Неустойчивость и распад струи газа в магнитной жидкости

Неустойчивость и распад струи газа в магнитной
жидкости
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
Физико-математический факультет, Мордовский государственный педагогический институт,
Саранск, Россия
colonnt@mail.ru, runova.olga@list.ru
Instability and breakup of a gas jet in magnetic fluid
N.G. Taktarov, O.A. Runova
Physics and Mathematics Department, Mordovian State Pedagogical Institute, Saransk, Russia
Abstract—Instability and breakup of a gas jet in
magnetic liquid with the presents of an external magnetic field that is directed along the jet axis is investigated. Conditions are found for the perturbations of
the jet surface to become unstable and to lead to its
disintegration into separated gas bubbles. It is shown
that the size of these bubbles increases but there’s
growing velocity and frequency appearance decreases
with increasing of magnetic field.
Keyword— magnetic fluid, magnetic field, gas jet,
instability, gas bubbles.
I.
Введение
В связи с исследованием процессов кипения магнитных жидкостей [1] представляет интерес изучение
неустойчивости и разрушения струи газа (пара) в таких жидкостях в приложенном магнитном поле. Результаты изучения неустойчивости струи газа в
обычной (немагнитной) идеальной жидкости приведены в [2, 3]. Задача о распаде струи магнитной жидкости решена в [4].
II.
Постановка задачи
Рассматривается неустойчивость и распад струи
газа в несжимаемой, неэлектропроводной магнитной
жидкости с постоянной магнитной проницаемостью.
Предполагается, что струя газа имеет форму круглого, бесконечно длинного цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Силой тяжести
пренебрегается. Однородное приложенное магнитное
поле с напряженностью H 0 в невозмущенном состоянии направлено вдоль оси струи с радиусом а.
Задача решается в неподвижной цилиндрической
системе (r, θ, z) координат, в которой жидкость на
бесконечности покоится. Ось z направлена по оси
струи. Плотность газа пренебрежимо мала по сравнению с плотностью жидкости и принимается равной
нулю. Величины, относящиеся к струе, обозначаются
в необходимых случаях индексом 1, а к жидкости – 2.
Пусть λ – длина поверхностной волны и ω – ее частота. Предполагается выполненным неравенство
ωλ2 / ν >> 1 , где ν – кинематическая вязкость. Используется модель идеальной жидкости [5, §116].
Уравнения движения магнитной жидкости при
сделанных предположениях имеют вид [1]:
ρ
dυ
= −∇p , ∇ ⋅ υ = 0 .
dt
(2.1)
Здесь ρ, υ, p – плотность, скорость, давление.
Влияние магнитного поля на движение жидкости
здесь связано с механическими максвелловскими напряжениями на поверхности струи, возникающими
вследствие скачка магнитного поля.
Предполагая, что амплитуда поверхностной волны
много меньше ее длины [5, §123], линеаризуем первое уравнение (2.1) и введем потенциал скорости
ϕ (υ = ∇ϕ) , удовлетворяющий уравнению Лапласа в
цилиндрических координатах:
∆ϕ ≡
1 ∂  ∂ϕ  1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+
=0.
r
+
r ∂r  ∂r  r 2 ∂θ 2 ∂z 2
(2.2)
Потенциал скорости ищем в виде
ϕ = Φ ( r ) exp[ i ( kz + n θ − ω t )] ,
где k = 2π / λ – продольное волновое число; n = 0, 1,
2,… – азимутальное волновое число.
Подставляя ϕ в (2.2), получим дифференциальное
уравнение Бесселя
1
n2
Φ′′(r ) + Φ′(r ) − (k 2 + 2 )Φ(r ) = 0 ,
r
r
общее решение которого имеет вид
Φ(r ) = C1I n (kr) + C2 K n (kr) ,
где I n и K n – модифицированные функции Бесселя
первого и второго рода порядка n. Следует принять
C1 = 0 , так как I n (kr ) → ∞ при r → ∞ .
III.
Вывод дисперсионного уравнения
Уравнение деформированной поверхности струи
запишем
в
виде
r = a + ξ(θ, z , t ) ,
где
ξ = ξ 0 exp[ i ( kz + n θ − ω t )] , ξ 0 – малая по сравнению с λ величина.
На поверхности струи нормальная компонента
скорости жидкости должна равняться нормальной
скорости перемещения поверхности, т.е. υn = ∂ξ / ∂t ,
или в линейном приближении υ r = ∂ ξ / ∂ t
при
r = a . Отсюда, с учетом равенства υr = ∂ϕ / ∂r , определяется потенциал скорости
iωξ 0 K n ( kr )
ϕ=−
exp[i ( kz + nθ − ωt )] .
kK n′ ( ka )
Магнитное поле в области струи и жидкости определяется из уравнений Максвелла для неэлектропроводной среды в магнитостатическом приближении [6]
∇ × H j = 0 , ∇ ⋅ µ j H j = 0 (j = 1, 2).
