некоторые типы неопределенных интегралов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра
«Высшая и вычислительная математика»
С.И. Вдовина, Н.А. Корниенко, Н.Н. Субоч
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Рекомендовано редакционно-издательским советом
университета в качестве методических указаний для
студентов технических специальностей ИТТСУ
Москва —2015
УДК 517
В -2 5
Вдовина С.И., Корниенко Н.А., Субоч Н.Н. Некоторые типы
неопределенных интегралов: Методические указания к
практическим занятиям по теме «Интегрирование,
использующее
подведение
функции
под
знак
дифференциала». - М.: МГУПС (МИИТ), 2015. - 28 с.
Методические указания к практическим занятиям
представляют собой единое методическое руководство,
включающее в себя основные теоретические положения и
формулы по теме «Вычисление неопределенных интегралов
методом подведения функции под знак дифференциала»,
содержат образцы типовых примеров с подробным
решением. В методическом издании предлагаются задачи
для самостоятельной индивидуальной работы студентов на
аудиторных занятиях и могут быть использованы в качестве
типовых расчётов, выполняемых учащимися дома.
Методические указания к практическим занятиям
предназначены студентам 1 курса всех технических
специальностей ИТТСУ МИИТа.
О МГУПС (МИИТ), 2015
Для
самостоятельного изучения теоретических
вопросов, относящихся к практическим занятиям,
рекомендуются учебники и учебные пособия, имеющиеся в
большом количестве в библиотеке и читальных залах
МИИТа в свободном доступе:
1. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по
высшей математике. - Мн.: ТетраСистемс, 1999. - 640 с.
2. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для
ВТУЗов.-М.:
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах в 2-х ч.: Учебное
пособие для вузов. - 8-е изд., испр. —М.: Просвещение,
2012. - 368 с.: ил.
4. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по
математическому анализу для ВТУЗов. - М.: Астрель ACT,
2012.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное
исчисление для ВТУЗОВ в 2-х т. - М.:
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по
математике. - М.: Айрис-Пресс, 2005. - 256 с.: ил.
высшей
7. Сборник задач по математике для всех специальностей.
Часть I: / Под ред. А.Д.Мышкиса, В.Б.Минасяна - М.:
МИИТ, 2005. - 143 с.
8. Шипачев B.C. Высшая математика. Полный курс - М.:
Юрайт, 2014.
3
СОДЕРЖАНИЕ
1. Дифференциал функции одной переменной.................. 5
Задание 1 ............................................................................. 6
2. Подведение функции под знак дифференциала............10
Задание 2 ............................................................................ 10
3. Интегрирование, использующее подведение функции
под знак дифференциала.................................................... 14
Задание 3 ..................................................... ........................17
Приложение 1. Правила дифференцирования.................. 23
Приложение 2. Таблица производных..............................24
Приложение 3. Таблица основных интегралов................ 26
4
1. Дифференциал функции одной переменной
Дифференциалом функции у = f(pc) называется
главная часть ее приращения, линейная относительно
приращения аргумента.
Формула дифференциала функции:
d y = у dx,
т.е. дифференциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал аргумента.
Дифференциалом
аргумента
приращение аргумента dx = Ах.
называется
ПРИМЕР 1. Найти dy, если у = tg3x .
РЕШЕНИЕ.
1
dy = ---- г— 3 d x .
cos2Зх
ПРИМЕР 2. Найти dy, если у = 1°9г^~х
^ .
arccos Зх
РЕШЕНИЕ.
dy =
1
(
(1 - х 2) Ы2 (- 2*)arcc° ' 3* - ' ° ^ (1 - х ~>
(arccos Зх)2
5
1
\
3
—2xarccos3x 3log2( t — x 2)
. _ (1 ~ g j ln2
Vi _ 9xz
(arccos 3x)2
3(1 —x 2)ln2log2( l —x 2) - 2xV l —9x2 arccos3x
(1 —x2) I!n2 V l —9x2 arccos 23x
Задание 1
Найти d y .
а)
у = cos46x
а)
у = e x arctg3x
б) _______
у = 5*
у = \/5 — 7х
а)
у = Мг(р5 - 4х)
а)
у = 10х
б)
а)
—
б)
у = \/х arctg3x
0- V*
arccos 5*
6.
