8-07 А.П. Васильев Гидродинамика и межфазный теплообмен в

1
УДК 536.24
ГИДРОДИНАМИКА И МЕЖФАЗНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ВОСХОДЯЩЕМ
ЖИДКОМЕТАЛЛИЧЕСКОМ ПУЗЫРЬКОВОМ ПОТОКЕ
А.П.Васильев
Оренбургский государственный университет
Предложен способ прямого преобразования теплоты в работу в гравитационном
циркуляционном контуре. Рассмотрена полная система уравнений динамики и теплообмена пузырькового потока. В одномерном приближении численными методами исследовано
изменение параметров восходящего пузырькового потока вдоль канала. Показана возможность создания установок для преобразования теплоты низкого потенциала.
Энергия, течение, теплообмен, пузырьковый.
Условные обозначения: A,B,C,D,F,Q c нижними индексами1..5 – функции системы уравнений, CD-коэффициент сопротивления обтеканию сферы, D-гидравлический диаметр, м;
P1 -сферическая составляющая приведенного тензора напряжений, Па; T - температура К;
R -удельная газовая постоянная, Дж/кгК, S- коэффициент проскальзывания фаз, a – радиус пузырька,м; a2(T)- коэффициент температуропроводности, м2/с; c-удельная массовая
теплоемкость,Дж/кгК, g - плотность силы тяжести, n-числовая концентрация, 1/м3; f-сила
межфазного взаимодействия (с индексом - сопротивления, m-сила инерции присоединенных масс), H; t-время,с; u-внутренняя энергия, Дж/кг; q-плотность теплового потока,
Вт/м2; v –поступательная скорость, м/с; w-радиальная скорость, м/с;
, 21 - числа
3
задачи, - диссипативная функция,Вт/м ; -поверхностное натяжение,Н/м; – объемное
содержание, -коэффициент теплоотдачи, Вт/м2К; - показатель адиабаты, - плотность,
кг/м3;1 A - мощность вязких напряжений, Вт/м3, и -динамический и кинематический
коэффициенты вязкости, м2/с;
- коэффициент теплопроводности, Вт/мК; mкоэффициент гидравлического трения; -приведенная продольная координата; нижние
индексы:i-фазовый индекс, a-поверхность пузырька, v-изохорность, r-в радиальном перемещении,12-в относительном движении, 0-начальное значение, -межфазная поверхность;
-приведенное значение; верхние индексы: 0-истинное значение величины,
klкомпоненты приведенного тензора напряжений.
Введение
Пузырьковые жидкометаллические потоки позволяют осуществить прямое преобразование теплоты в работу. Энергетическая установка, работающая в этом цикле, показана
на рис. 1. Она состоит двух вертикально расположенных контуров циркуляции: 1жидкометаллического и 2- парожидкостного с общим разгонным каналом 3, в который
вводятся потоки низкотемпературного жидкого металла и жидкой (или паровой) фазы рабочего тела. Жидкий металл предварительно подогревают в устройстве 4. В разгонном канале в результате теплообмена жидкая фаза рабочего тела переходит в паровую и возникает пузырьковый поток. В конце разгонного канала 5 происходит гравитационная сепарация
пузырьков пара из потока, и он по адиабатическому каналу 6 поднимается в конденсатор 7,
2
где переходит в жидкую фазу и в нисходящей трубе 8 создает гидростатический подпор на
входе в разгонный канал. Жидкий металл из сепаратора 5 по нисходящей трубе 9 контура 1
поступает в МГД-генератор 10, где происходит преобразование гидравлической мощности
потока жидкого металла в электрическую, а затем подается в нагреватель 4 и далее в разгонный канал 3. Благодаря развитой поверхности теплообмена между пузырьками пара и
жидким металлом в разгонном канале подвод теплоты к газовой фазе может протекать в
Рис. 1. Схема энергетической установки
условиях, близких к изотермическим. Отвод теплоты в конденсаторе также идет при постоянной температуре. Эти обстоятельства позволяют организовать прямой термодинамический цикл, близкий к циклу Карно. Предполагается использовать подобные установки
для преобразования части теплоты компенсации с температурой 150-3000С.