(
)
Из этих уравнений следует, что магнитное поле
Выражая поле через потенциал, эти условия можно
записать в виде
(µ n ⋅ ∇ψ)1 = (µ n ⋅ ∇ψ) 2 , ψ1 = ψ 2 .
Здесь n – нормаль к поверхности струи, направленная внутрь жидкости и имеющая вид:
1 ∂ξ ∂ξ
n = ( n r , nθ , n z ) = (1, −
,− ) .
a ∂θ ∂z
C помощью условий (3.1) находим
iξ H (µ − µ 2 )
ψ1w = 0 0 1
K n (ka) I n (kr ) exp[i(kz + nθ − ωt )] ,
A
iξ H (µ − µ 2 )
ψ 2w = 0 0 1
I n (ka) K n (kr ) exp[i(kz + nθ − ωt )] ,
A
A = µ1 I n′ (ka) K n (ka) − µ 2 I n (ka) K n′ (ka) .
Дисперсионное уравнение, связывающее ω и k,
находится с помощью условия баланса сил на поверхности струи r = a + ξ
(σik nk )1 − (σik nk )2 = −2αCmni .
(3.2)
Здесь α – коэффициент поверхностного натяжения; σik – тензор механических напряжений [1]
σik = − pδik +
2Cm =
щий уравнению Лапласа ∆ψ j = 0 . Потенциал ψ j
H0 z
– потенциал невозмущенного поля, а ψ jw – малое
возмущение, связанное с деформацией поверхности
струи. Функции ψ jw будем искать в виде
ψ jw = Ψ j ( r ) exp[ i ( kz + n θ − ω t )] .
Записывая уравнения Лапласа ∆ψ jw = 0 в цилиндрических координатах в областях 1 и 2, получим два
дифференциальных уравнения Бесселя для функций
Ψ j (r ) . Решения этих двух уравнений имеют вид
Ψ1 = C3 I n (kr) + C4 K n (kr) ,
Ψ2 = C5 I n (kr) + C6 K n (kr) .
Здесь следует принять C4 = 0 , C5 = 0 , так как
K n (kr ) → ∞ при r → 0 , а I n (kr ) → ∞ при r → ∞ ,
что приводит к бесконечно большим величинам соответствующих потенциалов.
Граничные условия для магнитного поля на поверхности струи r = a + ξ [6]:
(µH n )1 = (µH n )2 , (H τ )1 = (H τ ) 2 ,
где индексами n и τ обозначены нормальная и тангенциальная компоненты вектора.
µ Hi H k δik
− µ H2,
4π
8π
Cm – средняя кривизна поверхности
имеет потенциал ψ j (H j = ∇ψ j ) , удовлетворяю-
запишем в виде ψ j = H 0 z + ψ jw (j = 1, 2), где
(3.1)
1  ξ 1 ∂ 2ξ ∂ 2ξ 
.
+
− +
a  a2 a2 ∂θ2 ∂z 2 
Давления в областях 1 и 2 имеют вид:
p1 = p10 = const , p2 = p20 + pw ,
где pw – возмущение давления в жидкости; p10 , p20 –
невозмущенные давления.
Условие (3.2) в линейном приближении
µ1 H 0 ∂ψ1w
µ H ∂ψ 2 w
− pw − 2 0
=
4π ∂z
4π ∂z
(3.3)
 ξ
1 ∂ 2ξ ∂ 2ξ 
.
= −α 2 + 2
+
a ∂θ 2 ∂z 2 
a
Здесь возмущение давления в жидкости определяется равенством [5]: p w = − ρ ∂ ϕ / ∂ t . Поскольку
плотность газа принимается равной нулю, возмущение давления в газе будет равно нулю тоже.
Подставив выражения ξ, ϕ, ψ1 , ψ 2 и pw в (3.3),
получим дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся на поверхности струи, которое, вводя
безразмерные
−1
величины
Ω 2 = ω2 (α / ρa 3 ) −1
и
−1
Λ = (ka) = λ(2πa) , можно записать в виде:
Ω2 =
1 K n′ (Λ−1 )
1 − n 2 − Λ− 2 −
Λ K n (Λ−1 )
(
)
(3.4)
−
Q (µ1 − µ 2 ) 2 I n ( Λ−1 ) K n′ ( Λ−1 )
.