а)
у = 1пЩх2 — Зх)
7.
а)
у = V x* — 4х
8.
9.
а)
у = cos38х
б)
у = 5х tg25x
б)
.... faEfe5- 2 )
У
б)
у = tg7x е 10х
а)
б)
\&=г
у = tgASx
10.
11.
а)
Ух
б)
у = х 3 arcsin7x
а)
у = tg37x
У=
12.
а)
у = 1пЩе* + 5х)
б),
у = Vx2"arctgSx
13.
а)
у = 9 Vac
14.
sinSx
б)
arccos Орх—1)
у
Vtei+5
а)
^2
7У = Л/1Зх—
15.
б)
•
б)
у = е-9* гп(6х —1)
б)
а)
arcctg 4х
у _ д 16х+2
y= ~ w 7
16.
а)
у=
17.
M
S
—
x
6 х
6)
у = arcsin2e~7x
2
а)
б)
_
=
у
а)
= V 4 —5л:
18.
19.
х
У-
20.
=
б)
s
i n
21.
=
л / 7
х
—
З
х
2
б)
у = 6 ^ Zn(x + 2)
а)
у
=
arcsin 6х
У= -1 * г-
5 8 х
а)
у
inSSBi+l)
V4-*3
б)
у = arctg6V*
а)
у
22.
t g
3 8
у
б)
c t g
A 7
x
у = 1Ш
*
а)
у 2х+3
б)
iwlfflx—1)
_
^
23.
а)
у = 1пП(Р5* —4х)
24.
а)
у = 7tg62x
cos5x
б)
у = л/зГ arcsin6x
б)
_arccos Зх
У ~ In (З х —1)
25.
а)
у = ctg9x
26.
а)
у = c o s 49x
б)
у = е~9х \/7х2 - 1 3
б)
_ arcsin 6х
^
/л!$Вх-1)
27. а)
у = е~7х
б)
у = V4 - Зх arctg2x
28. а)
у = V4 —7хг
б)
у = 3 ^ arcctg3x
29. а)
б)
y =J H L
у = ln(arcsin3x)
30. а)
у = sinB2x
arcsin 5а:
6) _
у = е 9* arccos8x
9
2. Подведение функции под знак дифференциала
Операция «подведение функции под знак
дифференциала» осуществляется на основании равенства:
f \ x ) dx = d (/(* )) ■
ПРИМЕР. Подвести функцию
дифференциала.
f i x ) = cos2x под знак
РЕШЕНИЕ.
1
cos2x dx = —d(sin2x),
и
т. к.
1
1
, 1
—d(sin2x) = —(sin2x)' dx = - 2 cos2x dx = cos2x d x .
L*
L*
Lt
Задание 2
Подвести под знак дифференциала функцию.
1.
а)
sin3x dx
б)
е~3х dx
2.
а)
cos9x dx
б)
е6х dx
а)
dx
cos26х
б)
3х dx
10
4.
а)
(х - 1 ) dx
5.
а)
х 2 dx
6.
а)
dx
lx
7.
а)
dx
8.
а)
sinSx dx
a)
dx
sin 2 3x
10.
11.
a)
cos8x dx
a)
dx
cos2—
12.
a)
(5x + 2)dx
13.
a)
x dx
14.
15.
16.
а)
х 3 dx
а)
у[х dx
a)
dx
x ln 2x
17.
18.
19.
20.
a)
yfxdx
a)
O x - 3) dx
a)
8Xdx
a)
dx
sin 2 5x
21.
22.
23.
a)
x 5 dx
a)
x 1 dx
a)
(4x - 1) dx
6)
dx
x 2+16
6)
dx
s in 2Ax
6)
x 4 dx
6)
dx
x 2+36
6)
dx
Vl —9 x2
6)
(x + 3) dx
6)
dx
л/Зж^Т
6)
dx
V l- 2 5 x z
6)
dx
X ln3x
6)
dx
s in 2x ctgx
12
24.
а)
dx
4+х
25.
а)
dx
Зх
26.
27.
28.
29.