1. Постановка задачи
В основе расчета этой энергетической установки лежит решение задачи о течении и
теплообмене восходящего пузырькового потока в поле сил тяжести. Система уравнений
неразрывности, Рэлея-Ламба, импульсов, притока теплоты и условия совместного деформирования для бесстолкновительной монодисперсной пузырьковой среды, несущая фаза
которой (i=1) – вязкая несжимаемая жидкость, а дисперсная (i=2) – перегретый пар, пофазно выписывается в виде [1]
1
1
0
1
wa
2
dt
2
,
0
2
k
vk
0,
4
1, an 3
3
n
k
n v 2k
0
0,
p
RT
(
(2)
3)
3
1
dv
dt
d v
2
dt
1
2
a
0
1
dt
0
1
k
1
1
1
k
dt
ud dp0
2
dt
n
22
0
2
0
1
1
a
2
3 2
wa
2
1
1
4
2
3
4)
2
5)
1
1
6)
2
7)
8)
2
vi
t
Функции ,
1
1
nq
dt
di
dt
f
a
1
A1
2
w
4
1
k
2
12
1
fm
12
w12
v1
v2 .
(
учитывают неодиночность обтекания пузырька в потоке и равны
31
/ 1 , силы межфазного взаимодей.1( 31
)/ ,
5.1(
1
)/ ,
ствия, обусловленные скоростной неравновесностью фаз, даются выражениями [1]:
d2 2
2 0 d
3 2
12
1
3
dt
dt
a dt
сила инерции присоединенных масс;
fm
2
f
v v0
2
v
10)
21
11)
2 21
-сила сопротивления обтеканию пузырька, где коэффициент сопротивления обтеканию
сферы СD=СD(Re12) равен
D
1
1/ 6)3 Re12
24
Re12
1
68
Re12 (1
СD
1845
Re12
а число
Re12 2a
192
Re12
2
R
15
12
2
)
.507
Рейнольдса
/ 10 .
1
Re12
1
1
500
R
12
,
500
2
относительного
движения
определено
выражением
Следует отметить, что выписанная система уравнений незамкнута, т.к. не указаны
тепловые потоки на межфазной границе q i , приведенная плотность теплового потока q1 ,
касательные компоненты тензора напряжений s 1kl , а также диссипативная функция.
В случае одномерного течения пузырькового потока недостающие соотношения
можно восполнить эмпирическими зависимостями, тогда система уравнений приобретает
замкнутый вид и допускает численное решение.
4
2. Одномерная модель течения и теплообмена пузырькового потока.
Осредним выписанную систему уравнений методами гидравлической теории, считая все параметры однородными в сечениях. Для установившегося течения пузырькового
потока запишем уравнения в проекции на направление течения, отсчитывая продольную
координату x от входного сечения разгонного канала.
В этом приближении из уравнений неразрывности фаз (1) следует, что
0
0
)(v ( )
( )v ( )
( ) v ( ) , гдеv,
- продольные ско2( )
1 ( ) v 1 ( ),
2
рости фаз.
Выразим истинную плотность дисперсной фазы
тогда для текущего газосодержания получим
(v0) T
(0) 2
x
0
2
x по уравнению состояния (2),
2
12)
x) p 2
где
x / T2 (0), p 2
фазы, при чем ()
2
p 2 (x) / p 2 ( - приведенные температура и давление дисперсной
( ) 2 / a 0 . Введем коэффициент проскальзывания фаз
v ( x) /v ( x) , для которого из уравнений неразрывности, состояния и условия сохранения массы газа в пузырьке следует зависимость
1
)( S (
x
0()2
a3
13)
1
2 x
x / a 0 - приведенный радиус газового пузырька.
где
Перейдем от декартовой координаты x к приведенной
/ и преобразуем условие совместного деформирования фаз (3) к уравнению для радиуса пузырька a*
da
2
)
(14)
w )
()
где числа задачи
,
и характерная скорость на радиальных мелкомасштабных перемещениях определены выражениями
1
2
w0
L
,
, w0
2
p1 0
p1
p2 0
p
dw
p2 )
wa
.
0
0
)
)
(
0
a
w
1
1
0
Обобщенное уравнение Рэлея-Ламба (4) в приведенных переменных принимает вид
1
21
1
2
We
a
2
1
3
1
, w
0
1
2
2
3
1
1
2
1
2
2
Dw
Re1 a 0 a
(,15)
4
1
где числа Вебера и Рейнольдса определены по условиям на входе в канал
We1
0
1
2
1
a0
R
0
1
1
D
1
0
1
.
