7.1) можно прийти также из других соображений. Рассмотрим
бесстолкновительную сплошную среду, заключенную в n-мерный сосуд – прямоугольный параллелепипед. Предполагается, что частицы упруго отражаются от
5
Теоретическая и математическая физика, т. 151, № 1, 2007 г.
130
В. В. КОЗЛОВ, Д. В. ТРЕЩЕВ
стенок сосуда – границы параллелепипеда – и не сталкиваются друг с другом, поэтому такую среду можно назвать идеальным газом. Такую модель одномерного
идеального газа впервые рассмотрел Пуанкаре [4]. Все это, конечно, является частным случаем общей теории ансамблей Гиббса. Как заметил Пуанкаре, после перехода к 2n -листному накрытию параллелепипеда тором Tn уравнение движения частиц
совпадет с системой (7.1).
Уравнения (7.1) имеют инвариантную меру dµ = dx dω в фазовом пространстве
Γ = Tn ×Rn . Пусть ρ(x, ω) – плотность вероятностной меры ν: dν = ρ dµ. Для любой
пары натуральных чисел N , M рассмотрим разбиение фазового пространства Γ на
части Γjk , j ∈ Zn /N Zn , k ∈ Zn :
Γjk = Γxj × Γω
k,
jl + 1
jl
6 xl 6
, l = 1, . . . , n ,
Γxj = x ∈ Tn :
N
N
k
k
l+1
l
n
6
ω
6
,
l
=
1,
.
.
.
,
n
.
Γω
=
ω
∈
R
:
l
k
M
M
Мера µ каждого из кусков Γjk равна µ(Γjk ) = (N M )−n .
Подсчитаем значение грубой плотности на Γjk :
Z
ρjk (t) = (N M )n
ρ(x + ωt, ω) dx dω.
Γjk
Положим
Z
hρi(ω) =
Z
hρi(ω) dω.
hρik =
ρ(x, ω) dx,
Γω
k
Tn
Очевидно, что hρi – плотность некоторой вероятностной меры на Γ, причем для
любого t имеем hρijk (t) = hρik .
Теорема 7. Предположим, что функция ρ ограничена на Γ и липшецева по переменным ω. Тогда при t > 0
nM N n kρk1
|ρjk (t) − hρik | 6
+ 2kρk0 ,
t
M
|ρ(x, ω 0 ) − ρ(x, ω 00 )|
,
kρk0 = sup |ρ|,
kρk1 = sup
|ω 0 − ω 00 |
Γ
где (x, ω 0 ), (x, ω 00 ) ∈ Γ, ω 0 6= ω 00 .
Доказательство теоремы 7 содержится в приложении (п. П.6).
Пусть функция ρ финитна, ρ̄ и hρi – грубые плотности, соответствующие разбиению Γjk и плотностям ρ и hρi, соответственно. Тогда
X
1
S(ρ̄) − S hρi = −
(ρjk ln ρjk − hρik lnhρik ),
(M N )n
j,k
причем лишь конечное число слагаемых в сумме отлично от нуля. По-видимому,
в типичной ситуации следует ожидать, что при t → ∞ разность S(ρ̄) − S hρi имеет
порядок 1/t, хотя легко построить примеры, когда S(ρ̄) − S hρi ∼ t−1 ln t.
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
131
8. ПЕРЕМЕШИВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ
Динамику в системах, рассмотренных в разделе 7, принято называть регулярной.
Ее антиподом является хаотическая динамика. Здесь прежде всего мы имеем в виду
перемешивающие системы. Напомним
Определение 2. Пусть поток g t на фазовом пространстве Γ сохраняет вероятностную меру µ. Поток g t называется перемешивающим, если для любой пары
функций ϕ, ψ : Γ → R из достаточно широкого функционального пространства
Z
Z
Z
t
lim
ϕ ◦ g ψ dµ =
ϕ dµ
ψ dµ.