а)
(5х + 3) dx
а)
cos6x dx
а)
s in 4- dx
а)
dx
V l- 8 1 * 2
30. a)
dy
c o s 27x
6)
dx
49x2+ l
6)
dx
cos2Sx
6)
dx
s in 26x
6)
dx
9 x-S
6)
л/2х —1 dx
6)
(5x —2) dx
6)
dx_
5x
13
3. Интегрирование, использующее подведение функции
под знак дифференциала
Нахождение
неопределенных
интегралов,
допускающих
подведение
функции
под
знак
дифференциала, осуществляется на основании формул:
fix') dx = d(F(x))
F 00 dx = fix') dx
j f ( x ) dx = J d(Fix )) = Fix) + с
ПРИМЕР 1. Найти интеграл
J х 5 dx.
РЕШЕНИЕ.
1
x 5 dx = - d(x6)
6
d ix 6) = (x6)' dx = 6x5 dx
j x U x - l l d(x6) = ^ +
14
ПРИМЕР 2. Найти интеграл
Inx
— dx.
/т
РЕШЕНИЕ.
Определим функцию по ее дифференциалу:
/
1
dx
d(lnx) = (lux')' dx = — dx — —
— = d ( ln x ) .
X
Следовательно,
(In x
f
dx
f
ln2x
I — dx = I Inx — = I Inx d(lnx) = — + с .
При сведении данного интеграла к табличному часто
используются следующие преобразования дифференциала:
dx = d(x ± а ) ,
а = const
1
dx = —d(kx ± а ) ,
К
а = const, к = const (к =£ 0)
1
dx = ± —d(a ± кх) ,
К
1
х п dx = ----- - d(xn+1) ,
п +1
а = const, к = const (к Ф 0)
n it-1
15
1
x d x = - d(x2)
(x ± a)n dx =
n+ 1
d((x ± a)n+1) ,
dx
— = d(lnx)
dx
= d(ln(x ± a)) ,
x±a
ax dx = r— d(a*) ,
Ina
a = const
a = const
ex dx = d(e*)
cosx dx = d(sinx)
sin* dx = —d(cosx)
dx
---- — = d(tgx)
coszx
dx
—~T~ = - d(ctgx)
s irx
dx
= d(arctgx) = - d(arcctgx)
1+ x2
dx
V1 —x2
= d(arcsiTix) = —d(arccosx)
16
n * -1 , a = const
Задание 3
Найти интеграл.
1.
а)
б)
dx
•?
arcsvrrx
. dx
... =
J
VT^x*
С
2.
а)
Г
J
3.
х
J
б)
dx
dx
r e arcctgx
J
X In x
a)
f
4.
Г 3 + 1п5 х
Г
dx
dx
l + x 2
6)
o r c tg x
f x2 V7 “ 3x3
a)
6)
л
S ts2 x - ^ k
5.
a)
f w
I=F dx
6)
dx
Г 7arccosx
J ln x x
J VT="F
17
dx
6.
а)
f
6)
. з
arcsin^x '
dx
V l^ x 2
J
7.
a)
f
J
8.
,
dx
ctg x
: 5
sin x
J x3 sinx4 dx
a)
Г
6)
,
dx
J orct« x I T ?
a)
f
J Vl + e2*
6)
dx
J t52x
11.
Г 1пЩЬс - 5) ^
J
5- x
6)
/ ZnS* T
10.
J i T ^ dx
6)
a)
9.
Г 5x2
a)
dx
(1 + x 2) a rctg x
Г 5 —Inx
j — ^ dx
6)
^ =8 *
Jf T
V 2=5 -X
18
12.
а)
б)
I
dx
ах
J tg2x cos2x
13.
г
7C0SX sirvc dx
J
a)
6)
Г dx
J x ln3x
г sirvc
J VcosT
a)
6)
14.
-4 .
I (6x + 5) dx
J
15.
I
f
sinx
— dx
J \ 1 + cos2x
a)
6)
Г
dx
J (7x - 1)3
16.
Г1
cos Inx dx
J x
a)
J
17.
6)
4 dx
IJ TJLTI xЛ
Л
a)
Г
--------
dx
6)
dx
Г
_______ dx
) jл/ fl —
r e2x
19
18.
а)
Г
J
6)
a rcsinA x
19.
dx
a)
J x 3 2x4~3 dx
a)
f
6)
dx
J У sin7x cosx dx
J (5 + x)4
21.
a)
6)
Г cosx
I T7= = = dx
J Vsin2x
J V4x —3 dx
22.