5
Преобразуем уравнение притока теплоты в дисперсной фазе (8). Калорическое уравнение
0
cT
состояния термически совершенного га за
2 2 позволяет перейти от внутренней
v
энергии к температуре. Удельная массовая изохорная теплоемкость определяется из фор/( 1) . Притоки теплоты из несущей фазы к межфазной границе и
мулы Ма йера 2 v
от межфазной границы к дисперсной фазе найдем по закону Ньютона-Рихмана
T 0 1
T
3
3
0
a
a
2
, nq
n4 a 2 (Ta T )
,
2 Nu 1 1
2 Nu 2 2
2
2
2
a
2
a
где Ta - средняя температура на межфазной поверхности, которая может быть найдена из
nq
a12 a T
n
T )
0
a
. Числа Нуссельта находятся по критериальным уравусловия
0 , Nu
21i
нениям теплоотдачи. В частности, для плавно изменяющихся течений имеют место выражения [1]
9
Pe
16 1v
2
Nu
2, Nu
9 2
Pe ,
16 1v
Re1v
1
.
3 1/3
1/2
Pr1v Re1v ,
Re1v 1
5
а числа Пекле, Рейнольдса и Прандтля определены равенствами
2
0
0
1
Re1v ( , )
0
0
1
1 S
P
v20
1v ( , )
10
0
1
1 ST
a1T
1
a1
0
1
0
1 1
c
0
2
a(0v)
Pe1v
, a 2T
, Pe
.
T
0
Re1v
a2
c
2
2
v
Заменим температуру T2 по уравнению состояния (2) и перейдем к давлению p 2 , тогда
уравнение притока теплоты (8) в дисперсной фазе сводится к уравнению для давления газа
в пузырьке
Pr1
0
dp
d
где
3
*1
1
Sa
1
2
1 Nu 2
2 1 Pe a
2
aw
1
1
0
1
T1
Nu 2 T2 T2
0(1
1 Nu 1 T1 T)
0
2 Nu 2
1
0
1 Nu 1
2
0
16)
/ T1 (0).
Преобразуем уравнение притока теплоты в несущей фазе (7), принимая стенки канала адиабатическими и пренебрегая переносом теплоты за счет молекулярной теплопроводности вдоль канала по сравнению с конвективным переносом. При этих условиях уравнение (7) после осреднения по сечению канала и перехода от внутренней энергии u1 к
температуре T1 принимает вид
dT 1
n
1
1
dx
где работа внутренних сил для несжимаемой несущей фазы равна
c
1
1
1
1r
A1 v
.
(17)
6
Здесь первое слагаемое в правой части определяет диссипацию энергии в мелкомасштабном радиальном перемещении, второе – диссипацию энергии в мелкомасштабном движении на поступательном перемещении, а третье слагаемое – работу вязких напряжений на
макроскопическом перемещении.
A
r
1
12
n
v
1
12
1
12
a2
1
2
9
a
2
0
1
w03 w
a0
a
Re r
1
212 2
v
18)
3
1
2
v
0
1
v13 (
3
СD
8
a0
2
1 S
a
3
9 1(21
Re v
3
1
S)2
a2
(,19)
Согласно [1], для первых двух слагаемых имеют место выражения:
где Re
0
0 1
,
/
0
1
Re v
a v ( )/
Диссипативную функцию
1
.
рассчитаем по гидравлической модели потока
v2
,v1
(20)
D 2
где m - коэффициент гидравлического трения пузырькового потока, зависящий от чисел
m
Re1, и объемного газосодержания
2:
0
/(1
) k , k 1.42, 0
1 (Re1 ).
Здесь использованы формула Арманда для коэффициента гидравлического трения
пузырькового потока, а 10 - коэффициент гидравлического трения однофазного потока при
том же числе Рейнольдса Re1.
m
0
1
Подставляя выражения (18)-(20) в уравнение (17) и учитывая межфазный теплообмен, приведем уравнение притока теплоты несущей фазы к виду
12
dT
d
2
Re a
Ec1
2
12
w
a
3 Re a
2 Pe a
Nu 1
Ec
2
Re a
3
CD
8
1
T1
1
2
a
1
3
1
0
2
1 S
a 13
0
2
0
1
3
Nu 2 T2 T2 0
Nu 1 T1 T1 0
0
2 Nu 2
1
0
1 Nu 1
9
2
1
0
1
2
2
1
1 S
a
2
(,21)
где числа Эккерта и Рейнольдса определены выражениями
0
a(0v)
0)
1
.
R a
0
)0(
1
Температура дисперсной фазы T2 однозначно определяется давлением газа в пузырьке
p 2 и радиусом a по уравнению состояния
Ec1
)(ap23 ( ).