4πΛ [µ1 I n′ ( Λ−1 ) K n ( Λ−1 ) − µ 2 I n ( Λ−1 ) K n′ ( Λ−1 )]
2
Здесь Ω – безразмерная частота; Λ – безразмерная
2
−1
длина волны; Q = H 0 (α / a) – безразмерный параметр, характеризующий отношение магнитных и капиллярных сил, действующих на поверхности струи.
Если Q = 0 (или µ1 = µ 2 ), то получается результат,
приведенный в [2, 3].
IV.
Анализ результатов
Из (3.4) следует, что все возмущения с n ≥ 1 устойчивы, так как в силу свойств Бесселевых функций
( I n′ > 0 , K n′ < 0 ) выполняется неравенство Ω 2 > 0
при любых значениях Λ и n ≥ 1 .
Рассмотрен случай n = 0 с учетом равенств
I 0′ ( x) = I1 ( x) , K 0′ ( x) = − K1 ( x) . В этом случае возмущения поверхности струи не будут зависеть от угла
θ и она будет иметь осесимметричную форму,
имеющую вид последовательных сжатий и расширений.
Исследована зависимость квадрата безразмерной
частоты Ω 2 от безразмерной длины волны Λ для нескольких значений магнитной проницаемости µ 2
жидкости. При этом бралось значение Q = 20, которому соответствуют, например, следующие значения:
a = 1 см, ρ = 1 г/см3, H0 = 20 Э1(эрстед), α = 20 г/с2.
Магнитная проницаемость газа во всех расчетах бралась равной 1 ( µ1 = 1 ). При Λ = Λ c частота Ω = 0.
Длина волны Λ c называется критической.
В интервале Λ < Λ c струя устойчива, поскольку в
этом случае Ω 2 > 0 и частота Ω имеет вещественные
значения. Область Λ > Λ c соответствует неустойчивости струи, так как при этом Ω 2 < 0 , и частота Ω
будет иметь два комплексно сопряженных значения,
что приводит к неустойчивости. Размер пузырей, образующихся при распаде струи будет порядка длины
волны λ m = Λ m ⋅ (2πa) , соответствующей величине
Ω m при этом уменьшается. Это означает, что с увеличением размера пузырей скорость их роста и частота возникновения уменьшаются.
Рассмотрена зависимость величины Ω 2 от Λ
( 0 < Λ ≤ 4 ) для различных значений Q. Показано, что
при увеличении Q (a, следовательно, при увеличении
магнитного поля) и при фиксированной магнитной
проницаемости значения Λ c и Λ m возрастают,
Ω m – уменьшаются. Это означает, что с ростом магнитного поля размер пузырей, образующихся при
распаде струи, увеличивается, а скорость их роста и
частота возникновения уменьшаются. Неустойчивость струи газа с возрастанием магнитного поля
сдвигается в область более длинных волн.
V.
Исследовано распространение и неустойчивость
волн на поверхности цилиндрической струи газа в
магнитной жидкости в приложенном магнитном поле,
направленном вдоль оси струи. Для симметричных
возмущений (n = 0) область безразмерных длин волн
0 < Λ ≤ 4 делится критической точкой Λ c на две
области, в одной из которых ( 0 < Λ < Λ c ) существуют незатухающие волны, а в другой Λ > Λ c – все
возмущения нарастают со временем, приводя к неустойчивости струи и ее распаду на пузыри газа. Показано, что при увеличении магнитного поля критическая длина волны Λ c и размер пузырей Λ m , образующихся при распаде струи, увеличиваются; а скорость роста пузырей и частота их возникновения
уменьшаются. Полученные результаты представляют
интерес в связи с изучением кипения магнитных
жидкостей.
Литература
[1]
[2]
[3]
Λ m , при которой Ω 2 достигает минимума Ω 2m , поскольку амплитуда волны растет в этом случае с наибольшей скоростью. В самом деле, рост амплитуды
определяется множителем ∼ exp( ω t ) , принимающим
[5]
наибольшее значение при Λ = Λ m , при котором
[6]
3
ω = ωm , где ωm = Ω m ⋅ α / ρa .
Показано, что при увеличении µ 2 критическая
длина волны Λ
c
увеличивается, размер образую-
щихся пузырей Λ m также увеличивается. Величина
1
1 Э = (1/4 π) ⋅103 А/м ≈ 79,6 А/м
Заключение
[4]
Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. М.: Мир, 1989.
Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford: Clarendon Press, 1961.
Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005.
Тактаров Н.Г. Распад струи магнитной жидкости // Магнитная гидродинамика. 1975. № 2. С. 35–38.
Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.:
ГИФМЛ, 1959.
Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука,
1976.