(8.1)
t→∞
Γ
Γ
Γ
В случае гиперболических систем (систем Аносова) имеет место экспоненциальное
убывание корреляций, т.е. для некоторых постоянных C > 0 и τ ∈ (0, 1)
Z
Z
Z
t
< Cτ |t| .
lim
(8.2)
ϕ
◦
g
ψ
dµ
−
ϕ
dµ
ψ
dµ
t→∞
Γ
Γ
Γ
В этом случае грубая плотность всегда стремится к 1 при t → ∞. Действительно,
Z
Z
1
1
t
ϕ ◦ g dµ =
ϕ ◦ g t χΓj dµ,
ρj (t) =
γj Γj
γj Γ
где χΓj – характеристическая функция множества Γj . Из (8.1) следует, что
Z
Z
1
ρj →
ϕ dµ
χΓj dµ = 1.
γj Γ
Γ
Более того, если выполнено неравенство (8.2), то ρj приближается к 1 с экспоненциальной скоростью. Такого же поведения следует ожидать и от грубой энтропии:
S(ρ̄t ) экспоненциально быстро стремится к S(1) = 0.
Отметим, тем не менее, что к этим утверждениям следует относиться с известной
долей осторожности, так как обычно функциональные пространства, для которых
удается доказать соотношения (8.1), (8.2), обычно несколько у́же, чем пространство
непрерывных функций на Γ, так что характеристические функции множеств Γj
в них не входят. По-видимому, основной причиной этого обстоятельства является
не то, что функции χΓj слишком “плохие”, а то, что их трудно включить в удобное (с
точки зрения проверки (8.1), (8.2)) функциональное пространство. Впрочем, в конкретных примерах (скажем, для линейных гиперболических автоморфизмов тора)
проверку приведенных в этом разделе утверждений о поведении грубой плотности
и грубой энтропии легко провести непосредственно.
ПРИЛОЖЕНИЕ
П.1. Доказательство теоремы 1. Пусть ε > 0 произвольно. Так как C 0 (Γ)
плотно в L1 (Γ, µ), существует функция ρ ∈ C 0 (Γ) такая, что
kρ − ρc k < ε,
5∗
132
В. В. КОЗЛОВ, Д. В. ТРЕЩЕВ
где k · k – L1 -норма. Имеем также простое неравенство
kρ̄ − ρ̄c k 6 kρ − ρc k < ε.
(П.1)
Функция ρc равномерно непрерывна на Γ. Поэтому существует δ > 0 такое, что
|ρc (z1 ) − ρc (z2 )| < ε
для любых z1 , z2 ∈ Γ, dist(z1 , z2 ) < δ. Следовательно |ρ̄c − ρc | < ε, откуда вытекает,
что
kρ̄c − ρc k < ε.
(П.2)
Комбинация (П.1) и (П.2) дает kρ − ρ̄k < 3ε.
П.2. Доказательство теоремы 2: часть 1. В этом пункте мы выводим теорему 2 из леммы 1. Положим
(
ρ(x), если ρ(x) 6 ∆,
ρ0 (x) =
∆,
если ρ(x) > ∆,
Z
1
ρ0j := ρ̄0 |Γj =
ρ0 dµ,
s0 = S(ρ0 ),
s̄0 = S(ρ̄0 ).
γj Γj
Из (П.2) следует, что s0 6 s̄0 .
Зафиксируем произвольное ε > 0. Если ∆ достаточно велико, то
0 6 s − s0 6 ε.
(П.3)
Если диаметр разбиения {Γj } достаточно мал, то согласно лемме 1 выполнены неравенства
0 < s̄0 − s0 6 ε.
(П.4)
Таким образом, достаточно доказать, что
s̄ < s̄0 + c ε| ln ε|,
(П.5)
где c > 0 – постоянная, не зависящая от ε. Действительно, тогда согласно (П.3)
и (П.4) будем иметь |s − s̄0 | < 2ε. Следовательно, из (П.2) и (П.5) вытекает, что
s 6 s̄ 6 s̄0 + cε ln ε 6 s + c ε ln ε + 2ε,
откуда получаем |s − s̄| < cε ln ε + 2ε.
Оставшаяся часть пункта – доказательство оценки (П.5). Запишем (П.3) подробнее:
Z
0<
(ρ ln ρ − ρ0 ln ρ0 ) dµ < ε.