6)
a)
f sinx
^-------- 5“ dx
J 1 + cos^x
f dx
J x ln5x
23.
j x 3 У2х4 - 9 dx
6)
f
ч
dx
ctg bx —r~2~
J
s in zx
20.
—
V l—16x2
6)
a)
Г
-
dx
J a rcctg x T T x *
20
247
а)
б)
dx
fJ ctg7x -sin*x
ту"
25.
Г sinx
dx
f
J yfcoshc
a)
6)
f
dx
J (7x - 2)4
26.
J
27.
- 7
arcsin'X
dx
J
dx
If ■ x 3
Vl —x2 J V25 + x8
dx
J x l n 10x
Г x
J cos2x 2
a)
dxdx
f
Г
x2
stn2x 3
J si
a)
f
dx
6)
J VSx + 2
29.
ax
6)
Г
Г
J
6)
a)
28.
sinx
J VI - cos2x
a)
Г
f
dx
6)
.
J “r c c t g 'x ^
dx
Г
J
21
x
dx
30.
а)
Г dx
| tg 7x — =J
COSAX
6)
f
5x2
J л/ l —x
22
dx
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Правила дифференцирования
С
у = 0
си
у = c(u)'
u±v
у' = u '± v '
UV
у'
/О О ))
У = уй и'х
— UV
(c=const)
(c=const)
+ uv'
(у = /(и ), и = (pipe))
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица производных
у = ип
У= 1
у = X
у =
л/гГ
у = аи
у' =
у — ем
у' =
аи
In
а и'
и'
у = 1ода и
у = In it
у = s in
у
и
у ' — c o s и и'
у'
= co s и
= — s in и и '
1
г
У = tg и
У
у
У' = - ^ к и'
= c t# и
у = a r c s in
и
у' =
и
1г Ь г и '
24
(а > 0 , a it 1)
у = arccos и
у' = ~ 1 Т = Р и '
у = arctg и
У' = ч Ь и ’
у = arcctg и
У' = - т Ь и '
25
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица основных интегралов
Г
хп+1
I x ndx = ----- - + с
J
п+1
Г
(х + а )п+1
I (х + a)ndx = -------- ------ 1- с
J v
'
п+1
(n * -1 )
Г
, ,nj
J
(n * - 1 )
l ( k x ± a ) n+1
fc n + l
I (fcx ± a)ndx = -------- —----- 1- с
J dx = x + с
j ~ ^ = l n \x \ + c
j y j ^ d x = ln\f(x)\ + c
f dx
I —■— = ln\x ± a + с
J x±a
f , *** dx = r ln\kx ± a \ + c,
J kx± a
к
(к = const)
f xdx
I
J x2 ± a
Г
ax
axdx = ------h с
J
Ina
J exdx = e x + с
1 , ,
x Щх ± a \ + c
2
Г .
1 akx
akxdx = - -— + c, (k = const)
J
к Ina
J ekxdx = —ekx + c, (k = const)
26
J -s m x d x = - c o s x + с
J sinfcxdx = - i c o s f c x + с
(к = const)
J co sx dx = s in x + с
J cos kx
dx = ^ s i n kx + с
Ск = const)
f
J
dx
dx
Г
s ; =tJI+t
1
) n s ? t o = k tekx+c
(fc = const)
f
dx
f
dx
x
.............. = a rcsin - + c.
J у!a 2 - x2
a
u = arcsinx + с
J Vl - X2
f
dx
I — — 5- = arctgx +
J l + x2
*
Г
с
dx
1
x
dx
1
\x —a\
—=■= - a r c t g - + с
J a2 + x 2 a
a
I
f
j F ^ = s ,nlf e l +c
f j= L ....=
' \ x 2± a
27
M«Px
+ -у/* 2 ± a I +
с
Учебно-методическое издание
Вдовина Светлана Ивановна
Корниенко Нина Амосовна
Субоч Наталья Николаевна
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Методические указания к практическим занятиям по
теме «Интегрирование, использующее подведение
функции под знак дифференциала»
Подписано в печать S>2s
£ 0 /5 z
Заказ № /£2 #
Усл.-печ. л. - 1
Тираж 100 экз.
Изд. №
Формат—60 x 84/16
127994, Россия, г. Москва, ул. Образцова, дом 9, стр. 9,
УПЦ ГИ МИИ
28