T
2
1
(22)
7
Вместо уравнения импульсов несущей фазы (5) удобнее использовать уравнение
импульсов для смеси в целом. Складывая уравнения (5) и (6) и осредняя полученное выражение по сечению канала, в проекции на продольное направление получим
dv
dP
v2
m
g21
dx
dx
D 2
где
cos(g, i) ,
1 - восходящий поток,
0 -горизонтальный поток,
нисходящий поток, v – скорость смеси, определяемая равенством
1 2 v2
v
d v1
dx
v
23)
1 v1 ,
0
0
kl
т.к. 1
2 , а P1 - сферическая составляющая приведенного тензора напряжений
1 -в
случае одномерного течения равна [1]
1
1
1 0
(v v 2 ) 2 .
1
a
4
Заменим в уравнении (23) скорость дисперсной фазы выражением
S , а скорость несущей фазы - по уравнению неразрывности
)0v1 (
/ 1 ( ) , отбросим слагаемые
0
пропорциональные 02 в силу оценки 02
1 , тогда уравнение импульсов для смеси (23)
приводится к виду
2
p2
2
0
1
2
2
wa2
dp1
dw
dp 2
dS
A
C
C
C
435
d
d
d
d
где коэффициенты и функции определены равенствами
24)
A
1
2
1
2
0
0S
1
2
0
S
0S a3
1
1
C
, C
14
2 D
2
1
2
m
5
2
L
1
1
1
1
1
1
2
2
1
L
g
2
1
2
1
1
02
2
0
S
3
0S a
1
1
2
1
2
1
0
2
2
Eu 2,
1
1
1
S
a
2
We
1
0
w,
1
,
10 a
,
0)
2
2
1
2
1
1
3
,
Q1
1
1
0
a
0
0
2
2
Q1
1
1
1
0
1
p
Eu p1
2
We1 a
1
w
2
1 1 S
4
1
2
,
0
v12 0 .
а число Эйлера определено по условиям на входе в канал Eu 1 p/0
Осредним уравнение импульсов (6) дисперсной фазы и, учитывая выражение для
сил (10)-(11), после некоторых преобразований в проекции на продольную ось получим
dS
d
где
B
B
dp1
d
D1
dp 2
d
D
dw
d
D
25)
8
1S
2
B1
2
2
LC
D
3
8
4
0
0S
2
1
2
1
0
D
1 S
a0 a
2
1
0
w
3
2
, D
Eu p1
1
2
1
2
a
2
1
0
0
1
02
2
1
We1 a
w2
1
0
S
3
0S a
m
1 S
2 D
a
0
1
4
S
L
2
E , 1D
1
1
w
2
12
12
Q2
1
2
2
2
,
S
1 0
0 S a3
D
2
1
1
32
1
1
2
Q2
1
S
a
0
2
We
,
2
1
,
10 a
1
2
1
,
2
2
S.
2
2
2
1
Обозначим правые части уравнений (24) и (25) через F1 и F2 соответственно, тогда систему
уравнений (24)-(25) можно разрешить относительно производных и получить
dS
d
F2 A2
A2 B1
21
21
dp
d
A
F
2
21
B1 F1
A2 B1
21
(26), (27)
A2 B1 .
Таким образом, получаем нормальную систему дифференциальных уравнений (14), (15),
(16), (21), (28), (27) и двух соотношений (12) и (22) с неизвестными: a - радиус пузырька,
w - радиальная скорость,
,
- давления в фаза х, , - температуры в фазах, S - коэффициент проскальзывания фаз и
)(/
- приведенное газосодержание. Начальные условия для искомых функций зададим в виде:
:0
1,
1, w
0, p
1, p
1,
1, T1
1, T2
1.
(28)
3. Численное исследование и обсуждение результатов расчета
Полученная система дифференциальных уравнений с начальными условиями (28)
интегрировалась численно. Задачей исследования было выяснение влияния различных параметров двухфазного потока начальных температур фаз, объемного газосодержания и
радиуса газовых пузырьков на течение и теплообмен восходящего пузырькового потока.
Ниже представлены некоторые результаты этого исследования.
Несущей фазой в расчетах принималась ртуть, дисперсной – сухой насыщенный пар
диэтилового эфира (на входе в канал) со свойствами по [2]. Высота разгонного канала
принималась равной L=3 м, а коэффициент проскальзывания фаз во входном сечении S0 1.