Γ∩{ρ>∆}
Следовательно,
Z
(ρ ln ∆ − ρ0 ln ∆) dµ < ε,
0<
Γ∩{ρ>∆}
133
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
откуда получаем
Z
(ρ − ρ0 ) dµ <
0<
Γ
ε
.
ln ∆
(П.6)
Имеем неравенства
0 6 ρ0j 6 ρj ,
X
(ρj − ρ0j )γj <
j
ε
.
ln ∆
(П.7)
Докажем вспомогательный факт: для любых 0 6 a 6 b и σ ∈ (0, 1/e) выполнено
неравенство
a ln a 6 b ln b + |σ ln σ| + |1 + ln σ| (b − a).
(П.8)
В самом деле, если a > σ, то, пользуясь очевидным неравенством minρ>σ (ρ ln ρ)0 =
1 + ln σ, получаем
a ln a − b ln b 6 |1 + ln σ|(b − a).
Если же a ∈ (0, σ), имеем
a ln a − b ln b 6 |a ln a − σ ln σ| + |σ ln σ − b ln b| 6 |σ ln σ| + |1 + ln σ|(b − a).
Из неравенства (П.8) немедленно следует
X
X
X
X
γj ρ0j ln ρ0j 6
γj ρj ln ρj + |σ ln σ|
γj +
(|1 + ln σ|)(ρj − ρ0j )γj ,
j
j
j
j
что с учетом (П.7) можно переписать в виде
s̄ 6 s̄0 + |σ ln σ| +
|1 + ln σ|
ε.
ln ∆
Теперь достаточно положить σ = ε.
П.3. Доказательство теоремы 2: часть 2. В этом пункте мы выводим лемму 1 из леммы 2. Пусть ρ < ∆. Положим
(
ρ(x), если ρ(x) > δ,
ρ∗ (x) =
δ,
если ρ(x) < δ,
Z
1
ρ∗j := ρ̄∗ |Γj =
ρ0 dµ,
s∗ = S(ρ∗ ),
s̄∗ = S(ρ̄∗ ).
γj Γj
Имеем
0 6 s − s∗ 6 δ ln δ.
(П.9)
Если диаметр разбиения {Γj } достаточно мал, то согласно лемме 2 выполнены неравенства
0 < s̄∗ − s∗ 6 δ.
(П.10)
Таким образом, достаточно доказать, что
s̄ < s̄∗ + cδ,
(П.11)
134
В. В. КОЗЛОВ, Д. В. ТРЕЩЕВ
где c > 0 – постоянная, не зависящая от δ. Действительно, тогда ввиду (П.9), (П.10)
будем иметь |s − s̄∗ | < δ + δ ln δ. Следовательно, из (П.2) и (П.11) вытекает, что
s 6 s̄ 6 s̄∗ + cδ 6 s + (1 + c)δ + δ ln δ, откуда получаем |s − s̄| < (1 + c)δ + δ ln δ.
Проверим справедливость оценки (П.11). Согласно определению функции ρ∗ имеем
δ 6 ρ∗ 6 ρ + δ 6 ∆ + δ.
Следовательно, δ 6 ρ̄∗ 6 ρ̄ + δ 6 ∆ + δ. Из неравенства
(ρ ln ρ)0 = 1 + ln(∆ + δ)
sup
ρ∈(0,∆+δ)
вытекает, что ρ̄∗ ln ρ̄∗ 6 ρ̄ ln ρ̄ + (1 + ln(∆ + δ))δ, откуда получаем
s̄ 6 s̄∗ + (1 + ln(∆ + 1))δ.
П.4. Доказательство теоремы 2: часть 3. В этом пункте мы доказываем
лемму 2. Зафиксируем произвольное ε > 0. Так как C 0 (Γ) плотно в L1 (Γ, µ), найдется функция ρc ∈ C 0 (Γ) такая, что
δ < ρc < ∆,
kρl k < ε.
ρ = ρc (1 + ρl ),
(П.12)
Здесь k · k – L1 -норма. Тогда
Z
s = − ρc (1 + ρl ) ln(ρc (1 + ρl )) dµ = sc + A1 + A2 ,
Γ
Z
Z
sc := S(ρc ),
A1 = − ρ ln(1 + ρl ) dµ,
A2 = − ρc ρl ln ρc dµ.
Γ
Γ
Таким образом, остается проверить, что величины |s̄ − sc |, A1 и A2 малы.
Так как |ρc ln ρc | 6 ∆ ln ∆, имеем
Z
|A2 | 6 ∆ ln ∆ |ρl | dµ < ε∆ ln ∆.
(П.13)
Γ
Согласно (П.12) ρl = (ρ − ρc )/ρc ∈ I, где I = [−1 + δ/∆, 1 + ∆/δ]. Несложно
установить, что
ln(1 + ρ) 6 ln ∆ .
max
ρ∈I
ρ
δ
Следовательно,
Z
|A1 | 6 ∆
| ln(1 + ρl )| dµ 6 ∆ ln
Γ
∆
δ
Z
|ρl | dµ 6 ε∆ ln
Γ
∆
.
δ
(П.14)
Функция ρc непрерывна на компакте Γ, следовательно, она равномерно непрерывна, т.е. существует σ > 0 такое, что |ρc (z1 ) − ρc (z2 )| < ε для любых z1 , z2 ∈ Γ
таких, что dist(z1 , z2 ) < σ.
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Пусть diam Γj < σ. Тогда |ρ̄c − ρc | < ε. Имеем оценку
Z
|s̄c − sc | = (ρc ln ρc − ρ̄c ln ρ̄c ) dµ 6
Γ
Z
∆
∆
6 1 + ln
|ρc − ρ̄c | dµ 6 1 + ln
ε.
δ
δ
Γ
135
(П.15)
Положим ρcj = ρ̄c |Γj . Тогда
Z
1
∆
|ρj − ρcj | = ρc ρl dµ 6 rj ,
γj Γj
γj
Z
X
rj =
|ρl | dµ,
rj < ε.
Γj
j∈J
Следовательно, для любого j ∈ J
∆
∆
∆
|ρj − ρcj | 6
rj .
1 + ln
|ρj ln ρj − ρcj ln ρcj | 6 1 + ln
δ
γj
δ
Получаем следующую оценку для разности энтропий:
X
∆
(ρj ln ρj − ρcj ln ρcj )γj 6 ∆ 1 + ln
|s̄c − s̄| = ε.
δ
(П.16)
j∈J
Из (П.15), (П.16) находим
∆
|s̄ − sc | 6 (1 + ∆) 1 + ln
ε.
δ
П.5. Доказательство теоремы 3. Очевидно, можно считать, что d < 1. Пусть
ε > 0 произвольно. Положим
[
bl =
Jˆl = {j ∈ J : Γj ⊂ Kl },
K
Γj .
j∈Jˆl
Тогда для достаточно больших N выполняются неравенства
Z
s −
ρ ln ρ dµ < ε,
b
K
Z N
s̄ −
< ε.
ρ̄
ln
ρ̄
dµ
bN
K
Действительно, проверим (П.17):
Z
s −
ρ ln ρ dµ 6 AN + AN +1 + · · · ,
bN
K
Z
Al =
|ρ ln ρ| dµ.
b l+1 \K
bl
K
(П.17)
(П.18)
136
В. В. КОЗЛОВ, Д. В. ТРЕЩЕВ
b l ⊂ Kl (второе включение следует
Для любого l > 1 выполнены включения Kl−1 ⊂ K
b
из определения множества Kl , а первое – из определения 1 (г) и неравенства d < 1).
Таким образом,
b l+1 \ K
b l ⊂ Kl+1 \ Kl−1 .
K
Следовательно, согласно определению 1 (в)
b l+1 \ K
b l ) 6 µ(Kl+1 \ Kl ) + µ(Kl \ Kl−1 ) 6 2Cln−1 .
µ(K
Из условия (3) теоремы вытекает, что
ρ|Kb l+1 \Kb l 6 ρ|Kl+1 < cρ (l + 1)−n−δ .