Начальное газосодержание дисперсной фазы задавалось из условия, чтобы в канале заданной высоты число Маха на выходе из него не превышало единицы. Скорость несущей фазы на входе во всех примерах была 1 0)
2 м/с. На всех рисунках кривые 1 относятся к
условиям с начальной температурой несущей фазы t1
200 0С, а кривые 2 t1
250 0С.
9
Рис.2. Зависимость приведенного
коэффициента проскальзывания
фаз S* по длине канала .
Рис.3. Зависимость приведенного радиуса пузырька a* по длине канала .
На рис. 2 показаны графики приведенного коэффициента проскальзывания фаз
/ S ( по высоте канала
/ . Начальная температура дисперсной фазы
()
*
3.02 бар и составляла
соответствовала температуре насыщения пара при p 2
0
T2 ) 343 K (70 C). Коэффициент проскальзывания всюду больше единицы, что говорит
об опережении пузырьками несущего потока при всплытии, при этом зависимость S *
является осциллирующей, что возможно лишь при возбуждении вынужденных колебаний
газовых пузырьков в потоке. Начальный радиус пузырьков был a 0 5.0 мм. На колебательный характер движения дисперсной фазы указывает также зависимость приведенной
скорости межфазной границыw
(
) , которая также осциллирует на всей высоте канала, в
целом оставаясь положительной, что возможно лишь при расширении газовых пузырьков.
На рис.3 приведены зависимости радиуса пузырька. Пузырьки в более горячей несущей
фазе расширяются быстрее, чем в холодной. Зависимость a* также является осциллирующей. Увеличение радиуса газовых пузырьков приводит к росту объемного содержания
дисперсной фазы по высоте канала, что иллюстрирует график приведенного газосодержа-
Рис.4. Изменение приведенного
газосодержания * по длине канала .
Рис. 5. Зависимость скорости по
длине канала: c-скорость звука, v1скорость несущего потока, м/с.
ния
)(/
2 (0) на рис.4. Газосодержание в выходом сечении канала увеличивается
более, чем в 5 раз по сравнению с начальным, которое в расчете принималось равным
10% . Увеличение газосодержания по потоку, с одной стороны, приводит к сниже2
нию скорости звука, а с другой стороны, - к увеличению скорости несущего потока (рис. 5),
10
так что число Маха в потоке непрерывно возрастает, и поток в выходном сечении становится звуковым. Явление кризиса течения ограничивает высоту разгонного канала.
Характер изменение давления p1 в несущей фазе потока показан на рис. 6, а изменение температуры в дисперсной фазе – на рис.7.
Рис.6. Зависимость приведенного давления в несущей фазе
p1 по длине канала .
Рис. 7. Зависимость температуры T2 в дисперсной фазе по
длине канала .
Давление в потоке убывает с высотой канала и является также осциллирующим.
от линейной зависимости характеризует интегральное влияние
Отклонение кривой p1
скоростной и термической неравновесности фаз на течение пузырькового потока. Разность
давлений
0() p (
при заданной высоте канала L определяет располагаемый перепад давлений, который может быть преобразован в работу. Изменение температуры дисперсной фазы (рис. 7) показывает, что на всем протяжении канала между фазами нет термического равновесия. Эти кривые получены при начальном радиусе пузырьков a0=0.5 мм.
Обращает на себя наличие максимума температур вначале канала, когда пузырьки в потоке
еще не успевают существенно расшириться. Затем внешний теплообмен при больших значениях радиуса пузырьков уже не успевает подводить теплоту к пузырькам и температура в
них начинает снижаться. Расчеты, выполненные для более мелких пузырьков a0=0.1 мм,
показали, что с уменьшением начального радиуса процесс расширения пузырьков все
больше приближается к изотермическому (температура несущей фазы в конце канала лишь
незначительно отличается от начальной).
Выводы
Внутренний КПД контура, к сожалению, не превышает нескольких процентов при
термическом КПД 35%. Причиной этому является небольшой перепад давлений в жидкометаллическом контуре, обусловленный ограниченностью высоты разгонного канала условием предельного газосодержания. Этот недостаток может быть преодолен либо применением схемы последовательного соединения контуров, либо переходом на профилированные разгонные каналы, обеспечивающие постоянство газосодержания по высоте, либо переходом на другие структуры двухфазных потоков, например, пробковые.
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред.Т.1.М.:Наука,1987.
2. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей.
М.:Наука,1972.