Так как можно считать, что cρ (N + 1)−n−δ < 1/e, имеем
Al 6 2Cln−1 cρ (l + 1)−n−δ | ln(cρ (l + 1)−n−δ )|
(П.19)
для всех l > N . Неравенство (П.17) при достаточно больших N вытекает из оценки (П.19). Неравенство (П.18) доказывается аналогично.
b N ) < ∞. Поэтому из теоремы 1 следует, что при
Согласно определению 1 (в) µ(K
достаточно малых d > 0
Z
Z
(П.20)
ρ ln ρ dµ −
ρ̄ ln ρ̄ dµ < ε.
bN
K
bN
K
Из неравенств (П.17), (П.18) и (П.20) вытекает, что при достаточно малых d > 0
|s − s̄| < 3ε, что и требовалось доказать.
П.6. Доказательство теоремы 7. Отметим, что в доказательстве нигде не
используется то, что ρ > 0. Поэтому, заменяя ρ на ρ − hρi, видим, что можно
ограничиться рассмотрением случая hρi = 0.
Рассмотрим при больших t функции
Z
Z
Mn
β
ρ(x + ωt, ω) dω = n
ρk (t, x) = M n
ρ x + β,
dβ,
t
t
Γω
tΓω
k
k
где
tΓω
k =
t(kl + 1)
tkl
6 βl 6
, l = 1, . . . , n .
β ∈ Rn :
M
M
Лемма П.1. Если hρi = 0, то
|ρk (t, x)| 6
nM
t
kρk1
+ 2kρk0 .
M
Теорема 7 сразу следует из леммы П.1, так как при hρi = 0
Z
|ρjk (t)| = ρk (t, x) dx.
n
T
ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИЯ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
137
Доказательство леммы П.1. Представим множество tΓω
k в виде объединения
единичных кубов Cm , m ∈ Z, и остатка R. Здесь Z = Z(t) – конечное подмножество Zn ,
Cm = {β ∈ Rn : ml 6 βl 6 ml + 1, l = 1, . . . , n}
S
и R = tΓω
k \
m∈Z Cm . Считаем, что R не содержит целиком ни одного куба Cm .
Тогда
Z
tn
2ntn−1
,
#Z 6 n .
(П.21)
dβ 6
n−1
M
M
R
Имеем
X
1
Im + IR ,
ρk = n n
M t
m∈Z
(П.22)
Z
Z β
β
ρ x + β,
Im =
dβ,
IR =
ρ x + β,
dβ.
t
t
Cm
R
Так как hρi = 0, то для любого β0 ∈ Rn выполнено равенство
Z
β
ρ x + β,
dβ = 0.
t
Cm
Поэтому
Z
|Im | = Z
β
nkρk1
nkρk1
m
ρ x + β,
dβ =
.
− ρ x + β,
dβ 6
t
t
t
t
Cm
Cm
R
С другой стороны, |R| 6 R kρk0 dβ. Следовательно, используя (П.21) и (П.22),
получаем
Mn
nM kρk1
tn−1
tn−1
|ρk (t, x)| 6 n nkρk1 n + 2nkρk0 n−1 =
+ 2kρk0 .
t
M
M
t
M
Лемма доказана.
Благодарности. Авторы благодарны В. В. Сидоренко и О. Г. Смолянову за полезные обсуждения. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 05-01-01058, № 05-01-01119), Программы поддержки ведущих научных школ
(грант № НШ-1312.2006.1) и программы президиума РАН “Нелинейная динамика”.
Список литературы
[1] Р. Боуэн, Методы символической динамики, Мир, М., 1979.
[2] М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир, М., 1965.
[3] Н. С. Крылов, Работы по обоснованию статистической физики, Изд-во АН СССР,
М.–Л., 1950.
[4] А. Пуанкаре, “Замечания о кинетической теории газов”, Избранные труды, т. III, Наука, М., 1974.
[5] Дж. В. Гиббс, Термодинамика. Статистическая механика, Наука, М., 1982.
[6] В. В. Козлов, Д. В. Трещев, ТМФ, 136:3 (2003), 496–506.
[7] В. В. Козлов, Д. В. Трещев, ТМФ, 134:3 (2003), 388–400.
[8] С. В. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, Докл. РАН, 407:3 (2006), 299–303.
Поступила в редакцию 24.07.2006